TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Vấn đề 1: Xét tính đơn điệu hàm số 3x y = x − x3 + x + y = x3 − x + x y= x +1 x−2 16 y= y = 16 x + x − x − x x+2 y = x2 + 2x + 2 y = x + 8x + x −x+2 10 y= y = x5 + x + x3 − 2x 2− x 3 y= x−2 x −9 y = 2x − 4x + y= 2 x + x +1 x − 2x + − x2 − x + y = y= x x +1 x +1 y= x +1 x2 − 5x + x − 8x + y= y= y = x ( x − 1) ( x > 0) x−2 x−5 y = 25 − x y= y = −2 x + x − 4x + x +1 x − 2x y = x + 3x y= x + 100 y= x+7 2x +1 y = x + x3 − x + x − 3x + y= y = x2 − 2x + 2x + x −1 y = − x2 y = x − x + x + 12 y = −2 x + x + y = 2x − x2 x + y = −x + x + y= x Vấn đề 2: Xác định tham số m để hàm số đồng biến (nghịch biến) I Cơ sở lý thuyết Cho hàm số y = f ( x) xác định có đạo hàm D * Hàm số đồng biến (a, b) ⊂ D f '( x ) ≥ 0, ∀x ∈ (a, b) * Hàm số nghịch biến (a, b) ⊂ D f '( x ) ≤ 0, ∀x ∈ (a, b) Xét tam thức bậc hai f ( x) = ax + bx + c , a ≠ a > * ax + bx + c ≥ ⇔  ∆ ≤ a < * ax + bx + c ≤ ⇔  ∆ ≤ II Bài tập áp dụng A – HÀM ĐA THỨC Cho hàm số y = x − 3( m − 1) x + 3m(m − 2) x + Tìm m để hàm số a Đồng biến R b Nghịch biến R Lời giải: TXĐ: D = R y ' = 3x − 6(m − 1) x + 3m(m − 2) a Hàm số đồng biến R y ' ≥ 0, ∀x a = > ⇔  ∆ ' = 6m + ≤ b Hàm số nghịch biến R y ' ≤ 0, ∀x a = < ⇔ (vô nghiem)  ∆ ' = 6m + ≤ Vậy: Không có giá trị để hàm số nghịch biến R ⇔m≤− Cho hàm số y = x (m − x) − m Tìm m để hàm số nghịch biến R Lời giải: TXĐ: D = R y ' = − x + mx − m Hàm số cho nghịch biến R y ' ≤ 0, ∀x ⇔ − x + mx − m ≤ 0, ∀x  a = −1 < ⇔ ∆ = m ≤ ⇔m=0 Vậy: Với m = yêu cầu toán thỏa Cho hàm số y = x − x + (m − 1) x + m + Tìm m để hàm số đồng biến R Lời giải: TXĐ: D = R y ' = 3x − x + m − Hàm số đồng biến R y ' ≥ 0, ∀x ⇔ x − x + m − ≥ 0, ∀x a = > ⇔ ∆ ' = −3m + ≤ ⇔m≥ Vậy: Với m ≥ yêu cầu toán thỏa Cho hàm số y = x (m − x) − mx + Tìm m để hàm số nghịch biến Lời giải: TXĐ: D = R y ' = −3 x + 2mx − m Hàm số nghịch biến R y ' ≤ 0, ∀x ⇔ −3 x + 2mx − m ≤ 0, ∀x  a = −3 < ⇔ ∆ = m − 3m ≤ ⇔0≤m≤3 Vậy: Với ≤ m ≤ điều kiện toán thỏa Cho hàm số y = x − 3mx + 3(2m − 1) x + Tìm m để hàm số đồng biến R Lời giải: TXĐ: D = R y ' = 3x − 6mx + 3(2m − 1) Hàm số đồng biến R y ' ≥ 0, ∀x ⇔ x − 6mx + 3(2m − 1) ≥ 0, ∀x a = > ⇔  ∆ ' = m − 2m + ≥ ⇔ m =1 Vậy: Với m = điều kiện toán thỏa Cho hàm số y = − x + (m − 1) x + (m + 3) x + Tìm m để hàm số luôn giảm Lời giải: TXĐ: D = R y ' = − x + 2( m − 1) x + m + Hàm số luôn giảm y ' ≤ 0, ∀x ⇔ − x + 2(m − 1) x + m + ≤ 0, ∀x  a = −1 < ⇔ (vô nghiem) ∆ ' = m − m + ≤ Vậy: Không có giá trị m thỏa yêu cầu toán Cho hàm số y = x − mx + 3x − Tìm m để hàm số đồng biến Lời giải: TXĐ: D = R y ' = 3x − 2mx + Hàm số đồng biến R y ' ≥ 0, ∀x ⇔ x − 2mx + ≥ 0, ∀x a = > ⇔ ∆ ' = m − ≤ ⇔ −3 ≤ m ≤ Vậy: Với −3 ≤ m ≤ điều kiện toán thỏa Cho hàm số y = x − (m − 1) x + 2(m − 1) x − Tìm m để hàm số tăng R Lời giải: TXĐ: D = R y ' = x − 2(m − 1) x + 2(m − 1) Hàm số tăng R y ' ≥ 0, ∀x ⇔ x − 2(m − 1) x + 2(m − 1) ≥ 0, ∀x a = > ⇔ ∆ ' = (m − 1)(m − 3) ≤ ⇔1≤ m ≤ Vậy: Với ≤ m ≤ điều kiện toán thỏa 3 Cho hàm số y = x − (sin m + cos m) x + x sin 2m Tìm m để hàm số đồng biến R Lời giải: TXĐ: D = R y ' = x − (sin m + cos m) x + sin 2m Hàm số đồng biến R y ' ≥ 0, ∀x ⇔ x − (sin m + cos m) x + sin 2m ≥ 0, ∀x a = > ⇔ ∆ = − 2sin m ≤ ⇔ − 2sin m ≤ π π ⇔ − + k 2π ≤ 2m ≤ + k 2π 6 π π ⇔ − + kπ ≤ m ≤ + k π 12 12 Cho hàm số y = x + mx + x + Tìm m để hàm số đồng biến R Lời giải: TXĐ: D = R y ' = 3x + 2mx + Hàm số đồng biến R y ' ≥ 0, ∀x ⇔ x + 2mx + ≥ 0, ∀x a = > ⇔ ∆ ' = m − ≤ ⇔− 6≤m≤ Vậy: Với − ≤ m ≤ điều kiện toán thỏa Cho hàm số y = mx − (2m − 1) x + (m − 2) x − Tìm m để hàm số đồng biến Lời giải: TXĐ: D =R y ' = 3mx − 2(2m − 1) x + m − Trường hợp 1: m = ⇒ y ' = x − ⇒ m = không thỏa yêu càu toán Trường hợp 2: m ≠ Hàm số đồng biến R y ' ≥ 0, ∀x a = 3m > ⇔ ∆ ' = (2m − 1) − 3m( m − 2) ≤ m > ⇔  m + 2m + ≤ m > ⇔ (vô nghiem)  m = −1 Vậy: Không có giá trị m thỏa yêu cầu toán m −1 x + mx + (3m − 2) x đồng biến Tìm m để hàm số y = Lời giải: TXĐ: D = R y ' = (m − 1) x + 2mx + 3m − Trường hợp 1: m − = ⇔ m = ⇒ y ' = x + ⇒ m = không thỏa yêu cầu toán Trường hợp 2: m − ≠ ⇔ m ≠ Hàm số đồng biến y ' ≥ 0, ∀x ⇔ (m − 1) x + 2mx + 3m − ≥ 0, ∀x m − > ⇔  ∆ ' = −2 m + 5m − ≤ ⇔m≥2 Vậy: Với m ≥ yêu cầu toán thỏa Cho hàm số y = mx + mx − x Tìm m để hàm số cho nghịch biến Lời giải: TXĐ: D = R y ' = − mx + 2mx − Trường hợp 1: m = ⇒ y ' = −1 < ⇒ m = thỏa yêu cầu toán Trường hợp 2: m ≠ Hàm số cho nghịch biến R y ' ≤ 0, ∀x ⇔ −mx + 2mx − ≤ 0, ∀x a = −m < ⇔ ∆ ' = m − m ≤ m > ⇔ (vô nghiem) 0 ≤ m ≤ Vậy: Với m = yêu cầu toán thỏa Định m để hàm số y = 1− m x − 2(2 − m) x + 2(2 − m) x + luôn giảm Lời giải TXĐ: D = R y ' = (1 − m) x − 4(2 − m) x + − 2m Trường hợp 1: m = ⇒ y ' = −4 x + ≤ ⇔ x ≥ Trường hợp 2: m ≠ 1 nên m = không thỏa yêu cầu toán a = − m < m > ⇔ ⇔2≤m≤3 Hàm số giảm  2 ≤ m ≤  ∆ ' = 2m − 10m + 12 ≤ Cho hàm số y = m+2 x − (m + 2) x + (m − 8) x + m − Tìm m để dồ thị hàm số nghịch biến R Lời giải: TXĐ: D = R y ' = (m + 2) x − 2(m + 2) x + m − Trường hợp 1: m + = ⇔ m = −2 ⇒ y ' = −10 ⇒ m = -2 thỏa yêu cầu toán Trường hợp 2: m ≠ −2 Hàm số nghịch biến R y ' ≤ 0, ∀x ⇔ (m + 2) x − 2(m + 2) x + m − ≤ 0, ∀x a = m + < ⇔ ∆ ' = (m + 2) − (m + 2)(m − 8) ≤ ⇔ m < −2 KL: Với m < - yêu cầu toán thỏa Cho hàm số y = (m − 1) x + (m + 1) x + x + Tìm m để hàm số đồng biến R Lời giải: TXĐ: D = R y ' = (m − 1) x + 2(m + 1) x + Trường hợp 1: m − = ⇔ m = ±1 * m = ⇒ y ' = x + ⇒ m = không thỏa yêu cầu toán * m = −1 ⇒ y ' = > ⇒ m = - thỏa yêu cầu toán Trường hợp 2: m − ≠ ⇔ m ≠ ±1 Hàm số đồng biến R y ' ≥ 0, ∀x ⇔ (m − 1) x + 2(m + 1) x + ≥ m − > ⇔ ∆ = −2m + 2m + ≤ ⇔ m < −1 ∨ m > Vậy: Với m ≤ −1 ∨ m > toán thỏa Cho hàm số y = (m + 3) x − x + mx Tìm m để hàm số: a Đồng biến R b Nghịch biến R Lời giải: TXĐ: D = R y ' = (m + 3) x − x + m Trường hợp 1: m + = ⇔ m = −3 ⇒ y ' = −4 x − ⇒ m = -3 không thỏa yêu cầu toán Trường hợp 2: m ≠ −3 a Hàm số đồng biến y ' ≥ 0, ∀x ⇔ (m + 3) x − x + m ≥ 0, ∀x a = m + > ⇔ ∆ = − m − 3m + ≤ ⇔ m ≥1 b Hàm số nghịch biến y ' ≤ 0, ∀x ⇔ (m + 3) x − x + m ≤ 0, ∀x a = m + < ⇔ ∆ = − m − 3m + ≤ ⇔ m ≤ −4 Cho hàm số y = mx − (m − 1) x + 3(m − 2) x + Xác định giá trị m để hàm số cho 3 nghịch biến R Lời giải: TXĐ: D = R y ' = mx − 2(m − 1) x + 3(m − 2) Trường hợp 1: m = ⇒ y ' = x − ⇒ m = không thỏa yêu cầu toán Trường hợp 2: m ≠ Hàm số nghịch biến R y ' ≤ 0, ∀x ⇔ mx − 2(m − 1) x + 3(m − 2) ≤ 0, ∀x a = m < ⇔  ∆ = −2 m + m + ≤ ⇔m≤ 2− Cho hàm số y = ( m + 2m ) x3 + mx + x + Xác định m để hàm số sau đồng biến R Lời giải: TXĐ: D = R 2 Ta có: y ' = ( m + 2m ) x + 2mx + Xét trường hợp: m = * m + 2m = ⇔   m = −2 + m = ⇒ y ' ≥ 0, ∀x nên m = thỏa yêu cầu toán + m = - ⇒ y ' = −4 x + ≥ ⇔ x ≤ nên m = -2 không thỏa điều kiện toán m ≠ * m + 2m ≠ ⇔   m ≠ −2 m + 2m > a > ⇔ ⇔ m ≤ −4 ∨ m ≥ Hàm số đồng biến R   ∆ ≤ − m − m ≤ y '    Vậy với m ≤ −4 ∨ m ≥ điều kiện toán thỏa Cho hàm số y = (m + 5m) x + 6mx + x − Tìm m để hàm số đồng biến R Lời giải TXĐ: D = R y ' = 3(m + 5m) x + 12mx + Trường hợp 1: m + 5m = ⇔ m = 0, m = −5 + m = ⇒ y ' = > ⇒ m = thỏa yêu cầu toán + m = −5 ⇒ y ' = −60 x + ⇒ m = - không thỏa yêu cầu toán Trường hợp 2: m + 5m ≠ Hàm số đồng biến R y ' ≥ 0, ∀x ⇔ 3(m + 5m) x + 12mx + ≥ 0, ∀x a = m + 5m > ⇔ ∆ ' = 2m − 10m ≤ ⇔0  ⇔ ∆ = − m2 − m + ≤ ( −1) + 2(−1) + m + m − ≠  ⇔m< + 13 − 13 ∨m> −2 −2 Cho hàm số y = x Xác định m để hàm số đồng biến khoảng xác định x−m Lời giải: TXĐ: D = R \ { m} −m y'= ( x − m) Hàm số đồng biến khoảng xác định y ' ≥ 0, ∀x ≠ m ⇔ −m ≥ ⇔m≤0 mx − ( m + 2) x + m − 2m + Xác định m để hàm số nghịch biến x −1 khoảng xác định Lời giải: TXĐ: D = R \ { 1} Cho hàm số y = mx + 2mx − m + 3m ( x − 1) Trường hợp 1: m = ⇒ y ' = ⇒ chưa xác định tính đơn điệu hàm số nên m=0 không thỏa yêu cầu toán Trường hợp 2: m ≠ Hàm số nghịch biến khoảng xác định y ' ≤ 0, ∀x ≠ ⇔ mx + 2mx − m + 3m ≤ 0, ∀x ≠ y'= a = m <  ⇔ ∆ ' = m3 − 2m ≤ m12 + 2m.1 − m + 3m ≠  m <  ⇔ m − ≤ m ≠ 0, m ≠  ⇔m 0, ∀x ≠ −1 ⇒ m = - thỏa yêu cầu toán Trường hợp 1: m = −1 ⇒ y ' = ( x + 1) Trường hợp 2: m ≠ −1 Hàm số đồng biến R y ' ≥ 0, ∀x ≠ m y'= ⇔ (m + 1) x − 2( m2 + m) x + m3 + m + ≥ 0, ∀x ≠ m a = m + >  ⇔  ∆ = −2 m − ≤ ( m + 1)m − 2(m + m).m + m3 + m + ≠   m > −1  ⇔ m ≥ −1 2 ≠  ⇔ m > −1 C – BÀI TẬP NÂNG CAO Cơ sở lý thuyết: f ( x) Giả sử tồn mx∈ax K f ( x) < g (m), ∀x ∈ K ⇔ max f ( x) < g (m) x∈K f ( x) ≤ g (m), ∀x ∈ K ⇔ max f ( x) ≤ g (m) x∈K f ( x) Giả sử tồn x∈K f ( x) > g (m), ∀x ∈ K ⇔ f ( x ) > g (m) x∈K f ( x) ≥ g (m), ∀x ∈ K ⇔ f ( x) ≥ g (m) x∈K Định m để hàm số y = mx − (m − 1) x + 3(m − 2) x + đồng biến khoảng (2; +∞) 3 Lời giải: TXĐ: D = R y ' = mx − 2(m − 1) x + 3(m − 2) Điều kiện toán thỏa y ' ≥ 0, ∀x > ⇔ mx − 2(m − 1) x + 3(m − 2) ≥ 0, ∀x > −2 x + ⇔m≥ , ∀x > x − 2x + −2 x + x − 12 x + ⇒ g '( x) = Xét hàm số g ( x) = x − 2x + ( x − x + 3) x = + g '( x) = ⇔   x = − Bảng xét dấu −∞ x 3− g’(x) + g(x) - 3+ +∞ + − 3+ Dựa vào bảng biến thiên ta thấy điều kiện toán thỏa m ≥ Cho hàm số y = x3 + x − mx − Với giá trị m hàm số đồng biến khoảng ( −∞;0 ) Lời giải TXĐ: D = R y ' = 3x + x − m Hàm số đồng biến ( −∞;0 ) y ' ≥ 0, ∀x ∈ (−∞, 0) ⇔ x + x − m ≥ 0, ∀x ∈ (−∞, 0) ⇔ m ≤ x + x = g ( x), ∀x ∈ (−∞, 0) ⇔ m ≤ g ( x) ( −∞ ,0) Ta có: g '( x) = x + = ⇔ x = −1 Vẽ bảng biến thiên ta có m ≤ g ( x ) = g (−1) = −3 ( −∞,0) Kết luận: Với m ≤ −3 điều kiện toán thỏa Cho hàm số y = − x3 + x + mx − Với giá trị m hàm số đồng biến khoảng ( 0; ) Lời giải TXĐ: D = R y ' = −3 x + x + m Hàm số đồng biến (0, 2) y ' ≥ 0, ∀x ∈ (0, 2) ⇔ −3 x + x + m ≥ 0, ∀x ∈ (0, 2) ⇔ m ≥ 3x − x = g ( x), ∀x ∈ (0, 2) ⇔ m ≥ max g ( x) (0,2) Ta có: g '( x) = x − = ⇔ x = Vẽ bảng biến thiên ta có m ≥ max g ( x) = (0,2) Vậy: m ≥ điều kiện toán thỏa m Cho hàm số y = x − ( m − 1) x + ( m − ) x + Với giá trị m hàm số đồng 3 biến [ 2; +∞ ) Lời giải TXĐ: D = R y ' = mx − 2(m − 1) x + 3(m − 2) Trường hợp 1: m = ⇒ y ' = x − ≥ ⇔ x ≥ nên không thỏa yêu cầu toán Trường hợp 2: m ≠ Hàm số đồng biến [ 2; +∞ ) y ' ≥ 0, ∀x ∈ [2, +∞) ⇔ y ' = mx − 2(m − 1) x + 3(m − 2) ≥ 0, ∀x ∈ [2, +∞) − 2x ⇔m≥ = g ( x ), ∀x ∈ [2, +∞) x − 2x + ⇔ m ≥ max g ( x) [2,+∞ ) Ta có: g '( x) = x − 12 x + ( x − x + 3) = ⇔ x = 3± Vẽ bảng biến thiên ta m ≥ max g ( x ) = g (2) = [2,+∞ ) 3 Tìm m để hàm số y = − x + (m − 1) x + (m + 3) x − đồng biến (0; 3) Lời giải: TXĐ: D = R y ' = − x + 2( m − 1) x + m + Hàm số đồng biến (0; 3) ⇔ y ' = − x + 2(m − 1) x + m + ≥ 0, ∀x ∈ (0;3) ⇔ m(2 x + 1) ≥ x + x − x2 + x − = g ( x) (*) 2x +1 2x2 + x + g '( x ) = > 0, ∀x ∈ (0;3) Ta có: (2 x + 1) ⇒ g(x) hàm số đồng biến (0; 3) 12 ⇒ g (0) < g ( x) < g (3) ⇔ −3 < g ( x) < 12 Vậy điều kiện (*) thỏa m ≥ Tìm m để hàm số y = mx + (1 − 3m) x + (2m + 1) x + nghịch biến [1; 5] 3 Lời giải y ' = mx + 2(1 − 3m) x + 2m + 1 Trường hợp 1: m = ⇒ y ' = x + ≤ ⇔ x ≤ − nên không thỏa yêu cầu toán Trường hợp 2: m ≠ Hàm số nghịch biến [1; 5] y ' = mx + 2(1 − 3m) x + 2m + ≤ 0, ∀x ∈ [1;5] 2x +1 ⇔m≥− = g ( x), ∀x ∈ [1;5] x − 6x + ⇔m≥ ⇔ m ≥ max g ( x) [1;5]  −1 + 21 x=  2( x + x − 5) =0⇔ Ta có: g '( x) = 2 ( x − x + 2)  −1 − 21 x =  11 Vẽ bảng biến thiên ta có m ≥ max g ( x ) = [1;5] 2 ( ) ( ) Tìm m để y = mx + 6m + x − − 3m nghịch biến [1, +∞) x +1 mx + 2mx + ≤ ∀x ≥ Giải: Hàm số nghịch biến [1, +∞) ⇔ y ′ = ( x + 1) ⇔ mx + 2mx + ≤ ⇔ m ( x + x ) ≤ −7 ∀x ≥ ⇔ u ( x ) = ( ) ⇔ Min u ( x ) ≥ m Ta có: u ′ ( x ) = 22 x + 2 > ∀x ≥ x ≥1 ( x + x) −7 ≥ m ∀x ≥ x + 2x u ( x ) = u ( 1) = −7 ⇒ u(x) đồng biến [1, +∞) ⇒ m ≤ Min x ≥1 mx + (1 − m) x + 2m Tìm m để hàm số y = đồng biến [ 4; +∞ ) 2x − Lời giải 2mx − 6mx − − m y'= (2 x − 3) 2mx − 6mx − − m ≥ 0, ∀x ∈ [ 4; +∞ ) Hàm số đồng biến [ 4; +∞ ) y ' = (2 x − 3) ⇔ 2mx − 6mx − − m ≥ 0, ∀x ∈ [ 4; +∞ ) = g ( x), ∀x ∈ [ 4; +∞ ) 2x − 6x −1 ⇔ m ≥ max g ( x) ⇔m≥ x∈[ 4; +∞ ) −6(2 x − 3) < 0, ∀x ∈ [ 4; +∞ ) ⇒ g(x) hàm số nghịch biến (2 x − x − 1) [ 4; +∞ ) nên m ≥ x∈m[ 4;ax+∞) g ( x) = f (4) = Ta có: g '( x) = Định m để hàm số y = Lời giải −2 x − x + m nghịch biến khoảng 2x +1    − ; +∞ ÷    1 TXĐ: D = R \  −   2 −4 x − x − − 2m y'= (2 x + 1) −4 x − x − − 2m     ≤ 0, ∀x ∈  − ; +∞ ÷ Hàm số nghịch biến  − ; +∞ ÷ y ' = (2 x + 1)       ⇔ m ≥ −2 x − x − = g ( x), ∀x ∈  − ; +∞ ÷   ⇔ m ≥ max g ( x)    − ; +∞ ÷     Ta có: g '( x) = −4 x − < 0, ∀x ∈  − ; +∞ ÷    1 g ( x ) = g  − ÷ = −1 Vậy: m ≥ max   2  − ; +∞ ÷   x + mx + − m Cho hàm số y = (Cm) Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (0; +∞) x + m −1 Lời giải TXĐ: D = R \ { − m} x + 4(m − 1) x + m − y'= ( x + m − 1) 2 x + 4(m − 1) x + m − ≥ 0, ∀x ∈ (0; +∞) ( x + m − 1) ⇔ g ( x ) = x + 4(m − 1) x + m − ≥ 0, ∀x ∈ (0; +∞) Tam thức g(x) có biệt thức ∆ ' = 2(m − 2) Ta xét trường hợp: + Trường hợp 1: ∆ = ⇔ m = ⇒ y ' ≥ 0, ∀x ≠ −1 ⇒ hàm số đồng biến (0; +∞) Nên m = thỏa yêu cầu toán + Trường hợp 2: ∆ > ⇔ m ≠ Với điều kiện điều kiện toán thỏa phương trình g(x) = có nghiệm x1, x2 thỏa  m ≠ m ≠ ∆ >    x1 < x2 < ⇔  S = x1 + x2 > ⇔ 2(1 − m) > ⇔ m < ⇔m  m2 −   m < − ∨ m >  >0  Kết luận: với m < − ∨ m = yêu cầu toán thỏa Hàm số đồng biến (0; +∞) y ' = Vấn đề 3: Ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình Giải phương trình a x 2011 + x = b x + x − = Lời giải: a Đặt f ( x) = x 2011 + x ⇒ f '( x) = 2011x 2010 + > ⇒ f(x) hàm số đồng biến Mặt khác: f (1) = nên x = nghiệm phương trình b Điều kiện x ≥ x = không nghiệm phương trình Đặt f ( x) = x + x − với x > 1 ⇒ f '( x) = x + > 0, x > x −1 ⇒ f(x) hàm số đồng biến Mặt khác: f (2) = nên x = nghiệm phương trình Giải phương trình x + + x + 7x + = (1) Lời giải Điều kiện phương trình − 41 + 41 ≤x≤ 2 (*) (1) ⇔ x + + x + x + − = Xét g ( x) = x + + x + x + − ⇒ g '( x ) = 1+ x+3 + > 0, ∀x ∈ (*) x + x + 7x + ⇒ g(x) hàm số đồng biến Mặt khác: g(1) = Vậy: x = nghiệm phương trình Thật vậy: Khi x > g(x) > g(1) = nên phương trình vô nghiệm Khi x < g(x) < g(1) = nên phương trình vô nghiệm Giải phương trình sau x3 − + x − = − x (1) Lời giải Điều kiện: x ≥ (1) ⇔ x − + x − + x = Xét f ( x) = x − + x − + x ⇒ f '( x) = 3 15 x 2 + +1 > x − 3 ( x − 1)   ⇒ hàm số cho đồng biến  ; +∞ ÷   Mặt khác: f (1) = nên x = nghiệm Kết luận: S = { 1} Giải phương trình x + + x + = x2 + + x2 Lời giải Phương trình (1) viết lại (1) x + + + x + = x2 + + 2x 1 1 3 + >0 Xét f (t ) = t + + t ⇒ f '(t ) = (t + 1) 3 t (2) ⇒ hàm số đồng biến R x =1 Mặt khác: (2) ⇔ f ( x + 1) = f (2 x ) ⇒ x + = x ⇔  x = −  2  x2 + x +  (1) Giải phương trình log  ÷ = x + 3x +  2x + 4x +  Lời giải  x + x + > Điều kiện  (đúng ∀x )  x + x + > (1) ⇔ log ( x + x + 3) − log (2 x + x + 5) = (2 x + x + 5) − ( x + x + 3) ⇔ log ( x + x + 3) + ( x + x + 3) = log (2 x + x + 5) + (2 x + x + 5) > 0, ∀t > Xét f (t ) = log t + t ⇒ f '(t ) = t.ln  x = −1 2 Mặt khác: (2) ⇔ f ( x + x + 3) = f (2 x + x + 5) ⇔ x + x + = ⇔   x = −2 Vậy: S = { −1; −2} Giải phương trình 3x + x = x Lời giải x x 3  4 (1) ⇔  ÷ +  ÷ = 5 5 x x (1) x x 4 3  4  3 Xét f ( x) =  ÷ +  ÷ − ⇒ f '( x) =  ÷ ln +  ÷ ln < 0, ∀x 5 5  5 5 ⇒ f(x) hàm đồng biến R Mặt khác: f (2) = nên x = nghiệm phương trình Giải phương trình x + 2( x − 2)3x + x − = Lời giải Đặt t = 3x > (1) (loai) t = −1 Phương trình trở thành t + 2( x − 2)t + x − = ⇔  t = − x x x Với t = − x ⇔ = − x ⇔ + x − = Xét f ( x) = 3x + x − ⇒ f '( x) = 3x ln + > 0, ∀x (2) ⇒ f(x) hàm đồng biến Mặt khác: f(1) = nên x = nghiệm phương trình Giải phương trình x + x − + x + + x + 16 = 14 Lời giải Điều kiện phương trình x ≥ Nhận xét x = không nghiệm phương trình Xét f ( x) = x + x − + x + + x + 16 1 1 ⇒ f '( x) = + + + > 0, ∀x > x x − x + x + 16 ⇒ f(x) hàm số đồng biến (5; +∞) Mặt khác: f (9) = 14 nên x = nghiệm phương trình Giải phương trình: x + x − − 3x + = Giải Điều kiện: x ≤ Đặt f ( x ) = x + x − − x + = Ta có: f ′ ( x ) = x + 3x + ( > ⇒ f (x) đồng biến −∞,   − 3x Mặt khác f (−1) = nên phương trình f (x) = có nghiệm x = −1 Giải phương trình −2 x − x + x −1 = ( x − 1) Lời giải (1) ⇔ −2 x − x + x −1 = x − x + ⇔ −2 x −x (1) + x −1 = x − x − ( x − 1) ⇔ x −1 + x − = x − x + x − x (2) t t Xét f (t ) = + t ⇒ f '(t ) = ln + > 0, ∀t ⇒ f(t) hàm đồng biến Mặt khác: (2) ⇔ f ( x − 1) = f ( x − x) ⇔ x − = x − x ⇔ x − x + = ⇔ x = Kết luận: x = nghiệm phương trình (1) Giải phương trình 25 x − 2(3 − x)5 x + x − = Lời giải (l ) t = −1 Đặt t = x > Phương trình trở thành t − 2(3 − x)t + x − ⇔  t = − x Với t = − x ⇔ 5x = − x ⇔ x + x − = Xét f ( x) = x + x − ⇒ f '( x) = x ln + > 0, ∀x ⇒ f(x) hàm đồng biến Mặt khác: f (1) = nên x = nghiệm phương trình Giải phương trình log (1 + x ) = log x Lời giải Điều kiện xác định phương trình x > t Đặt t = log x ⇔ x = (1) t t 1   Phương trình (1) trở thành log (1 + ) = t ⇔ + = ⇔  ÷ +  ÷ =1 2  ÷  t t t t t t t 37 1   1 − ⇒ f '( t ) = ln + ln < 0, ∀t Xét f (t ) =  ÷ +  ÷  ÷  ÷  ÷ 2 2  ÷      ⇒ f(t) hàm số nghịch biến R Mặt khác: f(3) = nên t = ⇔ x = 343 nghiệm phương trình Giải phương trình log x = log ( x + 2) Lời giải Điều kiện xác định phương trình x > t Đặt t = log x ⇔ x = Phương trình trở thành t t 5 1 t = log (5 + 2) ⇔ + = ⇔ − + = ⇔  ÷ +  ÷ − = 7 7 t t t t t t t t t 5 1 5 1 Xét f (t ) =  ÷ +  ÷ − ⇒ f '(t ) =  ÷ ln +  ÷ ln < 0, ∀t 7 7 7 7 7 ⇒ f(t) hàm nghịch biến R ⇒ phương trình f(t) = có không nghiệm R Mặt khác: f (1) = nên x = nghiệm phương trình Vấn đề 4: Ứng dụng tính đơn điệu để giải bất phương trình Giải bất phương trình x + 3x + x + 16 < + − x Lời giải Điều kiện xác định bất phương trình −2 ≤ x ≤ Bất phương trình viết lại thành x + x + x + 16 − − x < (2) Nhận thấy x = - nghiệm bất phương trình Xét 3x + 3x + f ( x) = x3 + x + x + 16 − − x ⇒ f '( x) = + > 0, ∀x ∈ (−2; 4) 4− x x + x + x + 16 ⇒ f(x) hàm số đồng biến (-2; 4) Mặt khác: (2) ⇔ f ( x) < f (1) ⇔ x < So với điều kiện ta có nghiệm bất phương trình −2 ≤ x < Giải bất phương trình x + + x + > Lời giải Điều kiện xác định phương trình x ≥ −2 Nhận thấy x = -2 không nghiệm bất phương trình cho 1 + > 0, ∀x > −2 Xét f ( x) = x + + x + ⇒ f '( x ) = x+9 2x + ⇒ f(x) hàm số đồng biến (−2; +∞) Mặt khác: x + + x + > ⇔ f ( x) > f (0) ⇔ x > So với điều kiện ta có nghiệm bất phương trình x > Giải bất phương trình x + + 2 x + > 13 Lời giải Điều kiện xác định bất phương trình x ≥ −2 Nhận xét x = -2 không nghiệm bất phương trình cho 1 x+4 + 2 x + ⇒ f '( x) = x + 4.ln + Xét f ( x) = x+4 2x + ⇒ f(x) hàm số đồng biến (−2; +∞) Mặt khác: x + + 2 x + > 13 ⇔ f ( x) > f (0) ⇔ x > So với điều kiện ta có x > nghiệm bất phương trình x +4 ln > 0, ∀x > −2 Giải bất phương trình log x + + log3 x + > Lời giải Điều kiện xác định phương trình x > −1 Xét 1 f ( x) = log x + + log x + = log ( x + 1) + log ( x + 9) 2 1 ⇒ f '( x) = + > 0, ∀x > −1 2( x + 1) ln 2( x + 9) ln ⇒ f(x) hàm số đồng biến (−1; +∞) Ta có: log x + + log3 x + > ⇔ f ( x) > f (0) ⇒ x > So với điều kiện ta có x > nghiệm bất phương trình x + + x − + x − + 13 x − < (*) Giải bất phương trình Giải Điều kiện x ≥ Đặt f ( x ) = x + + x − + x − + 13x − 7 13 ( ) + + >0 Ta có: f ′ x = x + + 3 5 × (13x − 7) × ( 5x − ) × ( x − 5) ) ⇒ f (x) đồng biến  , +∞ Mà f (3) = nên (*) ⇔ f (x) < f (3) ⇔ x <  Vậy nghiệm bất phương trình cho Giải bất phương trình 3 − x + ≤ x f (3 − x) ⇒ x − > − x ⇔ x > So với điều kiện ta có nghiệm bất phương trình < x ≤ Giải bất phương trình sau x + + x − + 49 x + x − 42 < 181 − 14 x (1) Lời giải Điều kiện xác định bất phương trình x ≥ (1) ⇔ 7 x + + x − + 49 x + x − 42 − 181 + 14 x < (t ≥ 0) Đặt t = x + + x − ⇒ t = 14 x + 49 x + x − 42 Phương trình trở thành : t + t − 182 < ⇔ −14 < t < 13 kết hợp điều kiện (t ≥ 0) 6  ta ≤ t ≤ 13 ⇒ (1) ⇔ x + + x − < 13 (2); điều kiện x ∈  ; +∞ ÷ 7  Xét hàm f ( x) = x + + x − 1 6  ⇒ f '( x) = + > ; ∀x ∈ ( ; +∞) hàm số đồng biến x ∈  ; +∞ ÷ 7x + 7x − 7  f (6) = 13 f ( x ) < 13 ⇔ x < Mặt khác nên nghiệm bất phương trình 6  ≤ x ≤ hay x ∈  ÷ 7  Giải bất phương trình log x > log (2 + x ) (1) Lời giải: Điều kiện bất phương trình x > Đặt t = log x ( Phương trình (1) trở thành t > log + t t ) t t 1   ⇔ + − < ⇔  ÷ +  ÷ −1 < 3  ÷  t t t t t 1   1   − ⇒ f '(t ) =  ÷ ln +  ln ⇔ log x > ⇔ x > 49  3  ÷  Giải bất phương trình x + x < ( x + 2) x + Lời giải: Điều kiện x ≥ −1 (*) ⇔ (2 x)3 + x < ( x + + 1) x + ⇔ (2 x)3 + x < ( x + 1)3 + x + ⇔ f (2 x ) < f ( x + 1), f (t ) = t + t ⇔ 2x < x +1 x < x <  x ≥  ⇔  x ≥ ⇔     x < x +  0 < x < + 17    Vậy bất phương trình có nghiệm −1 ≤ x < + 17 Vấn đề 5: Ứng dụng tính đơn điệu để giải hệ phương trình  x + x = ( y + 2) y + Giải hệ phương trình  2  x + y = Lời giải: (1) ⇔ x + x = ( y + 2) y + ⇔ x + x = ( y + 1)3 + y + ⇔ f ( x) = f ( y + 1), f (t ) = t + t ⇔x= y +1 y = ⇒ x =1 y + vào (2) ta có: y + + y + = ⇔   y = −1 ⇒ x = Vậy hệ có nghiệm (1; 0) (0; -1)  x − y = y − 3x (1) Giải hệ phương trình  2  2x − y = Lời giải (1) ⇔ x + 3x = y + y Xét f (t ) = t + 3t ⇒ f '(t ) = 3t + > ⇒ f(t) hàm số đồng biến R Mặt khác: x + 3x = y + y ⇔ f ( x) = f ( y ) ⇒ x = y Thay x = x = y x = y ⇔ Ta hệ phương trình sau:  2  x = ±2 2 x − y = Hệ phương trình cho có nghiệm (2; 2) (-2; -2)  x + + 10 − y = Giải hệ phương trình   y + + 10 − x = Lời giải Điều kiện xác định hệ phương trình −3 ≤ x, y ≤ 10 Nhận thấy x = -3, y = 10 không nghiệm hệ phương trình Trừ hai vế hệ cho ta phương trình x + − 10 − x = y + − 10 − y 1 + > 0, ∀t ∈ (−3;10) Xét hàm số f (t ) = t + − 10 − t ⇒ f '(t ) = t + 10 − t ⇒ f(t) hàm số đồng biến (-3; 10) x + − 10 − x = y + − 10 − y ⇔ f ( x) = f ( y ) ⇒ x = y Ta hệ phương trình sau  x = y x = y x =  x = y ⇔ ⇔ ⇔   x = y =1  x + + 10 − x =  x + + 10 − y = Kết luận: x = y = nghiệm hệ phương trình  x − x = y − y Giải hệ phương trình  2 y = x3 +  Lời giải Điều kiện xác định hệ phương trình x ≠ 0, y ≠ 1 Xét hàm số f (t ) = t − ⇒ f '(t ) = + > 0, ∀t ≠ t t ⇒ f(t) hàm số đồng biến R \ { 0} Mặt khác: x − 1 = y − ⇔ f ( x) = f ( y ) ⇒ x = y x y x = y x = y x = y  ⇔ ⇔ Ta hệ phương trình sau  −1 ± 2 y = x +  x − x + =  x = 1, x =  −1 ± Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm x = y = 1, x = y = Vấn đề 6: Ứng dụng tính đơn điệu để biện luận số nghiệm phương trình, bất phương trình Tìm m để phương trình m( x − x + + 1) + x(2 − x) ≤ có nghiệm x ∈  0;1 +  Lời giải: m( x − x + + 1) + x(2 − x) ≤ ⇔ m( x − x + + 1) − ( x − x) ≤ x −1 = ⇔ x =1 Đặt t = x − x + ≥ ⇒ t ' = x − 2x + Vẽ bảng biến thiên suy x ∈  0;1 +  ⇒ t ∈ [ 1; 2] t2 − 2 (*) ⇒ m ( t + 1) − t + ≤ ⇔ t − m ( t + 1) − ≥ ⇔ m ≤ t +1 2 t −2 t + 2t + ,1 ≤ t ≤ ⇒ f '(t ) = > 0,1 ≤ t ≤ Xét f (t ) = t +1 ( t + 1) (*) ⇒ f(t) hàm số đồng biến Bất phương trình thỏa m ≤ f ( x) = f (1) = − 1≤ x ≤ Tìm m để phương trình sau có nghiệm x( x − 1) + 4( x − 1) x =m x −1 Lời giải: Điều kiện phương trình x ≤ ∨ x ≥ Với điều kiện (*) ⇔ x( x − 1) + x( x − 1) = m (**) Đặt t = x( x − 1) , t ≥ Phương trình (**) trở thành t + 4t − m = có nghiệm t ≥ Điều kiện thỏa m ≥ −4 Tìm m để phương trình ( x + 2)(4 − x) + x = x − m có nghiệm Lời giải Điều kiện xác định phương trình −2 ≤ x ≤ Đặt t = ( x + 2)(4 − x) (0 ≤ t ≤ 3) ⇔ − x + x = t − Phương trình trở thành 2t = t − − m ⇔ g (t ) = t − 2t − = m Phương trình có nghiệm g (t ) ≤ m ≤ m ax g (t ) [ 0;3] [ 0;3] Ta có: g '(t ) = 2t − g '(t ) = ⇔ t = Vẽ bảng biến thiên ta có g (t ) ≤ m ≤ m ax g (t ) ⇔ g (1) ≤ m ≤ g (3) ⇔ −9 ≤ m ≤ −5 [ 0;3] [ 0;3] (*) [...]... < 1 So với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là −2 ≤ x < 1 Giải bất phương trình x + 9 + 2 x + 4 > 5 Lời giải Điều kiện xác định của phương trình là x ≥ −2 Nhận thấy x = -2 không là nghiệm của bất phương trình đã cho 1 1 + > 0, ∀x > −2 Xét f ( x) = x + 9 + 2 x + 4 ⇒ f '( x ) = 2 x+9 2x + 4 ⇒ f(x) là hàm số đồng biến trên (−2; +∞) Mặt khác: x + 9 + 2 x + 4 > 5 ⇔ f ( x) > f (0) ⇔ x > 0 So với... bất phương trình đã cho 1 1 x+4 + 2 2 x + 4 ⇒ f '( x) = 3 x + 4.ln 3 + 2 Xét f ( x) = 3 x+4 2x + 4 ⇒ f(x) là hàm số đồng biến trên (−2; +∞) Mặt khác: 3 x + 4 + 2 2 x + 4 > 13 ⇔ f ( x) > f (0) ⇔ x > 0 So với điều kiện ta có x > 0 là nghiệm của bất phương trình 2 x +4 ln 2 > 0, ∀x > −2 Giải bất phương trình log 2 x + 1 + log3 x + 9 > 1 Lời giải Điều kiện xác định của phương trình là x > −1 Xét 1 1 f... = log 2 ( x + 1) + log 3 ( x + 9) 2 2 1 1 ⇒ f '( x) = + > 0, ∀x > −1 2( x + 1) ln 2 2( x + 9) ln 3 ⇒ f(x) là hàm số đồng biến trên (−1; +∞) Ta có: log 2 x + 1 + log3 x + 9 > 1 ⇔ f ( x) > f (0) ⇒ x > 0 So với điều kiện ta có x > 0 là nghiệm của bất phương trình x + 1 + 3 5 x − 7 + 4 7 x − 5 + 5 13 x − 7 < 8 (*) Giải bất phương trình 5 Giải Điều kiện x ≥ Đặt f ( x ) = x + 1 + 3 5 x − 7 + 4 7 x − 5 +... 1) 2 + 2 + x − 1 > ( x − 3) 2 + 2 + 3 − x t 1 2 + >0 Xét f (t ) = t + 2 + t , t ≥ 0 ⇒ f '(t ) = 2 t +2 2 t ⇒ f(t) đồng biến trên (0; +∞) Mặt khác: (1) ⇔ f ( x − 1) > f (3 − x) ⇒ x − 1 > 3 − x ⇔ x > 2 So với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là 2 < x ≤ 3 Giải bất phương trình sau 7 x + 7 + 7 x − 6 + 2 49 x 2 + 7 x − 42 < 181 − 14 x (1) Lời giải Điều kiện xác định của bất phương trình x ≥ (1) ... (−2; 4) 4− x x + x + x + 16 ⇒ f(x) hàm số đồng biến (-2; 4) Mặt khác: (2) ⇔ f ( x) < f (1) ⇔ x < So với điều kiện ta có nghiệm bất phương trình −2 ≤ x < Giải bất phương trình x + + x + > Lời giải... '( x ) = x+9 2x + ⇒ f(x) hàm số đồng biến (−2; +∞) Mặt khác: x + + x + > ⇔ f ( x) > f (0) ⇔ x > So với điều kiện ta có nghiệm bất phương trình x > Giải bất phương trình x + + 2 x + > 13 Lời giải... x) = x+4 2x + ⇒ f(x) hàm số đồng biến (−2; +∞) Mặt khác: x + + 2 x + > 13 ⇔ f ( x) > f (0) ⇔ x > So với điều kiện ta có x > nghiệm bất phương trình x +4 ln > 0, ∀x > −2 Giải bất phương trình log