Đề ôn thi vào 10 năm học 2011 2012 Đề số Câu1 : Cho biểu thức x3 x + x (1 x ) + x x : A= Với x ;1 x x + x2 a, Ruý gọn biểu thức A b , Tính giá trị biểu thức cho x= + 2 c Tìm giá trị x để A=3 Câu2.a, Giải hệ phơng trình: ( x y ) + 3( x y ) = x + y = 12 b Giải bất phơng trình: x x x 15 a=-1;a=-4 ( x y ) + 3( x y ) = Từ ta có x + y = 12 c.A=3 x2-3x-2=0=> x= x y = * (1) x + y = 12 x y = * (2) x + y = 12 Giải hệ (1) ta đợc x=3, y=2 Giải hệ (2) ta đợc x=0, y=4 Vậy hệ phơng trình có nghiệm x=3, y=2 x=0; y=4 b) Ta có x3-4x2-2x-15=(x-5)(x2+x+3) mà x2+x+3=(x+1/2)2+11/4>0 với x Vậy bất phơng trình tơng đơng với x-5>0 =>x>5 Câu 3: Phơng trình: ( 2m-1)x2-2mx+1=0 Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành x+1=0=> x=1 Xét 2m-10=> m 1/2 ta có , = m2-2m+1= (m-1)20 m=> pt có nghiệm với m ta thấy nghiệm x=1 không thuộc (-1,0) m m +1 với m 1/2 pt có nghiệm x= = 2m 2m 1 pt có nghiệm khoảng (-1,0)=> -1< >0 => 2m =>m E,F thuộc đờng tròn đờng kính BK hay điểm E,F,B,K thuộc đờng tròn đờng kính BK b BCF= BAF B Mà BAF= BAE=450=> BCF= 450 Ta có BKF= BEF Mà BEF= BEA=450(EA đờng chéo hình vuông ABED)=> BKF=450 Vì BKC= BCK= 450=> tam giác BCK vuông cân B D F A O C Đề ôn thi vào 10 năm học 2011 2012 Đề ( ) x x x x +1 x x +1 : Bài 1: Cho biểu thức: P = x x x x + x a,Rút gọn P b,Tìm x nguyên để P có giá trị nguyên Bài 2: Cho phơng trình: x2-( 2m + 1)x + m2 + m - 6= (*) a.Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm âm b.Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm x1; x2 thoả mãn 3 x1 x2 =50 Bài 3: Cho phơng trình: ax2 + bx + c = có hai nghiệm dơng phân biệt x1, x2Chứng minh: a, Phơng trình ct2 + bt + a =0 có hai nghiệm dơng phân biệt t1 t2 b, Chứng minh: x1 + x2 + t1 + t2 p4 Bài 4: Cho tam giác có góc nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O H trực tâm tam giác D điểm cung BC không chứa điểm A a, Xác định vị trí điẻm D để tứ giác BHCD hình bình hành b, Gọi P Q lần lợt điểm đối xứng điểm D qua đờng thẳng AB AC Chứng minh điểm P; H; Q thẳng hàng c, Tìm vị trí điểm D để PQ có độ dài lớn Bài 5: Cho hai số dơng x; y thoả mãn: x + y Tìm giá trị nhỏ của: A = 501 + x +y xy Đề ôn thi vào 10 năm học 2011 2012 Đáp án Bài 1: (2 điểm) ĐK: x 0; x ( x 1z a, Rút gọn: P = x( x 1) : x( x 1) x b P = x +1 = 1+ x ) P= x ( x 1) = x +1 x x Để P nguyên x = x =2 x=4 x = x = x = x = x = x = x = x = 1( Loai ) Vậy với x= { 0;4;9} P có giá trị nguyên Bài 2: Để phơng trình có hai nghiệm âm thì: ( ) = ( 2m + 1) m + m x1 x = m + m > x + x = 2m + < = 25 > (m 2)(m + 3) > m < m < b Giải phơng trình: ( m 2) (m + 3) = 50 5(3m + 3m + 7) = 50 m + m = 1+ m1 = m = 2 Bài 3: a Vì x1 nghiệm phơng trình: ax2 + bx + c = nên ax12 + bx1 + c =0 1 Vì x1> => c + b + a = Chứng tỏ x1 x1 x + a = 0; t1 = nghiệm dơng phơng trình: ct2 + bt Vì x2 nghiệm phơng trình: x1 ax2 + bx + c = => ax22 + bx2 + c =0 1 x2> nên c + b. + a = điều chứng tỏ nghiệm dơng phơng trình x2 x2 x2 ct2 + bt + a = ; t2 = x2 Đề ôn thi vào 10 năm học 2011 2012 Vậy phơng trình: ax2 + bx + c =0 có hai nghiẹm dơng phân biệt x1; x2 phơng trình : ct2 + bt + a =0 có hai nghiệm dơng phân biệt t1 ; t2 t1 = 1 ; t2 = x1 x2 b Do x1; x1; t1; t2 nghiệm dơng nên t1+ x1 = + x1 x1 t2 + x2 = + x2 x2 Do x1 + x2 + t1 + t2 Bài a Giả sử tìm đợc điểm D cung BC cho tứ giác BHCD hình bình hành Khi đó: BD//HC; CD//HB H trực tâm tam giác ABC nên CH AB BH AC => BD AB CD AC A Do đó: ABD = 900 ACD = 900 Q Vậy AD đờng kính đờng tròn tâm O Ngợc lại D đầu đờng kính AD H O đờng tròn tâm O tứ giác BHCD hình bình hành P C B b) Vì P đối xứng với D qua AB nên APB = ADB nhng ADB = ACB nhng ADB = ACB Do đó: APB = ACB Mặt khác: AHB + ACB = 1800 => APB + AHB = 1800 Tứ giác APBH nội tiếp đợc đờng tròn nên PAB = PHB Mà PAB = DAB đó: PHB = DAB Chứng minh tơng tự ta có: CHQ = DAC Vậy PHQ = PHB + BHC + CHQ = BAC + BHC = 1800 Ba điểm P; H; Q thẳng hàng c) Ta thấy APQ tam giác cân đỉnh A Có AP = AQ = AD PAQ = 2BAC không đổi nên cạnh đáy PQ đạt giá trị lớn AP AQ lớn hay AD lớn D đầu đờng kính kẻ từ A đờng tròn tâm O D Đề ôn thi vào 10 năm học 2011 2012 Đề Bài 1: Cho biểu thức: P= x ( x + y )(1 y ) y x + ( ) ( y) x +1 xy )( x + 1 y ) a) Tìm điều kiện x y để P xác định Rút gọn P b) Tìm x,y nguyên thỏa mãn phơng trình P = Bài 2: Cho parabol (P) : y = -x2 đờng thẳng (d) có hệ số góc m qua điểm M(-1 ; -2) a) Chứng minh với giá trị m (d) cắt (P) hai điểm A , B phân biệt b) Xác định m để A,B nằm hai phía trục tung Bài 3: Giải hệ phơng trình : x + y + z = 1 + + =1 x y z xy + yz + zx = 27 Bài 4: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R C điểm thuộc đờng tròn (C A ; C B ) Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C , kẻ tia Ax tiếp xúc với đờng tròn (O), gọi M điểm cung nhỏ AC Tia BC cắt Ax Q , tia AM cắt BC N a) Chứng minh tam giác BAN MCN cân b) Khi MB = MQ , tính BC theo R 1 1 + + = x y z x+ y+z Hãy tính giá trị biểu thức : M = + (x8 y8)(y9 + z9)(z10 x10) Bài 5: Cho x, y, z R thỏa mãn : Đề ôn thi vào 10 năm học 2011 2012 Đáp án Bài 1: a) Điều kiện để P xác định :; x ; y ; y ; x + y x(1 + *) Rút gọn P: P = = = = = x ) y (1 ( ( x + y ) ( ( x y ) + x x + y y xy ( ( x + )( x + y ( y 1+ )( x )( )( ) (1 + x x + y x y +x y ) xy y ) ) ( x + ) (1 y ) xy + y xy y ) ) )( y) x ( x + 1) y ( x + 1) + y ( + x ) ( x ) (1 + x ) (1 y ) x (1 y ) (1 + y ) y (1 y ) x y + y y x = (1 y ) (1 y ) x + y 1+ Vậy P = b) P = x + ( ( x + xy x1+ )( x xy ) ( x 1 + x + xy y y y = y = ) ) y +1 =1 y =1 Ta có: + y x x x = 0; 1; 2; ; Thay vào ta có cặp giá trị (4; 0) (2 ; 2) thoả mãn Bài 2: a) Đờng thẳng (d) có hệ số góc m qua điểm M(-1 ; -2) Nên phơng trình đờng thẳng (d) : y = mx + m Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phơng trình: - x2 = mx + m x2 + mx + m = (*) Vì phơng trình (*) có = m 4m + = ( m ) + > m nên phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt , (d) (P) cắt hai điểm phân biệt A B b) A B nằm hai phía trục tung phơng trình : x2 + mx + m = có hai nghiệm trái dấu m < m < x + y + z = (1) 1 ( 2) Bài : + + = x y z xy + yz + xz = 27 ( 3) ĐKXĐ : x , y , z Đề ôn thi vào 10 năm học 2011 2012 ( x + y + z ) = 81 x + y + z + ( xy + yz + zx ) = 81 x + y + z = 81 ( xy + yz + zx ) x + y + z = 27 x + y + z = ( xy + yz + zx ) 2( x + y + z ) ( xy + yz + zx ) = ( x y ) + ( y z ) + ( z x) = ( x y ) = x = y ( y z ) = y = z x= y = z ( z x ) = z = x Thay vào (1) => x = y = z = Ta thấy x = y = z = thõa mãn hệ phơng trình Vậy hệ phơng trình có nghiệm x = y = z = Bài 4: Q a) Xét ABM NBM Ta có: AB đờng kính đờng tròn (O) nên :AMB = NMB = 90o N M điểm cung nhỏ AC nên ABM = MBN => BAM = BNM C => BAN cân đỉnh B M Tứ giác AMCB nội tiếp => BAM = MCN ( bù với góc MCB) => MCN = MNC ( góc BAM) => Tam giác MCN cân đỉnh M A O b) Xét MCB MNQ có : MC = MN (theo cm MNC cân ) ; MB = MQ ( theo gt) BMC = MNQ ( : MCB = MNC ; MBC = MQN ) => MCB = MNQ (c g c) => BC = NQ Xét tam giác vuông ABQ có AC BQ AB2 = BC BQ = BC(BN + NQ) => AB2 = BC ( AB + BC) = BC( BC + 2R) => 4R2 = BC( BC + 2R) => BC = ( 1) R Bài 5: 1 1 1 1 =0 Từ : + + = => + + x y z x+ y+z x y z x+ y+z x+ y x+ y+zz + =0 => xy z( x + y + z ) = ( z + y ) + xy z ( x + y + z ) zx + zy + z + xy = ( x + y ) xyz ( x + y + z ) ( x + y )( y + z ) ( z + x ) = Ta có : x8 y8 = (x + y)(x-y)(x2+y2)(x4 + y4).= y9 + z9 = (y + z)(y8 y7z + y6z2 - + z8) z10- x10 = (z + x)(z4 z3x + z2x2 zx3 + x4)(z5 - x5) 3 Vậy M = + (x + y) (y + z) (z + x).A = 4 B Đề ôn thi vào 10 năm học 2011 2012 Đề Bài 1: 1) Cho đờng thẳng d xác định y = 2x + Đờng thẳng d/ đối xứng với đờng thẳng d qua đờng thẳng y = x là: 1 A.y = x + ; B.y = x - ; C.y = x - ; D.y = - 2x - 2 Hãy chọn câu trả lời 2) Một hình trụ có chiều cao gấp đôi đờng kính đáy đựng đầy nớc, nhúng chìm vào bình hình cầu lấy mực nớc bình lại bình Tỉ số bán kính hình trụ bán kính hình cầu A.2 ; B ; C 3 ; D kết khác Bìa2: 1) Giải phơng trình: 2x4 - 11 x3 + 19x2 - 11 x + = 2) Cho x + y = (x > 0; y > 0) Tìm giá trị lớn A = x + y Bài 3: 1) Tìm số nguyên a, b, c cho đa thức : (x + a)(x - 4) - Phân tích thành thừa số đợc : (x + b).(x + c) 2) Cho tam giác nhọn xây, B, C lần lợt điểm cố định tia Ax, Ay cho AB < MA AC, điểm M di động góc xAy cho = MB Xác định vị trí điểm M để MB + MC đạt giá trị nhỏ Bài 4: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB CD vuông góc với nhau, lấy điểm I đoan CD a) Tìm điểm M tia AD, điểm N tia AC cho I lag trung điểm MN b) Chứng minh tổng MA + NA không đổi c) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN qua hai điểm cố định Hớng dẫn Bài 1: 1) Chọn C Trả lời 2) Chọn D Kết khác: Đáp số là: Bài : 1)A = (n + 1)4 + n4 + = (n2 + 2n + 1)2 - n2 + (n4 + n2 + 1) = (n2 + 3n + 1)(n2 + n + 1) + (n2 + n + 1)(n2 - n + 1) = (n2 + n + 1)(2n2 + 2n + 2) = 2(n2 + n + 1)2 Vậy A chia hết cho số phơng khác với số nguyên dơng n 2) Do A > nên A lớn A2 lớn Xét A2 = ( x + y )2 = x + y + xy = + xy (1) x+ y Ta có: xy (Bất đẳng thức Cô si) => > xy (2) Bài3 Từ (1) (2) suy ra: A2 = + xy < + = 1 Max A2 = x = y = , max A = x = y = 2 Câu 1Với x ta có (x + a)(x - 4) - = (x + b)(x + c) Nên với x = - = (4 + b)(4 + c) Có trờng hợp: + b = 4+b=7 4+c=-7 4+c=-1 Trờng hợp thứ cho b = - 3, c = - 11, a = - 10 Ta có (x - 10)(x - 4) - = (x - 3)(x - 11) Đề ôn thi vào 10 năm học 2011 2012 Trờng hợp thứ hai cho b = 3, c = - 5, a = Ta có (x + 2)(x - 4) - = (x + 3)(x - 5) Câu2 (1,5điểm) Gọi D điểm cạnh AB cho: AD = AB Ta có D điểm cố định MA AD Mà = (gt) = AB MA Xét tam giác AMB tam giác ADM có MâB (chung) A MA AD = = AB MA MB MA Do AMB ~ ADM => = =2 MD AD => MD = 2MD (0,25 điểm) Xét ba điểm M, D, C : MD + MC > DC (không đổi) Do MB + 2MC = 2(MD + MC) > 2DC Dấu "=" xảy M thuộc đoạn thẳng DC Giá trị nhỏ MB + MC DC * Cách dựng điểm M - Dựng đờng tròn tâm A bán kính AB - Dựng D tia Ax cho AD = AB M giao điểm DC đờng tròn (A; AB) Bài 4: a) Dựng (I, IA) cắt AD M cắt tia AC N Do MâN = 900 nên MN đờng kính Vậy I trung điểm MN b) Kẻ MK // AC ta có : INC = IMK (g.c.g) => CN = MK = MD (vì MKD vuông cân) Vậy AM+AN=AM+CN+CA=AM+MD+CA => AM = AN = AD + AC không đổi c) Ta có IA = IB = IM = IN Vậy đờng tròn ngoại tiếp AMN qua hai điểm A, B cố định Đề Bài Cho ba số x, y, z thoã mãn đồng thời : x B D M C N C I K O A M x2 + y + = y + z + = z + 2x + = D Tính giá trị biểu thức : A = x 2007 + y 2007 + z 2007 Bài 2) Cho biểu thức : M = x x + y + xy y + 2014 Với giá trị x, y M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ Bài Giải hệ phơng trình : 2 x + y + x + y = 18 x ( x + 1) y ( y + 1) = 72 Bài Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB bán kính R Tiếp tuyến điểm M bbất kỳ đờng tròn (O) cắt tiếp tuyến A B lần lợt C D a.Chứng minh : AC BD = R2 B Đề ôn thi vào 10 năm học 2011 2012 1 =2 Câu 5: Biến đổi B = xyz + + = = xyz xyz y z x Đề 13 x 4( x 1) + x + 4( x 1) x 1ữ x 4( x 1) a) Tìm điều kiện x để A xác định b) Rút gọn A Bài : Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(5; 2) B(3; -4) a) Viết phơng tình đờng thẳng AB b) Xác định điểm M trục hoành để tam giác MAB cân M Bài : Tìm tất số tự nhiên m để phơng trình ẩn x sau: x2 - m2x + m + = có nghiệm nguyên Bài : Cho tam giác ABC Phân giác AD (D BC) vẽ đờng tròn tâm O qua A D đồng thời tiếp xúc với BC D Đờng tròn cắt AB AC lần lợt E F Chứng minh a) EF // BC b) Các tam giác AED ADC; àD ABD tam giác đồng dạng c) AE.AC = à.AB = AC2 Bài : Cho số dơng x, y thỏa mãn điều kiện x2 + y2 x3 + y4 Chứng minh: x + y3 x + y2 x + y Bài 1: Cho biểu thức A = Đề ôn thi vào 10 năm học 2011 2012 Đáp án Bài 1: a) Điều kiện x thỏa mãn x x 4( x 1) x + 4( x 1) x 4( x 1) > KL: A xác định < x < x > b) Rút gọn A A= x x x x x > x ( x 1)2 + ( x + 1)2 x x ( x 2)2 x 1 + x +1 x x x Với < x < A= x Với x > A = x Kết luận Với < x < A = x Với x > A = x A= Bài 2: a) A B có hoành độ tung độ khác nên phơng trình đờng thẳng AB có dạng y = ax + b A(5; 2) AB 5a + b = B(3; -4) AB 3a + b = -4 Giải hệ ta có a = 3; b = -13 Vậy phơng trình đờng thẳng AB y = 3x - 13 b) Giả sử M (x, 0) xx ta có MA = ( x 5)2 + (0 2)2 MB = ( x 3)2 + (0 + 4)2 MAB cân MA = MB ( x 5)2 + = ( x 3)2 + 16 (x - 5)2 + = (x - 3)2 + 16 x=1 Kết luận: Điểm cần tìm: M(1; 0) Bài 3: Phơng trình có nghiệm nguyên = m4 - 4m - số phơng Ta lại có: m = 0; < loại A m = = = 22 nhận m 2m(m - 2) > 2m2 - 4m - > - (2m2 - 2m - 5) < < + 4m + m4 - 2m + < < m4 E (m2 - 1)2 < < (m2)2 không phơng F B D C Đề ôn thi vào 10 năm học 2011 2012 Vậy m = giá trị cần tìm Bài 4: ằ ã ã = EFD (= sd ED ) (0,25) a) EAD ằ ã ã FAD = FDC (= sd FD ) (0,25) ã ã ã ã mà EDA (0,25) = FAD EFD = FDC EF // BC (2 góc so le nhau) ằ = DF ằ b) AD phân giác góc BAC nên DE ã ẳ DF ằ ) = sđ AE ằ = sđ ADE ã = sđ( AED sđ ACD 2 ã ã ã ã ACD EAD = ADE = DAC D ADC (g.g) ằ ã ẳ DF ằ ) = ( sd AFD ẳ DE ằ ) = sd ABD ã ã ã = sd AF = sd ( AFD Tơng tự: sđ ADF ADF = ABD 2 AFD ~ (g.g c) Theo trên: + AED ~ DB AE AD = hay AD2 = AE.AC (1) AD AC AD AF = + ADF ~ ABD AB AD AD2 = AB.AF (2) Từ (1) (2) ta có AD2 = AE.AC = AB.AF Bài (1đ): Ta có (y2 - y) + 2y3 y4 + y2 (x3 + y2) + (x2 + y3) (x2 + y2) + (y4 + x3) mà x3 + y4 x2 + y3 x3 + y3 x2 + y2 (1) + Ta có: x(x - 1)2 0: y(y + 1)(y - 1)2 x(x - 1)2 + y(y + 1)(y - 1)2 x3 - 2x2 + x + y4 - y3 - y2 + y (x2 + y2) + (x2 + y3) (x + y) + (x3 + y4) mà x2 + y3 x3 + y4 x2 + y2 x + y (2) (x + 1)(x - 1) (y - 1)(y3 -1) x - x - x + + y - y - y3 + (x + y) + (x2 + y3) + (x3 + y4) mà x + y3 x3 + y4 x+y2 Từ (1) (2) (3) ta có: x + y x + y2 x + y Đề 14 Câu 1: xcho A= 4(x-1) + x- x+ 4(x-1) (1- 4(x-1) ) x-1 Đề ôn thi vào 10 năm học 2011 2012 a/ rút gọn biểu thức A b/ Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Câu 2: Xác định giá trị tham số m để phơng trình x2-(m+5)x-m+6 =0 Có nghiệm x1 x2 thoã mãn điều kiện sau: a/ Nghiệm lớn nghiệm đơn vị b/ 2x1+3x2=13 Câu 3Tìm giá trị m để hệ phơng trình mx-y=1 m3x+(m2-1)y =2 vô nghiệm, vô số nghiệm Câu 4: tìm max biểu thức: x2+3x+1 x2+1 Câu 5: Từ đỉnh A hình vuông ABCD kẻ hai tia tạo với góc 450 Một tia cắt cạnh BC E cắt đờng chéo BD P Tia cắt cạnh CD F cắt đờng chéo BD Q a/ Chứng minh điểm E, P, Q, F C nằm đờng tròn b/ Chứng minh rằng: SAEF=2SAQP c/ Kẻ trung trực cạnh CD cắt AE M tính số đo góc MAB biết CPD=CM hớng dẫn Câu 1: a/ Biểu thức A xác định x2 x>1 ( x-1 -1)2+ ( x-1 +1)2 A= = x- -1 + x-2 (x-2)2 x-1 + x- 2 x- = x-1 x-1 x-2 ( = x-1 ) x-1 b/ Để A nguyên x- ớc dơng * x- =1 x=0 loại * x- =2 x=5 với x = A nhận giá trị nguyên Câu 2: Ta có x = (m+5)2-4(-m+6) = m2+14m+10 để phơng trìnhcó hai nghiệmphân biệt vàchỉ m-7-4 m-7+4 (*) a/ Giả sử x2>x1 ta có hệ x2-x1=1 (1) x1+x2=m+5 (2) x1x2 =-m+6 (3) Giải hệ tađợc m=0 m=-14 thoã mãn (*) b/ Theo giả thiết ta có: 2x1+3x2 =13(1) x1+x2 = m+5(2) x1x2 =-m+6 (3) giải hệ ta đợc m=0 m= Thoả mãn (*) Câu 3: *Để hệ vô nghiệm m/m3=-1/(m2-1) 1/2 3m3-m=-m3 m2(4m2- 1)=0 m=0 m=0 2 3m -1-2 3m -1 m=1/2 m=1/2 m *Hệvô số nghiệm thì: m/m =-1/(m -1) =1/2 3m3-m=-m3 m=0 3m -1= -2 m=1/2 Vô nghiệm Không có giá trị m để hệ vô số nghiệm Câu 4: Hàm số xác định với x(vì x2+10) x2+3x+1 Đề ôn thi vào 10 năm học 2011 2012 gọi y0 giá trịcủa hàmphơng trình: y0= x2+1 (y0-1)x2-6x+y0-1 =0 có nghiệm *y0=1 suy x = y0 1; =9-(y0-1)20 (y0-1)2 suy y0 Vậy: ymin=-2 y max=4 Câu 5: ( Học sinh tự vẽ hình) A Giải M a/ A1 B1 nhìn đoạn QE dới góc 450 tứ giác ABEQ nội tiếp đợc FQE = ABE =1v chứng minh tơng tự ta có FBE = 1v Q, P, C nằm đờng tròn đờng kinh EF b/ Từ câu a suy AQE vuông cân Q AE = (1) AQ tơng tự APF vuông cân D F AF (2) = AB từ (1) (2) AQP ~ AEF (c.g.c) S AEF = ( )2 hay SAEF = 2SAQP S AQP c/ Để thấy CPMD nội tiếp, MC=MD APD= CPD MCD= MPD= APD= CPD= CMD MD=CD MCD MPD=600 mà MPD góc ABM ta có APB=450 MAB=600-450=150 Đề 15 Bài 1: Cho biểu thức M = x + x +1 + x+3 x5 x +6 x x a Tìm điều kiện x để M có nghĩa rút gọn M b Tìm x để M = c Tìm x Z để M Z 2: a) Tìm x, y nguyên dơng thoã mãn phơng trình 3x2 +10 xy + 8y2 =96 b)tìm x, y biết / x - 2005/ + /x - 2006/ +/y - 2007/+/x- 2008/ = 1 Bài 3: a Cho số x, y, z dơng thoã mãn + + =4 y z x 1 Chứng ming rằng: + + 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z x x + 2006 b Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B = (với x ) x2 Bài 4: Cho hình vuông ABCD Kẻ tia Ax, Ay cho xA y = 45 Tia Ax cắt CB BD lần lợt E P, tia Ay cắt CD BD lần lợt F Q -2 B P E C Đề ôn thi vào 10 năm học 2011 2012 a Chứng minh điểm E; P; Q; F; C nằm đờng tròn b S AEF = S APQ Kẻ đờng trung trực CD cắt AE M Tính số đo góc MAB biết CP D = CM D Bài 5: (1đ) 1 ac bc ac + + =0 a b c Cho ba số a, b , c khác thoã mãn: ; Hãy tính P = + + c a b đáp án Bài 1:M = x x5 x +6 + x +1 x a.ĐK x 0; x 4; x Rút gọn M = Biến đổi ta có kết quả: M = ( )( ( ( x x ) ( )( x + x + x +1 x x )( x x x ( x 0,5đ x b M = x +3 + )( x ) ) M= ( ( x )( x 3)( x +1 ) )M = x 2) x x +1 x =5 x +1= x ) x + = x 15 16 = x 16 x= = x = 16 c M = x +1 x = Do M z nên x 3+ x = 1+ x x ớc x nhận giá trị: -4; -2; -1; 1; 2; x {1;4;16;25;49} x x {1;16;25;49} Bài a 3x2 + 10xy + 8y2 = 96 < > 3x2 + 4xy + 6xy + 8y2 = 96 < > (3x2 + 6xy) + (4xy + 8y2) = 96 < > 3x(x + 2y) + 4y(x +2y) = 96 < > (x + 2y)(3x + 4y) = 96 Do x, y nguyên dơng nên x + 2y; 3x + 4y nguyen dơng 3x + 4y > x + 2y mà 96 = 25 có ớc là: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24; 32; 48; 96 đợc biểu diễn thành tích thừa số không nhỏ là: 96 = 3.32 = 4.24 = 16 = 12 Lại có x + 2y 3x + 4y có tích 96 (Là số chẵn) có tổng 4x + 6y số chẳn Đề ôn thi vào 10 năm học 2011 2012 x + y = Hệ PT vô nghiệm x + y = 24 x + y = x = Hoặc x + y = 16 y = x + y = Hoặc Hệ PT vô nghiệm 3x + y = 12 Vậy cấp số x, y nguyên dơng cần tìm (x, y) = (4, 1) b ta có /A/ = /-A/ AA Nên /x - 2005/ + / x - 2006/ = / x - 2005/ + / 2008 - x/ / x 2005 + 2008 x / / / = (1) mà /x - 2005/ + / x - 2006/ + / y - 2007/ + / x - 2008/ = Kết hợp (1 (2) ta có / x - 2006/ + / y - 2007/ (3) / x 2006 / = x = 2006 (3) sảy / y 2007 / = y = 2007 Bài a Trớc hết ta chứng minh bất đẳng thức phụ a b ( a + b) + (*) b Với a, b thuộc R: x, y > ta có x y x+ y < >(a2y + b2x)(x + y) ( a + b ) xy a2y2 + a2xy + b2 x2 + b2xy a2xy + 2abxy + b2xy a2y2 + b2x2 2abxy a2y2 2abxy + b2x2 (ay - bx)2 (**) bất đẳng thức (**) với a, b, x,y > a b = x y Dấu (=) xảy ay = bx hay áp dung bất đẳng thức (*) hai lần ta có 2 1 1 + ữ ữ 2ữ 2 = + = 2x + y + z 2x + y + z x + y x + z 2 2 Tơng tự 1 1 + 4ữ + 4ữ + x+ y x+z 1 1 ữ ữ ữ ữ 1 4 4 + + + = + + ữ x y x z 16 x y z 1 + + ữ x + y + z 16 x y z (2) Đề ôn thi vào 10 năm học 2011 2012 1 1 + + ữ x + y + z 16 x y z Cộng vế bất đẳng thức ta có: 1 1 1 1 1 1 + + + + ữ+ + + ữ+ + + ữ x + y + z x + y + z x + y + z 16 x y z 16 x y z 16 x y z 4 4 1 1 + + ữ + + ữ = 16 x y z 16 x y z 1 + + =4 x y z Vì x x + 2006 B= ( x 0) x2 Ta có: B = x x + 2006 2006 x 2.2006 x + 2006 B= 2006 x x2 ( x 2006) + 2005 x B= x2 ( x 2006) + 2005 2005 + 2006 x 2006 Vì (x - 2006)2 với x x2 > với x khác ( x 2006 ) 2005 2005 B= khix = 2006 2006 x 2006 2006 ) ) ) Bài 4a EBQ = EAQ = 450 Y EBAQ nội tiếp; B = 900 góc AQE = 900 gócEQF = 900 B Tơng tự góc FDP = góc FAP = 450 Tứ giác FDAP nội tiếp góc D = 900 góc APF = 900 góc EPF = 900 0,25đ Các điểm Q, P,C nhìn dới 1góc900 nên điểm E, P, Q, F, C nằm đờng tròn đờng kính EF 0,25đ b Ta có góc APQ + góc QPE = 1800 (2 góc kề bù) góc APQ = góc AFE Góc AFE + góc EPQ = 1800 Tam giác APQ đồng dạng với tam giác AEF (g.g) S APQ S AEF =k = ữ = SAPQ = SAEE 2 c góc CPD = góc CMD tứ giác MPCD nội tiếp góc MCD = góc CPD (cùng chắn cung MD) Lại có góc MPD = góc CPD (do BD trung trực AC) góc MCD = góc MDC (do M thuộc trung trực DC) góc CPD = gócMDC = góc CMD = gócMCD tam giác MDC góc CMD = 600 tam giác DMA cân D (vì AD = DC = DM) Và góc ADM =gócADC gócMDC = 900 600 = 300 Đề ôn thi vào 10 năm học 2011 2012 góc MAD = góc AMD (1800 - 300) : = 750 gócMAB = 900 750 = 150 Bài 5Đặt x = 1/a; y =1/b; z = 1/c x + y + z = (vì 1/a = 1/b + 1/c = 0) x = -(y + z) x3 + y3 + z3 xyz = -(y + z)3 + y3 3xyz -( y3 + 3y2 z +3 y2z2 + z3) + y3 + z3 3xyz = - 3yz(y + z + x) = - 3yz = Từ x3 + y3 + z3 3xyz = x3 + y3 + z3 = 3xyz 1/ a3 + 1/ b3 + 1/ c3 1/ a3 1/ b3 1/ c3 = 3/abc Do P = ab/c2 + bc/a2 + ac/b2 = abc (1/a3 + 1/b3+ 1/c3) = abc.3/abc = 1/a + 1/b + 1/c =o P = ab/c2 + bc/a2 + ac/b2 = Đề Đề ôn thi vào 10 năm học 2011 2012 Bài 1Cho biểu thức A = ( x 3) + 12 x + x2 ( x + 2) x a Rút gọn biểu thức A b Tìm giá trị nguyên x cho biểu thức A có giá trị nguyên Bài 2: (2 điểm) Cho đờng thẳng: y = x-2 y = 2x y = mx + (m+2) (d1) (d2) (d3) a Tìm điểm cố định mà đờng thẳng (d3 ) qua với giá trị m b Tìm m để ba đờng thẳng (d1); (d2); (d3) đồng quy Bài 3: Cho phơng trình x2 - 2(m-1)x + m - = (1) a Chứng minh phơng trình có nghiệm phân biệt b Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phơng trình (1) mà không phụ thuộc vào m c Tìm giá trị nhỏ P = x21 + x22 (với x1, x2 nghiệm phơng trình (1)) Bài 4: Cho đờng tròn (o) với dây BC cố định điểm A thay đổi vị trí cung lớn BC cho AC>AB AC > BC Gọi D điểm cung nhỏ BC Các tiếp tuyến (O) D C cắt E Gọi P, Q lần lợt giao điểm cặp đờng thẳng AB với CD; AD CE a Chứng minh DE// BC b Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp c Gọi giao điểm dây AD BC F Chứng minh hệ thức: Bài 5: đáp án 1 = CQ + CE CE Cho số dơng a, b, c Chứng minh rằng: < a b c + + y = y = Vậy N(-1; 2) điểm cố định mà (d3) qua b Gọi M giao điểm (d1) (d2) Tọa độ M nghiệm hệ y = x x = => y = 2x y = Vậy M (2; 0) Nếu (d3) qua M(2,0) M(2,0) nghiệm (d3) Ta có : = 2m + (m+2) => m= Vậy m = - (d1); (d2); (d3) đồng quy ' = m2 3m + = (m - )2 + >0 m Bài 3: a Vậy phơng trình có nghiệm phân biệt x1 + x2 = 2(m 1) x1 + x2 = 2m b Theo Viét: => x1 x2 = m x1 x2 = 2m x1+ x2 2x1x2 = không phụ thuộc vào m a P = x12 + x12 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m - 1)2 (m-3) 15 15 m = (2m - )2 + 4 15 VậyPmin = với m = 4 Bài 4: Vẽ hình viết giả thiết kết luận Đề ôn thi vào 10 năm học 2011 2012 1 Sđ DC = Sđ BD = BCD 2 => DE// BC (2 góc vị trí so le) b APC = sđ (AC - DC) = AQC => APQC nội tiếp (vì APC = AQC nhìn đoan AC) c.Tứ giác APQC nội tiếp CPQ = CAQ (cùng chắn cung CQ) CAQ = CDE (cùng chắn cung DC) Suy CPQ = CDE => DE// PQ DE CE Ta có: = (vì DE//PQ) (1) PQ CQ QE DE = (vì DE// BC) (2) QC FC DE DE CE + QE CQ + = = =1 Cộng (1) (2) : PQ FC CQ CQ a Sđ CDE = 1 + = (3) PQ FC DE ED = EC (t/c tiếp tuyến) từ (1) suy PQ = CQ 1 + = Thay vào (3) : CQ CF CE a a a+c Bài 5:Ta có: < < a+b+c b+a a+b+c b b b+a < < a+b+c b+c a+b+c c c c+b < < a+b+c c+a a+b+c Cộng vế (1),(2),(3) : a b c 1< + + (1) (2) (3) Đề ôn thi vào 10 năm học 2011 2012 6: BI I (2,5 im) Cho biu thc : A = x x 3x + + x +3 x x 1) Rỳt gn biu thc A 2) Tỡm giỏ tr ca x A = 3) Tỡm gi tr ln nht ca biu thc A BI II (1.5 im)Gii bi toỏn sau bng cỏch lp phng trỡnh: Mt mnh t hỡnh ch nht cú di ng chộo l 13 m v chiu di ln hn chiu rng m Tớnh chiu di v chiu rng ca mnh t ú BI III (2.0 im)Cho parabol (P): y = -x2 v ng thng (d): y = mx 1) Chng minh rng vi mi gi tr ca m thỡ ng thng (d) luụn ct parabol (P) ti hai im phõn bit 2) Gi x1, x2 ln lt l honh cỏc giao im ca ng thng (d) v parabol (P) Tỡm giỏ tr ca m : x12x2 + x22x1 x1x2 = BI IV (3,5 im)Cho ng trn (O) c ng kớnh AB = 2R v im C thuc ng trn ú (C khỏc A, B) Ly im D thuc dõy BC (D khỏc B, C) Tia AD ct cung nh BC ti im E, tia AC ct tia BE ti im F 1) Chng minh FCDE l t gic ni tip 2) Chng minh DA.DE = DB.DC 3) Chng minh gúc CFD = gúc OCB Gi I l tõm ng trũn ngoi tip t giỏc FCDE, chng minh IC l tip tuyn ca ng trn (O) 4) Cho bit DF = R, chng minh tgAFB = BI V ( 0,5 im) Gii phng trỡnh: x2 + 4x + = (x + 4) x + - Ht - Bai I: (2,5 im) Vi x v x ta cú : Đề ôn thi vào 10 năm học 2011 2012 x x 3x + + = x +3 x x x ( x 3) x ( x + 3) 3x + + x9 x9 x9 x x + x + x 3x x 3( x 3) = = = = x +3 x9 x9 x 2) A = = x + = x = x = 36 x +3 3 3) A = ln nht x + nh nht x = x = x +3 1) A = Bai II: (2,5 im) Gi x (m) l chiu rng ca hỡnh ch nht (x > 0) chiu di ca hỡnh ch nht l x + (m) Vỡ ng chộo l 13 (m) nờn ta cú : 132 = x + ( x + 7)2 x + 14 x + 49 169 = x2 + 7x 60 = (1), (1) cú = 49 + 240 = 289 = 172 Do ú (1) x = 17 + 17 =5 (loi) hay x = 2 Vy hỡnh ch nht cú chiu rng l m v chiu di l (x + 7) m = 12 m Bai III: (1,0 im) 1) Phng trỡnh honh giao im ca (P) v (d) l: -x2 = mx x2 + mx = (2), phng trỡnh (2) cú a.c = -1 < vi mi m (2) cú nghim phõn bit trỏi du vi mi m (d) luụn ct (P) ti im phõn bit 2) x1, x2 l nghim ca (2) nờn ta cú : x1 + x2 = -m v x1x2 = -1 x1 x2 + x22 x1 x1 x2 = x1 x2 ( x1 + x2 1) = 1( m 1) = m+1=3m=2 Bai IV: (3,5 im) ã ã 1) T giỏc FCDE cú gúc i FED = 90o = FCD nờn chỳng ni tip 2) Hai tam giỏc vuụng ng dng ACD v DEB vỡ ã ã hai gúc CAD cựng chn cung CE, nờn ta = CBE DC DE = DC.DB = DA.DE cú t s : DA DB F I E C 3) Gi I l tõm vũng trũn ngoi tip vi t giỏc ã ã FCDE, ta cú CFD (cựng chn cung CD) = CEA ã ã Mt khỏc CEA (cựng chn cung AC) = CBA A ã ã v vỡ tam OCB cõn ti O, nờn CFD = OCB ã ã ã Ta cú : ICD = IDC = HDB ã ã ã ã v HDB OCD = OBD + OBD = 900 ã ã OCD + DCI = 900 nờn IC l tip tuyn vi ng trũn tõm O Tng t IE l tip tuyn vi ng trũn tõm O D O B Đề ôn thi vào 10 năm học 2011 2012 4) Ta cú tam giỏc vuụng ng dng ICO v FEA vỡ cú gúc nhn 1ã ã ã CAE = COE = COI (do tớnh cht gúc ni tip) CO R ã ã ã M tgCIO = IC = R = tgAFB = tgCIO = 2 Bai V: (0,5 im) Gii phng trỡnh : x + x + = ( x + 4) x + t t = x + , phng trỡnh ó cho thnh : t + x = ( x + 4)t t ( x + 4)t + x = (t x)(t 4) = t = x hay t = 4, Do ú phng trỡnh ó cho x + = hay x + = x 2 x + = x x + = 16 hay x2 = x = x Cỏch khỏc : x + x + = ( x + 4) x + x + + 4( x + 4) 16 ( x + 4) x + = ( x + 4)(4 x + 7) + ( x + 4)( x + + 4) = x + = hay ( x + 4) + x + + = x + = hay x + = x x2 = x = [...]... góc của H trên MA và MB Qua M kẻ đờng thẳng vuông góc với è cắt dây AB tại D 1 Chứng minh rằng đờng thẳng MD luôn đi qua 1 điểm cố định khi M thay đổi trên đờng tròn 2 Chứng minh MA 2 AH AD = MB 2 BD BH Đề ôn thi vào 10 năm học 2011 2012 Hớng dẫn a2 + a +1 Câu 1 a Bình phơng 2 vế A = a ( a + 1) c áp dụng câu a 1 1 A = 1+ a a +1 (Vì a > 0) 1 9999 = 100 100 0 m Câu 2 a : cm B (2 đ) áp dụng hệ thức... ta đợc: Đề ôn thi vào 10 năm học 2011 2012 P= x xy + x + 2 + xy xy + x + 2 + 2 z z ( x + 2 + xy = x + xy + 2 xy + x + 2 =1 (1đ) P = 1 vì P > 0 Câu 2: a.Đờng thẳng đi qua 2 điểm A và B có dạng y = ax + b Điểm A(-2;0) và B(0;4) thuộc đờng thẳng AB nên b = 4; a = 2 Vậy đờng thẳng AB là y = 2x + 4 Điểm C(1;1) có toạ độ không thoả mãn y = 2x + 4 nên C không thuộc đờng thẳng AB A, B, C không thẳng hàng... HA // PB (Cùng vuông góc với BC) P a) nên theo định lý Ta let áp dụng cho CPB ta có EH CH = ; PB CB POB = ACB (hai góc đồng vị) AHC POB A (1) Mặt khác, do PO // AC (cùng vuông góc với AB) => x 2 x x Câu 4 => : E B O H C = Đề ôn thi vào 10 năm học 2011 2012 Do đó: AH CH = PB OB (2) Do CB = 2OB, kết hợp (1) và (2) ta suy ra AH = 2EH hay E là trung điểm của AH b) Xét tam giác vuông BAC, đờng cao... =1/2 3m3-m=-m3 m=0 2 3m -1= -2 m=1/2 Vô nghiệm Không có giá trị nào của m để hệ vô số nghiệm Câu 4: Hàm số xác định với x(vì x2 +10) x2+3x+1 3 2 Đề ôn thi vào 10 năm học 2011 2012 gọi y0 là 1 giá trịcủa hàmphơng trình: y0= x2+1 (y0-1)x2-6x+y0-1 =0 có nghiệm *y0=1 suy ra x = 0 y0 1; =9-(y0-1)20 (y0-1)2 9 suy ra y0 4 Vậy: ymin=-2 và y max=4 Câu 5: ( Học sinh tự vẽ hình) A Giải M 1 a/ A1 và B1 cùng... 3 + 1) 2 a = 3 + 1 1 2+2 3 2 32 = Vậy D = 2 +1 4 3 2 3 c) áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có 2 a a +1 D 1 Vậy giá trị của D là 1 Đề ôn thi vào 10 năm học 2011 2012 Câu 2: a) m = -1 phơng trình (1) 1 2 9 x + x = 0 x 2 + 2x 9 = 0 2 2 x = 1 10 1 x 2 = 1 + 10 b) Để phơng trình 1 có 2 nghiệm thì 0 8m + 2 0 m 1 ( ) * 4 1 2 m + 4m 1 0 2 ( ) + Để phơng trình có nghiệm khác 0 m1 4 3 2... R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB Gọi H là chân đờng vuông góc hạ từ A đến đờng kính BC a) Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm E của AH b) Giả sử PO = d Tính AH theo R và d Câu 5: Cho phơng trình 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0 Không giải phơng trình, tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn: 3x1 - 4x2 = 11 Đề ôn thi vào 10 năm học 2011 2012 đáp án Câu 1a) f(x) = x 2 4 x + 4 = ( x 2)... Cho ABC cân tại A với AB > BC Điểm D di động trên cạnh AB, ( D không trùng với A, B) Gọi (O) là đờng tròn ngoại tiếp BCD Tiếp tuyến của (O) tại C và D cắt nhau ở K a/ Chứng minh tứ giác ADCK nội tiếp b/ Tứ giác ABCK là hình gì? Vì sao? c/ Xác định vị trí điểm D sao cho tứ giác ABCK là hình bình hành Đề ôn thi vào 10 năm học 2011 2012 Đáp án Câu 1: Điều kiện: x 0 và x 1 (0,25 điểm) x+2 x +1 x... 2 = 2 (1) Ta có: 1 1 x + y = 2 (2) 1 2 * Nếu xy = 1 thì x+ y = 2 Khi đó x, y là nghiệm của phơng trình: X2 2X + 1 = 0 X = 1 x = y = 1 Từ (2) có : x + y = 2xy Thay vào (1) có : xy = 1 hoặc xy = - Đề ôn thi vào 10 năm học 2011 2012 1 thì x+ y = -1 Khi đó x, y là nghiệm của phơng trình: 2 1 1 3 X2 + X =0 X= 2 2 * Nếu xy = - Vì y > 0 nên: y = 1 + 3 1 3 x= 2 2 Vậy phơng trình có hai nghiệm: x1... ED CD a AD ( AE AD ) = BD.CD AD 2 = AD AE BD.CD Lại có : VABD : VAEC ( g g ) AB AD = AB AC = AE AD AE AC AD 2 = AB AC BD.CD b d e c Đề ôn thi vào 10 năm học 2011 2012 Đề 4 Câu 1: Cho hàm số f(x) = x 2 4 x + 4 a) Tính f(-1); f(5) b) Tìm x để f(x) = 10 c) Rút gọn A = f ( x) khi x 2 x2 4 x( y 2) = ( x + 2)( y 4) ( x 3)(2 y + 7) = (2 x 7)( y + 3) Câu 2: Giải hệ phơng trình: x x +1 x... = DB + EC 2 Cộng từng vế ta đợc: 3DE > 2R DE > R 3 2 Vậy R > DE > R 3 Đề 9 Câu 1: Cho hàm số f(x) = x 2 4x + 4 a) Tính f(-1); f(5) b) Tìm x để f(x) = 10 c) Rút gọn A = f ( x) khi x 2 x2 4 Câu 2: Giải hệ phơng trình Đề ôn thi vào 10 năm học 2011 2012 x( y 2) = ( x + 2)( y 4) ( x 3)(2 y + 7) = (2 x 7)( y + 3) Câu 3: Cho biểu thức x x +1 x 1 : x + A = x 1 x 1 x với x > 0 và x ... thỏa mãn: 3x1 - 4x2 = 11 Đề ôn thi vào 10 năm học 2011 2012 đáp án Câu 1a) f(x) = x x + = ( x 2) = x Suy f(-1) = 3; f(5) = b) x = 10 x = 12 f ( x) = 10 x = 10 x = c) A= x2 f ( x) =... y+z Hãy tính giá trị biểu thức : M = + (x8 y8)(y9 + z9)(z10 x10) Bài 5: Cho x, y, z R thỏa mãn : Đề ôn thi vào 10 năm học 2011 2012 Đáp án Bài 1: a) Điều kiện để P xác định :; x ; y ;... (y + z)(y8 y7z + y6z2 - + z8) z10- x10 = (z + x)(z4 z3x + z2x2 zx3 + x4)(z5 - x5) 3 Vậy M = + (x + y) (y + z) (z + x).A = 4 B Đề ôn thi vào 10 năm học 2011 2012 Đề Bài 1: 1) Cho đờng thẳng