Đang tải... (xem toàn văn)
PHƯƠNG PHÁP DÙNG LƯỢNG LIÊN HỢP ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ I. Một số kiến thức cần nhớ: I.1. Một số hằng đẳng thức hay sử dụng: + + + … + Sử dụng những hằng đẳng thức này, ta có thể quy phương trình vô tỉ ban đầu về dạng phương trình tích bằng việc làm xuất hiện các nhân tử chung. Từ đó ta có thể dễ dàng giải quyết tiếp Thường thì ở các bài toán sử dụng phương pháp này thì ý tưởng tổng quát của ta như sau: Giả sử nếu ta có phương trình dạng với xác định trên một miền D nào đó và ta nhẩm được một nghiệm x = a của phương trình thì ta có thể biến đổi phương trình đã cho lại thành . Đến đây ta chỉ việc xử lí phương trình G(x) = 0 nữa là ổn (Việc xử lí phương trình G(x)= 0 có thể sử dụng công cụ đạo hàm hoặc bằng bất đẳng thức). II. Các ví dụ minh họa: Sau đây, để làm rõ thêm nội dụng và ý tưởng của phương pháp, mời các bạn cùng thử sức với các ví dụ sau: II.1. Các bài toán mở đầu Các bạn hãy thử sức mình với các bài toán này trước nhé Bài toán 1: Giải phương trình sau: Bài toán 2: Giải các phương trình sau: a) b) c) d) II. 2. Bài tập minh họa: Ví dụ 1: Giải phương trình (1) Giải: Ta dự đoán được nghiệm , và ta viết lại phương trình như sau: Mặt khác, ta có: Nên phương trình thức hai vô nghiệm. Vậy (1) có 2 nghiệm . Ví dụ 2: Giải phương trình sau (2) Giải: Ý tưởng: Trước hết, kiểm tra ta thấy được rằng phương trình đã cho có một nghiệm nên ta sẽ cố gắng đưa phương trình trên về phương trình tích xuất hiện nhân tử . Ta có nhận xét rằng: và Ta đi đến lời giải như sau: (2) Mặt khác, ta có: > 0 với mọi x Vậy phương trình (2) có một nghiệm duy nhất x = 2. Ví dụ 3: Giải phương trình (3) Giải: Cũng bằng cách kiểm tra, ta thấy pt (3) nhận x = 1 làm một nghiệm nên ta có thể đưa phương trình (3) về dạng phương trình tích xuất hiện nhân tử . Ta viết lại như sau: (4) Để ý rằng hai phương trình và vô nghiệm nên nhân liên hợp hai vế của (4) ta có: Pt () Đến đây ta có hai hướng giải quyết: Hướng 1: bình phương hai vế… Hướng 2: kết hợp với pt (3) ta có hệ sau Lấy phương trình thứ nhất trừ đi 9 lần phương trình thứ hai, ta thu được: Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm . Ví dụ 4: Giải phương trình Giải: Phương trình đã cho tương đương với:
CẨM NANG CHO MÙA THI Xem thêm tài liệu hay tại: www.boxtailieu.net TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH (ÔN THI THPT QUỐC GIA) NGUYỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/groups/nguyenhuu bienEmail:http://boxtailieu.net ng.huubien@gmail.com TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA Bài 1: Giải bất phương trình x + − x ≥ − 3x − x Hướng dẫn x ≥ 0 ≤ x ≤ −3 + 41 ⇔ −3 − 41 - Điều kiện: 1 − x ≥ −3 + 41 ⇔ ≤ x ≤ ≤x≤ 8 2 − 3x − x ≥ - Bất phương trình cho tương đương với x + − x + x(1 − x ) ≥ − x − x ⇔ 3( x + x) − (1 − x) + ( x + x )(1 − x) ≥ −5 + 34 x≥ x +x x +x x +x ⇔3 +2 −1 ≥ ⇔ ≥ ⇔ x + 10 x − ≥ ⇔ 1− x 1− x 1− x −5 − 34 x ≤ −5 + 34 −3 + 41 - Kết hợp điều kiện (*), ta suy nghiệm bất phương trình ≤x≤ 2 Bài 2: Giải bất phương trình x − + 3x − + x − 24 x + 10 x − ≥ 0, ( x ∈ R) Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ - Bất phương trình cho tương đương với x − − + x − − + x − 24 x + 10 x + ≥ ⇔ ( x − − 1) + 2( x − − 2)( x − 2)(9 x − x − 2) ≥ x−2 2(3 x − 6) + + ( x − 2) (3 x − 1) − ≥ x −1 + 3x − + [ ⇔ ] ⇔ ( x − 2) + + (3 x − 1) − 3 ≥ 0(1) 3x − + x −1 + - Dễ thấy + + (3 x − 1) − > (3.1 − 1) − = > 0, ∀x ≥ x −1 + 3x − + - Hơn (1) ⇔ x − ≥ ⇔ x ≥ Kết hợp điều kiện thu x ≥ Bài 3: Giải bất phương trình sau: + log x + log ( x + ) > log (6 − x) Hướng dẫn: ĐK: < x < 2 ⇔ log 2 x + x > log ( − x ) ⇔ x + x > ( − x ) ⇔ x + 16 x − 36 > ( ) Vậy: x < −18 hay < x So sánh với điều kiện KL: Nghiệm BPT < x < Bài 4: Giải bất phương trình x − 22 x + 19 x + x − − > 1, ( x ∈ R ) x3 + 2x + 2x − x ≥ Hướng dẫn: Điều kiện x + 2x + 2x − ≠ - Nhận xét x + x + x − ≥ + + − = > 0, ∀x ≥ - Bất phương trình cho tương đương với x − 22 x + 19 x − x − − > x + x + x − ⇔ x − − + x − 24 x + 17 x − > NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien http://boxtailieu.net Trang TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA ⇔ - Rõ ràng x−2 + ( x − 2)(8 x − x + 1) > ⇔ ( x − 2) + 2(2 x − 1) − 1 > 0(1) x −1 + x −1 + + 2(2 x − 1) − > 2(2 − 1) − = > 0, ∀x ≥ nên (1) ⇔ x − > ⇔ x > x −1 + Bài 5: Giải bất phương trình: log ( x + 1) − log ( − x ) ≤ + log ( 3x + ) ⇔ log ( x + 1) + log ( 3x + ) ≤ + log ( − x ) Hướng dẫn: + Điều kiện: − < x < ⇔ log ( x + 1)( x + ) ≤ log 5 ( − x ) ⇔ ( x + 1)( x + ) ≤ ( − x ) ⇔ 12 x + 21x − 33 ≤ ⇔− 33 ≤ x ≤1 12 4 Giao với điều kiện, ta được: − < x ≤ Vậy: nghiệm BPT cho − < x ≤ Bài 6: Giải bất phương trình ( x − 1) x − x + ≥ x x + + x + 2( x ∈ R) Hướng dẫn: Điều kiện: x ∈ R Khi : ⇔ ( x + 1)(2 + x − x + ) + x(2 x + − x − x + ) ≤ x(4 x + − x + x − 5) ⇔ ( x + 1)(2 + x − x + ) + ≤0 x2 +1 + x − 2x + x( x + 1)(3 x − 1) ⇔ ( x + 1)(2 + x − x + ) + ≤0 x2 +1 + x2 − 2x + x(3 x − 1) ⇔ ( x + 1)(2 + x − x + + )≤0 2 x +1 + x2 − 2x + x + + x − x + + ( x + 1)( x − x + 5) + x − x + ≤0 ⇔ ( x + 1) 2 x +1 + x − 2x + 2 - Do x − x + = ( x − 2) + x + > nên (2) ⇔ x + ≤ ⇔ x ≤ −1 ⇔ x ∈ (−∞;−1) Bài 7: Giải bất phương trình : ( x − 1) x + + x > x + Hướng dẫn: + x ≤ : loại x2 − x +1 1 + x > 1: x + > ⇔ x2 + > x + ⇔ x2 + − x > x −1 x −1 x −1 ⇔ > ⇔ ( x − 1) > x + + x ⇔ 4x − > x + x + + x x −1 x > ⇔ ⇔x>2 15x − 40x + 20 > NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien http://boxtailieu.net Trang TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA ) ( Bài 8: Giải bất phương trình: x + x < + x( x + x − 4) (x∈ R) ( ) Hướng dẫn: x + x < + x( x + x − 4) (*) −1 − ≤ x ≤ - ĐK: x(x2 + 2x − 4) ≥ ⇔ x ≥ −1 + - (*) ⇔ x( x + x − 4) > x + x − ⇔ x( x + x − 4) > ( x + x − 4) + 3x (**) x2 + x − x2 + 2x − TH 1: x ≥ −1 + , chia hai vế cho x > 0, ta có: (**) ⇒ > +3 x x x2 + x − Đặt t = , t ≥ , ta có bpt: t − 4t + < ⇔ < t < x x − x − < −1 + 17 + 65 x2 + x − 1< x + + x − Hướng dẫn: BPT ⇔ x + − x + + x − − x − > ⇔ (−2 x + 4)[ 1 + ]>0 2x + + 4x + 3x − + x − ⇔ x 2x + + x + + + 3 5x + + 5x + ) ( ) ( 18x + 57x + 127 > 0, ∀x ≥ − 45 - Do (*) ⇔ x − ≤ ⇔ x ≤ , kết hợp với điều kiện x ≥ − trình cho có nghiệm − ta suy bất phương ≤x ≤2 Bài 11: Giải bất phương trình Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ − 2( x + 2) + 2( x + 1) ≥ x + + 7( x ∈ R ) 2x + +1 Bất phương trình cho tương đương với ⇔ x + − + x + x + ≥ x + + ⇔ x + − x + + 2( x + x − 3) ≥ x −1 + 2( x − 1)( x + 3) ≥ ⇔ ( x − 1) + 2( x + 3) ≥ 0(1) 2x + + x + 2x + + x + Chú ý + 2( x + 3) > 0, ∀x ≥ − nên (1) ⇔ x − ≥ ⇔ x ≥ 2x + + x + Vậy bất phương trình cho có nghiệm x ≥ Bài 12: Giải bất phương trình 1− + 2x − ≥ x x x x ≥ − ≥ −2 ≤ x < x x < Hướng dẫn: Điều kiện bất phương trình: ⇔ ⇔ x ≥ 2 x − ≥ x ≥ x −2 ≤ x < - Với −2 ≤ x < ⇒ bất phương trình cho - Với x ≥ ⇒ bất phương trình cho ⇔ x − + 2( x − 2)( x + 2) ≥ x x ⇔ 4( x − 2) + 2( x − 4) + ( x − 2) ( x + 2) ≥ x ⇔ x − x − x + 16 − 2( x − x − x + 8) ≤ ⇔ 2( x − x − x + 8) − 2( x − x − x + 8) + 16 ≤ NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien http://boxtailieu.net Trang TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA ( 2( x − x − x + 8) − ) ≤ ⇔ 2( x3 − x − x + 8) = x = ⇔ x − x − x = ⇔ x = + ⇔ x = + (do x ≥ ) x = 1− { Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm [ −2; ) ∪ + } Bài 13: Giải bất phương trình sau : log ( x − 1) ≥ log ( x − 1) Hướng dẫn: ĐK: x >1 BPT log ( x − 1) ≥ log ( x − 1) ⇔ log ( x − 1) + log ( x − 1) ≥ 2 ⇔ ( x − 1)( x − 1) ≥ ⇔ x3 − x − x + ≥ ⇔ x( x − x − 1) ≥ ⇔ x≥ 1+ (do x >1) 1 + ; +∞ Vậy tập nghiệm BPT S= Bài 14: Giải bất phương trình 2log ( x − 1) + log (2 x − 1) ≤ Hướng dẫn: ĐK: x > BPT ⇔ 2log3 ( x − 1) + log (2 x − 1) ≤ 32 ⇔ log3 ( x − 1) + log (2 x − 1) ≤ ⇔ log3 ( x − 1)(2 x − 1) ≤ ⇔ ( x − 1)(2 x − 1) ≤ ⇔ x − 3x − ≤ ⇔ − ≤ x ≤ Kết hợp ĐK ta có tập nghiệm S = (1;2] Bài 15: Giải bất phương trình ( x − 3)( x − + x ) ≥ ( x − 1) , ( x ∈ R) Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ - Nhận xét x = không thỏa mãn toán, - Bất phương trình cho tương đương với x −1 ≠ x ( x − 1) x−3≥ ⇔ x − ≥ ( x − − x ) ⇔ x − ≥ 3x − − 2 x − x ( 2x −1 + x ) ⇔ x − x ≥ x + ⇔ x − x ≥ x + x + ⇔ x − 3x − ≥ ⇔ x ≥ + 13 − 13 ,x ≤ 2 13 + Kết hợp điều kiện ta thu nghiệm x ≥ Bài 16: Giải bất phương trình x − (4 x − 12 x + 5) x − x ≤ 12 x − x + x ≥ x ≤ Hướng dẫn: +) Điều kiện: x − x ≥ ⇔ NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien http://boxtailieu.net Trang TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA +) Ta có bất phương trình cho tương đương với x − 12 x + x − − (4 x − 12 x + 5) x − x ≤ ⇔ (2 x − 1)(2 x − x + 2) − (2 x − 1)(2 x − 5) x − x ≤ [ ] ⇔ (2 x − 1) x − x + − (2 x − 5) x − x ≤ ⇔ (2 x − 1) f ( x) ≤ 0(1) 2 +) Với f ( x) = x − x + − (2 x − 5) x − x Đặt t = x − x ; (t ≥ 0) ⇒ t = x − x - Khi x − x + − (2 x − 5) x − x = 2( x − x) − (2 x − 5)t − x + = 2t − (2 x − 5)t − x + - Ta có ∆ = (2 x − 5) − 8(2 − x) = x − 20 x + 25 + x − 16 = x − 12 x + = (2 x − 3) t = x − Do phương trình f ( x) = ⇔ t = − Do ta có phân tích f ( x) = x − x + − (2 x − 5) x − x = ( x − x − x + 2)(2 x − x + Khi (1) ⇔ (2 x − 1)( x − x − x + 2)(2 x − x + 1) ≤ ⇔ (2 x − 1)( x − x − x + 2) ≤ 0, (2) (Do x − x + > với x thuộc miền xác định) Ta xét số trường hợp sau: (không thỏa mãn) x ≥ +) TH2) x − x = x − ⇔ ⇔ x = (thỏa mãn) x − 2x = x − 4x + 2 x − > x > +) TH3 ⇔ ⇒ Hệ phương trình vô nghiệm x − x < x − x − 2x < x − 4x + +) TH1: x − = ⇔ x = 2 x − < ⇔ x < x − x > x − +) TH4 Kết hợp với đk ta x ≤ Vậy bất phương trình cho có nghiệm x=2;x ≤ Bài 17: Giải bất phương trình: log ( x + 1) − log ( − x ) ≤ + log ( 3x + ) + BPT ⇔ log ( x + 1) + log ( 3x + ) ≤ + log ( − x ) Hướng dẫn: + Điều kiện: − < x < ⇔ log ( x + 1)( x + ) ≤ log 5 ( − x ) ⇔ ( x + 1)( x + ) ≤ ( − x ) ⇔ 12 x + 21x − 33 ≤ ⇔− 33 ≤ x ≤1 12 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien http://boxtailieu.net Trang TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 4 Giao với điều kiện, ta được: − < x ≤ Vậy: nghiệm BPT cho − < x ≤ Bài 18: Giải bất phương trình: (4 x − x − 7) x + > 10 + x − x Hướng dẫn: ĐK: x ≥ -2 (4 x − x − 7) x + > 10 + x − x ⇔ (4 x − x − 7) x + + 2(4 x − x − 7) > 2[( x + 2) − 4] ⇔ (4 x − x − 7)( x + + 2) > 2( x + − 2)( x + + 2) ⇔ x2 − x − > x + − ⇔ x2 > x + + x + + ⇔ (2 x) − ( x + + 1) > ⇔ (2 x + x + + 1)(2 x − x + − 1) > x + > x − ⇔ x + < −2 x − x + > −2 x − x + < x − + 41 ; +∞ Giải hệ bất pt tập nghiệm là: T = [ −2; −1) ∪ Bài 19: Giải bất phương trình x − x ≥ (4 + x − 1)( x + 14 + x − 1) Hướng dẫn: Điều kiện : x ≥ (1) ⇔ x3 − x ≥ (4 + x − 1)( x − + x − + 16 − 1) ⇔ x3 − x ≥ (4 + x − 1)3 − (4 + x − 1) (2) - Xét hàm số f (t ) = t − t ; f '(t ) = 3t − > 0∀t ≥ ⇒ f(t) đồng biến [1;+ ∞ ) mà (2) có f (2 x) ≥ f (4 + x − 1) x, + x − ∈ [1; +∞) nên (2) ⇔ x ≥ + x − 2 x − ≥ ⇔ x − ≥ x − ⇔ (2 x − 4)2 ≥ x − x −1 ≥ x ≥ x ≥ 17 + 17 ⇔ ⇔ 17 − 17 17 + 17 ⇔ x ≥ ;x ≥ x − 17 x + 17 ≥ x ≤ 8 ( ) Bài 20: Giải bất phương trình: (x + 2) 2x + − x + + 2x + 5x + ≥ Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ −1 x + = a − b 2x + = a Đặt x + = b ⇒ 2x + 5x + = ab a, b ≥ 1 = a − 2b Bất phương trình trở thành: (a − b )(a − 2b ) + ab ≥ a − 2b ⇔ (a − b )(a − 2b) + b(a + b) − (a − b ) ≥ ⇔ (a − b)(a − 2b) − (a − 2b) ≥ (do a + b > 0) ⇔ (a − 2b)(a − b − 1) ≥ NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien http://boxtailieu.net Trang TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA x ≥ −1 x ≥ −1 1 TH1: 2x + − x + ≤ ⇔ x ≥ − ⇔− ≤x ≤3 2 2x + − x + − ≤ −1 ≤ x ≤ x ≥ −1 x ≥ −1 TH2: 2x + − x + ≥ ⇔ x ≤ − ⇔ x = −1 2x + − x + − ≥ x ≤ −1; x ≥ Vậy bất phương trình có nghiệm S = {−1} ∪ − ; 3 Bài 21: Giải bất phương trình 10 x − 50 x − ≥ x − x + − x − 10 x − 50 x − ≥ 25 + 745 Hướng dẫn: Điều kiện 2 x − x + ≥ ⇔ x ≥ 10 x ≥ x − 14 x + 47 - Nhận xét x − x + − x − = >0 2x − 5x + + x − - Bất phương trình cho tương đương với 10 x − 50 x − ≥ x − x + + x − 45 − (2 x − 1)( x − 2)( x − 5) ⇔ x − 27 x + 20 + (2 x − 1)( x − 5) x − ≥ ⇔ 2(2 x − 11x + 5) − 5( x − 2) + x − 11x + x − ≥ - Đặt x − 11x + = a; x − = b, (a > 0; b > 0) ta thu 2a − 5b + 3ab ≥ ⇔ (a − b)(2a + 5b) ≥ ⇔ a ≥ b ⇔ x − 11x + ≥ x − ⇔ x − 12 x + ≥ ⇔ x ≥ Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm S = 3 + Bài 22: Giải bất phương trình + 22 − 22 ;x ≤ 2 22 ;+∞ 3x − 12 x + ≤ x − + x − x 3 x − 12 x + ≥ Hướng dẫn: Điều kiện x ≥ ⇔ x≥2 x ( x − 2) ≥ Bất phương trình cho tương đương với x − 12 x + ≤ x + x − x − + ( x − 1)( x + x + 1) x( x − 1) ⇔ x − x + 10 x − + ( x − 1)( x − ( x + x + 1) x ≥ ⇔ ( x + x + x) − 3( x − x + 2) + x − x + x + x + x ≥ NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien http://boxtailieu.net Trang TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA x − 3x + x − 3x + ⇔ − 3 +2 ≥ 0(1) x + x2 + x x + x2 + x x − 3x + Đặt = t (t ≥ 0) (1) x3 + x + x ⇔ − 3t + 2t ≥ ⇔ − ≤ t ≤ ⇒ x − x + ≤ x + x + x ⇔ x + x + ≥ 0(2) Nhận thấy (2) nghiệm với x ≥ Kết luận nghiệm S = [2;+∞ ) Bài 23: Giải bất phương trình: x + x2 + x + + ≥ 2 +3 x +1 x +1 Hướng dẫn: ĐK: x > -1 x2 + x + ≥ 3, ∀x > −1 x +1 x+3 - Lại có = x +1 + x +1 x +1 (1) - Theo câu a ta có: - Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số x + 1, ta được: x +1 ≥ 2, ∀x > −1 (2) x +1 x + x2 + x + Từ (1) (2), cộng vế với vế ta có: + ≥ 2 + , ∀x > −1 x +1 x +1 x +1 + Suy giá trị x > -1 thỏa mãn bất phương trình Vậy kết hợp với điều kiện, bât phương trình có tập nghiệm Bài 24: Giải bất phương trình sau: S = ( −1; +∞ ) + x − x + 3x + 1− x − x +1 >1 x ≥ Hướng dẫn: Điều kiện: x + 3x + ≥ ⇔ x≥0 1 − x − x + ≠ 1 - Ta có x − x + = x − + ≥ > (∀x ≥ 0) ⇒ − x − x + < 2 - BPT ⇔ x + x2 − x + < x + 3x + 1 ⇔ + x + − < x + + (Vì x = không thỏa mãn bất phương trình) x x - Đặt x + = t ⇒ t ≥ x > x 13 - Ta có + t − < t + ⇔ t − < ⇔ t < NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien http://boxtailieu.net Trang TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA - Suy ≤ t < 13 13 ⇒2≤ x+ < x x + x ≥ 13 − 105 13 + 105 ( x − 1) ≥ ⇔ ⇔ ⇔ + 57 2 x > > 2 a b x − x > x + x − x − > ⇔ x > + 57 (do x ≥ 1) - TH1: ⇔ ⇔ ⇔ − 57 a > 2b x − x > x + x − 5x − > x < 2 x − x < x + x − 2x − < a < b - TH2: ⇔ ⇔ ⇔ − < x < + ⇔ ≤ x < + (do x ≥ ) a < 2b x − x < 4x + x − 5x − < + 57 ;+∞ ∪ 1;1 + [ Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = ) Bài 26: Giải bất phương trình log ( x + ) ≥ log ( x +1 − 3) − log 2 x 2 Hướng dẫn: log ( x + ) ≥ log ( x +1 − 3) − log 2 x 2 ⇔ log ( + ) ≥ log ( x +1 − 3) + log x x 2 ⇔ log ( + ) ≥ log ( x 2 x +1 − 3.2 x ) ⇔ x + ≤ 22 x +1 − 3.2 x ⇔ x − 3.2 x − ≥ x ≤ −1( L ) ⇔ x ⇔x≥2 ≥ Vậy BPT có tập nghiệm: S = [ 2; +∞ ) NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien http://boxtailieu.net Trang 10 TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA Bài 27: Giải bất phương trình 2.14 x + 3.49 x − x ≥ x 2x 7 7 Hướng dẫn: Chia hai vế bpt cho bpt ⇔ + − ≥ 2 2 t ≤ −1 x 7 Đặt t = (với t > 0) BPT trở thành 3t + 2t – ≥ ⇔ 1⇒t≥ t ≥ 2 3 x x 7 ⇔ ≥ ⇔ x ≥ − log KL: BPT có tập nghiệm S = − log ; + ∞ 2 2 Bài 28: Giải bất phương trình x x − + 45 x − 75 x + 30 x < 4( x ∈ R ) Bất phương trình cho tương đương với x x − − x + 45 x − 75 x + 34 x − < Hướng dẫn: Điều kiện x ≥ ⇔ x( x − − 1) + ( x − 1)(45 x − 30 x + 4) < ⇔ x ( x − 2) + ( x − 1) 5(3 x − 1) − < 2x −1 + [ ] 4x ⇔ ( x − 1) + 5(3 x − 1) − 1 < 0(1) 2x −1 +1 4x 1 - Nhận xét + 5(3 x − 1) − > 5(3 − 1) − > 0, ∀x ≥ nên (1) ⇔ x − < ⇔ x < 2 2x −1 + 1 - Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm S = ;1 2 Bài 29: Giải bất phương trình: log ( x − 2) + log 0,5 x < Hướng dẫn: Điều kiện: x > ⇔ log ( x − ) − log x < ⇔ log x−2 x−2 −2 Bài 30: Giải bất phương trình: x − x − > x3 − x + x − x3 − x + Hướng dẫn: Cách 1: BPT ⇔ x − x − > x ( x − ) + 1 − ⇔ ( x − 2)+ | x − | x + > x 1 + ( x − 2) ( x − 2) ( x + 1) + 1 ( x ≥ 0) (1) * x = : (1) ⇔ > 2 (loại) * x = : (1) ⇔ −2 > −2 (loại) NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien http://boxtailieu.net Trang 11 TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA * x > : (1) ⇔ ( x − 2) + x + > x 1 + ( ) ( x − 2) x ( x − 2) > ta được: (1) ⇔ - Chia vế cho - Xét hàm f (t ) = t + + t , t > ⇒ f '(t ) = + + 1 1 1 + 1+ > + 1+ x x−2 x ( x − 2) t 1+ t2 > ∀t > ⇒ f (t ) đồng biến 1 > ⇔ x − > x ⇔ x − x + > ⇔ x > 4; x < x x−2 - Kết hợp x > ⇒ x > * < x < 2: (1) ⇔ ( x − 2) − x + > x 1 + ( x − ) + 1 1 - Chia vế cho x ( x − 2) < ta được: (1) ⇔ − 1+ < − 1+ x x−2 x x − ( ) ∀t > , (1) ⇔ ( ) - Xét hàm f (t ) = t − + t , t ∈ R ⇒ f '(t ) = − biến ∀t Từ (1) ⇔ t 1+ t2 = 1+ t2 − t 1+ t2 > ∀t ⇒ f (t ) đồng 1 < Trường hợp vô nghiệm < x−2 x x−2 Đáp số: x > Cách 2: ĐK x ≥ + x = không nghiệm Xét x > : + (1) ⇔ ( x −2 )( x2 − 5x + ) x +1 > x3 − x + x + x3 − x + x +1 x −1 ⇔ f ( x) = ( x − ) + > x3 − x + x + x3 − 3x + x +2 x +1 x −1 + Xét g ( x) = + x +2 x − x + x + x3 − 3x + Nếu x ≥ g ( x) > + Nếu < x < 1: x + > ⇒ x + > Ta có: x3 − 3x + = ( x + 1)( x − ) x +1 x +1 > = x +2 x +2 (1) = x − x +1 > x − = − x ⇒ x3 − x + x + x3 − 3x + > − x 1− x 1− x 1− x 1− x ⇒ < = < = x3 − x + x + x3 − 3x + − x − x + x − x x −1 ⇒ >− (2) x3 − x2 + x + x3 − 3x2 + NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien http://boxtailieu.net Trang 12 TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA Từ (1) (2) suy g ( x) > ∀x > + f ( x) > ⇔ x − > ⇔ x > Kết hợp ĐK suy đáp số: x > Bài 31: Giải bất phương trình x − ≤ x − x − + x + 1( x ∈ R ) x3 − ≥ x ≥ Hướng dẫn: Điều kiện: x − x − ≥ ⇔ ⇔ x≥3 ( x − 3)( x + x + 3) ≥ x + ≥ Bất phương trình cho tương đương với x − ≤ x − x − + x − + ( x − 3)( x + x + 3)( x + 1) ⇔ x − x ≤ ( x − 3)( x + 1) x + x + ⇔ x − x − − x − x − x + x + + x + x + ≤ ⇔ ( x − 2x − − x + x + 3) ≤ ⇔ x − x − = x + x + ⇔ x − x − = x + x + ⇔ x = −2 Đối chiếu điều kiện, kết luận bất phương trình cho vô nghiệm Bài 32: Giải bất phương trình : log log (2 − x ) > ( x ∈ R) Hướng dẫn: - Điều kiện: log (2 − x ) > ⇔ − x > ⇔ −1 < x < −1 < x < −1 < x < −1 < x < - Khi ⇔ log (2 − x ) < ⇔ ⇔ ⇔ 2 x≠0 2 − x < x > Vậy tập nghiệm bpt S = (−1;0) ∪ (0;1) ( ) Bài 33: Giải bất phương trình: x + x < + x( x + x − 4) (x∈ R) −1 − ≤ x ≤ Hướng dẫn: ĐK: x(x2 + 2x − 4) ≥ ⇔ x ≥ −1 + ⇔ x( x + x − 4) > x + 5x − ⇔ x( x + x − 4) > ( x + x − 4) + 3x (**) + TH 1: x ≥ −1 + , chia hai vế cho x > 0, ta có: (**) ⇒ x2 + x − x2 + 2x − > +3 x x x2 + x − , t ≥ , ta có bpt: t − 4t + < ⇔ < t < x x − x − < x2 + x − −1 + 17 + 65 1< 0) ⇔ (a − 2b)(a − b − 1) ≥ x ≥ −1 x ≥ −1 1 TH1: 2x + − x + ≤ ⇔ x ≥ − ⇔− ≤x ≤3 2 2x + − x + − ≤ −1 ≤ x ≤ NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien http://boxtailieu.net Trang 18 TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA x ≥ −1 x ≥ −1 TH2: 2x + − x + ≥ ⇔ x ≤ − ⇔ x = −1 2x + − x + − ≥ x ≤ −1; x ≥ Vậy bất phương trình có nghiệm S = {−1} ∪ − ; 3 Bài 47: Giải bất phương trình x + − x ≥ − 3x − x Hướng dẫn: x ≥ 0 ≤ x ≤ −3 + 41 Điều kiện: 1 − x ≥ ⇔ −3 − 41 −3 + 41 ⇔ ≤ x ≤ ≤x≤ 8 2 − 3x − x ≥ (*) Bất phương trình cho tương đương với x + − x + x(1 − x ) ≥ − x − x ⇔ 3( x + x) − (1 − x) + ( x + x )(1 − x) ≥ −5 + 34 x ≥ x +x x +x x +x ⇔3 +2 −1 ≥ ⇔ ≥ ⇔ x + 10 x − ≥ ⇔ 1− x 1− x 1− x −5 − 34 x ≤ −5 + 34 −3 + 41 Kết hợp điều kiện (*), ta suy nghiệm bất phương trình ≤x≤ 2 Bài 48: Giải bất phương trình ( x − x + 10 ) x + + ( x + ) x + ≥ x + 13x − x + 32 Hướng dẫn: Điều kiện x ≥ −2 Bất phương trình cho tương đương với bất phương trình (5 x − x + 10) ( ) x + − + (2 x + 6) ⇔ (5 x − x + 10) ( ) ( ) x + − + 3(5 x − x + 10) + 2(2 x + 6) ≥ x + 13x − x + 32 x + − + (2 x + 6) ( ) x + − − x + x − x + 10 ≥ x − x + 10 ⇔ ( x − 2) + x+7 +3 2x + − x − ≥ (*) x+2 +2 1 + Do x ≥ −2 ⇒ x + + ≥ ⇒ ≤ x + > x+2 +2 2x + 2x + ⇒ ≤ = x + (1) x+2+2 1 + Do x ≥ −2 ⇒ x + + ≥ + > ⇒ < x − x + 10 > ∀x ∈ ℝ x+7 +3 2 x − x + 10 x − x + 10 x − x + 10 2 ⇒ < = x −x+2⇒ − x − < − x − (2) x+7 +3 x+7 +3 x − x + 10 2x + Từ (1) (2) ⇒ + − x − < Do (*) ⇔ x − ≤ ⇔ x ≤ x+7 +3 x+2+2 Kết hợp điều kiện x ≥ −2 ⇒ −2 ≤ x ≤ NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien http://boxtailieu.net Trang 19 TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA x +1 x+2 Bài 49: Giải bất phương trình sau log (2 − 8) + log (24 − ) ≤ Hướng dẫn: x +1 2 − > Điều kiện: x+2 24 − > (1) ⇔ log ( x +1 − ) ≤ log ( 24 − x + ) 2 x +1 − > x > x > ⇔ x +1 ⇔ x ⇔ x x+2 x 2.2 − ≤ 24 − 4.2 2 − ≤ 24 − 6.2 ≤ 32 ⇔ < 2x ≤ 16 16 ⇔ < x ≤ log 3 Bài 50: Giải bất phương trình 2( x + − − x ) + x + 3x − ≥ Hướng dẫn: Điều kiên : −3 ≤ x ≤ ⇔2 ( ) x + − + − − 2x + 2x + 3x − ≥ x + − − ( − 2x ) ⇔ 2 + + ( x − 1)( 2x + ) ≥ x + + + − 2x ⇔ ( x − 1) + + 2x + ≥ (*) x + + + − 2x Do −3 ≤ x ≤ ⇒ − 2x ≤ ⇒ ≥ 2x + ≥ −1 nên − 2x + 3 + + 2x + > 0, ∀x ∈ −3; 2 x + + + − 2x - Từ (*) ⇔ x − ≥ ⇔ x ≥ Kết hợp với điều kiện ⇒ tập nghiệm bất phương 3 trình T = 1; 2 NGUYỄN HỮU BIỂN - NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien http://boxtailieu.net Trang 20 [...]... 0 < x < 2 2 Tập nghiệm của bất phương trình (2) là S1 = −1; + Với t > 2 thì x 1− x 2 2 2 > 2 ⇔ x > 2 1 − x 2 (3) x > 0 * Bất phương trình (3) ⇔ 2 2 x > 4(1 − x ) ⇔x> 2 5 5 2 5 Tập nghiệm của bất phương trình (3) là S2 = ;1 5 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien http://boxtailieu.net Trang 15 TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI... 3x Bài 38: Giải bất phương trình 1 − x2 −1 < 1 1 − x2 Hướng dẫn: Điều kiện x < 1 Bất phương trình đã cho tương đương với: x2 1 − x2 + x2 3x 3x > − ⇔ − + 2 > 0 (1) 1 2 2 2 1− x 1− x 1− x 1 − x2 + Đặt t = x 1 − x2 + Với t < 1 thì t < 1 t > 2 , khi đó bất phương trình (1) trở thành: t 2 − 3t + 2 > 0 ⇔ x 1− x 2 < 1 ⇔ x < 1 − x 2 (2) * −1 < x ≤ 0 : bất phương trình (2) đúng * 0 < x < 1: bất phương trình. .. https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien http://boxtailieu.net Trang 13 TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA −1 + 17 7 + 65 Vậy tập nghiệm bpt (*) là S = −1 − 5;0 ∪ ; 2 2 Bài 34: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm x ∈ 0; 1 + 3 : m ( x 2 − 2 x + 2 + 1) + x( 2 − x ) ≤ 0 Hướng dẫn: Đặt t = x2 − 2x + 2 do x ∈ [0;1 + 3] nên t ∈ [1;2] - Bất phương trình trở thành: m ≤ - Khảo sát hàm... http://boxtailieu.net Trang 12 TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA Từ (1) và (2) suy ra g ( x) > 0 ∀x > 0 + f ( x) > 0 ⇔ x − 4 > 0 ⇔ x > 4 Kết hợp ĐK suy ra đáp số: x > 4 Bài 31: Giải bất phương trình x 3 − 8 ≤ x 3 − 2 x 2 − 9 + x + 1( x ∈ R ) x3 − 8 ≥ 0 x ≥ 2 Hướng dẫn: Điều kiện: x 3 − 2 x 2 − 9 ≥ 0 ⇔ ⇔ x≥3 2 ( x − 3)( x + x + 3) ≥ 0 x + 1 ≥ 0 Bất phương trình đã cho...TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA - Suy ra 2 ≤ t < 13 1 13 ⇒2≤ x+ < 4 x 4 1 2 x + x ≥ 2 13 − 105 13 + 105 ( x − 1) ≥ 0 ⇔ ⇔ ⇔ 0 x > 343 ∪ x < 3 5 Vậy bất phương trình ban đầu có nghiệm là ≤ x < 3 3 Bài 41: Giải bất phương trình : ( x − 1) x 2 + 5 + x > x 2 + 1 Hướng dẫn: + x ≤ 1 : lo ạ i NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien http://boxtailieu.net Trang 16 TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA x2 − x +1 1 1 ⇔ x2 + 5 > x + ⇔ x2 +... https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien http://boxtailieu.net Trang 18 TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA x ≥ −1 x ≥ −1 1 TH2: 2x + 3 − 2 x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≤ − ⇔ x = −1 2 2x + 3 − x + 1 − 1 ≥ 0 x ≤ −1; x ≥ 3 1 Vậy bất phương trình có nghiệm S = {−1} ∪ − ; 3 2 Bài 47: Giải bất phương trình x + 1 − x 2 ≥ 2 − 3x − 4 x 2 Hướng dẫn: x ≥ 0 0... giá) 10 10 1 - Do đó bất phương trình (*) ⇔ 10 x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 5 1 3 Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm bất phương trình là: ≤ x ≤ 5 10 ( ) Bài 46: Giải bất phương trình: (x + 2) 2x + 3 − 2 x + 1 + 2x 2 + 5x + 3 ≥ 1 Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ −1 x + 2 = a 2 − b 2 2x + 3 = a Đặt x + 1 = b ⇒ 2x 2 + 5x + 3 = ab a, b ≥ 0 1 = a 2 − 2b 2 Bất phương trình trở thành: (a 2... Bài 36: Giải bất phương trình x 2 + x + 2 + x 3 + 2 x 2 + x ≥ ( x 2 + 1) 3x + 6 ( x ∈ R) Hướng dẫn: Điều kiện x ≥ −2 + Nhận xét x = -2 thỏa mãn bất phương trình đã cho + Xét trường hợp x >-2 thì bất phương trình đã cho tương đương x 2 + x + 2 − 2 + x 3 + 2 x 2 + x + 2 − ( x 2 + 1) 3 x + 6 ≥ 0 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien http://boxtailieu.net Trang 14 TUYỂN CHỌN 50. .. ⇔ x ≥ 4;0 < x ≤ 1 x Kết hợp với điều kiện (*) và nghiệm x = 0 ta được tập nghiệm bpt là S = [0;1] ∪[4; +∞] Bài 45: Giải bất phương trình: NGUYỄN HỮU BIỂN - 300 x 2 − 40 x − 2 − 10 x − 1 − 3 − 10 x ≤0 1+ x + 1− x − 2 https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien http://boxtailieu.net Trang 17 TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 1 3 ≤x≤ 10 10 1 3 1 + x + 1 − x < 2, ∀x ... x ≤ : bất phương trình (2) * < x < 1: bất phương trình (2) ⇔ x < − x ⇔ < x < 2 Tập nghiệm bất phương trình (2) S1 = −1; + Với t > x 1− x 2 > ⇔ x > − x (3) x > * Bất phương trình. .. nghiệm bất phương trình ≤x≤ 2 Bài 48: Giải bất phương trình ( x − x + 10 ) x + + ( x + ) x + ≥ x + 13x − x + 32 Hướng dẫn: Điều kiện x ≥ −2 Bất phương trình cho tương đương với bất phương trình. .. http://boxtailieu.net Trang 13 TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA −1 + 17 + 65 Vậy tập nghiệm bpt (*) S = −1 − 5;0 ∪ ; 2 Bài 34: Tìm m để bất phương trình sau có