Sử dụng cơng cụ tốn học thiết lập phương trình cho tốn vật lý LỜi NĨI ĐẦu Tốn học nghành khoa học phục vụ cho phát triển mà đặc biệt trở thành công cụ cho việcphát triển nghành khoa học khác, có vật lý Cho nên có khác viêc dạy học người chuyên nghiên cứu toán người sử dụng tốn cơng cụ để nghiên cứu vấn đề khoa học Trong phương pháp tốn cho vật lý có giao thoa tốn lý , giảng dạy rộng rãi trường đại học nhằm trang bị cho người học kiến thức toán kỹ sử dụng tốn cơng cụ để nghiên cứu vật lý Trên tinh thần xuất phát từ thực tế thân thăm dò ý kiến sinh viên nghành vật lý Tôi nhận thấy , không nắm vững kiến thức tốn học sử dụng thành thao gặp nhiều khó khăn nghiên cứu vật lý Trong khn khổ khóa luận tơi muốn trình bày vấn đề” Sử dụng cơng cụ tốn học để thiết lập phương trình cho tốn vật lý “ Tơi hy vọng góp phần hỗ trợ cho sinh viên nghành vật lý tìm phương trình mơ tả quy luật tốn vật lý Với kiến thức phương pháp toán lý ,giải tích… Cùng với việc tìm tịi thu thập tài liệu , tơi hoan thành khóa luận với nội dung sau : Phần I : Những kiến thức tốn học Phần II : Sử dụng cơng cụ tốn học để thiết lập phương trình cho tốn vật lý Chương I : phương trình chuyển động chất điểm Chương II : Phương trình truyền sóng Chương III : Phương trình truyền nhiệt Lê Hữu Hiếu Sử dụng cơng cụ tốn học thiết lập phương trình cho tốn vật lý Đây giai đoạn đầu người tập làm nghiên cứu khoa học với kiến thức nhiều hạn chế vốn kinh nghiệm cịn quỹ thời gian có hạn … Nên khóa luận chắn có nhiều thiếu sót, mong đựoc quan tâm đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn sinh viên để khóa luận dược hồn chỉnh Cuối tơi xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Nguyễn Tất Thư giúp đỡ nhiều kiến thức , phương pháp , tài liệu nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn thây cô giáo khoa vật lý bạn bè giúp đỡ tơi hồn thành khóa luận Vinh , tháng năm 2005 Tác giả Lê Hữu Hiếu Sử dụng cơng cụ tốn học thiết lập phương trình cho tốn vật lý PhẦN I : nh÷ng kiến thức toán học A.chơng trình vi phân thờng I phơng trình vi phân dạng biến số I.1 định nghĩa : Phơng trình vi phân hạng phơng trình có dạng :F ( x , y ,y ) = 1.2 Định lý : Nếu phơng trình y = f(x , y) mà f(x , y)và đạo hàm riêng f f liên tục miền D mặt phẳng xoy chứa điểm (x0 , y0) phơng trình có mt nghiệm y = (x) thoả mÃn điều kiện : x = x0 y = y0 1.3.phơng trình với biến số phân ly : Xét phơng trình vi phân dạng : dy = f1 (x) f2(x) dx (1.1) Ta biến đổi (1.1) nh sau ( giả sử f2(y) # 0) 1 dy = f ( x)dx ⇒ ∫ dy = ∫ f ( x)dx + c f ( y) f ( y) 1.4.phơng trình vi phân đng cấp hạng : 1.4.1 Định nghĩa : phơng trình vi phân đng cấp hạng phơng trình có dạng : dy + P ( x) y = Q( x) dx (1.2) ®ã : P(x) Q(x)là hàm số liên tục x (hoặc số ) Lờ Hu Hiu Sử dụng cơng cụ tốn học thiết lập phương trình cho bi toỏn vt lý 1.4.2 Cách giải : Ta tìm nghiệm (1.2) dới dạng tích hai hàm sè cña x: y = u(x) v(x) (1.3) mét hai hµm sè nµy cã thĨ lÊy t ý , hàm số đợc xác định dựa phơng trình (1.2) lấy vi phân hai vế (1.3) ta cã : dy du du =u +v dx dx dx u thay biểu thức vào(1.2) ta đợc : du du +v + Puv = Q dx dx  hay u du du  + Pv  + v =Q dx  dx  ta chän hµm sè v cho (1.4) dy + P.v = dx (1.5) ph©n ly biến số phờng trình vi phân ta đợc : dy = Pdx v Lấy tích phân : - ln c1 + ln v = ∫Pdx hay v = c1 e-pdx Vì ta cần nghiệm , khác không (1.5) nên ta lấy : v(x) = e-pdx Thay v(x) vào (1.4) ta đợc : v(x) dy = Q(x) dx hay du = Q( x) dx Do ®ã u = v( x) Q( x) ∫ v( x) dx + C thay vµo (1.3) , cuối ta đợc : Lờ Hu Hiu Q( x)  dx + C   v( x)  y = v(x)  ∫ Sử dụng cơng cụ tốn học thiết lập phương trình cho toỏn vt lý I phơng trình vi phân hạng hai 2.1 phơng trình tuyến tính cp hai đng cấp với hệ số số : Dạng tổng quát : y ‘’+py’ + qy = (1.7) (trong ®ã p,q hằn số thực ) Theo định lý để tìm nghiệm tổng quát (1.7) ta cần tìm hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính (1.7) ta tìm nghiệm dới dạng: y = ek (1.8) (trong ®ã k = const) ®ã y’ = kekx , y’’ = k2ekx (1.9) Thay (1.8) vµ (1.9) vào (1.7) ta đợc : ekx (k2 + pk +q) = , v× ekx # mäi x ⇒ k2 + pk +q = (1.10) (1.10) gäi phơng trình đặc trng (1.7) có hai nghiệm lµ: k1,2 = (- p ± p − p )/2 xảy trờng hợp : a) b) k1 , k2thực vµ k1 # k2 ®ã y1 = eklx , y2 = eklx lµ hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính (1.7) nghiờm tng quát (1.7) sÏ lµ y = c1 eklx + c2 ek2x k1 , k2 phức liên hợp: k1= α + i β , k2 = α - i β ®ã : y1 = e(α+iβ)x , y2 = e(α-iβ)x ⇒ nghiƯm tỉng qu¸t y = c1 e(α+iβ)x + c2 e(α-iβ)x hay : y = eαx ( c1 cos βx + c2 sin βx ) c) k1 , k2 thực k1 = k2 = -p/2 ta đợc nghiệm riêng y1 = eklx có y2 = x eklx ®éc lËp tun tÝnh víi y1 = eklx nghiệm tổng quát (1.7) : y = c1 + c2x) eklx 2.2 phơng trình vi phân tuyến tính cấp hai không đẳng cấp với hệ sè lµ h»ng sè : Lê Hữu Hiếu Sử dụng cơng cụ tốn học thiết lập phương trình cho bi toỏn vt lý Dạng tổng quát : y + py + qy = f(x) (1.11) p,q số thực , f(x)là hàm số liên tục trong(a,b) định lý1: Nghim tổng quát phơng trình không đẳng cấp viết dới dạng tổng quát nghiệm riêng y (1.11) với nghiệm tổng qu¸t y cđa y" + p y ' + q y phơng trình đẳng cấp tơng ứng: Phơng trình đẳng cấp tơng ứng (1.11) có nghiệm tổng quát dạng : y* = c1 y1 + c2 y Ta cần tìm nghiệm riêng (1.11) dới dạng ỹ = c1 (x) y1 + c2 (x) y2 ®ã c1(x) , c2 (x)đợc xác định: c1 (x) y1 + c’2 (x) y2 = c’1 (x) y1 + c’2 (x) y2 = (x) (1.12) Giải (1.12) ta đợc c1 (x) = ϕ1(x) , c’2 (x) = ϕ2 (x) suy : c1 (x) = ∫ϕ1 (x) dx , c2 (x) = (x) dx tìm đợc nghiệm : ü = y1∫ϕ1(x) dx +y2 ∫ϕ1(x) dx ⇒ nghiƯm tỉng quát (1.11) có dạng : y = y* + ü = c1y + c2y + y1∫ϕ1(x) dx +y2 ∫ϕ1(x) dx phơng pháp phơng pháp biến thiên hng số + Trong số trờng hợp đặc biệt vế phải ta không dùng phơng pháp biến thiên số để giải phơng trình Trờng hợp : Vế phải (1.11) : f(x) =Pn (x) ex , Pn (x) đa thức bậc n x,là số thực tuỳ ý (1.11) có dạng : Lờ Hu Hiu Sử dụng cơng cụ tốn học thiết lập phương trình cho tốn vật lý y’’ + py’ + qy = Pn (x) ex (1.13) Ta tìm nghiệm riêng cđa (1.13) díi d¹ng sau : y = Qn (x) ex (1.14) Qn (x) đa thức bËc víi Pn (x) thay (1.14) vµo (1.13) ta ®ỵc : Q '' n (x) +(2α + p ) Q ‘n (x) + (α2 + αp +q) Qn (x) = Pn (x) (1.15) Tõ ®ã ta thÊy r»ng , để (1.14) nghiệm (1.13) Qn (x) phải nghiệm (1.15) Từ (1.13) ta có phơng trình đặc trng : k2 +pk + q = (1.16) Giả sử k1, k2 nghiệm (1.16) có khả sau sảy *) nÕu α kh«ng trïng víi nghiƯm cđa (1.16) tøc lµ α ≠ k1 , α ≠ k2 , hàm số Qn (x) vế trá (1.14) khác không nên bậc đa thức vế trái cđa (1.15) cïng bËc víi ®a thøc Pn (x) ë vế phải Do ta tìm đợc nghiệm riêng cđa (1.13) cã d¹ng : y = Qn (x) eαx ( ®ã Qn (x) cïng bËc víi Pn (x) ) dùng phơng pháp hệ thức bất định xác định đợc Qn (x) tức tìm đợc y **) trùng với nghiệm đơn phơng trình (1.16) : =k1 k2 trờng hợp ta cã hƯ sè cđa Qn (x) ë vÕ tr¸i (1.14) không nên bậc đa thức vế trái n-1 Để vế trái có bậc đa thức bậc đa thức vế phải ta tìm nghiệm riêng (1.11) dới dạng : ỹ = xQn(x) eαx ®ã : Qn (x) cïng bËc víi Pn (x) , dùng phơng pháp hệ số bất định để xác định Qn (x) giống nh ta làm trªn Lê Hữu Hiếu Sử dụng cơng cụ tốn học thiết lập phương trình cho tốn vật lý ***) trùng với nghiệm kép phơng trình đặc trng tức : = k1 = k2 = -p/2 hệ số Qn (x) Q ' n (x) ë vÕ tr¸i cđa (1.15) b»ng không nên bậc đa thức vế trái n-2.Do ta tìm nghiệm riêng (1.13) dới dạng y =x2 Qn(x) ex sau làm theo cách *) Trờng hợp : f(x) = P1(x) eαx cos βx + P2(x) eαx sin βx Trong ®ã P1(x), P2(x) đa thức x: ,là số thùc ,β ≠ ( v× nÕu β = quay trở trờng hợp 1) phơng trình (1.11) có dạng y + py + qy = P1(x) eαx cos βx + P2(x) eαx sin βx (1.17) ta chứng minh đợc : *) Nếu + iβ ≠ k , α + iβ ≠ k nghiệm riêng (1.17) tìm dới d¹ng ü = Q1(x) eαx cos βx + Q2(x) eαx sin βx **) NÕu α + iβ ≠ k nghiệm riêng (1.17) dới dạng ỹ = x [ Q1(x) eαx cos βx + Q2(x) eαx sin βx ] hai trờng hợp Q1(x) , Q2(x) ®a thøc b»ng bËc cao nhÊt cđa c¸c ®a thøc P1(x) , P2(x) sau trùng phơng pháp hệ số bất định để xác định số Lờ Hu Hiu Sử dụng cơng cụ tốn học thiết lập phương trỡnh cho bi toỏn vt lý III I.2 Phơng trình đạo hàm riêng Một số ví dụ : a) Phơng trình hàm dây đàn hồi giao động ( phơng tr×nh sãng mét chiỊu ) ∂ 2u ∂ 2u = ; ∂x a ∂t a= T : vận tốc truyền sóng T : lực căng dây ; : mật độ dài b) Phơng trình khuếch t¸n : ∆u − ∂u =0 K ∂t NÕu u nhiệt độ k = K Đ ộ dÉn nhiƯt = c.ρ (tØ nhiƯt) x (mËt § é) 2u c.phơng trình sóng ba chiều: u = a t d.phơng trình Sichrodinger: - 2.2 tr ∂Ψ ∆ψ + V( x )Ψ = i 2m t phơng trình tách biến giải số phơng trình đạo hàm riêng Ta dùng phơng pháp tách biến để khử bớt hạng riêng để thu đợc phơng trình với biến a) Xét hai toán sáu: Sợi dây đàn håi dao ®éng Lê Hữu Hiếu Sử dụng cơng cụ tốn học thiết lập phương trình cho tốn vt lý Phơng trình: 2u = x a t (1.18) Đặt u(x,t) = X(x) T(t) Lấy đạo hàm hai lần thay vào (1.18) ta đợc : XT = X '' T '' = X’’T hay a2 X a2T Và vế trái phụ thuộc x, vế phải phụ thuộc t nên để hai vế chúng phải số, chng hạn - Tức lµ ta cã : Hay: X '' T '' = =-λ X a T x’’ + λx = (1.19) T’’ + a2λT = (1.20) Nh vËy , ta có hai phơng tình vi phân với biến số hơn, dễ giải tìm đợc X,T ta tìm đợc u b Phơng trình khuếch tán mặt phẳng Tìm phân bố nhiệt độ Phơng trình : 2u ∂ 2u  ∂u = a  +  ∂t ∂y   ∂x (1.21) Tríc hÕt ta tìm u(x,y,t) dạng : u(x,y,t) = V(x,y) T(t) Lê Hữu Hiếu 10 Sử dụng cơng cụ tốn học thiết lập phương trình cho tốn vật lý X(p) = c2 sin cl = sin cl = để có nghiệm không tầm thờng cl = k -> c = kπ (k = ± 1, ± ) ứng l kx k với trị riêng λ = λk =   th× (6) cã nghiƯm: Xk(x) = Aksin giải phl l ¬ng tr×nh (5): α2 + 2hα + 2a2 = Đặt T = et (5) có phơng trình đặc trng: 2  kπa    kπa   kπa  2  =   − h .i ⇒ ∆' = i   −h Ta cã: ∆' = h - λa = h -   l   l   l   2 ⇒ α = - h ± ∆' = - h ± qk i nªn nghiệm phơng trình (5) là: Tk(t) e-ht (c1cosqkt + c2 sin qkt)  kπa    −h  l  Víi qk = VËy nghiƯm cđa (1) thoả mÃn điều kiện biên (2): u(x, t) = ∞ ∑e − ht k =1 ∞ Tõ ®iỊu kiƯn ®Çu: u|t = = ∂u |t = = ∂t ∑a k =1 k (akcosqkt + bksin qkt) sin sin ∞ ∑(−ha k =1 k kπx = f ( x) l + bk q k ) sin kπx l (8) kπx = f ( x) (9) l NhËn thÊy ak lµ hƯ sè khai triĨn hµm f(x) thành chuỗi Fourier theo hàm sin khoảng (0, l) nªn: kπx dx ak = ∫ f ( x) sinh l l l l T¬ng tù (9) ta cã: ∫ (−ha k + bk q k ) sin (10) kπx kπx dx = ∫ f ( x ) sin dx l l l l kπx dx ⇒ (- hak + bkqk) = ∫ f ( x ) sin l l Lê Hữu Hiếu 48 Sử dụng cơng cụ tốn học thiết lập phương trình cho toán vật lý k + ⇒ bk = qk lq k l ∫ f ( x) sin Vậy nghiệm toán: u(x, t) = e -ht ∞ ∑(a k =1 k kπx dx l (11) cos q k t + bk sin q k t ) sin kx l ak, bk đợc xác định (10 (11) Dạng 2: Bài toán có điều kiện biên khác không Bài 4: Xác định dao động dÃy gắn chặt mút x = 0, mút x = l chuyển động theo quy lụat Asint, biết độ lệch vận tốc ban đầu không Giải: Gọi u(x, t) độ lệch điểm dây có hoành độ x thời điểm t u(x, t) thoả mÃn phơng trình dao ®éng: 0