1 Bộ giáo dục đào tạo Trờng Đại Học Vinh -Lê nguyệt nga bIểU DIễN Số NGUYÊN Tố luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2010 Bộ giáo dục đào tạo Trờng Đại Học Vinh -Lê nguyệt nga bIểU DIễN Số NGUYÊN Tố luận văn thạc sĩ toán học Chuyên ngành: Đại số Mã số: 60.46.05 Ngời hớng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Thành Quang Vinh - 2010 mục lục mở đầu Chơng Thuật toán nguyên tố 1.1 Số nguyên tố 1.2 Giới thiệu số loại số nguyên tố 1.3 Thuật toán nguyên tố Chơng Biểu diễn số nguyên tố 2.1 Biểu diễn số nguyên tố dới dạng tổng bình phơng 2.2 Biểu diễn số nguyên tố dới dạng tổng bình phơng mở rộng Kết luận Tài liệu tham khảo Trang 3 16 16 26 36 37 mục lục mở đầu Chơng Thuật toán nguyên tố 1.1 Số nguyên tố 1.2 Giới thiệu số loại số nguyên tố 1.3 Thuật toán nguyên tố Chơng Biểu diễn số nguyên tố 2.1 Biểu diễn số nguyên tố dới dạng tổng bình phơng Trang 3 16 16 2.2 Biểu diễn số nguyên tố dới dạng tổng bình phơng mở rộng Kết luận Tài liệu tham khảo 26 36 37 Mở đầu Mt c bn S hc ú l cỏc nghiờn cu v s nguyờn t Cú th núi Tp hp s nguyờn t l m vng ca S hc ti v s nguyờn t tip tc phỏt trin v ngy cng hp dn i vi cỏc nh toỏn hc Carl Fiedrich Gauss ó d oỏn kt qu ca nh lý s nguyờn t cũn l hc sinh trung hc Chebyshev (1850) a cỏc chn cho s s nguyờn t gia hai gii hn cho trc Riemann gii thiu Gii tớch phc thnh lý thuyt v hm zeta Riemann v dn n mi quan h gia cỏc khụng im ca hm zeta v s phõn b s nguyờn t A Wiles chng minh nh lý ln Fermat cú s dng cụng c biu din L- hm p adic, vi p l s nguyờn t Ngy nay, cỏc kt qu ca s nguyờn t cú nhiu ng dng trc tip lý thuyt mt mó, tin hc Vỡ vy, bi toỏn tỡm cỏc thut toỏn v dng biu din ca s nguyờn t cú ý ngha thc tin ging dy v nghiờn cu Toỏn Tin hc Hin nay, cỏc k thi hc sinh gii Toỏn Tin hc Quc gia v Quc t cỏc bi toỏn v biu din s nguyờn t l mt mng kin thc quan trng cu trỳc ca thi v gii c cỏc bi toỏn ú luụn l trn tr ca mi hc sinh cng nh cỏc thy cụ giỏo ang trc tip ging dy cỏc trng THPT, cỏc trng THPT Chuyờn c nc Tt c iu trờn l lý chỳng tụi la chn ti Biu din s nguyờn t Mc ớch chớnh ca lun l tỡm cỏc dng biu din ca s nguyờn t Lun c chia lm hai chng cựng vi phn m u, kt lun v danh mc cỏc ti liu tham kho Trong chng 1, chỳng tụi trỡnh by cỏc thut toỏn kim tra nguyờn t v chng trỡnh kim tra hai s nguyờn t tng ng v gii thiu mt s loi s nguyờn t Trong chng 2, chỳng tụi trỡnh by cỏc dng biu din ca s nguyờn t gm: Biu din s nguyờn t di dng tng cỏc bỡnh phng, Biu din s nguyờn t di dng tng cỏc bỡnh phng m rng t ú a mt s ng dng ca bi toỏn biu din s nguyờn t Lun c thc hin di s hng dn nghiờm tỳc v chu ỏo ca PGS.TS Nguyn Thnh Quang Nhõn dp ny tỏc gi xin by t lũng kớnh trng v bit n sõu sc ti thy giỏo hng dn PGS.TS Nguyn Thnh Quang Tỏc gi cng xin by t lũng bit n ti PGS.TS Ngụ S Tựng, PGS.TS Lờ Quc Hỏn, TS Mai Vn T, TS Nguyn Th Hng Loan v cỏc thy cụ giỏo B mụn i s v Khoa Toỏn, Khoa o to Sau i hc ó tn tõm dy bo chỳng em thi gian hc va qua Tỏc gi cng xin by t lũng bit n ti nhng ngi bn hc viờn cao hc khoỏ 16 chuyờn ngnh i s v Lý thuyt s ó tn tỡnh giỳp quỏ trỡnh hc v hon thnh lun Lun khụng trỏnh nhng thiu sút, tỏc gi mong nhn c s ch bo ca cỏc thy cụ giỏo cựng cỏc bn ng nghip Tỏc gi CHNG THUT TON NGUYấN T Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by cỏc kt qu v s nguyờn t; gii thiu mt s loi s nguyờn t v thut toỏn kim tra nguyờn t v thut toỏn kim cỏc s nguyờn t tng ng 1.1 S nguyờn t 1.1.1 nh ngha S nguyờn t l s nguyờn ln hn 1, khụng chia ht cho s nguyờn dng no ngoi v chớnh nú (khụng cú c thc s) Mt s nguyờn ln hn v khụng phi l s nguyờn t c gi l hp s Cỏc s nguyờn t t n 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 1.1.2 nh lý c nh nht khỏc ca s t nhiờn ln hn l s nguyờn t Chng minh Gi s a l mt s t nhiờn ln hn v p l c nh nht khỏc ca a Nu p l hp s, ú p cú mt c thc s q cho < q < p Vỡ p l c ca a nờn q cng l c ca a , iu ny mõu thun vi gi thit p l c nh nht khỏc ca a g 1.1.3 nh lý Cú vụ hn s nguyờn t Chng minh Gi s ch cú hu hn cỏc s nguyờn t p1 , ,p k (k 1) , ta t a = p1p p k + Theo nh lý 1.1.2, c nh nht p khỏc ca a l s nguyờn t Vỡ ch cú hu hn cỏc s nguyờn t trờn, cho nờn p = p j no ú T ú suy ra, s nguyờn t p l c ca Ta gp phi mt mõu thun g Ngay t thi c i, ngi ta ó bit rng hp cỏc s nguyờn t l vụ hn Cú rt nhiu chng minh khỏc ca s kin ú Khụng ch quan tõm n hp cỏc s nguyờn t, nhiu ca lý thuyt v ng dng, ngi ta cũn cn bit cú hu hn hay vụ hn s nguyờn t biu th mt dng no ú Chng hn, cho s n ly cỏc giỏ tr nguyờn dng, cú Gi thuyt: Tp hp cỏc s nguyờn t dng n + l vụ hn 1.1.4 Gi thuyt Goldbach Mi s nguyờn chn ln hn u cú th vit di dng tng ca hai s nguyờn t Biu din mt s nguyờn di dng no ú luụn luụn l bi toỏn thu hỳt s quan tõm ca nhiu ngi Hn na, nhiu cn tr li cõu hi: cú bao nhiờu cỏch Mt cõu hi thuc hng trờn l mt gi thuyt ln Gi thuyt Goldbach l mt nhng gi thuyt ni ting nht ca Toỏn hc Gi thuyt ny c C Goldbach phỏt biu bc th gi Euler nm 1742 Ngi ta ó kim tra c rng gi thuyt ỳng vi cỏc s nguyờn chn khụng quỏ 1000000, th nhng cõu tr li cho trng hp tng quỏt l mt bi toỏn m Bi toỏn xỏc nh mt s cho trc cú phi l s nguyờn t hay khụng, cú nhiu ng dng thc tin i vi nhng s nh, bi toỏn ú l n gin Tuy nhiờn lm vic vi s ln (cú khong 100 ch s thp phõn tr lờn) ta cn phi tỡm mt thut toỏn hu hiu cú th thc hin trờn mỏy tớnh khong thi gian chp nhn c nh lý sau õy cho mt thut toỏn n gin xỏc nh cỏc s nguyờn t 1.1.5 nh lý Mi hp s n u cú c nguyờn t khụng vt quỏ n Chng minh Vỡ n l hp s nờn ta cú th vit n = ab, ú a, b l cỏc s nguyờn vi < a b < n Rừ rng ta phi cú a hoc b khụng vt quỏ n Gi s ú l a , ú c nguyờn t ca a cng chớnh l c nguyờn t ca n T nh lý trờn, ta cú thut toỏn sau õy tỡm cỏc s nguyờn t nh hn hoc bng s n > cho trc 1.1.6 Sng Eratosthenes Trc tiờn, ta vit dóy s t n n Trong dóy ú gch i s 1, vỡ nú khụng phi l s nguyờn t S nguyờn t u tiờn l Tip n ta gch tt c nhng s dóy chia ht cho S u tiờn khụng chia ht cho l S l s nguyờn t Ta li gch cỏc s chia ht cho cũn li dóy Tip tc nh th, ta gch dóy nhng s chia ht cho mt cỏc s nguyờn t hn hoc bng n Theo nh lý trờn, nhng s cũn li ca dóy khụng b gch l tt c cỏc s nguyờn t khụng vt quỏ n Tht vy, nhng s ny khụng cú c nguyờn t nh hn hoc bng cn bc hai ca nú, cho nờn phi l s nguyờn t Sng Eratosthenes cho ta mt thut toỏn xỏc nh mi s nguyờn t khụng vt quỏ mt s cho trc Tuy nhiờn s rt khú khn ta phi lm vic vi cỏc s ln Nguyờn nhõn l vỡ thut toỏn cú phc quỏ ln: ta phi thc hin phộp chia cho tt c cỏc s nguyờn t khụng vt quỏ cn n 1.1.7 nh lý c bn ca S hc Mi s t nhiờn ln hn cú th vit mt cỏch nht (khụng k s sai khỏc v th t cỏc tha s) thnh tớch cỏc tha s nguyờn t Chng minh * Phõn tớch cỏc s: Trc ht, mi s nguyờn t l tớch ca mt tha s l chớnh nú Gi s rng cú cỏc s nguyờn dng ln hn khụng biu din c thnh tớch cỏc s nguyờn t Khi ú, gi n l s nh nht cỏc s ú S n ny khỏc v l hp s Do ú n = ab, ú c a v b l cỏc s nguyờn dng nh hn n Vỡ n l s nh nht khụng th phõn tớch thnh tớch cỏc s nguyờn t nờn c a v b phõn tớch c thnh tớch cỏc s nguyờn t Nhng ú n = a.b li phõn tớch c iu ny mõu thun vi gi thit * Chng minh cỏch biu din trờn l nht: Ta gi s rng tn ti s nguyờn ln hn m cú hai cỏch biu din di dng tớch cỏc tha s nguyờn t Khi ú gi s s l s nh nht cỏc s nh vy, tc l s= 10 p1p p m = q1q q n vi pi ,q j l cỏc s nguyờn t Do p1 chia ht cho q1q q n suy tn ti q j m p1 chia ht q j T ú ta cú p1 = q j , gin c s nguyờn t ng thc ta c v l khai trin khỏc ca s s chia cho p1 , m theo gi thuyt s l s nh nht nh vy, mõu thun ny chng t gi thit l sai Vy mi s nguyờn ln hn ch cú mt biu din nht di dng tớch cỏc tha s nguyờn t (khụng k n th t cỏc tha s).g 1.2 Gii thiu mt s loi s nguyờn t S nguyờn t McNugget: 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 S nguyờn t Motzkin: 2, 127, 15511, 953467954114363 S nguyờn t Newman-Shanks-Williams : 7, 41, 239, 9369319, 63018038201, 489133282872437279, 19175002942688032928599 S nguyờn t Palindromic 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929, 10301, 10501, 10601, 11311, 11411, 12421, 12721, 12821, 13331, 13831, 13931, 14341, 14741, 15451, 15551, 16061, 16361, 16561, 16661, 17471, 17971, 18181, 18481, 19391, 19891, 19991 S nguyờn t Pell: 2, 5, 29, 5741, 33461 S nguyờn t Perrin: 2, 3, 5, 7, 17, 29, 277, 367, 853 S nguyờn t Pierpont 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97109, 163, 193, 257, 433, 487, 577, 769, 1153, 1297, 1459, 2593, 2917, 3457, 3889, 10369, 12289, 17497, 18433, 39367, 52489, 65537, 139969, 147457, 209953, 331777, 472393, 629857, 746497, 786433, 839809, 995329 S nguyờn t Primorial: 5, 7, 29, 31, 211, 2309, 2311, 30029 S nguyờn t Pythagorean: 28 ( ) 2r = 2r t Vỡ l ú ta cú th biu din n di dng sau õy: n = m p1p1 p k , ú p1,p2,,pk l cỏc s nguyờn t ụi mt khỏc v pi khụng cú dng 4k + vi mi i = 1,k Vỡ n khụng phi l s chớnh phng nờn k (tc l tn ti ớt nht mt tha s pi) t h = p1p p k thỡ n = m2 h (1) Theo Mnh 2.1.3, h = p1p2pk nờn phng trỡnh x2 + y2 = h ( (2) ) cú nghim nguyờn x, y khụng õm Vỡ h l tớch cỏc s nguyờn t phõn bit, ( ) nờn t (2) suy x 0, y , vy x, y l nguyờn dng 2 T x + y = h , ta i n: ( mx ) + ( my ) 2 ( ) + ( my ) = m h mx 2 =n ( ) iu ú chng t rng phng trỡnh x + y2 = n nhn mx,my lm nghim nguyờn dng iu kin c chng minh g Nhn xột T Mnh 2.1.4 v 2.1.5 ta suy kt lun tng ng sau: s nguyờn dng n cú th biu din c di dng tng ca bỡnh phng nguyờn dng iu kin cn v l: - Nu n l s chớnh phng, thỡ n phi cú ớt nht mt c nguyờn t dng 4k+1 - Nu n khụng phi l s chớnh phng, thỡ khai trin chớnh tc ca n tha s nguyờn t, thỡ cỏc c nguyờn t cú dng 4k + phi l s m chn Chỳ ý l mt s cú th l tng ca hai bỡnh phng, song cú th mt hai s bng Thớ d: = 32 + 0, hoc 16 = 42 + 0, nhiờn khụng 29 th biu din c = a + b hoc 16 = c2 + d , vi a, b, c, d l cỏc s nguyờn dng m 2.1.6 Mnh Gi s n l s nguyờn dng cú dng n = ( 8k + ) , õy m, k l cỏc s nguyờn khụng õm Khi ú, phng trỡnh x + y + z = n khụng cú nghim nguyờn khụng õm Chng minh Gi s iu khng nh ca Mnh khụng ỳng, tc l tn ti ( x, y,z ) nguyờn khụng õm, cho: 2 x + y +z = n, (1) m õy n = ( 8k + ) Ta bit rng x, y,z  , nờn x h (mod 8),h { 0,1,4} y h (mod 8),h { 0,1,4} z h (mod 8),h { 0,1,4} T ú: x + y + z h (mod 8),h { 0,1,2,3,4,5,6} 2 (2) Xột hai kh nng sau: Nu m > 0, ú m , nờn vỡ n = 4m ( 8k + ) , suy n (mod 4) T ú theo (1) v (2) suy ra: x + y + z h (mod 8),h { 0,4} Do 2 2 x + y + z (mod 4) , m 2 x h (mod 4); y h (mod 4); 2 2 z h (mod 4) , vi h { 0,1} nờn buc phi cú: x y z (mod 4) T ú x, y,z phi l s chn, v x = 2x1 , y = 2y1 ,z = 2z1 Thay li (1), v cú : 2 x1 + y1 + z1 = 4m1 (8k + 7) vỡ th cú th t 30 nu m -1 > 0, ta li tip tc quỏ trỡnh trờn Sau mt s hu hn ln, s i n: 2 x m + y m + z m = 8k + Do 8k + 7(mod 8) nờn iu ny mõu thun vi kt qu ó bit t phn trờn l 2 x m + y m + z m h (mod8), vi h { 0,4} Vy m > 0, iu khng nh ca mnh l ỳng 2 Nu m = 0, thỡ ta cú x + y + z = 8k + 2 T trờn, ta suy mõu thun Vy gi thit rng x + y + z = n ( n = 4m ( 8k + ) ) cú nghim nguyờn khụng õm l sai ú chớnh l pcm.g 2.2 Biu din s nguyờn t di dng tng cỏc bỡnh phng m rng 2 2.2.1 B Nu ( x + 2y ) Mp , õy p l s nguyờn t v p a (mod 8) , vi a { 5,7} , thỡ x Mp v yMp Chng minh: Gi s kt lun ca b trờn khụng ỳng, tc l x v y khụng cựng chia ht cho p Gi s x khụng chia ht cho p, t ú x khụng chia ht cho p 2 Vỡ ( x + 2y ) Mp m x2 khụng chia ht cho p, nờn 2y khụng chia ht cho p (tc y2 khụng chia ht cho p) Thy vy, nu trỏi li 2y Mp v ú x Mp (vụ lớ!) Do y2 khụng chia ht cho p nờn y khụng chia ht cho p, t ú, p nguyờn t, nờn ta cú: ( x,p ) = ( y,p ) = Từ x + 2y = p suy x 2y ( mod p ) hay x p1 ( ) p y p ( mod p ) (1) Do p l nguyờn t, ( x,p ) = , nờn theo nh lớ Fermat nh ta cú: 31 x p1 1( mod p ) Tng t y p1 1( mod p ) Kết hợp với (1) đến ( ) p ( 1) 1( mod p ) , hay p 2 p 1( mod p ) (2) Xột hai kh nng sau: 1) p ( mod ) , tc p = 8k + (nh vy p khụng cú dng 8t Theo kt qu ó bit thỡ khụng phi l s chớnh phng mụulụ p Mt khỏc, p = 8k + 5, th ì ( -1) p = ( 1) 4k + = 1( mod p ) vỡ l ú t (2) ta cú: p 1( mod p ) (3) T (3), theo nh ngha thỡ l s chớnh phng mụulụ p Mõu thun nhn c chng t gi thit phn chng l sai 2) Nu p ( mod ) , tc p = 8k + 7, hay p = 8t - Nh th l s chớnh phng mụulụ p, tc l: p 1( mod p ) T (2) v (4) suy ( 1) 8k + ( 1) 4k + (4) 1( mod p ) tc l: 1( mod p ) 1( mod p ) (5) S vụ lớ ca (5) ó hon tt vic chng minh b g 2.2.2 Mnh Cho p l s nguyờn t Khi ú, phng trỡnh x + 2y = p cú nghim nguyờn khụng õm ( x, y ) v ch hoc p = hoc p (mod 8), hoc p (mod 8) Chng minh a) iu kin cn Gi s phng trỡnh x2 + 2y2 = p (1) 32 ( ) cú nghim nguyờn khụng õm x, y , nhng kt lun ca Mnh khụng ỳng, tc l p 2,p (mod 8) , p (mod 8) T ú suy p (mod 8) , ( ) hoc p 7(mod 8) Vỡ x, y l nghim ca (1), nờn 2 x + 2y = p (2) Do p 5(mod 8) , hoc p 7(mod 8) , nờn theo B 2.2.1 ta suy ( 2 ) x Mp , v yMp T ú x + 2y Mp kt hp vi (2), ta thu c pMp V ú l iu vụ lớ Vy gi s (1) cú nghim nguyờn khụng õm l sai iu kin cn c chng minh b) iu kin o li, gi s p = 2, hoc p 1(mod 8) hoc p 3(mod 8) Xột kh nng sau: Nu p = Khi ú d nhiờn phng trỡnh x + 2y = p = cú nghim nguyờn khụng õm, vỡ chng hn x = 0, y = tho phng trỡnh Nu p 1(mod 8) Khi ú ta cú -2 l s chớnh phng mụulụ p Tht vy, l s chớnh phng mụulụ p ( õy p l s nguyờn t l) v ch p = 8t Do p 1(mod 8) nờn p = 8k + Vỡ th l s chớnh phng mụulụ p Mt khỏc, ( 1) p = ( 1) 8k +11 = 1( mod p ) , vy -1 cng l s chớnh phng mụulụ p Theo tớnh cht ca s chớnh phng mụulụ p, suy -2 = 2.(-1) cng l s chớnh phng mụulụ p Theo nh ngha suy tn ti a Ơ cho a 2(mod p) (3) 33 Xột hp { x + ay} vi x = 0, 1, , m; vi y= 0, 1, , m; vi m = p , õy p kớ hiu phn nguyờn ca s ( m + 1) phn t , m p < ( m + 1) nh ngha phn nguyờn, thỡ vỡ m = p p < m + , hay p < ( m + 1) Vỡ th suy tn ti nờn p Tp hp ny cú ( x1, y1 ) ( x , y2 ) cho: x1 + ay1 x + ay ( mod p ) ( x1 x ) a ( y y1 ) ( mod p ) T ú ta cú: ( x1 x ) a ( y y1 ) ( mod p ) (4) ( mod p ) (5) Kt hp (3) v (4) ta cú: ( x1 x ) ( y y1 ) t x = x1 x ; y = y1 y Do ( x1 , y1 ) ( x , y ) nờn ( x, y ) l s nguyờn khụng õm, v t (5) ta cú: ( ) x + 2y ( mod p ) x + 2y Mp 2 (6) ( ) x1 m; x m;0 y1 m; y m m = p , Vỡ 2 nờn < x + 2y < p + 2p = 3p n õy xột kh nng sau (kt hp vi (6): ( ) 2 - Nu x + 2y = p Khi ú x, y l mt nghim nguyờn khụng õm ca (1) 2 - Nu x + 2y = 2p Lỳc ny x l s chn, nờn x = 2x1 Mt mt ( x, y ) l cp s nguyờn khụng õm, thỡ x + 2y = 2p , dn n: ( x , y) cng vy Mt khỏc t 34 2 4x12 + 2y = 2p y + 2x12 = p ( (7) ) ng thc (7) chng t rng ( x, y ) = y, x1 l nghim nguyờn khụng õm ca (1) Vy ta ó chng minh c p 1( mod ) thỡ phng trỡnh x + 2y = p cú nghim nguyờn khụng õm - Nu p ( mod ) Khi ú p = 8k + Ta cú : ( 1) p = ( 1) 8k +31 = ( 1) 4k +1 = 1( mod p ) vy -1 khụng phi l s chớnh phng mụulụ p Mt khỏc, p = 8k + 3, nờn p 8t Vy theo kt qu ó dn trờn, thỡ cng khụng phi l s chớnh phng mụulụ p Vỡ th = 2.( 1) li l s chớnh phng mụulụ p Nh vy tn ti a Ơ cú (3), v lp lun li tng t nh phn p 1( mod ) Vy nu p ( mod ) thỡ (1) cng cú nghim nguyờn khụng õm iu kin c chng minh g 2.2.3 B Gi s cỏc phng trỡnh x2 + 2y2 = m v x2 + 2y2 = n cú nghim nguyờn khụng õm (m, n l cỏc s nguyờn dng) Khi ú phng trỡnh x2 + 2y2 = mn cng cú nghim nguyờn khụng õm Chng minh Theo gi thit, tn ti ( x1 , y1 ) v ( x , y ) nguyờn khụng õm cho: x12 + 2y12 = m 2 x + 2y = n Nhõn tng v hai ng thc trờn ta cú: mn = ( x12 + 2y12 ) ( x 22 + 2y 22 ) = ( x1x 2y1y ) + ( y1x + x1y ) 2 35 ( xx ng thc trờn chng t rng ) 2y1y , y1x + x1y l nghim nguyờn khụng õm ca phng trỡnh x + y = mn 2.2.4 Mnh Gi s n cú phõn tớch chớnh tc: n = r s t p q si i i =1 j =1 tj j ú r, si, tj l cỏc s nguyờn khụng õm; p i l cỏc s nguyờn t dng 8k + 1, 8k + 3; qj l s nguyờn t dng 8k + 5, 8k + Khi ú phng trỡnh x + 2y2 = n, cú nghim nguyờn khụng õm v ch tj l s chn vi mi j =1, , t Chng minh a) iu kin cn Gi s phng trỡnh: x2 + 2y2 = n , (1) ( ) cú nghim nguyờn khụng õm x, y , tc l: 2 x + 2y = n (2) Gi thit kt lun ca mnh khụng ỳng, tc l tn ti tha s q h (1 h t) ( 2 khai trin ca n vi s m t h l Khi ú t (2) suy ) x + 2y M q h Do qh cú dng 8k + hoc 8k + 7,nờn theo B 2.2.1 ta cú: x Mq h v yMq h T ú x = q h x1 , y = q h y1 Thay li vo (2) v ta cú: q ( x + 2y h 2 s t ) = p q r i =1 si i j =1 jh tj j q x + 2y = th h 2 r s t p q i =1 si i j =1 j h tj j qhth Quỏ trỡnh ny c tip tc thc hin nu t h cũn l s l > 1; v n mt lỳc ta s cú: x + 2y = 2 m m r s t p q i =1 si i j =1 j h tj j qh (3) 36 t b = r s t p q si i i =1 j=1 j h tj j thỡ rừ rng ( b,q h ) = v õy 2, pi, qj vi i = 1, t ( j h ) u l cỏc s nguyờn t khỏc v khỏc vi s nguyờn t q h Lỳc ny (3) cú dng: x 2m + 2y 2m = bq h (4) T (4) suy ra: (x m + 2y 2m ) Mq h Do qh l s nguyờn t cú dng 8k + hoc 8k + 7, nờn theo B 2.2.1 ta cú: x m Mq h v y m Mq h , nờn : (x m + 2y 2m ) M q 2h (5) q h õy l iu vụ lớ, vỡ Kt hp (4) v (5) dn n bq h Mq h2 , hay bM ( b,q h ) = Vy gi thit phn chng l sai, tc l t j l s chn vi mi j = 1, t iu kin cn c chng minh b) iu kin : Gi s tj l s chn vi mi j = 1, t , ta phi chng minh ( ) rng (1) cú nghim nguyờn khụng õm x, y s r s t m = pi i Do tj l s chn vi mi j = 1, t , nờn i =1 t q j=1 sj j = h vỡ th ta cú: n = mh2 (6) Rừ rng phng trỡnh: x2 + 2y2 = cú nghim nguyờn khụng õm (vỡ (0, 1) l nghim) Mt khỏc, cỏc phng trỡnh x + 2y = pi cng cú nghim nguyờn khụng õm vi mi i = 1,s (suy t Mnh 2.2.2 p i l cỏc s nguyờn t cú dng 8k + 1, 8k + tc l khụng cú dng 8k + 7) 37 p dng liờn tip mnh trờn, suy phng trỡnh x + 2y = 2 r s p i =1 si i =m cng cú nghim khụng õm iu ú cú ngha l tn ti nghim nguyờn khụng õm x, y cho: ( ) 2 x + 2y = m (7) Kt hp vi (6) v (7), ta cú: ( hx ) + ( hy ) ( =n (8) ) T (8) suy hx,hy l nghim nguyờn khụng õm ca (1) iu kin c chng minh g Nhn xột T Mnh 2.2.2 v mnh 2.2.4 ta suy kt qu tng ng sau (v biu din s): S nguyờn dng n biu din c thnh tng ca ba bỡnh phng ú, cú hai bỡnh phng trựng v ch tho iu kin sau a) Nu n l s nguyờn t thỡ n = hoc n (mod 8) , hoc n 3(mod 8) b) Nu n khụng phi l s nguyờn t, thỡ khai trin n=2 r s t p q i =1 si i j =1 jh tj j tj l s chn vi mi j = 1, t , õy pi l cỏc s nguyờn t dng 8k + 1, 8k+3 vi mi i = 1,s cũn qj l cỏc s nguyờn t dng 8k + 5, 8k + vi mi j = 1, t 38 2.2.5 Mnh Cho n l s nguyờn dng v l s chớnh phng Khi ú, phng trỡnh x2 + 2y2 = n cú nghim nguyờn dng v ch n phi cú ớt nht mt c nguyờn t dng 8k + hoc 8k + Chng minh a) iu kin cn: Vỡ n l s chớnh phng, nờn n = m2 Gi s phng trỡnh x2 + 2y2 = m2 (1) ( ) cú nghim nguyờn dng x, y tc l cú: 2 x + 2y = m (2) Ta phi chng minh n phi cú ớt nht mt c nguyờn t dng 8k + 1, 8k+3 Gi s iu ú khụng ỳng, tc l khai trin chun tc, n cú dng s n = 2r q si i (3) i =1 õy r t 0,sit v qi l s nguyờn t dng 8k + 5, hoc 8k + Chỳ ý n = m2, nờn r t = 2r v sit = 2si vi mi i = 1,s vỡ th t (3) ta cú: s n = 22r q i2si (4) i =1 Cú hai kh nng xy ra: - Nu si = vi mi i = 1,s , ú t (4) suy ra: n = 22r (5) T (2) ta cú: 2 x + 2y = 22r (6) Do x > 0, y > , nờn x + 2y , t ú suy r T (6) suy x = 2x1 , v cú: 2 4x12 + 2y = 22r 2x12 + y = 2(r 1) C lm tip tc v s i n , xk, yk nguyờn > 0, v cú: 39 x 2k + 2y 2k = 2 2x k + y k = (7) (8) T (7) v (8) suy vụ lớ, vỡ x k 1, y k , nờn v trỏi ca (7) v (8) u 2 - Nu tn ti h m s h ( h s ) Khi ú t x + 2y = n , suy ( 2 ) x + 2y M q h Do qh l s nguyờn t dng 8k + hoc 8k + 7, nờn theo B q h v yM q h Bng cỏch t x = q h x1 , y = q h y1 , t 2.2.1 suy x M s x + 2y = 22r q i2si , suy ra: 2 i =1 s ( x12 + 2y12 ) = 22r qi2si q h2sh i =1 C tip tc nh vy n mt lỳc no ú s dn n x 2k + 2y 2k = 22r (Vụ lớ) Túm li, gi thit phn chng l sai, tc l n phi cú ớt nht mt c nguyờn t cú dng 8k + 1, hoc 8k + iu kin cn c chng minh b) iu kin Gi s n cú ớt nht mt c nguyờn t dng 8k + hoc 8k + Gi c ú l p T n = m 2, suy m Mp hay mMp Vỡ th m cú dng m = pk, v n s cú dng n = p2k2 Xột phng trỡnh: x2 + 2y2 = p (9) Do p l s nguyờn t cú dng 8k + hoc 8k + 3, nờn theo Mnh ( ) 2.2.2 suy (9) cú nghim nguyờn khụng õm x, y , 2 T p = x + 2y , suy ra: 40 ( p = x + 2y ) ( 2 2 = x 2y ) 2 ( ) + xy (10) t x1 = x 2y v y1 = 2xy thỡ (10) cú dng: p = x12 + 2y12 n = p k = ( kx1 ) + ( ky1 ) 2 (11) Rừ rng y1 l s nguyờn dng, cũn x1 l s nguyờn dng 2 2 x 2y (vỡ nu x 2y = , thỡ 2= x l iu vụ lớ) ng thc (11) y chng t rng (kx1, ky1) l nghim nguyờn dng ca x2 + 2y2 = n iu kin c chng minh g 41 KT LUN Ni dung chớnh ca lun ny gm: Trỡnh by thut toỏn kim tra nguyờn t vi phc a thc Trỡnh by chng trỡnh kim tra hai s nguyờn t tng ng Gii thiu mt s loi s nguyờn t Biu din s nguyờn t di dng tng cỏc bỡnh phng Biu din s nguyờn t di dng tng cỏc bỡnh phng m rng Hng nghiờn cu ca Lun cú th tip tc i sõu tỡm hiu cỏc thut toỏn, vit cỏc chng trỡnh tin hc mi v kim tra mt s lp s nguyờn t c th 42 TI LIU THAM KHO TING VIT [1] Hong Chỳng (1996), S hc B chỳa ca Toỏn hc, Nh xut bn Giỏo dc, H Ni [2] Nguyn - Nguyn Khỏnh Nguyờn (1993), Cỏc thi vụ ch Toỏn cỏc nc, Nh xut bn Hi Phũng [3] Phan Huy Khi (2006), Cỏc chuyờn s hc bi dng hc sinh gii Toỏn trung hc - Chuyờn 3: Cỏc bi toỏn c bn ca s hc, Nh xut bn Giỏo dc [4] H Huy Khoỏi - Phm Huy in (2003), S hc thut toỏn C s lý thuyt v tớnh toỏn thc hnh, Nh xut bn i hc Quc gia H Ni [5] m Vn Nh Lu Bỏ Thng - Nguyn Vit Hi (2006), S hc, Nh xut bn Hi Phũng [6] Nguyn Thnh Quang (2003), S hc hin i, Trng i hc Vinh [7] Hi Toỏn hc Vit Nam (2000), Tuyn 30 nm Tp Toỏn hc v Tui tr, Nh xut bn Giỏo Dc [8] http://wikipedia.org , Bỏch khoa ton th m Wikipedia, Vit Nam [9] http://mathworld.wolfram.com, Cỏc ngun ti nguyờn Toỏn hc TING ANH [10] M Burton (2002), Elementary Number Theory, McGraw Hill, India [11] H.L Keng (1982), Introduction to number theory, Springer [12] S.G Telang (2001), Number Theory, McGraw Hill, India [...]... là số nguyên tố đối xứng nhỏ nhất 27 Số nguyên tố mạnh (yếu) Khi một số nguyên tố lớn hơn trung bình cộng hai số nguyên tố nằm cạnh nó, nó được gọi là số nguyên tố mạnh, nếu nhỏ hơn là số nguyên tố yếu 28 Số nửa nguyên tố Là số tự nhiên được tạo thành từ tích của hai số nguyên tố (không nhất thiết phân biệt) Một vài số nửa nguyên tố đầu tiên là: 4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, … 1.3 Thuật toán nguyên. .. 25 Số nguyên tố Wolstenholme: 16843, 2124679 26 Số nguyên tố đối xứng: Là một số nguyên tố bằng trung bình cộng của 2 số nguyên tố liền trước và liền sau nó.Với Pn là số nguyên tố thứ n, một số nguyên tố là đối xứng khi thỏa mãn Pn = Pn −1 + Pn +1 2 Số nguyên tố đối xứng nhỏ nhất là 5; 10 số nguyên tố đối xứng đầu tiên là: 5, 53, 157, 173, 211, 257, 263, 373, 563, 593 Nếu coi 1 cũng là số nguyên tố ... tự như trên, ta lấy số nguyên tố nhỏ nhất lớn hơn số n cho trước bằng lệnh : [> nextprime(n); Ví dụ : [> nextprime(12345678); 12345701 Số lượng các số nguyên tố nhỏ hơn một số n cho trước được tính bằng lệnh : [> pi(n); Ví dụ: Số lượng các số nguyên tố trong 1 tỉ số tự nhiên đầu tiên được tính bằng lệnh [> pi(1000000000); 60847534 16 Tìm số nguyên tố thứ k trong dãy các số nguyên tố bằng lệnh : [> ithprime... ước số nguyên tố là 3 và 5 Tuy nhiên 12 và 60 không nguyên tố tương đương Hãy viết chương trình kiểm tra 2 số có nguyên tố tương đương hay không Mở rộng với n số nguyên tố tương đương Dữ liệu của cả hai bài toán này có thể nhập từ bàn phím hay file đều được 17 1.3.5 Chương trình kiểm tra hai số nguyên tố tương đương 1 Phương pháp dùng mảng và dùng mảng trung gian để lưu trữ thừa số nguyên tố của 2 số. .. -1 tuỳ theo số a là âm hay dương, a[i] là các thừa số nguyên tố, còn b[i] là luỹ thừa của nó trong khai triển Ví dụ [> ifactors(-467112123); [-1, [[3, 3], [31, 1], [313, 1], [1783, 1]]] 1.3.4 Định nghĩa Hai số nguyên dương được gọi là nguyên tố tương đương nếu chúng có cùng các ước số nguyên tố Khái niệm này có thể mở rộng với n số nguyên tố tương đương Ví dụ 15 và 75 là các số nguyên tố tương đương... khai triển ra thừa số nguyên tố của n (dạng chính tắc), tất cả các số nguyên tố dạng 4k + 3 đều phải ở dạng luỹ thừa với số mũ chẵn Ví dụ minh hoạ: 1) Ta có 30 = 2.3.5, ở đây chỉ có số 3 là số nguyên tố dạng 4k + 3 Do đó 3 trong khai triển có số mũ lẻ, nên 30 không thể biểu diễn được thành tổng của 2 bình phương 2) Ta có 90 = 2.32.5 Lập luận tương tự như trên, ta thấy 90 lại biểu diễn được thành tổng... mn có nghiệm nguyên không âm, vì ít nhất ( x, y ) = ( ac + bd ; ad − bc ) là nghiệm nguyên không âm của nó Bổ đề được chứng minh g 2.1.3 Mệnh đề Giả sử n > 1 là số nguyên dương có phân tích ra thừa số s t t s r nguyên tố: n = 2 ∏ pi ∏ q j , trong đó r,si , t i là các số nguyên không âm ; j i i =1 j =1 pi (i = 1, s) là các số nguyên tố có dạng 4k + 1; còn q j ( j = 1, t ) là các số nguyên tố có dạng 4k... a[j] mod i=0 do a[j]:=a[j] div i; end; 20 CHƯƠNG 2 BIỂU DIỄN SỐ NGUYÊN TỐ 2.1 Biểu diễn số nguyên tố dưới dạng tổng các bình phương 2.1.1 Mệnh đề Cho p là số nguyên tố Khi đó, phương trình x 2 + y 2 = p có nghiệm nguyên không âm khi và chỉ khi p không có dạng 4k + 3 Chứng minh a) Xét điều kiện cần: Giả sử phương trình x 2 + y2 = p , (1) có nghiệm nguyên không âm (x, y) với p = 4k + 3 Trước hết từ đẳng... nguyên tố, thì các ước nguyên tố có dạng 4k + 3 phải là số mũ chẵn 2 Chú ý là một số có thể là tổng của hai bình phương, song có thể một trong hai số bằng 0 Thí dụ: 9 = 32 + 0, hoặc 16 = 42 + 0,… tuy nhiên không 29 thể biểu diễn được 9 = a 2 + b 2 hoặc 16 = c2 + d 2 , với a, b, c, d là các số nguyên dương m 2.1.6 Mệnh đề Giả sử n là số nguyên dương có dạng n = 4 ( 8k + 7 ) , ở đây m, k là các số nguyên. .. pi(1000000000); 60847534 16 Tìm số nguyên tố thứ k trong dãy các số nguyên tố bằng lệnh : [> ithprime ( k ) Ví dụ Tìm số nguyên tố thứ một triệu như sau: [> ithprime(1000000); 15485863 1.3.3 Phân tích một số nguyên ra thừa số nguyên tố Muốn phân tích một số nguyên ra thừa số nguyên tố cho kết quả một cách thông thường ta dùng lệnh: [> isfactor(a); Ví dụ : [> ifactor(- 467112123); -(3)3 (31) (313) (1783) ... tố 1.1 Số nguyên tố 1.2 Giới thiệu số loại số nguyên tố 1.3 Thuật toán nguyên tố Chơng Biểu diễn số nguyên tố 2.1 Biểu diễn số nguyên tố dới dạng tổng bình phơng 2.2 Biểu diễn số nguyên tố dới... toán nguyên tố 1.1 Số nguyên tố 1.2 Giới thiệu số loại số nguyên tố 1.3 Thuật toán nguyên tố Chơng Biểu diễn số nguyên tố 2.1 Biểu diễn số nguyên tố dới dạng tổng bình phơng Trang 3 16 16 2.2 Biểu. .. nga bIểU DIễN Số NGUYÊN Tố luận văn thạc sĩ toán học Chuyên ngành: Đại số Mã số: 60.46.05 Ngời hớng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Thành Quang Vinh - 2010 mục lục mở đầu Chơng Thuật toán nguyên tố