1 Mục lục;lkmkl Trang Mở đầu Chơng I Tổng quan hệ thức Heisenberg I.1) Sự đo đồng thời hai đại lợng vật lý I.2) Hệ thức giao hoán Heisenberg .5 I.3) Hệ thức Heisenberg 3.1) Hệ thức tổng quát 3.2) Hệ thức bất định toạ độ v xung lợng px 10 3.3) Hệ thức bất định cho lợng 11 Kết luận: 13 Chơng II Hệ thức bất định hiệu ứng quang học lợng tử 14 II.1) Năng lợng không hệ thức bất định 14 II.2) Bài toán nguyên tử hai mức 16 II.3) Bài toán xác định số hạt phôton với biên độ trờng .22 II.4) Hệ thức bất định với trạng thái kết hợp 28 Kết luận: .32 Chơng III Một số ứng dụng hệ thức bất định Heisenberg .34 Giải số toán Các kết luận 42 Tài liệu tham khảo 44 Nguyễn Thị Miều Khóa luận tốt nghiệp Mở đầu Hai lý thuyết đời kỷ XX pham vi vật lý học đại lý thuyết lợng tử (cơ học lợng tử ) lý thuyết tơng đối hẹp Nếu nh lý thuyết tơng đối hẹp Einstein xem xét tính chất vật lý, quan niệm thời gian, không gian khái niêm học Newton chuyển động nhanh (v c), học lợng tử lại đa đến nghiên cứu mới, khám phá tính chất vật chất Vi mô, siêu Vi mô (có kích thớc cở nguyên tử bé hơn) Ngày học lợng tử trở thành lý thuyết bản, quen thuộc với nghiên cứu lĩnh vực vật lý kỹ thuật Tuy vậy, nghiên cứu vấn đề của vật lý lợng tử mang tính thời Trong khóa luận đặt vấn đề tìm hiểu, nghiên cứu hệ thức quan trọng định tính chất vật lý hệ vi mô hệ thức bất định Heisenberg Trong khoá luận này, hệ thức bất định Heisenberg đợc nghiên cứu cách đầy đủ, sở phân tích ý nghĩa vai trò to lớn hệ thức tợng vật lý lỡng tử, khoá luận đa số ứng dụng hệ thức quan trọng việc giải thích số hiệu ứng lợng tử thông qua toán.Từ làm rõ ý nghĩa, tầm quan trọng vai trò của" nguyên lý bất định" vấn đề vật lý đại Khoá luận đợc trình bày ba chơng sau đây: Chơng I Tổng quan hệ thức Heisenberg Xét đo đồng thời hai đại lợng vật lý bất kỳ, chứng minh điều kiện cần đủ để đo đồng thời xác hai đại lợng khác nhau, bên cạnh xét hệ thức giao hoán xung lợng toạ độ trục(ox)và mở rộng cho trục khác Trên sở xây dựng hệ thức bất định tổng quát cho hai đại lợng bất kỳ, nghiên cứu hệ thức bất định thời gian lợng Chơng II Hệ thức bất định hiệu ứng quang học lợng tử Đề cập vấn đề lợng không đa vào hệ thức bất định Heisenberg ta chứng minh tồn lợng thấp dao động tử Cùng với việc xem nguyên tử lý tởng hai mức lợng đặt trờng ngoài, tìm đợc xác suất tìm hạt mức kích thích liên quan đến độ mở rộng vạch phổ Ngoài xét Nguyễn Thị Miều Khóa luận tốt nghiệp toán liên quan đến việc xác định số phôtôn với biên độ trờng, hệ thức bất định với trạng thái kết hợp nhằm xác định giới hạn nghiên cứu phép đo vật lý khuôn khổ toán tơng tác trờng với hệ nguyên tử Chơng III Một số ứng dụng hệ thức bất định Heisenberg Để hoàn thiện nghiên cứu hệ thức bất định, chơng xem xét toán dao động tử điều hoà, hạt nhốt hố sâu vô hạn.v.v.với việc sử dụng hệ thức bất định hai đại lợng toạ độ xung lợng, hệ thức bất định lợng, tìm đợc sai số mắc phải phép đo nh giá trị bé đại lợng đo đạt tới.Để khẳng định vai trò hệ thức bất định Heisenberg không toán cụ thể mà liên quan đến toàn tính chất vật lý vi hạt Chơng I: Nguyễn Thị Miều Khóa luận tốt nghiệp Tổng quan hệ thức heisenberg Trong vật lý học cổ điển, tính Sóng Hạt hai tính chất độc lập vật chất Các đại lợng đặc trng cho trạng thái chuyển động đo đợc xác đồng thời Quỹ đạo hạt vĩ mô hoàn toàn xác định Trong vật lý lợng tử hạt vi mô mang lỡng tính sóng - hạt Trạng thái hạt đợc mô tả hàm sóng Các phép đo hai đại lợng vật lý tiến hành đồng thời không đồng thời kết đo hai đại lợng đợc xác định đồng thời không đồng thời I.1) Sự đo đồng thời hai đại lợng vật lý Trong học lợng tử để đo đợc đại lợng vật lý đợc giá trị xác trạng thái hạt mô tả hàm sóng phải hàm riêng toán tử biểu diễn biến số Từ để hai đại lợng đo đợc giá trị xác định hai toán tử biểu diễn hai biến số động lực phải có chung hàm riêng Chúng ta chứng minh điều kiện cần đủ để đo đợc hai đại lợng xác đồng thời hai toán tử giao hoán với Trớc hết ta chứng minh điều kiện cần: Gọi A B hai toán tử cần xác định, hàm sóng mô tả trạng thái chung Khi phơng trình trị riêng có dạng: A = A (1-1) B = B (1-2) Ta có B A = A B A = A B B A = AB Và = A B = A B A B = B A A B = AB (a) (b) Lấy (b) trừ (a) : ( A B - B A ) = ( BA AB) = Do # Suy A B - B A = Hay [ A , B ] = + Chứng minh điều kiện đủ: Nếu toán tử A B giao hoán thì: A B - B A = hay A B = B A (1-3) Giã sử hàm riêng toán tử B ,khi thoả mãn phơng trình trị riêng (1-1) B = B (1-4) Dựa vào (1-3) ( 1- ) ta có: Nguyễn Thị Miều Khóa luận tốt nghiệp A B = A B = B A = B A B A = B A Hay (1-5) hàm riêng B (1-4 ), đến lợt ( A ) lại hàm riêng B (1- 5) Theo (1-4 ) ứng với hàm riêng toán tử B có trị riêng B Do hàm riêng A phải trùng với hàm riêng với độ xác đến số nhân A Nghĩa A = A (1-6) So sánh (1 - ) với ( 1- ) có nghĩa hai toán tử A B có chung hàm riêng Nhng học lợng tử nói chung hàm riêng toán tử hàm riêng toán tử khác, điều kiện để đo đồng thời hai đại lợng không đợc thoã mãn hay nói khác hai đại lợng học khác đo cho giá trị xác định đồng thời mà phải có độ bất định Mức độ bất dịnh đợc xác định hệ thức bất định I 2) Các hệ thức giao hoán Heisenberg Trong học cổ điển đại lợng đặc trng cho chuyển động nh toạ độ xi, xung lợng Pi xác định đợc đồng thời Còn học lợng tử định vị hạt đợc biểu diển thông qua toán tử xi ( i = x, y, z) Còn xung lợng đợc biểu diễn P =-i x Nêú nh toạ độ xung lợng đợc đồng thời hệ thức giao hoán sau i i i =0 phải thoả mãn x i , p Xét trờng hợp đơn giãn chiều dọc theo trục x,tức là: x i = x , p i = p x ; Khi đó: [ x, p x ] = xp x - Nguyễn Thị Miều p x = i d dx p x x với x = x (1-7) [ x, p x ] =-i (x d - d x ) (1-8) dx dx Khóa luận tốt nghiệp [ x, p x ] =+i (1-9) Từ ( 1-9) ta thấy [ x, p x ] =i toạ độ xung lợng học lợng tử không đo đợc xác đồng thời hay nói khác toán tử x p x chung hàm riêng - Từ (1- ): [ x, p x ] = i i x d dx = i dx dx Phơng trình với hàm khả vi tuỳ ý có ý nghĩa quan trọng quang lợng tử Hệ thức (1 - ) gọi hệ thức giao hoán Heisenberg Tơng tự xét trục y z [ y , p ] = i ; [ z, p ] = i y z Ta chứng minh: Toạ độ xung lợng hai trục khác giao hoán [ ] ví dụ x, p y =0 (1-10) Trong trờng hợp đặc biệt hai đại lợng có giá trị xác đồng thời Kết luận: Từ ( 1- ) thấy trờng hợp toạ độ xung lợng trục, theo trục x, theo trục y, theo trục z không xác định xác lúc Điều hiển nhiên, lẽ trờng hợp hạt định vị vị trí xác p định tính sóng k = có đợc giá trị xác định thân tính sóng hạt tợng vật lý; với toạ độ xung lợng đo hai trục khác có giá trị xác định xác đồng thời Vì kết lấy vi phân hàm theo biến độc lập không phụ thuộc vào thứ tự lấy vi phân dễ dàng thấy toán tử hai thành phần xung l- [ ợng giao hoán Điều có nghĩa p x , p x i j ] = [ p y , p z ] = 0, với (i,j =x,y,z) Hệ thức giao hoán đợc thoả mãn, dẫn đến xung lợng hạt hai trục hoàn toàn xác định Nguyễn Thị Miều Khóa luận tốt nghiệp I 3, Hệ thức Heisenberg 3.1, Xây dựng hệ thức tổng quát: Gọi hàm sóng mô tả trạng thái hệ gọi hai đại lợng không đo đợc lúc xác A B, trạng thái riêng hai toán tử A B biểu diễn đại lợng cần đo A B Khi độ bất định phép đo tơng ứng với toán tử, độ lệch toàn phơng trung bình Trong học lợng tử, hai đại lợng cần đo biểu diễn hai toán tử A B với điều kiện A B phải toán tử Ecmit - Nghĩa A B phải thoả mãn phơng trình sau: i i * A j dv= J ( A i ) dv * * * B j dv= j ( B i ) dv Trong *là liên hợp phức hàm sóng ; trờng hợp ma trận cột + = ( 1, 2, n)*,và biến ma trận hàng với n 12 trạng thái nh + = n * Giả sử A B hai toán tử thoả mãn hệ thức sau đây: [ A , B ] = i C (1-11) C toán tử Ecmit Gọi độ lệch khỏi giá trị trung bình A B A B Khi A = A - A , B = B - B Độ lệch toàn phơng trung bình là: A = ( A - A )2 = ( A A A - A A + A ) = ( A - A A + A ), A thực A = A = (A2 - 2A Nguyễn Thị Miều +A ) = (A2 - A )= - A Khóa luận tốt nghiệp ( = B B ) 2= ( B - B + B ) = ( B2 - B ) = ( B -B ) A = A = B = B = = Sử dụng kí pháp Đirắc : * gọi Bra véc tơ, gọi ket véc tơ Ta có tơng ứng học lợng tử : A ~ A B ~ A B A = A A B = B B Do (1-12) A = A + A (1- 11) viết đợc: B = B + B Từ (1-12) ta có: B + A, B = i ; A + A, B + B = i C A , B + A, B + A, C [ ] B = A, B = [ A, B ] = Nhận thấy A, Do đó: A + A, B + B = A , B A , B =i C (1 -13 ) Hệ thức (1-13) chứng tỏ A , B toán tử Ecmít Nguyễn Thị Miều Khóa luận tốt nghiệp Để tìm mối liên hệ bất định hai đại lợng đo A B ta xét tích phân bổ trợ sau: I( ) = i 2dv (1-14) biến số thực tuỳ ý Sử dụng tính chất ecmit toán tử B Tức là: * A dv = A dv * * dv = B dv B * (1-15) Ta có: I ( ) = i . dv = i .. + i * dv Do thực nên * = ( ) = i . , * + i * * dv ( ) ( ) ( ) ( ) = A i B A* * dv + A i B i B * * dv = ( A i B ) ( A ) dv + i ( A i B ) ( B ) dv * Nhờ(1-15)tacó: * ^ ( ) = * ( i ) dv +i * B ( i ) dv = * ( + i )( i ) dv = * ( ( ) +i - i + ( ) ) dv = * ( ( ) +i [ ; ] + ( ) ) dv [ B; A] = B A - [ A B ] Điều kiện I( ) với Nguyễn Thị Miều Khóa luận tốt nghiệp 10 Sử dụng biểu thức Braket * A .dv = A = A * B dv = B = B B; A = A, B = i C Còn Cho nên: I ( ) viết lại là: * * B, A .dv = i C .dv = i C = iC I ( ) = + C + B (1-16) Để (1-16) có nghiệm với Xét biệt thức den ta cho (1-16) ( ) ( ) = + C 4A B C 4A B C A B khai thức bậc hai A B C 2 2 2 hay A.B C (1-17) (1- 17) biểu thức toán học lỡng tính sóng - hạt hệ Vi mô Đó nguyên lý bất định cho hai đại lợng không đo đợc đồng thời xác A B Hệ thức đợc gọi hệ thức bất định Heisenberg tổng quát nguyên lý học lợng tử 3.2 Hệ thức bất định Heisenberg x px Xét bất định toạ độ x xung lợng trục x (Px) đo đồng thời Ta thấy x toán tử toạ độ p x toán tử xung lợng trục x liên hệ với hệ thức Heisenberg : x , p x = i Nguyễn Thị Miều với p x = i x (1-18) Khóa luận tốt nghiệp 29 n Đặt C n = e n! 2 , Cn hệ số phân tích, từ học lợng tử ta tìm đợc xác suất tìm hạt phôton trạng thái n trờng đơn mốt C n : Cn = 2n e n! (2.46) (2.46) có dạng phân bố poisson vật lý thống kê - Biểu diễn hạt có Spin nguyên, (S=1) Thay Cn vào (2.43) ta có: = n ( e n n! n = n e n n! (b ) = (b + ) n e n n! + n 2 (2.47) xn Phân tích chuỗi =ex n n! Ta có (2.24) viết đợc: + = eb e (2.48) Chú ý: toán tử b+ tác dụng lên hàm sóng đứng sau Nếu ta tác động lên hàm (2.48) toán tử huỷ: [ ] b = b exp b e + 2 (2.49) Dựa vào tính chất toán tử [ B, f (b + ) ] = [exp b ] [b, f (b )] = b + ( Thực nhân phải vế với e bf (b + ) e 2 ( ) (2.50) viết đợc: (2.50) 2 + = f (b ) e + f (b )b e ; (b = 0) bf (b + ) e Nguyễn Thị Miều + ) exp b + = exp b + + f (b + ) , Với f (b + ) đặt b + + = f (b ) e (2.51) Khóa luận tốt nghiệp 30 Khi (2.49) đợc b = f (b + ) e = hay b = Tơng tự ta có b + = * (2.52) (2.53) Từ (2.52) (2.53) ta thấy hàm riêng ( , * ) lần lợt trị riêng toán tử b, b+ đợc gọi trạng thái kết hợp Tơng ứng với trạng thái kết hợp , ta tìm đợc giá trị kỳ vọng đại lợng đặc trng cho trờng: + + + E = E = b b = b b sử dụng (2.52) (2.53) ta có E = * = ( * ) Biện luận: Nếu số thực nghĩa toán tử b toán tử ecmit * = , E = trùng với trờng hợp trạng thái hạt xác định Nhng b = = + , với m q , b toán tử Ecmit điều dẫn đến số phức, * # Suy E = ( * )#0 + + * * + B = B = b b + b = b b + b b B = b + b = b( + ) Nh với trạng thái kết hợp trạng thái riêng toán tử sinh toán tử huỷ, ta tìm đợc giá trị kỳ vọng đặc trng cho trờng đồng thời trạng thái kết hợp không thoả mãn điều kiện chuẩn, tức = , #0 Vấn đề đặt liệu đo đợc đồng thời đại lợng đặc trng cho trờng số hạt không? Từ exp b + = exp [ ] 2 2 + + Ta có: = N ( N ) = b b b b = b +2b b + b 2 b + b = b b b b + b b Sử dụng (2.52) (2.53) Ta có: Nguyễn Thị Miều Khóa luận tốt nghiệp 31 4 = ( * ) ( ) ( * ) + * ( = + = + = b b = N Vậy = (2.54) Từ (2.54) bình phơng độ lệch quân phơng số hạt số hạt trung bình Sự thăng giáng tơng đối giảm theo tăng số phôton tức là: = [ , E ] = ai[b b, b b] = ai(b + b) [ N , B ] = b[b b, b + b] = b(b b) [ N , E ] = b + b = ai( + ) [ N , B ] = b b b = b( ) + Ta xét + + + + + + Suy * + * Nh trạng thái không cung cấp cho ta thông tin độ bất định trờng hợp ta xét trực tiếp E B 2 a) E = E E = (ai) b + b b + b (ai) = a b + b + b + b bb + + bb + a b + b = a b + b + + a b + b + bb + + bb + a b + b = a ( * ) + 2a a 2 + a ( * ) = 2 (a) 2 2 + + b) B = B ( B ) = b b + b b b + b Tơng tự ta tìm đợc ( ) * = b 2 ( + 2b + b 2 b * + ) = (b) Nh với trạng thái kết hợp chồng chất trạng thái có số hạt xác định, ta đo đợc đại lợng đặc trng cho trờng đến xác Tuy nhiên bất định số hạt tăng lên chồng chất trạng thái tăng Kết luận: Trên sở lý thuyết phép đo không xác đồng thời hai đại lợng vật lý, chơng trình bày số hiệu ứng lợng tử Nguyễn Thị Miều Khóa luận tốt nghiệp 32 Đầu tiên, dựa vào hệ thức tổng quát mối liên hệ xung lợng toạ độ ta tìm lại đợc mức lợng ứng với Dao động không dao động tử, mức lợng gọi lợng không Tiếp theo giải toán nguyên tử lai mức với tác động nhiễu trờng điện, sử dụng phép gần ta tìm đợc hệ số a m (t ), a n (t ) Hệ số a m (t ), a n (t ) xác định xác suất tìm thấy hạt mức m mức n Đồng thời thấy rõ đợc ảnh hởng tác động nhiễu lên lợng nguyên tử Ngoài xét khả đo đại lợng đặc trng cho trờng trờng hợp Việc trờng có số hạt xác định trờng kết hợp, giới hạn xét cho trờng đơn giản đơn mốt Hàm sóng trình hàm viết cho hạt xác định n Khi dựa vào hàm sóng xác định đợc giá trị kỳ vọng đại lợng đặc trng cho trờng E & v.v thấy có khác biệt trờng lợng tử trờng cổ điển, với trờng cổ điển đại lợng hoàn toàn xác định Còn trờng hợp chồng chất trạng thái hạt xác định( trạng thái kết hợp) có biến đổi pha dao động, tơng tự trờng hợp ta xác định đợc giá trị trung bình E , nhng kết khác với trờng hợp hạt xác định Đồng thời xác định giới hạn phép đo - phép đo đại lợng trờng lợng tử với dòng hạt lợng tử (Giả hạt cổ điển) Trong trờng hợp kết luận bất định hai đại lợng đo ta phải xác định cho trờng hợp cụ thể thấy bất định phụ thuộc vào trờng ta xét Nguyễn Thị Miều Khóa luận tốt nghiệp 33 Chơng III Một số ứng dụng hệ thức bất định Heisenberg Để thấy rõ đợc ứng dụng hệ thức bất định ứng dụng vật lý lợng tử, chơng giải số tập Bài toán 1: Một Electron có lợng 12 ev, chứng minh có vận tốc 2,05.106m/s giả sử đo vận tốc với độ xác 1,5% Bạn đo đồng thời vị trí electron với độ xác bao nhiêu? Giải: Xung lợng electron: p = me v = 9,1.10 31( kg ).2,05.10 ( m / s ) 1,87.10 24 (kgm / s) Độ xác vận tốc 1,5% tức xung lợng có độ bất định 1,5% giá trị p = 1,5 1,87.10 24 28.10 26 (kgm / s ) 100 Độ bất định vị trí hạt x.p x 6,63 10 34 ( j.s ) x = 18(nm) cỡ 180 lần đờng 2p x 28.10 26 (kgm / s) kính nguyên tử Nh cho phép đo bạn xung lợng đơn giản ta xác định đợc vị trí xác giá trị Bài toán 2: Khi hệ chuyển từ trạng thái kích thích sang trạng thái hệ phát phôton lợng 3,39ev Tính độ bất định cực tiểu bớc sóng phôton phát ra, biết t = 10 11 ( s ) Nguyễn Thị Miều Khóa luận tốt nghiệp 34 E = hv = Giải: Năng lợng phôton hc hc (1) = E (2) E Lấy đạo hàm hai vế (2): d = hcd ( ) , lấy vi phân hai vế ta có kết = Mặt khác: .t hc E2 (3) 2t (4) t thay (4) vào (3) hc 2t E [( 6,63.10 34 ( J s ) / 1,6.10 19 h2 C thay số t = 4.3,14.10 11 ( s ).(3,39 ev) t E )] 3.10 (m / s ) 0,36.10 11 (m) mn 0,36.10 11 (m) Vậy chuyển mức, bớc sóng phôton dịch chuyển khoảng = mn Bài toán 3: Dùng hệ thức p x x h chứng minh hạt chuyển động theo quỹ đạo tròn ta có L. h Các đại lợng L. độ bất định mômen động lợng góc quay Giải: Khi hạt chuyển động theo quỹ đạo tròn, mômen xung lợng đợc xác định: L = mvR = p s R (1) p s = m.v xung lợng hạt Vì hạt chuyển động theo quỹ đạo tròn, nên nguyên lý bất định áp dụng cho phơng tiếp tuyến với quỹ đạo: p s S h (2) (1) lấy đạo hàm hai vế dL= R d ps Thực phép lấy tích phân dL = R dp s L = R.p s p s = thay (3) vào (2): L R L h S R (4) Mặt khác: S = R dS = Rd , lấy tích phân Nguyễn Thị Miều (3) Khóa luận tốt nghiệp 35 S2 S1 dS = R d S = R. thay (5 ) vào (4): L. S = R (5 ) h (6) Nh từ (6) ta thấy với trạng thái có mômen động lợng xác định tức L = Một lần khẳng định quỹ đạo tròn mômen xung lợng độ dịch chuyển góc có độ bất định tuân theo hệ thức Heisen berg Bài toán 4: Khi cho electron trạng thái 10 -8(s) độ bất định cực tiểu lợng nguyên tử Giải: Thời gian dùng để đo mức lợng tức 10-8(s)= t Sử dụng hệ thức bất định lợng: E.t h h E với h hệ số plank: h = 6,63.10 34 ( j.s) 4 t E Suy 6,63.10 34 ( JS ) 0,329.10 ev 1,6.10 10 ( s) Nh vậy, độ bất định lợng trạng thái = h thời gian sống trung bình electron trạng thái kích thích, đợc gọi độ mở rộng tự nhiên trạng thái - Độ rộng mức tự nhiên cỡ 0,329.10-7ev Bài 5: Cho hạt nhốt giếng chữ nhật chiều, có thành cao vô hạn, bề rộng d, trạng thái hạt đợc mô tả hàm sóng n chuẩn hoá n ( x) = n Sin x ; n = 1,2, v.v d d Hãy ớc lợng mức lợng thấp có hạt hệ thức Heisenberg Giải: Ta biết hạt nhốt hố U ( x ) = ; xét cho trờng hợp chiều p dọc trục x với x d ;khi lợng hạt: E = Wđ = x Chuyển sang giá 2m Nguyễn Thị Miều Khóa luận tốt nghiệp 36 trị trung bình học lợng tử E = p x 2m Mặt khác p x = p x2 ( p x ) E = p + ( px )2 ; 2m (1) x Vì p x p x + ( p x ) p x (1) E p x 2 Sử dụng hệ thức x p x 2m (2) 2 p x2 4 x Khi (3) vào (2): E (3) U(x) = 8m x (4) x độ lệch toàn phơng trung bình vị trí x hạt d Tìm x = ? từ x = x x (5) d * Với x = n x n = n ( x).x. n ( x)dx n = Sin d0 d d n x .xSin xdx d (6) 2 n xdx Do x = x nên (6) viết đợc: x = xSin d0 d d Sử dụng tính chất hàm cosin: Sin n x= d 2n x) d (1 cos Suy ra: 2n 2n 1 2n x= x(1 cos x).dx = x x cos x dx = x.dx x cos x.dx 2d d d d d0 d0 d d d x2 = d d d d d d 2n d 2n x.Sin x + Sin x.dx d 2n d 2n d d d2 d 2n d d d + x = = Cos d d 2n d 2n Nguyễn Thị Miều Khóa luận tốt nghiệp 37 Suy x max = d x = d d d = => x max = 2 d* (7) Nh độ lệch cực đại vĩ trí khoảng hộp nhốt hạt Thay (7) vào (4) ta có: E 8m d = 2md (8) Nh lợng nhỏ có hạt chuyển động hố cao vô hạn, độ dài d E = 2md (9) Nhìn vào (9) ta nhận thấy E ~ , tức hố dài - d lớn E d2 bé, nói khác độ giảm lợng cực tiểu giảm nhanh d lớn Bài toán 6: Cho dao động tử điều hoà chiều giả sử xét theo ox Hãy xác định mức lợng thấp có dao động tử p x + m x Giải: Haminton dao động tử đợc viết: H = 2m (10) (Xét theo chiều ox); m = k hệ số đàn hồi với = p x2 + m2 x x = x (10) viết đợc H 2m Trong p x biểu diễn i (11) d dx Năng lợng dao động tử E = x H x ; trạng thái dao động tử, thay H E = x từ (11) ta có: = Trong 1 p x + m x x = x Px2 + k x 2m 2m 2 k Px + x 2 Px2 = Px2 + Px (12) (13) x = x + (x ) Nguyễn Thị Miều Khóa luận tốt nghiệp 38 Thay (13) vào (12) : E = Nhận xét: p x = x Px x x = x x x => Px2 + P Px2 ( 2 Px + P + k x + x 2m (14) d = x i x dx ) 0 Khi (14) viết đợc x + x x E 1 P Px2 + k x = x + k x 2m 2 m (15) Dùng hệ thức bất định x Px ta có 2 Px2 P 2 (16) x k + k x E + x2 Từ (16) (15) E x + x 2 m 2 8m x m x Dùng bất đẳng thức Cosin => E E (17) k x2 8m x 2 k = E = 16m 2 (18) Hệ thức (18) lợng bé dao động tử đo đợc E = lợng Dao động không mà ta xét mục trớc Bài toán 7: Giả sử ta đo đợc xung lợng hạt đến phần nghìn, xác định độ bất định cực tiểu vị trí hạt hai trờng hợp a) Nếu hạt có khối lợng 5(mg); vận tốc 2m/s b) hạt electron có vận tốc 1,8.108m/s Giải: Giả sử xét hạt chuyển động chiều dọc theo ox Giả thiết P = 10 Px a) Xung lợng hạt Nguyễn Thị Miều (1) P = mv (2) Khóa luận tốt nghiệp 39 Từ (1) (2) (3) P = mv.10 Px x Theo hệ thức Sử dụng (4) đặt vào (3): x x h h x 4 Px (4) h 10 4mv 6,625.10 34.10 0,527.10 29 (m) 5.10 (5) Vậy độ bất định cực tiểu x = 0,527.10 29 (m) = 0,527.10 19 A nhỏ kích thớc nguyên tử cỡ A0 Do vạy thực tế ta đo đợc độ bất định vĩ trí hạt b) Vì hạt electron v= 1,8.108m/s sử dụng công thức tơng đối tính m= ta có: P = m0 v để vào (3) c m0 v.10 v2 c suy x h v2 103 4m0 v c 6,623.10 34.10 1,8 x 2,27 A 31 9,1.10 1,8.10 Vậy độ bất định vị trí hạt electron cực tiểu x 2,27 A Ngày với máy đo đại, đo đợc độ bất định vị trí hạt đến bán kính nguyên tử x 2,27 A cỡ kích thớc nguyên tử nên ta dùng máy xác định đợc Bài toán 8: Cho bóng chơi golf có khối lợng 45(g), vận tốc đo đợc 3m/s, với độ xác 1,5% Nguyên lý bất định đặt giới hạn phép đo vĩ trí bóng golf Giải: Xung lợng bóng P= mv= 45.10-3.35(m/s).kg = 1575.10-3(kgm/s) Độ bất định xung lợng 1,5% nghĩa P = 1,5.1575.10 (kgm / s) Từ hệ thức bất định vị trí xung lợng: Nguyễn Thị Miều Khóa luận tốt nghiệp 40 xp x 6,623.10 34 ( JS ) x = x 22,3.10 29 (m) 2p x 2362,5.10 (kgm / s ) Nhận xét: x 22,3.10 29 (m) [...]... bày trong chơng sau Chơng II Hệ thức bất định trong các hiệu ứng quang học lợng tử Lý thuyết bất định Heisenberg đợc áp dụng trong nhiều bài toán lợng tử trong đó có bài toán dao động tử và bài toán trong trờng có số hạt ánh sáng xác định (phôtôn) và trờng kết hợp là chồng chất của các trờng có số phôtôn xác định Nguyễn Thị Miều Khóa luận tốt nghiệp 14 với tần số giao động là Để thấy rõ sự bất định. .. không thể kết luận gì về sự bất định của hai đại lợng đo ta phải xác định cho các trờng hợp cụ thể và thấy rằng sự bất định phụ thuộc vào trờng ta xét Nguyễn Thị Miều Khóa luận tốt nghiệp 33 Chơng III Một số ứng dụng của hệ thức bất định Heisenberg Để thấy rõ đợc ứng dụng của hệ thức bất định trong các ứng dụng của vật lý lợng tử, trong chơng này chúng tôi đi giải một số các bài tập cơ bản Bài toán... dựng lý thuyết bất định, trên cơ sở các toán tử cùng với tính chất Hecmit của nó, trong chơng này chúng tôi đi xây dựng hệ thức bất định cho hai đại lợng vật lý bất kỳ A và B, bằng cách đặt tích phân bổ trợ I() và xét cho tích phân đó là đại lợng không âm với mọi biến số () Dựa trên hệ thức vừa xét đ ợc, cùng với sự hỗ trợ của các biến liên hợp x, p x = i , ta tìm đợc hệ thức bất định cho vị trí... quỹ đạo hoàn toàn xác định 3.3 Hệ thức bất định cho năng lợng: Trong cơ học lợng tử trạng thái cho phép ta xác định đợc năng lợng của hạt có giá trị xác định là trạng thái dừng Nhng trong một hệ ngay cả với hệ kín thì năng lợng toàn phần có thể không có giá trị xác định không đổi theo thời gian mà nó có một sự bất định nào đó Điều này đợc các viện sĩ Li manđel stam và Ietamm chứng minh đợc từ những... có một sự bất định nào về năng lợng Trong cơ học lợng tử định luật bảo toàn năng lợng chỉ có thể bảo toàn bằng hai phép đo với độ bất định đến cấp do đó (1.21) là biểu thức thuần tuý lợng tử t Từ sự bất định trong các phép đo xung lợng với toạ độ, giữa năng lợng với thời gian đo, trong cùng một thí nghiệm không thể xác định đợc đồng thời hai đại lợng biến liên hợp với độ chính xác tuỳ ý nh trong cơ... động lợng xác định tức là L = 0 thì Một lần nữa khẳng định rằng trên quỹ đạo tròn thì giữa mômen xung lợng và độ dịch chuyển góc có một độ bất định tuân theo hệ thức Heisen berg Bài toán 4: Khi cho một electron ở trong một trạng thái 10 -8(s) thì độ bất định cực tiểu về năng lợng của nguyên tử bằng bao nhiêu Giải: Thời gian dùng để đo mức năng lợng tức là 10-8(s)= t Sử dụng hệ thức bất định về năng... chất các trạng thái có số hạt xác định, ta có thể đo đợc các đại lợng đặc trng cho trờng đến chính xác Tuy nhiên bất định số hạt sẽ tăng lên khi chồng chất các trạng thái tăng Kết luận: Trên cơ sở lý thuyết về phép đo không chính xác đồng thời giữa hai đại lợng vật lý, trong chơng này chúng tôi đi trình bày một số các hiệu ứng lợng tử Nguyễn Thị Miều Khóa luận tốt nghiệp 32 Đầu tiên, dựa vào hệ thức. .. độ đồng trục trong cơ học lợng tử tại một thời điểm bất kì (t) đều cho ta một độ bất định, trong trờng hợp ta muốn xác định đợc (ví dụ: vị trí của hạt) thì đại lợng kia là (xung lợng) có độ bất định vô cùng lớn Điều này có ý nghĩa quan trong rằng với vi hạt không riêng gì hạt ánh sáng(phô tôn) thì quỹ đạo chuyển động là không xác định Ngoài ra còn xét cho thành phần năng lợng Ta biết trong cơ học cổ... tổng quát Giả thiết ban đầu hệ nằm trong một hệ kín năng lợng E Từ khái niệm đạo hàm trong cơ học lợng tử : = A , Sử dụng .B 2 Ta có : .t 2 (1-21) Trong đó t là khoảng thời gian dùng để đo năng lợng đợc dộ bất định E Biểu thức (1 - 21 ) cho thấy nếu ta đo năng lợng của một hạt khi cho phép đo trong khoảng thời gian t, thì phép đo năng lợng sẻ phải chịu một lợng bất định là Nguyễn Thị Miều Khóa... thái mô tả trờng n có số hạt xác định, ta đi xét hệ thức liên hệ giữa biên độ của trờng B, E với số hạt N Tơng tự ta cũng xét cho trạng thái kết hợp 2.1) Năng lợng "không" và hệ thức bất định Bài toán giao động tử điều hoà là một bài toán rất quan trọng trong vật lý Bằng nhiều phơng pháp giải khác nhau ta có thể tìm đợc năng lợng của giao động tử Năng lợng giao động tử đã tính đợc Wn = (n + 1 ) , ... lợng tử mang tính thời Trong khóa luận đặt vấn đề tìm hiểu, nghiên cứu hệ thức quan trọng định tính chất vật lý hệ vi mô hệ thức bất định Heisenberg Trong khoá luận này, hệ thức bất định Heisenberg. .. A B Hệ thức đợc gọi hệ thức bất định Heisenberg tổng quát nguyên lý học lợng tử 3.2 Hệ thức bất định Heisenberg x px Xét bất định toạ độ x xung lợng trục x (Px) đo đồng thời Ta thấy x toán tử. .. số ứng dụng hệ thức bất định Heisenberg Để hoàn thiện nghiên cứu hệ thức bất định, chơng xem xét toán dao động tử điều hoà, hạt nhốt hố sâu vô hạn.v.v.với việc sử dụng hệ thức bất định hai đại