LỜI CẢM ƠN Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan, người tận tình giúp đỡ bảo cung cấp cho tơi kiến thức tảng để tơi hồn thành luận văn Cô người giúp tơi ngày tiếp cận có niềm say mê khoa học suốt thời gian làm việc Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới thầy, cơng tác phịng sau Đại Học, Khoa Vật Lý Trường Đại học sư phạm Hà Nội Giáo sư, Tiến sĩ trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho kiến thức quý báu chuyên môn kinh nghiệm nghiên cứu khoa học thời gian qua Cuối cùng, xin chân thành gửi lời cảm ơn đến người thân gia đình, bạn bè ln giúp đỡ, động viên tạo điều kiện cho suốt q trình học tập hồn thiện luận văn Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Tác giả Bùi Thị Thu Phương LỜI CAM ĐOAN Tên là: Bùi Thị Thu Phương, học viên cao học khóa 2010 – 2012 chuyên nghành Vật lý lý thuyết vật lý toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tôi xin cam đoan đề tài: “Trạng thái kết hợp dao động tử paraboson biến dạng gˆ ”, kết nghiên cứu, thu thập riêng Các luận cứ, kết thu đề tài trung thực, khơng trùng với tác giả khác Nếu có khơng trung thực luận văn tơi xin hồn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Tác giả Bùi Thị Thu Phương MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc luận văn NỘI DUNG Chương 1: Dao động tử biến dạng gˆ 1.1 Dao động tử biến dạng gˆ 1.1.1 Mở rộng lý thuyết biến dạng q thành lý thuyết biến dạng gˆ 1.1.2 Hệ dao động tử biến dạng gˆ tính chất 1.2 So sánh dao động tử biến dạng gˆ dao động tử biến dạng q 1.2.1 Định nghĩa tính chất 1.2.2 Tính nhân biến trường biến dạng gˆ Chương 2: Dao động tử paraboson biến dạng gˆ 15 2.1 Dao động tử paraboson biến dạng gˆ 15 2.1.1 Dao động tử paraboson 15 2.1.2 Dao động tử paraboson biến dạng gˆ 20 2.2 Phân bố thống kê dao động tử paraboson biến dạng gˆ 21 2.2.1 Thống kê para – bose 21 2.2.2 Phân bố thống kê dao động tử paraboson biến dạng gˆ 24 Chương 3: Trạng thái kết hợp dao động tử paraboson biến dạng gˆ 26 3.1 Trạng thái kết hợp dao động tử lượng tử 26 3.1.1 Định nghĩa trạng thái kết hợp 26 3.1.2 Các tính chất trạng thái kết hợp 27 3.2 Trạng thái kết hợp dao động tử có thống kê para 35 3.3 Trạng thái kết hợp dao động tử paraboson biến dạng q tổng quát 40 3.3.1 Dao động tử paraboson biến dạng q phân bố thống kê 40 3.3.2 Trạng thái kết hợp dao động tử paraboson biến dạng q tổng quát 42 3.4 Trạng thái kết hợp dao động tử paraboson biến dạng gˆ 44 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong lịch sử vật lý, nhà khoa học nhiều lần biến dạng quy luật vật lý để tạo nên lý thuyết đáp ứng nhu cầu nghiên cứu Lý thuyết biến dạng tổng quát chứa lý thuyết ban đầu trường hợp giới hạn tham số biến dạng tiến đến giá trị đặc biệt Lý thuyết biến dạng nhà vật lý đặc biệt quan tâm ứng dụng vật lý đa dạng, nghiên cứu nghiệm phương trình Yâng-Bascter lượng tử, lý thuyết trường conformal hữu tỉ, lý thuyết trường hai chiều với thống kê phân số, lý thuyết siêu đối xứng, Những năm gần đây, hướng phát triển biến dạng lượng tử vật lý lượng tử thu hút quan tâm nghiên cứu nhà vật lý lý thuyết biến dạng tham số trở thành toán tử Lý thuyết biến dạng có nhiều ưu so với lý thuyết biến dạng tham số c-số Trong thời gian gần đây, nghiên cứu dao động tử điều hòa biến dạng quan tâm nhiều tầm quan trọng việc nghiên cứu thống kê trung gian Đồng thời từ năm 50, Green quan sát nhiều loại hạt không tuân theo thống kê Fermi hay Bose thông thường chúng lập nên số lượng lớn thống kê gọi thống kê para Dao động tử có thống kê para-bose gọi dao động tử paraboson, xem biến dạng dao động tử boson Trong lý thuyết biến dạng lượng tử tham số trở thành toán tử, hệ dao động tử biến dạng gˆ , tức hạt guon dao động tử paraboson biến dạng gˆ quan tâm nghiên cứu Trạng thái kết hợp có vai trị quan trọng quang học, vật lý chất rắn, vật lý hạt lý thuyết lượng tử Do việc mở rộng tìm hiểu trạng thái kết hợp cho thống kê khác hai thống kê biết cần thiết Đề tài: “Trạng thái kết hợp dao động tử paraboson biến dạng gˆ ” nghiên cứu cách có hệ thống lý thuyết biến dạng gˆ , đặc biệt dao động tử paraboson biến dạng gˆ trạng thái kết hợp chúng Mục đích nghiên cứu - Trên sở lý thuyết biến dạng q, xây dựng lý thuyết biến dạng gˆ - Xây dựng phân bố thống kê para-bose biến dạng gˆ - Tính số hạt trung bình, xác suất để trạng thái kết hợp dao động tử paraboson gˆ biến dạng trạng thái n hạt Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu dao động tử paraboson biến dạng gˆ , hệ thức giao hoán, hàm phân bố trạng thái kết hợp cho dao động tử paraboson biến dạng gˆ Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Dao động tử paraboson - Dao động tử paraboson biến dạng tham số biến dạng c-số trở thành toán tử Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp lý thuyết nhóm đối xứng - Phương pháp giải tích tốn học - Phương pháp lý thuyết trường lượng tử Cấu trúc luận văn Luận văn gồm ba chương: Chương 1: Dao động tử biến dạng gˆ Chương 2: Dao động tử paraboson biến dạng gˆ Chương 3: Trạng thái kết hợp dao động tử paraboson biến dạng gˆ NỘI DUNG CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG gˆ Trong chương giới thiệu khái niệm dao động tử biến dạng gˆ , nhu cầu mở rộng biến dạng q thành biến dạng gˆ hệ thức giao hoán lý thuyết biến dạng gˆ So sánh dao động tử biến dạng gˆ dao động tử biến dạng q cho thấy rõ ưu lý thuyết biến dạng gˆ so với lý thuyết biến dạng q vật lý lượng tử 1.1 Dao động tử biến dạng gˆ 1.1.1 Mở rộng lý thuyết biến dạng q thành lý thuyết biến dạng gˆ Từ lý thuyết biến dạng q cho dao dộng tử boson fermion đơn mode (gọi hạt hạt quon) [8, 9], ta mở rộng cho hệ thống hạt quon đa mode xác định hệ thức giao hoán: a ia +j - qa +j a i = dij (1.1) Hệ thức (1.1) gọi đại số quon Hệ thức xem phép nội suy thống kê Bose Fermi q chạy từ đến -1 trục thực Thật vậy: - Khi q = : phương trình (1.1) trở thành a ia +j - a +j a i = dij Khi thống kê biến dạng q trở thống kê Bose-Einstein - Khi q = -1 : phương trình (1.1) trở thành a ia +j + a +j a i = dij Khi thống kê biến dạng q trở thống kê Fermi-Dirac Hệ hạt quon đơn mode phát triển lý thuyết nhóm lượng tử biến dạng SU(2) lần đầu đề cập đến Biedenharn Macfarlane [7] Khi nghiên cứu lý thuyết biến dạng q, thấy có khác biệt hệ hạt quon đơn mode đa mode Thật vậy, trường hợp hạt quon đơn mode tức dao động tử boson (fermion) biến dạng q mode khác ( i ¹ j ) giao hốn (phản giao hốn) với Trong hệ hạt quon đa mode giao hoán với theo “kiểu q” tức chúng thỏa mãn (1.1) Hơn trường hợp đại số quon khơng có quy luật giao hốn áp đặt a i , a j a i+ , a +j mode khác Tức thống kê biến dạng q khơng có liên quan toán tử a ( a + ) mode khác hệ đa mode, tức biểu diễn chúng hệ thức giao hoán kiểu q Thật vậy, giả sử ta có hệ thức giao hoán: a i+ a +j - ba +j a i+ = (1.2) Trong b số Khi trạng thái s xác định hệ thức: s = ( a i+ a +j - ba +j a i+ ) = (1.3) Vì a i , a j tốn tử hủy dao động nên: a i = 0, a j = Như tác động lên trạng thái s lưu ý đến công thức (1.1) : = a i s = (a i a i+ a +j - ba i a +j a i+ ) = éë(1 + qa i+ a i )a +j - b(qa +j a j )a i ùû = (a +j + qa i+ a i a +j - b qa +j a i a i+ ) (1.4) = éëa +j + qa i+ (qa +j a i ) - b qa +j (1 + qa i+ a i ) ùû = (1 - b q)a +j Từ suy ra: - bq = (1.5) Tương tự ta đem a j tác động lên trạng thái s ta được: = a j s = (q - b)a i+ (1.6) q -b = (1.7) Suy ra: Các phương trình (1.5) (1.7) đồng thời thỏa mãn q = tức q = ±1 Nhưng hệ thức giao hốn tốn tử sinh, hủy khơng kiểu q mà giao hốn tử bình thường Chỉ có đường để vượt qua khó khăn [17], thay c-số q toán tử gˆ Khi từ (1.3) ta có: b = gˆ = 1, (1.8) điều không yêu cầu gˆ = ±1 Như vậy, tham số biến dạng trở thành toán tử quy luật giao hoán toán tử a i+ a +j aj thống theo kiểu gˆ 1.1.2 Hệ dao động tử biến dạng gˆ tính chất Hệ giao động tử biến dạng gˆ gọi hạt guon, chúng định nghĩa thông qua hệ thức: ˆ +j a i = dij a i a +j - ga (1.9) ˆ +j a i+ = a i+ a +j - ga (1.10) Từ phương trình (1.9), ta lấy liên hiệp hecmit ta được: a ja i+ - a i+ a jgˆ + = dij (1.11) ˆ i+ a j a i+ a jgˆ + = ga (1.12) Do i, j nên: Giả sử gˆ toán tử hermitic, tức gˆ = gˆ + Thì phương trình (1.12) trở thành: ˆ +j a i a i+ a jgˆ = ga (1.13) Þ éëgˆ ,a i+ a j ùû = (1.14) Do i, j nên làm tương tự thu hai khả năng: ˆ i ] = éëg,a ˆ i+ ùû = [g,a (1.15) ˆ i } = {g,a ˆ i+ } = {g,a (1.16) Hệ thức lần đưa Wu Sun [32] Ta định nghĩa giao hoán tử kiểu gˆ sau: ˆ [ A,B]gˆ = AB - gBA (1.17) Khi ta định nghĩa thống kê biến dạng gˆ thơng qua hệ thức giao hoán kiểu gˆ sau: éëa i ,a +j ùû = dij gˆ , éëa i+ ,a +j ùû ˆ = g (1.18) Trong tốn tử gˆ hermitic unitary: gˆ = gˆ + gˆ = (1.19) ˆ i ] = éëg,a ˆ i+ ùû = [g,a (1.20) , Và gˆ giao hoán với toán tử a i , a i+ : Đặt toán tử N i = a i+ a i , ta tính hệ thức giao hoán N i a j ,a +j Tính hệ thức giao hốn Ni aj ta có: éë N i ,a j ùû = éëa i+ a i ,a j ùû = a i+ a ia j - a ja i+ a i (1.21) Từ (1.18) ta có: éëa i ,a j ùû = gˆ ˆ ja i Þ a ia j = ga éëa j ,a i+ ùû = d ji gˆ ˆ i+ a j Þ a ja i+ = d ji + ga (1.22) 35 Thay r = t, 2rdr = dt , ta viết lại tích phân: ¥ ị rdre r - r 2n ¥ = ị e- t t n dt = G ( n + 1) = n! Từ tìm biểu thức phân giải đơn vị trạng thái kết hợp: 1 d z z z = n n pn! = å n n = I å pò p n n! n Trạng thái kết hợp không độc lập tuyến tính mà khai triển cách phụ thuộc tuyến tính vào trạng thái kết hợp khác hệ Từ biểu thức (3.35) khai triển trạng thái kết hợp hệ thông qua trạng thái kết hợp khác 2 - ( z + z¢ )+ z(z¢ )* 2 z¢ = ị d z z z z¢ = ị d z z e p£ p£ (3.37) Như tập hợp trạng thái kết hợp không gian Fock lập thành hệ đủ 3.2 Trạng thái kết hợp dao động tử có thống kê para Dao động tử paraboson bậc p định nghĩa thơng qua hệ thức giao hốn: éëa,a + ùû = + ( p - 1)( -1) , [a, N ] = a N (3.38) N tốn tử số có dạng: N= 1 a,a + } - p { 2 (3.39) Đại số (3.38) thực khơng gian Fock với sở vector riêng chuẩn hóa toán tử số hạt N: n = n a+ ) ( n ( p) ! (3.40) 36 n ( p ) ! = 1( p ) 2( p ) n ( p ) với: ìn n ( p) = í ỵn + p - n = 2k n = 2k + , (k Ỵ ¢ + ) (3.41) Tốn tử tọa độ Q xung lượng P định nghĩa thơng qua tốn tử sinh, hủy hạt a + ,a : æ h + Q=ỗ ữ (a + a ), ố 2mw ứ ổ hmw + P=ỗ ữ ( a - a ) è ø Ta có hệ thức giao hốn P Q: ih + éëa + a,a + - a ùû ih éëa + ,a ùû - éëa,a + ùû = = -ih éëa,a + ùû [ P,Q] = - ( ( ) (3.42) ) = -ih + ( p - 1)( -1) N Để thuận tiện sử dụng, thay đại lượng P, Q đại lượng không thứ ngun: % = ỉ mw Q = ( a + + a ) , Q ç ÷ è 2h ø -1 i P% = ( 2mhw) P = ( a + - a ) (3.43) Trạng thái kết hợp z dao động tử paraboson xác định trạng thái riêng toán tử hủy dao động tử a: a z =z z với dạng khai triển z : z = C(z)e za + ( p) ¥ = C(z)å n =0 zn n n (p) ! (3.44) 37 Từ điều kiện chuẩn hóa z z = tính hệ số khai triển C(z) sau: = C(z) ¥ ¥ åå n =0 m =0 (z ) * m zn n ( p ) !m( p ) ! mn 2n ¥ z = C(z) å n =0 n ( p ) ! 2 = C(z) e( p ) C(z) = Suy ra: z e (3.45) z (p) Với hàm mũ para xác định qua cơng thức: ¥ e x ( p) xn =å n =0 n ( p ) ! (3.46) Do trạng thái kết hợp dao động tử paraboson là: ỉ ¥ z 2n z = ỗồ ữ ỗ n =0 n ( p ) ! ữ ố ứ -1 Ơ n =0 ổ Ơ z 2n z n = ỗồ ữ ỗ n =0 n ( p ) ! ữ n (p) ! è ø n -1 + e(zap ) (3.47) Tính độ lệch tồn phương (phương sai) toán tử tọa độ xung lượng trạng thái kết hợp z Ta có: az z a+ =z z Þ z a z = z2 , = z* z Þ z ( a + ) z = ( z* ) , z a + a z = z z *z z 2 (3.48) Þ z a +a z = z Do đó: % =Q %- Q % DQ 1 = (a+ + a ) - z a+ + a z 2 + = ( a + a ) - ( z + z* ) 2 (3.49) 38 Tương tự ta tính được: i i DP% = P% - P% = ( a + - a ) - ( z* - z ) 2 (3.50) Do độ lệch tồn phương chúng trạng thái kết hợp z là: ( ) % z DQ ) ( (3.51) ) z ( a + - a ) - ( z - z* ) z 2 = éê z ( a + - a ) z - z ( z - z* ) z ùú û 4ë = z éëa,a + ùû z z ( DP% ) z = ( z ( a + + a ) - ( z + z* ) z 2 = éê z ( a + + a ) z - z ( z + z* ) z ùú û 4ë = z éëa,a + ùû z z = (3.52) Từ ta thấy: ( ) % z DQ z = z ( DP% ) z = z éëa,a + ùû z N = z + ( p -1)( -1) z N = + ( p -1) z ( -1) z 2n ¥ z 1ổ n = ỗ1 + ( p -1) C ( z ) -1) ữ ( ữ ỗố n =0 n ( p ) ! ø -1 2 1ổ = ỗ1 + ( p -1) e(zp ) e(zp ) ÷ 4è ø ( ) (3.53) ( ) Đặt: ( ) æ z F = ç1 + ( p - 1) e( p ) è -1 -z e( p ) ÷ ø (3.54) Khi phương trình (3.53) trở thành: ( ) % z DQ 2 z = z ( DP% ) z = F (3.55) 39 Giá trị F gọi giới hạn Shot Noise dao động tử paraboson Do hệ thức bất định tọa độ xung lượng trạng thái kết hợp có dạng: ( DQ% ) ( DP% ) 2 = F 16 (3.56) Mà độ lệch toàn phương trạng thái Fock n có dạng: ( ) n = n ( DP% ) % ) z z ( DP% ) z ( DQ % n DQ Þ 2 2 ( 2n + p ) , z = ( 2n + p ) 16 n = (3.57) Trường hợp đặc biệt trạng thái chân không : ( ) % DQ 2 p = ( DP% ) = Nhận xét: Từ (3.55) ta thấy giới hạn Shot Noise bất thường F (3.58) ln lớn giới hạn Shot Noise bình thường với p > F > Đối với trạng thái kết hợp xác định giới hạn tăng lên bậc thống kê para tăng Số hạt trung bình trạng thái kết hợp tìm là: z a + a + aa + - p z 2 = z + z éëa,a + ùû z - p 2 = z -p+F p - æ - z z -1 ö =z + e - 1ữ ỗe ố ( p) (p) ứ zNz = ( ( ) ) (3.59) ( ) Xác suất để trạng thái kết hợp trạng thái có n hạt là: Wn = n z Mà tích vơ hướng trạng thái Fock trạng thái kết hợp là: (3.60) 40 ¥ n z = n C(z) å m=0 zm zn m = C(z) m( p )! n (p) ! (3.61) Nên ta thu được: 2n Wn = C ( z ) 2n z z = z2 n (p) ! e n (p) ! (3.62) (p) Với p = 1, thay vào (3.56), (3.59) (3.62) ta thu kết quen thuộc trạng thái kết hợp dao động tử boson thông thường ( ) % z DQ z z ( DP% ) z = zNz =z , , 16 (3.63) 2n Wn = n z = z z e n! ( p) Trong trạng thái kết hợp đại lượng z , z N z tăng theo bậc p thống kê para Hệ thức (3.59) đặc trưng z trạng thái kết hợp bất thường nhỏ số hạt trung bình khác biệt tăng theo bậc thống kê para 3.3 Trạng thái kết hợp dao động tử paraboson biến dạng q tổng quát 3.3.1 Dao động tử paraboson biến dạng q phân bố thống kê Ta biết q-số tương ứng với số thông thường x định nghĩa: [ x ]q = qx - q-x q - q -1 (3.64) Với q tham số, x số toán tử (c) Thay cho số tự nhiên, ta sử dụng q-số [ n ]q để thu hệ thức trường hợp biến dạng dao động tử paraboson: n (c) (c) ü ì aa + n = í[ n + 1]q + é1 + ( -1) ù [ p - 1]q ý n ỷ 2ở ợ ỵ (3.65) 41 n (c) ü ì (c) a + a n = í[ n ]q + é1 + ( -1) ù [ p - 1]q ý n û 2ë ỵ þ (3.66) Từ chứng tỏ khơng gian Fock với sở vector trạng thái riêng n tốn tử N ta có: n (c) ( c) aa + = [ N + 1]q + é1 + ( -1) ù [ p - 1]q û 2ë n (c) (c) aa + = [ N ]q + é1 + ( -1) ù [ p - 1]q û 2ë (3.67) Hệ dao động tử paraboson biến dạng q đặc trưng hệ thức giao hoán: (c) (c) (c) éëa,a + ùû = [ N + 1]q - [ N ]q + ( -1) [ p - 1]q N (3.68) Và vector trạng thái riêng chuẩn hóa: n = (a ) + n (c) éë n (p) ùû ! q (3.69) đó: (c) én (p) ù ë ûq ì [ n ]( c ) , n = 2k q ï =í c ; kẻÂ ( ) (c) n p , n = 2k + ïỵ[ ]q [ ]q (c) é n ( p ) ù ! = [1]( c ) [ 2]( c ) [3]( c ) [ n ]( c ) q q q q ë ûq Từ (3.67) ta tính phân bố thống kê dao động tử paraboson biến dạng q sau: c ì [ p - 1](q ) üï ï a a = ( e - 1) í 2bw + 2bw ý c bw 1+ c e e q + q e + q ( ) ùợ ùỵ + bw (3.70) Khi p = -1 ta thu phân bố thống kê dao động tử paraboson thông thường: 42 + a a = + p ( ebw - 1) (3.71) e2bw - Khi p = ta lại thu phân bố thống kê hệ dao động tử biến dạng q tổng quát: ebw - a a = 2bw e - ( q + q c ) ebw + q1+c + (3.72) Đặc biệt p = 1,c = -1 ta thu hệ dao động tử boson biến dạng q thông thường: a +a = ebw - e 2bw - ( q + q -1 ) ebw + (3.73) Cịn c ® 0,q ® lại thu thống kê vô hạn: a + a = e -bw (3.74) 3.3.2 Trạng thái kết hợp dao động tử paraboson biến dạng q tổng quát Trạng thái kết hợp z thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị riêng tốn tử hủy dao động có dạng: ¥ z = C(z) å zn ( a + ) n =0 Ơ ị z = C(z) n =0 zn (c) (c) , én (p) ù ! ë ûq ¥ n = én (p) ù ! ë ûq n é e( p ) ù ë û z å n =0 zn (c) n (3.75) én (p) ù ! ë ûq với C(z) hệ số chuẩn hóa có dạng: C(z) = é e( p ) ù ë û z , (3.76) 43 x éëe( p ) ùû hàm mũ para biến dạng q tổng quát định nghĩa: ¥ é e( p ) ù = å ë û n =0 x xn (c) én (p) ù ! ë ûq (3.77) Tính tốn dựa vào hệ thức (3.68) ta chứng minh toán tử tọa độ Q xung lượng P tuân theo hệ thức giao hoán: [ P,Q] = -ih ([ N + 1](qc) - [ N ](qc) + ( -1) N [ p - 1](qc) ) (3.78) Các biểu thức độ lệch toàn phương tọa độ xung lượng trạng thái kết hợp có dạng: ( ) % z DQ z = z ( DP% ) z = F (3.79) Với F giới hạn Shot Noise trạng thái kết hợp dao động tử paraboson biến dạng q : z ổ F = ỗ ộởe( p ) ựỷ ÷ è ø -1 ¥ å n =0 z 2n (c) (c) én ( p) ù ë ûq {! [n + 1] q (c) (c) - [ n ]q + ( -1) [ p - 1]q n } (3.80) Số hạt trung bình trạng thái kết hợp xác suất để trạng thái kết hợp có số hạt n là: -1 z (1) z ỉ z N z = z ỗ ộởe( p ) ựỷ ữ ộởe( p ) ùû è ø 2 -1 z 2n ổộ ựz Wn = ỗ ởe( p ) û ÷ (c) è ø én p ù ! ë ( ) ûq (3.81) (3.82) với: é e( p ) ù ë û (1) x d é ùx ¥ n +1 = e º xn å ( p) û (c) ë dx n =0 é( n + 1) ù p ûq ë (3.83) 44 3.4 Trạng thái kết hợp dao động tử paraboson biến dạng gˆ Trạng thái kết hợp dao động tử paraboson biến dạng gˆ định nghĩa trạng thái riêng toán tử hủy: a z =z z , (3.84) z số phức Vector trạng thái Fock dao động tử paraboson biến dạng gˆ xác định hệ thức: an = Nn n -1 N n -1 Þ n = (N n )-1 ( a + ) , n (3.85) Trong đó: N n = a n a + n Khi đó, trạng thái kết hợp tìm dạng: ¥ z :å n =0 zn n Nn (3.86) Sau chuẩn hóa trạng thái kết hợp s l: ổ Ơ z 2n z = ỗồ ữ ỗ n =0 N n ữ ố ứ -1 ¥ å n =0 zn n Nn (3.87) Đối với trường hợp dao động tử paraboson biến dạng gˆ , sử dụng cơng thức (2.47) tính được: N n +1 = a n +1 (a + ) n +1 = a n ( h ( N ) + a + a ) (a + ) n = N n h ( n ) + a n a + ( aa + ) (a + ) n -1 = = N n ( h ( n ) + h ( n - 1) + + h ( ) ) = N n {n + 1} (3.88) 45 đó: {n} = h ( ) + h (1) + + h ( n - 1) , {1} = p (3.89) Đồng thời N1 = aa + = p, nên: N1 = {1} (3.90) Từ cơng thức truy hồi (3.88) giá trị ban đầu (3.89) ta thu được: N n = {n}! (3.91) Sử dụng công thức (3.87), (3.88), (3.90) (3.91) có biểu thức cho trạng thái kết hợp dao động tử paraboson biến dạng gˆ : ỉ ¥ z 2n z = ỗồ ữ ỗ n =0 {n}! ữ è ø -1 ỉ ¥ z 2n n = ỗồ ữ ỗ n =0 {n}! ữ {n}! ố ø ¥ zn å n =0 -1 ( za ) + e (3.92) hàm mũ para định nghĩa: ¥ xn e =å n =0 {n}! x g (3.93) Phương trình (3.92) có dạng phương trình (3.75) Tức trạng thái kết hợp thống kê para-bose biến dạng gˆ biến dạng q có dạng Như phương sai tọa độ xung lượng, số hạt trung bình trạng thái kết hợp, xác suất để trạng thái kết hợp trạng thái n hạt dao động tử paraboson biến dạng gˆ có biểu thức tương tự với dao động tử biến dạng q 46 KẾT LUẬN Luận văn viết tổng quan hướng nghiên cứu biến dạng lượng tử tham số biến dạng c-số trở thành tốn tử Từ nghiên cứu mở rộng cho trạng thái kết hợp dao động tử paraboson biến dạng gˆ , [19] Đầu tiên, từ mở rộng lý thuyết biến dạng q thành lý thuyết biến dạng gˆ xây dựng lý thuyết trường biến dạng gˆ , tìm hệ thức giao hốn tính chất dao động tử biến dạng gˆ So sánh dao động tử biến dạng q dao động tử biến dạng gˆ cho thấy ưu biến dạng gˆ so với biến dạng q Tiếp đến, áp dụng lý thuyết biến dạng gˆ cho đối tượng vật lý cụ thể dao động tử paraboson tìm hệ thức giao hốn phân bố thống kê dao động tử Đồng thời phân bố hoàn toàn trùng hợp với phân bố thống kê cho hệ dao động tử paraboson thông thường (khơng biến dạng) Mục đích luận văn nghiên cứu trạng thái kết hợp dao động tử biến dạng gˆ Việc khái quát định nghĩa, tính chất trạng thái kết hợp vật lý nói chung áp dụng cho dao động tử paraboson biến dạng gˆ cho thấy dạng trạng thái kết hợp dao động tử paraboson biến dạng gˆ tương tự thống kê biến dạng q Những kết trình bày luận văn góp phần làm sáng tỏ chất dao động tử biến dạng gˆ dao động tử paraboson biến dạng gˆ Luận văn là tài liệu tham khảo cho bạn sinh viên bạn đọc quan tâm 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đào Vọng Đức, Phù Chí Hịa (2007), Nhập mơn lý thuyết trường lượng tử, NXB Khoa học kỹ thuật [2] Nguyễn Văn Hiệu, Nguyễn Bá Ân (2003), Cơ sở lý thuyết vật lý lượng tử, NXB ĐHQG Hà Nội [3] Nguyễn Thị Hà Loan (1998), “Commutation relations for deformed quantum field”, Tuyển tập báo cáo hội nghị VLLL lần thứ 22 (Toàn quốc) [4] Arefeva I Y and Volovich I V (1991), “Quantum group gauge field”, Mod.Phys.Lett A6 (10), pp.893-908 [5] Abdullah Algin, “A comparative study on q-deformed fermion oscillators”, Department of Physics, Eskisehir Osmaangazi University, Meselik, 26480- Eskisehir, Turkey [6] Boyka A., Todor P (2006), “Hopf Structure and Green Anasatz of deformed parastatistics Algebras”, Bulgarian Academyof Sciences [7] Biedenham L C (1989), “The quantum group SUq(2) and a q-analogue of the boson operators”, J Phys A22 (18), pp L873-L878 [8] Chaichian M., Gonzalez F.R and Montonen C (1993), “Statistics of q oscillators, quons and ralations to fractional statistics”, J.Phys A26 (16), pp 4017-4034 [9] Chakrabarti R and Jagannathan R (1992), “On the number operators of single-mode q-oscillators”, J Phys A25 (23), pp 6393-6398 [10] Chaturvedi S and Srinisavan V (1991), “Aspect of q- oscillator quantum machanics”, Phys Rev A44 (12), pp 8020-8023 [11] Chaturvedi S and Srinisavan V (1991), “Para-bose oscillator as deform bose oscillator”, Phys.Rev A44 (12), pp 8024-8026 48 [12] Dr David Tong (2007), Quantum Field Theory, University of Cambridge Part III Mathematical Tripos [13] Finkelstein R J (1995), “q-field theory”, Lett.Math.Phys 34(2), pp 169-176 [14] Finkelstein R J (1996), “q gauge theory”, Int.J.Mod.Phys A11 (14), pp.733-746 [15] Finkelstein R J (1999), “Observable properties of q-derform physical systems”, hep-th/9908210 [16] Gong Ren-Shan (2001), “Paraboson Coherent States Based on Green’s Ansatz”, Commun Theor Phys.36, Nanchang University, China, pp 29-32 [17] Ha Huy Bang, Cao Thi Vi Ba and D.V.Soa (2002), “ gˆ - field theory ”, Comm In Phys.12(2) pp 76-80 [18] Ha Huy Bang, Cao Thi Vi Ba and D.V.Soa (2003), “A new deformation of para-bose statistics ”, Int Jour Of Theory Physic [19] Ha Huy Bang (1996), “Generalized deformed para-bose oscillator and its conherent states ”, Int J Theory Phys 35(4), pp 747-753 [20] Ha Huy Bang (1995), “Generalized deformed para-bose oscillator and nonlinear algebras”, Mod Phys Lett A10(36), pp 2739-2748 [21] Ha Huy Bang, Cao Thi Vi Ba and D.V.Soa, “The causality in the gˆ deformed field theory ”, gửi Comm In Math Physcis [22] Klauder J.R., Skagerstam B (1985), Coherent state: application in physic and mathematical physisc, World Scientific [23] Mohapatra R.N (1986), Unification and Supersymmetry, Springer – Verlag, Berlin, Heidelberg, New York [24] Mukunda N (2001), “Operator properties of genenalized coherent state systems”, Pramana - journal of Physics, India Academy of Sciences, pp 245-265 49 [25] Michael G.A Grawford (2000), Generalized Coherent State and classical limits in quantum mechanics, Applied Mathematics, University of Waterloo, pp 18-44 [26] Maciej L., Anna S., Matthias P (2006), Quantum Optics and Introduction, University of Hannover, pp 21-33 [27] Robert Gilmore (1974), “On the properties of coherent state”, Phys Department, University of South Florida, pp 143-187 [28] Rocek M (1991), “Representation theory of the nonlinear SU(2) algebra”, Phys Lett B255 (4), pp 554-557 [29] Sicong Jing and Charles A Nelson (1998), “Eigenstates of paraparticle creation operatiors”, Derpartment of Phys, University of New York at Binghamton [30] Scipioni R (1993), “On the black-body-guonic radiation”, Nuo Cim B108 (9), pp 999-1002 [31] Yang Y and Yo Z (1994), “On q-deformed of q-deformed oscillator”, Mod Phys Lett A9(36), pp.3367-3372 [32] Wu L.A, Wu Zh.Y and Sun J (1992), “New statistics for mixing system of boson and fermion”, Phys Lett A170 (4), pp 280-282 ... dao động tử biến dạng gˆ dao động tử biến dạng q, so sánh hai dao động tử thể bảng 1.2 8 Bảng 1.2: So sánh dao động tử biến dạng q dao động tử biến dạng gˆ Dao động tử biến dạng q Dao động tử. .. chất trạng thái kết hợp dao động tử biến dạng, đặc biệt dao động tử paraboson biến dạng gˆ 3.1 Trạng thái kết hợp dao động lượng tử 3.1.1 Định nghĩa trạng thái kết hợp Trạng thái lượng tử hệ... trở dạng cho dao động tử boson đơn mode thông thường Như vậy, dao động tử biến dạng gˆ trường hợp biến dạng dao động tử boson thông thường 1.2 So sánh dao động tử biến dạng gˆ dao động tử biến dạng