BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRƯƠNG TUẤN ANH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CẤU TRÚC SIÊU SYMPLECTIC TRÊN ĐẠI SỐ LIE Khóa: 17 – Khoa Toán, Trường Đại học Vinh Chuyên ngành: Hình học Tôpô Mã số: ………………… NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Việt Hải Vinh - 2011 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG - CÁC CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT TRÊN ĐẠI SỐ LIE § Liên thông, liên thông xoắn tự do, phẳng § Cấu trúc phức, tích phức đại số Lie g § Cấu trúc siêu symplectic đại số Lie g § Liên thông xoắn tự do, phẳng symplectic đại số Lie chiều CHƯƠNG - ĐẠI SỐ LIE CHIỀU MANG CẤU TRÚC SIÊU SYMPLECTIC § Trường hợp A: u = ¡ v = ¡ 15 § Trường hợp B: u = aff( ¡ ) v = ¡ 18 § Trường hợp C: u = ¡ v = aff( ¡ ) 21 § Trường hợp D: u = aff( ¡ ) v = aff( ¡ ) 23 CHƯƠNG - ĐẠI SỐ LIE 4n CHIỀU MANG CẤU TRÚC SIÊU SYMPLECTIC § Cấu trúc nhóm ¡ 4n 25 § Cấu trúc symplectic bất biến ¡ § Hình học cảm sinh ¡ 4n 4n .30 .32 § Cấu trúc siêu symplectic ¡ 36 KẾT LUẬN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 LỜI NÓI ĐẦU Hình học vi phân môn toán học sử dụng phương pháp phép tính vi phân tích phân để nghiên cứu vấn đề hình học Các định lý mặt phẳng, đường cong không gian, mặt không gian Euclid chiều sở ban đầu cho phát triển môn từ kỷ thứ XVIII XIX Ứng dụng hình học vi phân Vật lý, dạng vi phân có ích cho việc nghiên cứu tượng điện tử, học Lagrangian học Hamilton Hình học Symplectic công cụ đặc biệt để nghiên cứu học Hamilton Trong Kinh tế học, Hình học vi phân có ứng dụng thuộc toán kinh tế Trong thiết kế, xây dựng hình học vi phân ứng dụng để giải vấn đề xử lý tín hiệu số Có thể nói, lý thuyết nhóm Lie đời kết hợp ngành Hình học - Tôpô, giải tích Đại số Vì nhóm Lie phần quan trọng Toán học cần thiết người sâu vào nghiên cứu Hình học - Tôpô Vào cuối kỷ XIX xuất kết hợp lý thuyết nhóm hình học Riemann công trình chủ yếu Phêlix Klein (18491925) Sophus Lie (1842-1899) Các cống hiến Ph.Klein nghiên cứu nhóm rời rạc phân loại Hình học theo nhóm biến đổi Còn S Lie, nghiên cứu ông chủ yếu nhóm liên tục, ông cho phương pháp tổng quát để tìm bất biến qua nhóm hữu hạn phép biến đổi liên tục Điều làm nhóm Lie trở thành công cụ gần cho tất ngành toán học đại vật lý đại, đặc biệt lý thuyết hạt Và nhà toán học người Nauy người sáng lập lý thuyết nhóm Lie Việc phân loại đại số Lie toán phức tạp Riêng đại số Lie chiều số lượng hàng chục, đại số Lie chiều số lượng hàng trăm với đại số Lie ta đưa thêm cấu trúc phụ ví dụ cấu trúc Symplectic, cấu trúc phức, cấu trúc siêu phức để việc phân loại đại số Lie trở thành phân loại mà có thêm cấu trúc Với ý tưởng ta đưa thêm cấu trúc siêu symplectic đại số Lie nhằm mục đích sau: Một phân loại đại số Lie có cấu trúc siêu symplectic chiều Hai tìm thêm xây dựng ví dụ đại số Lie có cấu trúc symplectic Để làm điều này, hướng nghiên cứu ta là: Phân loại đại số Lie chiều, sau xây dựng đại số Lie với cấu trúc symplectic chiều, chiều, 4n chiều Luận văn hoàn thành vào tháng 12 năm 2011 với hướng dẫn tận tình PGS TS Nguyễn Việt Hải Nhân dịp này, tác giả xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy, người hướng dẫn tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo môn Hình học - Tôpô, thầy cô giáo khoa Toán, khoa đào tạo Sau Đại học - Trường Đại học Vinh, nhiệt tình giảng dạy, góp ý tạo điều kiện cho tác giả trình học tập thực luận văn Cũng này, tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè, gia đình động viên, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả CHƯƠNG CÁC CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT TRÊN ĐẠI SỐ LIE §1 Liên thông, liên thông xoắn tự do, phẳng 1.1 Liên thông 1.1.1 Định nghĩa: - Một không gian tôpô gọi liên thông biểu diễn dạng hợp tập mở khác rỗng rời - Một không gian tôpô E gọi liên thông cung (liên thông đường) với cặp hai điểm x,y E xác lập ánh xạ liên tục f từ đoạn thẳng đơn vị [0,1] vào E cho f(0)=x , f(1)=y 1.2 Liên thông xoắn tự do, phẳng Chúng ta nhắc lại định nghĩa số khái niệm sau Cho tùy ý liên thông ∇ đa tạp M, độ xoắn T bán kính cong R xác định sau T ( X , Y ) = ∇ X Y − ∇ Y X − [ X , Y ] ; R ( X , Y , Z ) = ∇ X ∇ Y Z − ∇ Y ∇ X Z − ∇ [ X ,Y ] Z với X , Y trường véctơ M Ta có: T ( X , Y ) = −T ( Y , X ) ; R ( X , Y , Z ) = − R ( Y , X , Z ) Liên thông gọi xoắn tự T=0 phẳng R=0 Trên đại số Lie g , liên thông ∇ xoắn tự ∇ X Y = ∇Y X phẳng ∇ X ∇Y = ∇Y ∇ X với X , Y ∈ g Cho G nhóm Lie với đại số Lie g giả sử ∇ liên thông bất biến trái G nghĩa X , Y ∈ g trường véctơ bất biến trái ∇ X Y ∈ g bất biến trái Cho G nhóm Lie với đại số Lie g, Lie G = g giả sử G chấp nhận liên thông trái bất biến ∇ Điều có nghĩa X , Y ∈ g hai trường véctơ bất biến trái G ∇ X Y ∈ g bất biến trái §2 Cấu trúc phức, tích phức đại số Lie g 2.1 Cấu trúc phức đại số Lie g Một cấu trúc hầu phức đại số Lie g tự đẳng cấu tuyến tính J : g → g thỏa mãn J = -1 Nếu J thỏa mãn thêm điều kiện J [ X , Y ] = [ JX , Y ] + [ X , JY ] + J [ JX , JY ] với X , Y ∈ g (1) ta nói J cấu trúc phức g Chú ý chiều đại số Lie có cấu trúc hầu phức phải số chẵn Tiếp theo ta xét cấu trúc khác tương tự cấu trúc phức Một cấu trúc hầu tích g đẳng cấu tuyến tính E : g → g thỏa mãn E = (không ±1 ) Nếu E thỏa mãn thêm điều kiện E [ X , Y ] = [ EX , Y ] + [ X , EY ] − E [ EX , EY ] với X , Y ∈ g (2) ta nói E cấu trúc tích Khi dim g+= dim g- , g ± không gian riêng g ứng với giá trị riêng ±1 E cấu trúc tích E gọi cấu trúc song phức Trong trường hợp này, g có số chiều chẵn 2.2 Cấu trúc tích phức đại số Lie g Một cấu trúc tích-phức đại số Lie g cặp { J , E} cấu trúc phức J cấu trúc tích E thỏa mãn JE = − EJ Điều kiện JE = − EJ kéo theo không gian riêng ứng với giá trị riêng +1 -1 E có chiều nhau, chứng tỏ E cấu trúc song phức g Sau đưa phương pháp để xây dựng đại số Lie mang cấu trúc siêu symplectic bắt đầu đại số Lie trang bị liên thông tương thích xoắn tự do, phẳng dạng symplectic §3 Cấu trúc siêu symplectic 3.1 Định nghĩa: Cấu trúc siêu symplectic đại số Lie g { J , E , g} mà g ± đại số g cho g = g + ⊕ g − g − = J g + 3.2 Định lý: Giả sử ta có điều kiện sau đây: a) u đại số Lie trang bị liên thông xoắn tự do, phẳng dạng symplectic ω cho ∇ω = b) v đại số Lie trang bị liên thông ∇' xoắn tự do, phẳng dạng symplectic ω ' cho ∇'ω ' = c) Tồn đẳng cấu tuyến tính ϕ : u → v cho (i) Biểu diễn ρ : u → gl (v ) µ : v → gl ( u ) −1 −1 ' xác định ρ ( x ) a = ϕ∇ xϕ ( a ) , µ ( a ) x = ϕ ∇ aϕ ( x ) thỏa mãn với tất x,y ∈u a,b ∈v ρ ( x ) [ a, b ] −  ρ ( x ) a, b  −  a, ρ ( x ) b  + ρ ( µ ( a ) x ) b − ρ ( µ ( b ) x ) a = µ ( a ) [ x, y ] −  µ ( a ) x, y  −  x, µ ( a ) y  + µ ( ρ ( x ) a ) y − µ ( ρ ( y ) a ) x = ' (ii) ω ( x, y ) = ω ( ϕ ( x ) , ϕ ( y ) ) với x,y ∈u Khi không gian véctơ g = u ⊕ v chấp nhận mở rộng Lie u v có cấu trúc siêu symplectic g cho g+ = u g− = v (xem [6]) Điều kiện (i) có nghĩa ( u , v, ρ , µ ) đôi đại số Lie g Do móc Lie g cho ( x, a ) , ( y , b )  = ( [ x, y ] + µ ( a ) y − µ ( b ) x, [ a, b ] + ρ ( x ) b − ρ ( y ) a ) với x, y ∈ u a, b ∈ v thỏa mãn đồng cấu đồng Jacobi, g với cấu trúc đại số Lie ký hiệu g:= u ⋈ v gọi tích bricoss u v Quan sát thấy u v đại số Lie g Nếu để ý tới định nghĩa ρ µ , thấy móc Lie phần tử u phần tử v cho ( x, ) , ( 0, a )  = ( −ϕ −1∇ 'aϕ ( x ) , ϕ∇ xϕ −1 ( a ) ) với x ∈u a ∈v (3) §4 Liên thông xoắn tự do, phẳng sympletic đại số Lie chiều 4.1 Định lý: Cho ¡ = span { e1 , e2 } biểu thị đại số Lie giao hoán chiều cho ω = e1 ∧ e2 dạng symplectic cổ điển ¡ Liên thông ∇ xoắn tự do, phẳng khác ¡ cho ∇ω = sau ( a) ∇e1 e1 = ( 0, λ ) ; ∇e1 e2 = ∇e2 e1 = ∇e2 e2 = ( 0, ) với λ ≠ (b) ∇e1 e1 = ∇e1 e2 = ∇e2 e1 = ( 0, ) ; ∇e2 e2 = ( λ , ) với λ ≠ (c) ∇ e1 e1 = ( λ , µ ) ; ∇ e1 e2 = − λ λ2 ( λ , µ ) = ∇ e2 e1; ∇ e2 e2 = ( λ , µ ) µ µ với λµ ≠ Chứng minh: Chúng ta biểu thị ∇ e1 e1 = ae1 + be2 ∇ e1 e2 = ce1 + de2 = ∇ e2 e1 ∇ e2 e2 = ge1 + he2 với a, b, c, d , g , h ∈ ¡ Khi ∇ phẳng có ∇ e ∇ e = ∇ e ∇ e 2 Từ điều kiện nhận ∇ e1 ∇ e2 e1 = ∇ e2 ∇ e1 e1  ∇ e1 ∇ e2 e2 = ∇ e2 ∇ e1 e2 có phương trình bg − cd =  bc − bh + d − ad = ag − dg + ch − c =  (1) Điều kiện ∇ω = ⇔ ω ( ∇ x y, z ) = ω ( ∇ x z, y ) với x, y, z ∈ ¡ Từ nhận ( ( ) ) ( ( ) ω ∇ e e1 , e2 = ω ∇e e2 1  d = − a  ⇒ ω ∇ e2 e2 , e1 = ω ∇ e2 e1 , e2 h = −c ) bg = −ac  Thay vào (1) ta a = −bc c = ag  (2) c = bg = Nếu a =  b ≠ Do ∇ ≠ nên  g ≠ Nếu b ≠ g=0 ∇ có kiểu (a) Nếu g ≠ b=0 ∇ có kiểu (b) ∇e e2 = ge1 ( g ≠ ) −a a ; g= Nếu a ≠ bcg ≠ , từ (2) có c = b b Do ∇ có kiểu (c)  (a, b ∈ R ) ∇ e1 e1 = ae1 + be2  −a a  ∇ e = e1 − ae2 = − ( ae1 + be2 ) = ∇ e2 e1  e1 b b   a a a2 ∇ e2 e2 = e1 + e2 = ( ae1 + be2 ) b b b  4.2 Mệnh đề: Cho ∇ liên thông xoắn tự phẳng khác ¡ ω dạng symplectic ∇ song song ¡ Khi ( ∇, ω ) ' tương đương symplectic với ( ∇ , e ∧ e ) mà { e1 , e2 } sở tương thích ¡ , { e , e } sở đối ngẫu ∇' cho ∇'e1 e1 = ( 0,1) ; ∇'e1 e2 = ( 0, ) ; ∇'e2 ≡ Đây liên thông xoắn tự phẳng ¡ đầy đủ Chứng minh: Tồn sở { e1 , e2 } ¡ mà ω = e1 ∧ e2 Từ ∇ω = nên ∇ phải liên thông Định lý 4.1 Đầu tiên giả sử ∇ phải kiểu (a) Định lý 4.1 Các đẳng cấu tuyến tính ¡ thỏa mãn tương đương symplectic ∇ ∇' biểu diễn bởi:  13 λ ξ =    ÷ ÷ − { e1 , e2 } λ 3÷  sở Bây ta giả sử liên thông ∇ dạng (b) Định lý 4.1 Các đẳng cấu tuyến tính ¡ cung cấp tương đương symplectic   ' ∇ ∇ cho ξ =   λ −3   −λ ÷ ÷ sở { e1 , e2 } Cuối ÷  ∇ có kiểu (c) Định lý 4.1 , lấy đẳng cấu ¡  13 µ sau ξ =    −λµ µ − − 3  ÷ ÷ ÷  Chúng ta kiểm tra xem liên thông ∇' có đầy đủ không Để làm g điều này, sử dụng phương trình x ( t ) = −∇ x( t ) x ( t ) Cho x ( t ) = a1 ( t ) e1 + a2 ( t ) e2 phương trình đường cong g thỏa mãn g x ( t ) = −∇ x( t ) x ( t ) g x ( t ) = −∇ x( t ) x ( t ) Từ g g g g a t e + a t e  2( ) 2÷  1( ) a1 ( t ) e1 + a ( t ) e2   ⇔ a1 ( t ) e1 + a ( t ) e2 = −∇ ' ⇔ a1 ( t ) e1 + a ( t ) e2 = 0.e1 − a12 ( t ) e2 Từ có hệ phương trình vi phân sau 10 Mối quan hệ cho thấy α biểu thức trái ¡ ¡ 2n + β biểu thức trái ¡ 2n + ¡ 2n − 2n − Những đẳng thức thỏa mãn điều kiện tương thích sau đây: α x' ( x + y ) = α x' x + α β x' y x β x ( x + y ) = βα ' ' x + βx y' ' x y' Theo (8), kết đưa ta (8) định nghĩa cấu trúc nhóm Lie ¡ 2n 4n 2n cho ( ¡ , ¡ + , ¡ 2n − ) nhóm Lie kép Chú ý phần tử trung lập cấu trúc nhóm (0,0) phần tử nghịch ' đảo ( x, x ) ∈ ¡ 4n ' ' ( α ( − x , − x ) , β ( − x , x ) ) Bây xác định đại số Lie liên quan, có đại diện µ :¡ 2n − → End ( ¡ 2n + ) ρ :¡ 2n + → End ( ¡ 2n − ) d dt d ρ y ( x' ) = dt µ x' ( y ) = xác định ( dα ) ( y ) ( dβ ) ( x ) tx ' ' ty với α β đưa (9), có ( dα ) x' = + ∇'x' , ( d β y ) = − ∇ y ' ' ' Do đó: µ x ( y ) = ∇ x y , ρ y ( x ) = −∇ y x ' ' Cho thấy móc Lie trường hợp đưa mục (10) - Nếu ad( x, x ) với x, x ' ∈ ¡ ' 2n kí hiệu chuyển đổi đưa (10) sau cách sử dụng ∇ ∇' xoắn tự ta có: 31  ∇ ' ' −∇ x '  a d x , x' =  x ( )  −∇ ' ∇ x ÷÷  x  Từ (4) áp dụng cho tất ∇ ∇' , có  ∇ '∇ ' −∇ 'x∇ x  a d x , x ' =  x x' ( )  −∇ ' ∇ ' ∇ ' ∇ 'x ÷÷ x  x x  Cuối cùng, sử dụng (7) ta có ad ( x , x ) = ' Do ¡ ¡ 2n x¡ 2n 2n ⊕¡ 2n đại số Lie lũy linh bước ( i.e ad = ) nhóm Lie lũy linh bước nói Từ việc xây dựng cấu trúc nhóm Lie ¡ Định lý 4n 1.2 phụ thuộc vào cấu trúc affine ∇ ∇' , kí hiệu nhóm Lie ∇ ∇ H ∇ Đại số Lie tương ứng biểu thị qua h∇ đại số Lie ' ' giao hoán ¡ 2n ⊕ { 0} , { 0} ⊕ ¡ 2n biểu thị h+ , h− tương ứng Chúng ta ∇ lưu ý ( h∇ , h+ , h− ) đại số Lie kép, h+ h− đại số ' ∇ ∇ h∇ h∇ = h+ ⊕ h− không gian véctơ ' ' §2 Cấu trúc symplectic bất biến ¡ 2.1 Cấu trúc symplectic bất biến ¡ 4n 4n ∇ Trong phần trình bày h∇ mang cấu trúc ' symplectic thu từ dạng symplectic ω ¡ ∇ ∇' Do ¡ 4n 2n tương thích với kế thừa cấu trúc symplectic bất biến nhóm lũy linh Đầu tiên, nhắc lại cấu trúc symplectic đại số Lie g không suy biến, dạng song tuyến tính đối xứng ω thỏa mãn dω = mà d ω ( x, y, z ) = ω ( x, [ y , z ] ) + ω ( y , [ z , x ] ) + ω ( z , [ x, y ] ) với x,y,z∈ g 32 (13) Một dạng symplectic ω ¡ 2n cho phép xác định dạng song tuyến tính đối xứng không suy biến ¡ ⊕¡ 2n 2n ( ) ω ( ( x, x ) , ( y, y ) ) := −ω ( x, y ) + ω ( y, x ) ω ( ( x, x ) , ( y, y ) ) := ω ( x, y ) − ω ( x , y ) ω1 ( x, x ' ) , ( y , y ' ) := ω ( x, y ) + ω ( x ' , y ' ) ' ' ' ' ' ' ' ' Chúng ta trình bày dạng đóng móc Lie đưa Định lý 1.2 Do xác định cấu trúc ∇ symplectic h∇ ' ∇ 2.2 Mệnh đề: Các dạng ω1 , ω2 , ω3 đóng h∇ ' Chứng minh: Từ ¡ 2n ⊕ { 0} , { 0} ⊕ ¡ 2n ∇ đại số giao hoán h∇ , dạng ' ωi , i = 1, 2,3 đóng ⇔ ( d ωi ) ( ( x, 0) , ( y,0 ) , ( 0, z ) ) = ( dω ) ( ( 0, x ) , ( 0, y ) , ( z, ) ) = ' ' ' i với x, y, z, x ' , y ' , z ' ∈ ¡ 2n Nhưng ( dωi ) ( ( x, ) , ( y, ) , ( 0, t ' ) ) = ωi ( ( y, ) , ( 0, z ' )  , ( x, ) ) + ωi ( ( 0, z ' ) , ( x, )  , ( y, ) ) ( ) ( = ωi ( −∇ 'y z ' , ∇ y z ' ) , ( x, ) + ωi ( ∇ 'x z ' , −∇ x z ' ) , ( y, ) ) ( dωi ) ( ( 0, x' ) , ( 0, y ' ) , ( z, ) ) = ωi ( ( 0, y ' ) , ( z, )  , ( 0, x ' ) ) + ωi ( ( z, ) , ( 0, x' )  , ( 0, y ' ) ) ( ) = ωi ( ∇ 'z y ' , −∇ z y ' ) , ( 0, x ' ) + ωi ( ( −∇ x , ∇ x ) , ( 0, y ) ) ' z ' ' ' z Sử dụng biểu thức ωi , i = 1, 2,3 cho (14) tính toán 33 ( dω1 ) ( ( x,0 ) , ( y, ) , ( 0, z ' ) ) = ( dω3 ) ( ( x,0 ) , ( y,0 ) , ( 0, z ' ) ) = −ω ( −∇'y z ' , x ) + ω ( ∇ 'x z ' , y ) ( dω1 ) ( ( 0, x ' ) , ( 0, y ' ) , ( z,0 ) ) = − ( dω3 ) ( ( 0, x ' ) , ( 0, y ) , ( z, ) ) = −ω ( ∇ z y ' , x ' ) + ω ( ∇ z x ' , y ' ) ( dω2 ) ( ( x, ) , ( y, ) , ( 0, z ' ) ) = ω ( x, ∇'y z ' ) − ω ( y, ∇ x z ' ) ( dω2 ) ( ( 0, x ' ) , ( 0, y ' ) , ( z, ) ) = −ω ( ∇'z y ' , x ' ) + ω ( ∇ 'z x ' , y ' ) Từ ∇ ∇' thỏa mãn (1) (3), có dωi = , i = 1, 2,3 Mệnh đề chứng minh Để cho dạng ω ¡ 2n xác định 2n ω = e1 ∧ e2 + e3 ∧ e4 + + e n −1 ∧ e2 n mà { e1 , , e2 n } sở cố định R 2n { e , , e } biểu thị sở đối ngẫu Chúng ta đặt: e j := ( e j , ) f j := ( 0, e j ) ( j = 1, , 2n ) Do { e1 , , e2n , f1 , , f n } sở ¡ 2n ⊕¡ 2n dạng ωi , i = 1, 2,3 ω1 = e1 ∧ e + + e n −1 ∧ e n + f ∧ f + + f n −1 ∧ f n  2 n −1 2n 2n n −1 ω2 = −e ∧ f − − e ∧ f + e ∧ f + + e ∧ f  ω3 = e1 ∧ e2 + + e2 n −1 ∧ e2 n − f ∧ f − − f n −1 ∧ f n  viết là: ∇ với h∇ đại số Lie kép, E tự đồng cấu cho E ( x, y ) = ( x, − y ) ' ∇ với x, y ∈ R n cấu trúc h∇ E = E khả tích theo nghĩa thỏa mãn điều kiện ' E ( x, x ' ) , ( y, y ' )  =  E ( x, x ' ) , ( y , y ' )  + ( x, x ' ) , E ( y , y ' )  − E  E ( x , x ' ) , E ( y , y ' )  ∀x, x ' , y , y ' ∈ ¡ 2n (15) §3 Hình học cảm sinh ¡ 3.1 Hình học cảm sinh ¡ 4n 4n Trong phần phân tích đặc điểm mêtríc đa tạp ¡ 4n thu cách dịch trái từ nhóm Lie Chúng ta thấy ∇ mêtríc luôn đầy đủ phẳng h∇ nhóm ' 34 Lie lũy linh bước Hơn mêtríc ¡ 4n siêu symplectic cấu trúc J E định nghĩa trước ∇ 3.2 Các dạng song tuyến tính η h∇ ' ∇ Chúng ta xác định 1-dạng song tuyến tính η h∇ sau ' ( ) η ( x, x ' ) , ( y, y ' ) = −ω ( x, y ' ) + ω ( x ' , y ) ∀ ( x, x ' ) , ( y, y ' ) ∈ h∇∇' (16) η đối xứng không suy biến Đối với sở { e1 , , e2 n , f1 , , f n } , η viết sau η = ( −e1 f − − e n −1 f n + e f + + e n f n −1 ) mà biểu thị kết đối xứng dạng Hơn nữa, η thỏa mãn điều kiện sau ( ) ( ) ( η J ( x, x ' ) , J ( y , y ' ) = η ( x , x ' ) , ( y , y ' ) ( ) η E ( x, x ' ) , E ( y, y ' ) = −η ( x, x ' ) , ( y, y ' ) với x, x ' , y, y ' ∈ ¡ (17) ) (18) 2n Thật vậy: ( ) ( ) ( ) η ( E ( x, x ) , E ( y, y ) ) = η ( ( x, − x ) , ( y, − y ) ) = ω ( x, y ) − ω ( x , y ) = −η ( ( x, x ) , ( y , y ) ) η J ( x, x ' ) , J ( y, y ' ) = η ( − x ' , x ) , ( − y ' , y ) = −ω ( − x ' , y ) + ω ( x, − y ' ) = η ( x, x ' ) , ( y , y ' ) ' ' ' ' ' ' ' ' ∇ Do đó, η mêtríc Hermitian h∇ mối quan hệ ' cấu trúc J E Chúng ta lưu ý đại số h+ h− đại số ∇ đẳng hướng h∇ Dễ dàng để xác nhận dạng ω1 , ω2 ω3 ' thu nhận từ g đồng cấu J E Quả nhiên có: ( ) ( ) ω ( ( x, x ) , ( y , y ) ) = η ( E ( x , x ) , ( y , y ) ) ω ( ( x, x ) , ( y , y ) ) = η ( JE ( x, x ) , ( y , y ) ) ω1 ( x, x ' ) , ( y , y ' ) = η J ( x, x ' ) , ( y , y ' ) ' ' ' ' ' ' ' ' 35 (19) ∇ Các tự đồng cấu J E h∇ dạng ω1 , ω2 ω3 ' ∇ mêtríc η mở rộng từ nhóm h∇ dịch trái Hơn nữa, ' h∇∇' trang bị với Một cấu trúc phức J cấu trúc tích E mà JE = − EJ Một mêtríc Riemann giả η mà ( ) ( ) η ( E ( x, x ) , E ( y , y ) ) = −η ( ( x, x ) , ( y , y ) ) η J ( x, x ' ) , J ( y , y ' ) = η ( x, x ' ) , ( y , y ' ) ' ' ' ( ( )) ∀x, x ' , y , y ' ∈ Γ Τ h∇∇' ' Ba dạng ω1 , ω2 ω3 thỏa mãn (19) Tóm lại thu định lí sau ∇ 3.3 Định lý: Các nhóm Lie lũy linh h∇ mang cấu trúc symplectic bất ' biến trái đưa kiểu { J , E ,η} 3.4 Tính đầy đủ η Từ η bất biến trái, liên thông Levi-Civita ∇η tính ∇ toán trường véctơ bất biến trái, i.e đại số Lie h∇ Sau ' tính toán ta thấy  ∇ x + ∇ 'x'  ∇ x , x' =  ÷ ( )  ∇ x + ∇ 'x' ÷  η (20) Có thể kiểm tra cách sử dụng biểu thức ∇η mà J E song song với liên thông Levi-Civita Chúng ta biểu thị liên thông không cần phẳng Nếu R biểu thị độ cong ∇η , dễ dàng thấy ( ) R ( ( x, ) , ( y, ) ) = R ( 0, x ' ) , ( 0, y ' ) = Hơn nữa: ( ) R ( x, ) , ( 0, y ' ) = ∇η( x ,0) ∇η0, y' − ∇η0, y' ∇η( x ,0 ) − ∇η−∇' y' ,∇ ( ) ( ) sử dụng (20) với (1), (5) (7) có 36 ( x xy ' ) ( R ( x, ) , ( 0, y '  ∇ x ∇ 'y' = 4   ))  ÷ = −4ad  ( x ,0) ,( 0, y ' )  ∇ x∇ 'y' ÷   Từ R móc Lie đối xứng lệch, cuối ta có ( ) R ( x, x ' ) , ( y, y ' ) = −4ad  x , x' , y , y '   ( )( ) ∇ Do ∇η phẳng h∇ lũy linh bước ' Cũng lưu ý R = ⇔ ∇ x ∇'y = ∀x, y ∈ ¡ 2n (21) Chúng ta kết thúc phần nghiên cứu tính đầy đủ ∇η , từ thấy ∇ ∇η đầy đủ phương trình vi phân h∇' x ( t ) = ad ηx( t ) x ( t ) (22) thừa nhận kết x ( t ) ∈ g xác định cho tất t ∈ ¡ Ở ad ηx có liên hợp chuyển đổi ad x với số liệu η Dễ dàng để xác minh phía bên vế phải (2) đưa ad ηx( t ) x ( t ) = −∇ηx( t ) x ( t ) ∀t miền x đưa đến việc giải phương trình sau: x ( t ) = −∇ηx( t ) x ( t ) ∀t (23) ∇ Đường cong x ( t ) h∇ viết dạng x ( t ) = ( a ( t ) , b ( t ) ) ' mà a ( t ) , b ( t ) ∈ ¡ 2n cung cong ¡ 2n Do đó, sử dụng phương trình (20), phương trình (23) chuyển thành hệ phương trình g '  a = −∇ a a − ∇b a g b = −∇ ab − ∇b' b (24) Chúng ta phân tích phương trình hệ 37 g a = −2∇ a a − ∇ 'a b − ∇b' a = 2∇ a ∇ a a + 2∇ a ∇ a' b + ∇ a' ∇ ab + ∇ a' ∇ b' b + ∇ b' ∇ a a + ∇ b' ∇ a' b = Sử dụng (4),(5),(6) (7) cách làm nhận thấy khác biệt phương trình hệ (24) có b = −∇ ab − ∇ b a − 2∇ b' b = ∇ a∇ ab + ∇ a ∇ b' b + ∇ b∇ a a + ∇ b∇ a' b + 2∇ b' ∇ ab + 2∇ b' ∇ b' b = Sử dụng lần (4),(5),(6) (7) Do tồn véctơ không đổi A, B, C , D ∈ ¡ 2n mà a ( t ) = At + B ; b ( t ) = Ct + D Các giải pháp rõ ràng hệ (24) với điều kiện ban đầu x ( ) = ( a0 , b0 ) đưa ( b ( t ) = ( −∇ ) b ) t +b a ( t ) = −∇ a0 a0 − ∇ 'a0 b0 t + a0 b − ∇ b' a0 0 Do x ( t ) xác định ∀t ∈ ¡ kết thu ∇η đầy đủ Do thu ∇ 3.5 Định lý: Mêtric siêu symplectic h∇ đầy đủ ' 38 §4 Cấu trúc siêu symplectic ¡ 4.1 Cấu trúc siêu symplectic ¡ Trong phần giới thiệu phương pháp xây dựng cấu trúc siêu symplectic không gian ¡ = ¡ x¡ từ liệu affine- symplectic ¡ Ta nghiên cứu phần trước đưa phân loại cách triệt để Chỉ có không gian chiều có cấu trúc siêu symplectic ¡ aff ( ¡ ) Trong trường hợp chiều, kết thu cho phân loại cách xây dựng không gian siêu symplectic có chiều ¡ = ¡ x¡ , ¡ xaff (¡ ) , aff ( ¡ )x¡ , aff (¡ )xaff ( ¡ ) Tiếp tục vậy, trình bày hình học cảm sinh không gian ¡ phương pháp xây dựng cấu trúc siêu symplectic ¡ ¡ 2n 4n 4n , minh họa xuất phát từ Phần trực tiếp ứng dụng kết trường hợp cụ thể, không gian ¡ = ¡ x¡ Ta xét ¡ sinh véctơ e1 , e2 , e3 , e4 trang bị cấu trúc affine ∇ ∇' cho 1  −1 ∇ e1 = ∇ e2 =   −1 −1   −1 0  ∇ e4 =  0  1 0 0 1 0 ÷ 1÷ 0÷ ÷ 1 0  −1 ∇ e3 =  0   −1 0 ÷ 0÷ 0÷ ÷ 0 0 −1 0 −1 0 ÷ 0÷ 0÷ ÷ 0 a  a  b −a c ∇ 'e1 =   −a −a   c − a −b + c 39 0 ÷ a÷ 0÷ ÷ a   −a ' ∇ e2 =     −a 0 −a 0 −a 0 ÷ 0÷ 0÷ ÷ 0 0  a ∇ 'e4 =  0  a a  a  c −a −b + 2c ∇ 'e3 =   −a −a   −b + 2c −a −2b + 3c 0 0 a a 0 ÷ 0÷ 0÷ ÷ 0 0 ÷ a÷ 0÷ ÷ a với a, b, c ∈ ¡ Có thể kiểm tra ∇ ∇' thỏa mãn phương trình ω ( ∇ x y, z ) = ω ( ∇ x z, y ) với dạng symplectic cho ¡ ω = e1 ∧ e + e3 ∧ e ' ' Áp dụng điều kiện: ∇ x ∇ y = ∇ y ∇ x (∀x, y ∈ ¡ n ) Ta tính   −b + c ∇ e j ∇ ek =     −b + c 0 −b + c 0 −b + c 0 ÷ 0÷ 0÷ ÷ 0 ' với (j,k)=(1,1),(1,3),(3,1),(3,3) ∇e ∇e = trường hợp lại j k kết biết ta xây dựng nhóm Lie lũy linh chiều N∇,∇ mà đa tạp ¡ x¡ Phép nhân nhóm là: ( x, x ) ( y , y ) = ( x + α ( x , y ) , β ( x , y ) + y ) ' ' ' ' ' α β cho cách xác định thành phần chúng sau: 40 ' • α1 ( x ' , y ) = y1 + a ( y1 + y3 ) ( x1' + x3' ) • α ( x ' , y ) = y2 + ( by1 − ay2 + cy3 + ay4 ) x1' − a ( y1 + y3 ) x2' +  cy1 − ay2 + ( −b + 2c ) y3 + ay4  x3' + a ( y1 + y3 ) x4' + • α ( x ' , y ) = y3 − a ( y1 + y3 ) ( x1' + x3' ) ( −b + c ) ( y1 + y3 ) ( x1' + x3' ) • α ( x ' , y ) = y4 +  cy1 − ay2 + ( −b + 2c ) y3 + ay4  x1' − a ( y1 + y3 ) x2' + ( −b + 2c ) y1 − ay2 + ( −2b + 3c ) y3 + ay4  x3' + a ( y1 + y3 ) x4' + ( −b + c ) ( y1 + y3 ) ( x1' + x3' ) • β1 ( x ' , y ) = x1' − ( x1' + x3' ) ( y1 + y3 ) • β ( x ' , y ) = x2' + ( x2' − x4' ) ( y1 + y3 ) + ( x1' + x3' ) ( y2 − y4 ) − ( −b + c ) ( x1' + x3' ) ( y1 + y3 ) • β ( x ' , y ) = x3' + ( x1' + x3' ) ( y1 + y3 ) • β ( x ' , y ) = x4' + ( x2' − x4' ) ( y1 + y3 ) + ( x1' + x3' ) ( y2 − y4 ) − ( −b + c ) ( x1' + x3' ) ( y1 + y3 ) Ta chứng minh N∇,∇ mang cấu trúc siêu symplectic bất ' biến cách sử dụng đẳng thức tính ∇e ∇e trên, ta j k khẳng định b=c N∇,∇ lũy linh bước mêtric siêu ' symplectic phẳng, b ≠ c N∇,∇ lũy linh bước mêtric ' siêu symplectic không phẳng Nhóm Lie N∇,∇ vi phôi với ¡ tồn hệ tọa độ toàn cục ' x1 , , x4 , x1' , , x4' cho 1-dạng bất biến trái đối ngẫu với sở { e1 , , e4 , f1 , , f } cho sau 41 • e1 = 1 − a ( x1' + x3' )  dx1 − a ( x1' + x3' ) dx3 • e = ( −bx1' + x2' − cx3' − ax4' ) dx1 + 1 + a ( x1' + x3' )  dx2 +  −cx1' + x2' − ( −b + 2c ) x3' − ax4'  dx3 − a ( x1' + x3' ) dx4 • e3 = a ( x1' + x3' ) dx1 + 1 + a ( x1' + x3' )  dx3 • e =  −cx1' + ax3' − ( −b + 2c ) x3' − ax4'  dx1 + a ( x1' + x3' ) dx2 +  − ( −b + 2c ) x1' + ax2' − ( −2b + 3c ) x3' − ax4'  dx3 + 1 − a ( x1' + x3' )  dx4 • f = ( x1' + x3' ) dx1 + ( x1' + x3' ) dx3 + dx1'   • f =  − ( −b + c ) ( x1' + x3' ) − x2' + x4'  dx1 − ( x1' + x3' ) dx2 +    ' ' ' '  ' ' '  − ( −b + c ) ( x1 + x3 ) − x2 + x4  dx3 + ( x1 + x3 ) dx4 + dx2 • f = − ( x1' + x3' ) dx1 − ( x1' + x3' ) dx3 + dx3'   • f =  − (−b + c) ( x1' + x3' ) − x2' + x4'  dx1 − ( x1' + x3' ) dx2     +  − ( −b + c ) ( x1' + x3' ) − x2' + x4'  dx3 + ( x1' + x3' ) dx4 + dx4'   Các dạng ωi , i = 1, 2,3 cho sau ω1 = e1 ∧ e + e3 ∧ e + f ∧ f + f ∧ f  4 ω2 = −e ∧ f − e ∧ f + f ∧ e + f ∧ e  4 ω3 = e ∧ e + e ∧ e − f ∧ f − f ∧ f Chúng 2-dạng đóng N∇,∇ mêtric siêu ' symplectic tương ứng mêtric đầy đủ Như chương giới thiệu phương pháp xây dựng cấu trúc siêu symplectic không gian ¡ = ¡ x ¡ từ liệu affin-symplectic ¡ Tổng quát hóa, trình bày phương pháp xây dựng cấu trúc siêu symplectic ¡ symplectic có ¡ 2n 42 4n từ liệu affine- KẾT LUẬN Luận văn đạt số kết liên quan tới đại số Lie Chỉ tất liên thông xoắn tự phẳng bảo toàn dạng symplectic đại số Lie chiều, đại số Lie mang cấu trúc siêu symplectic chiều Trình bày phương pháp xây dựng đại số Lie siêu symplectic chiều từ đại số Lie symplectic chiều trang bị với dạng symplectic liên thông xoắn tự tương thích Từ phân loại cấu 43 trúc siêu symplectic bất biến trái nhóm Lie chiều Đây cách phân loại đại số Lie chiều theo cấu trúc có trước Trình bày phương pháp xây dựng cấu trúc symplectic không gian ¡ từ liệu affine-symplectic ¡ Tổng quát hóa, trình bày phương pháp xây dựng cấu trúc symplectic ¡ 4n từ liệu affine-symplectic có ¡ 2n Hướng nghiên cứu Xét cấu trúc khác đại số Lie 4n chiều Trình bày phương pháp xây dựng cấu trúc symplectic không gian ¡ 16 32 64 , ¡ , ¡ Tính quỹ đạo đối phụ hợp đại số Lie tìm : t 0h t 1h t 2h , , TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] N V Hai, Cấu trúc siêu symplectic ¡ , Tạp chí Khoa học - Đại học Hải Phòng, 2006, 347-353 Tiếng Anh [2] A Andrada, M L Barberis, I Dotti and Ovando, Four-dimensional solvable Lie algebras, preprint 44 [3] A Andrada and S Salamon, Complex product structures on Lie algebras, To appear in Forum Math [4] A A Kirillov, Elements of the Theory of Representation, Springger Verlag, Berlin-New York-Heidelberg, 1976 [5] N V Hai, Symplectic flat torsion-free connections on the 2dimensional Lie alge-bras, Tạp chí Khoa học - Đại học sư phạm Hà Nội, 2006, 13-20 [6] N V Hai, Four-dimensional Lie algebras carrying a hypersymplectic structure, Journal of science-Vinh University, XXXIV, 4A,2005,29-39 [7] N V Hai, Induced geometry on ¡ 4n , Journal of science-Vinh University, XXXVI, 1A,2007,41-51 [8] H Kamada, Neutral hyperkahler structures on primary Kodaira surfaces, Tsukuba J Math, 23 No (1999), 321-332 [9] E Remm and M Goze Affine structures on abelian Lie group, Linear Algebra Appl 360 (2003), 215-230 [10] S Majid, Matched pairs of Lie groups associated to solutions of the Yang-Baxter equations, Pacific J Math, 141 (1900), 311-332 45 [...]... dựng các đại số Lie siêu symplectic 4 chiều mang cấu trúc siêu symplectic từ hai đại số Lie siêu symplectic 2 chiều được trang bị với các dạng symplectic liên thông xoắn tự do tương thích Dùng phương pháp này chúng ta thu được phân loại tương đương các cấu trúc siêu 26 symplectic bất biến trái trên các nhóm Lie 4 chiều Các nhóm Lie tìm được ở đây đều là các nhóm kiểu exponential CHƯƠNG 3 ĐẠI SỐ LIE 4n... hợp 4 chiều: Mô tả đại số Lie 4 chiều có cấu trúc siêu symplectic 15 CHƯƠNG 2 ĐẠI SỐ LIE 4 CHIỀU MANG CẤU TRÚC SIÊU SYMPLECTIC Trong phần này chúng ta sẽ xây dựng một cách rõ ràng tất cả các đại số Lie 4 chiều mang cấu trúc siêu symplectic bằng cách sử dụng định lý về các điều kiện tương đương Để làm được điều này chúng ta phải xác định hai bộ sau (u, ∇ , ω ), (v, ∇ , ω ' ) và đẳng cấu tuyến tính ϕ :... chiều mang cấu trúc siêu symplectic từ đại số Lie 2 chiều được trang bị các liên thông tương thích xoắn tự do và dạng symplectic Sử dụng phương pháp này chúng ta thu được các phân loại tương đương của tất cả các bất biến trái có cấu trúc siêu symplectic trên nhóm Lie 4 chiều 27 Tất cả các nhóm Lie này đều là nhóm mũ Mục đích của phần này là để cung cấp cách xây dựng cấu trúc siêu symplectic trên R 4n... chúng ta xem xét cấu trúc symplectic chính tắc trên nhóm Lie ¡ dựng từ các đỉnh ω trên ¡ 2n 4n , xây Các số liệu mêtríc là siêu symplectic đầy đủ và không nhất thiết phải phẳng Xây dựng cấu trúc nhóm lũy linh 3 bước trên ¡ 4n Chúng ta sẽ bắt đầu bằng cách nhắc lại 1 số định nghĩa mà sẽ được sử dụng trong suốt phần này ¡ n Một cấu trúc affine ( hoặc 1 cấu trúc đại số đối xứng trái ) trên được đưa ra... h∇ , h+ , h− ) là một đại số Lie kép, đó là h+ và h− là các đại số ' ∇ ∇ con của h∇ và h∇ = h+ ⊕ h− là 1 không gian véctơ ' ' §2 Cấu trúc symplectic bất biến trên ¡ 2.1 Cấu trúc symplectic bất biến trên ¡ 4n 4n ∇ Trong phần này chúng ta trình bày về h∇ mang 3 cấu trúc ' symplectic thu được từ các dạng symplectic ω trong ¡ ∇ và ∇' Do đó ¡ 4n 2n tương thích với kế thừa cấu trúc symplectic bất biến của... toàn dạng symplectic chỉ có 2 loại ∇1 , ∇ 2 và 2 liên thông này là không tương đương Chúng ta cũng có thể chỉ ra 1 cấu trúc đại số Lie mới bắt đầu với 2 đại số Lie trang bị liên thông xoắn tự do phẳng và dạng symplectic Như thế trong chương 1 chúng ta liệt kê tất cả các liên thông xoắn tự do phẳng bảo toàn dạng symplectic trên các đại số Lie 2 chiều, cụ thể bài toán được xét trên các đại số ¡ 2 và... LIE 4n CHIỀU MANG CẤU TRÚC SIÊU SYMPLECTIC §1 Cấu trúc nhóm trên ¡ 1.1 Cấu trúc nhóm trên ¡ 4n 4n Một cấu trúc siêu symplectic 4n chiều trên đa tạp M được cho bởi bộ ( J , E , γ ) mà J , E là các đẳng cấu của phân thớ tiếp xúc của đa tạp M sao cho J 2 = -1 ; E 2 = 1 ; JE = − EJ γ là một mêtric trơn thỏa mãn γ ( X , Y ) = γ ( JX, JY ) = −γ ( EX , EY ) với tất cả các trường véctơ X , Y trên M với 2-dạng... có ad ( x , x ) = 0 ' Do ¡ ¡ 2n x¡ 2n 2n ⊕¡ 2n 3 là đại số Lie lũy linh 3 bước ( i.e ad = 0 ) hoặc là một nhóm Lie lũy linh 3 bước như đã nói Từ việc xây dựng các cấu trúc nhóm Lie về ¡ trong Định lý 4n 1.2 phụ thuộc vào cấu trúc affine ∇ và ∇' , chúng ta sẽ kí hiệu nhóm Lie ∇ ∇ bởi H ∇ Đại số Lie tương ứng sẽ được biểu thị qua h∇ và các đại số Lie ' ' giao hoán ¡ 2n ⊕ { 0} , { 0} ⊕ ¡ 2n sẽ được biểu... cứu này sẽ được xem xét cấu trúc siêu symplectic cổ điển trên Nhóm này sẽ là 1 nhóm 4n 2n Lie kép ( ¡ , ¡ x { 0} , { 0} x¡ 2n ) được xây dựng từ dữ liệu affine trên ¡ Phần này được sắp xếp như sau: Chúng ta cung cấp cho ¡ 4n 2n một cấu trúc của một nhóm lũy linh Bắt đầu với một cấu trúc symplectic cố định ω trên ¡ 2n (¡ 2n 4n ,¡ mà song song đối với 1 cặp cấu trúc affine từ nhóm Lie kép x { 0} , { 0}... phẳng trên đại số Lie 2 chiều mà tương thích với một dạng symplectic và thu được các lớp tương đương của nó Chúng ta chỉ ra tất cả các liên thông xoắn tự do phẳng mà giữ nguyên một dạng symplectic trên các đại số Lie 2 chiều, cụ thể là trên ¡ 2 và trên aff ( ¡ ) Những kết quả quan trọng được sử dụng trong trường hợp 4 chiều Trong phần trước chúng ta đã trình bày 1 phương pháp để xây dựng đại số Lie ... phức tạp Riêng đại số Lie chiều số lượng hàng chục, đại số Lie chiều số lượng hàng trăm với đại số Lie ta đưa thêm cấu trúc phụ ví dụ cấu trúc Symplectic, cấu trúc phức, cấu trúc siêu phức để... chiều: Mô tả đại số Lie chiều có cấu trúc siêu symplectic 15 CHƯƠNG ĐẠI SỐ LIE CHIỀU MANG CẤU TRÚC SIÊU SYMPLECTIC Trong phần xây dựng cách rõ ràng tất đại số Lie chiều mang cấu trúc siêu symplectic. .. phân loại đại số Lie trở thành phân loại mà có thêm cấu trúc Với ý tưởng ta đưa thêm cấu trúc siêu symplectic đại số Lie nhằm mục đích sau: Một phân loại đại số Lie có cấu trúc siêu symplectic