BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN VĂN TÂN VỀ IĐÊAN XUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN Nghệ An - 2011 MỤC LỤC Trang bìa phụ Mục lục Mở đầu Thứ tự từ sở Gr¨ obner 1.1 Vành đa thức 1.2 Iđêan đơn thức 1.3 Thứ tự từ 1.4 Iđêan khởi đầu sở Gr¨obner 11 Iđêan xuyến 19 2.1 Đa tạp afin 19 2.2 Định nghĩa iđêan xuyến 25 2.3 Các tính chất iđêan xuyến 28 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 MỞ ĐẦU Cho = {ai1 , ai2 , , aid } ∈ Zd , i = 1, 2, , n với = (0, , 0) A = (a1 , a2 , , an ) tập Zd Với = (ai1 , ai2 , , ain ) ∈ A ta đồng với đơn thức tai = ta11i tadid vành đa thức Laurent −1 k[t±1 ] := k[t1 , , td , t−1 , , td ] Xét đồng cấu nửa nhóm π : Nn → Zd u = (u1 , , un ) → u1 a1 + + un an Ảnh π nửa nhóm S = {λ1 a1 + + λn an : λ1 , , λn ∈ N} Đồng cấu π xác định đồng cấu vành sau π : k[x] → k[t±1 ] xi → tai (i = 1, 2, n) Ký hiệu IA hạt nhân π Khi IA = ker(π) ⊂ k[x] gọi iđêan xuyến IA Iđêan nghiên cứu nhiều Hình học đại số Đại số giao hoán Hơn có liên quan chặt chẽ tới toán tổ hợp Chẳng hạn toán quy hoạch nguyên tuyến tính liên quan đến iđêan xuyến Mục đích Luận văn tìm hiểu nghiên cứu số tính chất iđêan xuyến, dựa vào [4] , Gr¨ obner bases and convex polytopes, University lecture series B Sturmfels Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, Luận văn gồm hai chương Chương Thứ tự từ sở Gr¨obner Trong chương này, trình bày số khái niệm kết vành đa thức, iđêan đơn thức, thứ tự từ, iđêan khởi đầu sở Gr¨obner, nhằm làm sở cho việc trình bày nội dung Luận văn Chương II nội dung Luận văn Trong chương này, trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất iđêan xuyến Luận văn thành hướng dẫn nhiệt tình, tận tâm cô giáo, TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo tổ Đại số bạn học viên khóa động viên hoàn thành luận văn Tác giả xin trân trọng tỏ lòng biết ơn tới tất thầy cô giáo khoa Toán, khoa Sau đại học Trường Đại học Vinh quan tâm giúp đỡ tác giả trình học tập việc hoàn thành luận văn sau Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Ban giám hiệu Trường Đại học Vinh, Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Sau đại học phòng ban liên quan tạo điều kiện thuận lợi thời gian tác giả học tập nghiên cứu trường Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn tránh khỏi thiếu sót, mong nhận đóng góp quý báu từ thầy, cô giáo bạn đồng nghiệp Nghệ An, tháng 12 năm 2011 Tác giả CHƯƠNG ¨ THỨ TỰ TỪ VÀ CƠ SỞ GROBNER Mục đích chương trình bày số kiến thức sở để phục vụ cho việc chứng minh kết chương sau Từ sau ta giả thiết k trường Ta ký hiệu N tập hợp số tự nhiên Z tập hợp số nguyên 1.1 Vành đa thức Cho k trường x1 , , xn (n ≥ 1) biến Ta gọi đơn thức biểu thức có dạng xa11 xann , (a1 , , an ) ∈ Nn gọi số mũ đơn thức Phép nhân tập đơn thức định nghĩa sau xa11 xann xb11 xbnn =xa11 +b1 xann +bn Từ biểu thức có dạng αxa11 xann α ∈ k gọi hệ số từ Thông thường phần tử k gọi phần tử vô hướng Hai từ khác không αxa11 xann βxa11 xann đồng dạng với Để cho tiện ta ký hiệu x = (x1 , , xn ) , a = (a1 , , an ) ∈ Nn xa = xa11 xann Đa thức n biến k tổng hình thức từ: αa xa , f (x) = a∈Nn có số hữu hạn hệ số αa = Từ αa xa với αa = gọi từ đa thức f(x) xa đơn thức f (x) Hai đa thức f (x) = αa x a a∈Nn g(x) = a∈Nn βa xa xem nhau, αa = βa với ∀a ∈ Nn Phép cộng đa thức định nghĩa sau: a∈Nn a∈Nn a∈Nn (αa + βa )xa βa xa ) = αa xa ) + ( ( Vì αa + βa = hai hệ số αa βa 0, nên biểu thức vế phải hữu hạn hệ số khác đa thức Ta đồng từ αxa với đa thức βb xb βa = α βb = b∈Nn với b = a Chú ý theo cách tất từ với hệ số đồng với đa thức có tất hệ số Đa thức đặc biệt gọi đa thức không, ta ký hiệu Đa thức đa thức tương ứng với từ α.1 Nếu α1 xa1 , ,αp xap tất từ f (x) xem f (x) tổng đa thức từ qua phép đồng vừa nêu: f (x) = α1 xa1 + + αp xap , (∗) (a1 , , ap ) ∈ Nn số mũ khác Hơn biễu diễn gọi biểu diễn tắc đa thức f (x) Phép nhân đa thức định nghĩa sau: ( αa xa ).( a∈Nn γa = a∈Nn βa xa ) = γa xa , a∈Nn αb βc Với hai phép toán cộng nhân đa thức nêu b,c∈Nn ; b+c=a ta kiểm tra tập tất đa thức lập thành vành giao hoán với phần tử đơn vị đơn thức = x0 Tập ký hiệu k[x1 , , xn ] hay k[x] 1.1.1 Định nghĩa Vành k[x1 , , xn ] xây dựng gọi vành đa thức n biến trường k 1.1.2 Chú ý i) Khi n = ta có vành đa thức biến thông thường Tuy nhiên đa thức biến x thường viết dạng f (x) = an xn + + a1 x + a0 (n ∈ N; a0 , , an ∈ k) ii) Việc định nghĩa đa thức tổng vô hạn hình thức thuận tiện việc giới thiệu định nghĩa phép toán, kiểm tra số tính chất phép toán Tuy nhiên, thực tế tính toán, biểu diễn thành tổng hữu hạn từ (∗) (với hệ số thuận tiện hơn, trực giác hơn) iii) Cho ≤ m ≤ n Bằng cách xem từ αxa11 xann k[x1 , , xn ] a m+1 xann vành k[x1 , , xm ], xem k[x1 , , xn ] từ (αxa11 xamm )xm+1 vành đa thức n − m biến xm+1 , , xn vành k[x1 , , xm ], tức k[x1 , , xn ] = k[x1 , , xm ][xm+1 , , xn ] Với quan điểm xây dựng vành nhiều biến từ vành biến theo quy nạp iv) Khi tập biến xác định, ta ký hiệu đa thức đơn giản f, g, thay cho f (x), g(x), αa xa số 1.1.3 Định nghĩa Bậc tổng thể đa thức f (x) = a∈Nn deg f (x) = max{a1 + + an | αa = 0} Đối với đa thức biến, bậc tổng thể bậc thông thường Đôi bậc đa trức nhiều biến gọi tắt bậc, hiểu lầm xảy 1.1.4 Chú ý i) Bậc tổng thể đa thức Bậc tổng thể đa thức quy ước số tùy ý ii) Nhiều ta dùng bậc đa thức tập biến, chẳng hạn {x1 , , xk }, định nghĩa sau: degx1 , ,xk f (x) = max{a1 + + ak | αa = 0}, k < n cố định Nói cách khác, bậc tổng thể f (x) xét vành đa thức vành k[xk+1 , , xn ][x1 , , xk ] 1.1.5 Mệnh đề Vành đa thức k[x1 , , xn ] miền nguyên 1.1.6 Mệnh đề Với đa thức f (x), g(x) ∈ k[x1 , , xn ] có deg(f (x)g(x)) = deg f (x) + deg g(x) deg(f (x) + g(x)) ≤ max{deg f (x), deg g(x)} Hơn nữa, ta có bất đẳng thức ngặt deg f (x) = deg g(x) fdeg f (x) = −gdeg g(x) 1.1.7 Định lí (Định lý Hilbert sở) Mọi iđêan vành đa thức k[x1 , , xn ] trường k hữu hạn sinh 1.1.8 Định nghĩa i) Cho f (x) ∈ k[x1 , , xn ], cho f (x) tổng tất từ có bậc tổng thể biểu diễn tắc f (x), f (x) gọi đa thức ii) I gọi iđêan k[x1 , , xn ] sinh đa thức 1.2 Iđêan đơn thức Nhắc lại x = (x1 , , xn ), a = (a1 , , an ) ∈ Nn xa = xa11 xann , k[x] = k[x1 , , xn ] 1.2.1 Định nghĩa Iđêan I ⊆ k[x] gọi iđêan đơn thức sinh đơn thức Như iđêan đơn thức có dạng I = (xa ; a ∈ A), A ⊆ Nn Chú ý định nghĩa không yêu cầu tập A hữu hạn 1.2.2 Bổ đề Cho I = (xa ; a ∈ A) iđêan đơn thức Đơn thức xb ∈ I xb chia hết cho đơn thức xa với a ∈ A 1.2.3 Bổ đề Cho I iđêan đơn thức f ∈ k[x] Các điều kiện sau tương đương: i) f ∈ I ; ii) Mọi từ f thuộc I ; iii) f tổ hợp tuyến tính k đơn thức thuộc I Như iđêan đơn thức xác định tập đơn thức 1.2.4 Hệ Hai iđêan đơn thức vành đơn thức chúng chứa tập đơn thức 1.2.5 Bổ đề Iđêan I iđêan đơn thức với f ∈ I , từ f thuộc I 1.2.6 Bổ đề (Bổ đề Dickson) Mọi iđêan đơn thức I = (xa ; a ∈ A) viết dạng I = (xa(1) , , xa(s) ), xa(1) , , xa(s) ∈ A Nói riêng I hữu hạn sinh Từ bổ đề suy iđêan đơn thức I có tập sinh tối tiểu gồm đơn thức Tập sinh gọi tập sinh đơn thức tối tiểu I Mỗi đơn thức tập sinh gọi đơn thức sinh I 1.3 Thứ tự từ 1.3.1 Định nghĩa Thứ tự từ ≤ thứ tự toàn phần tập M tất đơn thức k[x] thỏa mãn tính chất sau: i) Với m ∈ M, ≤ m; ii) Nếu m1 , m2 , m ∈ M mà m1 ≤ m2 mm1 ≤ mm2 10 Từ định nghĩa ta thấy vành đa thức biến có thứ tự từ Đó thứ tự từ xác định bậc đơn thức Dưới ta thấy có nhiều cách định nghĩa thứ tự từ số biến từ trở lên Trước hết ta có số tính chất chung thứ tự từ 1.3.2 Bổ đề Một thứ tự toàn phần ≤ M thứ tự tốt dãy đơn thức thực giảm m1 > m2 > m3 > dừng (sau hữu hạn phần tử) 1.3.3 Bổ đề Mọi thứ tự từ thứ tự tốt Ngược lại thứ tự tốt thứ tự từ Cho ≤ thứ tự từ Sau đổi số biến giả thiết x1 > x2 > > xn Sau số thứ tự từ quan trọng 1.3.4 Định nghĩa Thứ tự từ điển thứ tự ≤lex xác định sau: xα1 xαnn ≤lex xβ1 xβnn thành phần khác không kể từ bên trái véc tơ (α1 − β1 , , αn − βn ) số âm (nói cách khác, tồn ≤ i < n cho α1 = β1 , , αi = βi αi+1 < βi+1 ) Thứ tự từ điển tương tự cách xếp từ từ điển , có tên gọi 1.3.5 Định nghĩa Thứ tự từ điển phân bậc thứ tự ≤glex xác định sau: xα1 xαnn ui ≤ 0, tọa độ thứ i véc tơ u− −ui ui ≤ 0, ui ≥ Chẳng hạn, u = (2, −3, −4) u+ = (2, 0, 0) u− = (0, 3, 4), nghĩa (2, −3, −4) = (2, 0, 0) − (0, 3, 4) Khi u+ , u− ∈ Nn có giá không giao Để thuận tiện, đặt ker(π) = {u ∈ Zn | π(u) = 0} + − Rõ ràng u ∈ ker(π) nhị thức xu − xu ∈ IA 2.2.2 Ví dụ Cho A = {(3, 4, 5)} Xét đồng cấu nửa nhóm π : N3 → Z u = (u1 , u2 , u3 ) → 3u1 + 4u2 + 5u3 ker(π) = {(u1 , u2 , u3 ) ∈ Z3 | 3u1 + 4u2 + 5u3 = 0} Phương trình 3u1 + 4u2 + 5u3 = chọn nghiệm (3, −1, −1); (−1, 2, −1) ; (−2, −1, 2) Ta có (3, −1, −1) = (3, 0, 0) − (0, 1, 1); (−1, 2, −1) = (0, 2, 0) − (1, 0, 1); (−2, −1, 2) = (0, 0, 2) − (2, 1, 0) Có thể kiểm tra iđêan IA sinh ba nhị thức sau x3 − yz, y − xz, z − x2 y 27 Đa tạp afin V (IA ) có biểu diễn tham số đa thức sau   x = t3 y = t4  z = t5 2.2.3 Nhận xét i) IA hạt nhân π k -đại số k[S] vành k[t±1 ] sinh đơn thức tai , i = 1, 2, , n biểu diễn qua đồng cấu π k [S] = Imπ ta có k[S] ∼ = k[x]/IA ii) Vì k[S] vành vành đa thức k[t±1 ] nên k[S] miền nguyên Do đó, từ đẳng cấu trên, ta suy IA iđêan nguyên tố vành k[x] iii) Ký hiệu V đa tạp afin k n cho hệ tham số hóa xi = ua1i1 uadid , i = 1, , n; u1 , , ud ∈ k Khi đa thức IA rõ ràng bị triệt tiêu V Ngược lại đa thức triệt tiêu V phải nằm IA Do IA iđêan định nghĩa V 2.2.4 Định nghĩa Cho IA iđêan xuyến Khi đa tạp V (IA ) gọi đa tạp xuyến afin 2.2.5 Ví dụ i) Cho IA = x3 − y ⊆ C[x, y] iđêan xuyến Khi đa tạp afin V (IA ) có biểu diễn tham số đa thức sau x = t2 , y = t3 với A = {(2, 3)} ii) Cho IA = (xz − yw) ⊆ C[x, y, z, w] iđêan xuyến Đa tạp afin V (IA ) có biểu diễn tham số sau  x = t1    y = t2 , z = t3   t t w= 13 t 28 với A = {(1, 0, 0, 1); (0, 1, 0, 1); (0, 0, 1, −1)} 2.2.6 Mệnh đề Chiều Krull vành k[x]/IA dim(A) Chứng minh Vành k[x]/IA đẳng cấu với vành k[ta1 , , tan ] k[t±1 ] Chiều Krull vành số đơn thức độc lập đại số tai Nhưng tập đơn thức độc lập đại số véc tơ mũ độc lập tuyến tính 2.3 Các tính chất iđêan xuyến Một nhị thức vành đa thức n biến k[x] hiệu hai đơn thức Một iđêan vành đa thức k[x] gọi iđêan nhị thức có hệ sinh gồm nhị thức Dưới thấy iđêan xuyến IA iđêan nhị thức 2.3.1 Định lí Iđêan xuyến IA k -không gian véc tơ sinh tập nhị thức có dạng xu − xu với u, u ∈ Nn cho π(u) = π(u ) Chứng minh Rõ ràng nhị thức xu −xu ∈ IA π(u) = π(u ) Hơn nữa, đưa hết thừa số chung lớn m đơn thức ngoài, + − xu − xu = m(xv − xv ), v ∈ ker(π) Do cần chứng tỏ đa thức IA tổ hợp tuyến tính k nhị thức Cố định thứ tự từ ≺ k[x] Giả sử f ∈ IA không viết thành tổ hợp tuyến tính nhị thức Chọn số đa thức đa thức f cho in (f ) = xu bé có thứ tự từ ≺ Đương nhiên khai triển f (ta1 , , tan ) 29 ta phải Nói riêng, đơn thức tπ(u) = π(xu ) phải bị triệt tiêu đơn giản biểu thức khai triển Thế phải có từ khác chứa đơn thức xv xuất f với π(u) = π(v) Hơn nữa, xv ≺ xu theo định nghĩa từ khởi đầu Khi đa thức f := f − xu + xv lại phần tử thuộc IA không thuộc tổ hợp tuyến tính nhị thức kiểu Nhưng điều vô lý, in (f ) ≺ in (f ) Vì không tồn đa thức f Định lí chứng minh + − 2.3.2 Hệ IA iđêan sinh nhị thức có dạng xu − xu với u ∈ ker(π) Vì có tương ứng − phần tử u ∈ ker(π) với nhị thức IA Chứng minh Lấy f ∈ IA Khi theo Định lí 2.3.1, f tổ hợp tuyến tính nhị thức dạng xv − xv với π(v) = π(v ) Đặt wi = {vi , vi } ; i = 1, , n, v = (v1 , , ) v = (v1 , , ) Khi với u = v −v , + − u wn u ta có u ∈ ker(π) xv − xv = xw xn (x − x ) Như tập nhị thức + − có dạng xu − xu với u ∈ ker(π) sinh iđêan xuyến IA Còn tương ứng − phần tử ker(π) với nhị thức IA rõ ràng 2.3.3 Hệ Với thứ tự từ ≺ có tập hữu hạn véc tơ G≺ ⊂ ker(π) cho sở Gr¨obner rút gọn IA ≺ + − {xu − xu : u ∈ G≺ } Chứng minh Theo Định lí Hilbert sở chọn tập hữu hạn ker(π) cho nhị thức tương ứng phần tử sinh IA Áp dụng thuật toán Buchberger nhị thức Phép toán rút gọn định hình S -cặp bảo toàn cấu trúc nhị thức Một số đa thức xuất + − trình chạy thuật toán Buchberger nằm {xu −xu : u ∈ kerπ} 30 Thuật toán Buchberger iđêan xuyến trình tổ hợp véc tơ nguyên Xét liên kết véc tơ nguyên u nhị thức tương ứng + − xu − xu Đặc biệt, ta xét tập véc tơ G≺ sở Gr¨obner rút gọn IA ≺ Tập tính toán sau 2.3.4 Thuật toán (Tìm sở Gr¨obner iđêan xuyến) Cho n + d + biến t0 , t1 , , td , x1 , , xn Cho ≺ thứ tự từ với {ti } {xj } Tìm sở Gr¨obner rút gọn G iđêan − + − + t0 t1 td − 1, x1 ta1 − ta1 , , xn tan − tan Output: Tập G ∩ k[x] sở Gr¨obner rút gọn IA ≺ Thông thường điểm nguyên cho có tọa độ không âm Trong trường hợp biến t0 không cần thiết thay cho kết Hệ 2.3.3 ta sử dụng iđêan xi − tai : i = 1, , n Ta định nghĩa sở Gr¨obner phổ dụng UA hợp tất sở Gr¨obner rút gọn G≺ iđêan xuyến IA với ≺ chạy tất thứ tự từ Khi UA tập hợp gồm hữu hạn nhị thức Chúng ta đồng UA với tập hợp hữu hạn véc tơ ker(π) Mục đích mô tả sở − + Gr¨obner phổ dụng Nhị thức xu − xu IA gọi primitive + − + − + + không tồn nhị thức khác xv − xv ∈ IA cho xv chia hết xu xv − − chia hết xu 2.3.5 Bổ đề Mọi nhị thức xu − xu sở Gr¨ obner phổ dụng UA primitive + − Chứng minh Cho xu − xu nhị thức tùy ý sở Gr¨obner rút gọn G≺ , cho u+ + − u− Khi xu phần tử tối tiểu in≺ (IA ) xu 31 + − đơn thức chuẩn Giả sử xu − xu không primitive Chọn v ∈ ker(π) + + − − với v = u cho xv chia hết xu xv chia hết xu Nếu u+ u− + xu phần tử sinh tối tiểu in≺ (IA ), trái với giả thiết Nếu − u+ ≺ u− xu không chuẩn, trái với giả thiết Bổ đề chứng minh Chiều ngược lại bổ đề không Nhị thức primitive không xuất UA Chẳng hạn, với n = 3, d = 1, A = (1, 2, 4) x21 x2 − x3 nhị thức primitive IA không xuất UA = {x21 − x2 , x41 − x3 , x22 − x3 } Trong trường hợp tổng quát, tập nhị thức primitive xấp xỉ tốt với sở Gr¨obner phổ dụng 2.3.6 Định lí Cho dim(A) = d D(A) := max{| det(ai1 , , aid )| : ≤ i1 < < id ≤ n} Khi đó, bậc tổng thể nhị thức primitive IA nhỏ (d + 1) (n − d)D(A) Theo giả thiết định lý ma trận A có hạng lớn d Nếu giả thiết không xóa số hàng từ A = (aij ) Để chứng minh Định lý 2.3.6 cần giới thiệu tập đánh dấu phần tử primitive Một véc tơ khác không u ker(π) gọi circuit giá supp(u) tối thiểu theo quan hệ bao hàm tọa độ u đôi nguyên tố nguyên tố Một cách tương đương, + − circuit nhị thức bất khả quy xu − xu IA với giá cực tiểu Do dễ thấy circuit primitive 2.3.7 Bổ đề Nếu u circuit ker(π) supp(u) có nhiều d + phần tử Chứng minh Giả sử u ∈ ker(π ) với r ≥ d + tọa độ khác không Cho B ma trận cỡ d × r A đưa vào số cột Hạt nhân B 32 chiều hiển nhiên chứa véc tơ khác không v với tọa độ khác không Mở rộng v tới véc tơ khác không v ∈ ker(π) cách thêm vào n − r tọa độ khác Khi supp(v) tập thực supp(u), u circuit Điều supp(u) có nhiều d + phần tử 2.3.8 Bổ đề Nếu u = (u1 , , un ) circuit ker(π) |ui | ≤ D(A) với i Chứng minh Giả sử supp(u) = {i1 , , ir } Xét ma trận (ai1 , , air ) cỡ d × r có hạng r − 1, lý luận tương tự chứng minh bổ đề Do A có hạng d nên ta tìm thấy véc tơ cột air+1 , , aid+1 cho ma trận cỡ d × r B = (ai1 , , air , air+1 , , aid+1 ) có hạng d Gọi ei véc tơ đơn vị thứ i Zd Áp dụng quy tắc Cramer ta thấy hạt nhân B sinh véc tơ d+1 (−1)j det(ai1 , , air , air+1 , , aid+1 ).eij (3) j=1 Sự hạn chế u tới {i1 , , id+1 } nằm hạt nhân B bội số hữu tỉ (3) Từ (3) véc tơ nguyên, u circuit, ta kết luận (3) bội nguyên u Cho u, v ∈ Zn Ta nói u bảo giác (conformal) tới v supp (u+ ) ⊂ supp (v + ) supp (u− ) ⊂ supp (v − ) 2.3.9 Bổ đề Mọi véc tơ v ker(π) viết tổ hợp tuyến tính không âm n − d circuit bảo giác tới v 33 Chứng minh Cố định d dùng phương pháp quy nạp theo n Nếu n ≤ d + khẳng định Do giả sử n ≥ d + , lấy v không circuit ker(π) Ta giả thiết supp(v) = {1, , n}, ta xóa cột thừa A áp dụng giả thiết quy nạp để viết v tổ hợp tuyến tính bảo giác hữu tỷ card(supp(v)) − d ≤ n − d circuit Cho u = (u1 , , un ) circuit cho u1 v1 > Gọi λ số nhỏ tất tọa độ dương hữu tỷ vi /ui xuất Khi v − λu bảo giác tới v có tọa độ thứ i Theo giả thiết quy nạp, véc tơ v − λu viết tổ hợp tuyến tính bảo giác hữu tỷ n − d − ciricuit Đồng v = λu + (v − λu) cho ta điều phải chứng minh Chứng minh Định lí 2.3.6 Lấy v véc tơ primitive ker(π) Nếu v ciricuit, áp dụng Bổ đề 2.3.8 Nếu không áp dụng Bổ đề 2.3.9 ciricuit u1 , , un−d , mà ui bảo giác tới v , số hữu tỉ không âm λ1 , , λn−d cho v = λ1 u1 + + λn−d un−d (4) Thật vậy, ui bảo giác tới v nghĩa + v + = λ1 u+ + + λn−d un−d − v − = λ1 u− + + λn−d un−d Khi λi nhỏ 1, ngược lại v không primitive Chúng + − ta giả thiết bậc tổng thể nhị thức xv − xv v + , tổng tọa độ dương v + Áp dụng quy tắc bất đẳng thức cho phần dương 34 (4), ta có n−d v + λj u+ j ≤ j=1 < (n − d).(max{ u+ j : j = 1, , n − d ≤ (n − d)(d + 1)D(A) (5) (vì u+ j ≤ (d + 1)D(A)) Vậy bậc tổng thể nhị thức primitive IA nhỏ (d + 1)(n − d)D(A) Tập circuit IA ký hiệu CA Một phương pháp tính toán CA công thức định thức Cramer (3) với tất (d + 1)-tập {i1 , , id+1 } {1, , n} Tập nhị thức primitve gọi sở Graver A ký hiệu GrA 2.3.10 Mệnh đề Với tập hữu hạn A ⊂ Zd ta có CA ⊆ UA ⊆ GrA Chứng minh Bao hàm thức UA ⊆ GrA suy từ Bổ đề 2.3.7 Để chứng minh bao hàm thức UA ⊇ GrA ta chứng minh circuit nằm sở Gr¨obner rút gọn Giả sử u ∈ ker(π) ciricuit Cố định thứ tự từ ≺ cho {xi : i ∈ / supp (u)} + xu − {xj : j ∈ / supp (u)} , + − xu Cần khẳng định xu − xu xuất sở Gr¨obner rút gọn G≺ IA Giả sử ngược lại, tồn v ∈ ker(π)\{0, u} cho xv + − + + xv xv chia hết xu Chọn thứ tự từ bao hàm thức supp(u+ ) ⊆ supp(u) kéo theo supp(v + ) ⊆ supp(u), supp(v) ⊆ supp(u) Từ u + + circuit ta suy v bội nguyên u Mặt khác xv chia hết xu Vậy u = v 35 2.3.11 Ví dụ Nếu n = 3, d = số nguyên A = {i, j, k} ⊂ N3 đôi nguyên tố CA = {xj1 − xi2 , xk1 − xi3 , xk2 − xj3 } Chúng ta xem trường hợp sau: - Nếu A = {1, 2, 3} UA = GrA = CA ∪ {x3 − x1 x2 , x1 x3 − x22 } - Nếu A = {1, 2, 4} UA = CA GrA \UA = {x3 − x21 x2 } - Nếu A = {1, 2, 5} UA \CA = {x3 − x1 x22 , x1 x3 − x32 } GrA \UA = {x3 − x31 x2 } 2.3.12 Mệnh đề Cho B tập A đặt k[B] := k[xi : ∈ B] i) Iđêan xuyến B IB = IA ∩ k[B]; ii) Các circuit B CB = CA ∩ k[B]; iii) Cơ sở Gr¨obner phổ dụng B UB = UA ∩ k[B]; iv) Cơ sở Graver GrB = GrA ∩ k[B] Một đặc điểm điển hình nhiều tập A xảy trình áp dụng tính toán iđêan xuyến IA chúng “Thuần nhất” xét với tổng số bậc số hạng cho mà deg (x1 ) = = deg (xn ) = Nếu IA đa tạp afin V (IA ) không gian xạ ảnh P n−1 đa tạp xuyến xạ ảnh Chiều dim(A) − (theo Mệnh đề 2.2.6) Điều quan trọng thứ hai tính bất biến đa tạp xạ ảnh bậc Ta xác định bậc đa tạp xạ ảnh V (A) 2.3.13 Bổ đề Iđêan IA tồn ω ∈ Qd cho ω = 1, với i = 1, , n + − Chứng minh Một nhị thức xu − xu véc tơ u = u+ − u− có tổng tọa độ Theo Hệ 3.3.2, IA tất véc tơ u ∈ ker(π) có tổng tọa độ Điều (1, 1, , 1) nằm không gian ker (π)⊥ = image(π T ) = image(ω → a1 ω, , an ω) Rn 36 Ta ý trường hợp cận bậc Định lý 2.3.6 thay thừa số 2.3.14 Mệnh đề Cho A Bổ đề 2.3.13 Khi bậc tổng thể nhị thức primitive iđêan xuyến IA nhỏ (d + 1)(n − d)D(A) Chứng minh Trong thường hợp nhất, circuit uj thỏa mãn u+ j = ≤ 12 (d + 1)D(A), theo Bổ đề 2.3.7, Bổ đề 2.3.8 Do sử dụng bất đẳng thức (5) chứng mịnh Định lý 2.3.6 ta có điều cần phải chứng u− j minh KẾT LUẬN Trong luận văn này, dựa vào tài liệu tham khảo [4], trình bày khái niệm số tính chất iđêan xuyến, lớp iđêan nghiên cứu nhiều Hình học đại số Đại số giao hoán liên quan đến nhiều toán tổ hợp Cụ thể trình bày vấn đề sau: Thứ tự từ sở Gr¨obner để làm sở cho việc trình bày nội dung luận văn Định nghĩa khái niệm iđêan xuyến ví dụ iđêan xuyến Một số tính chất iđêan xuyến Thuật toán tìm sở Gr¨obner iđêan xuyến TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Thị Giang (2010), Chiều đa tạp afin, Luận văn thạc sĩ toán học, Trường Đại học Vinh [2] Lê Tuấn Hoa (2003), Đại số máy tính Cơ sở Gr¨ obner, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội Tiếng Anh [3] M F Atiyah and I G Macdonal (1969), Introdution to commutative Algebra, Addison – Wesley, Reading, Masachusetts [4] B Sturmfels (1995), Gr¨ obner bases and convex polytopes, University lecture series, N0 8, Am Math Soc., Providence [...]... khi các véc tơ mũ của nó là độc lập tuyến tính 2.3 Các tính chất của iđêan xuyến Một nhị thức trong vành đa thức n biến k[x] là một hiệu của hai đơn thức Một iđêan trong vành đa thức k[x] được gọi là iđêan nhị thức nếu nó có một hệ sinh gồm những nhị thức Dưới đây chúng ta thấy rằng iđêan xuyến IA là iđêan nhị thức 2.3.1 Định lí Iđêan xuyến IA là k -không gian véc tơ sinh bởi tập các nhị thức có dạng... là một iđêan nguyên tố của R Chặn trên của độ dài tất cả các xích nguyên tố với pn = p được gọi là độ cao của p, ký hiệu là ht(p) ht(p) = sup{độ dài xích nguyên tố với pn = p} ii) Chặn trên của độ dài tất cả các xích nguyên tố trong R được gọi là chiều Krull của vành R (còn gọi là chiều của R), ký hiệu bởi dimR Vậy dimR = sup{ht(p)| p ∈ specR} 25 2.2 Định nghĩa iđêan xuyến Iđêan xuyến là lớp iđêan. .. cho các nhị thức tương ứng là các phần tử sinh của IA Áp dụng thuật toán Buchberger đối với các nhị thức này Phép toán rút gọn và định hình S -cặp bảo toàn cấu trúc nhị thức Một số đa thức mới xuất hiện + − trong quá trình chạy thuật toán Buchberger nằm trong {xu −xu : u ∈ kerπ} như đã chỉ ra 30 Thuật toán Buchberger đối với iđêan xuyến chỉ là quá trình tổ hợp các véc tơ nguyên Xét sự liên kết giữa... dimR = sup{ht(p)| p ∈ specR} 25 2.2 Định nghĩa iđêan xuyến Iđêan xuyến là lớp iđêan được nghiên cứu nhiều trong Hình học đại số và Đại số giao hoán Hơn thế nữa nó còn liên quan chặt chẽ tới các bài toán tổ hợp Trong tiết này, chúng tôi trình bày về khái niệm và một số ví dụ của iđêan xuyến Cho ai = (ai1 , ai2 , , aid ) ∈ Zd , với i = 1, 2, , n; ai = (0, , 0) và A = {a1 , a2 , , an } là một tập con... một iđêan nguyên tố của vành k[x] iii) Ký hiệu V là đa tạp afin trong k n cho bởi hệ tham số hóa bởi xi = ua1i1 uadid , i = 1, , n; u1 , , ud ∈ k Khi đó mỗi đa thức trong IA rõ ràng bị triệt tiêu trên V Ngược lại mỗi đa thức triệt tiêu trên V cũng phải nằm trong IA Do đó IA chính là iđêan định nghĩa của V 2.2.4 Định nghĩa Cho IA là một iđêan xuyến Khi đó đa tạp V (IA ) được gọi là đa tạp xuyến. .. nghĩa Giả sử V là một tập con của k n (V không nhất thiết là đa tạp afin) Ký hiệu I (V ) = {f ∈ k[x1 , , xn ]| f (α) = 0, ∀α ∈ V } Khi đó I(V ) là một iđêan của k [x1 , , xn ] Iđêan I(V ) gọi là iđêan định nghĩa của V hay iđêan xác định bởi V I(V ) là iđêan lớn nhất (theo quan hệ bao hàm) của k [x1 , , xn ] triệt tiêu trên V 23 2.1.10 Ví dụ 1) Nếu V là tập rỗng thì I (V ) = k [x1 , , xn ] vì tập rỗng... = −in(g) 1.4.3 Định nghĩa Cho I là iđêan của R và ≤ là một thứ tự từ Iđêan khởi đầu của I , ký hiệu là in≤ (I), là iđêan của R sinh bởi các từ đầu của các phần tử của I , nghĩa là in≤ (I) = (in≤ (f ) | f ∈ I) Cũng như trên, ta sẽ viết in(I) thay vì in≤ (I) nếu ≤ đã rõ Rõ ràng ta có in(I) = (lm(f )| f ∈ I), nên in(I) là iđêan đơn thức Một số tính chất cơ bản của iđêan khởi đầu thể hiện trong bổ đề... biệt, ta xét tập các véc tơ G≺ như là cơ sở Gr¨obner rút gọn của IA đối với ≺ Tập này có thể được tính toán như sau 2.3.4 Thuật toán (Tìm một cơ sở Gr¨obner của iđêan xuyến) 1 Cho n + d + 1 biến t0 , t1 , , td , x1 , , xn Cho ≺ là thứ tự từ với {ti } {xj } 2 Tìm cơ sở Gr¨obner rút gọn G đối với iđêan − + − + t0 t1 td − 1, x1 ta1 − ta1 , , xn tan − tan 3 Output: Tập G ∩ k[x] là cơ sở Gr¨obner rút... Mệnh đề Cho B là tập con của A và đặt k[B] := k[xi : ai ∈ B] thì i) Iđêan xuyến của B là IB = IA ∩ k[B]; ii) Các circuit của B là CB = CA ∩ k[B]; iii) Cơ sở Gr¨obner phổ dụng của B là UB = UA ∩ k[B]; iv) Cơ sở Graver của là GrB = GrA ∩ k[B] Một đặc điểm điển hình của nhiều tập A xảy ra trong quá trình áp dụng tính toán là những iđêan xuyến IA của chúng là thuần nhất “Thuần nhất” chỉ xét với tổng số bậc... tơ R/I trên trường k Vấn đề đặt ra là làm thế nào để xác định được iđêan khởi đầu in(I) của iđêan I cho trước Cách tốt nhất là tìm một hệ sinh tối tiểu của nó Ta có mọi iđêan đơn thức đều có một tập sinh đơn thức tối tiểu và tập đó hữu hạn Do đó ta có khái niệm quan trọng sau đây 1.4.7 Định nghĩa Cho ≤ là một thứ tự từ và I là một iđêan của R Tập hữu hạn các đa thức khác không g1 , , gs ∈ I được gọi ... làm sở cho việc trình bày nội dung luận văn Định nghĩa khái niệm iđêan xuyến ví dụ iđêan xuyến Một số tính chất iđêan xuyến Thuật toán tìm sở Gr¨obner iđêan xuyến TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt... Định nghĩa iđêan xuyến Iđêan xuyến lớp iđêan nghiên cứu nhiều Hình học đại số Đại số giao hoán Hơn liên quan chặt chẽ tới toán tổ hợp Trong tiết này, trình bày khái niệm số ví dụ iđêan xuyến Cho... k[x] gọi iđêan xuyến IA Iđêan nghiên cứu nhiều Hình học đại số Đại số giao hoán Hơn có liên quan chặt chẽ tới toán tổ hợp Chẳng hạn toán quy hoạch nguyên tuyến tính liên quan đến iđêan xuyến Mục