TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* NGUYỄN THỊ KHUYÊN MỘT SỐ PHÉP ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số HÀ NỘI – 2014 LỜI CẢM ƠN Trên thực tế thành công mà không gắn liền với giúp đỡ hỗ trợ từ người khác dù hay nhiều, dù trực tiếp hay gián tiếp Trong suốt năm học tập giảng đường trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, em nhận nhiều quan tâm, giúp đỡ bảo tận tình quý thầy cô, gia đình bạn bè Với lòng biết ơn sâu sắc nhất, em xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu Trường đại học Sư phạm Hà Nội 2, ban chủ nhiệm khoa toán tạo điều kiện cho em làm khóa luận Đặc biệt em xin chân thành cám ơn ThS Nguyễn Thị Bình tận tình quan tâm, hướng dẫn, giảng giải cho em kiến thức cần thiết để em hoàn thành khóa luận Do hạn chế điều kiện thời gian, khóa luận em không tránh khỏi sai sót mong nhận nhiều ý kiến đóng góp thầy, cô giáo để khóa luận em hoàn chỉnh LỜI CAM ĐOAN Bài khóa luận "Một số phép đối xứng đồ thị hàm số" hoàn thành dựa tổng hợp kiến thức thân năm học tập trường Đại học Sư phạm Hà Nội Đồng thời khóa luận khai thác kiến thức tài liệu tham khảo nêu rõ phần tài liệu tham khảo Tôi xin cam đoan khóa luận "Một số phép đối xứng đồ thị hàm số" kết nghiên cứu thân Khóa luận hoàn toàn không chép từ tài liệu khác MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƢƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Hàm số 1.1.1 Khái niệm hàm số 1.1.2 Các tính chất hàm số 1.2 Đồ thị hàm số 1.2.1 Khái niệm đồ thị hàm số 1.2.2 Một số ví dụ đồ thị hàm số CHƢƠNG 2: MỘT SỐ PHÉP ĐỐI XỨNG 2.1 Phép đối xứng qua gốc tọa độ 2.1.1 Khái niệm 2.1.2 Một số ví dụ toán liên quan 2.2 Phép đối xứng qua trục tọa độ 21 2.2.1 Phép đối xứng qua trục Ox 21 2.2.2 Phép đối xứng qua trục Oy 37 2.3 Phép đối xứng qua đường phân giác thứ 47 2.3.2 Một số ví dụ toán liên quan 48 CHƢƠNG 3: TÍCH CÁC PHÉP ĐỐI XỨNG 52 3.1 Đối xứng tâm đối xứng trục Ox 52 3.1.1 Dạng 1: 52 3.1.2 Dạng 2: 55 3.2 Đối xứng tâm đối xứng trục Oy 58 3.2.1 Dạng 1: 58 3.2.2 Dạng 2: 61 KẾT LUẬN 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO .67 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong nhà trường phổ thông, môn toán giữ vị trí quan trọng Nó giúp học sinh học tốt môn học khác, công cụ nhiều ngành khoa học công cụ để hoạt động đời sống thực tế Môn toán có tiềm to lớn việc khai thác phát triển lực trí tuệ chung, rèn luyện thao tác phẩm chất tư Đại số phận lớn toán học, hàm số khái niệm quan trọng, đối tượng nghiên cứu đại số mà liên quan chặt chẽ tới chủ đề khác phương trình, bất phương trình Phép đối xứng đồ thị hàm số khía cạnh kiến thức chủ đề hàm số Nó giúp nghiên cứu mối quan hệ số hàm số với giúp giải số toán liên quan hàm số cách dễ dàng nhanh chóng Tuy nhiên, tài liệu nghiên cứu phép đối xứng chưa có nhiều Các dạng tập chưa phân loại rõ ràng, hệ thống hóa chưa đa dạng, đầy đủ Vì vậy, việc nghiên cứu chúng gặp nhiều khó khăn, gây ảnh hưởng tới việc nắm bắt kiến thức giải tập Với lí niềm say mê nghiên cứu bảo tận tình ThS Nguyễn Thị Bình, em mạnh dạn chọn đề tài "Một số phép đối xứng đồ thị hàm số" để làm khóa luận tốt nghiệp nhằm phân loại hệ thống số toán liên quan đến đề tài Từ giúp em học sinh có thêm tài liêu học tập để có nhìn toàn diện phép đối xứng đồ thị hàm số toán liên quan đồng thời cho thấy vai trò quan trọng hàm số môn toán trường phổ thông Mục đích nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu số kiến thức hàm số đồ thị hàm số Nghiên cứu chủ yếu số phép đối xứng đồ thị hàm số ứng dụng chúng vào việc giải toán liên quan Đối tượng nghiên cứu Một số phép đối xứng đồ thị hàm số toán liên quan Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu sau phân tích, so sánh, tổng hợp, khái quát hóa Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài + Về mặt lí luận, đề tài "Một số phép đối xứng đồ thị hàm số" nghiên cứu, đào sâu thêm khía cạnh kiến thức chủ đề hàm số Đề tài giúp có nhìn bao quát, tổng thể rõ ràng phép đối xứng đồ thị + Về mặt thực tiễn, đề tài "Một số phép đối xứng đồ thị hàm số" giúp em học sinh phổ thông có thêm tài liệu nghiên cứu đồ thị số hàm số đặc biệt hàm giá trị tuyệt đối, hàm mũ, hàm logarit, Đồng thời kiến thức giúp em giải số toán liên quan đồ thị hàm số CHƢƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Hàm số 1.1.1 Khái niệm hàm số Cho 𝐷 ⊂ 𝑅, 𝐷 ≠ ∅ Một quy tắc 𝑓 cho tương ứng 𝑥 ∈ 𝐷 với 𝑦 ∈ 𝑅 gọi hàm số Kí hiệu : 𝑓: 𝐷 → 𝑅 𝑥→𝑦 Tập 𝐷 gọi tập xác định hàm số.Phần tử 𝑥 gọi đối số (biến số) Phần tử 𝑦 ∈ 𝑅 tương ứng với 𝑥 gọi giá trị hàm số 𝑥, kí hiệu 𝑦 = 𝑓(𝑥) Tập hợp 𝑇𝑓 = 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐷 gọi tập giá trị hàm số 1.1.2 Các tính chất hàm số 1.1.2.1 Hàm số đơn điệu 1.1.2.1.1 Định nghĩa Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định 𝐷, (𝑎, 𝑏) ⊂ 𝐷 Ta nói 𝑓(𝑥) hàm số đồng biến (nghịch biến) (𝑎, 𝑏) ∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝑎, 𝑏 cho 𝑥1 < 𝑥2 thì𝑓(𝑥1 )𝑓(𝑥2 )) Hàm số đồng biến nghịch biến gọi chung hàm số đơn điệu 1.1.2.1.2 Tính chất  Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) đồng biến (nghịch biến) (𝑎, 𝑏) Khi ∀𝑐 ∈ 𝑅, hàm số 𝑓 𝑥 + 𝑐 đồng biến (nghịch biến) (𝑎, 𝑏)  Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑦 = 𝑔(𝑥) đồng biến (nghịch biến) (𝑎, 𝑏) hàm số 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) đồng biến (nghịch biến) (𝑎, 𝑏) Hơn nữa, (𝑥) ≥ 0, ∀𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 hàm số 𝑓(𝑥).𝑔(𝑥) đồng biến (nghịch biến) (𝑎, 𝑏)  Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) đồng biến (nghịch biến) (𝑎, 𝑏) Khi hàm số 𝑘 𝑓(𝑥) đồng biến (nghịch biến ) (𝑎, 𝑏) 𝑘 > hàm số 𝑘 𝑓(𝑥) nghịch biến (đồng biến) (𝑎, 𝑏) 𝑘 <  Đồ thị hàm số đồng biến (nghịch biến) đường lên từ trái qua phải (đi xuống từ trái qua phải) theo Ox Từ suy đồ thị hàm số đồng biến hàm số nghịch biến (𝑎, 𝑏) cắt không điểm 1.1.2.2 Hàm số chẵn, hàm số lẻ 1.1.2.2.1 Định nghĩa Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định 𝐷  Ta nói 𝑓(𝑥) hàm số chẵn 𝐷  Ta nói𝑓(𝑥) hàm số lẻ 𝐷 ∀𝑥 ∈ 𝐷 => −𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑥 ∈ 𝐷 => 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐷 => −𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑥 ∈ 𝐷 => 𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥) 1.1.2.2.2 Tính chất  Đồ thị hàm số chẵn nhận Oy làm trục đối xứng  Đồ thị hàm số lẻ nhận O làm tâm đối xứng 1.1.2.3 Hàm số tuần hoàn 1.1.2.3.1 Định nghĩa Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định 𝐷 Ta nói 𝑓(𝑥) tuần hoàn 𝐷 ∃𝑇 > cho ∀𝑥 ∈ 𝐷 => 𝑥 ± 𝑇 ∈ 𝐷 ∀𝑥 ∈ 𝐷 => 𝑓 𝑥 ± 𝑇 = 𝑓(𝑥) Số 𝑇 > nhỏ (nếu có) thỏa mãn điều kiện gọi chu kì tuần hoàn hàm số 𝑓(𝑥) 1.1.2.3.2 Tính chất  Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) tuần hoàn (chu kì 𝑇) 𝐷 Khi đó, hàm số 𝑓 𝑥 + 𝑐, 𝑘 𝑓(𝑥)(𝑘 ≠ 0) tuần hoàn (chu kì 𝑇)  Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) tuần hoàn chu kì 𝑇 Khi đó, hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑘 𝑥 , 𝑘 ≠ tuần hoàn với chu kì 𝑇 𝑘  Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑦 = 𝑔(𝑥) tuần hoàn với chu kì 𝑇 hàm số 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) tuần hoàn với chu kì 𝑇  Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) tuần hoàn với chu kì 𝑇1 , hàm số 𝑦 = 𝑔(𝑥) tuần hoàn với chu kì 𝑇2 𝑇1 + Nếu 𝑇2 = 𝑝 𝑞 ∈ 𝑄 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) tuần hoàn với chu kì 𝑞𝑇1 = 𝑝𝑇2 + Nếu 𝑇1 𝑇2 ∉ 𝑄 hàm số không tuần hoàn 1.1.2.4 Hàm số ngƣợc 1.1.2.4.1 Định nghĩa Cho hàm số 𝑓: 𝑋 → 𝑌 (𝑋, 𝑌 ⊂ 𝑅) Nếu tồn hàm số 𝑔: 𝑌 → 𝑋 cho 𝑔 = 𝑖𝑑𝑌 , 𝑔 𝑓 = 𝑖𝑑𝑋 𝑔 gọi hàm số ngược hàm số 𝑓 Kí hiệu 𝑔 = 𝑓 −1 1.1.2.4.2 Định lý Định lí (điều kiện cần đủ để hàm số có hàm số ngược) Điều kiện cần đủ để 𝑓: 𝑋 → 𝑌 có hàm số ngược 𝑓 song ánh Định lí Đồ thị hàm số ngược đối xứng qua đường phân giác góc phần tư thứ Hệ Đồ thị hàm số ngược cắt phải cắt đường thẳng 𝑦 = 𝑥 1.1.2.5 Hàm số hợp ĐN: Cho hàm số 𝑓1 : 𝑋−> 𝑋 𝑓2 : 𝑌−> 𝑍 với 𝑋, 𝑌, 𝑍thuộc𝑅 Hàm hợp 𝑓1 𝑓2 hàm số 𝑓: 𝑋−> 𝑍 định nghĩa 𝑓 𝑥 = 𝑓2 𝑓1 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝑅 VD: Hàm số 𝑓 𝑥 = sin⁡ (𝑥 + 2) hàm hợp hai hàm số 𝑓1 𝑥 = 𝑥 + 𝑓2 𝑦 = sin 𝑦 1.1.2.6 Phân loại hàm số Hàm số chia làm dạng: hàm số sơ cấp hàm số không sơ cấp  Hàm số sơ cấp tổ hợp hàm số hàm số sơ cấp phép toán hàm số Hàm số sơ cấp hàm số: đa thức, phân thức, số mũ,logarit, lượng giác, lượng giác ngược, lũy thừa Hàm số sơ cấp gồm loại: + Hàm số đại số: hàm số tính giá trị y ta phải thực số hữu hạn phép tính đại số cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa với số mũ hữu tỷ biến số Hàm số đại số gồm loại: hàm số hữu tỉ hàm số vô tỉ Hàm số hữu tỉ hàm số đại số đối số dạng lũy thừa phân số (có thể có lũy thừa với số mũ nguyên) + Hàm số siêu việt  Hàm số không sơ cấp + Bảng biến thiên x -∞ +∞ + y' y +∞ -∞ + Vẽ đồ thị Đồ thị 29 𝑦 = 𝑥 + 3𝑥 + 3𝑥 − + Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥 + 3𝑥 + 3𝑥 − 2(𝐶2 ) Ta thấy đồ thị (𝐶2 ) đối xứng với đồ thị (𝐶1 ) qua gốc tọa độ O 53 + Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥 + 3𝑥 + 3𝑥 − Giữ nguyên phần đồ thị (𝐶2 ) nằm phía trục Ox Lấy đối xứng phần đồ thị (𝐶2 ) nằm phía trục Ox qua Ox bỏ phần đồ thị (𝐶2 ) nằm phía trục Ox VD2: Cho hàm số sau 𝑦 = 𝑥2 −𝑥−2 (𝐶) 𝑥−1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥2 −𝑥−2 𝑥−1 HD: Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑦 = 𝑥2 −𝑥−2 𝑥−1 𝑥2−𝑥−2 𝑥−1 + Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥2+𝑥−2 (𝐶′) 𝑥+1 Đồ thị (𝐶′) đối xứng với đồ thị (𝐶) qua gốc tọa độ O + Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥2 −𝑥−2 𝑥−1 Giữ nguyên phần đồ thị (𝐶′) nằm phía Ox Lấy đối xứng phần vừa giữ nguyên qua Ox bỏ phần đồ thị (𝐶′) nằm phía Ox 54 3.1.2 Dạng 2: Biện luận số nghiệm phương trình, bất phương trình dựa vào đồ thị hàm số cho Cách giải: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥)(𝐶) Hàm số 𝑦 = 𝑔(𝑥) có đồ thị đối xứng với đồ thị (𝐶) qua tích phép đối xứng tâm đối xứng trục Ox + Số nghiệm phương trình 𝑔 𝑥 = 𝑕(𝑚) số điểm chung đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑔(𝑥) đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑕(𝑚) + Biện luận tương tự bất phương trình VD1: Cho hàm số 𝑦 = −𝑥 + 3𝑥 − 2(𝐶1 ) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Biện luận theo m số nghiệm phương trình: −𝑥 + 3𝑥 + = 𝑚 + 1(1) BL: Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = −𝑥 + 3𝑥 − Đồ thị 30 55 Số nghiệm phương trình (1) số điểm chung đồ thị hàm số 𝑦 = −𝑥 + 3𝑥 + đường thẳng 𝑦 = 𝑚 + + Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = −𝑥 + 3𝑥 + 2(𝐶2 ) Đồ thị (𝐶2 ) đối xứng với đồ thị (𝐶1 ) qua gốc tọa độ O + Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = −𝑥 + 3𝑥 + Giữ nguyên phần đồ thị (𝐶2 ) phía trục Ox Lấy đối xứng phần đồ thị (𝐶2 ) phía trục Ox qua Ox bỏ phần đồ thị (𝐶2 ) phía trục Ox + Biện luận Từ đồ thị ta thấy  Với 𝑚 + < 𝑚 < −1: (1) vô nghiệm  Với 𝑚+1=0 𝑚 = −1 : (1) có nghiệm phân biệt 𝑚+1>4 𝑚>3  Với 𝑚 + = 𝑚 = 3: (1) có nghiệm phân biệt  Với < 𝑚 + < −1 < 𝑚 < 3: (1) có nghiệm phân biệt Vậy với 𝑚 < −1 phương trình (1) vô nghiệm 𝑚 = −1 phương trình (1) có nghiệm phân biệt 𝑚>3 𝑚 = −1 phương trình (1) có nghiệm phân biệt −1 < 𝑚 < phương trình (1) có nghiệm phân biệt VD2: Cho hàm số sau 𝑦 = 𝑥2 +𝑥−2 (𝐶) 𝑥+3 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: 𝑥 − 𝑥 − ≥ (𝑚 − 𝑚) 𝑥 − 56 HD: Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥 +𝑥−2 𝑥 +3 Đồ thị 31 𝑥 − 𝑥 − ≥ (𝑚 − 𝑚) 𝑥 − + Với 𝑥 = ta có: ≥ (luôn ∀𝑚 ∈ 𝑅) + Với 𝑥 ≠ ta có: 𝑥2 − 𝑥 − 2 ≥ 𝑚2 − 𝑚 𝑥−3 Bất phương trình có nghiệm Đường thẳng 𝑦 = 𝑚 − 𝑚 cắt đồ thị hàm số 𝑦 = + Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥 −𝑥−2 𝑥−3 𝐶′ 57 𝑥 −𝑥−2 𝑥−3 + Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥 −𝑥−2 𝑥−3 Giữ nguyên phần đồ thị 𝐶′ nằm bên phải đường thẳng 𝑥 = Lấy đối xứng phần đồ thị 𝐶′ nằm bên trái đường thẳng 𝑥 = qua trục Ox bỏ phần đồ thị 𝑥 = nằm bên trái đường thẳng 𝑥 = + Yêu cầu toán 𝑚 − 𝑚 ≥ −1 𝑚 − 𝑚 + ≥ (𝑚 − )2 + ≥ (luôn đúng) Vậy bất phương trình có nghiệm với ∀𝑚 3.2 Đối xứng tâm đối xứng trục Oy 3.2.1 Dạng 1:Từ đồ thị hàm số (𝐶) vẽ đồ thị hàm số (𝐶′) dựa vào phép đối xứng tâm đối xứng trục Oy Cách giải: Cho hàm số sau 𝑦 = 𝑓(𝑥) Đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑔(𝑥) nhận từ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) cách thực phép đối xứng: đối xứng tâm đối xứng trục Oy VD1: Cho hàm số sau 𝑦 = 𝑥 − 4𝑥 + 1(𝐶1 ) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = −𝑥 − 𝑥 − BL: 𝑦 = 𝑥 − 4𝑥 + + TXĐ: 𝐷 = 𝑅 + Ta có 𝑦 ′ = 2𝑥 − 58 𝑦 ′ = 2𝑥 − = 𝑥 = Với 𝑥 = 𝑦 = −3 + Bảng biến thiên x -∞ - y' y +∞ + +∞ +∞ -3 Từ bảng biến thiên ta thấy  Hàm số đồng biến (2, +∞)  Hàm số nghịch biến (−∞, 2)  Hàm số đạt cực tiểu 𝑥 = 2, 𝑦𝐶𝑇 = −3 + Vẽ đồ thị Đồ thị 32 59 + Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = −𝑥 − 4𝑥 − 1(𝐶2 ) Đồ thị (𝐶2 ) đối xứng với đồ thị (𝐶1 ) qua gốc tọa độ O + Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = −𝑥 − 𝑥 − Giữ nguyên phần đồ thị (𝐶2 ) nằm bên phải Oy Lấy đối xứng phần đồ thị vừa giữ nguyên qua Oy bỏ phần đồ thị (𝐶2 ) nằm bên trái Oy VD2: Cho đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥2 +2𝑥+2 (𝐶) 𝑥+1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥2+2 𝑥 +2 − 𝑥 −1 HD: Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥2 +2𝑥+2 𝑥+1 Đồ thị 33 60 + Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥2−2𝑥+2 (𝐶′) 𝑥−1 Đồ thị (𝐶′) đối xứng với đồ thị (𝐶) qua gốc tọa độ O + Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑔 − 𝑥 = 𝑥2 +2 𝑥 +2 − 𝑥 −1 Giữ nguyên phần đồ thị (𝐶′) nằm bên trái trục Oy Lấy đối xứng phần vừa giữ nguyên qua Oy bỏ phần đồ thị (𝐶′) nằm bên phải trục Oy 3.2.2 Dạng 2:Biện luận số nghiệm phương trình, bất phương trình dựa vào đồ thị hàm số cho Cách giải: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥)(𝐶) Hàm số 𝑦 = 𝑔(𝑥) có đồ thị đối xứng với đồ thị (𝐶) qua tích phép đối xứng tâm đối xứng trục Oy + Số nghiệm phương trình 𝑔 𝑥 = 𝑕(𝑚) số điểm chung đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑔(𝑥) đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑕(𝑚) + Biện luận tương tự bất phương trình VD1: Cho hàm số sau 𝑦 = 𝑥2 +𝑥−5 (𝐶1 ) 𝑥−2 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Tìm m để phương trình sau vô nghiệm: 𝑥2 − 𝑥 − = 2𝑚 + 1(1) 𝑥 +2 61 BL: Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥2 +𝑥−5 𝑥−2 Đồ thị 34 Số nghiệm phương trình (1) số điểm chung đồ thị hàm số 𝑦= 𝑥2 − 𝑥 −5 đường thẳng 𝑦 = 2𝑚 + 𝑥 +2 Vậy phương trình (1) vô nghiệm Đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥2− 𝑥 −5 đường thẳng 𝑦 = 2𝑚 + 𝑥 +2 điểm chung + Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥2−𝑥−5 (𝐶2 ) 𝑥+2 Đồ thị (𝐶2 ) đối xứng với đồ thị (𝐶1 ) qua gốc tọa độ O 62 + Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥2− 𝑥 −5 𝑥 +2 Giữ nguyên phần đồ thị (𝐶2 ) nằm bên phải Oy Lấy đối xứng phần đồ thị vừa giữ nguyên qua Oy bỏ phần đồ thị (𝐶2 ) nằm bên trái Oy Từ đồ thị ta thấy: Yêu cầu toán 2𝑚 + < − 𝑚 < − Vậy với 𝑚 < − phương trình cho vô nghiệm VD2: Cho hàm số sau 𝑦 = 𝑥 − 3𝑥 + 3𝑥 + 1(𝐶) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: −𝑥 + 3𝑥 − 𝑥 + ≤ 2𝑚2 − 𝑚(2) HD: Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥 − 3𝑥 + 3𝑥 + 63 Đồ thị 35 Bất phương trình (2) có nghiệm Đồ thị hàm số 𝑦 = − 𝑥 + 3𝑥 − 𝑥 + đường thẳng 𝑦 = 2𝑚 − 𝑚 có điểm chung + Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥 + 3𝑥 + 3𝑥 + 1(𝐶′) Đồ thị (𝐶′) đối xứng với đồ thị (𝐶) qua gốc tọa độ O + Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = − 𝑥 + 3𝑥 − 𝑥 + Giữ nguyên phần đồ thị (𝐶′) nằm bên trái Oy Lấy đối xứng phần đồ thị vừa giữ nguyên qua Oy bỏ phần đồ thị (𝐶′) nằm bên phải Oy Từ đồ thị ta thấy: Yêu cầu toán 2𝑚 − 𝑚 ≥ −1 2𝑚 − 𝑚 + ≥ 1 2 𝑚 − 𝑚 + ≥ 16 (𝑚 − )2 + ≥ (luôn với ∀𝑚 ∈ 𝑅) Vậy bất phương trình có nghiệm với ∀𝑚 ∈ 𝑅 64 KẾT LUẬN Việc nghiên cứu lí thuyết giúp rút đƣợc số kết luận sau: + Việc hệ thống lại toàn kiến thức phép đối xứng đồ thị hàm số cần thiết Tuy khía cạnh nhỏ chủ đề hàm số nắm bắt toàn kiến thức đề tài học sinh có nhìn tổng quan việc vẽ đồ thị hàm số giải toán liên quan Nội dung sách giáo khoa chưa có phần hệ thống lại kiến thức Tuy học sinh hình thành cách vẽ đồ thị làm số dạng toán liên quan chúng không đầy đủ tính hệ thống dẫn đến mau quên Vì việc hệ thống hóa kiến thức đề tài giúp học sinh có cách hướng chuẩn xác vẽ đồ thị giải toán liên quan + Khóa luận có đề cập tới số toán đơn giản xem ví dụ để áp dụng kiến thức đề tài + Các phương pháp toán đề cập khóa luận có ý đến tính phổ thông Ngoài có số toán nâng cao dùng cho học sinh tham khảo + Vì thời gian có hạn nên trình hệ thống kiến thức đề tài nhiều thiếu sót Kính mong đóng góp ý kiến thầy (cô) giáo để khóa luận hoàn thiện Từ kết khảo sát thực tế, có nhận định sau: Học sinh phổ thông hoàn toàn có khả nắm bắt kiến thức để giải toán phép đối xứng đồ thị hàm số Thực tế em học kiến thức lại chưa biết cách vận 65 dụng linh hoạt vào việc vẽ đồ thị giải toán liên quan Nếu thầy (cô) giúp em hệ thống nghiên cứu sâu kiến thức em có thêm hướng việc giải phương trình, bất phương trình nhờ đồ thị hàm số Những nghiên cứu lí luận khảo sát thực tế chứng minh đề tài "Một số phép đối xứng đồ thị hàm số" quan trọng cần thiết học sinh phổ thông 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Đậu Thế Cấp (2004), Đại số sơ cấp, Nxb Giáo dục Hồ Sĩ Vinh (2011), Những toán chọn lọc phương pháp giải loại tập hàm số, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội Lê Hồng Đức (2012), Phương pháp giải toán hàm số, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh Educational publishing house pte ltd Power maths h1& h2 67 [...]... đối xứng thuộc đồ thị (𝐶2 ) từ đó ta vẽ được đồ thị hàm số (𝐶2 ) VD3: Cho hàm số sau: 𝑦 = cos 𝑥 (𝐶3 ) 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (𝐶3 ) 2 Xác định hàm số có đồ thị đối xứng với đồ thị (𝐶3 ) qua gốc tọa độ O Vẽ đồ thị hàm số đã tìm được HD: 1 Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = cos 𝑥 Đồ thị 6 14 2 + Xác định hàm số: Dựa vào định nghĩa phép đối xứng qua gốc tọa độ 𝑓 −𝑥 = −𝑔(𝑥) để tìm hàm số 𝑔(𝑥) + Lấy đối xứng một. .. Cho hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 (𝐶) 𝑦 = 𝑓 𝑥 = −𝑥 2 (𝐶′) Khi đó ta nói, đồ thị 𝐶 đối xứng với đồ thị 𝐶 ′ qua gốc tọa O Đồ thị 3 9 2.1.2 Một số ví dụ và bài toán liên quan 2.1.2.1 Dạng 𝟏: Từ đồ thị hàm số (𝐶) vẽ đồ thị hàm số (𝐶′) đối xứng với (𝐶) qua gốc tọa độ O Cách giải: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 (𝐶) Đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑔(𝑥)(𝐶′) nhận được từ đồ thị hàm số (𝐶) bằng cách lấy đối xứng mọi điểm thuộc đồ thị hàm số (𝐶)... − 3𝑥 2 + 1 VD2: Cho hàm số sau 𝑦 = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4x − 2 (𝐶1 ) 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (𝐶1 ) 2 Từ đồ thị hàm số (𝐶1 ) vẽ đồ thị hàm số (𝐶2 )𝑦 = 𝑥 3 + 3𝑥 2 + 4x + 2 HD: 1 Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4x − 2 Đồ thị 5 13 2 𝑦 = 𝑥 3 + 3𝑥 2 + 4x + 2 + Chứng minh đồ thị hàm số (𝐶2 ) đối xứng với đồ thị hàm số (𝐶1 ) qua gốc tọa độ O + Lấy đối xứng một số điểm đặc biệt thuộc đồ thị (𝐶1 ) qua gốc tọa... là số điểm chung của đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑔(𝑥) với đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑕(𝑚)  Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑔(𝑥) đối xứng với đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) qua gốc tọa độ O  Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị hàm số trên + Biện luận tương tự đối với bất phương trình 15 VD1: Cho hàm số sau 𝑦 = 𝑥2 −3x+3 (𝐶) 𝑥−1 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (𝐶) 2 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau dựa vào đồ. .. −𝑔(𝑥) với ∀𝑥 VD: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝐶 21 𝑦 = 𝑔 𝑥 = −𝑥 𝐶′ Khi đó ta nói đồ thị 𝐶 đối xứng với đồ thị 𝐶′ qua trục Ox Đồ thị 10 2.2.1.2 Một số ví dụ và bài toán liên quan 2.2.1.2.1 Dạng 1: Từ đồ thị hàm số 𝐶 vẽ đồ thị hàm số 𝐶′ đối xứng với 𝐶 qua trục Ox Cách giải: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 (𝐶) Đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑔(𝑥) nhận được từ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) bằng cách lấy đối xứng mọi điểm thuộc đồ thị 𝐶 qua trục Ox... một hàm số 1.2.2 Một số ví dụ về đồ thị hàm số VD1: Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥 + 2 (𝐶1 ) Đồ thị hàm số (𝐶1 ) gồm tập hợp các điểm có tọa độ (𝑥, 𝑥 + 2) với ∀𝑥 ∈ 𝑅 như 𝐴(0,2), 𝐵(−2,0) ∈ (𝐶1 ) Đồ thị 1 7 VD2: Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥2+2𝑥−2 𝑥−1 Đồ thị 2 8 CHƢƠNG 2: MỘT SỐ PHÉP ĐỐI XỨNG 2.1 Phép đối xứng qua gốc tọa độ 2.1.1 Khái niệm KN: Đồ thị 𝐶 : 𝑦 = 𝑓(𝑥) là hình đối xứng của đồ thị 𝐶 ′ : 𝑦 = 𝑔(𝑥) qua gốc tọa... => Đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑔(𝑥) đối xứng với đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) qua gốc tọa độ O + Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑔 𝑥 = 𝑥2 +3𝑥+3 𝑥+1  Lấy đối xứng hai tiệm cận của đồ thị 𝑦 = 𝑓(𝑥) qua gốc tọa độ O ta được tiệm cận đứng 𝑥 = −1 và tiệm cận xiên 𝑦 = 𝑥 + 2 của đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑔(𝑥)  Lấy đối xứng hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) qua gốc tọa độ O ta được hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị. ..1.2 Đồ thị hàm số 1.2.1 Khái niệm đồ thị hàm số KN: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định trên 𝐷 Ta gọi tập hợp các điểm (𝑥, 𝑓 𝑥 ) với ∀𝑥 ∈ 𝐷 là đồ thị của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) Việc biểu diễn các điểm (𝑥, 𝑓 𝑥 ) thuộc đồ thị của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) lên mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦 gọi là vẽ đồ thị của hàm số CY: Một đường 𝜏(đường cong hoặc đường thẳng) trong mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦 chỉ có thể là đồ thị của một hàm số 1.2.2 Một số. .. 𝑓(𝑥) Cách giải: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥)(𝐶) Ta có 𝑦 = ±𝑓 𝑥 𝑣ớ𝑖𝑓(𝑥) ≥ 0 Đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑔(𝑥) nhận được từ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) bằng cách: + Giữ nguyên phần đồ thị của (𝐶) nằm phía trên trục Ox + Lấy đối xứng phần đồ thị vừa giữ nguyên qua Ox rồi bỏ phần đồ thị của (𝐶) phía dưới Ox VD1: Cho hàm số sau 𝑦 = log 2 𝑥 (𝐶1 ) 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2 Từ đồ thị hàm số (𝐶1 ) vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = log 2 𝑥 BL:... xứng một số điểm đặc biệt thuộc đồ thị (𝐶3 ) qua gốc tọa độ + Ta nói các điểm vừa lấy đối xứng thuộc đồ thị 𝑦 = cos 𝑥 từ đó ta vẽ O được đồ thị hàm số 𝑦 = −cos 𝑥 2.1.2.2 Dạng 2: Biện luận số nghiệm của phương trình, bất phương trình dựa vào đồ thị hàm số đã cho Cách giải: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥)(𝐶) Hàm số 𝑦 = 𝑔(𝑥)(𝐶′) có đồ thị hàm số đối xứng với đồ thị hàm số (𝐶) qua gốc tọa độ O + Số nghiệm của phương ... Từ đồ thị hàm số (