Phương pháp hàm số tìm GTLN GTNN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “Phương pháp hàm số tìm GTLN GTNN ” LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Liên hệ với khái niệm hàm Tư hàm ,một loại hình tư hàng loạt công trình nghiên cứu đánh giá cao kiến nghị phải phát triển mạnh mẽ hoạt động giảng dạy môn nhà trường đặc biệt môn toán Ngày chương trình môn toán trường phổ thông khái niệm hàm ,đang thể rõ vai trò chủ đạo việc ứng dụng xây dựng khái niệm khác Trong kỳ thi cấp quốc gia câu hỏi liên quan trực tiếp đến hàm số ta thường thấy có câu hỏi mà học sinh thường phải vận dụng tư hàm số công cụ đắc lực để giải toán như: Giải phương trình, bất phương trình ,tìm cực trị , Các câu hỏi thường gây khó khăn cho thày trò lên lớp Trong giảng em thường bị động nghe giảng lúng túng vận dụng vào việc giải toán Nguyên nhân em chưa hiểu chất vấn đề ,chưa có kỹ kinh nghiệm việc vận dụng hàm số vào giải toán ,các em đặt câu hỏi “ Tại nghĩ làm vậy’’ Để trả lời câu hỏi dạy ,việc bồi dưỡng lực tư hàm cho học sinh thông qua toán điều cần thiết Muốn làm tốt điều người thầy phương pháp truyền thụ tốt mà phải có kiến thức vừa chuyên ,vừa sâu,dẫn dắt học sinh tìm hiểu cách logíc chất toán học.Từ giúp em có say mê việc học môn Toán-môn học coi ông vua môn tự nhiên Khi học sinh, suy tư toán nhỏ ,nhờ tư người Thầy giúp có toán , lời giải Và giúp có phân tích hay , sâu sắc bục giảng , có thêm kinh nghiệm , sáng tạo ,có niềm tin vào Vì song song với việc giảng dạy kiến thức cho học sinh lên lớp ,tôi luôn coi việc bồi dưỡng lực tư GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số Bảo Thắng- Lào cai Phương pháp hàm số tìm GTLN GTNN toán cho học sinh cách trực tiếp gián tiếp thông qua giải toán Đặc biệt bồi dưỡng lực tư hàm cho học sinh nhiệm vụ quan trọng việc giảng dạy toán Qua nhiều năm đứng bục giảng, dạy tới chuyên đề này, băn khoăn làm dạy đạt kết cao ,các em chủ động việc chiếm lĩnh kiến thức Thầy đóng vai trò người điều khiến để em tìm đến đích lời giải.Chính lẽ hai năm học 2012-2013 2013-2014 Tôi đầu tư thời gian nghiên cứu Chuyên đề Một mặt giúp học sinh hiểu chất vấn đề ,các em không lúng túng việc giải toán liên quan đến hàm số ,hơn tạo cho em hứng thú giải toán nói chung liên quan đến Hàm số nói riêng.Mặt khác sau nghiên cứu có phương pháp giảng dạy có hiệu cao lên lớp,trả lời thoả đáng Câu hỏi “Vì nghĩ làm vậy” Viết tài liệu khó ,để viết cho hay ,cho tâm đắc lại đòi hỏi phải có đẳng cấp thực Cũng may tư tưởng lớn nhà viết sách,tôi không kỳ vọng điều lớn lao biết có ,khi có ý tưởng viêt điều mà gom nhặt ,Tôi mong qua ngày lĩnh hội nhiều toán sơ cấp Qua tiết học , học trò băn khoăn, ngơ ngác hơn,thay vào hưởng ứng ,có niềm tin vào logic,chặt chẽ ,sáng taọ toán học Khi người thày lại có thêm người bạn chung niềm đam mê trước kỳ diệu toán học mang lại Mặc dù tham khảo số lượng lớn tài liệu để vừa viết, vừa giảng dạy lớp để kiểm nghiệm thực tế, song lực thời gian có hạn ,rất mong Đóng góp bạn đồng nghiệp người yêu thích môn toán để đề tài có ý nghĩa thiết thực nhà trường Góp phần nâng cao chất lượng Giáo dục phổ thông.Giúp em có phương pháp - kỹ giải toán liên quan đến hàm số kỳ thi cuối cấp, đồng thời bước đầu trang bị cho em kiến thức toán cao cấp Trang2 _ GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số Bảo Thắng- Lào cai Phương pháp hàm số tìm GTLN GTNN năm đầu học đại học Năm học 2013-2014 Tôi xin giới thiệu đến bạn đồng nghiệp , học sinh người yêu toán đề tài : "Phương pháp hàm số tìm GTLN GTNN " Tác giả Ngô Quang Nghiệp Trang3 _ GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số Bảo Thắng- Lào cai Phương pháp hàm số tìm GTLN GTNN NỘI DUNG SKKN 2.1Cơ sở lý luận vấn đề 2.1.1 Bất đẳng thức AM-GM − Nếu x1,x2,x3,…,xn số không âm thì: x1 + x2 + x3 + + xn n ≥ x1 x2 x3 xn n Dấu “=” xảy khi: x1 = x2 = x3 = = xn − Chú ý: Các trường hợp riêng bất đẳng thức AM-GM +) a+b ≥ ab , bất đẳng thức viết dạng khác là: 2 (a + b )  a+b 2 a + b ≥ ab ab ≤  a + b ≥ ( ) , , ÷   2 +) a + b + c ≥ ab + bc + ca a + b2 + c2 ≥ (a + b + c) (a + b + c ) ≥ 3( ab + bc + ca ) +) (ab + bc + ca ) ≥ 3abc(a + b + c ) 1 (a,b>0) + ≥ a b a +b 1 + + ≥ (a,b,c>0) a b c a +b+c 2.1.2.Các bất đẳng thức phụ quen thuộc: a + b3 ≥ a 2b + ab (với a + b ≥ ) 1 (với + ≥ a, b > 0, ab ≥ ) + a + b + ab 1+ a + 1+ b ≤ a b (a + b) + ≥ x y x+ y + ab (với ≤ ab ≤ ) (Với a = b , ( x, y > 0) ) x y a b c a b c (a + b + c) + + ≥ (Với x = y = z , ( x, y, z > 0) ) x y z x+ y+z Trang4 _ GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số Bảo Thắng- Lào cai Phương pháp hàm số tìm GTLN GTNN Chú ý :  f ( x) ≤ M - Hàm số y = f ( x) xác định ∀x ∈ D đạt GTLN M ∃x ∈ D | f ( x ) = M   f ( x) ≥ m - Hàm số y = f ( x) xác định ∀x ∈ D đạt GTLN m ∃x ∈ D | f ( x ) = m  2.2 Thực trạng vấn đề Khi học phần em bị động , ỷ lại học tập , ý thức chép nặng nề ,chưa độc lập tư Chưa có kỹ việc giải toán ,còn lúng túng việc áp dụng hàm số vào giải Toán Các em coi phương pháp sử dụng hàm số vào giải toán xa lạ.Vì việc hình thành học sinh hướng tư điều khó khăn,bởi phương pháp cũ hình thành sâu vào tư em 2.3 Các biện pháp tiến hành giải vấn Ví dụ 1:Cho số thực không âm x, y, z thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức A = xy + yz + zx + x + y + z HƯỚNG DẪN GIẢI : t2 −3 t = x + y + z ⇒ Đặt t = + 2( xy + yz + zx ) ⇒ xy + yz + zx = Ta có ≤ xy + yz + zx ≤ x + y + z = nên ≤ t ≤ ⇒ ≤ t ≤ t > t2 − t2 + Xét hàm số f (t ) = + − , ≤ t ≤ Khi A = t t Ta có f ' (t ) = t − f (t ) ≤ f (3) = t3 − = > t ≥ Suy f (t ) đồng biến [ , 3] Do t2 t 14 Dấu đẳng thức xảy t = ⇔ x = y = z = Vậy GTLN A 14 , đạt x = y = z = Ví dụ 2: Cho x > 0, y > thỏa mãn x + y + = 3xy Tìm giá trị lớn Trang5 _ GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số Bảo Thắng- Lào cai Phương pháp hàm số tìm GTLN GTNN 3x 3y 1 M= + + − 2− 2× y ( x + 1) x( y + 1) x + y x y HƯỚNG DẪN GIẢI : Theo giả thiết, ta có xy − = x + y ≥ xy Đặt t = xy ⇒ 3t − t − ≥ ⇒ t ≥ 3x 3y x ( y + 1) + y ( x + 1) 36t − 27t + + = = = Ta có y ( x + 1) x ( y + 1) xy ( xy + x + y + 1) 4t 1 x2 + y2 (3t − 1) − 2t −36t + 32t − − − =− 2 =− = , x y x y t2 4t 1 5t − 1 ≤ ≤ ⇒M ≤ + x + y xy 4t 2 Xét f (t ) = 5t − [1;+∞) suy M max = ⇔ t = ⇔ x = y = 4t Ví dụ 3: (Trích HSG NGHE AN 2011) Cho x, y số thực thỏa mãn: log (x + 2y) + log (x − 2y) = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 2x − y HƯỚNG DẪN GIẢI :  x > −2 y Suy x > y ⇒ x > Ta có : log (x+2y)+log (x-2y)=1 ⇔ log x > y Điều kiện :  (x -4y )=1 ⇔ x -4y =4 ⇔ x = y + (do x > 0) Đặt: t = y , t ≥ Xét : f (t ) = 4t + − t , với Suy : x − y = y + − y t ≥ f ' (t ) = 8t 4t + −1 = 8t − 4t + 4t + f ' (t ) = ⇔ t = 15 (do t ≥ ) Bảng biến thiên: t 15 +∞ Trang6 _ GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số Bảo Thắng- Lào cai Phương pháp hàm số tìm GTLN GTNN f’(t) - + +∞ f(t) 15 Từ bảng biến thiên suy f (t ) ≥ 15 ⇒ P= x − y ≥ 15 Dấu đẳng thức xảy ⇔x= 15 ,y=± 15 Giá trị nhỏ P= 2x − y 15 Ví dụ 4: (Trích đề ĐH B2009)Cho số thực x, y thay đổi thoả mãn (x + y)3 + 4xy ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = 3(x4 + y4 + x2y2) – 2(x2 + y2) + HƯỚNG DẪN GIẢI : (x + y) + 4xy ≥ ⇒ (x + y)3 + (x + y) − ≥ ⇒ x + y ≥  (x + y) − 4xy ≥ (x + y) ⇒x +y ≥ ≥ dấu “=” xảy : x = y = 2 2 Ta có : x y ≤ (x + y ) A = ( x + y + x y ) − 2(x + y ) + = (x + y ) − x y  − 2(x + y ) +  (x + y2 )  ≥  (x + y ) − − 2(x + y ) + = (x + y ) − 2(x + y ) +  4   Đặt t = x2 + y2 , đk t ≥ 1/2 f (t) = 9 1 t − 2t + 1, t ≥ f '(t) = t − > ∀ t ≥ ⇒ f (t) ≥ f ( ) = 2 2 16 Vậy : A = x = y = 16 Ví dụ 5: Cho x , y số thực không âm thay đổi thỏa mãn điều kiện: 4( x + y + xy ) ≤ + 2( x + y ) Tìm giá trị lớn biểu thức : P = xy + x + y − x − y HƯỚNG DẪN GIẢI : Trang7 _ GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số Bảo Thắng- Lào cai Phương pháp hàm số tìm GTLN GTNN Từ 4( x + y + xy ) ≤ + 2( x + y ) ⇔ 3( x + y ) + ( x − y ) ≤ + 2( x + y ) 2 ⇒ + 2( x + y ) ≥ 3( x + y ) ⇔ − ≤ x + y ≤ , x ; y không âm nên ta có ≤ x + y ≤ 1 x+ y 2 Ta có : P = xy + x + y − ( x + y ) ≤   + x + y − ( x + y) = x + y − ( x + y)   2 x+ y 2 (vì xy ≤   2( x + y ) ≥ ( x + y ) ) Đặt t = x + y ; ta có : ≤ t ≤ ,   ' P ≤ f (t ) = t − t ; có f (t ) = ⇒ max f (t ) = f (1) = [ 0;1] t − t 1− t t ≥ , với ∀t ∈ [ 0;1] = 2 t 3 ⇒ maxP = , dấu = xảy ⇔ x = y = 4 Ví dụ 6: Cho x,y,z số thực không âm Tìm giá trị lớn P= 1 − x + y + z +1 ( 1+ x) ( 1+ y) ( 1+ z ) HƯỚNG DẪN GIẢI : P≤ 27 − x + y + z + ( x + y + z + 3) Đặt t = x + y + z, t ≥ , xét hàm số f (t ) = 27 − 1+ t ( + t ) , t ≥ f '(t ) = − t = 81 + , f '(t ) = ⇔  1+ t ( + t ) t = Lập bảng biến thiên .Ta có MaxP = Max f (t ) = f(3) = Đạt x = y =1 Ví dụ 7: Cho x y số thực thỏa mãn: − y = x( x − y ) Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: P = x6 + y − x y + xy Trang8 _ GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số Bảo Thắng- Lào cai Phương pháp hàm số tìm GTLN GTNN HƯỚNG DẪN GIẢI : Từ giả thiết ta có: = x + y − xy ≥ xy − xy ⇔ xy ≤ = x + y − xy = ( x + y )2 − 3xy ≥ −3 xy ⇔ xy ≥ −1 6 2 2 2 Ta có x + y = + xy nên x + y = ( x + y ) ( x + y ) − 3x y      Đặt t = xy với t ∈  − ;1 \ { 0} Khi ta P = Hay P = (1 + t ) (1 + t ) − 3t  − t (1 + t ) −2t + = f (t ) t +1   Hàm số f (t )  − ;1 \ { 0}   Ta có f '(t ) = KL: −2t − 4t −   < ∀t ∈  − ;1 \ { 0} (t + 1)   MinP = P (1) = ⇔ t = ⇔ x = y = ±1 25 1 MaxP = P ( − ) = ⇔ t = − ⇔ x = −y = ± 3 2 Ví dụ 9: Với số thực x, y thỏa điều kiện ( x + y ) = xy + Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = x4 + y xy + HƯỚNG DẪN GIẢI : ( ) Đặt t = xy Ta có: xy + = ( x + y ) − xy ≥ −4 xy ⇒ xy ≥ − ( ) 1 Và xy + = ( x − y ) + xy ≥ xy ⇒ xy ≤ ĐK: − ≤ t ≤ Trang9 _ GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số Bảo Thắng- Lào cai (x Suy : P = Do đó: P ' = Phương pháp hàm số tìm GTLN GTNN + y2 ) − 2x2 y2 xy + ( −t − t ( 2t + 1) = −7t + 2t + ( 2t + 1) ) , P ' = ⇔ t = 0, t = −1( L)  1 1 P  − ÷= P  ÷= P ( ) =  5   15 KL: GTLN GTNN 15 (x Ví dụ 10: Cho x,y ∈ R x, y > Tìm giá trị nhỏ P = + y3 ) − ( x2 + y2 ) ( x − 1)( y − 1) HƯỚNG DẪN GIẢI : Đặt t = x + y ; t > Áp dụng BĐT 4xy ≤ (x + y)2 ta có xy ≤ P= P≥ t2 t − t − xy (3t − 2) t2 Do 3t - > − xy ≥ − nên ta có xy − t + t (3t − 2) t2 = t2 t−2 − t +1 t3 − t2 − t2 t − 4t ; f '(t ) = ; f’(t) = ⇔ t = v t = Xét hàm số f (t ) = t−2 (t − 2) t f’(t) - +∞ + +∞ +∞ f(t) x+ y=4 x = f (t ) = f(4) = đạt  ⇔ Do P = (2; +∞ )  xy = y = Ví dụ 11: Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức P = ab + bc + ca − 2abc Trang10 _ GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số Bảo Thắng- Lào cai Phương pháp hàm số tìm GTLN GTNN HƯỚNG DẪN GIẢI : Ta có ab + bc + ca − 2abc = a (b + c) + (1 − 2a )bc = a (1 − a ) + (1 − 2a )bc Đặt t= bc ta có ≤ t = bc ≤ (b + c) (1 − a) Xét hs f(t) = a(1- a) + (1 – 2a)t đoạn = 4 Có f(0) = a(1 – a) ≤  (1 − a )2  0;    ( a + − a) = < 4 27  (1 − a )2  1  1 f − (2a + )  a − ÷ ≤ với a ∈ [ 0;1] ÷=  ÷ 27  3 27   GTNN đạt a = b = c = 1/3 27 Ví dụ 12: (Trích ĐH A2010) Cho x, y, z ba số thực thuộc đoạn [1;4] x ≥ y , x ≥ z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x y z + + 2x + 3y x + y z + x HƯỚNG DẪN GIẢI : x y z P = 2x + 3y + y + z + z + x −y ( x − y )( z − xy ) Lấy đạo hàm theo z ta có : P’ (z) = + ( y + z )2 + ( z + x) = ( y + z )2 ( z + x)2 + Nếu x = y P = x x y + Ta xét x > y P ≥ P( xy ) = x + y + y+ x Khảo sát hàm P theo z, ta có P nhỏ z = Đặt t = xy x t2 ⇒ P thành f(t) = + (t ∈ (1; 2]) y 2t + + t −2[4t (t − 1) + 3(2t − t + 3)] ⇒ f’(t) = x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức  P=  x + y    ÷ y + ÷ x   HƯỚNG DẪN GIẢI :  Theo BĐT Côsi ta có 0 0; b > a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = a2 + 1 + b2 + 2 a b HƯỚNG DẪN GIẢI : 2  Ta có M = (a + b )1 +      ≥ 2ab1 + 2  = 2ab + ab  ab  ab  2 (dấu "=" xẩy a=b)  1 Theo Cô-si = a + b ≥ ab ⇒ < ab ≤ Đặt t = ab ta có t ∈ D =  0;  t Do M ≥ f (t ) = 2t + , t ∈ D f ′(t ) = −  4  1 = 2(t − 1) < 0, ∀t ∈  0;  t t  4   17 ⇒ f (t ) = f  ÷ = D 4 Vậy M = 17 đạt a = b = 2 Trang12 _ GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số Bảo Thắng- Lào cai Phương pháp hàm số tìm GTLN GTNN Ví dụ 15: Cho x > 0, y > 0, x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức x y + 1− x 1− y T= HƯỚNG DẪN GIẢI :  π 2 Đặt x = cos a; y = sin a ⇒ a ∈  0; ÷  2 cos a sin a cos3 a + sin a ( sin a + cos a ) ( − sin a.cos a ) T= + = = sin a cos a sina.cos a sin a.cos a π t2 −1  Đặt t = sin a + cos a = sin  a + ÷⇒ sin a.cos a = 4  Với < a < π ⇒1< t ≤ 2 −t − 3t = f ( t) ; Khi T = t −1 f '( t ) = −t − ( t − 1) f ( t) = f Vậy t∈min ( 1;   ( < ∀t ∈ 1;  ⇒ f ( t ) ≥ f ( 2) = ( 2) = 2 x = y = Hay T = x = y = 2 Ví dụ 16: Cho x,y,z ba số thực dương có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 3( x + y + z ) − xyz HƯỚNG DẪN GIẢI : P =  ( x + y + z ) − 2( xy + yz + zx)  − xyz = [ − 2( xy + yz + zx) ] − xyz = 27 − x( y + z ) − yz ( x + 3) ≥ 27 − x(3 − x) − = ( y + z)2 ( x + 3) (− x + 15 x − 27 x + 27) Xét hàm số f ( x) = − x + 15 x − 27 x + 27 , với 00 2 x + ( x + 1)(c + 1) c −2c( x + 2cx − 1)  1 = ⇔ x0 = −c + c + ∈  0; ÷ 2 (1 + x ) (1 + c )  c Ta có bảng biến thiên x f '( x ) f ( x) + - f ( x0 ) Từ bảng biến thiên ta có : f ( x) ≤ f ( x0 ) = S = f (a) + Ta có : g '(c) = c x0 c + c2 2c ≤ + = g (c ) c +1 + c2 c + 2(1 − 8c ) (1 + c )2 (3c + + c ) = ⇔ c = c0 = ∈ ( 0; +∞ ) Bảng biến thiên : Trang17 _ GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số Bảo Thắng- Lào cai Phương pháp hàm số tìm GTLN GTNN c0 c g '(c ) + +∞ - g (c0 ) g (c ) Từ bảng biến thiên suy : g (c) ≤ g (c0 ) ⇒ S ≤ g (c) ≤ g (c0 ) = Vậy với c = 10 10 ,a = , b = MaxS = BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 21ab + 2bc + 8ca ≤ 12 Tìm giá a b c trị nhỏ biểu thức: P = + + Bài : Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T = 3(a + b + c ) + 4abc x + y + z = Bài : Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện   xyz = Chứng minh rằng: 183 − 165 ≤ x + y + x ≤ 18 Bài : (Trích ĐH Khối B - 2010) Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức : M = 3( a 2b + b 2c + c a ) + 3(ab + bc + ca ) + a + b + c Bài : Cho ba số không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm GTLN biểu thức : S = x y + y z + z x Bài (Trích ĐH A2013) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện (a + c)(b + c) = 4c Tìm giá trị nhỏ biểu thức 32a 32b3 a + b2 P= + − (b + 3c)3 (a + 3c) c Trang18 _ GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số Bảo Thắng- Lào cai Phương pháp hàm số tìm GTLN GTNN Bài (Trích ĐH B2013) Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức : P = a +b +c +4 2 − (a + b) (a + 2c)(b + 2c) Bài (Trích ĐH D2013) Cho x, y số thực dương thỏa mãn điều kiện xy ≤ y − Tìm giá trị lớn biểu thức: P = x+y x − xy + 3y − x − 2y 6(x + y) Bài (Trích ĐH D2013−NC) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số đoạn [ 0; 2] f ( x) = x − 3x + x +1 Bài 10 (Trích ĐH A2012) Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x +y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x − y + y − z + z − x − x + y + z Bài 11 (Trích ĐH D2010) Tìm giá trị nhỏ hàm số y = − x + x + 21 − − x + 3x + 10 a + b + c = Bài 12 (Trích THTT 2012) Cho ba số thực a,b,c thảo mãn  2 a + b + c = CMR : a 2b 2c ≤ 54 (Đề thi Olypic Toán Ailen năm 2009) Bài 13 (Trích THTT 2012) Cho ba số thực x,y,z thảo mãn x3 + y + z − 3xyz = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y + z (Đề thi chọn đội tuyển Inđônêxia dự thi IMO 2009) Bài 14 (Trích THTT 2012) Cho ba số thực a,b,c thảo mãn a + b3 = c3 CMR : a + b − c > 6(c − a)(c − b) (Đề thi Olypic Toán Ấn độ năm 2009) 2.4 HIỆU QUẢ CỦA ÁP DỤNG SKKN Đề tài thực lớp 12A- Năm học 2013-2014.Sau học xong học sinh thấy hứng thú việc học môn toán ,có kỹ Trang19 _ GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số Bảo Thắng- Lào cai Phương pháp hàm số tìm GTLN GTNN việc vận dụng khai triển vào việc giải tập,giờ dạy sôi ,các em chăm lắng nghe Giáo viên phát huy tối đa chủ động tích cực-sáng tạo học sinh , em người làm chủ kiến thức ,thầy người dẫn dắt , đánh thức muốn khám phá em.Kết khảo sát lớp 12A1 cho thấy : - Số học sinh chuẩn bị làm tập tốt nhà 79,0 o/o - Chuẩn bị chưa tốt làm chưa tốt tập 6,0 o/o - Không chuẩn bị 15 o/o Kết cụ thể kiểm tra tiết lớp 12 A1–Năm học 2013-2014 sau: Giỏi : 25 o Khá : 54 o /o /o Trung bình : o/o 3: KẾT LUẬN Bồi dưỡng lực tư hàm cho học sinh thông qua việc tìm GTLN GTNN hàm số việc làm cần thiết người giáo viên ,có nhiều ứng dụng Toán học.Một nhiệm vụ người thầy dạy môn toán phải Phát huy tối đa chủ động sáng tạo học sinh,Nâng cao khả tư toán cho học sinh Giúp em có phương pháp kỹ định giải toán ,giúp em trả lời thoả đáng câu hỏi “Tại nghĩ làm vậy” Đồng thời cho học sinh ngày yêu thích môn toán ,thấy chất toán học :Toán học xuất phát từ thực tế quay trở lại thực tế Chính ,trong dạy người thầy có kiến thức vừa chuyên ,vừa sâu ,kết hợp với việc có phương pháp giảng dạy tốt chuẩn bị kỹ giảng thu hút chăm ,lắng nghe học sinh thu kết dạy tốt.Làm điều ngày nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường phổ thông,phát huy mạnh môn học trí tuệ loài người Trang20 _ GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số Bảo Thắng- Lào cai Phương pháp hàm số tìm GTLN GTNN Trên tâm huyết mang tính chất chủ quan riêng thân tôi,kính mong góp ý bạn đồng nghiệp ngừơi yêu thích môn toán, để đề tài có ý nghĩa thiết thực nhà trường phổ Thông Để thực tốt đề tài ,Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy cô ban giám hiệu nhà trường,các Thầy cô Tổ ToánTrường THPT Số Bảo Thắng Hằng năm có nhiều sáng kiến ,những đề tài khoa học có giá trị cao thầy cô viết tâm huyết trí tuệ, kiểm nghiệm thực tế qua trình giảng dạy Sở giáo dục xếp loại cao Tôi thiết nghĩ đề tài phổ biến nhà trường phổ thông chất lượng giáo dục nâng cao,các Thày cô chuẩn bị cho giáo án tốt trước tiết học Vì Tôi có đề nghị với sở Giáo Dục Lào Cai nên sớm phổ biến rộng rãi đề tài giải cao trường phổ thông để thầy cô học tập ,nghiên cứu rút học kinh nghiệm quý báu cho mình, đồng thời thúc đẩy phong trào tự học ,tự đào tạo thầy cô.Theo ý nghĩa thiết thực việc viết sáng kiến kinh nghiệm trường phổ thông Trang21 _ GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số Bảo Thắng- Lào cai Phương pháp hàm số tìm GTLN GTNN TÀI LIỆU THAM KHẢO: Các đề thi đại học cao đẳng từ năm 2002 đến năm 2013 Các số báo toán học tuổi trẻ từ năm 2008 đến năm 2013 Sách tham khảo hình giải tích Phan Huy Khải Sách tham khảo hình giải tích Trần Phương Sách tham khảo hình giải tích Nguyễn Văn Dũng http://www.mathvn.com http://forum.mathscope.org http://www.vietmaths.com http://boxmath.vn 10 http://diendantoanhoc.net 11 http://laisac.page.tl 12 http://k2pi.net Trang22 _ GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số Bảo Thắng- Lào cai Phương pháp hàm số tìm GTLN GTNN 13 http://violet.vn/main 14 Các đề thi thử đại học năm 2011 đến năm 2014 15 Sách tham khảo Nguyễn Tất Thu 16 Sách tham khảo Nguyễn Phú Khánh 17 Sách tham khảo Võ Quốc Bá Cẩn MỤC LỤC Lý chọn đề tài ….………………………………………… … Trang Nội dung SKKN ….………………………………………… … … Trang 2.1 Cơ sở lý luận vấn đề … ….…………………………………… Trang 2.2 Thực trạng vấn đề…………………………………………… Trang 2.3 Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề………………… Trang 2.4 Hiệu SKKN…………………………………………… Trang 18 Kết luận ………………………………………………………… … Trang 19 4.Tài liệu tham khảo………………………………………………… Trang 21 Trang23 _ GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số Bảo Thắng- Lào cai Phương pháp hàm số tìm GTLN GTNN Trang24 _ GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số Bảo Thắng- Lào cai [...]... Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN Bài 7 (Trích ĐH B2013) Cho a, b, c là các số thực dương Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P = 4 a +b +c +4 2 2 2 − 9 (a + b) (a + 2c)(b + 2c) Bài 8 (Trích ĐH D2013) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy ≤ y − 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = x+y x 2 − xy + 3y 2 − x − 2y 6(x + y) Bài 9 (Trích ĐH D2013−NC) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. .. trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ 0; 2] f ( x) = 2 x 2 − 3x + 3 x +1 Bài 10 (Trích ĐH A2012) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x +y + z = 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3 x − y + 3 y − z + 3 z − x − 6 x 2 + 6 y 2 + 6 z 2 Bài 11 (Trích ĐH D2010) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = − x 2 + 4 x + 21 − − x 2 + 3x + 10 a + b + c = 0 Bài 12 (Trích THTT 2012) Cho ba số thực a,b,c thảo... '( t ) = 2 Xét hàm số t2 − t +1 ( t 2 − t + 1) 1 2 Lập bảng biến thiên ta tìm GTLN của A là: 16 đạt được khi x = y = Ví dụ 18: (Trích ĐH B2011) Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn 2(a 2 + b 2 ) + ab = (a + b)(ab + 2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Trang14 _ GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN... Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T = 3(a 2 + b 2 + c 2 ) + 4abc x + y + z = 4 Bài 3 : Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện   xyz = 3 Chứng minh rằng: 183 − 165 5 ≤ x 4 + y 4 + x 4 ≤ 18 Bài 4 : (Trích ĐH Khối B - 2010) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : M = 3( a 2b 2... Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN c0 0 c g '(c ) + +∞ 0 - g (c0 ) g (c ) Từ bảng biến thiên suy ra : g (c) ≤ g (c0 ) ⇒ S ≤ g (c) ≤ g (c0 ) = Vậy với c = 10 3 10 1 2 ,a = , b = 2 thì MaxS = 3 2 8 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 21ab + 2bc + 8ca ≤ 12 Tìm giá 1 a 2 b 3 c trị nhỏ nhất của biểu thức: P = + + Bài... GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN x =1 f , ( x) = −3 x 2 + 30 x − 27 = 0 ⇔  x = 9 −∞ x y’ 0 1 - 0 3 +∞ + y 14 Từ bảng biến thiên suy ra MinP = 7 ⇔ x = y = z = 1 Ví dụ 17: (Trích ĐH A2006) Cho hai số thực x, y ≠ 0 thay đổi thỏa mãn điều kiện : ( x + y ) xy = x 2 + y 2 − xy Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A= 1 1 + x3 y 3 HƯỚNG... 1, z = 2 33 34 Dấu “=” xảy ra khi x = 4, y = 1, z = 2 33 Trang11 _ GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN Ví dụ 13: Cho x, y > 0 và x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  1 P=  x 2 + 2 y   2 1  ÷ y + 2 ÷ x   HƯỚNG DẪN GIẢI :  2 Theo BĐT Côsi ta có 0 0, y > 0, x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x y + 1− x 1− y T= HƯỚNG DẪN GIẢI :  π 2 2 Đặt x = cos a; y = sin a ⇒ a ∈  0; ÷ khi đó  2 cos 2 a sin 2 a cos3 a + sin 3... là ba số thực thuộc đoạn [1;4] và x ≥ y , x ≥ z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x y z + + 2x + 3y x + y z + x HƯỚNG DẪN GIẢI : x y z P = 2x + 3y + y + z + z + x −y ( x − y )( z − xy ) Lấy đạo hàm theo z ta có : P’ (z) = 0 + ( y + z )2 + ( z + x) 2 = ( y + z )2 ( z + x)2 + Nếu x = y thì P = x 2 6 5 x 2 y + Ta xét x > y thì P ≥ P( xy ) = 2 x + 3 y + y+ x Khảo sát hàm P theo z, ta có P nhỏ nhất. .. ba số không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1 Tìm GTLN của biểu thức : S = x 2 y + y 2 z + z 2 x Bài 6 (Trích ĐH A2013) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện (a + c)(b + c) = 4c 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 32a 3 32b3 a 2 + b2 P= + − (b + 3c)3 (a + 3c) 3 c Trang18 _ GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai Phương ... (Trích ĐH D2013−NC) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số đoạn [ 0; 2] f ( x) = x − 3x + x +1 Bài 10 (Trích ĐH A2012) Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x +y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P =... THPT Số Bảo Thắng- Lào cai Phương pháp hàm số tìm GTLN GTNN năm đầu học đại học Năm học 2013-2014 Tôi xin giới thiệu đến bạn đồng nghiệp , học sinh người yêu toán đề tài : "Phương pháp hàm số tìm. .. thỏa mãn x + y + = 3xy Tìm giá trị lớn Trang5 _ GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số Bảo Thắng- Lào cai Phương pháp hàm số tìm GTLN GTNN 3x 3y 1 M=