Đang tải... (xem toàn văn)
Phương trình không mẫu mực. PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC Ta xem phương trình không mẫu mực những phương trình không thể biến ñổi tương tương, hoặc biến ñổi hệ quả từ ñầu cho ñến khi kết thúc. Một sự phân loại như thế chỉ có tính tương ñối. I. PHƯƠNG TRÌNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ðẶT ẨN PHỤ. 1. Mục ñích ñặt ẩn phụ. 1.1. Hạ bậc một số phương trình bậc cao. • ðưa một số phương trình bậc 4 về phương trình trùng phương. Phương trình bậc bốn: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 ( a ≠ 0 ) ñưa về ñược phương trình trùng phương chỉ khi ñồ thị hàm số: f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e có trục ñối xứng. Gọi x = x0 là trục ñối xứng. Phép ñặt ẩn phụ x = x0 + X sẽ ñưa phương trình ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 về phương trình trùng phương. Ví dụ 1: Giải phương trình x4 4x3 2x2 + 12x 1 = 0 Giải. ðặt y = x4 4x3 2x2 + 12x 1 Giả sử ñường thẳng x = x0 là trục ñối xứng của ñồ thị hàm số. Khi ñó qua phép biến ñổi: x = x0 + X hàm số ñã cho trở thành: Y = (x0 + X)4 4(x0 + X)3 2(x0 + X)2 + 12(x0 + X) 1 = 4 3 2 2 3 4 x0 + 4 xo X + 6xo X + 4x0 X + X 3 2 2 3 4x0 −12x0 X −12x0 X − 2 2 4 X 2x0 − +12x0 + −1 4x0 X − 12 X − 2 X + 4x − 4 = 0 Y là hàm số chẵn của X ⇔ 0 4x3 −12x2 − 4x + 12 = 0 Suy ra: x0 = 1 và Y = X4 8X2 + 6 Phương trình ñã cho tương ñương với: X4 8X2 + 6 = 0 ⇔ X2 = 4 ± 10 ⇔ X = ± 4 − 10 , X = ± 4 + 10 Suy ra phương trình có 4 nghiệm: x = 1 ± 4 − 10 , x = 1 ± 4 + 10 Ví dụ 2: Giải phương trình x4 + 8x3 + 12x2 16x + 3 = 0 Giải. ðặt y = x4 + 8x3 + 12x2 16x + 3. Giả sử ñường thẳng x = x0 là trục ñối xứng của ñồ thị hàm số. Khi ñó qua phép biến ñổi: x = x0 + X hàm số ñã cho trở thành: Y = (x0 + X)4 + 8(x0 + X)3 + 12(x0 + X)2 16(x0 + X) + 3 = = 4 3 2 2 3 4 x0 + 4 xo X + 6xo X + 4x0 X + X 3 2 2 3 +8x0 + 24x0 X + 24 x0 X + 8 X + +12x2 + 24 x X + 12 X 2 + −16x0 − + 3 16 X + Y là hàm số chẵn, suy ra: x0 = 2 Y = X4 12X2 + 35 Y = 0 ⇔ X2 = 5, X2 = 7 ⇔ X = ± 5 , X = ± 7 Suy ra bốn nghiệm X = 2 ± 5 , X = 2 ± 7 Bài tập tương tự: BT1. Giải phương trình 2x4 16x3 + 43x2 44x + 14 = 0 ðSố: x = 2 ± 1 , x = 2 ± 2 . 2 BT2. Giải phương trình 6x4 + 24x3 + 23x2 2x 1 = 0 ðSố: x = 1 ± 2 , x = 1 ± 3 . 3 2 • ðưa phương trình bậc bốn dạng: (x a)(x b)(x c)(x d) = m, trong ñó a + d = b + c về phương trình bậc hai. Do a + d = b + c nên phương trình ñã cho tương ñương: (x a)(x d)(x b)(x c) = m ⇔ x2 (a+d)x + ad x2 (b+c)x + bc = m ( X + ad )( X + bc) = m ⇔ x2 − (a + d ) x = X = x2 − (b + c) x Phương trình ñã cho chuyển ñược chuyển về: (X + ad)(X + bc) = m ⇔ X2 + (ad + bc)X + abcd m = 0 Ví dụ 1: Giải phương trình (x 1)(x 2)(x + 3)(x + 4) = 14. Giải. Phương trình ñẫ cho tương ñương với: (x 1)(x + 3)(x 2)(x + 4) = 14 ⇔ (x2 + 2x 3)(x2 + 2x 8) = 14 ( X − 3)( X − 8) = 14 ⇔ x2 + 2x = X ⇔ X 2 −11X + 10 = 0 ⇔ X = 1, X = 10 ⇔ x = 1 ± 2 , x = 1 ± x2 + 2x = X 11 . x2 + 2 x = X Ví dụ 2: Giải phương trình (x2 1)(x + 2)(x + 4) = 7 Giải. Phương trình ñẫ cho tương ñương với: (x 1)(x + 4)(x + 1)(x + 2) = 7 ⇔ (x2 + 3x 4)(x2 + 3x + 2) = 7 ( X − 4)( X + 2) = 7 ⇔ x2 + 3x = X ⇔ X 2 − 2 X −15 = 0 ⇔ X = −3, X = 5 ⇔ x = −3 ± 29 x2 + 3x = X x2 + 3x = X 2 Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m ñể phương trình sau: (x2 1)(x + 3)(x + 5) = m a) Có nghiệm. b) Có bốn nghiệm phân biệt. Giải. Phương trình ñẫ cho tương ñương với: (x 1)(x + 5)(x + 1)(x + 3) = m ⇔ (x2 + 4x 5)(x2 + 4x + 3) = m ( X − 5)( X + 3) = m ⇔ x2 + 4x = X ⇔ X 2 − 2 X −15 = m (1) x2 + 4x = X (2) a) Phương trình (2) có nghiệm ⇔ X ≥ 4 Phương trình ñã cho có nghiệm chỉ khi phương trình (1) có nghiệm X ≥ 4. f (−4) ≤ 0 Cách 1: Phương trình (1) có nghiệm X ≥ 4 ⇔ ∆ ≥ 0 f (−4) ≥ 0 − b ≥ −4 ⇔ m ≥ 16 2a Cách 2: Hàm số f(X) = X2 2X 15 , X ≥ 4 có f (X) = 2X 2. f(X) liên tục trên 4; + ∞ ) và có cực tiểu duy nhất trên ñó tại X = 1. Suy ra, trên 4; + ∞ ) ta có min f(X) = f(1) = 16. Vậy phương trình (1) có nghiệm X ≥ 4 khi m ≥ 16. b) 4 nghiệm phân biệt ?
www.VNMATH.com Phương trình khơng mẫu mực Trần Xn Bang- GV Trường THPT Chun Quảng Bình PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC Ta xem phương trình khơng mẫu mực phương trình khơng thể biến đổi tương tương, biến đổi hệ từ ñầu cho ñến kết thúc Một phân loại có tính tương đối I PHƯƠNG TRÌNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ðẶT ẨN PHỤ Mục đích đặt ẩn phụ 1.1 Hạ bậc số phương trình bậc cao • ðưa số phương trình bậc phương trình trùng phương Phương trình bậc bốn: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = ( a ≠ ) ñưa ñược phương trình trùng phương đồ thị hàm số: f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e có trục đối xứng Gọi x = x0 trục ñối xứng Phép ñặt ẩn phụ x = x0 + X đưa phương trình ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = phương trình trùng phương Ví dụ 1: Giải phương trình x4 - 4x3 - 2x2 + 12x - = Giải ðặt y = x4 - 4x3 - 2x2 + 12x - Giả sử ñường thẳng x = x0 trục ñối xứng ñồ thị hàm số x = x0 + X hàm số ñã cho trở thành: y = Y Khi qua phép biến đổi: Y = (x0 + X)4 - 4(x0 + X)3 - 2(x0 + X)2 + 12(x0 + X) - = x04 + xo3 X + xo2 X + x0 X + X - x03 − 12 x02 X − 12 x0 X − X - x02 − x0 X − X + +12 x0 + 12 X − −1 4 x0 − = Y hàm số chẵn X ⇔ 4 x0 − 12 x0 − x0 + 12 = Suy ra: x0 = Y = X4 - 8X2 + Phương trình cho tương ñương với: X4 - 8X2 + = ⇔ X2 = ± 10 ⇔ X = ± − 10 , X = ± + 10 Suy phương trình có nghiệm: x = ± − 10 , x = ± + 10 Ví dụ 2: Giải phương trình x4 + 8x3 + 12x2 - 16x + = Giải ðặt y = x4 + 8x3 + 12x2 - 16x + Giả sử ñường thẳng x = x0 trục ñối xứng ñồ thị hàm số Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Phương trình khơng mẫu mực www.VNMATH.com Phương trình khơng mẫu mực Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình x = x0 + X hàm số ñã cho trở thành: y = Y Khi qua phép biến đổi: Y = (x0 + X)4 + 8(x0 + X)3 + 12(x0 + X)2 - 16(x0 + X) + = = x04 + xo3 X + xo2 X + x0 X + X +8 x03 + 24 x02 X + 24 x0 X + X + +12 x02 + 24 x0 X + 12 X + −16 x0 − 16 X + +3 Y hàm số chẵn, suy ra: x0 = - Y = X4 - 12X2 + 35 Y = ⇔ X2 = 5, X2 = ⇔ X = ± , X = ± Suy bốn nghiệm X = - ± , X = - ± Bài tập tương tự: BT1 Giải phương trình 2x4 - 16x3 + 43x2 - 44x + 14 = ðSố: x = ± ,x=2 ± 2 BT2 Giải phương trình 6x4 + 24x3 + 23x2 - 2x - = ðSố: x = - ± ,x=-1 ± • ðưa phương trình bậc bốn dạng: (x - a)(x - b)(x - c)(x - d) = m, a + d = b + c phương trình bậc hai Do a + d = b + c nên phương trình cho tương ñương: (x - a)(x - d)(x - b)(x - c) = m ⇔ [x2 - (a+d)x + ad] [x2 - (b+c)x + bc] = m ( X + ad )( X + bc) = m ⇔ 2 x − (a + d ) x = X = x − (b + c) x Phương trình cho chuyển ñược chuyển về: (X + ad)(X + bc) = m ⇔ X + (ad + bc)X + abcd - m = Ví dụ 1: Giải phương trình (x - 1)(x - 2)(x + 3)(x + 4) = 14 Giải Phương trình đẫ cho tương đương với: (x - 1)(x + 3)(x - 2)(x + 4) = 14 2 ⇔ (x + 2x - 3)(x + 2x - 8) = 14 ( X − 3)( X − 8) = 14 X = 1, X = 10 ⇔ X − 11X + 10 = ⇔ ⇔ + = x x X x + x = X x + 2x = X ⇔ x = - ± , x = - ± 11 Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Phương trình khơng mẫu mực www.VNMATH.com Phương trình không mẫu mực Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Ví dụ 2: Giải phương trình (x2 - 1)(x + 2)(x + 4) = Giải Phương trình ñẫ cho tương ñương với: (x - 1)(x + 4)(x + 1)(x + 2) = 2 ⇔ (x + 3x - 4)(x + 3x + 2) = ( X − 4)( X + 2) = X = −3, X = −3 ± 29 ⇔ X − X − 15 = ⇔ ⇔ ⇔x= x + 3x = X x + 3x = X x + 3x = X Ví dụ 3: Tìm tất giá trị tham số m ñể phương trình sau: (x2 - 1)(x + 3)(x + 5) = m a) Có nghiệm b) Có bốn nghiệm phân biệt Giải Phương trình đẫ cho tương đương với: (x - 1)(x + 5)(x + 1)(x + 3) = m 2 ⇔ (x + 4x - 5)(x + 4x + 3) = m ( X − 5)( X + 3) = m X − X − 15 = m (1) ⇔ ⇔ x + 4x = X (2) x + x = X a) Phương trình (2) có nghiệm ⇔ X ≥ - Phương trình cho có nghiệm phương trình (1) có nghiệm X ≥ - f (−4) ≤ ∆ ' ≥ Cách 1: Phương trình (1) có nghiệm X ≥ - ⇔ ⇔ m ≥ - 16 f (−4) ≥ b ≥ −4 − 2a Cách 2: Hàm số f(X) = X2 - 2X - 15 , X ≥ - có f '(X) = 2X - f(X) liên tục [- 4; + ∞ ) có cực tiểu X = Suy ra, [- 4; + ∞ ) ta có f(X) = f(1) = - 16 Vậy phương trình (1) có nghiệm X ≥ - m ≥ - 16 b) nghiệm phân biệt ? Thấy phương trình x2 + 4x = X1, x2 + 4x = X2 có nghiệm trùng X1 = X2 Do phương trình cho có nghiệm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt X1 > X2 ≥ - Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Phương trình khơng mẫu mực www.VNMATH.com Phương trình khơng mẫu mực Trần Xn Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình ∆ ' > Cách Ta phải có: f (−4) ≥ ⇔ - 16 < m ≤ b − > −4 2a Cách 2: Hàm số f(X) = X2 - 2X - 15 , X ≥ - có f '(X) = 2X - X - +∞ f '(X) - + +∞ f(X) - 16 Bài tập tương tự: BT1 Giải phương trình x4 - 2x3 - 7x2 + 8x + = HD Tìm a, b: (x2 - x + a)(x2 - x + b) = x4 - 2x3 - 7x2 + 8x + ðặt x2 - x = t BT2 Cho phương trình (x + 1)(x + 2)(x + 3)( x + 4) = m • ðưa phương trình bậc bốn dạng: ax + bx + cx + bx + a = 0(a ≠ 0) Thấy x = khơng thoả phương trình Chia hai vế phương trình cho x2: Phương trình cho tương ñương : ax2 + bx + c + b 1 +a =0 x x ⇔ a x + + b( x + ) + c = ⇔ a ( X − ) + bX + c = , x x X = x + hay x2 - Xx + = 0, X ≥ x VD1 Giải phương trình 2x4 + 3x3 - 10x2 + 3x + = ⇔ x + + 3( x + ) − 10 = ⇔ ( X − ) + X − 10 = ⇔ X + X − 14 = x x ⇔ X = 2, X = − , X = x + hay x2 - Xx + = 0, X ≥ x 2 i) X = 2: x - 2x + = ⇔ x = −7 ± 33 ii) X = - : 2x2 + 7x + = ⇔ VD2 Cho phương trình x4 + hx3 - x2 + hx + = Tìm h để phương trình có khơng hai nghiệm âm phân biệt Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chun Quảng Bình http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Phương trình khơng mẫu mực www.VNMATH.com Phương trình khơng mẫu mực Trần Xn Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Giải ⇔ x + + h( x + ) − = ⇔ ( X − ) + hX − = ⇔ X + hX − = (1), x x 1 X=x+ hay x2 - Xx + = (2) , X ≥ x Cách Phương trình (2) X ≥ có hai nghiệm dấu Nên muốn có nghiệm âm - b/a = X < Suy X ≤ - Nhưng (1) ln ln có hai nghiệm X1 < < X2 nên mang cho (2) ñược X1 Vậy X1 < - < < X2 Khi f(- 2) < 0, f(X) = X + hX − 3− X Cách (1) ⇔ h = , X ≥2 X 3− X 3− X −X − , X ≥ ⇒ f '( X ) = = < 0, X ≥ ðặt f ( X ) = X X2 X X - ∞ - +∞ ⇔ − 2h < ⇔ h > f '(X) f(X) - - +∞ - 2 -∞ Phương trình (2) X ≥ có hai nghiệm dấu Nên muốn có nghiệm âm - b/a = X < Suy X ≤ - Nhưng (1) ln có hai nghiệm X1 < < X2 nên mang cho (2) ñược X1 Vậy X1 < - < < X2 Theo trên: h > Bài tập tương tự: BT1 Giải phương trình 2x4 - 5x3 + 2x2 - 5x + = BT2 Cho phương trình x4 + mx3 - 2x2 + mx + = Tìm m để phương trình có khơng hai nghiệm dương phân biệt 1.2 Làm thức VD1 Giải phương trình x(x + 5) = x + x − − Giải ðặt x + x − = X ⇒ X + = x + x Phương trình ñã cho ⇔ X − X + = ⇔ X = - ⇒ x + x + = ⇒ x = - 2, x = - VD2 Cho phương trình + x + − x − (3 + x)(6 − x) = m (1) Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chun Quảng Bình http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Phương trình khơng mẫu mực www.VNMATH.com Phương trình khơng mẫu mực Trần Xn Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 1) Giải phương trình m = 2) Tìm tất giá trị m để phương trình (1) có nghiệm Giải ðặt + x + − x = t , −3 ≤ x ≤ ⇒ t ' = t ' ≥ ⇔ −3 < x ≤ X 1 − , −3 < x < 3+ x − x - f '(X) 3/ + - f(X) 3 Suy ra: ≤ t ≤ Ta có (3 + x)(6 − x) = t2 − t2 − Phương trình cho tương ñương: t = m ⇔ t2 - 2t + 2m - = (*) x +1 (1) =m VD3 Cho phương trình ( x − 3)( x + 1) + 4( x − 3) x−3 1) Giải phương trình m = - 2) Tìm tất giá trị m để phương trình (1) có nghiệm x +1 (1) =t x−3 ⇒ ( x − 3)( x + 1) = t , x ≤ - x > (2) (3) Phương trình ⇔ t + 4t = m 1) m = - 3: Phương trình (3) ⇔ t + 4t + = ⇔ t = - 1, t = - HD ðặt ( x − 3) Thay vào (1): * t = - 1: ( x − 3) x − < x − < x +1 ⇔ x = 1− = −1 ⇔ ⇔ x −3 ( x − 3)( x + 1) = x − x − = x = − thoả ñiều kiện x ≤ - x − < x − < x +1 * t = - 3: ( x − 3) ⇔ x = − 13 = −3 ⇔ ⇔ x−3 12 − − = x x ( x − 3)( x + 1) = x = − 13 thoả ñiều kiện x ≤ - 2) (3) có nghiệm t ⇔ m ≥ - Xét phương trình ( x − 3)( x + 1) = t , x ≤ - x > 2 ⇔ x - 2x - = t , x ≤ - x > ðặt f(x) = x2 - 2x - 3, x ≤ - x > Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Phương trình khơng mẫu mực www.VNMATH.com Phương trình khơng mẫu mực Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình f '(x) = 2x - x f '(x) -1 -∞ +∞ - + +∞ +∞ f(x) 0 t2 ≥ nên (2) ln ln có nghiệm Cách Nếu dùng ñịnh lý ñảo dấu tam thức bậc hai với m ≥ - Xét trường hợp thay vào (1): x +1 =0 : Phương trình có nghiệm x = - x −3 x − > x > ⇔ ii) t > 0: (1) 2 ( x − 3)( x + 1) = t F ( x) = x − x − − t = i) t = 0: ( x − 3) Thấy F(3) = - t2 < nên F(x) có nghiệm x > x +1 ≤ x ≤ −1 ⇔ 2 ( x − 3)( x + 1) = t F ( x) = x − x − − t = 3i) t < 0: (1) Thấy F(- 1) = - t2 < nên F(x) có nghiệm x ≤ - VD4 Giải phương trình n ( x + 1) − n ( x − 1)2 = −2 n x − 1, n ≥ HD Thấy x = ± khơng thoả phương trình Với x ≠ ± 1: Chia hai vế phương trình cho n x − , ta có: n x +1 n x −1 −3 = −2 x −1 x +1 (1) x +1 = t , (1) ⇔ t - + = ⇔ t + 2t - = ⇔ t = 1, t = - x −1 t x +1 x +1 =1⇔ = : Vô nghiệm i) t = : n x −1 x −1 x +1 ii) t = - 3: n = −3 (2) x −1 ðặt n + n chẵn: (2) vô nghiệm + n lẻ: (2) ⇔ x +1 3n − n = ( −3) ⇔ x + = ( x − 1)(−3)n ⇔ (3n + 1) x = 3n − ⇔ x = n +1 x −1 1.3 Làm giá trị tuyệt đối VD1 Tìm m để phương trình sau có nghiệm x2 − x − m x − + m2 = Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chun Quảng Bình http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Phương trình khơng mẫu mực www.VNMATH.com Phương trình khơng mẫu mực Trần Xn Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình HD ðặt x − = t ≥ ⇒ x − x = t − (1) Phương trình cho tương ñương t2 - mt + m2 - = Phương trình cho có nghiệm khi phương trình (1) có nghiệm t ≥ 2 ∆ = m - 4m + = - 3m i) ∆ = ⇔ - 3m2 = ⇔ m = ± ii) ∆ > ⇔ - 2 m : Pt(1) có nghiệm kép t = ⇒ m= thoả 3 2 0, S > ⇔ m > Suy < m < thoả + (1) có hai nghiệm trái dấu ⇔ P < ⇔ - < m < + (1) có nghiệm ⇔ m = ±1 Khi nghiệm t = m nên m = thoả KL: - < m ≤ (1) VD2 Cho phương trình x − x + m = x − 1) Giải phương trình m = 2) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt HD ðặt x - = t ⇒ x − x = t − t ≥ t − t −1 + m = Pt(1) ⇔ t − + m = t ⇔ ⇔ t≥0 t + t − + m = t ≥ f (t ) = t − t − = −m t ≥ g (t ) = t + t − = −m f '(t) = 2t - 1, g'(t) = 2t + x f '(x) -1 f(x) - 1/2 x g '(x) +∞ + +∞ + +∞ +∞ g(x) -1 - 5/4 Vì x = + t nên nghiệm t cho (1) nghiệm x Suy khơng có m thoả 1.4 Lượng giác hố phương trình VD Giải phương trình x3 + (1 − x )3 = x 2(1 − x ) HD Do - x2 ≥ ⇔ - ≤ x ≤ ðặt x = cost, t ∈ [0; π ] Ptrình cho ⇔ cos3 t + sin t = sin t cos t Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chun Quảng Bình http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Phương trình khơng mẫu mực www.VNMATH.com Phương trình khơng mẫu mực Trần Xn Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình ⇔ (cos t + sin t )3 − 3sin t cos t (sin t + cos t ) = sin t cos t (1) X X −1 , X ≤ 2,sin t cos t = 2 ðặt sint + cost = X ⇒ cos x − = π X −1 X −1 (1) ⇔ X − X = ⇔ X + X − 3X − = 2 ⇔ ( X − 2)( X + 2 X + 1) = ⇔ X − 2, X = − ± Nhưng X ≤ ⇒ X = 2, X = − i) X = 2: sint + cost ⇔ x + − x2 = = 1 − x = − 2 x + x ⇔ − x2 = − x ⇔ − x ≥ 2 x − 2 x + = ⇔ x= ⇔ x ≤ i) X 1- : = sint + cost = - ⇔ x + − x2 = 1− 1 − x = − 2 − 2(1 − 2) x + x x − (1 − 2) x + − = ⇔ ⇔ − x2 = − − x ⇔ 1 − − x ≥ x ≤ − ⇔x= − − 2 −1 1.5 ðại số hố phương trình lượng giác, mũ, loga VD1 Giải phương trình HD ðặt ( 2+ ) x ( x ) ( 2− =t >0 ⇒ ( + x 2+ ) =4 x 2− ) = 1t t Pt ⇔ + t = ⇔ t2 - 4t + = ⇔ t = ± ⇔ ( ( x ) = 2+ 3) = 2− 2+ x 2+ x = ⇔ 2+ 3 ( VD2 Cho phương trình ( + ) ) x tan x = 2− = ( + 5−2 ( ) 2+ ) −2 ⇔ x = 2, x = −2 tanx =m 1) Giải phương trình m = 2) Giải biện luận phương trình (1) theo m HD ðặt ( + ) tan x =t >0 ⇒ (5 − ) tan x = t t Pt ñã cho tương ñương t + = m ⇔ t − mt + = Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình (1) http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Phương trình khơng mẫu mực www.VNMATH.com Phương trình khơng mẫu mực Trần Xn Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 1) m = 4: t = ± ⇔ ( + ) tan x = ± ⇔ tanx = log 5+ ⇔ x = arctan log5+ 6 (2 ± 3) ( ± ) + kπ 2) Ptrình cho có nghiệm Pt(1) có nghiệm t > Thấy rằng, (1) có nghiệm có hai nghiệm dấu Do pt (1) có nghiệm dương có hai nghiệm dương Suy ra, cần ñủ là: tan x ∆ = m − ≥ m ± m2 − m ± m2 − ⇔ m ≥ Khi t = ⇔ 5+ = 2 S = m > m ± m2 − m ± m2 − ⇔ tan x = log 5+ ⇔ x = arctan log 5+ + kπ 2 ( ) Các kiểu ñặt ẩn phụ 1.1 ðặt ẩn phụ chuyển phương trình phương trình ẩn phụ VD Giải biện luận phương trình x − + m x + = x − HD Thấy x = - khơng thoả ptrình Pt cho tương đương với ðặt x −1 x −1 + m = 24 x +1 x +1 x −1 = t ≥ Khi (1) ⇔ 3t − 2t + m = x +1 (1) (2) Ptrình cho có nghiệm (2) có nghiệm khơng âm Cách 1: Phương trình (2) có nghiệm trái dấu ⇔ m < ∆ ' ≥ Phương trình (2) có nghiệm khơng âm ⇔ P ≥ ⇔ ≤ m ≤ S ≥ Hai nghiệm (2) t = Như thế, m < 0: ± − 3m + − 3m ⇒ t= x − 1 + − 3m x − + − 3m − M1 = ⇒ = = M ⇒ x = + M1 x +1 x +1 4 ≤ m ≤ : ⇒ x − 1 ± − 3m x − + − 3m − M1 = ⇒ = = M ⇒ x = + M1 x +1 x +1 x − − − 3m 1− M2 = = M ⇒ x = 1+ M x +1 1.2 ðặt ẩn phụ trì ẩn cũ phương trình VD1 Giải phương trình 2(1 - x) x + x − = x − x − Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 10 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Phương trình khơng mẫu mực www.VNMATH.com Phương trình khơng mẫu mực Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình x2 + y = x2 = y2 = ⇔ nghiệm Phương trình cho tương ñương với: 1 ⇔1 2 + = + = x2 y x2 y2 phương trình cho (1; 1), (1; - 1), (-1; 1), (- 1; - 1) Dạng f ( x) = M f ( x) = g ( x) ⇔ g ( x) = M f ( x) ≤ M ≤ g ( x) VD1 Giải phương trình 4(x - 2)(3 - x2) = ( x − 5) + HD (x2- 2)(3 - x2) > ⇔ < x2 < ⇒ - x2 > 0, x2- > Theo Cơsi: Phương trình : x2 − + − x2 2 ( x − 2)(3 − x ) ≤ = ⇒ 4( x − 2)(3 − x ) ≤ Mặt khác ( x − 5) + ≥ 2 x2 − = − x2 4( x − 2)(3 − x ) = ⇔ ⇔x= Phươngtrình cho tương đương: x = x − + = ( ) VD2 Giải phương trình x − + − x = x − x + 11 HD ðK ≤ x ≤ Ta có: x − + − x ≤ 2( x − + − x) = 2, x − x + 11 = ( x − 3) + ≥ x−2 + 4− x = Phươngtrình ñã cho tương ñương: ⇔x=2 ( x − 3) + = Dạng f ( x ) + g ( x) = M + N Phương trình : f ( x) ≤ M , g ( x) ≤ N (hay : f ( x) ≥ M , g ( x) ≥ N ) f ( x) = M ⇔ g ( x) = N = 28 − x − − y − y −1 36 HD Pt ñã cho ⇔ +4 x−2 + + y − = 28 (1) x−2 y −1 36 + x − ≥ 24, + y −1 ≥ x−2 y −1 VD1 Giải phương trình 36 + x−2 Như (1) tương ñương: Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 15 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Phương trình khơng mẫu mực www.VNMATH.com Phương trình khơng mẫu mực Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 36 36 x − + x − = 24 x−2 = x−2 x = 11 ⇔ ⇔ y = = y −1 + y −1 = y − y − VD2 Giải phương trình cos3x 1 - + cosx -1=1 cos3x cosx HD Pt ñã cho tương ñương: - cos3x - cosx + cosx cos3x =1 cos3x cosx ðK: cos3x > 0, cosx > PT ⇔ cos3x(1 - cos3x) + cosx(1 - cosx) = (1) Ta ñã biết a(1 - a) ≤ , ∀a Suy ra: ≤ cos3x(1 - cos3x) ≤ ⇒ Tương tự cos3x(1 - cos3x) ≤ 2 Ptrình cosx(1 - cosx) ≤ Như cos3x(1 cos3x) = cos3x = 4cos x 3cosx = ⇔ ⇔ ⇔ : Vô nghiệm cos3x(1 - cos3x) = cosx = cosx = 2 Dạng f1 ( x) = f ( x) = f1 ( x) + f ( x) + + f n ( x) = ⇔ Phương trình : f1 ( x) ≥ 0, f ( x) ≥ 0, , f n ( x) ≥ f n ( x) = VD1 Giải phương trình x2 - 2xsinxy + = HD Pt ñã cho tương ñương: (x - sinxy)2 + - (sinxy)2 = x = sin xy = sin y = y = π + k 2π x − sin xy = x = sin xy x = x = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ sin xy = ±1 sin xy = −1 sin(− y ) = −1 x = −1 1 − sin xy = π x = −1 x = −1 y = + k 2π Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 16 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Phương trình khơng mẫu mực (1) www.VNMATH.com Phương trình khơng mẫu mực Trần Xn Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình VD2 Tìm tất cặp số thực (x, y) thoả mãn : x + 2y - 2xy - 2x + 4y + = (Thi HSG L9 Quảng Bình 2007 - 2008) 2 HD Ta có: x + 2y - 2xy - 2x + 4y + = ⇔ x - ( y + 1) x + ( y + 1) = (1) Xét phương trình bậc hai (1) ẩn x y tham số Ta có: ∆ ' = ( y + 1) − 2( y + 1) = −( y + 1) ≤ 0, ∀y Do đó, phương trình (1) có nghiệm x ∆ ' = ⇔ −( y + 1) = ⇔ y = −1 Khi phương trình (1) có nghiệm kép x = Vậy cặp số (x, y) cần tìm ( 0, -1) Ghi chú: Có thể giải tốn cách đưa dạng A + B2 = 2 x + 2y - 2xy - 2x + 4y + = ⇔ ( y - x + 1) + ( y + 1) = III PHƯƠNG TRÌNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP DỰ ðỐN NGHIỆM VÀ CHỨNG MINH KHƠNG CỊN NGHIỆM Phương pháp gồm hai bước: Dự đốn nghiệm, thử vào phương trình Chứng minh khơng cịn nghiệm VD1 Giải phương trình 3x + 4x = 5x HD Bước Dự đốn: x = nghiệm Chứng minh: 32 + 42 = 52 Bước Chứng minh khơng cịn nghiệm x x Thật vậy: Pt tương ñương với + = 5 5 x x 4 i) Nếu x > i) Nếu x > + < + = : Không thoả pt 5 5 5 5 x x 4 ii) Nếu x > i) Nếu x < + > + = : Không thoả pt 5 5 5 5 VD2 Giải phương trình x + + x +5 + 1956 x = 49 HD Bước Dự đốn: x = nghiệm Chứng minh: 24 + 25 + 19560 = 49 Bước Chứng minh khơng cịn nghiệm Thật vậy: Nếu x ≠ x4 > 0, x4 + > 4, x5 + > ⇒ 2x ⇒ 2x +4 +4 > 24 = 16, x + 2x +5 +5 4 > 25 = 32,1956 x > 19560 = + 1956 x > 16 + 32 + = 49 Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chun Quảng Bình 17 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Phương trình khơng mẫu mực www.VNMATH.com Phương trình khơng mẫu mực Trần Xn Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình VD3 Giải phương trình 201− x + 91− x + 19561− x = 1985 HD x = nghiệm x ≠ ⇒ x2 > ⇒ - x2 < ⇒ 201− x < 20, 91− x < 9, 19561− x < 1956 2 2 2 2 ⇒ 201− x + 91− x + 19561− x < 1985 + 51− x + 18901− x = VD4 Giải phương trình 191− x HD x = ± nghiệm - < x < ⇒ - x2 > ⇒ 191− x + 51− x + 18901− x > 190 + 50 + 18900 = x < - x > ⇒ - x2 < ⇒ 191− x + 51− x + 18901− x < 190 + 50 + 18900 = VD5 Giải phương trình x + 28 + x + 23 + x − + x = + HD x = nghiệm VD6 Giải phương trình x + 26 + x + x + = HD x = nghiệm 1956 1981 VD7 Giải phương trình x − 2007 + x − 2008 = HD x = 2007, x= 2008 nghiệm 1981 i) x < 2007 ⇒ x - 2008 < - ⇒ x − 2008 > ⇒ x − 2008 > 4 4 ⇒ x − 2007 1956 + x − 2008 1981 >1 ii) x > 2008 ⇒ x - 2007 > ⇒ x − 2007 > ⇒ x − 2007 ⇒ x − 2007 1956 + x − 2008 1981 1956 >1 >1 iii) 2007 < x < 2008 ⇒ < x - 2007 < ⇒ x − 2007 = x - 2007 x − 2007 < ⇒ x − 2007 1956 < x − 2007 = x − 2007 (1) Tuơng tự: - < x - 2008 < ⇒ x − 2008 = 2008 - x x − 2008 < ⇒ x − 2008 Từ (1)&(2) suy ra: ⇒ x − 2007 1956 + x − 2008 1981 1981 < x − 2008 = 2008 − x (2) 19: Vô nghiệm ii) 16 - m = - ⇔ m = 19: x = - iii) 16 - m > - ⇔ m < 19: Hai nghiệm phân biệt VD2 Biện luận theo m số nghiệm phương trình x + m = m x + HD x = nghiệm với m x ≠ 0: Pt ñã cho ⇔ x = m x ðặt f ( x) = x ) ( x2 + − ⇔ x2 + −1 =m ,x ≠ x + −1 x x2 + − − x f '( x) = ( x2 + = ) x +1 −1 − x2 + x +1 x f '(x) ( ) 2 < 0, x ≠ x + −1 -∞ +∞ - + +∞ f(x) -∞ Ta có kết quả: i) m = ⇔ x = ii) m ≠ ⇔ x = nghiệm khác Bài tập tương tự: BT1 Chứng minh n số tự nhiên chẵn a số lớn phương trình sau vơ nghiệm: (n + 1)xn + - 3(n + 2)xn + + an + = BT2 Tìm k để phương trình sau có nghiệm phân biệt: x4 - 4x3 + 8x - k = Giải phương trình k = π BT3 Cho ≤ n ∈ N Tìm nghiệm x ∈ 0; phương trình: cos n x + sin n x = Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 2 2− n 19 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Phương trình khơng mẫu mực www.VNMATH.com Phương trình khơng mẫu mực Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Chú ý rằng, tốn Trần Phương có cách giải khác cách lập bảng biến thiên hàm số, cách giải ñầy " ấn tượng": n n n (2 − n ) 2−n n − − n n n 2 sin x + sin x + + ≥ n ( sin x ) = n.2 sin x + 2−n n n n (2 − n ) − − n n n n 2 2 cos x cos x 2 n cos x n cos x + + + ≥ = ( ) ⇒ 2(sin n x + cos n x) + (n − 2).2 ⇒ sin x + cos x ≥ n.2 n n 2− n 2− n ≥ n.2 2−n Trong vế có n hạng tử -2 n − (sin x + cos x) = n.2 2− n (1) ðể ý sinx > 0, cosx > Dấu ñẳng thức (1) xảy khi cosx = sinx ⇔x= π V BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH XÉT CÁC DẤU HIỆU CẦN VÀ ðỦ VD1 Tìm tất nghiệm nguyên phương trình x + x + 12 x + = 36 HD Pt ñã cho ⇔ 12 x + = 36 − x − x x +1 ≥ −1 + 145 x ⇔ − ≤ ≤ ⇒ > 20 = > x − x (2) Từ (1)&(2)suy x + x > − x + x Như x = nghiệm Vậy m = thoả VD3 Tìm tất giá trị m để phương trình sau có nghiệm 4− x + 5+ x = m HD • Dấu hiệu cần: x nghiệm ⇔ − x + − x = m ⇔ Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình − (−1 − x) x + + (1 − x) = m 20 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Phương trình khơng mẫu mực www.VNMATH.com Phương trình khơng mẫu mực Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình ⇔ - - x nghiệm ⇒ m= 2 4− x + 5+ x = vậy, cần để Pt cho có nghiệm x = - - x ⇔ x = - • Dấu hiệu đủ: Khi m = pt cho trở thành Giải Ptrình thấy có nghiệm x = - Suy m = thoả VD4 Tìm tất giá trị m để phương trình sau có nghiệm x + 1− x + x + 1− x = m HD • Dấu hiệu cần: x nghiệm ⇔ x + − x + x + − x = m ⇔ − x + − (1 − x) + − x + − (1 − x) = m ⇔ - x nghiệm vậy, cần để Pt cho có nghiệm x = - x ⇔ x = ⇒ m= 41 1 1 = 24 + = + = 2 + + + + 2 2 2 • Dấu hiệu đủ: Khi m = Ta có x + 1− x ≤ 2 + pt ñã cho trở thành: x + 1− x + x + 1− x = ( 2+ ) x + − x ≤ 2( x + − x) = 2 x + − x ≤ 2( x + − x) = x = − x Như Pt tương ñương với ⇔ x = nghiệm x = − x Suy m = 2 + thoả VD5 Tìm tất giá trị a để hệ phương trình sau có nghiệm với b ( x + 1)a + ( b + 1) y = a + bxy + x y = HD • Dấu hiệu cần: Hệ có nghiệm với b có nghiệm với b = ( x + 1)a = Khi hệ trở thành a + x y = (1) (2) Từ (1) suy x = a tuỳ ý.Từ (2) suy a = Cũng từ (1) suy x ≠ a = • Dấu hiệu ñủ: Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 21 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Phương trình khơng mẫu mực www.VNMATH.com Phương trình khơng mẫu mực Trần Xn Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình ( b + 1) y = (3) i) a = : hệ trở thành bxy + x y = (4) Khi b ≠ : (3) ⇒ y = không thoả (4) Suy a = không thoả x + ( b + 1) y = (3) ii) a = : hệ trở thành bxy + x y = (4) Khi b = (4) ⇔ x = y = thoả (3) với b Suy a = thoả Bài tập tương tự: BT1 Tìm m để phương trình sau có nghiệm nhất: + x + − x = m BT2 Tìm a để hệ sau có nghiệm nhất: x 2 + x = y + x + a 2 x + y = BT3 Tìm a để hệ sau có nghiệm nhất: ax + a − = y − sin x 2 tan x + y = BT4 Tìm a ñể hệ sau có nhiều nghiệm: 2 x − y + a( x + y ) = x − y + a 2 x + y + bxy − = BT5 Tìm x để phương trình sau nghiệm với a: log (a x3 − 5a x − − x ) = log + a2 (3 − x − 1) VI BIỆN LUẬN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG MIN, MAX • Với f(x) liên tục D, phương trình f(x) = m có nghiệm m thuộc tập giá trị f(x) • Với f(x) liên tục D đạt giá trị lớn nhỏ D Khi phương trình f(x) = m có nghiệm khi: f ( x) ≤ m ≤ max f ( x) x∈D x∈D VD1 Tìm tất giá trị m để phương trình sau có nghiệm x2 + x + − x2 − x + = m HD ðặt f(x) = x + x + − x − x + , x ∈ R Cách f '(x) = • - 2x +1 x2 + x +1 − 2x −1 x2 − x + 1 ≤ x ≤ ⇒ 2x + ≥ 0, 2x - ≤ ⇒ f '(x) > 2 Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 22 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Phương trình khơng mẫu mực www.VNMATH.com Phương trình khơng mẫu mực • x> Trần Xn Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 2x +1 : f '(x) > ⇔ x2 + x + > 2x −1 x2 − x + >0 (2 x + 1)2 (2 x − 1) ⇔ (2 x + 1) ( x − x + 1) > (2 x − 1)2 ( x + x + 1) ⇔ x > > 2 x + x +1 x − x +1 Vậy x > ⇒ f '(x) > 2x +1 2x −1 > • x < - : f '(x) > ⇔ > 2 x + x +1 x2 − x + ⇔ (2 x + 1)2 (2 x − 1)2 ⇔ (2 x + 1) ( x − x + 1) < (2 x − 1) ( x + x + 1) ⇔ x < < 2 x + x +1 x − x +1 Vậy x < - ⇒ f '(x) > 2x 2x f ( x) = lim Mặt khác lim = lim x →∞ x →∞ 1 1 x + x + + x − x + x →∞ x 1+ + + x 1− + x x x x =1 xlim →+∞ 1 1 1+ + + 1− + x x x x = ⇒ Tập giá trị f(x): (- 1; 1) x lim = −1 x →−∞ 1 1 − 1+ + − 1− + x x x x ⇔ Suy ra, phương trình có nghiệm khi - < m < Cách f ( x) = = 2x x2 + x + + x2 − x + 2x = 2 = 1 1 x+ + + x− + 2 2 x 2x 2x ≤ = = ⇒ f ( x) ≤ 1 1 x x+ + x− x+ + x− 2 2 Dấu đẳng thức (1) khơng xảy dấu đẳng thức (1) xảy khi: x = 1 x = ∨ x + x − ≥ 2 x ≠ (1) (2) : Hệ vô nghiệm (1) (3) (3) Suy f ( x) < ⇔ - < f(x) < lim f ( x) = Mặt khác: x→+∞ f(x) liên tục R nên Tập giá trị f(x): (- 1; 1) f ( x ) = −1 xlim →−∞ Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chun Quảng Bình 23 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Phương trình khơng mẫu mực www.VNMATH.com Phương trình khơng mẫu mực Trần Xn Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình VD2 Tìm tất giá trị m để phương trình sau có nghiệm HD ðặt f(x) = 3+ x + − x = m + x + − x , x ∈ [ −3;6] 2 − , ∀ x ∈ ( −3;6 ) 3+ x 6− x Cách f '(x) = f '(x) ≥ ⇔ x ≤ f(-3) = 3, f(6) = 3, f = , f(x) liên tục [ −3; 6] 2 ⇒ f ( x) = 3, max f ( x) = [ −3;6] [ −3;6] Cách f ( x) ≤ 2(3 + x + − x) = , dấu ñẳng thức xảy khi x = Mặt khác f(x) ≥ 0, x ∈ [ −3;6] , ( f ( x) ) = + ( x + 3)( x − 6) ≥ ⇔ f ( x) ≥ , dấu ñẳng thức Suy ⇒ f ( x) = 3, max f ( x) = xảy khi x = f(x) liên tục [ −3; 6] [ −3;6] [ −3;6] VD3 Tìm tất giá trị m để phương trình sau có nghiệm 3+ x − − x = m 2 HD f '(x) = + > 0, ∀ x ∈ [ −3;6] 3+ x 6− x f(-3) = - 3, f(6) = 3, f(x) liên tục [ −3; 6] ⇒ f ( x) = −3, max f ( x) = [ −3;6] [−3;6] Suy ra, Pt cho có nghiệm - ≤ m ≤ VD4 Tìm tất giá trị m để phương trình sau có nghiệm sinx + cosx =m 2sinx + cosx + sinx + cosx 2sinx + cosx + Với x: 2sinx ≥ −2 , cosx ≥ −1 ⇒ sin x + cos x > −3 (dấu đẳng thức khơng xảy HD ðặt y = sinx cosx khơng đồng thời nhận giá trị - 1) Suy sin x + cos x + ≠ 0, ∀x ⇒ TXð: R Ta tìm tập giá trị hàm số: y giá trị thuộc tập giá trị ⇔ phương trình y = sinx + cosx có nghiệm 2sinx + cosx + sinx + cosx ⇔ (2y - 1)sinx + (y - 1)cosx + 3y = 2sinx + cosx + Ptrình có nghiệm (2y - 1)2 + (y - 1)2 ≥ 9y2 ⇔ 2y2 + 3y - ≤ Ptrình y = Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 24 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Phương trình khơng mẫu mực www.VNMATH.com Phương trình khơng mẫu mực Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình −3 − 17 −3 + 17 ≤ y≤ 4 −3 − 17 −3 + 17 Suy ra, tập giá trị y: ; 4 ⇔ Bài tập tương tự: BT1 Tìm m để phương trình sau có nghiệm x + x + + x − x + = m BT2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm cos x + sin x = m 2sin x + 3cos x − VII PHƯƠNG PHÁP TOẠ ðỘ VÀ HÌNH HỌC 2 x + y = 2(1 + a ) VD1 Cho hệ phương trình ( x + y ) = 1) Giải hệ a = 2) Tìm tất giá trị a để hệ có hai nghiệm x + y = 2(1 + a) x + y = 2(1 + a) HD Cách ⇔ ( x + y ) = ( x + y − 2)( x + y + 2) = x2 − x + − a = x + y = 2(1 + a) x + (2 − x)2 = 2(1 + a) y = − x x + y − = y = − x ⇔ ⇔ ⇔ 2 2 x + x + − a = x + y = 2(1 + a) x + (2 + x) = 2(1 + a) y = −2 − x x + y + = y = −2 − x x2 − x = y = − x 1) a = 1: Hệ ñã cho trở thành ⇔ x + x = y = −2 − x (1) (2) (3) (4) x = ∨ x = y = 2− x ⇔ x = ∨ x = −2 y = −2 − x Suy nghiệm (0; 2), (2; 0), (0; - 2), (- 2; 0) 2) Hệ có hai nghiệm Nhận xét (1) (3) có biệt số ∆ ' = a Suy a ≥ • a > 0: Mỗi phương trình (1) (3) có nghiệm phân biệt, từ (2) (4) ta có - x ≠ - - x với ∀ x nên hệ có nghiệm Suy a > khơng thoả • a = 0: Hệ (1)&(2) có nghiệm (1; 1), hệ (3)&(4) có nhiệm (- 1; - 1) Vậy a = thoả Cách (PP Hình học) Thấy a ≥ Trong hệ toạ ñộ ðê-các Oxy: Xem Pt x + y = 2(1 + a ) , a ≥ Pt đường trịn (O, R), R = 2(1 + a) Xem (x + y)2 = ⇔ (x + y - 2)(x + y + 2) = phương trình hai đường thẳng: ∆1 : x + y - = 0, ∆ : x + y + = Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chun Quảng Bình 25 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Phương trình khơng mẫu mực www.VNMATH.com Phương trình khơng mẫu mực Trần Xn Bang- GV Trường THPT Chun Quảng Bình Hai đường thẳng đối xứng qua O Pt có hai nghiệm ⇔ ∆1 tiếp xúc với (O, R)( ∆ tiếp xúc với (O, R)) ⇔ d(O, ∆1 ) = R ⇔ 0+0−2 = 2(1 + a ) ⇔ a = x + ay − a = VD2 Cho hệ phương trình 2 x + y − x = 1) Tìm tất giá trị a để hệ có hai nghiệm phân biệt 2) Gọi hai nghiệm (x1 ; y1 ), (x ; y ) hai nghiệm Chứng minh rằng: (x1 - x ) + (y1 - y )2 ≤ HD 1) Trong hệ toạ độ ðê-các Oxy: Xem phương trình x + ay - a = phương trình đường thẳng d Xem phương trình x2 + y2 - x = phương trình đường trịn I( ; 0), R = Hệ có hai nghiệm phân biệt khi ñường thẳng cắt ñường trịn hai điểm phân biệt −a ⇔ + a > − a ⇔ + a > 4a − a + ⇔ < a < + a2 2) Gọi A, B giao điểm đường trịn I( ; 0) ñường thẳng d Khi ñó A(x1 ; y1 ), B(x ; y ) AB dây cung đường trịn nên AB ≤ 2R =1 ⇔ d(I, d) < R ⇔ < ðể ý AB = (x1 - x ) + (y1 - y ) Ta có đpcm VD3 Giải phương trình x − x + − x − 10 x + 50 = HD Ptrình tương đương ( x − 2) + 12 − ( x − 5)2 + 52 = (1) Trong hệ toạ ñộ Oxy, chọn M(x; 0), A(2; 1), B(5; 5) (1) ⇔ AM − BM = AB ⇔ A, B, M thẳng hàng M AB Mặt khác A, B phía Ox Suy M giao ñiểm ñường thẳng AB, kí hiệu (AB), với Ox x − y −1 = ⇔ 4( x − 2) = 3( y − 1) − −1 Hoành ñộ giao ñiểm với Ox: y = ⇒ x = Phương trình (AB): VD4 Giải phương trình x − x + + x − ( − 1) x + + x + ( + 1) x + = HD Phương trình cho tương ñương: Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 26 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Phương trình khơng mẫu mực www.VNMATH.com Phương trình khơng mẫu mực Trần Xn Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 2 2 3 1 3 1 + + + + + + x + ( x − 1) + x − x x x =3 2 2 2 Trong mặt phẳng Oxy, chọn A(0; 1), B( (1) 3 ; - ), C(- ; - ) 2 2 Khi đó, (1) ⇔ MA + MB + MC = (2) Thấy tam giác ABC ñều, tâm O OA = OB = OC = (1) suy MA + MB + MC = OA + OB + OC (2) Ta biết rằng: Nếu tam giác ABC ñều tâm O mội ñiểm M thuộc mặt phẳng tam giác có MA + MB + MC ≥ OA + OB + OC Dấu ñẳng thức xảy M ≡ O Suy (2) ⇔ M ≡ O ⇔ x = VD5 Giải phương trình x x + + − x = x + HD ðặt u = ( x;1) , v = ( x + 1; − x ) Ta có: u.v = x x + + − x , u v = x + Phương trình cho tương ñương với u.v = u v ⇔ u, v chiều u , v phương ⇔ x x +1 = ≥ 0⇔ 3− x x (3 − x) = x + ⇔ x = 1∨ x = 1+ x ≤ < VD6 Giải hệ phương trình: 1981 + x1 + + x2 + + + x1980 = 1980 1980 − x + − x + + − x = 1980 1979 1980 1980 HD ðặt = ( + xi ; − xi ) i = 1, 1980 ⇒ = (i = 1, 2, , 1980), ∑a =( i ∑a i = 1980 (1) i =1 1980 Mặt khác 1980 ) + x1 + + + x1980 ; − x1 + + − x1980 i =1 ⇒ 1980 ∑a i = ( ) + (( + x1 + + + x1980 i =1 ))= − x1 + + − x1980 = 1980.1981 + 1980.1979 = 1980 (2) Từ (1)&(2) suy véc tơ (i = 1,1980) phương, hướng, ñộ dài Như x1 = x2 = x1980 ⇒ + x1 = + x2 = = + x1980 = ⇒ x1 = x2 = x1980 = 1981 1980 1980 Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 27 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Phương trình khơng mẫu mực www.VNMATH.com Phương trình khơng mẫu mực Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình IX CÁC PHƯƠNG TRÌNH KHÁC VD1 Cho số thực a, b, c số nguyên dương m thoả: a b c + + =0 m+2 m+1 m Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = (*) có nghiệm x∈ (0; 1) HD (Sử dụng ñịnh lý Lagrăng) Với hàm số f(x) xác ñịnh liên tục, khả vi [a; b] tồn c thuộc (a; b): f (b) − f (a) b−a a b c m xm + + xm + + x , x ∈ [0; 1] ðặt f(x) = m+2 m+1 m f '(x) = ax m + + bx m + cx m - f(1) - f(0) = Tồn x0 ∈ (0; 1) : f '(x0) = ax m0 + + bx 0m + cx 0m - = 1-0 a b c = + + =0 m+2 m+1 m ax 0m + + bx 0m + cx 0m - = ⇔ x m0 - (a x 02 + b x + c ) = f '(c) = ⇔ ax 02 + b x + c = VD2 Cho a > - Giải phương trình: x − 10 x3 − 2(a − 1) x + 2(5a + 6) x + 2a + a = HD (Xem vế trái tam thức bậc hai tham số a) a − 2a( x − x − 1) + ( x − 10 x + 22 x + 12 x) = ∆ ' = ( x − 1)2 ⇒ a = ( x − x − 1) ± ( x − 1) Suy hai nghiệm: x2 - 6x x2 - 4x - Phương trình cho tương ñương: [a - ( x2 - 6x )][a - (x2 - 4x - 2)] = x2 − x − a = ⇔ x − 4x − − a = Do a > - ⇒ ∆1 ' = + a > 0, ∆ ' = + a > suy nghiệm pt ñã cho: x = ± a + 9, x = ± a + VD3 Cho hệ phương trình: ax + bx + c = y 2 ay + by + c = z , ñó a ≠ 0, (b − 1) − 4ac < az + bz + c = x Chứng minh hệ phương trình vơ nghiệm HD (Chứng minh phản chứng) Khơng tính tổng qt, giả sử a > Giả sử hệ có nghiệm (x0, y0, z0) Khi đó: Trần Xn Bang- GV Trường THPT Chun Quảng Bình 28 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Phương trình khơng mẫu mực www.VNMATH.com Phương trình khơng mẫu mực Trần Xn Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình ax02 + bx0 + c = y0 ay0 + by0 + c = z0 az0 + bz0 + c = x0 (1) (2) (3) Cộng vế (1)(2)(3) ta có: 2 ax0 + (b − 1) x0 + c + ay0 + (b − 1) y0 + c + az0 + (b − 1) z0 + c = ðặt f (t ) = at + (b − 1)t + c (4) ⇔ f(x0) + f(y0) +f(z0) = (4) Do a ≠ 0, (b − 1) − 4ac < ⇒ af(t) > 0, ∀ t Vì a > nên f(t) > 0, ∀ t ⇒ f(x0) > 0, f(y0) > 0, f(z0) > Trái với (5) Vậy, hệ ñã cho vô nghiệm Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chun Quảng Bình 29 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Phương trình khơng mẫu mực (5) ... http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Phương trình khơng mẫu mực www.VNMATH.com Phương trình khơng mẫu mực Trần Xn Bang- GV Trường THPT Chun Quảng Bình Ví dụ 2: Giải phương trình (x2 - 1)(x + 2)(x + 4) = Giải Phương trình đẫ... http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Phương trình khơng mẫu mực www.VNMATH.com Phương trình khơng mẫu mực Trần Xn Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 1) Giải phương trình m = 2) Tìm tất giá trị m để phương trình (1)... http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Phương trình khơng mẫu mực www.VNMATH.com Phương trình khơng mẫu mực Trần Xn Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình u + v = u + v = Ta có hệ phương trình Cách Bình phương hai vế