1 MỤC LỤC Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập lồi, bao lồi 1.2 Độ phức tạp thuật toán 1.3 Xác định độ phức tạp tính toán thuật toán 10 1.4 Khái niệm thuật toán song song 13 1.5 Tam giác phân Delaunay 13 Thuật toán tìm tam giác phân Delaunay 16 2.1 Thuật toán tổng quát tìm Delaunay tessellation không gian m-chiều 16 2.2 Thuật toán tìm tam giác phân Delaunay R2 17 2.3 Thuật toán song song tìm tam giác phân Delaunay 21 Tài liệu tham khảo 27 MỞ ĐẦU Bài toán xây dựng lưới tam giác toán hình học tính toán sử dụng nhiều lĩnh vực thông tin địa (GIS), phần tử hữu hạn, đồ hoạ máy tính đa phương tiện Năm 1934, nhà toán học người Nga, B Delaunay (1890-1980) đưa toán xây dựng lưới tam giác Delaunay (Xem [3]) Vì ứng dụng to lớn lưới tam giác Delaunay lĩnh vực nói nên nhiều nhà toán học nghiên cứu đưa thuật toán xây dựng lưới tam giác Delaunay Điển hình công trình Dwyer với thuật toán chia để trị, thuật toán quét (Sweep line) Fortune (1987), thuật toán tăng dần (Incremental) Preparata Shamos (1985) (Xem [4]) Với thuật toán xây dựng lưới tam giác Delaunay từ tập điểm cho, độ phức tạp thời gian chúng lớn Do vậy, số nhà toán học tìm thuật toán song song nhằm mang lại hiệu cao đáp ứng với yêu cầu sống đại : xử lý vấn đề tốc độ cao số lượng lớn Cũng xuất phát từ yêu cầu đó, luận văn cố gắng đưa thuật toán song song để xây dựng lưới tam giác Delaunay Chiến lược song song luận văn phân chia liệu nhập thành k phần (có kích thước gần nhau) để xử lý đồng thời Kết cuối tổng cộng k phần vừa tìm Luận văn gồm chương : Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày số kiến thức làm sở cho luận văn, bao gồm : • Định nghĩa số tính chất tập lồi, bao lồi • Khái niệm độ phức tạp cách tính độ phức tạp • Khái niệm thuật toán song song • Định nghĩa tam giác phân Delaunay, tính chất ví dụ • Mối quan hệ tam giác phân Delaunay (trong mặt phẳng) bao lồi tập hữu hạn điểm không gian chiều Chương Thuật toán song song tìm tam giác phân Delaunay Đây chương thể kết luận văn, bao gồm vấn đề : • Nêu toán luận văn • Trình bày thuật toán tổng quát tìm tam giác phân Delaunay không gian m-chiều Rm • Trình bày thuật toán tìm tam giác phân Delaunay R2 • Trình bày thuật toán song song tìm tam giác phân Delaunay R2 • Các kết tính toán thực thi chương trình tìm tam giác phân Delaunay cách sử dụng thuật toán song song so sánh với thuật toán Luận văn hoàn thành Đại học Vinh hướng dẫn PGS.TS.Phan Thành An Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy - người đặt vấn đề hướng dẫn tác giả Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Hữu Quang, PGS.TS Nguyễn Ngọc Bội, TS Nguyễn Duy Bình người quan tâm giảng dạy động viên tác giả trình học tập làm luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn GS, PGS, TS khoa Sau đại học Đại học Vinh, Viện toán học, người tham gia quản lý, giảng dạy giúp đỡ hướng dẫn tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả gửi lời cảm ơn tới tập thể K16 Hình học - Tôpô, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp giúp đỡ động viên tác giả trình hoàn thành luận văn Vinh, tháng 12 năm 2010 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong luận văn giả thiết phép chiếu lên paraboloid z = x21 + x22 + + x2m phép chiếu xuống không gian m-chiều Rm phép chiếu song song với trục Oz dùng số kí hiệu : P = {p1 , p2 , , pn } : tập n vị trí không gian m-chiều Rm , pi = (xi1 , xi2 , , xim ), i = 1, 2, , n P = {p1 , p2 , , pn } : tập hình chiếu tương ứng pi lên paraboloid z = x21 + x22 + + x2m Rm+1 , pi = (xi1 , xi2 , , xim , x2i1 + x2i2 + + x2im ), i = 1, 2, , n D(P ) : phép tam giác phân Delaunay tập P CH(P ), LF (P ) : bao lồi bao lồi P 1.1 Tập lồi, bao lồi 1.1.1 Định nghĩa (Xem [7]) Một tập A ⊂ Rn gọi tập lồi ∀x1 , x2 ∈ A [x1 , x2 ] = {λx1 + (1 − λ)x2 : ≤ λ ≤ 1} ⊂ A 1.1.2 Định nghĩa (Xem [7]) Một tổ hợp lồi x1 , x2 , , xn ∈ Rn tổng có dạng λ1 x1 + λ2 x2 + + λk xk + λk+1 xk+1 , với ∀λi ≥ 0, (i = 1, 2, , k + 1) cho k+1 i=1 λi = 1.1.3 Mệnh đề Cho A ⊂ Rn tập lồi, x1 , x2 , , xn ∈ A Khi ∀λi ≥ 0, n i=1 λi = n i=1 λi xi ∈ A Chứng minh Ta chứng minh phương pháp qui nạp theo m Nếu m = 2, với λ1 , λ2 ≥ 0, λ1 + λ2 = 1; x1 , x2 ∈ A Theo định nghĩa ta có λ1 x1 + λ2 x2 ∈ A Giả sử mệnh đề với m = k, ∀k ≥ 2, ta cần chứng minh mệnh đề với m = k + 1, nghĩa ∀x1 , x2 , , xk+1 ∈ A, ∀λi ≥ 0, (i = 1, 2, , k + 1), k+1 i=1 λi = x := λ1 x1 + λ2 x2 + + λk xk + λk+1 xk+1 ∈ A Không tính tổng quát, ta giả sử ≤ λk+1 < 0, (vì λk+1 = λ1 = λ2 = = λk = 0, suy ta có x ∈ A) Khi : − λk+1 = λ1 + λ2 + + λk > λi λk+1 k+1 λi λ1 λk i=1 1−λk+1 1−λk+1 + + 1−λk+1 = k+1 λi i=1 1−λk+1 nên theo giả thiết ta có y > 0, i = 1, 2, , k Suy = Vậy = k+1 λi i=1 1−λk+1 xi ∈ A Với điểm y ∈ A xk+1 ∈ A, ta có − λk+1 > 0, kết hợp với (1 − λk+1 ) + λk+1 = Do x = (1 − λk+1 )y + λk+1 xk+1 ∈ A 1.1.4 Định nghĩa (Xem [7]) Cho tập A không gian Rn , giao tất tập lồi chứa A gọi bao lồi A, kí hiệu convA 1.1.5 Nhận xét (Xem [7]) (i) convA tập lồi nhỏ chứa A (ii) A tập lồi ⇐⇒ A = convA 1.1.6 Mệnh đề ConvA tập tất tổ hợp lồi A 1.1.7 Định nghĩa Trong R3 cho mặt phẳng α có phương trình : ax + by + cz + d = điểm M (x0 , y0 , z0 ) Gọi M (x0 , y0 , m) điểm thuộc mặt phẳng α Khi ta nói : - Điểm M thuộc mặt phẳng α z0 = m - Điểm M nằm phía mặt phẳng α z0 > m - Điểm M nằm phía mặt phẳng α z0 < m 1.1.8 Nhận xét Gọi nα (a, b, c) vectơ pháp tuyến mặt phẳng α c < Khi M (x0 , y0 , z0 ) nằm phía (hoặc thuộc) mặt phẳng α −−−→ nα M M ≤ −−−→ −−−→ Chứng minh Ta có M M (0, 0, z0 − m) =⇒ nα M M = c(z0 − m) Do ta có : −−−→ nα M M ≤ ⇐⇒ c(z0 − m) ≤ ⇐⇒ z0 ≤ m Vây, theo định nghĩa 1.1.7 ta có điều phải chứng minh 1.1.9 Định nghĩa Trong không gian n chiều Rn cho siêu phẳng α có phương trình a1 x1 +a2 x2 + +an xn +a0 = điểm M (x1m , x2m , , xnm ) Gọi M (x1m , x2m , , x(n−1)m , b) điểm thuộc siêu phẳng Khi ta nói : - Điểm M thuộc siêu phẳng α xnm = b - Điểm M nằm phía siêu phẳng α xnm > b - Điểm M nằm phía mặt phẳng α xnm < b 1.1.10 Định nghĩa (Xem [4]-tr260) Trong không gian m chiều Rm cho tập P = {p1 , p2 , pn } , pi = (xi1 , xi2 , , xim ), i = 1, 2, , n Gọi P = {p1 , p2 , pn } tập hình chiếu tập P lên paraboloid z = x21 +x22 + +x2m , pi = (xi1 , xi2 , , xim , x2i1 + x2i2 + + x2im ) gọi CH(P ) bao lồi P không gian Rm+1 Giả sử α siêu mặt m-chiều CH(P ) qua điểm p1 , p2 , , pm+1 Khi đó, siêu mặt m-chiều α gọi mặt m-chiều CH(P ) qua nằm phía điểm P Tập tất mặt m-chiều CH(P ) gọi bao lồi CH(P ), kí hiệu LF (P ) 1.2 Độ phức tạp thuật toán Độ phức tạp thuật toán thước đo để so sánh tính hiệu thuật toán Một thước đo hiệu thời gian máy tính sử dụng để giải toán theo thật toán xét, giá trị đầu vào có kích thước xác định Một thước đo thứ hai kích thước nhớ đòi hỏi thực thuật toán giá trị đầu vào có kích thước cho trước Gắn liền với thời gian tính toán độ phức tạp thời gian nhớ độ phức tạp không gian Xác định độ phức tạp thời gian thuật toán quan trọng Vì ta biết thời gian tính toán phút, năm hay tỉ năm để thực thuật toán Độ phức tạp không gian đòi hỏi thuật toán cho ta biết bước chuẩn bị thấy khả đáp ứng việc tính toán thuật toán Trong luận văn này, không nghiên cứu sở liệu nên ta bỏ qua độ phức tạp không gian, nghiên cứu độ phức tạp thời gian Để xác định độ phức tạp thuật toán ta xét hàm thực f : N −→ R xác định tập số nguyên dương tập giá trị dương làm công cụ đo Nghĩa tồn số tự nhiên n0 cho với n ≥ n0 f (n) > Kí hiệu F tập hợp hàm 1.2.1 Định nghĩa Cho hàm số g(n) ∈ F, ta định nghĩa O(g(n)) tập hợp hàm f (n) ∈ F có tính chất : Tồn số dương c số tự nhiên n0 cho với n ≥ n0 f (n) ≤ c.g(n) Nếu f (n) ∈ O(g(n)) ta nói f (n) Ô lớn g(n) 1.2.2 Tính chất Nếu f1 (n) ∈ O(g1 (n)) f2 (n) ∈ O(g2 (n)) f1 (n) + f2 (n) ∈ O(g1 (n) + g2 (n)) Chứng minh Giả sử với n ≥ n1 , f1 (n) ≤ c1 g1 (n), với n ≥ n2 , f1 (n) ≤ c2 g2 (n) Ta đặt n0 = max(n1 , n2 ) c0 = max(c1 , c2 ) Khi với n ≥ n0 ta có: f1 (n) + f2 (n) ≤ c1 g1 (n) + c2 g2 (n) ≤ c0 (g1 (n) + g2 (n)) Vậy f1 (n) + f2 (n) ∈ O(g1 (n) + g2 (n)) 1.2.3 Tính chất Nếu f1 (n) ∈ O(g1 (n))và f1 (n) ∈ O(g2 (n)) f1 (n) + f2 (n) ∈ O(max {g1 (n), g2 (n)}) Chứng minh Giả sử với n ≥ n1 , f1 (n) ≤ c1 g1 (n), với n ≥ n2 , f1 (n) ≤ c2 g2 (n) Ta đặt n0 = max(n1 , n2 ) c0 = c1 + c2 Khi với n ≥ n0 ta có: f1 (n) + f2 (n) ≤ c1 g1 (n) + c2 g2 (n) ≤ (c1 + c2 )(max(g1 (n), g2 (n)) Vậy f1 (n) + f2 (n) ∈ O(max {g1 (n), g2 (n)}) 1.2.4 Tính chất Nếu f1 (n) ∈ O(g1 (n))và f1 (n) ∈ O(g2 (n)) f1 (n).f2 (n) ∈ O(g1 (n).g2 (n)) Chứng minh Giả sử với n ≥ n1 , f1 (n) ≤ c1 g1 (n), với n ≥ n2 , f2 (n) ≤ c2 g2 (n) Ta đặt n0 = max(n1 , n2 ) c0 = c1 c2 Khi với n ≥ n0 ta có: f1 (n).f2 (n) ≤ c1 g1 (n).c2 g2 (n) ≤ c0 (g1 (n).g2 (n)) Vậy f1 (n).f2 (n) ∈ O(g1 (n).g2 (n)) 1.2.5 Tính chất Cho P (n) = ak nk + ak−1 nk−1 + + a1 n + a0 đa thức bậc k ak > Khi : P (n) ∈ O(nk ) Chứng minh Ta có: P (n) = ak nk + ak−1 nk−1 + + a1 n + a0 ≤ ak nk + |ak−1 |nk−1 + + |a1 |n + |a0 | ≤ |ak |nk + |ak−1 |nk + + |a1 |nk + |a0 |nk = (|ak | + |ak−1 | + + |a0 |)nk 10 Nếu c = |ak | + |ak−1 | + + |a0 |thì P (n) ≤ c.nk với n ≥ n0 = Vậy P (n) ∈ O(nk ) 1.3 Xác định độ phức tạp tính toán thuật toán Ta sử dụng T khối mã cho độ phức tạp tính toán toán tử riêng cho đoạn mã chương trình Khi đoạn mã chương trình tách biệt rõ ràng ta kí hiệu T (n) độ phức tạp tính toán hàm biến số n, với n số phép toán sở Độ phức tạp tính toán đo hàm O( ) Vậy, xác định độ phức tạp tính toán tức xác định hàm T (n) ∈ O(g(n)) cho đoạn mã chương trình Các phép toán dùng để đo độ phức tạp thời gian phép so sánh số nguyên, phép cộng, trừ, nhân chia phép toán sơ cấp khác Chúng ta nhắc lại khái niệm toán tử sở phép cộng, trừ, nhân, chia hàm lượng giác , hàm mũ, hàm logarit phép toán sơ cấp khác Độ phức tạp toán tử sở O(1) Tuy nhiên, thực tính toán với số lớn phép nhân phép lấy hàm không toán tử sở Vì phép nhân số lớn phép lấy hàm thực tính toán dãy Độ phức tạp thời gian dãy liên tiếp phép tính xác định độ phức tạp cao chúng Tức là, giả sử toán tử s1 có độ phức tạp F1 toán tử s2 có độ phức tạp F2 Khi đó: T (s1 ∈ O(F1 )), T (s2 ∈ O(F2 )) ⇒ T (s1 , s2 ) ∈ max {O(F1 ), O(F2 )} Để dễ dàng cho việc phân tích thuật toán ta kết hợp kí hiệu đo độ phức tạp phân tích trường hợp xấu để biết thời gian thực thuật toán bao nhiêu? Người ta định độ phức tạp 13 1.4 Khái niệm thuật toán song song Phát triển thuật toán phần quan trọng việc giả vấn đề sử dụng máy tính Một thuật toán phương pháp thực hay chuỗi bước để giải vấn đề đặt cách sử dụng máy tính Tương tự thuật toán song song phương pháp giải vấn đề dựa việc sử dụng nhiều xử lý Tuy nhiên để thuật toán song song không đơn giản bước cụ thể Mà mức độ đó, thuật toán song song phải thêm vào tính đồng thời người thiết kế thuật toán phải tập hợp bước xử lý đồng thời Điều nhằm tận dụng khả tính toán máy tính song song Trong thực tế việc thiết kế thuật toán song song phức tạp, bao gồm vài hay tất điều sau đây: 1.Chỉ phần công việc thực thi đồng thời 2.Ánh xạ phần công việc vào nhiều xử lý chạy song song 3.Phân tán liệu nhập, xuất trung gian với chương trình 4.Quản lý truy cập vào liệu chung xử lý 5.Đồng hoá xử lý thực thi chương trình song song 1.5 Tam giác phân Delaunay 1.5.1 Định nghĩa (Xem [3]) Trong mặt phẳng Oxy cho tập P gồm n điểm : P = {p1 , p2 , , pn } Phép tam giác phân tập P cho phần đường tròn qua đỉnh tam giác không chứa điểm khác, gọi phép tam giác phân Delaunay Kí hiệu : D(P ) Mỗi tam giác D(P ) gọi tam giác Delaunay, cạnh tam giác Delaunay gọi cạnh Delaunay 14 Hình 1.1: Tam giác phân Delaunay 1.5.2 Định nghĩa (Xem [4]-tr75) Một cạnh Delaunay gọi cạnh cạnh chung tam giác Delaunay Một cạnh Delaunay gọi cạnh biên cạnh tam giác Delaunay Tập cạnh biên gọi biên D(P ) 1.5.3 Tính chất (Xem [4]-tr89) Biên D(P ) bao lồi tập điểm 1.5.4 Tính chất (Xem [4]-tr102) Nếu P có k đỉnh nằm bao lồi D(P ) có 2n − − k tam giác 3n − − k cạnh Chứng minh Gọi n, nv , ne số đỉnh, số tam giác số cạnh D(P ).Theo giả thiết, P có k đỉnh nằm bao lồi nên D(P ) có k cạnh biên Vì cạnh biên cạnh tam giác cạnh cạnh chung tam giác, nên số cạnh D(P ) : 3nv − k + k = (3nv + k) ne = 2 (1.5.1) Mặt khác, theo hệ thức Euler ta có : n − ne + (nv + 1) = (1.5.2) 15 Từ (1.5.1) (1.5.2) ta có điều phải chứng minh 1.5.5 Tính chất (Xem [5]-tr162) D(P ) điểm P nằm đường tròn 1.5.6 Tính chất (Xem [5]-tr186) (Mối quan hệ tam giác phân Delaunay mặt phẳng bao lồi tập hữu hạn điểm không gian chiều) Gọi P = {p1 , p2 , , pn } tập hình chiếu tập điểm P = {p1 , p2 , , pn } lên paraboloid z = x2 + y Khi D(P ) kết phép chiếu bao lồi LF (P ) lên mặt phẳng Oxy Hình 1.2: Minh hoạ tính chất 1.5.6 16 CHƯƠNG THUẬT TOÁN TÌM TAM GIÁC PHÂN DELAUNAY Trong chương sử dụng thuật ngữ Delaunay tessellation để phép tam giác phân Delaunay tập hữu hạn điểm không gian m-chiều Rm 2.1 Thuật toán tổng quát tìm Delaunay tessellation không gian m-chiều Bài toán : Trong không gian m- chiều Rm , cho tập P gồm n vị trí : P = {p1 , p2 , , pn } , pi = (xi1 , xi2 , , xim ) Hãy tìm thuật toán tìm Delaunay tessellation tập P 2.1.1 Mô tả thuật toán (Xem [4]-tr260) Để tìm Delaunay tessellation tập P gồm n điểm không gian mchiều ta làm sau : Đầu tiên, ta tìm hình chiếu pi điểm pi , i = 1, 2, , n paraboloid z = x21 +x22 + +x2m không gian Rm+1 , với pi = (xi1 , xi2 , , xim , x2i1 + x2i2 + x2im ) Kí hiệu P = {p1 , p2 , , pn } Sau ta tìm bao lồi CH(P ) tập P không gian Rm+1 Cuối ta chiếu mặt CH(P ) xuống Rm ta tìm Delaunay tessellation tập P 2.1.2 Thuật toán tổng quát (Xem [4]-tr260) Input : Output : P = {p1 , p2 , , pn } ; pi ∈ Rm , pi = (xi1 , xi2 , , xim ), i = 1, 2, n Delaunay tessellation tập P 17 begin Step 1: Tìm tập Pi = {pi , p2 , , pn } với pi = (xi1 , xi2 , , xim , x2i1 + x2i2 + x2im ) hình chiếu điểm pi paraboloid z = x21 + x22 + + x2m ; i = 1, 2, , n Step : Tìm bao lồi CH(P ) tập P Rm+1 Step : Chiếu tất mặt CH(P ) xuống Rm ta Delaunay tessellation tập P end 2.2 Thuật toán tìm tam giác phân Delaunay R2 2.2.1 Mô tả thuật toán Dựa vào thuật toán tổng quát tìm tam giác phân Delaunay cho tập hữu hạn điểm P = {p1 , p2 , , pn } , pi = (xi , yi ) mặt phẳng, thuật toán thực sau : Đầu tiên, ta tìm hình chiếu pi điểm pi lên paraboloid z = x2 +y , pi = (xi , yi , x2i + yi2 ), i = 1, n Gọi Pi = {p1 , p2 , , pn } tập hình chiếu R3 vừa tìm Để tìm phép tam giác phân Delaunay cho tập điểm mặt phẳng ta cần xác định mặt CH(P ) Với điểm pi , pj , pk P ta xác định mặt phẳng, ta cần kiểm tra xem mặt (pi pj pk ) có phải mặt hay không Để kiểm tra, ta kiểm tra tất điểm pm tập P xem chúng có nằm phía (hoặc thuộc) mặt (pi pj pk ) hay không Nếu tất chúng nằm phía (hoặc thuộc) (pi pj pk ) mặt Quá trình tiếp tục kiểm tra hết tất mặt tạo thành điểm P 2.2.2 Thuật toán (Xem [3]-tr187) Input : Output : P = {p1 , p2 , , pn } ; pi ∈ R2 , pi = (xi , yi ), i = 1, 2, n D(P ) 18 begin for ( i = 1; i < = n; i++) Tìm hình chiếu pi điểm pi lên paraboloid z = x2 + y , pi = (xi , yi , x2i + yi2 ) for ( i = 0; i < n - 2; i++ ) for ( j = i + 1; j < n; j++ ) for ( k = i + 1; k < n; k++ ) if ( j != k ) for ( m = 0; m < n; m++ ) Kiểm tra điểm pm có nằm phía (hoặc thuộc) mặt (ijk) hay không Nếu điểm pm nằm phía (hoặc thuộc) mặt (ijk) (ijk) mặt Chiếu tất mặt xuống mặt phẳng Oxy ta D(P ) end 2.2.3 Độ phức tạp thuật toán Bước 1: Sử dụng vòng for độc lập nên có độ phức tạp O(n) Bước 2: Sử dụng vòng for lồng nên có độ phức tạp O(n4 ) Vậy, độ phức tạp thuât toán O(n) + O(n4 ) = O(n4 ) 2.2.4 Ví dụ Cho tập gồm điểm P = {p1 (−2, 0), p2 (0, 4), p3 (2, 3), p4 (2, −1)} Tìm phép tam giác phân Delaunay tập điểm Để tìm phép tam giác phân Delaunay tập điểm thực sau : Đầu tiên ta tìm hình chiếu pi điểm pi lên paraboloid z = x2 + y , i = 1, 2, 3, p1 (−2, 0) =⇒ p1 (−2, 0, 4), p2 (0, 4) =⇒ p2 (0, 4, 16) p3 (2, 3) =⇒ p3 (2, 3, 9), p4 (2, −1) =⇒ p4 (2, −1, 5) 19 Sau ta kiểm tra xem tất mặt tạo thành từ đỉnh pi (i = 1, 2, 3, 4), mặt mặt Để làm điều đó, trước hết xác định véctơ pháp tuyến mặt qua điểm pi , pj , pk Với điểm pi , pj , pk ta xác định mặt phẳng Tuy nhiên, theo thuật toán này, thực tính toán thực tính lần véctơ pháp tuyến mặt (pi pj pk ) (pi pk pj ) qua điểm pi , pj , pk (thực chất mặt một) −−→ −−→ nijk = [pi pj , pi pk ] −−→ −−→ nikj = [pi pk , pi pj ] = −nijk Do đó, thuật toán xét cần kiểm tra mặt mà véctơ pháp tuyến có thành phần toạ độ thứ âm để thực bước Giả sử véctơ pháp tuyến nijk véctơ có thành phần toạ độ thứ âm Để xét xem mặt (pi pj pk ) có phải mặt hay không, ta cần kiểm tra xem tất điểm pm (m = 1, 2, 3, 4) có nằm phía (hoặc thuộc) mặt phẳng hay không (dựa vào định nghĩa 1.1.7 nhận xét 1.1.8) −−→ Điều kiện tương đương với đẳng thức : pi pm nijk ≤ 0(∗) Tìm véctơ pháp tuyến mặt : +) Mặt phẳng qua điểm p1 , p2 , p3 : −−→ −−→ (p1 p2 p3 ) : n123 = [p1 p2 , p1 p3 ] = (0, 30, −10) −−→ −−→ (p1 p3 p2 ) : n132 = [p1 p3 , p1 p2 ] = (0, −30, 10) +) Mặt phẳng qua điểm p1 , p2 , p4 : −−→ −−→ (p1 p2 p4 ) : n124 = [p1 p2 , p1 p4 ] = (16, 46, −18) −−→ −−→ (p1 p4 p2 ) : n142 = [p1 p4 , p1 p2 ] = (−16, −46, 18) +) Mặt phẳng qua điểm p1 , p3 , p4 : −−→ −−→ (p1 p3 p4 ) : n134 = [p1 p3 , p1 p4 ] = (12, 32, −16) −−→ −−→ (p1 p4 p3 ) : n143 = [p1 p4 , p1 p3 ] = (−12, −32, 16) 20 +) Mặt phẳng qua điểm p2 , p3 , p4 : −−→ −−→ (p2 p3 p4 ) : n234 = [p2 p3 , p2 p4 ] = (−4, 16, −8) −−→ −−→ (p2 p4 p3 ) : n243 = [p2 p4 , p2 p3 ] = (4, −16, 8) Kiểm tra điều kiện mặt : Khi kiểm tra điều kiện mặt dưới, để tránh tính toán lặp lại thuật toán kiểm tra mặt có véctơ pháp tuyến mà toạ độ thứ âm • Mặt (p1 p2 p3 ) với n123 = (0, 30, −10) : - Rõ ràng p1 , p2 , p3 ∈ (p1 p2 p3 ) −−→ - Kiểm tra điểm p4 : p1 p4 n123 ≤ 0, thoã mãn (∗) =⇒ p4 nằm phía mặt phẳng (p1 p2 p3 ) =⇒ (p1 p2 p3 ) mặt • Mặt (p1 p2 p4 ) với n124 = (16, 46, −18) : - Rõ ràng p1 , p2 , p4 ∈ (p1 p2 p3 ) −−→ - Kiểm tra điểm p3 : p1 p3 n124 > 0, không thoã mãn điều kiện (∗) =⇒ (p1 p2 p4 ) mặt • Mặt (p1 p3 p4 ) với n134 = (12, 32, −16): - Rõ ràng p1 , p3 , p4 ∈ (p1 p3 p4 ) −−→ - Kiểm tra điểm p2 : p1 p2 n134 ≤ 0, thoã mãn điều kiện (∗) =⇒ p2 nằm phía mặt phẳng (p1 p3 p4 ) =⇒ (p1 p3 p4 ) mặt • Mặt (p2 p3 p4 ) với n234 = (−4, 16, −8).: - Rõ ràng p2 , p3 , p4 ∈ (p2 p3 p4 ) −−→ - Kiểm tra điểm p1 : p1 p3 n234 > 0, không thoã mãn điều kiện (∗) =⇒ (p1 p2 p4 ) mặt Vậy, phép tam giác phân Delaunay tập P gồm tam giác : p2 p3 p4 p1 p2 p 21 2.3 Thuật toán song song tìm tam giác phân Delaunay 2.3.1 Mô tả thuật toán Để song song hoá thuật toán phân chia tập n điểm P = {p1 , p2 , , pn } thành k phần độc lập (có kích thước gần nhau) để xử lý đồng thời tìm mặt CH(P ) tương ứng với k tập Kết cuối số mặt CH(P ) tổng cộng số mặt k phần vừa tìm 2.3.2 Thuật toán (Xem [6]) Input : P = {p1 , p2 , , pn } , k pi ∈ R2 , pi = (xi , yi ), i = 1, 2, n Output : D(P ) begin for ≤ i ≤ n Tìm hình chiếu pi pi paraboloid z = x2 + y ; pi = (xi , yi , x2i + yi2 ) P := {p1 , p2 , , pn } for ≤ t ≤ k 2.1 Set Pt := p(t−1) n k +1 , , pt n k 2.2 Tìm mặt LF (Pt ) CH(P ) ứng với tập điểm (Pt ) cách độc lập 2.3 Ft := LF (Pt ) Set LF (P ) := k t=1 Ft Chiếu tất mặt LF (P ) xuống mặt phẳng Oxy ta D(P ) end 2.3.3 Độ phức tạp thuật toán Bước 1: Sử dụng vòng for độc lập nên có độ phức tạp O(n) Bước : Việc kiểm tra mặt thuật toán hoàn toàn giống bước 22 thuật toán 2.2.2 nên có độ phức tạp O(n4 ) Bước : Độ phức tạp O(k) Vậy, độ phức tạp thuật toán : O(n) + O(n4 ) + O(k) = O(n4 ) 2.3.4 Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy , cho tập P gồm điểm : P = {p1 (−2, 0), p2 (0, 4), p3 (2, 3), p4 (2, −1), p5 (1, 0), p6 (3, 1)} Tìm phép tam giác phân Delaunay tập điểm thuật toán mục 2.3.3 với k = Để tìm phép tam giác phân tập điểm trên, ta tìm hình chiếu pi điểm pi lên paraboloid z = x2 + y , i = 1, , p1 (−2, 0) =⇒ p1 (−2, 0, 4), p2 (0, 4) =⇒ p2 (0, 4, 16), p3 (2, 3) =⇒ p3 (2, 3, 9) p4 (2, −1) =⇒ p4 (2, −1, 5), p5 (1, 0) =⇒ p5 (1, 0, 1), p6 (3, 1) =⇒ p6 (3, 1, 10) Tiếp theo chia tập P = {p1 , p2 , , p6 } thành tập P1 = {p1 , p2 , p3 } P2 = {p4 , p5 , p6 } để kiểm tra điều kiện mặt cách đồng thời độc lập mặt có đỉnh thuộc tập Việc kiểm tra điều kiện mặt hoàn toàn giống ví dụ 2.2.4 Đối với tập P1 = {p1 , p2 , p3 } : Tìm véctơ pháp tuyến mặt (tính toán hoàn toàn tương tự ví dụ 2.2.4 cho kết véctơ pháp tuyến có toạ độ thứ âm mặt sau): (p1 p2 p3 ) : n123 = (0, 30, −10); (p1 p2 p4 ) : n124 = (16, 46, −18) (p1 p2 p5 ) : n125 = (−12, 42, −12); (p1 p2 p6 ) : n126 = (12, 48, −18) (p1 p3 p4 ) : n134 = (12, 32, −16); (p1 p3 p5 ) : n135 = (−9, 39, −9) (p1 p3 p6 ) : n136 = (9, 21, −11); (p1 p4 p5 ) : n145 = (−3, −15, −3) (p1 p4 p6 ) : n146 = (7, 19, −9); (p1 p5 p6 ) : n156 = (−3, 33, −3) (p2 p3 p4 ) : n234 = (−4, 16, −8); (p2 p3 p5 ) : n235 = (3, 27, −7) (p2 p3 p6 ) : n236 = (−3, 3, −3); (p2 p4 p5 ) : n245 = (31, 19, −3) (p2 p4 p6 ) : n246 = (3, 3, −9); (p2 p5 p6 ) : n256 = (21, 39, −9) 23 (p3 p4 p5 ) : n345 = (24, 8, −4); (p3 p4 p6 ) : n346 = (4, −8, −4) (p3 p5 p6 ) : n356 = (15, 15, −5) Kiểm tra điều kiện mặt : • Mặt (p1 p2 p3 ) với n123 = (0, 30, −10): - Rõ ràng p1 , p2 , p3 ∈ (p1 p2 p3 ) −−→ −−→ −−→ - Kiểm tra điểm p4 , p5 , p6 : p1 p4 n123 < 0; p1 p5 n123 > 0; p1 p6 n123 < =⇒ (p1 p2 p3 ) mặt • Mặt (p1 p2 p4 ) với n124 = (16, 46, −18): - Rõ ràng p1 , p2 , p4 ∈ (p1 p2 p4 ) −−→ −−→ −−→ - Kiểm tra điểm p3 , p5 , p6 : p1 p3 n124 > 0; p1 p5 n124 > 0; p1 p6 n123 > =⇒ (p1 p2 p4 ) mặt • Mặt (p1 p2 p5 ) với n125 = (−12, 42, −12) : - Rõ ràng p1 , p2 , p5 ∈ (p1 p2 p5 ) −−→ −−→ −−→ - Kiểm tra điểm p3 , p4 , p6 : p1 p3 n125 < 0; p1 p4 n125 < 0; p1 p6 n125 = =⇒ (p1 p2 p5 ) mặt • Mặt (p1 p2 p6 ) với n126 = (12, 48, −18) : - Rõ ràng p1 , p2 , p6 ∈ (p1 p2 p6 ) −−→ −−→ −−→ - Kiểm tra điểm p3 , p4 , p5 : p1 p3 n126 > 0; p1 p4 n126 < 0; p1 p5 n126 > =⇒ (p1 p2 p6 ) mặt • Mặt (p1 p3 p4 ) với n134 = (12, 32, −16): - Rõ ràng p1 , p3 , p4 ∈ (p1 p3 p4 ) −−→ −−→ −−→ - Kiểm tra điểm p2 , p5 , p6 : p1 p2 n134 < 0; p1 p5 n134 > 0; p1 p6 n134 < =⇒ (p1 p3 p4 ) mặt • Mặt (p1 p3 p5 ) với n135 = (−9, 39, −9) : - Rõ ràng p1 , p3 , p5 ∈ (p1 p3 p5 ) −−→ −−→ −−→ - Kiểm tra điểm p2 , p4 , p6 : p1 p2 n135 > 0; p1 p4 n135 < 0; p1 p6 n135 < =⇒ (p1 p3 p5 ) mặt • Mặt (p1 p3 p6 ) với n136 = (9, 21, −11) : 24 - Rõ ràng p1 , p3 , p6 ∈ (p1 p3 p6 ) −−→ −−→ −−→ - Kiểm tra điểm p2 , p4 , p5 : p1 p2 n136 < 0; p1 p4 n136 > 0; p1 p5 n136 > =⇒ (p1 p3 p6 ) mặt • Mặt (p1 p4 p5 ) với n145 = (−3, −15, −3) : - Rõ ràng p1 , p4 , p5 ∈ (p1 p4 p5 ) −−→ −−→ −−→ - Kiểm tra điểm p2 , p3 , p6 : p1 p2 n145 < 0; p1 p3 n145 < 0; p1 p6 n145 < =⇒ (p1 p4 p5 ) mặt • Mặt (p1 p4 p6 ) với n146 = (7, 19, −9) : - Rõ ràng p1 , p4 , p6 ∈ (p1 p4 p6 ) −−→ −−→ −−→ - Kiểm tra điểm p2 , p3 , p5 : p1 p2 n146 < 0; p1 p3 n146 > 0; p1 p6 n145 > =⇒ (p1 p4 p6 ) mặt • Mặt (p1 p5 p6 ) với n156 = (−3, 33, −3): - Rõ ràng p1 , p5 , p6 ∈ (p1 p5 p6 ) −−→ −−→ −−→ - Kiểm tra điểm p2 , p3 , p4 : p1 p2 n156 > 0; p1 p3 n156 > 0; p1 p4 n156 < =⇒ (p1 p4 p6 ) mặt • Mặt (p2 p3 p4 ) với n234 = (−4, 16, −8): - Rõ ràng p2 , p3 , p4 ∈ (p2 p3 p4 ) −−→ −−→ −−→ - Kiểm tra điểm p1 , p5 , p6 : p2 p1 n234 > 0; p2 p5 n234 > 0; p1 p5 n234 < =⇒ (p2 p3 p4 ) mặt • Mặt (p2 p3 p5 ) với n235 = (3, 27, −7) : - Rõ ràng p2 , p3 , p5 ∈ (p2 p3 p5 ) −−→ −−→ −−→ - Kiểm tra điểm p1 , p4 , p6 : p2 p1 n235 < 0; p2 p4 n235 < 0; p2 p6 n235 < =⇒ (p2 p3 p5 ) mặt • Mặt (p2 p3 p6 ) với n236 = (−3, 3, −3): - Rõ ràng p2 , p3 , p6 ∈ (p2 p3 p6 ) −−→ −−→ −−→ - Kiểm tra điểm p1 , p4 , p5 : p2 p1 n236 > 0; p2 p4 n236 < 0; p2 p6 n236 > =⇒ (p2 p3 p6 ) mặt • Mặt (p2 p4 p5 ) với n245 = (31, 19, −3): 25 - Rõ ràng p2 , p4 , p5 ∈ (p2 p4 p5 ) −−→ −−→ −−→ - Kiểm tra điểm p1 , p3 , p6 : p2 p1 n245 < 0; p2 p4 n245 > 0; p2 p6 n245 > =⇒ (p2 p3 p6 ) mặt • Mặt (p2 p4 p6 ) với n246 = (3, 3, −9): - Rõ ràng p2 , p4 , p6 ∈ (p2 p4 p6 ) −−→ −−→ −−→ - Kiểm tra điểm p1 , p3 , p5 : p2 p1 n246 > 0; p2 p3 n246 > 0; p2 p5 n246 > =⇒ (p2 p4 p6 ) mặt • Mặt (p2 p5 p6 ) với n256 = (21, 39, −9): - Rõ ràng p2 , p5 , p6 ∈ (p2 p5 p6 ) −−→ −−→ −−→ - Kiểm tra điểm p1 , p3 , p4 : p2 p1 n246 < 0; p2 p3 n256 > 0; p2 p4 n256 < =⇒ (p2 p4 p6 ) mặt • Mặt (p3 p4 p5 ) với n345 = (24, 8, −4): - Rõ ràng p3 , p4 , p5 ∈ (p3 p4 p5 ) −−→ −−→ −−→ - Kiểm tra điểm p1 , p2 , p6 : p3 p1 n345 < 0; p3 p2 n345 < 0; p3 p6 n345 > =⇒ (p3 p4 p5 ) mặt • Mặt (p3 p4 p6 ) với n346 = (4, −8, −4): - Rõ ràng p3 , p4 , p6 ∈ (p3 p4 p6 ) −−→ −−→ −−→ - Kiểm tra điểm p1 , p2 , p5 : p3 p1 n346 > 0; p3 p2 n346 < 0; p3 p5 n346 > =⇒ (p3 p4 p6 ) mặt • Mặt (p3 p5 p6 ) với n356 = (15, 15, −5) : - Rõ ràng p3 , p5 , p6 ∈ (p3 p5 p6 ) −−→ −−→ −−→ - Kiểm tra điểm p1 , p2 , p4 : p3 p1 n356 < 0; p3 p2 n356 < 0; p3 p5 n356 < =⇒ (p3 p4 p6 ) mặt Như vậy, tập P1 = {p1 , p2 , p3 } ta tìm mặt : (p1 p2 p5 ), (p1 p4 p5 ), (p2 p3 p5 ), (p2 p3 p5 ) (p3 p5 p6 ) Đối với tập P2 = {p4 , p5 , p6 } : Ta kiểm tra hoàn toàn tương tự tìm mặt mặt (p4 p5 p6 ) Vậy, phép tam giác phân Delaunay tập điểm gồm tam giác : 26 p1 p2 p5 , p1 p p5 , p2 p3 p5 , p3 p5 p6 p4 p5 p Qua ví dụ muốn nói đến lợi thuật toán song song phân chia liệu đầu vào thành phần độc lập (có kích thước gần nhau) để xử lý cách đồng thời Việc xử lý đồng thời cách rút ngắn thời gian tìm D(P ) phụ thuộc vào số xử lý, nghĩa chia thành phần tuỳ ý miễn có đủ số xử lý Kết luận Trong luân văn này, nghiên cứu lưới tam giác phân Delaunay đạt số kết quả, qua đề xuất số hướng nghiên cứu thời gian tới Cụ thể : Kết đạt : • Trình bày phép tam giác phân Delaunay : Định nghĩa, số tính chất mối quan hệ phép tam giác phân Delaunay (trong mặt phẳng) bao lồi tập hữu hạn điểm không gian chiều • Trình bày thuật toán tổng quát tìm Delaunay tessellation tập hữu hạn điểm không gian m-chiều • Trình bày thuật toán tìm phép tam giác phân Delaunay tập hữu hạn điểm mặt phẳng • Trình bày thuật toán song song tìm phép tam giác phân Delaunay tập hữu hạn điểm mặt phẳng • Nêu ví dụ minh hoạ thuật toán, chứng minh tính chất mệnh đề làm sở thuật toán Những vấn đề tiếp tục nghiên cứu : • Tiếp tục nghiên cứu cải tiến thuật toán nhằm giảm độ phức tạp thuật toán 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] P T An, Bài giảng hình học tính toán, Viện Toán học, 2007 [2] N H Điển, Một số vấn đề thuật toán, NXB Giáo Dục, 2005 [3] B Delaunay, Sur la sphère vide, Izvestia Akademii Nauk SSSR, Otdelenie Matematicheskikh i Estestvennykh Nauk, 7:793–800, 1934 [4] A Okabe, B Boots, and K Sugihara, Spatial Tessellations: Concepts and Applications of voronoi Diagrams, First edition, John Winley and Sons Ltd, 1992 [5] J O’Rourke, Computational Geometry in C, Cambridge University Press, Second Edition, 1998 [6] J JaJa, Introduction to Parallel Algorithms, Addison-Wesley Publishing Co , 1992 [7] F A Valentine, Convex Sets, McGraw-Hill, New Jork, 1964 [8] A Vigneron, Computing a Delaunay Triangulation, Inra, 2007 [...]... {p1 , p2 , , pn } Phép tam giác phân tập P sao cho phần trong của đường tròn qua 3 đỉnh một tam giác bất kì không chứa một điểm nào khác, được gọi là phép tam giác phân Delaunay Kí hiệu : D(P ) Mỗi tam giác của D(P ) được gọi là tam giác Delaunay, mỗi cạnh của tam giác Delaunay được gọi là cạnh Delaunay 14 Hình 1.1: Tam giác phân Delaunay 1.5.2 Định nghĩa (Xem [4]-tr75) Một cạnh Delaunay được gọi là... kiện (∗) =⇒ (p1 p2 p4 ) không phải là một mặt dưới Vậy, phép tam giác phân Delaunay của tập P gồm 2 tam giác : và p2 p3 p4 p1 p2 p 3 21 2.3 Thuật toán song song tìm tam giác phân Delaunay 2.3.1 Mô tả thuật toán Để song song hoá thuật toán chúng tôi phân chia tập n điểm P = {p1 , p2 , , pn } thành k phần độc lập (có kích thước gần bằng nhau) để các bộ xử lý đồng thời tìm các mặt dưới của CH(P ) tương... bày thuật toán tuần tự tìm phép tam giác phân Delaunay của tập hữu hạn điểm trong mặt phẳng • Trình bày thuật toán song song tìm phép tam giác phân Delaunay của tập hữu hạn điểm trong mặt phẳng • Nêu ra các ví dụ minh hoạ thuật toán, chứng minh các tính chất và mệnh đề làm cơ sở của thuật toán 2 Những vấn đề tiếp tục nghiên cứu : • Tiếp tục nghiên cứu cải tiến thuật toán nhằm giảm độ phức tạp của thuật. .. để chỉ ra được một thuật toán song song không đơn giản như là chỉ ra từng bước cụ thể Mà là ở một mức độ nào đó, một thuật toán song song phải được thêm vào tính đồng thời và người thiết kế ra thuật toán cũng phải chỉ ra tập hợp những bước có thể xử lý đồng thời Điều này nhằm tận dụng được khả năng tính toán của các máy tính song song Trong thực tế việc thiết kế ra một thuật toán song song là khá phức... 0 Nên f (n) ∈ O(n2 ) 13 1.4 Khái niệm về thuật toán song song Phát triển thuật toán là một phần quan trọng trong việc giả quyết vấn đề khi sử dụng máy tính Một thuật toán tuần tự về cơ bản là một phương pháp thực hiện hay một chuỗi tuần tự các bước cơ bản để giải quyết một vấn đề được đặt ra bằng cách sử dụng máy tính tuần tự Tương tự thuật toán song song là một phương pháp giải quyết vấn đề dựa trên... 1, 2, , n Step 2 : Tìm bao lồi CH(P ) của tập P trong Rm+1 Step 3 : Chiếu tất cả các mặt dưới của CH(P ) xuống Rm ta được Delaunay tessellation của tập P end 2.2 Thuật toán tuần tự tìm tam giác phân Delaunay trong R2 2.2.1 Mô tả thuật toán Dựa vào thuật toán tổng quát tìm tam giác phân Delaunay cho tập hữu hạn điểm P = {p1 , p2 , , pn } , pi = (xi , yi ) trong mặt phẳng, thuật toán tuần tự được thực... nghiên cứu về lưới tam giác phân Delaunay và đạt được một số kết quả, qua đó đề xuất một số hướng nghiên cứu trong thời gian tới Cụ thể : 1 Kết quả đạt được : • Trình bày phép tam giác phân Delaunay : Định nghĩa, một số tính chất và mối quan hệ giữa phép tam giác phân Delaunay (trong mặt phẳng) và bao lồi của tập hữu hạn điểm trong không gian 3 chiều • Trình bày thuật toán tổng quát tìm Delaunay tessellation... sử dụng thuật ngữ Delaunay tessellation để chỉ phép tam giác phân Delaunay của tập hữu hạn điểm trong không gian m-chiều Rm 2.1 Thuật toán tổng quát tìm Delaunay tessellation trong không gian m-chiều Bài toán : Trong không gian m- chiều Rm , cho tập P gồm n vị trí : P = {p1 , p2 , , pn } , pi = (xi1 , xi2 , , xim ) Hãy tìm thuật toán tìm Delaunay tessellation của tập P 2.1.1 Mô tả thuật toán (Xem... 2 tam giác Delaunay Một cạnh Delaunay được gọi là cạnh biên nếu nó là cạnh của duy nhất một tam giác Delaunay Tập các cạnh biên được gọi là biên của D(P ) 1.5.3 Tính chất (Xem [4]-tr89) Biên của D(P ) là bao lồi của tập các điểm 1.5.4 Tính chất (Xem [4]-tr102) Nếu P có k đỉnh nằm trên bao lồi thì D(P ) có 2n − 2 − k tam giác và 3n − 3 − k cạnh Chứng minh Gọi n, nv , ne lần lượt là số đỉnh, số tam giác. .. Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy , cho tập P gồm 7 điểm : P = {p1 (−2, 0), p2 (0, 4), p3 (2, 3), p4 (2, −1), p5 (1, 0), p6 (3, 1)} Tìm phép tam giác phân Delaunay của tập các điểm trên bằng thuật toán ở mục 2.3.3 với k = 2 Để tìm phép tam giác phân của tập các điểm trên, đầu tiên ta tìm hình chiếu pi của các điểm pi lên paraboloid z = x2 + y 2 , i = 1, , 6 p1 (−2, 0) =⇒ p1 (−2, 0, 4), p2 (0, 4) =⇒ p2 (0, ... bày thuật toán tìm tam giác phân Delaunay R2 • Trình bày thuật toán song song tìm tam giác phân Delaunay R2 • Các kết tính toán thực thi chương trình tìm tam giác phân Delaunay cách sử dụng thuật. .. Vậy, phép tam giác phân Delaunay tập P gồm tam giác : p2 p3 p4 p1 p2 p 21 2.3 Thuật toán song song tìm tam giác phân Delaunay 2.3.1 Mô tả thuật toán Để song song hoá thuật toán phân chia tập... bày thuật toán tìm phép tam giác phân Delaunay tập hữu hạn điểm mặt phẳng • Trình bày thuật toán song song tìm phép tam giác phân Delaunay tập hữu hạn điểm mặt phẳng • Nêu ví dụ minh hoạ thuật toán,