Trờng Đại học Vinh Khoa toán Đoàn Văn Tùng Bất đẳng thức biến phân Với biến số rời rạc Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học Toán Vinh - 2004 Trờng Đại học Vinh Khoa toán Đoàn Văn Tùng Bất đẳng thức biến phân Với biến số rời rạc Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học Toán Lớp B1, Khoá 41 Toán Cán hớng dẫn khoa học: TS Trần Xuân Sinh Vinh 2004 Mục lục trang Mở đầu Một số kiến thức Tập hợp lồi Các tính chất tập lồi Hàm lồi Các tính chất hàm lồi Về toán bất đẳng thức biến phân rời rạc Phát biểu toán Một số tính chất bất đẳng thức biến phân rời rạc 3.3 Thuật toán giải toán bất đẳng thức biến phân rời rạc không gian chiều Chơng 1.1 1.2 1.3 1.4 Chơng 2.1 2.2 Kết luận Tài liệu tham khảo 6 11 12 18 18 23 24 27 28 Mở đầu Bài toán bất đẳng thức biến phân có vị trí quan trọng toán học Do tính đa dạng phong phú toán mà nội dung bao gồm nhiều lĩnh vực nghiên cứu khác Bài toán bất đẳng thức biến phân ngày khẳng định giá trị mặt lý thuyết nh ứng dụng chuyên ngành Đại số, Giải tích, Hình học, Điều khiển Do đòi hỏi khoa học kỹ thuật thực tiễn mà bất đẳng thức biến phân có nhiều dạng khác Khoá luận nghiên cứu toán Bất đẳng thức biến phân với biến số rời rạc với hy vọng thể phơng pháp ứng dụng cho lớp toán đặc biệt chuyên ngành điều khiển tối u Chúng tham khảo tài liệu có tay, rút đợc trờng hợp đặc biệt toán nêu thuật toán giải đa thức cho toán hai chiều Định lý 2.3.3.1 độ phức tạp tính toán thuật toán Khoá luận đợc chia làm chơng Chơng 1: Một số kiến thức giải tích lồi Chơng 2: Về toán bất đẳng thức biến phân rời rạc Để hoàn thành khoá luận này, nhận đợc hớng dẫn nhiệt tình thầy giáo TS Trần Xuân Sinh Nhân dịp cho phép bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Đồng thời xin gửi đến thầy giáo, cô giáo thuộc tổ Điều khiển, khoa Toán động viên giúp đỡ nhiều trình học tập, rèn luyện thực đề tài khoá luận Vì lực thời gian có hạn, chắn khoá luận không tránh khỏi thiếu sót, thành thật mong nhận đợc góp ý chân thành thầy giáo, cô giáo bạn Vinh, tháng 4/2004 Tác giả Chơng Một số kiến thức 1.1 Tập hợp lồi 1.1.1 Tổ hợp lồi Cho k điểm x ,x , , x R , điểm x = k n k k i x , i 0, i i i =1 i =1 = đợc gọi tổ hợp lồi hệ điểm cho 1.1.2 Đoạn thẳng Cho x1, x2 Rn, tập hợp [x1, x2] = {x Rn : x = 1x1 + 2x2 , 1, 0, + = 1} đợc gọi đoạn thẳng nối hai điểm cho Chú ý: Nếu kí hiệu = , = 1- [0, 1] đoạn thẳng nối x1, x2 [x1, x2] = {x Rn : x = x1 + (1- ) x2, 1} Đoạn thẳng [x1, x2] đợc gọi thuộc (hay nằm trọn trong) tập hợp M điểm x [x1, x2] M Nếu có x n x1 x = {x R : x = x + (1- ) x , với 0} ta có tia xuất phát từ x2 Nếu có n x1 x = {x R : x = x + (1- ) x , R} ta có đờng thẳng qua hai điểm x1 x2 1.1.3 Tập lồi Tập hợp M Rn đợc gọi tập lồi đoạn thẳng nối hai điểm thuộc M nằm trọn M Nhận xét: Từ định nghĩa trực tiếp nhận đợc kết sau đây: a Tập M lồi tổ hợp lồi số hữu hạn điểm thuộc M thuộc M b Giao tập hợp lồi tập hợp lồi c Cho C, D tập lồi thuộc Rn, a Rn, R Khi tập: C + D, C - D, a + D D lồi 1.1.4 Điểm cực biên Cho tập lồi M Rn Điểm x M đợc gọi điểm cực biên M không tồn x1, x2 M mà x = x1 + (1- ) x2, < < Nghĩa x điểm đoạn thẳng thuộc M 1.1.5 Siêu phẳng, siêu phẳng tựa Cho c Rn số thực Tập hợp S = {x Rn : c, x = } đợc gọi siêu phẳng Rn Tập hợp {x Rn : c, x } đợc gọi nửa không gian giới hạn siêu phẳng {x Rn : x, c = } Cho tập lồi M siêu phẳng S = {x Rn: c, x = } Nếu tồn x0 M mà c, x0 = c, x , x M ta nói S siêu phẳng tựa M Tập hợp M = {x Rn : aj, x bi , i = 1, , m, aj = (aij) Rn} tập hợp lồi đợc gọi tập lồi đa diện 1.1.6 Bao đóng, bao lồi tập hợp Cho hợp M thuộc Rn, tập đóng nhỏ thuộc Rn chứa M đợc gọi bao đóng M kí hiệu M Cho tập M Rn, tập lồi nhỏ thuộc Rn chứa M đợc gọi bao lồi, kí hiệu convM Nhận xét: a) Bao đóng M giao tất tập đóng chứa M b) Bao lồi M giao tất tập lồi chứa M 1.1.7 Nón lồi Tập K Rn đợc gọi nón với x K, > x K Điểm gốc O thuộc không thuộc K Nếu K nón với a Rn, a + K nón Nón K không chứa đờng thẳng gọi nón nhọn Nón a + K nhọn ta nói a + K nón nhọn có mũi a Nếu K nón nhọn chứa 0, đỉnh (nón nhọn có mũi 0) Nếu nón K tập lồi ta nói K nón lồi Cho A tập lồi thuộc Rn, nón lồi nhỏ chứa A đợc gọi nón lồi sinh A, ký hiệu KA Chúng ta chứng minh đợc KA = {x : x A, > 0} Cho M tập lồi thuộc Rn, vectơ z đợc gọi hớng lùi xa M với x M 0, ta có x + z M Từ định nghĩa, kiểm tra thấy rằng: Tập K tất hớng lùi xa tập hợp lồi M nón lồi Nón K đợc xác định nh gọi nón lùi xa M 1.2 Các tính chất quan trọng tập lồi 1.2.1 Định nghĩa Cho tập lồi M Rn, v Rn, ta gọi p hình chiếu M, kí hiệu p = p(v) p M inf ||x - v|| = ||p - v|| = x M (1.1) Khi đợc gọi khoảng cách từ v tới M 1.2.2 Tính chất 1.2.2.1 Định lý Cho M tập lồi đóng thuộc R n, với v M tồn hình chiếu p = p(v) M 1.2.2.2 Định lý Muốn cho điểm p M hình chiếu v M, điều kiện cần đủ với x M ta có x - p, v - p 0, x, v - p p, v - p (1.2) Chứng minh Giả sử p hình chiếu v M Lấy x M, ta có z = x + (1-)p = p + (x - p) M Theo định nghĩa hình chiếu, ta có ||p - v||2 ||z - v||2 = ||p + (x - p) - v ||2 = ||(x - p) + (p - v)||2 = = 2||x - p||2 + 2x - p, p - v + ||p - v||2 Điều xẩy 2||x - p||2 + 2x - p, p - v 0, với [0, 1] Bất đẳng thức (*) với [0, 1], từ suy (*) x - p, p - v 0, x - p, v - p Hệ x - v, x - p ||x - p||2 || x - p|| ||v - p|| 1.2.2.3 Định lý (Định lý tách điểm) Nếu M tập lồi thuộc Rn với điểm v nằm bao đóng M, tồn siêu phẳng P = {x Rn : c, x = } cho c, v = c, x < , với x M Chứng minh Kí hiệu p hình chiếu v M , xét siêu phẳng P = {x Rn : c, x = } c = v - p, = c, x Khi rõ ràng c, x = , mặt khác từ định lý 1.2.2.2 x - p, v - p 0, x, v - p p, v - p cho ta x, v - p p, v - p < v, v - p, x M (Vì v - p, v - p = ||v - p||2 > nên v, v - p > p, v - p) Do vậy, với x M ta có c, x = v - p, x, v - p, v = c, v = 1.2.2.4 Định lý Tại điểm biên x0 tập lồi M tồn siêu phẳng tựa P, nghĩa tồn c Rn (c 0) cho c, x0 = c, x , x M 1.2.2.5 Định lý Cho tập M lồi, M0 tập hợp tất điểm M không rỗng không cắt tập lồi Y (M0 Y = ) Khi tồn siêu phẳng tách hai tập hợp M Y, nghĩa c Rn (c 0) cho c, y c, x y Y, x M Chứng minh Xét tập Z = {z : z = y - x, y Y, x M0} Sử dụng định lý 1.2.2.3, với tập lồi Z điểm Z0 ta có kết định lý 1.2.2.6 Định lý (Định lý biểu diễn) Bất kì điểm x M lồi, đóng, giới nội biểu diễn đợc dới dạng tổ hợp lồi số hữu hạn điểm cực biên M Nghĩa với x M tồn hữu hạn điểm cực biên x1, x2, , xk cho x= k i xi , i 0, i = 1, 2, , k, i =1 k i = i =1 Định nghĩa: Tập M Rn đợc gọi giới nội chứa hình cầu tâm O (tức tồn r đủ lớn để với x M, ||x|| r) Một tập hợp F tập lồi C đợc gọi diện F tập lồi đoạn thẳng C chứa điểm x F làm điểm nằm trọn F, nghĩa x F, x = y + (1- )z , y, z C, < < y, z F 1.2.2.7 Định lý Giao tập hợp lồi C với siêu phẳng tựa P diện C Chứng minh Hiển nhiên C P tập lồi Mặt khác, đoạn [y, z] C chứa điểm x C P làm điểm {y; z} P (do {y; z} C P) Vì trái lại siêu phẳng P tách hẳn y với z không siêu phẳng tựa C 1.2.2.8 Định lý Cho C tập hợp lồi đóng, không giới nội i) Tại điểm x C có nửa đờng thẳng phát xuất từ x nằm trọn C ii) Hợp tất nửa đờng thẳng nón lồi đóng có dạng G(x) = Ct + {x} G nón lồi đóng không phụ thuộc vào x, có mũi O iii) Nón G nhọn C có đỉnh G gọi nón phơng vô hạn C Hệ Nếu tập lồi đóng C có đỉnh diện chứa đỉnh C 1.2.2.9 Định lý Tập K thuộc Rn nón lồi có đỉnh gốc với x, y K số > ta có x K x + y K Thật vậy, K nón lồi với x K, ta có x K (theo định nghĩa nón) Hơn K tập lồi nên với x, y K (x + y) K Khi chọn = x + y = 2( 12 (x + y)) K Ngợc lại, lấy x, y K, theo điều kiện nêu với 1, ta có x K, (1-)y K x + (1-)y K Tức K nón lồi Ví dụ: Tập K = {x Rn : Ax 0, A = (aij)mìn } nón lồi có đỉnh 1.2.2.10 Định lý Cho tập lồi đa diện M = { x Rn : aj, x bi , i = 1, 2, , m, aj = (aij) Rn} Ký hiệu ma trận A = (aij) Nếu hạng A n M tồn điểm cực biên 1.3 Hàm lồi 1.3.1 Định nghĩa Hàm f(x) đợc gọi hàm lồi tập lồi M với x, y M [0, 1] ta có bất đẳng thức f[x + (1- )y] f(x) + (1- )f(y) Trong trờng hợp ngợc lại Trong trờng hợp f[x + (1- )y] f(x) + (1- )f(y) (1.3) (1.4) hàm f(x) đợc gọi hàm lõm Hàm f(x) xác định tập lồi M đợc gọi hàm lồi mạnh tồn số p > cho với x, y M [0, 1] ta có f[x + (1- )y] f(x) + (1- )f(y) - k, k = (1- )p||x - y||2 Chú ý: - Hàm f(x) lồi mạnh f(x) hàm lồi - Hàm tuyến tính tuyến tính afin hàm vừa lồi vừa lõm - Nếu hàm f(x) hàm lõm g(x) = - f(x) hàm lồi 1.3.2 Các tính chất quan trọng hàm lồi ([3], [5]) 1.3.2.1 Định lý i) Hàm f liên tục tập lồi M hàm lồi 10 x+ f y 1 f(x) + f(y) 2 ii) Cho f(x) hàm lồi, liên tục tập lồi M, hàm y = max{f(x), 0} , x M hàm lồi iii) Tổng hữu hạn hàm lồi hàm lồi iv) Cho fi(x), i = 1, 2, , k hàm lồi Khi f(x) = max{fi(x), x M} hàm lồi v) Nếu f hàm lồi f(x + (1- )y] max{f(x), f(y)}, 1.3.2.2 Định lý Cho f(x) hàm lồi tập lồi M số thực cố định Khi tập M = {x Rn : f(x) } tập lồi Chứng minh Lấy x, y M Khi f(x), f(y) Xét điểm z = x + (1- )y , [0, 1] ta có f(z) = f[x + (1- )y] f(x) + (1- )f(y), (vì f lồi) + (1- ) = Từ suy f(z) , z M Vậy M tập lồi 1.3.2.3 Định lý Cho fi(x) (i = 1, k ) hàm lồi tập lồi M Khi f(x) = k i fi(x), với i , i = 1, k hàm lồi i =1 1.3.2.4 Định lý (Bất đẳng thức Jensen) f(x) hàm lồi tập lồi M k f i xi i =1 i , k i f(xi), xi M (1.5) i =1 k i i =1 = Chứng minh Giả sử có bất đẳng thức (1.5) Khi với k = 2, theo định nghĩa f hàm lồi Ngợc lại, giả sử f(x) hàm lồi M Xét 11 x= k i xi, i 0, i =1 k i = i =1 Rõ ràng M lồi nên x M Để chứng minh (1.5) ta quy nạp theo k - Với k = 2, bất đẳng thức - Giả sử bất đẳng thức với k -1, ta chứng minh với k Ta có k i f(xi) = i =1 k i f(xi) + k + kf(xk) i =1 Không tính tổng quát, giả sử < k < Khi k k i =1 i =1 i f(xi) = (1- k) i = kf(xl) + (1- k) f(xk) + kf(xk) k k i f(xi) i =1 i Với i = i = 1, k Rõ ràng k k i = i =1 Do vậy, theo giả thuyết quy nạp ta đợc k k k i =1 i =1 i =1 i f(xi) (1- k) i f(xi) + kf(xk) f(kxk + (1- k) i xi) k f i xi i =1 k Từ ta suy f i xi i =1 k i f(xi) i =1 1.3.2.5 Định lý Cho hàm số f(x) xác định liên tục, có đạo hàm cấp (a, b) Khi f(x) lồi [a, b] f(x) 0, với x [a, b] Chứng minh Lấy x1, x2 [ a, b] (giả sử x1 < x2) Giả sử > 0, > + = Ta phải chứng minh: 12 f(1x1 + 2x2) f(x1) + 2f(x2) [ ( a x1 1x1 + 2x2 ) ] x2 b Xét đoạn thẳng [x1, 1x1 + 2x2] Theo định lý Lagrăng tồn mà x1 < < 1x1 + 2x2 cho f(1x1 + 2x2) - f(x1) = (1x1 + 2x2 - x1)f(1) f(1) = f (1 x1 + x2 ) f ( x1 ) x1 + x2 x1 = f (1 x1 + x2 ) f ( x1 ) x1 + (1 ) x2 x1 = f (1 x1 + x2 ) f ( x1 ) (1 )( x2 x1 ) (a) Xét đoạn [1x1 + 2x2; x2] Cũng theo định lý Lagrăng tồn 2, 1x1 + 2x2 < < x2 cho f ( x2 ) f ( x1 + x2 ) = f(2) x2 x1 x2 có f(2) = f ( x2 ) f ( x1 + x2 ) x2 x1 (1 ) x2 = f ( x2 ) f ( x1 + x2 ) ( x1 x2 ) (b) Vì f(x) 0, x [a, b] nên f(x) hàm đồng biến [a, b] < 2, ta f(1) < f(2) Từ (a), (b) (c) suy f (1 x1 + x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 + x2 ) < (1 )( x2 x1 ) ( x1 x2 ) (c) (d) Do x2 - x1 > 0, < < 1, nên từ (d) ta có 1[f(1x1 + 2x2) - f(x2)] < (1 - 2)[f(x2) - f(f(x2) - f(1x1 + 2x2)] f(1x1 + 2x2) < 1f(x1) + (1 - 1)f(x2) f(1x1 + 2x2) < 1f(x1) + 2f(x2) Vậy f(x) hàm lồi [a, b] 13 Nhận xét: Từ định lý 1.3.2.5, trực tiếp cho ta hàm sau lồi: Hàm số y = xk với x > 0, k = 1, 2, hàm lồi Hàm số y = ax, a >1 hàm lồi Hàm số y = - logax với a > 1, x > hàm lồi 1.3.2.6 Định lý Nếu f lồi, khả vi tập lồi M f(x), y - x f(y) - f(x), với x, y M, f(x) = f(x) = ( f x1 , f x2 , , f xn ) 1.3.2.7 Định lý Nếu tập lồi đa diện M bị chặn M đa diện lồi 1.3.2.8 Định lý Đa diện lồi D có số điểm cực biên hữu hạn gồm x1, k x , , x với x D x = i xi i 0, k i =1 k i = i =1 Định nghĩa Cho hàm f xác định tập hợp lồi M Điểm x0 M đợc gọi điểm cực tiểu địa phơng f M tồn lân cận Wx0 cho f(x0) f(x), với x M Wx0 Nếu M Wx0 = M ta nói x0 điểm cực tiểu tuyệt đối f M 1.3.2.9 Định lý Cực tiểu địa phơng hàm lồi f trùng với cực tiểu tuyệt đối tập lồi M Chứng minh Giả sử x0 M điểm cực tiểu địa phơng f M Khi tồn lân cận Wx0 cho f(x0) f(x), với x M Wx0 Lấy x M Xét y = x + (1- )x0, Rõ ràng với đủ bé ta y rơi vào lân cận Wx0 Mặt khác, M lồi nên y M Từ ta suy y M Wx0 Do f(x0) f(y) Nhng f hàm lồi nên f(x0) f(y) f(x) + (1- )f(x0) Ta suy f(x0) f(x), với x M 14 Điểm x0 M lồi đợc gọi điểm M với x M tồn y M mà x0 = x + (1- )y , < < 1.3.2.10 Định lý Nếu hàm f đạt cực đại điểm x tập lồi M f không đổi tập M Chứng minh Giả sử x0 điểm M f đạt cực đại tức f(x), f(y) f(x0), với x, y M (*) Vì x0 điểm nên tồn y M, với x M ta có x0 = x + (1- )y , < < Mặt khác, f hàm lồi nên f(x0) f(x) + (1- )f(y), < < Từ (*) suy f(x0) f(x) + (1- )f(y) f(x) + (1- )f(x0) Vì < < nên f(x0) f(x), với x M So sánh với (*) ta đợc f(x0) = f(x), với x M Hệ Cho f hàm lồi xác định tập hợp M Khi cực đại f (nếu có) đạt điểm cực biên M 1.3.2.11 Định lý Cho hàm lồi f khả vi xác định tập hợp lồi M Rn điều kiện cần đủ để hàm f đạt cực tiểu toàn cục x* M f(x*), x - x* 0, với x M Chứng minh Theo định lý 1.3.2.6, ta có f(x*), y - x* f(y) - f(x), với x, y M Rõ ràng x = x* ta có f(x*), y - x* f(y) - f(x*) , y M Do x* thoả mãn f(x*), y - x* f(y) - f(x*) Từ ta có f(x*) f(y), với y M, nghĩa x* phơng án tối u) 15 1.3.2.12 Định lý Cho hàm lồi f xác định tập hợp lồi M Rn điều kiện cần đủ để hàm f đạt cực tiểu toàn cục x* M f(x*) = Chơng Về toán bất đẳng thức biến phân rời rạc Chơng nghiên cứu số tính chất toán bất đẳng thức biến phân rời rạc nêu thuật toán đa thức giải toán xét không gian R2, dựa thuật toán tìm bao lồi số hữu hạn điểm mặt phẳng 2.1 Phát biểu toán 2.1.1 Định nghĩa 2.1.1.1 Cho tập hợp X Rn Ta ký hiệu hàm vectơ F = (F1, F2, , Fn), Fi : X R, i = 1, 2, , n với x, y X F(x), y = i=1 n Fi(x)yi Hàm F đợc gọi liên tục hàm Fi liên tục Trong [1] chứng minh đợc định lý sau đây: 2.1.1.1 Định lý (Định lý Brower) Giả sử X tập lồi, compact thuộc không gian Rn F : X X liên tục Khi F tồn điểm bất động, nghĩa tồn x X, cho F(x) = x 2.1.1.3 Bất đẳng thức F(x), y - x 0, với x, y X (2.1) đợc gọi bất đẳng thức biến phân Việc tìm x X, cho (2.1) thoả mãn với y X gọi toán bất đẳng thức biến phân Nghĩa toán bất đẳng thức biến phân có dạng: tìm x X cho F(x), y - x 0, với y X 16 (2.2) 2.1.1.4 Định lý Giả sử X tập compact lồi thuộc R n F liên tục Khi tồn x X cho thoả mãn (2.2), nghĩa F(x), y - x 0, với y X Chứng minh: Ta có F(x), y - x = x + F(x) - x, y - x = = x, y - x + F(x) - x, y - x = x, y - x - x - F(x), y - x Vì để chứng minh tồn x X thoả mãn (2.2), ta cần chứng minh tồn x X thoả mãn bất đẳng thức x, y - x - x - F(x), y - x (2.5) Thật vậy, ta ký hiệu x - F(x) = (I - F)x I ánh xạ đồng X, tức Ix = x Đồng thời ký hiệu p(I - F) tích phép lấy hình chiếu p với (I - F) Dựa theo ký hiệu trên, F giả thiết liên tục nên p(I - F) liên tục Vì X lồi, compact, theo định lý 2.1.1.1 (định lý Brower) p(I - F) tồn điểm bất động x X, nghĩa tồn điểm x X mà p(I - F)x = x áp dụng định lý 1.2.2.1 tồn hình chiếu định lý 1.2.2.2 điều kiện cần đủ hình chiếu p, ta có z, y - p p, y - p, với y X, (*) p hình chiếu z X Trong trờng hợp nh nêu p = x, z = (I - F)x = x - F(x) Thay vào (*) ta đợc x - F(x), y - x x, y - x, với y X Hay x, y - x - x - F(x), y - x 0, với x X Đó điều phải chứng minh 2.1.2 Về toán bất đẳng thức biến phân Xét trở lại toán bất đẳng thức biến phân, kí hiệu VIP(F, X): tìm vectơ x* X cho F(x*), x - x* 0, với x X , 17 (2.2) ta giả thiết X tập hợp lồi, compact F hàm liên tục Chú ý giả thiết bị chặn tập X cần thiết toán bất đẳng thức biến phân VIP(F, X) Ví dụ Lấy X = R, bất đẳng thức biến phân F(x), y - x = f(x)(y - x) 0, với y R, nghiệm f(x) = ex Bây xét tập lồi, đóng X Lấy hình cầu đóng r Rn, với bán kính r, chứa điểm gốc O Rn Ký hiệu Xr = X r Lúc này, ta có tập Xr compact Xr theo định lý 2.1.1.7 cho ta nghiệm toán VIP(F, Xr), nghĩa tồn xr Xr cho F(xr), y - xr 0, với y Xr (2.6) 2.1.2.1 Định lý Giả sử X tập lồi, đóng thuộc Rn hàm vectơ F : X Rn liên tục Điều kiện cần đủ để tồn nghiệm toán VIP(F, X) tồn số thực r > cho nghiệm toán VIP(F, Xr) (2.6) thoả mãn || xr || < r (2.7) Chứng minh Điều kiện đủ rõ ràng x nghiệm toán VIP(F, X) x nghiệm (2.6), với cách chọn r thoả mãn || xr || < r Bây ta chứng minh điều kiện đủ Giả sử tồn xr Xr thoả mãn (2.6) Ta cần chứng minh xr thoả mãn (2.2) Thật từ || xr || < r lấy y Xr Do X tập lồi nên z = xr + (y - xr) X, với > đủ bé Ta có xr Xr X nên F(xr), z - xr = F(xr), y - xr, với y X Vì > 0, nên ta có F(xr), y - xr 0, với y X, tức xr nghiệm toán VIP(F, X) Ta nhận thấy toán (2.2) ta có trờng hợp riêng nh sau: 18 2.1.2.1 Trờng hợp X Rn Trong trờng hợp VIP(F, X) trở thành toán tìm nghiệm hệ phơng trình F(x) = Thật vậy, (2.2) F(x*), x - x* 0, với x Rn, ta thay x := (x + x* ), với x Rn ta có F(x*), (x + x* ) - x* = F(x*), x Vậy F(x*), x 0, với x Rn Bất đẳng thức với x Rn, nên với - x Rn, tức có đợc F(x*), - x 0, với x Rn Hay F(x*), x 0, với x Rn Ta suy F(x*), x = 0, với x Rn Từ ta có điều phải chứng minh F(x*) = 2.1.2.2 Trờng hợp X R n+ Trong trờng hợp toán VIP(F, X) trở thành toán bù: Tìm x = x* X thoả mãn x , F(x) 0, x, F(x) = Thật vậy, X R n+ nên x* 0, đồng thời (2.2) ta thay x := x* + ei, với ei vectơ toạ độ đơn vị thứ i Rn, ta có F(x*), ei = Fi(x*), (i = 1, 2, , n) Từ ta có F(x*) Mặt khác, (2.2) lấy x = F(x*), x* Lại x* F(x*) 0, ta suy F(x*), x* 19 Vậy F(x*), x* = Nh vậy, tìm đợc nghiệm toán bất đẳng thức biến phân đồng nghĩa với việc tìm đợc nghiệm toán bù vừa nêu 2.1.2.3 Trờng hợp X {x Rn : a x b}, với a, b Rn , a b Trong trờng VIP(X, F) trở thành toán bất đẳng thức biến phân siêu hộp [2] 2.1.2.4 Trờng hợp X Rn lồi, đóng F(x) f(x) x X, với f : X Rn hàm lồi xác định X Trong trờng hợp VIP(F, X) trở thành toán Tìm vectơ x* X thoả mãn f(x*), x - x* x X Do X tập lồi f(x) hàm lồi nên bất đẳng thức cho thấy f(x) f(x*), với x X, nghĩa x* lời giải toán quy hoạch lồi: min{ f(x), x X} Đây toán thấy chơng 2.1.2.5 Trờng hợp X Rn tập lồi đa diện F(x) c Rn, c vectơ cố định, với x X Khi VIP(F, X) toán quy hoạch tuyến tính quen thuộc: min{c, x: x X } 2.1.2.6 Trờng hợp X gồm số hữu hạn điểm Khi ta có toán bất đẳng thức biến phân với biến rời rạc, gọi tắt toán bất đẳng thức biên phân rời rạc, ký hiệu DVIP(F, X) 2.2 Một số tính chất đơn giản toán bất đẳng thức biến phân rời rạc 2.2.1 Bài toán Nh mục 2.1.2.6 nêu, toán bất đẳng thức biến phân rời rạc có dạng là: Tìm xk X thoả mãn F(x*), xi - xk 0, với i k, (2.8) F : X Rn X {x1, x2, , xp}, với xi Rn (i = 1, 2, , p) Về mặt hình học, toán thực tìm điểm xk X (nếu có) cho điểm x thuộc X nằm phía theo hớng pháp tuyến F(x*) siêu phẳng vuông góc với F(xk) xk 20 Rõ ràng có xk X thoả mãn F(xk) = đơng nhiên xk nghiệm toán cho Vì không giảm tổng quát ta giả thiết F(xi) i = 1, 2, , p Ký hiệu C = convX (bao lồi X) C = vertC (tập đỉnh C), nh ta biết C đa diện lồi C = C X, nghĩa đỉnh C thuộc X, ta có 2.2.2 Tính chất 2.2.2.1 Định lý Giả sử xk nghiệm toán DVIP(F, X) F(xk) Khi xk phải biên C Chứng minh Theo (2.8) ta có F(xk), xk F(xk), xi i = 1, 2, , p Từ suy F(xk), xk F(xk), x , x C, nghĩa H = {x Rn : F(xk), x F(xk), xk} siêu phẳng tựa C xk diện C [5] Vậy với xk H C xk điểm C Định lý 2.2.2.1 nêu cho thấy để tìm nghiệm toán ta cần tìm số điểm biên C Để ý định lý 2.2.2.1 với toán VIP(F, X) Giả sử điểm xk X biên C = convX Kí hiệu D diện thứ tập đỉnh D Nh biết đỉnh nguyên nhỏ C chứa xk D D đỉnh C, nghĩa phải thuộc X Khi ta có: x đỉnh 2.2.2.2 Định lý Nếu F(xk), xk F(xk), x, x D xk nghiệm toán DVIP(F, X) C kề với đỉnh thuộc D Chứng minh Nếu xk thoả mãn điều kiện nêu xk điểm cực tiểu địa phơng hàm tuyến tính F(xk), x lân cận WkC, xk cực tiểu hàm toàn C Từ định lý 2.2.2.1 định lý 2.2.2.2 toán đặt giải trực tiếp cách thực p ì p phép so sánh giá trị hàm F(xk), xk F(xk), xi 21 với i, k = 1, 2, , p Bằng cách cần thời gian giải cỡ p ì p Nói cách khác, độ phức tạp thời gian thuật toán O(p2) 2.3 Thuật toán giải toán bất đẳng thức biến phân rời rạc không gian thực chiều R2 Sau ta trờng hợp n = (bài toán bất đẳng thức biến phân mặt phẳng) giải thời gian O(p ì log2p) 2.3.1 Thuật toán đa thức cho toán chiều Để đơn giản, trớc tiên ta giả thiết điểm thuộc X đỉnh C điểm C Nh điểm thuộc X cạnh C, trừ đỉnh Khi theo định lý 2.2.2.1 nghiệm toán đạt đỉnh C Giả sử xk C kề với đỉnh u, v C, định lý 2.2.2.2 cho thấy xk nghiệm toán F(xk), xk F(xk), u F(xk), xk F(xk), v (2.9) Vì thế, để tìm nghiệm ta việc tìm đỉnh C thoả mãn (2.9) 2.3.1.1 Thuật toán [4] Bớc Sắp xếp điểm xi (i = 1, 2, , p) theo thứ tự tọa độ x tăng dần Những điểm có toạ độ x lấy theo tọa độ y tăng dần (chỉ cần giữ lại hai điểm ứng với tọa độ y nhỏ lớn nhất, điểm khác đỉnh bao lồi) Giả sử dãy điểm sau xếp là: x1, x2, , xh (h p) Các đỉnh thuộc bao lồi đợc chia thành hai loại: Các đỉnh phía bao lồi C, tức đỉnh ta gặp biên C từ x1 đến xh theo chiều kim đồng hồ đỉnh lại đỉnh phía dới Sau cách tìm đỉnh phía trên, đỉnh lại đợc tìm tơng tự Bớc Rõ ràng x1 đỉnh C ta đa x1 vào danh sách, ký hiệu Ta lần lợt kiểm tra điểm lại thuộc dãy điểm đỉnh phía C Bớc Giả sử có điểm x1, , xi -1 (2 i h) ta bổ sung vào điểm xi Kiểm tra i > h hay không? + Nếu có, tập đỉnh C + Nếu i h chuyển tới bớc 22 Bớc Nếu có điểm ta kiểm tra xem điểm cuối danh sách có tạo nên rẽ trái không (việc đợc thực nhờ thuật toán nêu [2]) Nếu phát thấy có rẽ trái loại bỏ khỏi điểm số điểm vừa xét lại tiếp tục kiểm tra điểm cuối (nếu có) Còn điểm cuối không tạo nên rẽ trái có điểm quay lại bớc Cuối cùng, điểm đợc xét ta nhận đợc danh sách chứa đỉnh phía cần tìm Xuất phát từ xh, thực bớc tơng tự nh ta tìm đợc đỉnh phía dới Tập đỉnh đỉnh dới tập đỉnh C C Bớc Sau tính đợc đỉnh C, để tìm nghiệm toán ta việc kiểm tra điều kiện (2.9) đỉnh C đỉnh x1 2.3.2 Về độ phức tạp tính toán thuật toán 2.3.1.1 2.3.2.1 Định lý Thuật toán nêu có độ phức tạp thời gian O(plog2p) Chứng minh Quá trình thực việc xếp thứ tự điểm dãy p điểm cho bớc 1, 2, có độ phức tạp O(log2p) Có p điểm nh vậy, độ phức tạp O(plog2p) bớc 4, cần điểm tra điều kiện (2.8) với q đỉnh (giả sử kết bớc 1, 2, cho C có q đỉnh) có độ phức tạp O(q) Vậy kết thuật toán nêu chung lại có độ phức tạp O(plog2p) Trờng hợp có điểm cho (khác đỉnh) thuộc X nằm cạnh C bớc 1, 3, ta sử dụng thuật toán tìm bao lồi p điểm cho mặt phẳng [4] nh sau: 2.3.2.2 Thuật toán Chọn điểm x1 cực trái (điểm có hoành độ bé nhất, có nhiều điểm có hoành độ chọn tiếp tung độ bé nhất) Đó đỉnh thuộc bao lồi Ta quay đờng thẳng đứng, với tâm quay x1, theo chiều kim đồng hồ gặp điểm đầu tiên, ký hiệu x2 Đó đỉnh thứ bao lồi Ta tiếp tục quay đờng thẳng đứng nhng lần với tâm quay x2 gặp điểm x3 Cứ tiếp tục nh gặp lại x1, ta đợc bao lồi vần tìm Giả sử tìm đợc bao lồi C có q đỉnh Sau có q đỉnh bao lồi C, ta thực tiếp bớc nh nêu thuật toán 23 Mỗi đỉnh phải thực phép quay nhiều tới p - đỉnh lại (để kiểm tra đỉnh gặp phải) Có q đỉnh nh Do thuật toán nêu có độ phức tạp O(qì(p-1)) Kết luận Kết khoá luận đợc tóm tắt là: Tiếp cận đợc số thành tựu thông qua kiến thức giải tích lồi Trên sở tiếp cận kiến thức nêu, rút đợc trờng hợp đặc biệt toán bất đẳng thức biến phân Nêu đợc thuật toán đa thức giải toán không gian R2, chứng minh đợc độ phức tạp tính toán thuật toán Kết khoá luận mở rộng theo nhiều hớng Chúng hy vọng theo hớng mở rộng khác nhau, chẳng hạn xét R3, có đợc kết thú vị Kết có đợc tập dợt nghiên cứu, nhiều điều cần phải xem xét Rất mong quý thầy cô giáo, bạn đồng nghiệp góp ý giúp đỡ Một lần nữa, tác giả xin chân thành cảm ơn thầy giáo hớng dẫn, thầy cô giáo tổ Điều khiển khoa Toán Xin cảm ơn bố gia đình bạn bè động viên giúp đỡ tác giả trình học tập làm khoá luận tài liệu tham khảo 24 [1] David Kinderlehrer and Guido Stampacchia, An introduction to Vairational Inequalities and their Applications, Academic press, New York London Toronto Sydney San Francisco, 1980 [2] Mark de Berg, Marc van Kreveld, Mark Overmars and Otfried Schwarzkopf, Computational Geometry - Algorithms and Applications, 2nd Revieds Edition, Springer-Verlag Berlin Hiedelberg 1997, 2000 [3] Trần Xuân Sinh, Bài giảng chuyên đề Giải tích lồi ứng dụng, Đại học Vinh, 2004 [4] Trần Vũ Thiệu, Về toán bất đẳng thức biến phân rời rạc, Bản thảo đợc trình bày xemine thuộc nhóm đề tài Tối u rời rạc [5] Hoàng Tuỵ, Convex analisis and global optimization, Klwer Academic Publishers, Boston/London/Dordrecht, 1998 25 [...]... định, với mọi x X Khi đó VIP(F, X) là bài toán quy hoạch tuyến tính quen thuộc: min{c, x: x X } 2.1.2.6 Trờng hợp 6 X gồm một số hữu hạn điểm Khi đó ta có bài toán bất đẳng thức biến phân với biến rời rạc, gọi tắt là bài toán bất đẳng thức biên phân rời rạc, ký hiệu là DVIP(F, X) 2.2 Một số tính chất đơn giản của bài toán bất đẳng thức biến phân rời rạc 2.2.1 Bài toán Nh mục 2.1.2.6 đã nêu, bài toán bất. .. và F : X X liên tục Khi đó F tồn tại điểm bất động, nghĩa là tồn tại x X, sao cho F(x) = x 2.1.1.3 Bất đẳng thức F(x), y - x 0, với x, y X (2.1) đợc gọi là bất đẳng thức biến phân Việc tìm x X, sao cho (2.1) thoả mãn với mọi y X gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân Nghĩa là bài toán bất đẳng thức biến phân có dạng: tìm x X sao cho F(x), y - x 0, với mọi y X 16 (2.2) 2.1.1.4 Định lý Giả sử... toán bất đẳng thức biến phân rời rạc Chơng này nghiên cứu một số tính chất của bài toán bất đẳng thức biến phân rời rạc và nêu thuật toán đa thức giải bài toán xét trong không gian R2, dựa trên thuật toán tìm bao lồi của một số hữu hạn điểm trong mặt phẳng 2.1 Phát biểu bài toán 2.1.1 Định nghĩa 2.1.1.1 Cho tập hợp X Rn Ta ký hiệu hàm vectơ F = (F1, F2, , Fn), trong đó Fi : X R, i = 1, 2, , n và với. .. - x, với mọi y X Hay là x, y - x - x - F(x), y - x 0, với mọi x X Đó là điều phải chứng minh 2.1.2 Về bài toán bất đẳng thức biến phân Xét trở lại bài toán bất đẳng thức biến phân, kí hiệu là VIP(F, X): tìm vectơ x* X sao cho F(x*), x - x* 0, với mọi x X , 17 (2.2) trong đó ta giả thiết X là tập hợp lồi, compact và F là hàm liên tục Chú ý rằng giả thiết bị chặn của tập X là cần thiết đối với bài... và F là hàm liên tục Chú ý rằng giả thiết bị chặn của tập X là cần thiết đối với bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(F, X) Ví dụ Lấy X = R, khi đó bất đẳng thức biến phân F(x), y - x = f(x)(y - x) 0, với mọi y R, là không có nghiệm đối với f(x) = ex Bây giờ chúng ta xét tập lồi, đóng X Lấy hình cầu đóng r Rn, với bán kính r, chứa điểm gốc O Rn Ký hiệu Xr = X r Lúc này, ta có tập Xr là compact và... cách khác, độ phức tạp về thời gian của thuật toán là O(p2) 2.3 Thuật toán giải bài toán bất đẳng thức biến phân rời rạc trong không gian thực 2 chiều R2 Sau đây ta sẽ chỉ ra rằng trong trờng hợp n = 2 (bài toán bất đẳng thức biến phân trong mặt phẳng) có thể giải trong thời gian O(p ì log2p) 2.3.1 Thuật toán đa thức cho bài toán 2 chiều Để đơn giản, trớc tiên ta giả thiết rằng mỗi điểm thuộc X hoặc... Trong trờng này VIP(X, F) trở thành bài toán bất đẳng thức biến phân trên siêu hộp [2] 2.1.2.4 Trờng hợp 4 X Rn lồi, đóng và F(x) f(x) x X, với f : X Rn là hàm lồi xác định trên X Trong trờng hợp này VIP(F, X) trở thành bài toán Tìm vectơ x* X thoả mãn f(x*), x - x* 0 x X Do X là tập lồi và f(x) là hàm lồi nên bất đẳng thức trên đã cho thấy f(x) f(x*), với x X, nghĩa là x* là lời giải của bài... lồi nên x M Để chứng minh (1.5) ta quy nạp theo k - Với k = 2, bất đẳng thức đúng - Giả sử bất đẳng thức đúng với k -1, ta chứng minh đúng với k Ta có k i f(xi) = i =1 k 1 i f(xi) + k + kf(xk) i =1 Không mất tính tổng quát, giả sử 0 < k < 1 Khi đó k k 1 i =1 i =1 i f(xi) = (1- k) 1 i = kf(xl) + (1- k) f(xk) + kf(xk) k k 1 i f(xi) i =1 i Với i = 0 i = 1, k 1 Rõ ràng 1 k k 1 i = 1 i =1... vậy, trong (2.2) F(x*), x - x* 0, với mọi x Rn, ta thay x := (x + x* ), với mọi x Rn ta có 0 F(x*), (x + x* ) - x* = F(x*), x Vậy F(x*), x 0, với mọi x Rn Bất đẳng thức đúng với mọi x Rn, nên cũng đúng với - x Rn, tức là cũng có đợc F(x*), - x 0, với mọi x Rn Hay F(x*), x 0, với mọi x Rn Ta suy ra F(x*), x = 0, với mọi x Rn Từ đó ta có điều phải chứng minh F(x*) = 0 2.1.2.2 Trờng hợp... mục 2.1.2.6 đã nêu, bài toán bất đẳng thức biến phân rời rạc có dạng là: Tìm xk X thoả mãn F(x*), xi - xk 0, với i k, (2.8) trong đó F : X Rn và X {x1, x2, , xp}, với xi Rn (i = 1, 2, , p) Về mặt hình học, bài toán này thực ra là tìm một điểm xk X (nếu có) sao cho mọi điểm của x thuộc X đều nằm về một phía theo hớng pháp tuyến F(x*) của siêu phẳng vuông góc với F(xk) tại xk 20 Rõ ràng nếu có ... bất đẳng thức biên phân rời rạc, ký hiệu DVIP(F, X) 2.2 Một số tính chất đơn giản toán bất đẳng thức biến phân rời rạc 2.2.1 Bài toán Nh mục 2.1.2.6 nêu, toán bất đẳng thức biến phân rời rạc. .. đầu Một số kiến thức Tập hợp lồi Các tính chất tập lồi Hàm lồi Các tính chất hàm lồi Về toán bất đẳng thức biến phân rời rạc Phát biểu toán Một số tính chất bất đẳng thức biến phân rời rạc 3.3... điểm bất động, nghĩa tồn x X, cho F(x) = x 2.1.1.3 Bất đẳng thức F(x), y - x 0, với x, y X (2.1) đợc gọi bất đẳng thức biến phân Việc tìm x X, cho (2.1) thoả mãn với y X gọi toán bất đẳng thức