S GIO DC V O TO LO CAI oOo PHNG PHP A V XẫT HM MT BIN S TèM GI TR LN NHT V GI TR NH NHT H v tờn tỏc gi: o Vn Lng Chc v: T trng chuyờn mụn T chuyờn mụn: Toỏn tin hc n v cụng tỏc: Trng THPT chuyờn tnh Lo Cai Lo Cai, thỏng nm 2014 Mc lc Ni dung t Gii quyt C s lý lun ca Trang 4 Thc trng ca Cỏc bin phỏp ó tin hnh gii quyt Cỏc kin thc chun b Phng phỏp a v xột hm s mt bin s tỡm giỏ tr ln nht v nh nht Phng phỏp kho sỏt ln lt tng bin tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh 15 nht Bi ỏp dng 20 22 Hiu qu ca SKKN 22 Kt lun 23 Ti liu tham kho Danh mc ch cỏi vit tt Ch vit tt SKKN GTLN GTNN SGK VMO Gii ngha Sỏng kin kinh nghim Giỏ tr ln nht Giỏ tr nh nht Sỏch giỏo khoa K thi chn hc sinh gii Quc gia Vit Nam mụn Toỏn (Vietnamese Mathematical Olympiad ) BT H B2013 IMO Bt ng thc thi i hc B nm 2013 K thi chn hc sinh gii Toỏn quc t (International Mathematical Olympiad) T VN Trong chơng trình bồi dỡng học sinh khiếu toán trung học phổ thông, chuyờn bt ng thc, cc tr nội dung thiếu, toán bt ng thc v tỡm cc tr luôn chiếm vị trí quan trọng cấu trúc đề thi học sinh giỏi tỉnh, học sinh giỏi Quốc gia v cỏc thi tuyn sinh i hc bt ng thc, cc tr thng l cõu dựng phõn loi hc sinh Chuyờn bt ng thc v cc tr hc sinh c hc t rt sm, hin trờn th trng ó cú rt nhiu ti liu tham kho cung cp rt nhiu cỏc phng phỏp chng minh bt ng thc hay tỡm cc tr ca cỏc biu thc Tuy nhiờn quỏ trỡnh dy hc tụi nhn thy xu hng thi i hc v hc sinh gii ca nhiu nm gn õy phng phỏp hm s ni lờn nh mt phng phỏp hiu qu gii quyt cỏc bi toỏn v tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca cỏc biu thc Vỡ vy tụi ó la chn ti: PHNG PHP A V XẫT HM MT BIN S TèM GI TR LN NHT V GI TR NH NHT lm ti sỏng kin kinh nghim ca mỡnh nm hc 2013-2014 GII QUYT VN 2.1 C s lý lun ca Nghiên cứu trình bày chuyên đề PHNG PHP A V XẫT HM MT BIN S TèM GI TR LN NHT V GI TR NH NHT nhằm cung cp cho hc sinh cỏch suy ngh gii quyt cỏc bi toỏn tỡm GTLN v GTNN bng cỏch a v kho sỏt i vi hm s cú mt bin s Trong SKKN ta cựng xột cỏc ý tng chuyn húa cỏc bi toỏn tỡm GTLN, GTNN ca cỏc biu thc cú cha nhiu bin v xột vi hm s mt bin s v SKKN cng s cung cp cỏc nhn xột quan trng ca phng phỏp, t ú giỳp hc sinh hiu rừ phng phỏp v cú mt cụng c hiu qu gii quyt lp bi toỏn ny 2.2 Thc trng ca Chuyờn bt ng thc, cc tr phần kiến thức quan trọng chơng trình toán THPT Xuất nhiều đề thi chọn học sinh giỏi toỏn cỏc cp v k thi tuyn sinh vo hc, cao ng hng nm Tuy nhiên việc gii quyt c cỏc bi toỏn v tỡm GTLN v GTNN l khụng n gin Nó đòi hỏi ngời làm toán việc hiểu rõ kiến thức, có kỹ cần thiết cần phải có t sáng tạo, sắc bén 2.3 Cỏc bin phỏp ó tin hnh gii quyt Trong phn ny SKKN s trỡnh by cỏc ni dung chớnh l: Đ Cỏc kin thc chun b Đ Phng phỏp a v xột hm s mt bin s tỡm giỏ tr ln nht v nh nht Đ Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht bng phng phỏp kho sỏt ln lt tng bin s Trong mi ni dung c trỡnh by u nờu rừ c s ca phng phỏp, a cỏc phõn tớch, nh hng cỏc li nhn xột cn thit Cui cựng l xut mt s bi tng t ngi c t rốn luyn Đ Cỏc kin thc chun b I Khỏi nim v giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca hm s Định nghĩa : Cho hàm số f(x) xác định D Số M đợc gọi giá trị lớn hàm số f(x) D : f ( x) M , x D x D cho : f(x ) = M f ( x) Kí hiệu : M = max xD Số m đợc gọi giá trị nhỏ hàm số f(x) D : f ( x) m, x D x D cho : f(x ) = m f ( x) Kí hiệu : m = xD II Phng phỏp chun húa Mt s nh ngha nh ngha 2: Ta bo H(x,y,z) l mt a thc ng cp bc k (k nguyờn dng) nu H(tx, ty, tz) = tk H(x, y, z) nh ngha 3: Ta bo, f(x, y, z) g(x, y, z) l hai a thc đồng bậc m (nguyên dơng) f( x, y, z) = m f(x, y, z) g( x, y, z) = mg(x, y, z) 2) Phng phỏp chun húa a) Bi toỏn 1: Cho H(x, y, z) đa thức đẳng cấp bậc k hm s F(x, y, z) thỏa mãn F(x, y, z) = F( x, y, z) Khi giá trị F(x, y, z) miền {(x, y, z)| H(x, y, z) = a, a > 0} không thay đổi a thay đổi Chng minh Thật vậy, giả sử M(x, y, z): H (x, y, z) = a1 M(x, y, z): H(x, y, z) = a2; a1 a2; a1, a2 > Ta có H ( x, y, z ) = a1 a2 H(x, y, z) = a a1 k a a k ữ H(x, y, z) = a H k x, a1 a1 đặt x' = k a2 x, y' = a1 k a2 y, z' = a1 k k a2 y, a1 k a2 z ữ = a2 a1 a2 z a1 Ta có: H(x', y', z') = a F(x', y', z') = F(x, y, z) Mặt khác : M { H(x, y, z) = a1} M' { H(x', y', z') = a } b) Phng phỏp chun húa T vic chng minh bi toỏn trờn, ta nhn c kt qu l: ể tìm giá trị F(x, y, z) miền H(x, y, z) ta cần tìm giá trị F(x, y, z) miền H(x, y, z) = a, cố định thích hợp Trong ú H(x, y, z) đa thức đẳng cấp bậc k Cỏch lm ny ta gi l phng phỏp chun húa 3) M rng Bi toỏn 2: Cho bất đẳng thức: f(x, y, z) g(x, y, z) (*) Với f, g đồng bậc H(x, y, z) đa thức đẳng cấp bậc k Nu bt ng thc (*) miền H(x, y, z) = a1 miền H(x,, y,, z,) = a2 với a1, a2 > Chng minh H(x, y, z) = a1 H(x',y',z') = a ; x' = k a2 a x; k y; a1 a1 k a2 zữ a1 ữ m a f(x', y', z') = k ữ ữ f(x, y, z) a Tơng tự: m a g(x', y', z') = k ữ ữ g(x, y, z) a Khi đó: f(x, y, z) g(x, y, z) f(x', y', z') g(x', y', z') Nhn xột: Nh vy để chứng minh (*) miền H(x,y,z) cần chứng (*) miền H(x, y, z) = a > cố định Việc chọn giá trị a quan trọng, bi vỡ thay cho vic nghiờn cu tớnh ỳng n ca (*) trờn H(x,y,z) bt k thỡ ta ó chuyn v vic nghiờn cu tớnh ỳng n ca (*) xột trờn H(x,y,z) = a Đ Phng phỏp a v xột hm s mt bin s tỡm giỏ tr ln nht v nh nht Bi toỏn m u: Trc ht ta hóy xột bi toỏn sau: Bi toỏn 1: (Cõu V Khi D-2009) Cho cỏc s thc khụng õm x, y thay i v tha món: x+y=1 Tỡm GTLN, GTNN ca biu thc: S=(4x2+3y)(4y2+3x)+25xy Hng dn gii tn dng gi thit x+y=1 ta bin i nh sau: S=16x2y2+12(x3+y3)+34xy = 16x2y2+12[(x+y)3-3xy(x+y)+34xy = 16x2y2-2xy+12 t t=xy, ú biu thc: S=f(xy) = f(t) = 16t2-2t+12 Tip theo ta ỏnh giỏ xem vi x,y khụng õm v x+y=1 thỡ giỏ tr ca bin mi t nh th no? ( x + y )2 1 D thy: xy = t [0; ] 4 Nh vy bi toỏn bõy gi tr v mt bi toỏn n gin: Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca f(t)= 16t2-2t+12 vi t [0; ] Bng phng phỏp lp bng bin thiờn ca h f(t) trờn t [0; ] , hoc s dng qui tc trang 21 SGK Gii tớch 12, ta d dng nhn c S max = 25 191 ; S = 16 Nhn xột 1: 10) bi toỏn trờn ta cng cú th t gi thit x+y=1 rỳt y=1-x ri thay vo biu thc S s a S v hm bc i vi n x, x [0;1] , sau ú tin hnh tng t, nhiờn cỏch ny thc hin s di v biu thc ca S khụng thun li nh cỏch lm trờn 20) Trong cỏch lm trờn ta ó chuyn biu thc ca S v hm f(xy), ri s dng phộp t n s ph Cn lu ý ti cỏc gi thit ca bi toỏn v dng toỏn ny i bin nht thit phi t chớnh xỏc iu kin cho bin mi p dng Bi toỏn 2: Cho x, y l cỏc s thc v tha iu kin x2+y2=2 Tỡm GTLN, GTNN ca biu thc: P=2(x3+y3) 3xy Hng dn gii: So sỏnh vi bi toỏn 1, rừ rng vic xut phỏt t gi thit ca bi toỏn rỳt bin x theo y ri th vo biu thc P khú thc hin c, ú mt suy ngh t nhiờn l ta s tỡm cỏch biu din biu thc P theo mt n s cú cha c x v y ri s dng phộp t n s ph Ta cú: P = 2( x + y )( x + y xy ) xy = 2( x + y )(2 xy ) xy Mt khỏc, ta luụn cú ng thc hin nhiờn sau: ( x + y )2 , vỡ th sau t t=x +y, thỡ xy = t2 t2 P = f (t ) = 2t (2 )3 = t t + 6t + 2 Vn cũn li vi gi thit ban u thỡ bin mi t nh th no? Li cú: ( x + y ) Bunhiacopsky 2( x + y ) = t [-2;2] n õy bi toỏn tr v bi toỏn tỡm GTLN v GTNN ca hm s f (t ) = t t + 6t + , vi t [-2;2] (õy l bi quen thuc SGK gii tớch 12) Bi toỏn (i hc B-2012) Cho cỏc s thc x, y, z tha cỏc iu kin x + y + z = v x + y + z = Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc P = x + y + z Hng dn gii *) a P v hm n x? Ta cú: P = x + ( y + z )( y + z ) y z ( y + z ) P = x + (1 x )[( y + z )( y + z ) yz ( y + z )]+( x ) x = (2 x x ) *) Tỡm giỏ tr ca x? Do x+y+z=0 v x2+y2+z2=1 Nờn ta cú: = ( x + y + z ) = x + y + z + x( y + z ) + yz = x + yz Suy ra: yz = x ; yz y2 + z x 1 x2 6 = x2 x 2 2 3 *) Bi toỏn tr thnh: Tỡm giỏ tr ln nht ca hm P=f(x)= 6 (2 x x ) , vi x 3 Bi toỏn (i hc B-2011) Cho cỏc s thc a, b, l cỏc s thc dng tha iu kin : 2(a + b ) + ab = (a + b)(ab + 2) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc a b3 a b P = + ữ + ữ a b a b Hng dn gii Lu ý rng: a b3 a b a b a b P = *) + ữ + ữ = f ( + ) = f(t)=4t -9t -12t+18, vi t = + a b a b a b a b *) Tỡm giỏ tr cho bin mi t? T gi thit: 2(a + b ) + ab = (a + b)(ab + 2) 2(a + b ) + ab = a 2b + ab + 2(a + b) a b 1 1 a b 2( + ) + = ( a + b) + 2( + ) 2( a + b).( + ) = 2( + + 2) b a a b a b b a a b b a Gii bt phng trỡnh ny, s tỡm c iu kin: t = + Bi toỏn tr thnh: Tỡm giỏ tr nh nht ca hm: f(t)=4t3-9t2-12t+18, vi t Bi toỏn (VMO-2003- bng A) Cho hm s f xỏc nh trờn hp s thc R, ly giỏ tr trờn R v tho iu kin: f(cotx) = sin2x+cos2x, vi x (0; ) Hóy tỡm giỏ tr nh nht v giỏ tr ln nht ca hm s g(x) = f(x).f(1-x) trờn [-1;1] Hng dn gii Ta cú: f(cotx) = sin2x+cos2x, vi x (0; ) t t=cotx, x (0; ) thỡ t thuc R Hm f (t ) = t + 2t ;t Ă t2 +1 x (1 x ) + x(1 x) ;xR Dn n : g(x) = f(x).f(1-x) = x (1 x) x(1 x) + t u=x(1-x) Khi x thuục [-1 ;1] thỡ u thuc [-2 ;1/4] Bi toỏn tr thnh : Tỡm GTLN, GTNN ca hm h(u ) = u + 8u , u [-2; ] (n õy l bi SGK) u 2u + Bi toỏn (VMO-2004 bng B): x + y + z = Hóy tỡm GTNN v GTLN xyz = Xột cỏc s thc dng x, y, z tha iu kin ca biu thc : P = x + y + z Hng dn gii t t=xy+yz+zx, a Q v dng Q= 2(t2-32t+144) *) Tỡm iu kin ca t? T gi thit, suy y+z=4-x v yz=2/x 10 nờn t=x(4-x)+2/x(*) 2 S dng BT hin nhiờn: ( y + z ) yz (4 x) x 2(do x (0;4)) x Kho sỏt hm t(x) trờn x trờn suy iu kin ca t Khi ú bi toỏn tr v bi toỏn SGK Bi toỏn ( thi i hc B-2010) Cho cỏc s thc a ,b ,c khụng õm tha a + b + c = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc M = 3(a 2b + b c + c a ) + 3(ab + bc + ca) + a + b + c Hng dn gii Nhn xột rng õy l bi toỏn tỡm GTNN ca biu thc i xng gia ba bin, vic suy ngh theo hng rỳt th gim dn s bin qui v hm mt bin rt khú thc hin Hn na, ta cú: M = 3( a 2b + b 2c + c a ) + 3(ab + bc + ca ) + a + b + c =3(a 2b + b c + c a ) + 3(ab + bc + ca) + (a + b + c) 2(ab + bc + ca ) =3(a 2b + b c + c a ) + 3(ab + bc + ca) + 2(ab + bc + ca ) Nh vy, qua cỏch biu din trờn ta ó a M v dng ch cha cỏc biu thc ab, bc, ca Lm th no biu th M thụng qua biu thc ca hm ch cha mt bin s, ta ngh n mt ỏnh giỏ trung gian, khỏ t nhiờn l: 3(a 2b + b 2c + c a ) Bunhiacopssky (ab + bc + ca ) , ú M (ab + bc + ca ) + 3( ab + bc + ca ) + ( a + b + c ) 2(ab + bc + ca) t t=ab+bc+ca th thỡ: M f (t ) = t + 3t + 2t Mt khỏc: (a + b + c) 3(ab + bc + ca ) (BT hin nhiờn) Nờn t [0; ] n õy bi toỏn c a v a v bi toỏn SGK Tỡm GTNN ca f (t ) = t + 3t + 2t vi t [0; ] Nhn xột 2: 30) Trong nhiu trng hp ta phi s dng cỏc ỏnh giỏ trung gian lm tri biu thc cn tỡm GTLN v GTNN, s dng cỏc ỏnh giỏ trung gian ny cn phi lu ý n vic du bng xy ng thi ca cỏc bt ng thc trung gian m ta s dng Bi toỏn (HSG tnh phỳ Th 2013-2014) 11 Cho cỏc s dng a, b, c thay i tha a + b + c = Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc 8( a + b 2a + b + c ) 2b + c + a ) ( ( S= + + 2 9c 2a + ( b + c ) 2b + ( c + a ) c2 + ) Hng dn gii ( 2a + b + c ) 2 a2 + ( b + c ) Vỡ a + b + c = nờn ta cú ( 2a + b + c ) 2 a2 + ( b + c ) Suy ( 2b + c + a ) 2b2 + ( c + a ) ( 4a + ) ng thc xy v ch a = Tng t a2 + a + 8a + ữ = = 1+ 3a a + ( a 1) + ữ ( 4b + ) ng thc xy v ch b = Do ú S ( ( a + b) + ) + ( a + b c2 + 9c ) ) ( c c2 + 52 c 8 c2 + = + = ( ( c) + 8) + 3c 3c 9c Xột hm s f ( c ) = 52 c 8 c2 + vi < c < + 3c 3c Chng minh c max f ( c ) = f ( 1) = < c0 x + y z xy = >0 2 z Du = ca bt (1) xy x + y Xột h: x + y + z = x2 + y2 + z = xy = (x, y, z) = (2, -1, 2), (-1, 2, 2) Vy GTLN ca F = 10 t c (x, y, z) = (2, -1, 2) v cỏc hoỏn v ca chỳng Nhn xột : 40) Trong nhiu trng hp tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc ta cú th kt hp vi phng phỏp chun húa, chuyn cỏc biu thc cn tỡm GTLN v GTNN v cỏc biu thc cú dng n gin hn ng thi to cỏc iu kin liờn h gia cỏc bin Bài toán 10: Cho a, b, c > Tỡm GTLN ca F = 7(ab + bc + ca) 9abc (a + b + c) (a + b + c)3 Hng dn gii F(a, b, c) = 7(ab + bc + ca) 9abc (a + b + c) (a + b + c)3 Do F(a , b, c) = F(ta, tb, tc) Ta xem a + b + c = Suy ra: F(a, b, c) = 7(ab + bc + ca) - 9abc = 7a(1 - a) + bc(7 - 9a) Giả sử: 0 0; bc = Ta có: 4 < a b c Khi đó: (1- a)2 F(a, b, c) 7a(1- a) + (7- 9a); < a 1 F(a, b, c) f(a) = (- 9a - 3a + 5a + 7) 4 13 Khảo sát hàm số f(a), ta có: max F(a, b, c) = t c a=b=c Bi toỏn 11: Cho a, b, c > Tỡm GTNN ca (a + b + c)2 a + b + c3 a + b + c Q= 2 + ữ (1) abc ab + bc + ca a +b +c Hng dn gii Do F(a, b, c) = F(ta, tb, tc) Ta tìm giá trị Q miền a2+b2+c2=3 Khi đó: (a + b + c)2 = a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca (a + b + c)2 = + 2(ab + bc + ca) a + b + c3 = 3abc + (a + b + c) [ - (ab + bc + ca)] a + b + c3 1 =3+( + + ) [ - (ab + bc + ca)] abc ab bc ca Đặt Q = ab + bc + ca 3; = 1 + + Suy ra: ab bc ca 12 + + (3 ) = + + = + 2( + ) 2 3 3 + = + + 3( )1 / Q + ữ Suy ra: minQ = , a = b = c > Đ Phng phỏp kho sỏt ln lt tng bin tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht Nhn xột : tỡm cc tr ca biu thc cỳ cha nhiu bin s cú th dựng phng phỏp kho sỏt ln lt tng bin, ngha l Tỡm GTLN (hoc GTLN) ca hm s vi bin th nht v cỏc bin cũn li coi l tham s Ri tỡm GTLN(GTNN) ca hm s vi bin th hai v ng vi giỏ tr ó xỏc nh ca bin s th nht m cỏc bin s cũn li coi nh l tham s Vớ d minh Bi toỏn 12: Xột hm s : f(x;y) = (1-x)(2-y)(4x-2y) trờn D = {(x,y)/ x 1, y 2} Tỡm giỏ tr nh nht ca hm s f trờn D Hng dn gii Bin i hm s ó cho tr thnh: f(x,y) = 2(1-x)(2-y)[(2-y)-2(1-x)] 14 t v = 1-x v u = 2- y, ta chuyn v tỡm giỏ tr nh nht ca hm s: F(u,v) = uv(u-2v) = -2uv2+u2v, trờn : E = {(u,v)| u , v 1} Ngha l: F (u , v) = min[min F (u , v)] = [min (2uv + u 2v )] Tỡm E u v u v Xột hm : g(v) = -2uv2+u2v vi v v ta coi u l tham s tho u Ta cú: g'(v) = -4uv+u2 = u(u-4v) ta thy g'(v) = v0= u u m v0 [0;1] v qua v0 thỡ 4 g (v) = min{g (0); g (1)} Ư = min{0;-2u+u2}=u2-2u g'(v) i du t dng sang õm, suy ra: 0v1 (vỡ u2-2u = u(u-2) 0) F (u , v) = (2u + u ) = -1 u = 1; v = Vy: E 0u u = x = f ( x, y ) = F (u , v) = t c T ú D E v = y = Bi toỏn 13: Xột cỏc s thc dng a, b,c tho iu kin: abc+a+c = b Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc: P = 2 + (VMO-1999-bng A) a +1 b +1 c +1 Hng dn gii T gi thit: abc+a+c = b a+c = b(1-ac) > ac < 0 thỡ g'(c) = ti c = v d thy qua c0 thỡ g'(c) i du t dng sang õm nờn 2 g(c0) l giỏ tr cc i, suy P g( v a = c + c + = 2c 2 )= 10 Giỏ tr P t c c = 2 b= 2 Bi toỏn 14: Xột cỏc s thc dng x, y, z tho h iu kin sau : z min{x, y} (1) (2) Hóy tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc: P(x;y;z) = + + xz x y z 15 (3) yz (VMO-2001-bng B) Hng dn gii x z y z Ta vit li : P(x,y,z) = ( + ) + 2( + ) T iu kin (1) suy ra: x z v t (2) suy ra: x a) Xột hm s : f(x) = 4 x max {z, } (4) 15 z 15 z 1 + vi x > v tham s l z Xy hai trng hp sau x z õy: (Rừ rng ta ngh ti vic xột giỏ tr m lm cho z = Nu z 15 thỡ x z z= ) 15 z 15 1 1 theo (4) nờn: f(x) = + + = 15 (5) 15 z x z z z z 16 Nu 2 z 15 Xột hm s g(z) = thỡ x 1 15 z + = g(z) z theo (4) nờn: f(x) = + 15 z x z z 15 z + vi z z 15 Ta cú: g'(z) = = 15 2 < z [ ; ] z 15 T ú g(z) l hm gim v f(x) g(z) g( ) = (6) So sỏnh (5) v (6) kt lun: f(x) = = 1 1 x + Du "=" xy + =4 z= x z x z (7) b Xột hm s h(y) = 1 + T iu kin (1) v (3) suy y max{z; } (8) y z 5z Lp lun hon ton tng t nh cõu a) ta c Nu z Nu thỡ h(y) (9) 1 9 z thỡ h(y) (10) So sỏnh (9) v (10) rỳt : + ng thi : y z 2 1 + = y z z= y= x z y z T cỏc kt qu a) v b) ta cú: P(x;y;z) = ( + ) + 2( + ) 4+2 = 13 2 x = Vy MaxP(x,y,z) = 13 t c y = z = Bi toỏn 15: Xột cỏc s thc dng a, b, c tho iu kin: 21ab+2bc+8ca 12 Hóy tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: P(a,b,c) = + + a b c (VMO- 2001) Hng dn gii t x = 1 ; y = ; z = , thỡ bi chuyn v bi toỏn sau: a b c Xột cỏc s thc dng x, y, z tho iu kin: 2x+8y+21z 12xyz Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: 17 P(x,y,z) = x+2y+3z x > y Xut phỏt t gi thit : 2x+8y+21z 12xyz z(12xy-21) 2x+8y > (1) z 2x + y 12 xy 21 Suy : P(x,y,z) x+2y+ 2x + y (2) xy x + y x y 5x + y Xột hm s: f(x) = x+ = vi bin l x > v y l tham s y >0 xy 4y xy Ta cú: f'(x) = 16 x y 56 xy 32 y + 35 trờn ( ;+ ) thỡ f'(x) = 16x2y2-56xy-32y2+35 4y (4 xy 7) 32 y + 14 + 4y 4y = cú nghim nht l x = v qua x0 thỡ f'(x) i du t õm sang dng nờn f(x) t cc tiu ti x0 5 (4 x y x + y )'| x 32 y + 14 T ú f(x) f(x0) = (theo nh lý ) = 2x0 - =2( + )4y 4y (4 xy 7)'| x 4y 4y 32 y + 14 = + 4y 2y Suy ra: P(x,y,z) f(x)+2y 2y+ Xột hm s g(y) = 2y+ 32 y + 14 = g(y) (3) + 4y 2y 32 y + 14 vi y > Sau tớnh g'(y) ta cú: g'(y) = + 4y 2y (8y2-9) 32 y + 14 -28 = t t = 32 y + 14 (iu kin t > 0) thỡ phng trỡnh trờn tr thnh : t3 - 50t -112 = (t-8)(t2+8t+14) = t = y = Vi y > v qua y0 = 5 t ú g'( ) = 4 5 thỡ g'(y) i du t õm sang dng nờn g(y) t cc tiu ti y = 4 lỳc ú: g( ) = 15 15 T ú v theo (3) suy ra: P(x,y,z) g(y) g( ) = (Theo tớnh cht bc cu) 18 y = a = 32 y + 14 + = b = Du ng thc xy x = 4y 2y z = c = Vy : MinP(a,b,c) = 15 Nhn xột 5: Phng phỏp kho sỏt ln lt tng bin cho thy ng li gii rừ rng hn so vi cỏch dng bt ng thc, ng thi cú th dựng gii mt lot cỏc bi toỏn tỡm cc tr ca hm nhiu bin Đ BI TP P DNG Bi 1: Tỡm GTLN, GTNN ca biu thc: P = 2( xy + y2 ) xy + x + Bi 2: (A-2006) Cho hai s thc thay i v tha iu kin: ( x + y ) xy = x + y xy Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc A = 1 + x3 y Bi (H B-2009) Cho cỏc s thc x, y thay i v tho món: (x + y)3 + 4xy Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc : A = 3(x4 + y4 + x2y2) 2(x2 + y2) + 19 Bi (H B-2007) Cho x , y , z l ba s thc dng thay i Tỡm giỏ tr nh nht ca biu x thc : P = x ( + y z ) + y( + ) + z( + ) yz zx xy Bi (H A2011) Cho x, y, z l ba s thc thuc on [1; 4] v x y, x z Tỡm giỏ tr nh nht ca biu biu thc P = x y z + + 2x + 3y y + z z + x Bi (H A2012) Cho cỏc s thc x, y, z tha iu kin x +y + z = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = x y + y z + z x x + y + z Bi (H A2013) Cho cỏc s thc dng a, b, c (a + c)(b + c) = 4c Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = tha iu kin 32a 32b3 a + b2 + (b + 3c)3 (a + 3c)3 c Bi (H B2013) Cho a, b, c l cỏc s thc dng Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc : P= a + b2 + c2 + (a + b) (a + 2c)(b + 2c) x, y Tỡm GTLN ca P = x y ( x + y ) x + y = Bi (Ireland 2000) Cho Bi 10 Xột cỏc s thc dng x, y, z tha iu kin (x+y+z) 3=32xyz Hóy tỡm GTNN v GTLN ca biu thc : P = x4 + y + z (VMO-A-2004) ( x + y + z )4 Bi 11 (IMO 1984/1) Cho x, y,z l cỏc s thc khụng õm cho: x+y+z=1 CMR: xy + yz + zx xyz Du = xy no ? 27 Bi 12 (VMO-2001-bng A) Xét số thực dơng x, y, z thoả mãn điều kiện z < min{x , y 3} x + z y + z 10 Tìm giá trị lớn biểu thức: P(x,y,z) = + + 2 x y z Bi 13 Cho hàm số: f(x,y,z) =xy+yz+zx - 2xyz miền : D = {(x,y,z):0 x,y,z x+y+z = } 20 f ( x, y, z ) max f ( x, y, z ) Tìm D D Bi 14 Chứng minh x, y, z số thực đôi khác : |x y| 1+ x + 1+ y 2 + | yz| 1+ x + 1+ z 2 > |xz| 1+ x2 + 1+ z2 Bi 15: Cho x, y, z R thoả mãn ba điều kiện : < z y x + xy y 18 + + x y y z z x (1) (2) (3) Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: F(x,y,z) = xyz + 80 x + y 27 - 2.4 Hiu qu ca SKKN Sáng kiến kinh nghiệm đợc ỏp dng dy cho i tuyn thi chn HSG cp tnh v cp Quc gia nm hc 2013-2014 t hiu qu tt, cú hc sinh t gii hc sinh gii Quc gia mụn Toỏn hc Sỏng kin kinh nghim l chuyờn tt c s dung vic bi dng hc sinh nng khiu Kt lun Bt ng thc, cc tr phần kiến thức quan trọng chơng trình toán THPT Xuất nhiều đề thi chọn học sinh giỏi toỏn cỏc cp, cỏc thi tuyn sinh 21 vo i hc v cao ng hng nm Tuy nhiên việc gii quyt c cỏc bi toỏn v bt ng thc, cc tr l khụng n gin Nó đòi hỏi ngời làm toán việc hiểu rõ kiến thức, có kỹ cần thiết cần phải có t sáng tạo, sắc bén Sáng kiến kinh nghiệm đợc ỏp dng dy cho i tuyn thi chn HSG cp tnh v cp Quc gia cú hiu qu Sỏng kin cng cú th c sử dụng thành chuyên đề để giúp học sinh THPT phát triển kỹ năng, kỹ xảo t trình giải toán Sáng kiến đợc sử dụng nh tài liệu tham khảo cho bạn học sinh yêu thích môn toán chuẩn bị thi vào trờng đại học cao đẳng, thi học sinh giỏi Sáng kiến phát triển thành đề tài nghiên cứu, gắn liền với chơng trình THPT nhằm giúp cho học sinh tiếp thu t cách nhanh Sáng kiến kinh nghiệm đạt đợc mục đích nhiệm vụ nghiên cứu đề Tuy nhiên thời gian nghiên cứu hạn chế, nên sáng kiến không tránh khỏi thiếu xót Rất mong nhận đợc ý kiến đóng góp quý báu thầy cô giáo em học sinh sử dụng tài liệu Lào Cai tháng năm 2014 Giáo viên o Vn Lng Tài liệu tham khảo Gii thiu thi i hc cao ng t 2002 n 2013 tỏc gi: Trn Tun ip Ngụ Long Hu- Nguyn Phỳ Trng Tuyn thi chn HSGQG mụn Toỏn Tạp chí toán học tuổi trẻ Địa Webside. Mathscope.org 22 23 [...]... (VMO-2001-bng A) Xét các số thực dơng x, y, z thoả mãn điều kiện 1 1 2 z < 2 min{x 2 , y 3} x + z 3 6 y 3 + z 10 2 5 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P(x,y,z) = 1 2 3 + 2 + 2 2 x y z Bi tp 13 Cho hàm số: f(x,y,z) =xy+yz+zx - 2xyz trên miền : D = {(x,y,z):0 x,y,z và x+y+z = 1 } 20 f ( x, y, z ) và max f ( x, y, z ) Tìm min D D Bi tp 14 Chứng minh rằng nếu x, y, z là các số thực đôi một khác nhau... phải có một t duy sáng tạo, sắc bén Sáng kiến kinh nghiệm này đợc ỏp dng dy cho i tuyn thi chn HSG cp tnh v cp Quc gia cú hiu qu Sỏng kin cng cú th c sử dụng thành chuyên đề để giúp học sinh THPT phát triển kỹ năng, kỹ xảo và t duy trong quá trình giải toán Sáng kiến cũng có thể đợc sử dụng nh là một tài liệu tham khảo cho các bạn học sinh yêu thích môn toán và chuẩn bị thi vào các trờng đại học và cao... THPT nhằm giúp cho học sinh tiếp thu và t duy một cách nhanh nhất Sáng kiến kinh nghiệm đã đạt đợc mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu đã đề ra Tuy nhiên vì thời gian nghiên cứu còn hạn chế, nên sáng kiến không tránh khỏi thiếu xót Rất mong nhận đợc những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô giáo và các em học sinh khi sử dụng tài liệu này Lào Cai tháng 4 năm 2014 Giáo viên o Vn Lng Tài liệu tham khảo... 1+ z2 Bi tp 15: Cho x, y, z R thoả mãn ba điều kiện : 0 < z y x 3 3 2 + 2 1 xy y 18 4 3 2 + 2 + 2 3 x y y z z x (1) (2) (3) 1 2 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: F(x,y,z) = xyz + 80 3 9 3 x + y 27 4 - 2.4 Hiu qu ca SKKN Sáng kiến kinh nghiệm này đợc ỏp dng dy cho i tuyn thi chn HSG cp tnh v cp Quc gia trong nm hc 2013-2014 t hiu qu tt, cú 4 hc sinh t gii... 9a); 0 < a 4 3 1 1 F(a, b, c) f(a) = (- 9a 3 - 3a 2 + 5a + 7) 4 4 13 Khảo sát hàm số f(a), ta có: max F(a, b, c) = 2 t c khi a=b=c Bi toỏn 11: Cho a, b, c > 0 Tỡm GTNN ca (a + b + c)2 1 a 3 + b 3 + c3 a 2 + b 2 + c 2 Q= 2 2 2 + ữ (1) 2 abc ab + bc + ca a +b +c Hng dn gii Do F(a, b, c) = F(ta, tb, tc) Ta chỉ tìm giá trị của Q trên miền a2+b2+c2=3 Khi đó: (a + b + c)2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc... Cai tháng 4 năm 2014 Giáo viên o Vn Lng Tài liệu tham khảo 1 Gii thiu thi i hc cao ng t 2002 n 2013 tỏc gi: Trn Tun ip Ngụ Long Hu- Nguyn Phỳ Trng 2 Tuyn tp thi chn HSGQG mụn Toỏn 3 Tạp chí toán học và tuổi trẻ 4 Địa chỉ Webside. Mathscope.org 22 23 ... Định nghĩa : Cho hàm số f(x) xác định D Số M đợc gọi giá trị lớn hàm số f(x) D : f ( x) M , x D x D cho : f(x ) = M f ( x) Kí hiệu : M = max xD Số m đợc gọi giá trị nhỏ hàm số f(x) D : ... Bi 12 (VMO-2001-bng A) Xét số thực dơng x, y, z thoả mãn điều kiện z < min{x , y 3} x + z y + z 10 Tìm giá trị lớn biểu thức: P(x,y,z) = + + 2 x y z Bi 13 Cho hàm số: f(x,y,z) =xy+yz+zx... Phng phỏp chun húa T vic chng minh bi toỏn trờn, ta nhn c kt qu l: ể tìm giá trị F(x, y, z) miền H(x, y, z) ta cần tìm giá trị F(x, y, z) miền H(x, y, z) = a, cố định thích hợp Trong ú H(x, y,