Đang tải... (xem toàn văn)
Tuyển chọn một số phương trình vô tỉ Tuyển chọn một số phương trình vô tỉ Tuyển chọn một số phương trình vô tỉ Tuyển chọn một số phương trình vô tỉ Tuyển chọn một số phương trình vô tỉ Tuyển chọn một số phương trình vô tỉ
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 TUYỂN CHỌN MỘT SỐ BÀI PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC SẮC Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Câu 1: Giải phương trình 3x + x − = x + x + x Lời giải Nhận thấy x = không nghiệm Khi PT ⇔ x3 + x − = x x + + 1 ⇔ 3x + x − = x3 + + x x x 1 1 ⇔ 3x + x − + x3 + + = x3 + + + x3 + + x x x x ⇔ ( x3 + 3x + 3x + 1) + ( x + 1) = x3 + + 1 1 + x + + ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) = x3 + + + x3 + + x x x x 1 ⇔ f ( x + 1) = f x + + f ( t ) = t + t ; t ∈ R ⇔ x + = x + + ( Do f hàm đồng biến) x x x = −1 1 2 ⇔ ( x + 1) = x + + ⇔ x + x + = + ⇔ x + x − x − = ⇔ ( x + 1) ( x − 1) = ⇔ x = ± x x 3 Vậy PT cho có nghiệm x = −1; x = ± Câu 2: Giải phương trình x2 + 6x = ( x − 2) x2 − x + ( x+4 −2 ) ( x ∈ ℝ) Lời giải x ( x + 6) Điều kiện x ≥ −4 Phương trình tương đương = x − 4x + x = ⇔ x+6 = x+4+2 ( x − ) + ( x − 2) x x−2 x+4 +2 (1) Đặt x − = u; x + = v v2 + u = ⇔ v + 2v = u + 2u ⇔ ( v − u ) ( v + uv + v + ) = ⇔ u = v u +2 v x ≥ x ≥ ⇔ x−2= x+4 ⇔ ⇔ ⇔ x=5 x − 4x + = x + x − 5x = Kết luận toán có hai nghiệm x = 0; x = (1) ⇔ Câu 3: Giải phương trình x + x + ( x + 1)( x − 14 ) x − = x x +1 ( x ∈ ℝ) (1) Lời giải: Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 x +1 ≠ x ≠ −1 x +1 ≥ x ≥ −1 ĐK: ⇔ ⇔ x ≥ (*) x ≠ x ≠ x − ≥ x ≥ Khi (1) ⇔ ⇔ x3 + x2 + x = ( x − 14 ) x − ( x + 1) x + x ( x + 1) x3 + = 9 ( x − ) + x − ( x + 1) x + ( x + 1) x + 27 x x ⇔ = ( x − 2) x − + x−2 + x +1 x +1 3 x x 3 ⇔ = x−2 + x−2 + x +1 x +1 x 3 ⇔ f = f 2 x−2 x +1 (2) Xét hàm số f ( t ) = t + t với t ∈ ℝ có f ( t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ ℝ ⇒ f ( t ) đồng biến ℝ Do ⇔ (2) ⇔ x = x − ⇔ x = x + x − x +1 (3) x = Với ĐK (*) có (3) ⇔ x = ( x + 1)( x − ) ⇔ ( x − x − ) − x = ⇔ x = − 2 Kết hợp với (*) có x = thỏa mãn x2 + 8x − = ( 4x + 4) 2x + − 2 x2 + Lời giải Điều kiện: x + ≥ ⇔ x ≥ − Phương trình tương đương ( Câu 4: Giải phương trình ) x − = ⇔ x = ( x − 1)( x + ) ( x + )( x − 1) 4x + 8x − 2x + − = x + ⇔ = ⇔ ( ) 2 x + x + 2x + 2x + 2x + + 2x + + = ( *) x + 2x + + Phương trình (*) tương đương ( x + 5) ( ) x + + = ( x + 1) ( x + ) ⇔ ( x + ) x + + x + 10 = x3 + x + x + ⇔ ( x + ) x + = x3 + x − ⇔ ( x + 3) x + + 2 x + + ( x + 3) = x3 + x + x ⇔ ( 2x + ) +2 ( 2x + ) + 2 x + = ( x ) + ( x ) + 2.2 x Xét hàm số f ( t ) = t + 2t + 2t ⇒ f ' ( t ) = 3t + 4t + > ⇒ f ( t ) đồng biến Mà f ( x ≥ x ≥ + 13 2x + = f ( 2x) ⇒ 2x + = 2x ⇔ ⇔ ⇒x= 2 2 x + = x 4 x − x − = ) Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Vậy phương trình có nghiệm x = + 13 x3 − x − x + = x3 − x + x + Câu 5: Giải phương trình Facebook: Lyhung95 x2 − − x +1 Lời giải x3 − x + x + ≠ 0, x + ≠ Điều kiện: x − ≥ Phương trình tương đương x − = ⇔ x = ±2 ( x − 1) ( x − ) x2 − x −1 = ⇔ = x3 − x + x + ( x + 1) x − + x − x + x + ( x + 1) Phương trình (*) tương đương ) ( x3 − x + x + = ( x − 1) ( ) x2 − + ( *) ) ( x − + ⇔ x3 − x + x + = ( x − 1) x − ⇔ x3 − x + x + + ( x − 3) = ( x − 3) x − + x − + ( x − 3) ⇔ x3 − x + x + = ( ⇔ ( x − 1) + ( x − 1) ) ( + ( x − 1) = ( x2 − 3 +2 ) +2 x −3 − 3) + 2( x − 3) x2 − x2 2 + x2 − Xét hàm số f ( t ) = t + 2t + 2t ⇒ f ' ( t ) = 3t + 4t + > ⇒ f ( t ) đồng biến ( ) x ≥ x2 − ⇒ x − = x2 − ⇔ ⇔x=2 x − 2x + = x − Vậy phương trình có nghiệm x = Mà f ( x − 1) = f Câu 6: Giải phương trình x + x − 12 = ( x + 2) x − x + 10 ( ) x+2 −2 Lời giải ĐK: x ≥ −2 (*) Khi (1) ⇔ ( x − )( x + ) = ( x + )( x + − ) x − x + 10 x = x+2 x+6 = x − x + 10 + x + ( x − )( x + ) = ( x + )( x − ) ⇔ ⇔ x − x + 10 x+2 +2 2+ x+2 (2) Ta có ( ) ⇔ x + 12 + ( x + ) x + = x + x + 20 ⇔ x3 + x + = ( x + ) x + ⇔ ( x + 1) − ( x + 1) + ( x + 1) = ( x+2 ) − ( x + ) + x + ⇔ f ( x + 1) = f ( x+2 ) (3) Trong f ( t ) = t − 3t + 4t với t ∈ ℝ Có f ' ( t ) = 3t − 6t + = ( t − 1) + > 0, ∀t ∈ ℝ x ≥ −1 ⇒ f ( t ) đồng biến ℝ Do ( 3) ⇔ x + = x + ⇔ ( x + 1) = x + Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 x ≥ −1 x ≥ −1 −1 ⇔ ⇔ −1 ± ⇔ x = Đã thỏa mãn (*) x + x −1 = x = Đ/s: x = x = −1 Câu 7: Giải phương trình x − 13 x = ( x − 1) 2 x − − x − 3x + ( ) Lời giải ĐK: x ≥ x ( x − 13) ( x − 1) − = ( x − 1) (*) Khi (1) ⇔ 2 x − 3x + 2x −1 + 13 x= x ( x − 13) ( x − 1)( x − 13) ⇔ = ⇔ x x −1 x − 3x + + 2x −1 = x − x + + 2 x − ( 2) Ta có ( ) ⇔ x + x x − = x3 − x + x − ⇔ x − x + x − = x x − ⇔ ( x − 1) − ( x − 1) + ( x − 1) = ( ) x − − ( x − 1) + x − ⇔ f ( x − 1) = f ( 2x −1 ) (3) 1 Trong f ( t ) = t − t + t với t ∈ ℝ Có f ' ( t ) = 3t − 2t + = t − + > 0, ∀t ∈ ℝ 3 3 2 x ≥ ⇒ f ( t ) đồng biến ℝ Do ( 3) ⇔ x − = x − ⇔ ( x − 1) = x − x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ ⇔ x = + Đã thỏa mãn (*) x = ± x − 4x + = Đ/s: x = 13 x = + Câu 8: Giải phương trình x + = x x − + tập số thực x − 2x + Lời giải x ≥ ⇔ x ≥ , ta có phương trình cho Lớp 12 Điều kiện: x − 2x + ≠ x2 − 2x − ⇔ 1− = x x−2 −x⇔ = x x − −1 x − 2x + x − 2x + x = x + 1)( x − 3) x ( x − 3) ( ⇔ = ⇔ x +1 x = x − 2x + (∗) x − +1 x − +1 x − x + ( ) Giải phương trình ( ∗) , có Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG x +1 = x − 2x + ⇔ ( x − + 3) ⇔ ( x−2 ) ( Facebook: Lyhung95 x x−2+3 x −1+1 ⇔ = x − +1 ( x − 1) + x − + ) x − + = ( x − 1) + 3 ( x − + 1) + x − + x − + = ( x − 1) + ( x − 1) + ( x − 1) + 3 Xét hàm số f ( a ) = a3 + a + 3a hàm số đồng biến liên tục [ 0;+∞ ) , suy x ≥ x − = f ( x − 1) ⇔ x − = x − ⇔ , hệ bất phương trình vô nghiệm − = − x x ( ) Vậy phương trình cho có nghiệm x = x ≥ ⇔ x ≥ , ta có phương trình cho Lớp 10 + 11 Điều kiện: x − 2x + ≠ f ( ) x2 − 2x − = x x − − x ⇔ = x x − −1 x2 − x + x2 − 2x + x = x + 1)( x − 3) x ( x − 3) ( ⇔ = ⇔ x +1 x = x − 2x + (∗) x − +1 x − +1 x − x + ( ⇔ 1− Giải phương trình ( ∗) , có x ( x − x + ) = ( x + 1) ( ) ) x − + ⇔ x − x + x − = ( x + 1) x − ⇔ x ( x − x + 3) + ( x + 1)( x − 1) − ( x + 1) x − = ( ) ⇔ x ( x − x + 3) + ( x + 1) x − − x − = ⇔ x ( x − x + 3) + ( x + 1) ( x − x + 3) x −1+ x − x +1 ⇔ ( x − x + 3) x + =0 x −1+ x − Với điều kiện x ≥ ⇒ x − x + = ( x − 1) + ≥ 0; x + =0 ( ∗ ∗) x +1 x −1+ x − > phương trình ( ∗∗) vô nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm x = x + 3x − = ( x + ) x + − tập số thực Câu 9: Giải phương trình 2x + + Lời giải 2 x + ≥ Lớp 12 Điều kiện ⇔ x ≥ − , ta có phương trình cho x + ≥ ( ) x = x+4 = x + + ( x − 1)( x + ) = ( x − 1)( x + ) ⇔ ⇔ 2x + + x+3+2 Giải phương trình ( ∗) , có x + +1 ( ∗) ⇔ ⇔ ( 2x + + ) = x+3 +2 ( 2x + + x+3 +2 x+3 ) ⇔ ( x + + 1) + x+3 = ( ( 2x + ) x + + = ( x + + 1) ) 2x + + ( ( ∗) x+3 +2 ) ( 2x + + ) 2x + + 2x + Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 x + ≥ Xét hàm số f ( t ) = t + 2t + t , với điều kiện t ≥ , có f ' ( t ) = 3t + 4t + > 0; ∀t ≥ x + ≥ f ( t ) hàm số đồng biến liên tục [ 0;+∞ ) nên suy f ( ) x+3 = f ( ) 2x + ⇔ x + = 2x + ⇔ x = Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = 1; x = 2 Câu 10: Giải phương trình x − + x − x + = x − 16 x + 17 tập số thực 2x − Lời giải 2 x − x + ≥ Điều kiện: ⇔ x ≠ 2 x − ≠ Khi phương trình cho ⇔ ( x − 3x + ) + ⇔ ( x − 2) ( x − 1)( x − ) + 2x − x2 − x + = ( x2 − x + 4) + ( x − 3x + ) + = ( x − ) + ⇔ ( x − x + ) + 3 ( x − x + ) + = ( x − ) + ( x − ) ⇔ ( x − x + ) + + ( x − x + ) + = ( x − ) + ( x − ) ( ∗) Xét hàm số f ( t ) = t + t , có f ' ( t ) = 3t + > 0; ∀t suy f ( t ) hàm số đồng biến liên tục R ( ∗) ⇔ f ) ( ( x − 3x + ) + = f ( x − ) ⇔ ( x − 3x + ) + = x − x > x > 5+ ⇔ ⇔ ⇔x= 2 2 x − x + = ( x − x + ) 2 x − 10 x + 10 = 5+ Vậy phương trình ban đầu có nghiệm x = Câu 11: Giải phương trình ( x + 1)( 3x + 1) + x + 3x + ( x + 1) x + x + = ( x ∈ ℝ) (1) Lời giải: x4 + 3x2 ≥ x + x ≥ ĐK: ⇔ ⇔ x ∈ ℝ (*) 1 x + x + ≥ x + + ≥0 2 Khi (1) ⇔ 3x + x + + x + 3x + ( x + 1) x + x + = ⇔ ( x + 1) − x + x x + 3x + ( x + 1) ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) ( x + 1) ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) ( x + 1) 2 ⇔ ( x + 1) = f ( − x ) ( x + 1) + = x2 − x +3 = x2 + + = (− x ) + (− x ) (− x ) +3 (2) Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Xét hàm số f ( t ) = t + t t + với t ∈ ℝ có t f ' ( t ) = 2t + t + + t = 2t + t + + t2 + t2 t2 + Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm ta có t2 + + t2 t2 + ≥2 Dấu " = " xảy ⇔ t + = ⇒ t2 + + t2 t2 + t2 t + t2 t +3 t2 + = t ≥ −2t ⇒ t + + t2 t2 + + 2t ≥ ⇔ t + = t Điều vô lý nên dấu " = " không xảy + 2t > 0, ∀t ∈ ℝ ⇒ f ' ( t ) > 0, ∀t ∈ ℝ ⇒ f ( t ) đồng biến ℝ x ≥ x ≥ x = − 2 x + = − x Do (2) ⇔ x + = − x ⇔ ⇔ ⇔ x = −1 Đã thỏa mãn (*) x < x < x + = x x = −1 Câu 12: Giải phương trình + x − x + + x + + − x = ( x − 1) ( x − x + 3) Lời giải: ≤x≤ 2 Phương trình tương đương với: Điều kiện: − x + + − x + x − x2 + + x + + − x = 2 ( x − 1) ( x − 1) + 2 ( x − 1)2 ( x − 1)2 (2) ⇔ 2x + + − 2x + 2x + + − 2x = + 2 Xét hàm số f ( t ) = t + t với t ≥ ta có f ′ ( t ) = 2t + > 0∀t ≥ ( ) ( ) Suy hàm số đồng biến [0;+∞ ) Nên (2) ⇔ f ( ( x − 1)2 x − 1) ( 2x + + − 2x = f ⇔ 2x + + − 2x = 2 ) ⇔ + + 4x − x2 = Đặt y = − ( x − 1) ( x − 1) 4 ⇔ + − ( x − 1) = ( ≤ y ≤ ) ⇔ ( x − 1) (4 − y ) Ta được: + y = 2 ( x − 1) 4 = − y2 ⇔ y ( y + ) ( y − y − ) = ⇔ y = (do ≥ y ≥ ) Với y = ⇔ x = (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x = Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Câu 13: Giải phương trình x + Facebook: Lyhung95 x − x − 10 = 3x3 − x x2 − 4x + Lời giải: x = ĐK: x ( x − 1) ≥ ⇔ Do x = nghiệm nên ta có: x ≥ x ≥ 3 ( 3x − )( 3x + ) = x 3x − − x = x 3x − − Khi đó: PT ⇔ x2 − x + x= ( 3x − )( 3x + ) = x ( 3x − ) ⇔ ⇔ ( x − 2) + 2 3x + x2 − x + 3x − + = ( ) x−2 +3 3x − + ) ( ( ) a2 + b + = ⇔ ( a + 3) ( a + ) = ( b + ) ( b + 3) b +3 a+2 Xét hàm số: f ( t ) = ( t + 3) ( t + ) = t + 2t + 3t + ( t ∈ R ) ta có: f ' ( t ) = 3t + 4t + > ( ∀t ∈ R ) Giải ( ) Đặt a = x − 1; b = x − ta có: Do hàm số f ( t ) đồng biến R f ( a ) = f ( b ) ⇔ a = b x ≥ + 29 3x − = x − ⇔ ⇔x= x − 7x + = + 29 Vậy nghiệm PT cho là: x = ;x = x − 17 x Câu 14: Giải phương trình = x − −1 ( x − x + 5) ( x − 1) Khi ta có: Lời giải: 17 x= x − 17 x x − 17 ĐK: x ≥ Khi đó: PT ⇔ = ⇔ ( x − x + 5) ( x − 1) x − + x = x − ( ) x − x + x − + ( x − 1) + x−4+4 b + 2a + Ta có: ( ) ⇔ = Đặ t a = x − 1; b = x − ta có: = a + 2b + ( x − 1) + x − + ⇔ ( a + ) ( 2a + 1) = ( b + ) ( 2b + 1) ⇔ 2a + a + 8a = 2b3 + b + 8b Xét hàm số: f ( t ) = 2t + t + 8t ta có: f ' ( t ) = 6t + 2t + > ∀t ∈ R Do hàm số f ( t ) đồng biến R PT ⇔ f ( a ) = f ( b ) ⇔ a = b ⇔ x − = x − ⇔ x − x + = ( ) Do phương trình có nghiệm x = 17 x2 + x + Câu 15: Giải phương trình =x x − 2x + x + −1 ( ) ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện x ≥ −3 Phương trình cho tương đương với x = −2 ( x + )( x + ) = x ( x + ) ⇔ x + x = (1) x2 − 2x + x + +1 ( x − 1) + x + +1 Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 u2 +1 v +1 Đặt x + = u; x − = v ta thu (1) ⇔ = ⇔ u + u + u = v3 + v2 + v v +1 u +1 Xét hàm số f ( t ) = t + t + t ; t ∈ ℝ ⇒ f ′ ( t ) = 3t + 2t + > 0, ∀t ∈ ℝ Hàm số liên tục đồng biến tập số thực nên x ≥ x ≥ + 17 f (u ) = f ( v ) ⇔ u = v ⇔ x + = x −1 ⇔ ⇔ ⇔x= 2 x + = x − x + x − 3x − = Kết luận toán có nghiệm kể CHÚ Ý CHÚ Ý: - Ngày 21/12 Khai giảng khóa RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT BẤT PT - Đăng kí sớm (trong vòng ngày) ưu đãi học phí mức 100K Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! ... > phương trình ( ∗∗) vô nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm x = x + 3x − = ( x + ) x + − tập số thực Câu 9: Giải phương trình 2x + + Lời giải 2 x + ≥ Lớp 12 Điều kiện ⇔ x ≥ − , ta có phương. .. + 3 Xét hàm số f ( a ) = a3 + a + 3a hàm số đồng biến liên tục [ 0;+∞ ) , suy x ≥ x − = f ( x − 1) ⇔ x − = x − ⇔ , hệ bất phương trình vô nghiệm − = − x x ( ) Vậy phương trình cho có... đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Vậy phương trình có nghiệm x = + 13 x3 − x − x + = x3 − x + x + Câu 5: Giải phương trình Facebook: