TRƯỜNG BỒI DƯỢ NG VĂN HÓA 218 LÝ TỰ TRỌNG, Q.1 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 20112012 ĐIỆN THOẠI: 38 243 243 MÔN THI: TOÁN HỆ CHUYÊN THỜI GIAN LÀM BÀI: 150 phút CÂU (3 điểm) Cho phương trì nh : x4 – (m + 3) x2 – 2m2 + 3m + = (x ẩn số) Tì m giá trò m để phương trì nh có bốn nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4 thỏa 4 4 x1  x  x3  x3  4x1x x3x  CÂU (4 điểm) a Giải phương trì nh: b Giải hệ phương trì nh: x  x   10  x (x  1)(x  3)  y  4y x  xy  y   CÂU (4 điểm) a Tì m số tự nhiên n cho : n3 – 10n2 + 20n – số nguyên tố b Trong số : 3; 33; 333; …… ; 333  2011 chữ số có số chia hết cho 13, tính tổng tất số CÂU (3 điểm) Cho a, b, c số thực dương có tổng 1 1   Tì m giá trò nhỏ biểu thức P  3a2  4ab  b2 3b2  4bc  c2 3c2  4ca  a2 CÂU (4 điểm) Cho ABC nội tiếp đường tròn tâm O ngoại tiếp đường tròn tâm I AI, BI, CI cắt (O) D, E, F DE cắt CF M, DF cắt BE N a Chứng minh MN // BC b Gọi Q tâm đường tròn ngoại tiếp DMN, P giao điểm AD EF Chứng minh điểm M, N, P, Q nằm đường tròn CÂU (2 điểm) Cho ABC cố đò nh, M điểm di động cạnh BC Vẽ đường kính BE đường tròn ngoại tiếp ABM đường kính CF đường tròn ngoại tiếp ACM Gọi N trung điểm EF Chứng minh M di động BC N di động đường thẳng cố đò nh TRƯỜNG BỒI DƯỢ NG VĂN HÓA 218 LÝ TỰ TRỌNG, Q.1 ĐIỆN THOẠI: 38 243 243 ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 20112012 MÔN THI: TOÁN HỆ CHUYÊN CÂU (3 điểm) Phương trì nh: x4 – (m + 3) x2 – 2m2 + 3m + = (1) ; Đặt t = x2 (t  0), phương trì nh thành: 2 t – (m + 3) t – (2m  3m  2) = (2)  t2 – (2m + 1) t + (m – 2)t – (2m+1)(m–2) =  t[t – (2m + 1)] + (m – 2)[t – (2m + 1)] =  [t – (2m+1)] [t + (m – 2)] =   t  2m   t  m   2m     1 m  Ph/trì nh (1) có nghiệm phân biệt  Ph/trì nh (2) có nghiệm dương phân biệt  m   m  2m    m  Với m thỏa điều kiện trên, không tính tổng quát ta đặt  t1  2m  x1   t1 ;x  t1 ;x3   t ;x  t  t  m  Ta có: x14  x24  x34  x34  4x1x2 x3 x   t12  t12  t 22  t 22  4t1t   2(t1  t )2   (2m + + m – 2)2 =  (3m – 1)2 = 22  3m     m  1 3m   2  m   CÂU (4 điểm) a Giải phương trì nh:  Với x > ta có: x  x   10  x (nhận) Vậy giá trò m cần tì m  ; x  (1) ; ĐK: x     x  10 10  x  VT(1)  x  x      VT(1)  VP(1)  10  x  10   VP(1)   Với x < ta có: VT(1)  x  x      VT(1)  VP(1)  10  x  10   VP(1)   x ≠ không nghiệm (1)  Với x = ta có : VT(1) = = VP(1) Vậy phương trì nh (1) có nghiệm  4y (1) (x  1)(x  3)  y b Giải hệ phương trì nh: ; (1)  (x – 1)(x + 3) = y(y + 4) x  xy  y  (2)   Với y =  (x – 1)(x + 3)=   x  thay vào (2), hệ phương trì nh nhận nghiệm (3; 0)  x  3  Với x =   x + =  y(y + 4)=   y  thay vào (2), hệ phương trì nh nhận nghiệm (3; 0)  y  4  Với x + y + =  y =  x – thay vào (2) ta có : x2 + x(x – 3) + (x – 3)2 =  x2 – x2 – 3x + x2 + 6x + =  x(x + 3) =   x   x  x  3 (do y =–x – 3) y  3 y0  x  3    y  y  x 1 y   1  Với  x  3 Từ (1)  (x – 1)(x + 2) = y(y + 4)  x   y x3 yx3 x  y     y = x – thay vào (2) ta có : x2 + x(x – 1) + (x – 1)2 =  x2 + x2 – x + x2  2x + =  3x2  3x  =  x   105 x   105  (x;y)   105 ; 3  105 (x;y)   105 ; 3  105 (do y = x – ) 6 6 6  Thử lại hệ nhận nghiệm: (3; 0); (0; 3);      6105 ; 3 6 105 ;  6105 ; 3 6 105  Cách khác: (1)  y2 + 4y – (x – 1)(x + 3) =  y2 + (x+3)y – (x – 1)y  (x – 1)(x + 3) =  (y + x + 3)[y – (x – 1)] =   y   x  thay vào (2) ta có kết  y  x  CÂU (4 điểm) a Đặt p = n3 – 10n2 + 20n – = (n3 – 8) – (10n2 – 20n) = (n – 2)(n2 + 2n + 4) – 10n(n – 2)= (n – 2)(n2 – 8n + 4) n   n   1 n  n   n  1 n   n       p nguyên tố   n  8n   n  8n   n   13 (loại) n  8n     n  8n   1  n  8n    n   11 (loại)   n =  p = – 10 + 20 – = (nhận)  n =  p = 33 – 10.32 + 20.3 – =  11 (loại) Vậy giá trò n cần tì m b Thử trực tiếp ta thấy số 333333 số nhỏ số cho chia hết cho 13 * Ta chứng minh số cho, số có dạng 333  (k  N ) chia hết cho 13 6k chữ số Ta có : 333   333333.1000001000001 000001  13 (do 333333  13) 6k chữ số k 1 cụm chữ số 000001 Các số cho lớn 333333 dạng 333 có dạng 333   (k N*, r {1;2;3;4;5}) 6k chữ số 6k  r chữ số Ta lại có 333  mà 333 300   333 300    33    333 3.100   6k  r chữ số 6k chữ số r chữ số r chữ số 6k chữ số r chữ số 6k chữ số r chữ số  13 33   13 (do r < )  333   13 r chữ số k  r chữ số Vậy có số có dạng 333 cho chia hết cho 13 là: 333333;  chia hết cho 13 Số đầu số cuối số 6k chữ số 2010    335 (số) Gọi S tổng số đó: 333  , nên số số chia hết cho 13 2010 chữ số  1 S  333333  33   99   99    99     33    33   33   33    33    99 6.335 chữ số   6.1 chữ số 6.2 chữ số 6.3 chữ số 12 chữ số 18 chữ số 2010 chữ số 6.1 chữ số 6.2 chữ số 6.335 chữ số 1 335 6.1 6.2 6.3 6.335 6 6 334  10   10   10    10  1  10 1  (10 )  (10 )   (10 )   3 334 335 334 Với q = 10 có S  q 1  q  q   q   ; Ta có (q – 1)(1 + q + q + …+q ) = q + q2 + q3+ …+q335 1 q q2  …  q334 3 335 q335   S  106 10   335 = q335   + q2 + q3 + …+q334 = q 1 106  y y CÂU (3 điểm) Áp dụng bất đẳng thức Côsi với x, y dương : x   x  , tương tự ta có với số dương x, y, z ta có : y x y x     y y (x + y + z)     =     x      z    z  x       x y z y x z y x z (*) 2 1     2 3a2  4ab  b2 (a  b)(3a  b) (2a  2b)(3a  b) 12 (2a  2b  3a  b) 5a  3b (theo bất đẳng thức Cô si: (2a  2b)(3a  b)  (2a  2b  3a  b)  (5a  3b) ) Tương tự cho hai biểu thức lại P, ta 2 Ta có: suy : P  2  2  2  2 (8a  8b  8c)     5a  3b 5b  3c 5c  3a  5a  3b 5b  3c 5c  3a   (5a  3b)  (5b  3c)  (5c  3a)      5a  3b 5b  3c 5c  3a  (áp dụng (*)cho x = 5a+3b; y = 5b+3c; z = 5c + 3a) Khi a = b = c = P = Vậy P nhỏ 4 2 2 Cách khác:     2 3a2  4ab  b2 24a2  32ab  8b2 (25a2  30ab  9b2 )  (a2  2ab  b2 ) (5a  3b)2  (a  b)2 5a  3b Làm tiếp tục trên, suy đpcm CÂU (4 điểm)   sđ.AE   sđ.CD   sđ.CE   sđ.BD   CGH  a Chứng minh MN // BC Ta có CHG 2  CHG cân C, mà CM phân giác (gt) nên cũ ng đường cao  CM  DE M Tương tự ta có BN  DF N  tứ giác DMIN nội tiếp đường tròn đường kính ID   sđ.IN   IDN   ADF   sđ.AF   sđ.BF   FCB   IMN 2  vò  FCB Mà IMN trí đồng vò  MN // CB (đpcm) b Chứng minh điểm M, N, P, Q nằm đường tròn   BCA    FCA  MP // CA  NMP Chứng minh tương tự ta có : IMP Tứ giác DMIN nội tiếp đường tròn đường kính ID  Q trung điểm ID   sđ.IN   2.IDN   2.ADF   sđ.AF   sđ.AB   BCA  mà NMP   BCA   NQI   NQI   NQP   tứ giác NQMP nội tiếp (đpcm)  NMP     CÂU (2 điểm) Qua B vẽ đường thẳng  BC cắt AE, AF H ; G AN cắt BH I Vì AE  AB A (do BE đường kính) mà A, B cố đò nh suy đường thẳng AE cố đò nh BH qua B cố đò nh  BC cố đò nh nên đường thẳng BH cố đò nh Suy H cố đò nh (giao hai đường thẳngAE, BH cố đò nh) Chứng minh tương tự ta có G cố đò nh   90o (góc chắn nửa đường tròn), FMC   900 Ta có BME (góc chắn nửa đường tròn) Suy điểm E, F, M thẳng hàng (cùng nằm đường thẳng qua M  BC) Ta có EF // HG (cùng vuông góc với BC)  EN  AN  NF mà NE = NF (gt)  IH = IG  I trung điểm HG HI AI IG  I cố đò nh Vậy M di động BC N di động đường thẳng AI cố đò nh Cách khác (hướng dẫ n).Vẽ trung tuyến AJ ABC   E;C   F ) Chứng minh ABC AEF ( B   NAB   EAB   90o   EAN  mà EAN Chứng minh ABJ AEN (c.g.c)  BAJ   NAB   NAJ   AN  AJ Suy N di động đường thẳng qua A  AJ cố đò  90o  BAJ nh ĐÁP ÁN MÔN TOÁN THI THỬ VÀO LỚP 10 HỆ CHUYÊN NĂM 20112012 LƯU HÀNH NỘI BỘ ... chữ số 2 010 chữ số 6.1 chữ số 6.2 chữ số 6.335 chữ số 1 335 6.1 6.2 6.3 6.335 6 6 334  10   10   10    10  1  10 1  (10 )  (10 )   (10 )   3 334 335 334 Với q = 10 có S ... thay vào (2) ta có : x2 + x(x – 1) + (x – 1)2 =  x2 + x2 – x + x2  2x + =  3x2  3x  =  x   105 x   105  (x;y)   105 ; 3  105 (x;y)   105 ; 3  105 (do y = x – ) 6 6 6  Thử lại...TRƯỜNG BỒI DƯỢ NG VĂN HÓA 218 LÝ TỰ TRỌNG, Q.1 ĐIỆN THOẠI: 38 243 243 ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 20112012 MÔN THI: TOÁN HỆ CHUYÊN CÂU (3 điểm) Phương