TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* TRẦN BÍCH NGỌC NGUYÊN LÍ DIRICHLET VÀ ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỔ HỢP KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học HÀ NỘI, 5/2014 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* TRẦN BÍCH NGỌC NGUYÊN LÍ DIRICHLET VÀ ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỔ HỢP KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học Th.S PHẠM THANH TÂM HÀ NỘI, 5/2014 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung đề tài, xin gửi lời cảm ơn tri ân sâu sắc đến thầy giáo Th.S Phạm Thanh Tâm - người bảo hướng dẫn tận tình cho tôi, giúp hoàn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt quý thầy cô giáo khoa Toán tận tình bảo suốt trình học tập khoa Lời cảm ơn chân thành sâu sắc, xin gửi tới gia đình, bạn bè – người động viên giúp đỡ suốt trình học tập trường Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2014 Sinh viên thực Trần Bích Ngọc LỜI CAM ĐOAN Sau thời gian nghiên cứu với cố gắng, nỗ lực thân hướng dẫn, bảo tận tình thầy giáo Th.S Phạm Thanh Tâm hoàn thành khóa luận Tôi xin cam đoan khóa luận thân hoàn thành với hướng dẫn thầy giáo Th.S Phạm Thanh Tâm Hà Nội, tháng năm 2014 Sinh viên thực Trần Bích Ngọc Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Kiến thức 1.1 Nguyên lý Dirichlet 1.2 Nguyên lí Dirichlet mở rộng 1.3 Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp 1.4 Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp 1.5 Nguyên lí Dirichlet vô hạn Ứng dụng nguyên lí Dirichlet học tổ hợp 2.1 Bài toán tô màu hình 2.2 Bài toán diện tích 2.3 Một số tập đề nghị mở rộng 8 9 10 vào số toán hình 11 11 33 52 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 54 Mở đầu Lí chọn đề tài Hình học tổ hợp nhánh thiếu toán tổ hợp nói chung Khác với toán lĩnh vực giải tích hay đại số, toán hình học tổ hợp thường liên quan đến đối tượng tập hữu hạn Những toán hình học tổ hợp thường đa dạng nội dung phương pháp giải Nhiều toán phát biểu đơn giản, với kiến thức phổ thông ta hiểu được, để giải chúng cần hiểu biết sâu sắc kiến thức tổ hợp hình học Sử dụng nguyên lí Dirichlet để giải toán hình học tổ hợp phương pháp hay, nhờ có ứng dụng nguyên lí mà nhiều toán khó lĩnh vực hình học tổ hợp giải cách trọn vẹn Nguyên lí Dirichlet nhà toán học Peter Guster Lijeune Dirichlet (1805-1859) người Đức đưa lần vào năm 1834 Nguyên lí công cụ hiệu sắc bén để chứng minh nhiều kết sâu sắc toán học Nó có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác toán học hình học, đại số, tổ hợp, đặc biệt chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Dùng nguyên lí Dirichlet nhiều trường hợp người ta dễ dàng chứng minh tồn đối tượng với tính chất xác định Sử dụng nguyên lí Dirichlet không đòi hỏi nhiều kiến thức khả tính toán mà chủ yếu đòi hỏi sáng tạo việc đưa mô hình cụ thể linh hoạt cách tư Đó điểm mạnh khó việc ứng dụng nguyên lí Dirichlet vào toán hình học tổ hợp Vì để thấy hay, hiệu làm thành cách thức để vận dụng vào trình giảng dạy sau giúp Khóa luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Hình học em học sinh có phương pháp giải tập hình học tổ hợp hiệu quả, lựa chọn nghiên cứu đề tài "Nguyên lí Dirichlet ứng dụng vào toán hình học tổ hợp" hướng dẫn thầy giáo Th.S Phạm Thanh Tâm Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sở lý luận dựa vào thực tiễn trình giảng dạy môn hình học để tổng hợp đưa ứng dụng nguyên lí Dirichlet vào việc giải toán hình học tổ hợp Đối tượng nghiên cứu Nguyên lí Dirichlet toán hình học tổ hợp có ứng dụng nguyên lí Dirichlet để giải Nhiệm vụ nghiên cứu Nêu nội dung nguyên lí Dirichlet Nêu ứng dụng nguyên lí Dirichlet vào việc giải toán hình học tổ hợp Hệ thống lại số dạng tập có sử dụng nguyên lí Dirichlet để giải Phạm vi nghiên cứu Một số toán hình học tổ hợp giải nguyên lí Dirichlet Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu trao đổi nghiên cứu nhằm đưa nhìn tổng quát nội dung nguyên lí Dirichlet nhận diện tập hình SVTH: Trần Bích Ngọc K36CNT-ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Hình học học giải cách đơn giản nguyên lí Dirichlet Phân tích, tổng hợp hệ thống dạng tập hình học có ứng dụng nguyên lí Dirichlet Giả thuyết khoa học Nếu xác định ứng dụng nguyên lí Dirichlet hệ thống lại dạng tập góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán, đặc biệt môn hình học bồi dưỡng học sinh giỏi SVTH: Trần Bích Ngọc K36CNT-ĐHSP Hà Nội Bố cục khóa luận Chương 1: Kiến thức 1.1 Nguyên lí Dirichlet 1.2 Nguyên lí Dirichlet mở rộng 1.3 Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp 1.4 Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp mở rộng 1.5 Nguyên lí Dirichlet vô hạn Chương 2: Ứng dụng nguyên lí Dirichlet vào số toán hình học tổ hợp 2.1 Bài toán tô màu hình 2.2 Bài toán diện tích 2.3 Một số tập đề nghị Chương Kiến thức Nguyên lí Dirichlet gọi "Nguyên tắc nhốt thỏ vào lồng" "nguyên tắc xếp đồ vật vào ngăn kéo" "nguyên tắc lồng chim bồ câu" biết đến từ lâu Nguyên lí Dirichlet nhà toán học người Đức Peter Guster Lijeune Dirichlet (1805-1859) phát biểu lần vào năm 1834 1.1 Nguyên lý Dirichlet Nếu nhốt n + thỏ vào n chuồng có chuồng chứa hai thỏ Ta phát biểu nguyên lí Dirichlet tổng quát sau: Mệnh đề 1.1.1 Nếu có N đồ vật đặt vào k hộp N tồn hộp chứa đồ vật (Ở đây, x số nguyên k nhỏ có giá trị lớn x) N Chứng minh Giả sử hộp chứa đồ vật Khi k tổng số đồ vật là: k( N N −1) < k = N k k Điều mâu thuẫn với giả thiết có N đồ vật cần xếp Khóa luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Hình học Ta có tất 48×95 = 4560 mảnh có diện tích 200m2 Vì có 4500 gỗ gỗ có đường kính 0,5m (0, < 0, 52 < 0, 6), gỗ chiếm chỗ hai mảnh Theo nguyên lí Dirichlet 60 mảnh (mỗi mảnh có diện tích 200m2 ) mà mảnh gỗ Từ đây, toán chứng minh Bài toán 2.28 Trong hình chữ nhật có kích thước 1×2 ta lấy 6n2 +1 điểm (n số nguyên dương) Chứng minh tồn hình tròn với bán kính chứa không số điểm cho n Chứng minh Ta chia cạnh hình chữ nhật thành n đoạn 2n đoạn nhau, đoạn có độ dài Nối điểm chia n đường thẳng song song với cạnh hình chữ nhật ta n × 2n = 2n2 hình vuông nhỏ với cạnh n 2 Do có 6n + điểm có 2n hình vuông nhỏ nên theo nguyên lí Dirichlet tồn hình vuông chứa √ điểm Vì hình vuông có cạnh nội tiếp đường tròn bán kính đường tròn n 2n chứa đường tròn đồng tâm có bán kính nên ta suy tồn n hình tròn bán kính chứa không số điểm n cho Bài toán 2.29 Trong mặt phẳng cho ba đường tròn có bán kính 0,5 Hỏi ba đường có phủ hết hình vuông có cạnh không? Chứng minh Ta chứng minh toán thông qua việc chứng minh chúng không phủ hết cạnh hình vuông Trước hết ta xét đường tròn C(O, R) góc vuông Axy cho (O, R) cắt hai cạnh Axy M N Ta có: AM + AN = M N (2R)2 = 4R Mặt khác: AM + AN SVTH: Trần Bích Ngọc (AM + AN )2 =⇒ AM + AN 40 √ 2R K36CNT-ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Hình học y N O x A M H 2.19 Trở lại toán, ta dựng đường tròn bán kính 0,5 có tâm đỉnh hình vuông, suy hai đường tròn số chúng có chung nhiều đỉnh Mặt khác, ba đường tròn cho phủ hết bốn đỉnh nên đường tròn ta vẽ chứa tâm hình tròn cho Theo nguyên lí Dirichlet với ba đường tròn bốn điểm tồn điểm tiếp điểm hai đường tròn (trung điểm cạnh) Như ba cạnh hình vuông hoàn toàn chưa bị phủ (tổng độ dài chúng 3) Mà đường tròn√nên theo√nhận xét ban đầu chúng phủ nhiều tổng độ dài: 2R = 2 < Vậy ba đường tròn có bán kính 0,5 không phủ hết hình vuông có cạnh Bài toán 2.30 Cho hình vuông 13 đường thẳng, đường thẳng chia hình vuông thành tứ giác có tỉ số diện tích Chứng minh số 13 đường cho có đường thẳng qua điểm Chứng minh Gọi d đường thẳng chia hình vuông ABCD thành hai tứ giác có tỉ số diện tích Đường thẳng d cắt hai cạnh kề hình vuông (vì cắt cạnh kề hình vuông tạo hai tứ giác) Giả sử d cắt BC AD M N SVTH: Trần Bích Ngọc 41 K36CNT-ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp đại học B J E Chuyên ngành: Hình học C B F E J3 J2 J1 D A A C P F J4 Q D H 2.20 Khi d cắt đường trung bình EF J Theo giả thiết, ta có: SABM N SM CDN AB(M B + AN ) 2 EJ 2 = ⇔ = ⇔ = 3 JF CD(M C + N D) Ở đây, E F trung điểm AB CD tương ứng Gọi P Q tương ứng trung điểm BC AD Gọi J1 , J2 , J3 , J4 điểm cho J1 , J2 nằm EF J3 , J4 nằm P Q thỏa mãn: F J2 P J3 QJ4 EJ1 = = = = J1 F J2 F J3 Q J4 P Khi đó, từ lập luận suy đường thẳng có tính chất thỏa mãn yêu cầu toán phải qua điểm J1 , J2 , J3 , J4 Vì có 13 đường thẳng nên theo nguyên lí Dirichlet tồn đường thẳng qua điểm số điểm J1 , J2 , J3 , J4 Vậy số 13 đường thẳng cho có đường qua điểm, hay chúng đồng quy Từ đây, toán chứng minh Bài toán 2.31 Trong hình vuông cạnh 15 đặt 20 hình vuông nhỏ cạnh đôi không cắt Chứng minh hình SVTH: Trần Bích Ngọc 42 K36CNT-ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Hình học vuông lớn đặt hình tròn bán kính cho không cắt hình vuông Chứng minh Xét hình gồm tất điểm cách hình vuông nhỏ cạnh khoảng không lớn Rõ ràng hình tròn bán kính có tâm nằm hình nên cắt hình vuông nhỏ Diện tích hình + π Tâm hình tròn cần tìm phải cách cạnh hình vuông lớn khoảng lớn 1, tức bên hình vuông cạnh 13 Vì 20(5 + π) < 132 Hình tròn có tâm điểm không bị phủ có tính chất thỏa mãn yêu cầu toán Bài toán 2.32 Cho hình tròn (C) có diện tích 8, ta đặt 17 điểm phân biệt, nằm hình tròn Chứng minh tìm ba điểm tạo thành tam giác có diện tích nhỏ Chứng minh Chia hình tròn (C) thành hình quạt Do đó, hình quạt có diện tích Theo nguyên lí Dirichlet tồn hình quạt (a) chứa ba số 17 điểm cho Tam giác có ba đỉnh ba điểm nằm trọn vẹn hình quạt (a) có diện tích nhỏ diện tích hình quạt, tức nhỏ Vậy ta có điều phải chứng minh Bài toán 2.33 Trong hình vuông có cạnh Cho 33 điểm Chứng minh điểm cho tìm ba điểm lập thành tam giác có diện tích không lớn 32 Chứng minh Chia hình vuông cạnh thành 16 hình vuông nhỏ Theo nguyên lí Dirichlet có hình vuông nhỏ cạnh chứa điểm số 33 điểm cho Ta chứng minh điểm lập thành tam giác có diện tích không lớn 32 SVTH: Trần Bích Ngọc 43 K36CNT-ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp đại học D Chuyên ngành: Hình học E D E A A M K H B H C C B G F G a) b) F H 2.21 Giả sử ba điểm ba điểm A, B, C nằm hình vuông DEF G có cạnh Ta xét trường hợp sau: 1) Có cạnh tam giác nằm cạnh hình vuông Giả sử cạnh AB tam giác nằm cạnh DG hình vuông Kẻ đường cao CH (H.2.21 a) Ta có: SABC = CH.AB CH.DG 1 ED.DG = 32 2) Không có cạnh tam giác nằm cạnh hình vuông Qua B ta kẻ đường thẳng song song với cạnh hình vuông cắt cạnh AC M Gọi AH, CK đường cao tam giác ABM tam giác CBM (H.2.21 b) Ta xét: 1 SABC = AH.BM + CK.BM = BM.(AH + CK) 2 BM.ED 1 DG.ED = 32 Vậy trường hợp có SABC SVTH: Trần Bích Ngọc 44 32 K36CNT-ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Hình học Bài toán 2.34 Cho hình vuông ABCD có cạnh AB = 14cm Trong hình vuông có đánh dấu 76 điểm phân biệt, Chứng minh có số 76 điểm cho nằm đường tròn có bán kính 2cm Chứng minh Chia hình vuông cho thành 25 hình vuông nhỏ 14 có cạnh Do có 76 điểm phân biệt mà có 25 hình vuông nên theo nguyên lí Dirichlet tồn hình vuông nhỏ chứa điểm số 76 điểm Vì hình vuông nội tiếp đường tròn có bán kính: √ 14 7× √ = R= 5× √ 7× Do < nên dĩ nhiên đường tròn đồng tâm với đường tròn có bán kính 2cm Vì vậy, suy tồn hình tròn bán kính 2cm chứa số 76 điểm cho Bài toán 2.35 Cho 1000 điểm M1 , M2 , M1000 mặt phẳng Vẽ đường tròn bán kính tùy ý Chứng minh tồn điểm S đường tròn cho: SM1 + SM2 + + SM1000 1000 Chứng minh Xét đường kính S1 S2 tùy ý đường tròn Ở đây, S1 S2 hai đầu đường kính Vì S1 S2 = nên ta có:     S1 M1 + S2 M1 S1 S2 =         S1 M2 + S2 M2 S1 S2 =            S1 M1000 + S2 M1000 SVTH: Trần Bích Ngọc 45 S1 S2 = K36CNT-ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp đại học M1 Chuyên ngành: Hình học M2 S1 S2 M1000 H 2.22 Cộng vế 1000 bất đẳng thức trên, ta có: (S1 M1 +S1 M2 + .+S1 M1000 )+(S2 M1 +S2 M2 + .+S2 M1000 ) 2000 (2.5) Từ (2.5) theo nguyên lí Dirichlet suy hai tổng vế trái (2.5) có tổng lớn 1000 Giả sử (S1 M1 + S1 M2 + + S1 M1000 ) 1000 Khi lấy S ≡ S1 ta có điều phải chứng minh Bài toán 2.36 Trong tam giác có cạnh lấy 17 điểm Chứng minh 17 điểm có điểm mà khoảng cách chúng không vượt Chứng minh Ta chia tam giác thành 16 tam giác có cạnh Do có 17 điểm mà lại có 16 tam giác cạnh nên theo nguyên lí Dirichlet tồn tam giác có cạnh chứa điểm số 17 điểm cho Khoảng cách điểm không vượt Ta chứng minh khoảng cách hai điểm tam giác không lớn cạnh tam giác Ta kí hiệu điểm K , L nằm tam giác ABC Khi ta có: KAL < 60o Một hai góc lại tam giác KAL không nhỏ 60o Chẳng hạn ALK 60o ⇒ AK > KL SVTH: Trần Bích Ngọc 46 K36CNT-ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Hình học Gọi E giao AK với BC Ta có: AE > AK Trong tam giác BAE có AEB 60o (vì góc tam giác ACE ) nên AB > AE Ta có điều phải chứng minh Bài toán 2.37 Cho hình vuông cạnh 10 Bên hình vuông ta đánh dấu 201 điểm bất kì, phân biệt Chứng minh tìm tam giác mà đỉnh điểm đánh dấu có diện tích không lớn (Nếu ba điểm đánh dấu thẳng hàng ta coi tam giác tạo ba điểm có diện tích 0) Chứng minh Ta chia hình vuông ban đầu thành 100 hình vuông nhỏ đường thẳng song song với hai cạnh liên tiếp hình vuông Mỗi hình vuông nhỏ có cạnh Vì điểm đánh dấu nằm hình vuông ban đầu nên điểm phải thuộc vào hình vuông nhỏ Do có 201 điểm nên theo nguyên lí Dirichlet có hình vuông nhỏ chứa không điểm Giả sử A, B, C ba điểm thuộc hình vuông M N P Q có M N = Tương tự toán 2.33, ta dễ dàng chứng minh tam giác ABC có SABC Bài toán 2.38 Cho hình bình hành ABCD, kẻ 17 đường thẳng cho đường thẳng chia ABCD thành hình thang có tỉ số diện tích Chứng minh 17 đường cho có đường đồng quy Chứng minh Gọi M, Q, N, P trung điểm AB , BC , CD, DA Do ABCD hình bình hành nên ta có: M N//AD//BC P Q//AB//CD Gọi d 17 đường cho Nếu d ∩ AB = E , d ∩ CD = F , d ∩ P Q = L LP, LQ đường trung bình hình thang AEF D, EBCF SVTH: Trần Bích Ngọc 47 K36CNT-ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp đại học Ta có: Chuyên ngành: Hình học SAEF D = SEBCF SEBCF = SAEF D Suy ra: LP = LQ LQ = LP Trên P Q lấy L1 , L2 thỏa mãn L2 Q L1 P = = L1 Q L2 P Khi đó, L ≡ L1 L ≡ L2 Nghĩa d ∩ AB d ∩ CD d phải qua L1 L2 Tương tự, M N lấy K1 , K2 thỏa mãn: K1 M K2 N = = K1 N K2 M Do d cắt AD BC d phải qua K1 K2 Như vậy, đường 17 đường cho phải qua điểm L1 , L2 , K1 , K2 Theo nguyên lí Dirichlet 17 đường có đường thẳng qua điểm bốn điểm L1 , L2 , K1 , K2 hay đường thẳng đồng quy Bài toán 2.39 Bên hình tròn bán kính lấy 10 điểm Chứng minh tồn điểm có khoảng cách nhỏ Chứng minh Đầu tiên ta nghĩ đến việc chia hình tròn thành hình quạt nhau, cách chia không giải toán tồn hai điểm hình quạt có khoảng cách lớn Từ nhận thấy không cần phải chia hẹp dài thế, ta chia sau: SVTH: Trần Bích Ngọc 48 K36CNT-ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Hình học C A O B D H 2.23 Một hình tròn bán kính đồng tâm với hình tròn cho hình vành khăn (H 2.23) Theo nguyên lí Dirichlet tồn hai điểm thuộc phần Nếu hai điểm thuộc hình tròn bán kính ta có điều phải chứng minh Nếu hai điểm thuộc hình vành khăn, ta chứng minh khoảng cách lớn hai điểm thuộc hình vành khăn M ax{CD, AD, AC} Dễ dàng có: AC = < AD2 = OA2 + OD2 − 2.OA.OD.cos45o =⇒ AD < CD2 = OC + OD2 − 2.OC.OD.cos45o =⇒ CD < Vậy ta có điều phải chứng minh Bài toán 2.40 Trong hình vuông có diện tích ta đặt ba đa giác có diện tích Chứng minh tìm hai đa giác mà diện tích phần chung chúng không nhỏ Chứng minh Gọi ba đa giác M1 , M2 , M3 Kí hiệu |A| diện tích hình phẳng A SVTH: Trần Bích Ngọc 49 K36CNT-ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Hình học M2 M1 M3 H 2.24 Khi ta có: |M1 ∪ M2 ∪ M3 | = |M1 | + |M2 | + |M3 | − (|M1 ∩ M2 | + |M2 ∩ M3 | +|M3 ∩ M1 |) + (|M1 ∩ M2 ∩ M3 |) (2.6) Theo giả thiết ta có: |M1 | = |M2 | = |M3 | = (2.7) Để ý M1 ∪ M2 ∪ M3 nằm hình vuông có diện tích 6, nên từ (2.6) (2.7) ta có bất đẳng thức sau: − (|M1 ∩ M2 | + |M2 ∩ M3 | + |M3 ∩ M1 | + |M1 ∩ M2 ∩ M3 |) Hay: |M1 ∩ M2 | + |M2 ∩ M3 | + |M3 ∩ M1 | ≥ + |M1 ∩ M2 ∩ M3 | (2.8) Do |M1 ∩ M2 ∩ M3 | ≥ nên từ (2.8) ta có: |M1 ∩ M2 | + |M2 ∩ M3 | + |M3 ∩ M1 | ≥ SVTH: Trần Bích Ngọc 50 (2.9) K36CNT-ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Hình học Từ (2.9) theo nguyên lí Dirichlet suy tồn ba số |M1 ∩ M2 |, |M2 ∩ M3 |, |M3 ∩ M1 | lớn Không giảm tổng quát, giả sử |M1 ∩ M2 | ≥ Điều nghĩa hai đa giác M1 M2 có diện tích phần chung chúng không nhỏ Từ toán chứng minh SVTH: Trần Bích Ngọc 51 K36CNT-ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp đại học 2.3 Chuyên ngành: Hình học Một số tập đề nghị Bài toán 2.41 Cho 17 điểm Mỗi đoạn thẳng nối hai điểm chúng tô ba màu: xanh, đỏ, vàng Chứng minh tồn tam giác đồng màu Bài toán 2.42 Cho đa giác 1999 cạnh Người ta sơn đỉnh đa giác hai màu xanh đỏ Chứng minh phải tồn đỉnh sơn màu tạo thành tam giác cân Bài toán 2.43 Trong hình tròn diện tích S lấy 1995 điểm Chứng minh có điểm tạo thành tam giác có diện tích nhỏ 997 Bài toán 2.44 Trên mặt phẳng cho 2005 điểm, biết nhóm ba điểm điểm chọn điểm có khoảng cách bé Chứng minh điểm có 1003 điểm nằm đường tròn có bán kính Bài toán 2.45 Bên tam giác ABC cạnh đặt điểm Chứng minh năm điểm có hai điểm mà khoảng cách chúng không vượt 0,5 Bài toán 2.46 Trong hình vuông đơn vị (cạnh 1) cho 101 điểm bất kì, phân biệt Chứng minh có số 101 điểm nằm hình tròn có bán kính SVTH: Trần Bích Ngọc 52 K36CNT-ĐHSP Hà Nội KẾT LUẬN Trên ứng dụng tiêu biểu nguyên lý Dirichlet vào giải toán hình học tổ hợp Trong khuôn khổ giới hạn đề tài, không đưa khái niệm, định lý, tính chất mà trình bày nội dung thuộc đề tài dạng tập minh họa Một lần xin chân thành cảm ơn thầy giáo Th.S Phạm Thanh Tâm tận tình hướng dẫn, thư viện trường Đại học sư phạm Hà Nội giúp tìm tài liệu hoàn thành khóa luận Đây bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học nên nhiều bỡ ngỡ, đồng thời thời gian kiến thức hạn chế nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót, mong nhận nhiều ý kiến đóng góp quý báu thầy giáo, cô giáo bạn đọc để khóa luận hoàn thiện Tôi xin trân trọng cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Hữu Điển (2005), Một số chuyên đề hình học tổ hợp, Nxb Giáo dục, Hà Nội [2] Nguồn Internet [...]... táo Nguyên lí Dirichlet mở rộng cho trường hợp vô hạn này cũng đóng vai trò hết sức quan trọng trong lí thuyết số nói riêng và toán học rời rạc nói chung SVTH: Trần Bích Ngọc 10 K36CNT-ĐHSP Hà Nội 2 Chương 2 Ứng dụng nguyên lí Dirichlet vào một số bài toán hình học tổ hợp Chương này dành để trình bày phương pháp sử dụng nguyên lí Dirichlet để giải các bài toán hình học tổ hợp, nguyên lí Dirichlet áp dụng. .. trên mặt phẳng nếu như tồn tại hình tròn tâm P bán kính đủ bé sao cho hình tròn này nằm trọn trong A Nguyên lí Dirichlet cho diện tích còn được dùng để chứng minh cho một định lí có rất nhiều ứng dụng quan trọng trong hình học, đó là định lí Bloophelt Bài toán 2.21 (Định lí Bloophelt) Cho A là một hình trong mặt phẳng thỏa mãn điều kiện S(A) > 1, (S(A) là diện tích của hình A) Khi đó, tồn tại một phép... luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Hình học màu đỏ Nếu ta lí luận tương tự cho đỉnh T thì cũng chỉ ra rằng tồn tại hai tam giác đồng màu khác tam giác P QR bằng việc loại trừ khi T P , T Q, T R xanh, còn T S và T U là đỏ Trong trường hợp đó, tam giác ST U là đỏ Từ đó bài toán đã được chứng minh Bài toán 2.3 Từ bài toán 2.1 ta đưa ra một ví dụ minh họa đẹp mắt cho bài toán như sau: chứng minh rằng từ... thẳng, diện tích các hình phẳng hay được sử dụng đến trong nhiều bài toán hình học tổ hợp 2.1 Bài toán tô màu hình Bài toán 2.1 Trong mặt phẳng cho 6 điểm, không có ba điểm nào thẳng hàng Mỗi đoạn thẳng nối từng cặp điểm được bôi màu đỏ hoặc xanh Chứng minh rằng tồn tại ba điểm trong số sáu điểm đã cho, sao cho chúng là các đỉnh của một tam giác mà các cạnh của nó được bôi cùng một màu Chứng minh Xét A là... của B Chứng minh Với mọi tập con C gồm một phần tử của B (C ⊂ B) thì S(C) = 1 Ta có: S(C) = 1 ≤ S(B) suy ra S(A) > k.S(C) = k Hay S(A) ≥ k + 1 Suy ra tồn tại ít nhất k + 1 phần tử của A tương ứng với một phần tử của B Vì C là tập bất kì nên nguyên lí được chứng minh Chú ý: Khi k = 1, ta có ngay lại nguyên lí Dirichlet 1.5 Nguyên lí Dirichlet vô hạn Nếu chia một tập hợp vô hạn các quả táo vào hữu... dạng và bài toán cũng được chứng minh Vậy luôn tồn tại hình chữ nhật thỏa mãn điều kiện đề bài Bài toán 2.8 Trên mặt phẳng cho 18 điểm, sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng Nối từng cặp điểm với nhau và tô màu cho mọi đoạn thẳng thu được một trong hai màu xanh và đỏ Chứng minh rằng luôn tìm được một tứ giác mà các đỉnh của nó nằm trong tập điểm đã cho sao cho cạnh và đường chéo của nó cùng màu Chứng... K36CNT-ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Hình học khác nhau Chứng minh rằng tất cả 10 cạnh ở đáy trên và đáy dưới đều có cùng một màu Chứng minh Trước tiên, ta chứng minh rằng tất cả các cạnh A1 A2 , A2 A3 , A3 A4 , A4 A5 , A5 A1 đều có cùng một màu Chứng minh bằng phản chứng Giả sử ngược lại, có các cạnh A1 A2 màu đỏ và A2 A3 màu xanh Theo nguyên lí Dirichlet thì trong số 5 đoạn thẳng... 1) Với n = 2 ta có u2 = 2u1 − 1 + 1 Ta có bài toán với sáu điểm và dùng hai màu (Giải như bài toán 2.1) Vậy kết luận bài toán đúng với n = 2 2) Giả sử kết luận của bài toán đúng với n, tức là nếu tập M gồm un điểm sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng và dùng n màu để SVTH: Trần Bích Ngọc 25 K36CNT-ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Hình học tô các đoạn thẳng Khi đó tồn tại tam... chứng tỏ có ít nhất một chuồng có m con thỏ đó suy ra tổng số con thỏ không vượt quá m 1.3 Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp Mệnh đề 1.3.1 Cho A và B là hai tập hợp khác rỗng Kí hiệu S(A), S(B) lần lượt là số lượng phần tử của A và B , với S(B) < S(A) < +∞ Khi đó, xét ánh xạ f , với: f : A −→ B a −→ f (a) = b ∈ B thì tồn tại a ∈ A, a = a sao cho: f (a ) = f (a) = b 1.4 Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp. .. đại học 1.2 Chuyên ngành: Hình học Nguyên lí Dirichlet mở rộng Mệnh đề 1.2.1 Nếu nhốt n con thỏ vào m ≥ 2 cái chuồng thì tồn n+m−1 tại một chuồng có ít nhất con thỏ, ở đây kí hiệu [α] để m chỉ phần nguyên của số α Chứng minh Giả sử trái lại, mọi chuồng thỏ không có đến n+m−1 n−1 n−1 = +1 = +1 m m m con, thì số thỏ mỗi chuồng đều nhỏ hơn hoặc bằng n−1 con Từ m n−1 ≤ n − 1 con (vô m n+m−1 lí) Điều vô lí ... dựa vào thực tiễn trình giảng dạy môn hình học để tổng hợp đưa ứng dụng nguyên lí Dirichlet vào việc giải toán hình học tổ hợp Đối tượng nghiên cứu Nguyên lí Dirichlet toán hình học tổ hợp có ứng. .. hợp 1.4 Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp mở rộng 1.5 Nguyên lí Dirichlet vô hạn Chương 2: Ứng dụng nguyên lí Dirichlet vào số toán hình học tổ hợp 2.1 Bài toán tô màu hình 2.2 Bài toán diện tích... dụng nguyên lí Dirichlet để giải toán hình học tổ hợp, nguyên lí Dirichlet áp dụng cho độ dài đoạn thẳng, diện tích hình phẳng hay sử dụng đến nhiều toán hình học tổ hợp 2.1 Bài toán tô màu hình