–1– MỤC LỤC Trang Bảng ký hiệu MỞ ĐẦU Chương I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 MÔĐUN ĐỀU, MÔĐUN CON CỐT YẾU, MÔĐUN NỘI XẠ, BAO NỘI XẠ 1.1.1 1.1.2 1.1.4 1.1.5 1.1.9 Môđun cốt yếu Môđun Tính chất Môđun nội xạ Bao nội xạ 6 10 13 1.2 MÔĐUN CON NGUYÊN SƠ VÀ MÔĐUN CON 14 NGUYÊN TỐ 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.7 1.2.8 Môđun con nguyên sơ Sự phân tích nguyên sơ Sự phân tích không rút gọn môđun Sự phân tích chuẩn môđun Môđun nguyên tố Sự liên hệ môđun nguyên sơ môđun nguyên tố 1.2.9 Căn môđun 1.2.10 Sự phân tích nguyên tố 1.2.11 Sự phân tích nguyên tố không rút gọn môđun 2.12 Sự phân tích nguyên tố chuẩn môđun 14 15 15 15 16 16 16 16 17 17 Chương II CHIỀU ĐỀU CỦA MÔĐUN VÀ MÔĐUN CON NGUYÊN TỐ 18 2.1 Chiều môđun 18 2.2 Môđun nguyên tố 31 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 –2– BẢNG KÝ HIỆU  với  nhỏ hay  giao với  tập hợp  không tập hợp  môđun môđun cốt yếu tổng trực tiếp với *    tổng   *    E(M) u(M) đẳng cấu với tích tập hợp số tự nhiên tập hợp số nguyên dương tập hợp số nguyên tập hợp số hữu tỉ tập hợp số thực bao nội xạ môđun M chiều môđun M –3– MỞ ĐẦU Từ năm 1958 Goldie công bố cấu trúc vành nguyên tố chuỗi tăng có điều kiện giới thiệu khái niệm chiều môđun M (xem [5] [6]) Chiều u(M) môđun M mở rộng khái niệm chiều không gian véctơ Năm 1975, R N Roberts đưa chiều “Krull” cho môđun tùy ý Đến năm 2004, Roy L McCasland Patric F Smith dựa vào môđun bù giao môđun con, phân tích không rút gọn môđun qua giao môđun bù giao, ông đưa cách tính số chiều môđun tổng số chiều môđun thương Không dừng lại đó, cách phân tích môđun phân tích chuẩn môđun nguyên sơ, môđun nguyên tố để tính chiều môđun thương có chiều hữu hạn, thông qua tổng môđun thương nhỏ hơn, việc làm cho ta tiện lợi tính số chiều môđun bất kỳ, từ môđun thương đặc biệt Từ khái niệm: Một môđun M gọi có chiều hữu hạn không chứa tổng trực tiếp vô hạn môđun khác M, luận văn trình bày chi tiết môđun M có chiều n ký hiệu u(M) = n, với n số nguyên dương, tồn hữu hạn môđun Ui với i (1 ≤ i ≤ n) độc lập cho cho U1  U2   Un * M Hơn nữa, khái niệm chiều không gian véctơ chiều môđun bất biến, có môđun V i (1 ≤ i ≤ k) môđun độc lập M cho V1   Vk môđun cốt yếu M n = k Như vậy, M môđun có chiều u(M) = 1, Nếu M có chiều không hữu hạn ta nói u(M) =  Nội dung luận văn trình bày –4– cách tính chiều môđun có chiều hữu hạn Cụ thể chương II luận văn, phần thứ cho kết luận môđun M có n chiều hữu hạn u(M) =  u (M / K ) = K1   i 1 i Kn, Ki ( 1≤ i ≤ n ) môđun M cho Ki bù giao K1  Ki–1 Ki+1  Kn M với ≤ i ≤ n Hơn thêm điều kiện Ki bất khả quy với i u(M) = n Trong phần thứ hai, luận văn trình bày chiều môđun thương: u(M / N) =  n i 1 u (Li / (Li  Ki)), Li =  {Kj : ≤ j ≤ n Pj  Pi} với i, Pi không iđêan nguyên tố liên kết cực tiểu N Li = M Pi (1 ≤ i ≤ n) iđêan nguyên tố liên kết cực tiểu N phân tích chuẩn N = K1   Kn, Ki môđun Pi-nguyên tố, với Pi (1 ≤ i ≤ n) iđêan nguyên tố R Ngoài phần mở đầu kết luận,để giúp người đọc tiện theo dõi, nội dung luận văn chia làm hai chương: + Chương I: Chúng trình bày kiến thức như: môđun đều, tính chất môđun đều, môđun nội xạ, bao nội xạ Do tránh dài nội dung mà khái niệm phân tích nguyên sơ môđun, phân tích chuẩn môđun, phân tích nguyên tố môđun, phân tích nguyên tố chuẩn môđun, môđun con, xin đưa vào chương I + Chương II: gồm hai phần: - Phần chiều môđun mà nội dung tìm chiều môđun có chiều hữu hạn qua chiều môđun thương –5– - Phần có nội dung tìm chiều môđun thương có chiều hữu hạn qua môđun thương khác Như vậy, ta có quyền hy vọng tương lai không xa, lại người ứng dụng vào môn khoa học ứng dụng khác Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn, giúp đỡ tận tình PGS TS Ngô Sỹ Tùng, xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Đồng thời, chân thành cảm ơn thầy cô, đồng nghiệp động viên khích lệ giúp hoàn thành luận văn Nghệ An, tháng 12 năm 2011 TÁC GIẢ Phan Văn Vũ –6– CHƯƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong toàn luận văn giả thiết vành R vành có đơn vị môđun R-môđun trái unita 1.1 MÔĐUN ĐỀU, MÔĐUN CON CỐT YẾU, MÔĐUN NỘI XẠ, BAO NỘI XẠ 1.1.1 Định nghĩa Cho M R-môđun, A  M gọi môđun cốt yếu (hay lớn) M Kí hiệu A * M hay A e M,   B  M A  B  0, hay với  B  M cho A  B = B = Ta quy ước * M M = 0, với M M * M 1.1.2 Định nghĩa Cho môđun RU, U gọi môđun (hay uniform)   A  U A * U, hay   A, B  U A  B  1.1.3 Ví dụ a) Xét  -môđun  Lấy môđun  A   A = k  , với k   * lấy  B   B = n  , n   * Khi  kn  A  B cho A *  Vậy  môđun b) Xét  -môđun   môđun Thậy lấy  A, B   suy tồn  a n  A   B, với a, b, n, k   * Khi ta có b k –7– an = nb a n cho an  A, an = ak cho an  B, nghĩa an  A  B hay b k A  B  1.1.4 Tính chất (của môđun cốt yếu) i) Cho A  RM, A * M   x  M có A  Rx  A B 3i) Cho Ai * B * M  2i) Cho A  B  RM, A * Bi  RM, với ≤ i ≤ n n A i i 1 * M n * B i i 1 Chú ý: Nếu i  I vô hạn 3i) không 4i) Cho M, N R-môđun, đồng cấu f: M  N B * N f -1(B) * M 5i) Cho RM, A  K  M, (K / A) * M * Mi  M, với  i  I tập tùy ý, tồn  Ai 6i) Cho RM, Ai I tồn  M i  Ai I * (M / A) K I *  Mi I 7i) Cho RM,  A  M, tồn B  M cho A  B Chứng minh 1i) Hiển nhiên A  M, A * M * M với phần tử   x  M có A  Rx  Ngược lại lấy  X  M tồn  x  X, Rx  A  0, mà Rx  X nên X  A  –8– 2i) Với   C  B cho  C  M C  A  (vì A * M), * B   X M nên A  X 0 (vì A * M) cho có A B  X  (do A  X  B  X) Nghĩa B môđun M Ngược lại với   Z  M, Z  B  B * M Z  B môđun B, nên có A  (Z  B)  (A * B) cho A  Z  * M Do A * B1 A2 3i) Cho A1 * B2 ta chứng minh A1  A2 * B1 B2 Với môđun B B1  B2 cho A1  A2  B = Vì A1  (A2  B) = cho A2  B = (vì A2  B  B1  B2  B1 A1 (B  B1  B2  B2 A2 * B2) Vậy A1  A2 ta chứng minh Ai, Bi  M, với Ai n A i i 1 * * B1) Do có B = * B1  B2 Bằng quy nạp * Bi với i (1 ≤ i ≤ n ) n B i i 1 4i) Cho f: M  N đồng cấu, với X  M thỏa X  f 1 ( B) = f(X)  B = 0, f(X) = (do B * N), điều cho X  Kerf = f 1 (0) môđun f 1 ( B) Vậy X = X  f 1 ( B) = Nghĩa f 1 ( B ) môđun cốt yếu M 5i) Cho  X  M Nếu X  A cho X  K X  K = X  Do có K * M, X  A (X + A) / A  nên (X + A) / A  K / A  –9– (K / A môđun cốt yếu M / A) nên (X + A)  K  A, điều cho X  K  Do K * M 6i) Trường hợp I có hạng I = n tập hữu hạn Dùng quy nạp theo n cần chứng minh với n = Cho A1 Theo Tính chất 3i), A1  A2 * M1, A2 * M2 tồn A1  A2 * M1  M2 cho * M1  M2 Vậy M1  M2 = (do tồn A1  A2 nên A1  A2 = 0) Xét hai phép chiếu f1: M1  M2  M1 f2: M1  M2  M2, xác định f1(x1 + x2) = x1 f2(x1 + x2) = x2 Do A1 chất 4i) suy f11 ( A1 ) * M1  M2 Do A1  M2 Tương tự ta chứng minh M1  A2 suy A1  A2 * M1 nên theo Tính * M1  M2 (1) * M1  M2 (2) Từ (1), (2) ta * M1  M2, Tính chất 3i) Trường hợp: I tập vô hạn Lấy  x   Ai x = x1 + + xk (*), I xi  Mi với ≤ i ≤ k hay x  M1 + + Mk Do M1 + + Mk = M1   Mk k với tập hữu hạn nên, x   M i hay biểu thị x (*) i 1 Vậy tồn  M i I Lấy  X   M i , ta cần chứng minh X  A  I –10– Thật X  nên tồn  x  X có dạng x = x1 + + xn, n n i 1 i 1 x   M i , với hữu hạn nên  Ai n n i 1 i 1 n n i 1 i 1 *  M i từ  Rx   M i cho ta Rx   Ai  Vì X   Ai  (do Rx  X) Nghĩa có X   Ai  I 7i) Xét tập  = {X  A  X = 0, X  M} ta có   0,    theo quan hệ thứ tự “”, theo Bổ đề Zorn  có phần tử cực đại B   Khi tổng A + B tổng trực tiếp A  B nửa A  B * M Thật với ≠ C  M Ta có hai trường hợp Trường hợp: Mọi ≠ C  M cho C  A ≠ cho C  (A  B) ≠ có A  B môđun cốt yếu M Trường hợp: Tồn C  M cho C  A = C  B (Do B cực đại có tính chất B  A = 0) nên C  B ≠ cho C  (A  B) ≠ Vậy A  B * M. 1.1.5 Định nghĩa Một R-môđun M gọi nội xạ thỏa mãn tính chất sau: với R-đồng cấu f: N  E g: N  M, f đơn ánh, tồn R-đồng cấu h: E  M cho g = h  f, tức làm cho biểu đồ sau (với dòng khớp) giao hoán Khi ta nói h mở rộng g N g M f E h –30– Li = K11  K12  K2   Ki–1  Ki+1   Kn Mà u(M / K1) = u(M / K11) + u(M / K12) Theo Bổ đề 2.1.8, cho: n  u (M / Ki ) = u(M / K11) + u(M / K12) + i 1 n  u (M / K ) i i 2 Chú ý thêm là: ≤ u(M / K11 ) < u(M / K1) ≤ u(M / K12) < u(M / K1) Nếu K11 K12 không môđun bất khả quy M lập lại lý luận Từ u(M / K1) <  trình phải dừng lại Như có = H1  Hk  K2   Kn, k số nguyên dương, Hi môđun bất khả quy M với ≤ i ≤ k, Hi bù giao (  j i H j )  K2   Kn với ≤ i ≤ k, Ki bù giao H1   Hk  K2   Ki–1 Ki+1  Kn với ≤ i ≤ n n  u(M / K ) =  u(M / H i 1 n k i j 1 j  u(M / K ) )+ i 2 i Bây dùng trở lại lý luận xét môđun K2, K3, , Kn Khi tồn số nguyên dương t ≥ k Hi (1 ≤ i ≤ t) môđun bất khả quy M cho Hi bù giao H1   Hi–1  Hi+1   Ht với ≤ i ≤ t n  u(M / Ki ) = i 1 t  u(M / H j 1 j ) Cuối theo Bổ đề 2.1.9, t u(M) = t =  u(M / H j ) = j 1 n  u(M / K )  i 1 i –31– 2.2 MÔĐUN CON NGUYÊN TỐ 2.2.1 Bổ đề Cho N môđun R-môđun M Nếu N có phân tích nguyên tố N có phân tích nguyên tố chuẩn Hơn nữa, N có phân tích nguyên tố chuẩn là; N = K1   Kn N = L1   Lk, Ki môđun Pi-nguyên tố (1 ≤ i ≤ n) Lj môđun Qj-nguyên tố (1 ≤ j ≤ k), n = k {Pi: ≤ i ≤ n } = {Qj: ≤ j ≤ k } Chứng minh Theo Bổ đề 1.2.8, hiển nhiên N có phân tích nguyên tố chuẩn phân tích N phân tích nguyên sơ chuẩn Nếu N = K1   Kn N = L1   Lk phân tích nguyên tố chuẩn N, xét iđêan nguyên tố P1, , Pn, Q1, , Qk Không làm tính tổng quát ta giả sử Pn  Pi (1 ≤ i ≤ n – 1) Pn không thực chứa Qj (1 ≤ j ≤ k) Nên tồn số nguyên dương t cho Pnt M  Kn, Pnt (K1   Kn –1)  N = L1  Lk Nếu K1   Kn–1  Lj (1 ≤ j ≤ k), N = K1   Kn – 1, điều trái giả thiết Không tính tổng quát giả sử K1   Kn –  Lk Khi Pnt  Qk Pn  Qk Bằng cách chọn Pn, kết luận Pn = Qk Kế đến ý rằng: Pnt (K1   Kn – 1)  N  L1   Lk–1, Pn  Qi (1≤ i ≤ k – 1), nên K1   Kn –  L1   Lk–1 Tương tự ta chứng minh L1  Lk–1  K1   Kn – Do K1   Kn – = L1   Lk–1 –32– Bằng cách lập lại chứng minh ta suy kết cần chứng minh  Trong Bổ đề 2.2.1, iđêan nguyên tố Pi (1 ≤ i ≤ n) gọi iđêan nguyên tố liên kết N Cho U R-môđun đều, tập hợp P = {r  R / rV = 0, với ≠ V  U} iđêan nguyên tố R P gọi triệt U Chú ý  W  U W môđun đều, W U có chung triệt Chúng ta biết U môđun có bao nội xạ E(U) môđun đều, nên môđun U E(U) có triệt 2.2.2 Bổ đề Cho M R-môđun Nếu môđun môđun M P triệt U môđun M PM  U = Chứng minh Cho A iđêan sinh hữu hạn R cho A  P Do tồn  V môđun U cho AV = 0, môđun môđun M, nên tồn môđun nguyên tố K( ) M cho: 0=   K  Cho  , V  K AV =  K cho AM  K Vì AM  V  K  cho AM  V    K  = Hơn lại (AM  U)  V = U  (AM  V) = 0, AM  V = 0, U đều, V  K , hiển nhiên AM  V    K  = 0, suy AM  U = Vậy PM  U =  2.2.3 Bổ đề Cho môđun M Nếu P triệt môđun U môđun M, tồn môđun K bất khả quy M P-nguyên tố cho K  U = –33– Chứng minh Vì PU = P iđêan nguyên tố R PM  U = (bởi Bổ đề 2.2.2), theo Bổ đề 2.1.1 tồn môđun K bù giao U M cho PM  K Cho r  R L môđun M chứa K cho rL  K, r(L  U)  K  U = Trường hợp L  U = cho L = K Trường hợp L  U  cho r  P P triệt U Điều K môđun P-nguyên tố M Bởi Bổ đề 2.1.7, M / K môđun (vì u(M / K) = u(U) = 1) K môđun bất khả quy P-nguyên tố M Hiển nhiên K  U = K bù giao U  2.2.4 Bổ đề Cho N môđun M-môđun Khi môđun M / N có chiều hữu hạn n có phân tích nguyên tố N = K1   Kn không rút gọn được, với ≤ i ≤ n, Ki môđun nguyên tố bất khả quy Chứng minh Trước hết ta chứng minh “Môđun M có chiều hữu hạn n môđun M giao hữu môđun nguyên tố bất khả quy M” Thật giả sử M có chiều hữu hạn Cho U1 môđun M với triệt P1 Bởi Bổ đề 2.2.2, P1M  U1 = Bổ đề 2.2.3, tồn môđun bất khả quy P1-nguyên tố M cho K1  U1 = Nếu u(M) = K1 = kết chứng minh Giả sử u(M) ≥ Cho U2 môđun M cho U1  U2 = Nếu K1  (U1  U2) = tập hợp K2 = M Giả sử –34– K1  (U1  U2)  0, ý K1  (U1  U2) nhúng U2 (vì K1  U1 = 0) K1  (U1  U2) môđun M Cho P2 triệt K1  (U1  U2) Như kết Bổ đề 2.2.2 2.2.3, tồn môđun bất khà quy P2-nguyên tố M cho K2  {K1  (U1  U2)} = (K1  K2)  (U1  U2)} = Nếu u(M) = U1  U2 M nên K1  K2 = Vì điều cần chứng minh K2 = M K2 môđun nguyên tố bất khả quy Giả sử u(M) ≥ Cho U3 môđun môđun M cho (U1  U2)  U3 = Như lý luận tồn môđun K3 M cho (K1  K2  K3)  (U1  U2  U3) = cho K3 = M K3 một môđun nguyên tố bất khả quy M Lập lại trình thu dãy Ui (i ≥ 1) môđun độc lập dãy Ki (i ≥ 1) môđun cho K1 môđun nguyên tố bất khả quy với i ≥ môđun Ki = M Ki nguyên tố bất khả quy thỏa mãn (K1   Ks)  (U1   Un) = với s số nguyên dương Cho n = u(M) ≥ Khi U1   Us * M, nên K1   Kn = Điều ngược lại hiển nhiên theo Bổ đề 2.1.9 Trong Bổ đề 2.2.4 N = K1   Kn suy (K1   Kn) / N = + N môđun M / N Vậy theo điều vừa chứng minh cho ta kết Bổ đề 2.2.4  –35– 2.2.5 Bổ đề Cho M R-môđun N môđun M cho N có phân tích nguyên tố Khi iđêan nguyên tố P R iđêan nguyên tố liên kết N P = (N : L) với L  M L  N. Chứng minh Theo Bổ đề 1.3.7 1.3.5 N phải có phân tích nguyên sơ chuẩn Giả sử có N = K1   Kn phân tích chuẩn N, môđun M, Ki Pi-nguyên sơ với Pi (1 ≤ i ≤ n) iđêan nguyên tố R Cho ≤ i ≤ n Hi = K1   Km  Ki+1  Kn Khi tồn số nguyên dương k(i) để M Pi k ( i )  Ki, Pi k ( i ) Hi  N Từ Hi  N tồn số nguyên ≤ t(i) ≤ k(i) cho Pi t ( i ) Hi  N Pi t ( i )1 Hi  N Cho Li = Pi t ( i )1 Hi Khi Li  M cho Li  N PiLi  N Gọi A = (N : Li) ý Pi  A, nên ALi  N  Ki Nếu Li  Ki Li  N, điều mâu thuẩn Do A  Pi có nghĩa Pi = (N : Li) Ngược lại, Giả sử P = (N : L) với môđun L  N Khi tồn ≤ i ≤ n cho L  Ki với hầu hết số nguyên dương, nên tồn ≤ m ≤ n cho L  Ki (1 ≤ i ≤ m) L  Ki (m + ≤ i ≤ n) Khi dễ thấy PL  N  K1   Km Điều cho P  P1   Pm Mặt khác tồn số nguyên dương s cho (P1   Pm)sM  K1   Km –36– Do (P1   Pm)sL  N cho (P1   Pm)s  P nên P1   Pm  P Vì P = P1   Pm Như P = Pi với giá trị i đó: ≤ i ≤ m  Chúng ta quan tâm đến môđun nguyên tố bất khả quy môđun M nghĩa môđun mà có hai tính chất bất khả quy nguyên tố Cho N môđun M cho M / N có chiều hữu hạn Theo Bổ đề 2.2.4, biết N có phân tích nguyên tố Bây đặt câu hỏi cho N  M có phân tích nguyên tố chuẩn, dùng tới cách tính u(M / N) không Nếu có tính nào? Cho N môđun thật R-môđun M M / N có chiều hữu hạn n Khi bao nội xạ E(M / N) = E1   En tổng trực tiếp phân tích nội xạ (do đều) môđun Ei (1 ≤ i ≤ n) môđun Ei (1 ≤ i ≤ n) sai khác đẳng cấu tổng hạng khác Cho iđêan nguyên tố P R ký hiệu p(N) số tối đa môđun Ei (1 ≤ i ≤ n) với triệt P Chú ý p(N)  với nhiều hữu hạn iđêan nguyên tố P  P P ( N ) = n = u(M / N), với tổng tổng tất iđêan nguyên tố P R 2.2.6 Bổ đề Cho N môđun R-môđun M cho M / N có chiều hữu hạn cho P iđêan nguyên tố R Khi P iđêan nguyên tố liên kết N p(N)  Chứng minh Trước hết ta giả sử p(N)  0, tồn môđun L môđun M chứa N cho L / N môđun P –37– triệt L / N Theo Bổ đề 2.2.2, cho PM  L / N = nên PM  N, P = (N : L) theo Bổ đề 2.2.5, P iđêan nguyên tố liên kết N Ngược lại, giả sử tồn P iđêan nguyên tố liên kết N Giả sử có phân tích nguyên tố chuẩn N = K1   Kn, môđun M, Ki Pi-nguyên tố, với Pi (1 ≤ i ≤ n) iđêan nguyên tố n số nguyên dương Không làm tính tổng quát, theo Bổ đề 2.2.1 giả sử P = P1 Nếu n = 1, N = K1 N môđun P-nguyên tố M Cho H môđun M thực chứa N cho H / N môđun Rõ ràng P triệt H / N, nghĩa p(N)  Bây giả sử n ≥ Từ K2   Kn  N phải tồn môđun G K2   Kn thực chứa N cho G / N môđun Chú ý PG  K1   Kn = N Mặt khác cho r  R cho J môđun G cho rJ  N Khi rJ  K1 J  K1, nên r  P J  K1   Kn = N Điều P triệt môđun G / N M / N, nghĩa p(N)  2.2.7 Bổ đề Cho N môđun R-môđun M cho M / N có chiều hữu hạn Cho N = K1   Kn phân tích không rút gọn đó, Ki (1 ≤ i ≤ n) môđun Pi-nguyên tố bất khả quy với Pi iđêan nguyên tố R Khi n = u(M / N) với iđêan nguyên tố P R, p(N) số môđun Ki (1≤ i ≤ n) với Pi = P –38– Chứng minh Theo Bổ đề 2.1.9, n = u(M / N) M / N môđun đẳng cấu với môđun cốt yếu (M / K1)   (M / Kn) Cho E(M / N)  E(M / K1)   E(M / Kn) Chú ý thêm triệt E(M / Ki) Pi với ≤ i ≤ n  2.2.8 Bổ đề Cho N môđun P-nguyên tố R-môđun M P iđêan nguyên tố R, cho  L  M cho N  L = Nếu K bù giao L M cho N  K K môđun P-nguyên tố M Hơn nửa, L môđun K môđun P-nguyên tố bất khả quy M Chứng minh Ta có (K / N)  ((L + N) / N) = (K  L) / N = 0, K bù giao L M nên K  L = 0, mà (L + N) / N = L / N K bù giao L M, môđun K / N bù giao (L + N) / N M / N Cho Q  M chứa K thực cho rQ  K, với r phần tử R Bởi K / N bù giao M / N, nên K / N không môđun cốt yếu L / N, tồn môđun Q’  Q cho N  Q’ K  Q’ = N Từ rQ’  rQ  Q’  K  Q’  N cho rM  N  K, N nguyên tố, K môđun nguyên tố M Bây giả sử L đều, từ Bổ đề 2.1.7 cho u(M / K) = u(L) = Vậy K môđun nguyên tố bất khả quy M  Cho N môđun M cho N có phân tích nguyên tố Iđêan nguyên tố liên kết P N gọi iđêan nguyên tố liên kết cực –39– đại N P không chứa iđêan nguyên tố liên kết khác N 2.2.9 Bổ đề Cho N môđun R-môđun M cho M / N có chiều hữu hạn, cho N = K1 ∩ ∩ Kn phân tích chuẩn Ki môđun Pi-nguyên tố với (1 ≤ i ≤ n) Cho P = Pn iđêan nguyên tố liên kết cực đại N Khi p(N) = u ((K1   K n–1) / N ) Chứng minh Cho L = K1   K n – Trước hết ta chứng minh L / N bù giao Kn / N M / N Thật với H môđun M bao hàm L H  Kn = N Khi PH  H  Kn = N  K1   K n – 1, nên H  L, P  Pi với (1 ≤ i ≤ n – 1), H = L Vậy L / N bù giao Kn / N M / N Cho K môđun tùy ý môđun M chứa Kn cho Kn / N cốt yếu K / N K / N môđun đóng M / N Rõ ràng L / N bù giao K / N M / N Theo Bổ đề 2.1.1 2.1.3, K / N bù giao L / N M / N, Bổ đề 2.1.7 2.1.8, u(M / N) = u(M / K) + u(M / L) = u(L / N) + u(M / L), cho kết u(M / K) = u(L / N) Theo Bổ đề 2.2.8, K môđun P-nguyên tố M Nếu k = u(M / K) K = L1   Lk , Li môđun M bất khả quy P-nguyên tố với ≤ i ≤ k (Bổ đề 2.2.4) Tương tự L = Lk +   Lt, t số nguyên dương với t > k Lj môđun bất khả quy Qj-nguyên tố với Qj iđêan nguyên tố R mà Qj  P với –40– k + ≤ j ≤ t Do N = L1   Lt Giả sử N = L1   Li –  Li +   Lt với ≤ i ≤ k Bởi cách chọn K, nên có K = L1   Li –  Li +   Lk u(M / K) ≤  j i u ( M / Li ) = k – 1, vô lý Nếu bắt đầu với phân tích N = L1   Lt thu gọn cách bỏ Li (1 ≤ i ≤ k) thừa Theo Bổ đề 2.2.6, có: p(N) = k = u(M / K) = u(L / N)  2.2.10 Bổ đề Cho K L môđun môđun M cho K = K1   Kn, Ki môđun Pi-nguyên tố với (1 ≤ i ≤ n), L = L1   Lk, Lj môđun Qj-nguyên tố với (1 ≤ j ≤ k), với n, k số nguyên dương Hơn giả sử K  L = K1   Kn –  L1   Lk Khi K = K1   Kn – Qj  Pn với ≤ j ≤ k Chứng minh Vì (Q1 Qk)(K1   Kn–1)  K  L  Kn, K1   Kn–1  Kn trường hợp K = K1   Kn – 1, Q1 Qk  Pn cho Qj  Pn với j cho ≤ j ≤ k  2.2.11 Bổ đề Cho K L môđun R-môđun M cho M / K M / L hai môđun có chiều hữu hạn Cho Pi (1 ≤ i ≤ n) Qj (1 ≤ j ≤ k) iđêan nguyên tố liên kết K L Khi  pi (K  L) =  pi (K) với i cho ≤ i ≤ n Qj  Pi với ≤ j ≤ k –41– Chứng minh Được chứng minh qua Bổ đề 2.2.4, 2.2.6, 2.2.10 2.2.12 Bổ đề Cho N môđun R-môđun M cho N có phân tích nguyên sơ cho Pi (1 ≤ i ≤ n) iđêan nguyên tố liên kết N cho Pi  P1 với i cho ≤ i ≤ n Cho N = K1   Kn phân tích chuẩn N, với môđun M, Ki Pi-nguyên tố (1 ≤ i ≤ n) Khi K1 = {m  M : Am  N với A iđêan R mà A  P1} Chứng minh Cho m  M thỏa mãn Am  N với A  P1 iđêan Mà Am  K1 nên m  K1 Mặt khác, Ki Pi-nguyên sơ với Pi iđêan nguyên tố R nên tồn số nguyên dương k cho Pi k M  Ki (2 ≤ i ≤ n) Điều B =  n i 2 Pi k iđêan R, B  P1 BK1  N  Cho môđun N môđun M có phân tích nguyên tố, iđêan nguyên tố liên kết P N gọi cực tiểu nếu không tốn iđêan nguyên tố liên kết N mà P chứa thực 2.2.13 Định lý Cho N môđun R-môđun M cho M / N có chiều hữu hạn N = K1   Kn phân tích chuẩn N, K i môđun P i-nguyên tố, với i (1 ≤ i ≤ n) cho Li =  {Kj : ≤ j ≤ n Pj  Pi} P i không iđêan nguyên tố liên kết cực tiểu N cho L i = M trường hợp khác Khi  pi (N) = u(L i / (L i  K i )) với i, ≤ i ≤ n –42– Chứng minh Rõ ràng chứng minh  p1 (N) = u(L1 / (L1  K1)) đủ Trước hết giả sử P1 iđêan nguyên tố liên kết cực tiểu N Khi L1 = M chứng minh  p1 (N) = u(M / K1) Cho N = L1∩ ∩ Lt phân tích không rút gọn N, môđun Li Qi-nguyên tố bất khả quy, với Qi iđêan nguyên tố R (theo Bổ đề 2.2.4) Không làm tính tổng quát ta giả sử Qi = P1 (1 ≤ i ≤ k) Qi  P1 (k + ≤ i ≤ n), với số nguyên ≤ k ≤ n Bởi kết hợp Ki với iđêan nguyên tố liên kết, Bổ đề 1.3.6, lập phân tích chuẩn N Bởi Bổ đề 2.2.12, K1 = L1 ∩ ∩ Lk Do từ Bổ đề 2.1.9 2.2.6,  p1 (N) = k = u(M / K1) Bây giả sử P1 không iđêan nguyên tố liên kết cực tiểu N Không làm tính tổng quát giả sử tồn số nguyên dương s (2 ≤ s ≤ n) cho Pi  P1 với ≤ i ≤ s Pi  P1 với s + ≤ i ≤ n Trường hợp này, L1 = K2   Ks Bởi Bổ đề 2.2.12,  p1 (N) =  p1 ( K1∩ ∩ Ks) Nhưng theo Bổ đề 2.2.9, cho  p1 ( K1 ∩ ∩ Ks) = u(L1 / (L1  K1)) Do  p1 (N) = u(L1 / (L1  K1)) Vậy  pi (N) = u(Li / (Li  Ki)) với i, ≤ i ≤ n  2.2.14 Hệ Với giả thiết Định lý 2.2.13 Khi đó: u(M / N) =  Chứng minh Theo Định lý 2.2.13 n i 1 u (Li / (Li  Ki)) –43– KẾT LUẬN CỦA LUẬN VĂN Luận văn hệ thống, trình bày chứng minh chi tiết về: - Chiều môđun M u(M) = u(M / K) + u(M / L) K bù giao L L bù giao K M - Chiều môđun M u(M) = u(K) + u(M / K) K bù giao M - Chiều môđun M u(M) =  n i 1 u ( M / K i ) = K1   Kn Ki bù giao K1  Ki–1  Ki+1 … Kn M với ≤ i ≤ n Cho N môđun R-môđun M cho M / N có chiều hữu hạn cho N = K1   Kn phân tích chuẩn N, Ki môđun Pi-nguyên tố với Pi iđêan nguyên tố R với ≤ i ≤ n Với i, cho Li =  {Kj : ≤ j ≤ n Pj  Pi} Pi không iđêan nguyên tố liên kết cực tiểu N cho Li = M trường hợp khác Khi u(M / N) =  n i 1 u (L i / (L i  K i )) Đặc biệt M / N có chiều hữu hạn n, bao nội xạ E(M / N) = E1   En tổng trực tiếp phân tích nội xạ (do đều) môđun Ei (1 ≤ i ≤ n) Gọi p(N) số tối đa môđun Ei (1 ≤ i ≤ n) có triệt P u(M / N) = n =  P P ( N ) –44– TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] [2] [3] Nguyễn Tự Cường (2003), Giáo trình Đại số đại, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Ngô Thúc Lanh (1985), Đại số (Dùng cho sau đại học), NXB Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Tiến Quang, Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết môđun vành, NXB ĐHSP Hà nội Tiếng Anh [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] N V Dung, D V Huynh, P F Smith, and R Wisbauer (1994), Extending Modules, Pitman, London A W Goldie (1958), The structure of Primer rings under ascending chain conditions, Proc London Math., Soc.(2) 8, 589 – 608 A Joseph and L W Small (1978), Anedditivity, pringciple for Godie rank, Israel J Math., 31, 89 – 101 F Kasch (Translation and editing by D A R Wallace) (1982), Modules and rings, University of Stirling, Stiling, Scotland., Chapter 5, 106 – 115 Roy L McCasland and Patric F Smith (2004), Uniform dimension of modules, Q J math., Vol 55 Part 4,  Oxford University Press Roy L McCasland and P F Smith (1993), Primer submodules, of Noetherian modules, Rocky Mth J 23, 1041 – 1062 J C McConnell and J C Robson (1987), Noncommutative Noetherian rings (Wiley-Interscience, Chichester) P F Smith (2004), Radical Submodules and Uniform Dimension of Modules, Turk J Math., 28, 255 – 270 P F Smith (2003), Uniqueness of Primary Decompositions, Turk J Math., 27, 425 – 434 [...]... nghĩa Cho R -môđun M, N M được gọi là có một sự phân tích nguyên tố chuẩn khi và chỉ khi N = K1   Kn với n là số nguyên dương, là một sự phân tích không rút gọn được và Ki (1 ≤ i ≤ n) là những môđun con Pi -nguyên tố với mỗi 1 ≤ i ≤ n và P1, , Pn là các iđêan nguyên tố phân biệt của vành R –18– CHƯƠNG II CHIỀU ĐỀU CỦA MÔĐUN VÀ MÔĐUN CON NGUYÊN TỐ 2.1 CHIỀU ĐỀU CỦA MÔĐUN Giả sử M là R môđun, N ... căn môđun con của M -môđun Khi đó môđun M / N có chiều đều hữu hạn n nếu và chỉ nếu có một sự phân tích nguyên tố N = K1   Kn không rút gọn được, với mỗi 1 ≤ i ≤ n, Ki là một môđun con nguyên tố bất khả quy Chứng minh Trước hết ta chứng minh Môđun M có chiều đều hữu hạn n khi và chỉ khi môđun 0 của M là một giao hữu của những môđun con nguyên tố bất khả quy của M” Thật vậy giả sử M có chiều đều. .. là môđun đều con của môđun M sao cho (U1  U2)  U3 = 0 Như lý luận trên thì tồn tại một môđun con K3 của M sao cho (K1  K2  K3)  (U1  U2  U3) = 0 cho hoặc K3 = M hoặc K3 là một một môđun con nguyên tố bất khả quy của M Lập lại quá trình này thu được một dãy Ui (i ≥ 1) của những môđun con đều là độc lập và một dãy Ki (i ≥ 1) của những môđun con sao cho K1 là môđun con nguyên tố bất khả quy và. .. iđêan nguyên tố P và  P P ( N ) = n = u(M / N), với tổng là tổng tất cả các iđêan nguyên tố P của R 2.2.6 Bổ đề Cho N là căn môđun con của R -môđun M sao cho M / N có chiều đều hữu hạn và cho P là iđêan nguyên tố của R Khi đó P là iđêan nguyên tố liên kết của N nếu và chỉ nếu p(N)  0 Chứng minh Trước hết ta giả sử rằng p(N)  0, khi đó tồn tại môđun L là một môđun con của M chứa N sao cho L / N là môđun. .. R -môđun và N là môđun con của M sao cho N có sự phân tích nguyên tố Khi đó iđêan nguyên tố P của R là một iđêan nguyên tố liên kết của N nếu và chỉ nếu P = (N : L) với L  M và L  N. Chứng minh Theo Bổ đề 1.3.7 và 1.3.5 N phải có sự phân tích nguyên sơ chuẩn Giả sử có N = K1   Kn là sự phân tích chuẩn của N, ở đây các môđun con của M, Ki là Pi -nguyên sơ với Pi (1 ≤ i ≤ n) là iđêan nguyên tố nào đó của. .. là số nguyên dương và các môđun Ki là môđun Pi -nguyên sơ (1 ≤ i ≤ n) ở đây Pi là các iđêan nguyên tố phân biệt nào đó của R 1.2.5 Bổ đề Cho R là một vành, P là iđêan nguyên tố của R, n là một số nguyên dương và Ki là các môđun con P -nguyên sơ của M với mỗi 1 ≤ i ≤ n Khi đó  n K i cũng là môđun con P -nguyên sơ của M i 1 Chứng minh Với mỗi 1 ≤ i ≤ n thì Ki là P -nguyên sơ, do đó tồn tại một số nguyên. .. r ≤ t) là P1 -nguyên sơ Đặt K1 =  r H j khi đó K1 là P1 -nguyên sơ Lập lại lý luận này cho đến j 1 hết ta có N = K1   Kn là sự phân tích chuẩn  1.2.7 Định nghĩa Cho M là R -môđun Một môđun K con của môđun M được gọi là môđun con nguyên tố nếu K  M và (K : M) = (K : L) với mỗi L  M thực sự chứa K Nếu K là môđun con nguyên tố của M khi đó P = (K : M) là một iđêan nguyên tố của vành R và trong trường... một môđun con của R -môđun M Nếu N có một phân tích nguyên tố thì N có phân tích nguyên tố chuẩn Hơn nữa, nếu N có sự phân tích nguyên tố chuẩn là; N = K1   Kn và N = L1   Lk, ở đây các Ki là môđun con Pi -nguyên tố (1 ≤ i ≤ n) và các Lj là môđun con Qj -nguyên tố (1 ≤ j ≤ k), thì n = k và {Pi: 1 ≤ i ≤ n } = {Qj: 1 ≤ j ≤ k } Chứng minh Theo Bổ đề 1.2.8, hiển nhiên khi N có sự phân tích nguyên tố. ..  1.2 MÔĐUN CON NGUYÊN SƠ VÀ MÔĐUN CON NGUYÊN TỐ 1.2.1 Định nghĩa Cho M là R -môđun, với mọi môđun con của M là N, L, ta định nghĩa (N : L) = {r  R : rL  N} Chú ý (N : L) là iđêan của R Hơn nữa, (N : L) = R nếu và chỉ nếu L  N Cho trước iđêan nguyên tố P của R, K là môđun con thực sự của M thì K được gọi là P -nguyên sơ khi thỏa mãn các điều kiện: (i) (K : N)  P với mỗi N  M sao cho N  K ; và (ii)... chúng ta gọi K là P -nguyên tố 1.2.8 Hệ quả Cho P là một iđêan nguyên tố của vành R Khi đó các phát biểu sau cho K  M là tương đương: (i) K là P -nguyên tố; (ii) K là P -nguyên sơ và P  (K : M) Chứng minh Hiển nhiên đúng do định nghĩa 1.2.9 Định nghĩa Cho R -môđun M, N M được gọi là căn môđun con của M khi và chỉ khi N là giao của những môđun con nguyên tố của M 1.2.10 Định nghĩa Cho R -môđun M, N M được ... (1 ≤ i ≤ n) môđun Pi -nguyên tố với ≤ i ≤ n P1, , Pn iđêan nguyên tố phân biệt vành R –18– CHƯƠNG II CHIỀU ĐỀU CỦA MÔĐUN VÀ MÔĐUN CON NGUYÊN TỐ 2.1 CHIỀU ĐỀU CỦA MÔĐUN Giả sử M R môđun, N  M... phân tích nguyên sơ môđun, phân tích chuẩn môđun, phân tích nguyên tố môđun, phân tích nguyên tố chuẩn môđun, môđun con, xin đưa vào chương I + Chương II: gồm hai phần: - Phần chiều môđun mà nội... K, N nguyên tố, K môđun nguyên tố M Bây giả sử L đều, từ Bổ đề 2.1.7 cho u(M / K) = u(L) = Vậy K môđun nguyên tố bất khả quy M  Cho N môđun M cho N có phân tích nguyên tố Iđêan nguyên tố liên