1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - CAO TÚ CƯỜNG VỀ MÔĐUN COMPẮC TUYẾN TÍNH BIỂU DIỄN ĐƯỢC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An, 2011 MỤC LỤC MỤC LỤC …………………………………………………………………………… LỜI NÓI ĐẦU……………………………………………………………………………….2 CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ…………………………………………………….5 1.1 MÔĐUN ARTIN…………………………………………………………………… 1.2 BIỂU DIỄN THỨ CẤP VÀ MÔĐUN BIỂU DIỄN ĐƯỢC…………… 1.3 GIỚI HẠN THUẬN, GIỚI HẠN NGƯỢC…………………………… 1.4 HÀM TỬ DẪN XUẤT TRÁI…………………………………………………….9 1.5 HÀM TỬ DẪN XUẤT PHẢI…………………………………………………10 1.6 MÔĐUN MỞ RỘNG……………………………………………………… 10 1.7 TÍCH TEXƠ CỦA HAI MÔĐUN…………………………………………11 1.8 MÔĐUN PHẲNG…………………………………………………………….12 1.9 MÔĐUN ĐỊA PHƯƠNG HÓA……………………………………………12 1.10 I ĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT, GIÁ CỦA MÔĐUN…… 13 CHƯƠNG MÔĐUN COMPẮC TUYẾN TÍNH BIỂU DIỄN ĐƯỢC……… 15 MÔĐUN COMPẮC TUYẾN TÍNH…………………………………… 15 2 TÍNH BIỂU DIỄN ĐƯỢC CỦA HOM R ( F ; M ) …………………………19 ĐỐI ĐỊA PHƯƠNG HÓA………………………………………………….24 KẾT LUẬN…………………………………………………………………………………31 TÀI LIỆU THAO KHẢO……………………………………………………………… 32 LỜI NÓI ĐẦU Năm 1942, S Leschetz đưa khái niệm không gian vectơ compắc tuyến tính nhằm nghiên cứu không gian vectơ vô hạn chiều Năm 1953, D Zelinsky mở rộng khái niệm thành khái niệm môđun compắc tuyến tính Từ đến nay, lớp môđun compắc tuyến tính nhiều nhà toán học giới quan tâm nghiên cứu Chú ý rằng, lớp môđun compắc tuyến tính rộng, chứa nhiều lớp môđun quan trọng Đại số giao hoán Thậm chí lớp môđun môđun compắc tuyến tính môđun compắc tuyến tính nửa rời rạc chứa thực môđun Artin; chứa môđun Noether vành địa phương đầy đủ Khái niệm phân tích đối nguyên sơ cho môđun Artin nghiên cứu D G Northcott năm 1972, D Kirby năm 1973 Sau I G Macdonald [9] trình bày khái niệm cách tổng quát cho môđun tùy ý ông gọi biểu diễn thứ cấp để khỏi nhầm lẫn với khái niệm phân tích nguyên sơ định nghĩa cho môđun Noether Có thể nói biểu diễn thứ cấp đối ngẫu với phân tích nguyên sơ Mọi môđun Artin có biểu diễn thứ cấp môđun Noether có phân tích nguyên sơ Một R - môđun N ≠ gọi thứ cấp với x ∈ R , phép nhân x N toàn cấu lũy linh Trong trường hợp Rad(Ann R N ) iđêan nguyên tố, chẳng hạn p, ta gọi N p-thứ cấp Một biểu diễn thứ cấp R -môđun M phân tích M = M + M + + M n thành tổng hữu hạn môđun pi- thứ cấp M i Nếu M = M có biểu diễn thứ cấp ta nói M biểu diễn Một vấn đề thú vị xuất nghiên cứu môđun Artin môđun đối địa phương hóa Cho R vành giao hoán có đơn vị M R - môđun L Melkersson P Schenzel [12] định nghĩa đối địa phương hóa Hom R ( RS ; M ) môđun M tương ứng với tập nhân đóng S R Khi M Artin họ cấu trúc Hom R ( RS ; M ) có nhiều tính chất hay, chẳng hạn, Hom R ( RS ; M ) biểu diễn Hom R ( RS ; −) hàm tử khớp từ phạm trù R - môđun Artin đến phạm trù RS - môđun Tuy nhiên họ chứng minh Hom R ( RS ; M ) thường không RS - môđun Artin vành R địa phương đầy đủ Như vậy, việc mở rộng nhiên cứu phạm trù môđun compắc tuyến tính thực cần thiết giữ nhiều tính chất tốt môđun Artin mà làm cho hàm tử đối địa phương hóa đóng Năm 2001, N T Cường L T Nhàn [5] mở rộng kết L Melkersson P Schenzel tới lớp tất môđun compắc tuyến tính biểu diễn Lớp môđun thực chứa tất môđun Artin Thêm nữa, thay cho hàm tử đối địa phương hóa, N T Cường L T Nhàn [5] xét hàm tử Hom R ( F ; −) với F R - môđun phẳng Họ Hom R ( F ; −) hàm tử đóng phạm trù R - môđun compắc tuyến tính biểu diễn Đây câu trả lời khẳng định tới câu hỏi L Melkersson [11] cho môđun compắc tuyến tính không thiết có chiều Goldie hữu hạn Mục đích Luận văn trình bày lại cách chi tiết rõ ràng kết nói N T Cường L T Nhàn [5] Với mục đích phần Mở đầu phần Kết luận, Luận văn chia làm hai chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày lý thuyết biểu diễn thứ cấp, môđun biểu diễn số kiến thức sở Đại số giao hoán, Đại số đồng điều nhằm phục vụ cho việc trình bày kết Luận văn chương sau Chương Môđun compắc tuyến tính biểu diễn Trong chương này, trình bày lại cách chi tiết rõ ràng kết N T Cường L T Nhàn [5] Luận văn hoàn thành vào tháng 11 năm 2011 hướng dẫn, dạy tận tình cô giáo, TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô, người hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo nghiêm khắc suốt trình học tập nghiên cứu Đồng thời xin cảm ơn thầy giáo, cô giáo khoa Toán, khoa Sau đại học trường Đại học Vinh, bạn bè, đồng nghiệp gia đình tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập Trong trình học tập, nghiên cứu viết Luận văn, cố gắng nhiều song chắn thiếu sót, mong nhận góp ý, bảo chân thành thầy, cô bạn để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng 11 năm 2011 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương trình bày (không chứng minh) kiến thức sở cần thiết dùng cho chứng minh chương sau Trong toàn luận văn giả thiết vành R giao hoán có đơn vị ≠ 1 Môđun Artin 1 Định nghĩa (i) Một R – môđun M gọi môđun Artin dãy giảm môđun M dừng, tức M ⊇ M ⊇ ⊇ M n ⊇ dãy giảm môđun M Khi tồn số tự nhiên n0 cho M n = M n0 với n ≥ n0 (ii) Vành R gọi vành Artin R R – môđun Artin 1 Định lý Giả sử M R - môđun Các điều kiện sau tương đương: (i) M Artin; (ii) Mọi tập khác rỗng môđun M có phần tử tối tiểu theo quan hệ bao hàm; (iii) Đối với tập hợp { Ai | i ∈ I } ≠ ∅ môđun M tồn tập hữu hạn I0 I cho I Ai = I Ai I I0 1 Hệ Nếu môđun M tổng hữu hạn môđun Artin M Artin Biểu diễn thứ cấp môđun biểu diễn Trong mục này, trình bày khái niệm biểu diễn thứ cấp theo thuật ngữ I G Macdonald [9] Khái niệm xem khái niệm đối ngẫu với khái niệm phân tích nguyên sơ Định nghĩa 1) Một tập khác rỗng R - môđun M gọi thứ cấp với r ∈ R , phép nhân r M toàn cấu lũy linh Trong trường hợp AnnR M iđêan nguyên tố, chẳng hạn p, ta gọi M p - thứ cấp 2) Cho M R – môđun Một biểu diễn thứ cấp M phân tích M = M + M + + M n thành tổng hữu hạn môđun pi- thứ cấp Nếu M = M có biểu diễn thứ cấp ta nói M biểu diễn Biểu diễn gọi tối thiểu iđêan nguyên tố pi đôi khác hạng tử M i thừa 2 Mệnh đề Tổng trực tiếp hữu hạn và môđun thương của các môđun p – thứ cấp khác p – thứ cấp Mệnh đề Linh hóa tử môđun p – thứ cấp iđêan p – nguyên sơ Giới hạn thuận, giới hạn ngược Giới hạn thuận Một tập hợp V với quan hệ thứ tự phận ≤ gọi tập định hướng với t , s ∈ V , ∃r ∈ V cho t ≤ r; s ≤ r Chẳng hạn tập số nguyên dương tập định hướng Một họ { M t ; ftr } gồm R - môđun M t , t ∈V đồng cấu f tr : M t → M r , ∀t ≤ r gọi hệ thuận V thỏa mãn điều kiện sau ftt = id M t f sr fts = f tr với t ≤ s ≤ r Khi đồng cấu f tr xác định, ta ký hiệu gọn hệ thuận { M t } ' ' Cho hai hệ thuận R - môđun { M t , f tr } { M t , ftr } tập ' ' định hướng V Một đồng cấu hệ thuận { M t , ftr } → { M t , ftr } họ ' ' R - đồng cấu { ϕt : M t → M t } thỏa mãn f ts ϕt = ϕ s fts với t ≤ s Giới hạn thuận hệ Mt thuận { M t , fts } định nghĩa sau: Trên môđun tổng trực tiếp T = t⊕ ∈V đồng môđun M t với ảnh đồng cấu tắc T , ta xem M t môđun T Gọi C môđun T sinh tập tất phần tử dạng xt − ftr ( xt ), t ≤ r , xt ∈ M t Môđun thương T / C gọi giới hạn uuur M t thuận hệ thuận { M t , ftr } ký hiệu lim t Giới hạn ngược Cho V tập định hướng Một họ { M t , f tr } gồm R - môđun M t , t ∈ V đồng cấu f rt : M r → M t , ∀t ≤ r ; t , r ∈ V gọi hệ ngược V thỏa mãn điều kiện sau ftt = id M t f st f rs = f rt với t ≤ s ≤ r ' ' Cho hai hệ ngược R -môđun { M t , f rt } { M t , f rt } (trên tập định hướng V ) Một đồng cấu hệ ngược ϕ : { M t ; f rt } → { M t' ; f rt' } ' họ gồm đồng cấu { ϕt : M t → M t } thỏa mãn f rt' ϕ r = ϕt f rt với t ≤ r Giới hạn hệ ngược { M t , f rt } định nghĩa sau: Trên R - môđun tích trực tiếp ∏M t t ta lấy môđun D gồm tất phần tử ( xt ) thỏa mãn f rt ( xr ) = xt , ∀t , r ∈ V ; t ≤ r suuu M t Khi D gọi giới hạn ngược { M t , f rt } ký hiệu lim t 3 Một số tính chất giới hạn thuận giới hạn ngược a, Giới hạn thuận hàm tử khớp phạm trù R - môđun Nghĩa → { M t } → { Nt } → { Pt } → dãy khớp ngắn hệ thuận R - môđun → lim uuur M t → lim uuur N t → lim uuur Pt → t t t dãy khớp b, Giới hạn ngược hàm tử khớp trái phạm trù R - môđun Nói chung không hàm tử khớp, nghĩa → { M t } → { N t } → { Pt } dãy khớp hệ ngược R - môđun → lim suuu M t → lim suuu N t → lim suuu Pt t t t dãy khớp c, Một hệ ngược { M t , f rt } R - môđun gọi thỏa mãn tiêu chuẩn Mittag – Leffler (ML) với t , dãy giảm R - môđun { f rt ( M r ) | r ≥ t} M t dừng Nói cách khác, với t, tồn t0 ≥ t cho: r , r ' ≥ t0 f rt ( M r ) = f r 't ( M r ' ) Cho dãy khớp ngắn hệ ngược R - môđun → { M t } → { N t } → { Pt } → (i) Nếu { Nt } thỏa mãn tiêu chuẩn (ML) { Pt } thỏa mãn tiêu chuẩn (ML) (ii) Nếu { M t } thỏa mãn tiêu chuẩn (ML) ta có dãy khớp sau → lim uuur M t → lim uuur N t → lim uuur Pt → t t t d, Cho { M t } hệ thuận R - môđun Khi 10 Hom R (lim uuur M t ; N ) ≅ lim suuu Hom R ( M t ; N ) t t với R - môđun N Hàm tử dẫn xuất trái Định nghĩa Cho F : R − mod → R − mod hàm tử hiệp biến, cộng tính, khớp phải phạm trù R − mod Cho M R - môđun, tồn lời giải xạ ảnh ε P•  →M ta có phức F ( P• ) : → F ( Pi +1 ) → F ( Pi ) → F ( P1 ) → F ( P0 ) ∞ Hàm tử dẫn xuất trái L• F F họ hàm tử L• F = { Li F } i =0 xác định Li F = H i ( F ( P• )) , H i ( F ( P• )) môđun đồng điều thứ i phức F ( P• ) Tính chất (1) Li F ( M ) không phụ thuộc việc chọn lời giải xạ ảnh M (2) Nếu M R - môđun xạ ảnh Li F ( M ) = 0, ∀i ≠ (3) L0 F = F (4) Giải sử → M ' → M → M '' → dãy khớp ngắn R - môđun Khi ta có dãy khớp dài: → Li +1 ( F ( M '' )) → Li ( F ( M ' )) → Li ( F ( M )) → Li ( F ( M '' )) → … → L1 ( F ( M '' )) → L0 ( F ( M ' )) → L0 ( F ( M )) → L0 ( F ( M '' )) → Hàm tử dẫn xuất phải Cho F : R − mod → R − mod hàm tử hiệp biến, cộng tính, khớp trái Cho M R - môđun với lời giải nội xạ α M  → I• ta có phức F ( I • ) : → F ( I ) → F ( I ) → 19 (ii) Ext iR ( F ; M ) = , với i > Chứng minh (i) Rõ ràng Hom R ( F ; M ) compắc tuyến tính theo Bổ đề 2.1.2, (iv), (v) Gọi {Fs' }s∈K ' hệ thuận thứ hai R - môđun tự hữu hạn sinh ' uuur Fs Gọi L = Hom R ( F ; M ) R - môđun tôpô định nghĩa hệ thuận cho F ≅ lim s∈K ' thứ L' = Hom R ( F ; M ) định nghĩa hệ thuận thứ Chúng ta cần Ft T ' = ⊕ Fs' Khi T T ' chứng minh L đồng phôi với L' Đặt T = t⊕ ∈K s∈K ' R - môđun tự Chú ý F ảnh đồng cấu T ảnh đồng cấu T ' Vì tồn biểu đồ giao hoán g f T1  → T  → F  →0 h k ' ' g f T1'  → T '  → F  →0 dòng khớp với f , f ' toàn cấu trên, T1 T1' R môđun tự h, k đồng cấu nâng ánh xạ đồng F Từ nhận biểu đồ giao hoán ' ' f∗ g∗  → L'  → Hom R (T ' ; M )  → Hom R (T1' ; M ) k∗ h∗ f∗ g∗  → L  → Hom R (T ; M )  → Hom R (T1; M ) với dòng khớp đồng cấu cảm sinh h∗ , k∗ , g∗' , g∗ liên tục Vì ánh xạ đồng L → L' phải liên tục Hoàn toàn tương tự ánh xạ đồng L' → L liên tục Vậy L đồng phôi với L' (ii) Ta có dãy phổ ( p) q i E2 p ,q ≅ lim uurFt ; M ) suu Ext R ( Ft ; M ) ⇒ Ext R (lim t∈K t∈K Vì Ft môđun tự nên E2 p ,q = với q > Do dãy phổ sinh đẳng cấu 20 (i ) i lim suu Hom R ( Ft ; M ) ≅ Ext R ( F ; M ) t∈K □ i Vì Ext R ( F ; M ) = với i > theo Bổ đề 2.1.3 Nhắc lại tập đóng nhân S R , hàm tử Hom R ( RS ; −) khớp phạm trù môđun Artin [12, Mệnh đề 2.4] Hệ tức khắc Định lý 2.1.4 mà hay sử dụng chương mở rộng kết Hệ Cho → M ' → M → M '' → dãy khớp R - môđun compắc tuyến tính Khi đó, với R - môđun phẳng F , dãy sau khớp → Hom R ( F ; M ' ) → Hom R ( F ; M ) → Hom R ( F ; M '' ) → 2 Tính biểu diễn Hom R ( F ; M ) Cho M R - môđun Như trình bày Chương 1, biểu diễn thứ cấp M phân tích M = M + M + + M n thành tổng hữu hạn môđun pi- thứ cấp M i Nếu M = M có biểu diễn thứ cấp ta nói M biểu diễn Biểu diễn thứ cấp gọi tối thiểu iđêan nguyên tố pi đôi khác hạng tử M i thừa Dễ thấy biểu diễn thứ cấp M quy tối thiểu Tập hợp { p1 , p2 , , pn } độc lập với việc chọn biểu diễn thứ cấp tối thiểu { p1 , p2 , , pn } gọi tập iđêan nguyên tố gắn kết M Vì M ký hiệu Att R ( M ) Các hạng tử M i , i = 1, , n , gọi thành phần thứ cấp M Nếu pi tối thiểu Att R ( M ) M i gọi thành phần thứ cấp cô lập 2 Bổ đề Cho F R -môđun phẳng M R -môđun compắc tuyến tính Nếu M p – thứ cấp Hom R ( F ; M ) p – thứ cấp 21 Chứng minh Giả sử Hom R ( F ; M ) ≠ Lấy x ∈ p Thế x n M = với số nguyên dương n Do x n Hom R ( F ; M ) = Lấy x ∉ p Khi xM = M Vì M Hausdorff nên môđun đóng M Do phép nhân x M liên tục nên (0 : xR) M môđun đóng M Vì compắc tuyến tính theo Bổ đề 2.1.2, (i) Do ta có dãy khớp R -môđun compắc tuyến tính x → M   →(0 : xR) M  → M  →0 Do đó, theo Hệ 2.1.5, ta có dãy khớp x  → Hom R ( F ; ( : xR ) M )  → Hom R ( F ; M )  → Hom R ( F ; M )  →0 Vậy phép nhân x Hom R ( F ; M ) toàn cấu □ 2 Bổ đề Cho M R -môđun compắc tuyến tính N môđun M Nếu N p – thứ cấp bao đóng N N p – thứ cấp Chứng minh Lấy x ∈ p tùy ý Khi x n N = với số nguyên dương n Vì ta có (0 : x n R) M ⊇ N Vì (0 : x n R) M môđun đóng M chứa N nên (0 : x n R) M ⊇ N Do x n N ⊆ x n (0 : x n R ) M = Lấy x ∉ p Khi xN = N Vì N môđun đóng M nên theo Bổ đề 2.1.2, (ii) ta có xN môđun đóng M Lại xN ⊇ xN = N nên xN ⊇ N Do ta có xN = N □ 2 Hệ Cho M R - môđun compắc tuyến tính biểu diễn Khi M có biểu diễn thứ cấp tối thiểu cho thành phần thứ cấp compắc tuyến tính Chứng minh: Gọi M = M + M + + M n biểu diễn thứ cấp tối thiểu M , M i pi-thứ cấp với i = 1, , n Khi Att R M = { p1 , , pn } Ký hiệu M i 22 bao đóng M i với i = 1, , n Theo Bổ đề 2.1.2, (i) môđun M i compắc tuyến tính Lại theo Bổ đề 2.2.2, với i = 1, , n , môđun M i pi-thứ cấp M + + M n ⊇ M + + M n = M nên M = M + + M n biểu diễn thứ cấp mà thành phần thứ cấp Mi với i = 1, , n compắc tuyến tính Như ta phải chứng minh biểu diễn tối tiểu Giả sử không tối tiểu Vì pi đôi phân biệt M j với i nên phải có thành phần thứ cấp M i thừa, tức M i ⊆ ∑ j ≠i M j Theo Bổ đề 2.2.2, p ∉ Att M Mâu thuẫn Vì M = ∑ i R j ≠i □ 2 Hệ Cho M R -môđun compắc tuyến tính biểu diễn p phần tử Att R M Khi tồn ảnh đồng cấu B M cho B compắc tuyến tính p – thứ cấp Chứng minh Theo Hệ 2.2.3, ta chọn biểu diễn thứ cấp tối thiểu M = M + M + + M n M cho thành phần thứ cấp M i M j Khi B compắc tuyến tính Giả sử M i p – thứ cấp Chọn B = M / ∑ j ≠i compắc tuyến tính theo Bổ đề 2.1.2 Thêm nữa, dễ dàng kiểm tra B p – thứ cấp □ Với R – môđun biểu diễn M , ta biết thành phần thứ cấp cô lập M không phụ thuộc vào biểu diễn thứ cấp tối thiểu M (xem [9]) Vì theo Hệ 2.2.3 Chúng ta có kết sau 2 Hệ Cho M R - môđun compắc tuyến tính biểu diễn Khi thành phần thứ cấp cô lập M compắc tuyến tính 23 2 Định lý Cho F R - môđun phẳng M R - môđun compắc tuyến tính biểu diễn Khi Hom R ( F ; M ) R - môđun compắc tuyến tính biểu diễn Chứng minh Theo Hệ 2.2.3, chọn biểu diễn thứ cấp tối thiểu M = M + M + + M n M cho thành phần thứ cấp M i với i = 1, , n, compắc tuyến tính Ta chứng minh quy nạp theo n Khi n =1, định lý chứng minh theo Bổ đề 2.2.1, Với n >1, đặt N1 = M ; N = M + + M n Khi N compắc tuyến tính theo Bổ đề 2.1.2, (vi) Vì thế, theo Bổ đề 2.1.2, môđun N1 I N , N1 ⊕ N compắc tuyến tính Sử dụng tính chất khớp hàm tử Hom R ( F ; −) Hệ 2.1.5 vào dãy khớp R môđun compắc tuyến tính → N1 I N → N1 ⊕ N → N1 + N → ta có Hom R ( F ; N1 + N ) ≅ Hom R ( F ; N1 ⊕ N ) / Hom( F ; N1 I N ) ≅ (Hom R ( F ; N1 ) ⊕ Hom R ( F ; N ) / Hom R ( F ; N1 ) I Hom R ( F ; N ) ≅ Hom R ( F ; N1 ) + Hom R ( F ; N ) Vì Hom R ( F ; N1 + N ) = Hom R ( F ; N1 ) + Hom R ( F ; N ) , Hom R ( F ; N1 ) Hom R ( F ; N ) xét môđun Hom R ( F ; M ) Sử dụng giả thiết quy nạp cho môđun N ta có điều cần chứng minh □ 2 Chú ý Tính biểu diễn lớp môđun có chiều Goldie hữu hạn nghiên cứu L Melkersson [11] (một môđun gọi có chiều Goldie hữu hạn không chứa tổng trực tiếp vô hạn môđun con) Trong lớp môđun này, ông đặc trưng tính biểu diễn đối đồng 24 điều địa phương Tuy nhiên, với R - môđun phẳng F R - môđun biểu diễn có chiều Goldie hữu hạn M , ông chưa thể nói tính biểu diễn môđun Hom R ( F ; M ) Hom R ( F ; M ) không thiết có chiều Goldie hữu hạn Vì Melkersson đưa câu hỏi: Cho F R - môđun phẳng M môđun biểu diễn có chiều Goldie hữu hạn Hom R ( F ; M ) có môđun biểu diễn hay không? Định lý 2.2.6 câu trả lời khẳng định câu hỏi cho môđun compắc tuyến tính biểu diễn M không thiết có chiều Goldie hữu hạn Chú ý tồn môđun (thậm chí vành địa phương đầy đủ) compắc tuyến tính biểu diễn chiều Goldie hữu hạn Thật theo S Lefschetz [7], tồn không gian véc tơ compắc tuyến tính có chiều vô hạn Vì không gian chiều Goldie hữu hạn Rõ ràng không gian véc tơ – thứ cấp nên biểu diễn Tuy nhiên N T Cường and L T Nhàn [5] ví dụ sau lớp rộng môđun compắc tuyến tính biểu diễn chiều Goldie hữu hạn 2 Ví dụ Gọi ( R, m ) vành địa phương với dim R > Chọn p¹≠ m iđêan nguyên tố R có độ cao lớn Gọi M R -môđun compắc tuyến tính biểu diễn cho M chứa môđun đẳng cấu với bao nội xạ E R / m Khi Hom R ( Rp ; M ) compắc tuyến tính biểu diễn chiều Goldie hữu hạn Chứng minh Theo Định lý 2.2.6, Hom R ( Rp ; M ) compắc tuyến tính biểu diễn Mặt khác, theo [12, Bổ đề 4.1] ta có AssRp (Hom R ( Rp ; M )) ⊇ AssRp (Hom R ( Rp ; E )) = Spec( Rp ) Vì p có độ cao lớn nên dim R ( Rp ) > Ta biết vành địa phương p có hữu hạn iđêan nguyên tố có chiều Krull không vượt Do Rp vành có vô hạn iđêan nguyên tố Vì AssRp (Hom R ( Rp ; M )) 25 tập vô hạn Từ ta dễ dàng suy Hom R ( Rp ; M ) Rp - môđun chiều Goldie hữu hạn R – môđun chiều Goldie hữu hạn Đặc biệt, không môđun Artin □ Đối địa phương hóa Khái niệm đối địa phương hóa L Melkersson P Schenzel đưa năm 1995 [12] Định nghĩa Đối địa phương hóa R – môđun M tương ứng với tập đóng nhân S R RS - môđun Hom R ( R; M ) Chú ý A Artin, Hom( RS ; A) không RS - môđun Artin, với M R - môđun compắc tuyến tính biểu diễn được, Hom( RS ; M ) luôn R – môđun compắc tuyến tính biểu diễn Do việc nghiên cứu hàm tử đối địa phương hóa môđun compắc tuyến tính biểu diễn thực có ý nghĩa Bổ đề Cho S tập đóng nhân R M R – môđun compắc tuyến tính Giả sử ϕ : Hom R ( RS ; M ) → M đồng cấu định nghĩa ϕ ( f ) = f (1) , với f ∈ Hom R ( RS ; M ) Khi ta có Imϕ = I sM s∈S ' sM ; I = U (0 : s) R Khi M ' compắc tuyến tính theo Chứng minh Đặt M = sI s∈S ∈S Bổ đề 2.1.2, (i), (ii) Đặt R ' = R / I Dễ thấy M ' có cấu trúc tự nhiên R ' - môđun Gọi S ' ảnh S R ' Ta biết ' t Hom( RS ; M ' ) ≅ lim{M suuu s ;g s } , Trong M s' = M ' với s ∈ S ' g st : M t' → M s' phép nhân a ∈ R ' t = as 26 Theo Bổ đề 2.1.2, ta có dãy khớp hệ ngược R – môđun compắc tuyến tính → {(0 : s) M ' , g st } → {M s' , g st } → {M ' / (0 : s) M ' , g st } → , ' ' ánh xạ tương ứng hệ {(0:s) M }, {M s } {M /(0 : s) M } ' ' phép nhân a t = as Theo Bổ đề 2.1.3, đồng cấu ' t ' t lim{ suuu M s , g s } → lim{ suuu M / (0 : s ) M ' , g s } toàn cấu Với t , s ∈ S ' , tM ' môđun đóng M ' phép nhân s M ' ánh xạ liên tục theo [8, 3.12] ta có sM ' = s I tM = I stM = M ' t∈S t∈S Do đó, với t , s ∈ S ' có tính chất t = as ta có aM ' = M ' Vì g st : M ' / (0 : t ) M ' → M ' / (0 : s ) M ' đẳng cấu Từ suy ' t ' lim{ suuu M / (0 : s) M ' , g s } → M đẳng cấu Do ϕ : Hom R ( RS ; M ) → M ' toàn cấu Lấy phần tử tùy ý f ∈ Hom R ( RS ; M ) Khi f (1) ∈ M ' f (1) = sf (1/ s ) ∈ sM với s ∈ S ' Vậy ϕ : Hom R ( RS ; M ) → M toàn cấu □ N T Cường and L T Nhàn [5] mở rộng kết MelkerssonSchenzel [12, Định lý 3.2] tới môđun compắc tuyến tính sau 3 Định lý Cho S tập nhân đóng vành R M R – môđun compắc tuyến tính biểu diễn với M = M + M + + M n biểu diễn thứ cấp tối thiểu M cho thành phần thứ cấp M i compắc tuyến tính pi - thứ cấp Giả thiết S I pi = ∅ với i = 1, , m S I pi ≠ ∅ với i = m + 1, , n Khi ta có Hom R ( RS ; M ) = Hom R ( RS ; M ) + + Hom R ( RS ; M m ) 27 biểu diễn thứ cấp tối thiểu Hom R ( RS ; M ) Đặc biệt, ta có Att(Hom R ( RS ; M )) = {p ∈ Att( M ) : p I S = ∅} Chứng minh Với số tự nhiên i = m + 1, , n S I pi ≠ ∅ nên dễ dàng kiểm tra Hom R ( RS ; M i ) = Vì theo Định lý 2.2.6 ta có Hom R ( RS ; M ) = Hom R ( RS ; M ) + + Hom R ( RS ; M m ) biểu diễn thứ cấp Hom R ( RS ; M ) Giả sử biểu diễn không tối thiểu Vì pi đôi phân biệt nên tồn số i = {1, , m} cho Hom R ( RS ; M i ) ⊆ ∑ j ≠ i ; j∈{1, , m} Hom R ( RS ; M j ) Với i = 1, , m , pi I S = ∅ nên sM i = M i với s ∈ S Do đó, theo Bổ đề 2.3.2, ϕ (Hom R ( RS ; M i )) = M i ≠ Lại ϕ (Hom R ( RS ; M i )) ⊆ ∑ ϕ (Hom R ( RS ; M j )) nên ta j ≠i M j Điều mâu thuẫn với tính tối thiểu biểu diễn có M i ⊆ ∑ j ≠i M = M + M + + M n Do ta có điều cần chứng minh □ Chú ý RS - môđun M biểu diễn R – môđun biểu diễn Att R M = {p : pRS ∈ Att RS M } Với R – môđun M , tập hợp Cos R M = { p ∈ SpecR : Hom R ( Rp ; M ) ≠ 0} gọi đối giá (co - support) M Hệ Cho M R – môđun compắc tuyến tính biểu diễn Khi ta có (i) Mọi iđêan nguyên tố R chứa phần tử Att R M thuộc tập hợp Cos R M (ii) Mọi phần tử Cos R M chứa phần tử tập Att R M (iii) M có dãy hợp thành 28 = M ⊂ M ⊂ ⊂ M r −1 ⊂ M r = M cho tất M i , i = 1, , r compắc tuyến tính biểu diễn M i / M i −1 thứ cấp Với dãy hợp thành thế, giả sử pi = Rad(Ann R ( M i / M i −1 ), i = 1, , r ) Khi ta có Att R M ⊆ {p1 , ,pr } ⊆ Cos R M Đặc biệt, ba tập hợp có chung phần tử tối thiểu iđêan nguyên tố tối thiểu chứa Ann R M Chứng minh (i) (ii) hệ trực tiếp Định lý 2.3.3 Ta chứng minh (iii) Theo Hệ 2.2.3 tồn biểu diễn thứ cấp M = M + M + + M n M cho tất M i compắc tuyến tính Vì dãy hợp thành ⊂ M ⊂ M + M ⊂ ⊂ M + + M r ⊂ M thỏa mãn yêu cầu Giả sử = M ⊂ M ⊂ ⊂ M r −1 ⊂ M r = M dãy hợp thành thế, theo Hệ 2.1.5 ta có Cos R M i = Cos R M i −1 U Cos R ( M i / M i −1 ) , với i = 1, , r Vì Att R M ⊆ {p1 , ,pr } ⊆ Cos R M Phần lại (iii) suy từ (i),(ii) [9, 2.7] □ L Melkersson P Schenzel [12, §7] với R – môđun Artin A , CosA = ∅ A = Họ đưa ví dụ để chứng tỏ điều không cho môđun tùy ý Hệ sau Hệ 2.3.4 cho thấy khẳng định cho môđun compắc tuyến tính biểu diễn Hệ Cho M R – môđun compắc tuyến tính biểu diễn Khi Cos R M = V (Ann R M ) Như vậy, Cos R M tập đóng SpecR Đặc biệt ta có Cos R M = ∅ M = Như biết, hàm tử địa phương hóa RS ⊗ - đóng khớp phạm trù môđun Noether với tập nhân đóng S R Hơn nữa, 29 Supp R M = V (Ann R M ) với R – môđun Noether M Trong với vành địa phương R [6 Ví dụ 4.6], không tồn họ hàm tử hiệp biến {FS } ứng với tập nhân đóng S R cho FS đồng thời thỏa mãn: (i) FS đóng khớp phạm trù môđun Artin; (ii) {p ∈ SpecR : Fp ( A) ≠ 0} = V (Ann R A) với R – môđun Artin A Tuy nhiên hàm tử đối địa phương hóa xét phạm trù môđun compắc tuyến tính biểu diễn lại có đầy đủ tính chất Giả sử R vành Noether, N R – môđun hữu hạn sinh M R – môđun compắc tuyến tính Vì R vành Noether nên N có biểu diễn hữu hạn f g R n  → R m  → N  →0 Do hàm tử tenxơ khớp phải nên dãy khớp cảm sinh f∗ g∗ M n  → M m  → N ⊗ M  →0 Theo Bổ đề 2.1.2, (iv), môđun M n M m compắc tuyến tính tương ứng với tôpô tích Chúng ta đồng cấu f∗ liên tục Vì Im( f∗ ) môđun đóng M m theo Bổ đề 2.1.2, (ii) Do M m / Ker ( g∗ ) ≅ N ⊗ M , trang bị cho N ⊗ M cấu trúc tôpô cảm sinh từ tôpô M m / Ker ( g∗ ) compắc tuyến tính với tôpô Trong [12], L Melkersson P Schenzel miêu tả tập iđêan nguyên tố gắn kết N ⊗ M , R vành giao hoán M R – môđun Artin Như áp dụng đối địa phương hóa, N T Cường L T Nhàn [5] miêu tả tập trường hợp R vành Noether M R – môđun compắc tuyến tính biểu diễn định lí sau Định lý Cho R vành Noether, N R − môđun hữu hạn sinh M R − môđun compắc tuyến tính Khi ta có 30 (i) Tôpô trang bị cho N ⊗ M theo cách không phụ thuộc vào biểu diễn hữu hạn N (ii) Nếu giả thiết thêm M biểu diễn N ⊗ M môđun biểu diễn Att R ( N ⊗ M ) = Supp R N I Att R M Chứng minh (i) Giả sử R r → R s → N → biểu diễn hữu hạn thứ hai N Bằng phương pháp tương tự chứng minh Định lý 2.1.4, (i), ta ánh xạ đồng P → P ' phép đồng phôi, P P ' tương ứng R − môđun tôpô N ⊗ M xác định biểu diễn thứ biểu diễn thứ hai (ii) Rõ ràng V (Ann R ( N ⊗ M )) ⊆ Supp R N Vì N ⊗ M ảnh đồng cấu M m nên N ⊗ M R − môđun biểu diễn Att R ( N ⊗ M ) ⊆ Supp R N IAtt R M m = Supp R N IAtt R M Ngược lại, lấy p tùy ý Supp R N IAtt R N Theo Hệ 2.2.4, có môđun thương B M cho B compắc tuyến tính p - thứ cấp Vì R vành Noether nên pB ≠ B pB môđun đóng B theo Bổ đề 2.1.2, (i), (vi) Do M có ảnh đồng cấu C = B / pB compắc tuyến tính p - thứ cấp với p = Ann R C Vì pRpHom R ( Rp ; C ) = Bằng việc áp dụng tính chất khớp hàm tử đối địa phương hóa Hệ 2.1.5 tương tự chứng minh [12, Bổ đề 5.1], Hom R ( Rp , N ⊗ R C ) ≅ Hom R ( Rp ; C ) ⊗ Rp N p ≅ Hom R ( Rp ; C ) ⊗ Rp / pRp N p / pRp Vì p = Ann R C nên Hom R ( Rp ; C ) ≠ theo Hệ 2.3.4, Hom R ( Rp ; C ) N p / pRp không gian véc tơ khác không trường Rp / pRp Từ ta suy N ⊗ C ≠ p – thứ cấp Vậy p ∈ Att R ( N ⊗ M ) □ 31 KẾT LUẬN Trong luận văn này, trình bày kết báo: “ On the representable linearly compact modules ” N T Cường L T Nhàn đăng Proceeding of the American Math Society năm 2001 Cụ thể hoàn thành vấn đề sau - Trình bày khái niệm số tính chất môđun compắc tuyến tính - Trình bày chứng minh hàm tử Hom R ( F ; −) đóng khớp phạm trù môđun compắc tuyến tính, với R – môđun phẳng F (Định lý 2.1.4 Hệ 2.1.5) - Trình bày chứng minh Hom R ( F ; M ) compắc tuyến tính biểu diễn M compắc tuyến tính biểu diễn ( Định lý 2.2.6) - Miêu tả tập iđêan nguyên tố gắn kết đối địa phương hóa môđun compắc tuyến tính biểu diễn tích tenxơ N ⊗ M , N 32 môđun hữu hạn sinh M R – môđun compắc tuyến tính biểu diễn (Định lý 2.3.6) TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Tự Cường (2003), Giáo trình Đại số đại, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội [2] Lê Tuấn Hoa (2003), Đại số máy tính Cơ sở Grobner, Viện Toán học [3] Dương Quốc Việt (2008), Cơ sở lý thuyết module, Nhà xuất Đại học sư phạm [4] Dương Quốc Việt (2008), Lí thuyết chiều, Nhà xuất Đại học sư phạm Tiếng Anh [5] N T Cuong and L T Nhan (2001), “On representable linearly compact modules”, Proc A M S,130(7), 1927-1936 33 [6] N T Cuong and L T Nhan (2002), “On the Noetherian dimension of Artinian modules”, Vietnam J of Math 30 (2), 121-130 [7] S Lefschetz (1942), Algebraic Topology, Collop Lect Amer Soc 27 [8] I G Macdonald (1962), “Duality over complete local ring”, Topology 1, 213-235 [9] I G Macdonald (1973), “Secondary representation of modules over a commutative ring”, Symposia Mathematica 11, 23-43 [10] H Matsumura (1986), Theory of commutative rings, Cambridge university prees [11] L Melkersson (1995), “Cohomological proerties of modules with secondary representations”, Math Scand 77(2), 197-208 [12] L Melkersson and P Schenzel (1995), “The co-localization of an Artinianmodule”, Proc Edinburgh Math Soc 38, 121-131 [...]... là môđun con đóng của M thì M là compắc tuyến tính nếu và chỉ nếu N và M / N là compắc tuyến tính (iv) Tích trực tiếp của các môđun compắc tuyến tính là compắc tuyến tính (v) Giới hạn ngược của một hệ ngược các môđun compắc tuyến tính với các đồng cấu liên tục là compắc tuyến tính (vi) Nếu M là môđun tôpô tuyến tính Hausdorff và N1 , , N r là các môđun con compắc tuyến tính của M thì N1 + + N r là compắc. .. Hom( RS ; A) hầu như không là RS - môđun Artin, trong khi đó với M là R - môđun compắc tuyến tính biểu diễn được, Hom( RS ; M ) luôn luôn là R – môđun compắc tuyến tính biểu diễn được Do đó việc nghiên cứu hàm tử đối địa phương hóa trên các môđun compắc tuyến tính biểu diễn được là thực sự có ý nghĩa 2 3 2 Bổ đề Cho S tập đóng nhân của R và M là R – môđun compắc tuyến tính Giả sử ϕ : Hom R ( RS ; M )... các môđun compắc tuyến tính, với mỗi R – môđun phẳng F (Định lý 2.1.4 và Hệ quả 2.1.5) - Trình bày chứng minh Hom R ( F ; M ) là compắc tuyến tính biểu diễn được khi M là compắc tuyến tính biểu diễn được ( Định lý 2.2.6) - Miêu tả tập các iđêan nguyên tố gắn kết của đối địa phương hóa của môđun compắc tuyến tính biểu diễn được và tích tenxơ N ⊗ M , trong đó N là 32 môđun hữu hạn sinh và M là R – môđun. .. môđun compắc tuyến tính Từ đó đến nay, lớp môđun compắc tuyến tính đã được nhiều nhà toán học trên 16 thế giới quan tâm nghiên cứu Chú ý rằng, lớp môđun compắc tuyến tính rất rộng, chứa nhiều lớp môđun quan trọng trong Đại số giao hoán Thậm chí một lớp môđun con của môđun compắc tuyến tính đó là môđun compắc tuyến tính nửa rời rạc cũng chứa thực sự các môđun Artin; hơn thế nữa nó còn chứa các môđun Noether... [5] về môđun compắc tuyến tính biểu diễn được Các kết quả trong bài báo này là một mở rộng của các kết quả trong bài báo [12] của L Melkersson and P Schenzel 2 1 Môđun compắc tuyến tính Sau đây, chúng tôi trình bày khái niệm môđun compắc tuyến tính theo thuật ngữ I G Macdonald [8] Một R − môđun M được gọi là môđun tôpô nếu M là một không gian tôpô và các phép toán trên môđun M là liên tục R − môđun. .. Bổ đề sau được chứng minh trong [8] 2 1 2 Bổ đề (i) Cho M là một R - môđun compắc tuyến tính và N là một môđun con của M Khi đó N là đóng nếu và chỉ nếu N là compắc tuyến tính (ii) Nếu M , N là các R -môđun tôpô tuyến tính Hausdorff, trong đó M là compắc tuyến tính và f : M → N là đồng cấu liên tục thì f ( M ) là compắc tuyến tính và do đó f là ánh xạ đóng (iii) Nếu M là R -môđun tôpô tuyến tính Hausdorff... hợp R là vành Noether và M là R – môđun compắc tuyến tính biểu diễn được như định lí sau 2 3 6 Định lý Cho R là vành Noether, N là R − môđun hữu hạn sinh và M là R − môđun compắc tuyến tính Khi đó ta có 30 (i) Tôpô trang bị cho N ⊗ M theo cách trên không phụ thuộc vào biểu diễn hữu hạn của N (ii) Nếu giả thiết thêm rằng M là biểu diễn được thì N ⊗ M là môđun biểu diễn được và Att R ( N ⊗ M ) = Supp R... môđun phẳng và M là R - môđun compắc tuyến tính biểu diễn được Khi đó Hom R ( F ; M ) là R - môđun compắc tuyến tính biểu diễn được Chứng minh Theo Hệ quả 2.2.3, chúng ta có thể chọn được một biểu diễn thứ cấp tối thiểu M = M 1 + M 2 + + M n của M sao cho mọi thành phần thứ cấp M i với i = 1, , n, đều là compắc tuyến tính Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo n Khi n =1, định lý được chứng minh theo Bổ... nhiên, với mỗi R - môđun phẳng F và mỗi R - môđun biểu diễn được có chiều Goldie hữu hạn M , ông vẫn chưa thể nói gì về tính biểu diễn được của môđun Hom R ( F ; M ) chỉ vì Hom R ( F ; M ) không nhất thiết có chiều Goldie hữu hạn Vì thế Melkersson đã đưa ra câu hỏi: Cho F là một R - môđun phẳng và M là một môđun biểu diễn được có chiều Goldie hữu hạn Hom R ( F ; M ) có là môđun biểu diễn được hay không?... -môđun compắc tuyến tính biểu diễn được và p là một phần tử của Att R M Khi đó tồn tại ảnh đồng cấu B của M sao cho B là compắc tuyến tính p – thứ cấp Chứng minh Theo Hệ quả 2.2.3, ta có thể chọn được một biểu diễn thứ cấp tối thiểu M = M 1 + M 2 + + M n của M sao cho mọi thành phần thứ cấp M i đều là M j Khi đó B là compắc tuyến tính Giả sử M i là p – thứ cấp Chọn B = M / ∑ j ≠i compắc tuyến tính ... / N compắc tuyến tính (iv) Tích trực tiếp môđun compắc tuyến tính compắc tuyến tính (v) Giới hạn ngược hệ ngược môđun compắc tuyến tính với đồng cấu liên tục compắc tuyến tính (vi) Nếu M môđun. .. compắc tuyến tính biểu diễn M compắc tuyến tính biểu diễn ( Định lý 2.2.6) - Miêu tả tập iđêan nguyên tố gắn kết đối địa phương hóa môđun compắc tuyến tính biểu diễn tích tenxơ N ⊗ M , N 32 môđun. .. R – môđun compắc tuyến tính biểu diễn Do việc nghiên cứu hàm tử đối địa phương hóa môđun compắc tuyến tính biểu diễn thực có ý nghĩa Bổ đề Cho S tập đóng nhân R M R – môđun compắc tuyến tính