ộ ụ t rờ ọ ễ ệ ị ý sĩ ọ ộ ụ t rờ ọ ễ ệ ị ý ì ọ số sĩ ọ ọ ỗ ọ ệ ụ ụ r ụ ì ụ ụ ế tứ ị ệ ột số ệ t t ứ ế ứ ỉ ì ì tr ệ ệ ì tr ột số ệ ỉ ì ữ ệ ỉ ì ì ệ ề í í t tế tí ủ ết ợ ột ố ệ ệ tế tí ủ ột ỉ ì ể ủ ột ệ tế tí ị ỉ ì q ột ệ tế tí số ị ý ệ ề số í ụ ề số ự ì rt trớ í t trờ ệ ề rt í ữ ề ủ ị ý M (X) H (D) ị ý tứ t t ị ý tứ ột số ứ ụ ủ ị ý ứ ụ số ể ột r ọ số ề ú ỉ ì ợ P số t ố ủ ó số ó ố số ó ố ột số ó ố ị ý r ệ í t ệ tự ự tồ t ủ ì ệ t ị ý ó ột trò ết sứ q trọ tr ì ọ số ó ễ t tí t ủ ì tr ệ q tí t ủ ệ ữ tí t ể tì t ứ ụ tr ý tết trờ ủ t ý ệ ệ ứ ý tết ể ị ý tú ị t ý t ọ r ú t trì ý tết ệ ị ý ệ X ột số D ột tr X ý L(D) t ợ tt ì tr X ị D : L(D) = {f M (X) | div(f ) D} ó L(D) ù é t ộ số ứ ột t ột ét ứ ề t r tí t số ề ủ ó t ị ý ợ trì tr ú t trì ệ q ế ệ ể sở ệ trì ế tứ trọ t ủ tờ tr sốt ú t ú trọ ệ trì ứ ứ ụ ủ ị ý ì tr ú t ò r í ụ ụ tể ề ệ trọ t tr ú t trì tết ệ ề số trờ M (X) ệt tr ú t trì ệ ự t ụt ủ ì t tứ rt sở ệ ứ ó tr từ ó tí ữ ề ủ H (D), sở ể ứ ị ý r sở ứ tí ữ ề ủ ủ H (D) ú t trì ủ tết ứ ị ý ú t ột số ứ ụ ủ ị ý ệt tr ó ó ứ ụ số ó ố t từ ế g = 0, 1, 2, 3, 4, ợ t ọ t tì ủ ỗ ọ ệ tỏ í trọ ò ết s s ố r tờ ọ t tự ệ t ợ ộ ú ỡ ủ tộ ọ ủ trờ ọ tỏ ò ết ế ệt tr sốt tờ ọ t t trờ ọ t ợ ỗ ỉ ộ ú ỡ t ủ P ễ ữ P ọ ộ ễ ì t tỏ ết s s ố t ủ ọ ì ọt ữ ù tr ổ ú ỡ ộ t t ọ ế tứ ị r ú t trì ột tổ qt ề ệ ệ ột số ệ tr ệ sở ệ trì ứ ị ý tr ệ ị ĩ X ột t sr t tỏ t ề ế ợ tứ sr ế tr X X ợ ọ ột ệ tồ t ột trú ứ ề ột số ệ t ý ệ P t ợ ột ề ủ C2 P = {[z : ]|z, tờ } t U0 = {[z : ] P |z = 0} U1 = {[z : ] P | = 0} ị : U0 C ị ([z : ]) = z tự ị : U1 C ị ([z : ]) = ó ứ z P ột ệ ợ ọ t trú i tr t ứ r ệ tọ ộ ề ó Oxyz t ét t S = {(x, y, ) | x2 + y + = 1} ét t = t ứ C ệ t ể (x, y, 0) z = x + iy t : S C s (x, y, ) = x y +i 1 ột é ế từ (x, y, ) = é ế từ 1 (z) = x y i 1+ 1+ i , i = 1, tí ỉ ì t ó ột trú ứ tr S S z trú ứ ột ệ t ọ t ý ệ C ột ệ t ế ứ ố ị số ứ , ét tr trờ số tự R ộ tế tí ét L = Z1 + Z2 = {m1 + m2 | m1 , m2 Z} ó L ột ó ủ ó ộ ủ C t X = C/L ó t é ế t : C X ị ột t tr X s ột U tr X ỉ (U ) tr C ó ột t tụ ọ t tr C t X t X ủ t tr C ì ế U tr X tì U = ( (U ) ữ ế V ột t tr C tì t ó ((V )) = ( + V ) L ợ ủ ị ể ủ t V t z C t ị ì ì ó s Pz = {z + 1 + 2 | , [0, 1]} ó ú ý r ột ể t ỳ ủ C L ột ể ủ Pz ì tế ế Pz X, Pz t X t L ột t rờ r ủ C L, = > s || > ố ị tr ố ị z0 C ét ĩ D(z0 , ) ọ tr r tồ t ể ủ ứ tỏ r ế ủ ế L ù tr D D ột ỉ ì (D) ó |D : D (D) tụ ì tế t ỉ ứ tỏ r ề ợ s từ ọ t ị ột ệ ứ tr t ỳ z0 ủ X ố ị tr C D = D(z0 , ) ét z0 : (Dz0 ) Dz0 ợ |D tì tr tr X ứ tỏ ú ù ợ ột ọ ể z1 , z2 ét = z1 : (Dz1 ) Dz1 = z2 : (Dz2 ) Dz2 t U = (Dz1 ) T (z) = (1 (z)) = ((z)), z (U ) ứ tỏ T ỉ ì tr (U ) (Dz2 ) tết U = t tr dimH (0/mD) mdeg(D)(mm0 +1)deg(D)+1 = 1+deg(D)(m0 1) m dimH (0/mD) ị ề m ủ ế ộ sử r < m1 < m2 t ó < m1 D < m2 D D ì tế H (0) t H (m1 D) H (m1 D) t H (m2 D) í t í từ H (0) H (m2 D) ó H (0/mD1 ủ t từ H (0) H (m1 D) ợ ứ tr H (0/mD2 ) ủ từ H (0) H (m2 D) : H (0/m1 D) H (0/m2 D) tứ dimH (0/mD) m t ó số ổ ề t t H (D1 /D2 ữ ề ế ố ị f D tr tì ọ m tồ t số M s deg(mD) dimL(mD) M ổ qt ó ề ổ ề ố ọ số X, tồ t số M s deg(A) dimL(A) M ọ A tr X ứ tồ t ố ị ì f tr X D = div (f ) ó M s deg(mD) dimL(mD) M, m A ột t ỳ tr X, ó t ổ ề tồ t ì g tr X số m s B = A div(g) mD t ó deg(A) = deg(B), L(B) L(A)(doA B) deg(A) dimL(A) = deg(B) dimL(B) từ ó deg(A) dimL(A) = deg(B) dimL(B) = [deg(mD) dimL(mD)] dimH (B/mD)() deg(mD) dimL(mD) M ú ý r t sử ụ ổ ề ố ổ ề t t tồ t dimH (B/mD) A0 s deg(A0 ) dimL(A0 ) t trị t ó t ó ổ ề ớ ệ ề A0 tr tì ố ọ D H (A0 ) = tr số tr ữ ề tr ứ ột C A0 tr ết D A0 ó X, H (D) = P N, tr ó P, N H (A0 ) t H (A0 + P ) H (A0 + P ) = ì tế t ó H ((A0 + P N ) H (A0 + P N/A0 + P ) H (A0 + P N/A0 + P ) ữ ề ứ tr ế H (D) = H (A0 + P N ) ữ ề ị ý ị ý tứ t ị í D ột tr số X ó dimL(D) dimH (D) = deg(D) + dimH (0) ứ ứ ụ t ó H (D) ữ ề dimH (D1 /D2 ) = dimH (D1 ) dimH (D2 ), tr óD1 D2 t dimH (D1 /D2 ) = [deg(D2 ) dimL(D2 )] [deg(D1 ) dimL(D1 )] s ế t ó dimL(D1 ) deg(D1 ) dimH (D1 ) = dimL(D2 ) deg(D2 ) dimH (D2 ) ọ D = D1 D2 = t ó dimL(D)deg(D)dimH (D) = dimL(0)deg(0)dimH (0) = 1H (0) ó t tr trì rt X ột số J[D](X) rp (zp ).p tr ó rp tứ rt ủ tọ ộ ị p zp ó ủ số t é ỳ tr D(p) Z ột t J[D](X) ệ ó tồ t ột ì f s Z = D (f )? tr ề t ó H (D) ột tr ề tr sử ụ t ố trờ ợ sử r ó D = f tr tồ t ỉ ì trớ f ì ó ự ể ỉ ự ể ủ f, tứ số ủ ỗ rt tr trể (f ) = f rp tr ó rp p p X ột sốt t ó Resp (f ) = ề p é t Resp (rp ) = ế (f ) = p ể rp p í ề ệ p rp p ủ f q Z= p ị ý ố rr t ể r ữ ề ệ tỏ ọ D, ủ tồ t ủ f D ột tr số X ì tộ L(1) (D) ó tr tọ ộ ị zp ủ p t ết cn zpn )dzp =( n=D(p) sử f ột ì tr X r tọ ộ ị zp ủ p t ết ak zpk ó t ó Resp (f ) = f = k ỉ ụ tộ ệ số ệ số n=D(p) cn a1n õ r r t i < D(p), tứ ó ỉ ụ tộ i < D(p), tứ ó ỉ ụ tộ D (f ) t ó s Res : J[D](X) C, tr ó L(1) (D) ợ ị s Res ( rp p) = p Resp (rp ) p t ú ý r Resp (f ) = p Resp (rp ) = Res (D (f )) p L(1) (D) tổ t Resp (f ) = p tr Resp (rp ) = Res (D (f )) = p X t t ết ợ tr H (D) : Res : H (D) C ột ế tế tí ó ột tử ủ ố H (D) ó t ó tế tí s ọ t Res : L(1) (D) H (D) Res ị í ố rr ớ D t ỳ tr số X, Res : L(1) (D) H (D) Res ột ữ tr ứ í t K tr X ệt t ỳ t ó dimH (D) = dimL(1) (D) = dimL(K D) ứ ứ t tí tế tí ủ t s ể rớ ết t ứ tí sử L(1) (D), = s Res tr H (D), tứ Resp (rp ) = 0, p rp ).p J[D](X) ố ị ể p tọ ộ ị p z = zp t k = ordp (), L(1) (D) k < D(p) ó z 1k p tộ J[D](X) t t ó tể ết cn z n )dz =( n=k tr ó ck = ó Res (z 1k ) = ck = t ì tế = 0, tứ Ker(Res) = {0} s ể ứ ổ ề tí tr Res t t ổ ề s A ột t ỳ tr X , H (A) ó tồ t ột C f1 , f2 tr ế tế ì L(C) s ACdiv(f1 ) tA ế tr ổ ề sử ACdiv(f2 ) àf1 = tA àf2 H (A C) D1 ột tr X L(1) (D1 ) s Res : H (D1 ) C ợ ị sử r tr ủ t : J[D1 ](X) J[D2 ](X) ó L(1) (D2 ) ế t ứ tí t ủ ố ị ì D2 D1 Res t Res D tr X ột tế tí : H (D) C ọ = t ỳ t K = div() ì ột A s A D A K ý r ó L(1) (D) Res ợ ị tr J[A](X) ý ệ A = tA D tì t ó A Res ế tế tí tr ì sử ụ ổ ề tồ t ột ì f1 , f2 tr L(C) s ACdiv(f1 ) A tA ế tr ACdiv(f2 ) àf1 = Res tA àf2 H (A C) t ó ACdiv(f1 ) A tA ú ý r C ACdiv(f2 ) A tA àf1 = Resf2 ế t ộ tr ACdiv(f2 ) div(f2 )](X) ì tế Res tA J[A C àf2 ế t ộ tr J[A C](X) ó í Resf2 tí f1 ợ ủ àf1 t t r ACdiv(f1 ) A tA = Resf2 f1 = Res f2 f2 f2 L(1) (A+ f1 ACdiv(f1 ) C + div(f1 )) Res f2 t tr ủ t = tA tế ì tr J[AC div(f1 )](X) ú ý r f1 f2 L(1) (A) A = Res f2 ý r f2 f1 f f2 A A = tA L(1) (D) D Res(( f2 )) t tr ủ tD ì tế f1 f = Res f2 = Res(( f2 )) r s t ổ ề t t r f2 ố ị í t K ụ ổ ề trớ t ó dimH (D) = dimL(1) (D) = dimL(K D) ú ý r ố ớ í t K tr số X ố g t ó deg(K) = 2g t ụ ị ý ố rr D = K t ó dimH (K) = D = t ợ dimH (0) = dimL(K) ố ù ụ ị ý tứ t í t K : dimL(K)dimH (K) = deg(K)+1dimH (0) ì tế 2dimH (0) = deg(K) + + dimH (K) = (2g 2) + + = 2g ó dimH (0) = dimL(1) (0) = dimL(K) = g ữ ề trì tr t ế ị ý tứ s ị ý tứ ị í X tứ ột số ố í t g ó ọ t tờ D K, t ó dimL(D) dimL(K D) = deg(D) + g ứ dimL(D) dimH (D) = deg(D) + dimH (0) t ó dimH (D) = dimL(K D), dimH (0) = g t t ó ú ý r tr t ó S : P (L(D)) |D| ì ị ý ó tể ợ ết dim|D| dim|K D| = deg(D) + g D ủ tì L(K D) = {f M (X)|div(f ) D K t ợ ệ q s ệ q số D ột ó deg(D) 2g tr X ó H (D) = dimL(D) = deg(D) + g ột số ứ ụ ủ ị ý r ú t ột số ứ ụ ủ ị ý ứ ụ số ế X ột ệ t tỏ ị ý ọ D tì ệ ề ứ X ột số ỉ ứ trờ M (X) t ể ủ X t tế ú X t t ứ t ể ủ ét s X ố ị ể p q tr X D = (g + 1)p t tứ t t r dimL(D) deg(g) + g = ó tồ t số f L(D) ó ột ự ể ế ó số t ị f L(D) div(f ) D(p) ordp (f ) (g 1) D D(p) = 0, ọq = p ó f ỉ ó ột ự ể t p ó ự ể tứ ể ứ s X t f (p) = f (q) M (X) t tế ú X t ố ị p X ét Dn = np n ủ tì t ó dimL(Dn ) = n + g t ệ q ó n ủ tồ t tr L(Dn + 1) tộ L(Dn ) dimL(Dn+1 ) = n + g n + g = dimL(Dn ) ề s r r tồ t fn ó ự ể t p ú nì fn L(Dn ) \ L(Dn1 ) ordp (fn ) = D(p) = n ó ự ể rõ r ó tỷ số fn /fn+1 ó ột ể tứ ỉ ì ết ợ ủ ó ó số ộ t p ể ột r ệ ề D X ột số ó ố deg(D) 2g r tứ ệ tế tí ủ ỉ ì ết ợ D t ể |D| tự ế ột ú ỉ ì ột tr ó ứ g ó t ỳ deg(D) D ột ú ỉ ì ợ trì t ỉ ứ tỏ r dimL(D p q) = dimL(D) 2, p, q X tết D D p q ó 2g ụ ệ q ủ ị ý t ó H (D) = H (D p q) = ó dimL(D) = deg(D) + g dimL(Dpq)deg(Dpq)+1g = deg(D)+1g = dimL(D)2 ó ọ số ề ú ỉ ì ợ ệ ề ọ số ề ó tể ợ ú ỉ ì tr ứ tr ú t t ứ ế ự ợ ột X s ó r ụ tr t ỉ ự D s deg(D) 2g + 1, tr ó g ố ủ X ể p t ỳ ọ D = (2g + 1).p ó t ó D t P số t ố ủ ó số ó ố ổ ề tì X t ứ tr X ột ệ t sử r p X, L(p) > tết s r r tồ t ì số f L(p) ó ự ể X t ự ể ó ỉ ó tể ì p D = p ordp (f ) 1, ordq (f ) D(q) = 0, p = q) f ỉ ó ột ự ể p ó ứ ể ó ỉ ì ết ợ F : X C ó X C ổ ề t ó ệ q ệ q ệ q ế X ột ệ t ó ố ột ó pX L(p) ỉ ố ọ ì ế ợ tì t ổ ề tr ó ố X t g = 0) ệ ề X số ó ố ó t ứ X C ố ị t ỳ p X í t K tr X ó 2g = 2, ó K p ó ổ ề t ó L(K p) = ụ ị ý L(p) = deg(p)+1g+ L(K p) = > ụ ổ ề tr t ó ề ứ số ó ố ột số ó ố t ó X ột số ó ố ét í t K, deg(K) = 2g = L(K) = g = t ó tể tết r K > 0,ú ý r K tì L(K) ữ ó tồ t số f L(K) ỉ ì ết ợ F : X C ó ì tế X ột s t ị ý r rớ ết t ó ổ ề ổ ề D1 , D2 tr ệ t X ó dimL(D1 ) + dimL(D1 ) dimL(min{D1 , D2 }) + dimL(max{D1 , D2 }) ứ ó từ ị ĩ L(D1 ) t L(D) : (D2 ) = L(min{D1 , D2 }) Di max{D1 , D2 } L(Di ) L(max{D1 , D2 }) ì tế L(D1 ) + L(D2 ) L(max{D1 , D2 }) ó từ tr r dimL(D1 ) + dimL(D2 ) = dim(L(D1 ) + L(D2 )) dim(L(D1 ) dimL(max{D1 , D2 }) + dimL(min{D1 , D2 }) ụ ổ ề D K D t ó L(D2 )) ổ ề r D ột tr số X ó ố g tết dimL(D) dimL(KD) ó dimL(D)+dimL(KD) + g ứ tết ì t ọ ợ dimL(D) s r r ệ ủ |D| = D1 D t tự ọ ợ D2 K D ó min{D1 , D2 }, ữ min{D1 , D2 } max{D1 , D2 } D1 + D2 ế min{D1 , D2 } = max{D1 , D2 } = D1 + D2 tì t ó dimL(D) + dimL(K D) = dimL(D1 ) + dimL(D2 ) dimL(max{D1 , D2 }) + dimL(min{D1 , D2 }) = dimL(D1 + D2 ) + dimL(0) = dimL(K) + dimL(0) = g + ý r min{D1 , D2 } max{D1 , D2 } t ợ D1 D2 ó ì tế ể t ứ t ỉ r r ớ D t ỳ trớ ọ ợ D1 , D2 tr t ọ D2 t ỳ tr |K D| tr ết |D| = F + |M | tr ó F ố ị ủ |D| ệ tế tí |M | ó ể |M | ó ể tồ t D3 |M | s ủ D3 ủ D2 ữ t ó dimL(D3 ) = dimL(M ) = dimL(D) t D3 + D2 F + D3 + D2 D + (K D) = K dimL(D3 + D2 ) dimL(K) = g dimL(D) + dimL(K D) = dimL(D3 ) + dimL(D2 ) dimL(max{D3 , D2 }) + dimL(min{D3 , D2 }) = dimL(D3 + D2 ) + dimL(0) g + ổ ề ợ ứ ị ý dimL(D) dimL(K D) = deg(D) + g t ết ợ t tứ tr t ó ị ý r s ị í D ột ệt tr số X ó 2dimL(D) deg(D) + ết r |D| = dimL(D) ó tể ết ị ý r |D| deg(D) ệ í t ệ tự ổ ề ệ tế tí í t |K| tr số X ó ố g ệ tự ứ ố ị p X ú t ứ r L(K D) = L(K) ệ q tr t ó dimL(p) = 1, ụ ị ý D = p t ó = dimL(p) = dimL(K p) + deg(p) + g dimL(K p) = g ó ề ứ ự tồ t ủ ì ệ ề X, ột t t ứ số ứ ì tr ri = i ột t ữ ể X {ri } ỉ ó ự ể t pi {pi } tr số ó tồ t ột Respi () = ri ế ỉ ế ệ t Rick Miranda r rs sr s r tt st t r tt t Shosichi Kobayshi ts rt tr A.A Kirillov. ts t r rst ts rst r r r rr r r r r Guillemin rt tr rt qts tr qr tt rs t ss r Psrs rrt Dennis Barden and Charles Thomas tr t t rt s S Kumaresan rs rt tr rs rst r rst H.W Lenstra r rsr t str on Qunh ì ọ ọ