skkn cải tiến phương pháp dạy chuyên đề số phức

PHẦN I: MỞ ĐẦU Môn Toán là môn học trang bị cho học sinh kiến thức, kĩ và phương pháp tư Thông qua môn học, giúp học sinh phát triển lực trí tuệ, kha tư duy, hình thành và phát triển phẩm chất, phong cách lao động khoa học, biết hợp tác lao động, có ý chí và có thói quen tự học thường xuyên, tạo tiền đề cho môn học khác và việc học tập sau phổ thông Vì vậy dạy học chúng trăn trở, tìm tòi phương pháp nhằm cuốn hút các em vào mỗi bài học Ở đó, các em nhận thức được vai trò trung tâm của mình, các em lĩnh hội tri thức thông qua tự giai quyết vấn đề, tự hướng dẫn, tìm tòi và cộng tác với bạn bè Chuyên đề số phức lớp 12 là một dạng toán mới và lạ đối với học sinh phổ thông và là bài toán thường xuất hiện các đề thi tốt nghiệp, Đại học, Cao đẳng Ở các lớp dưới, các em mới tính toán, giai Toán tập hợp số thực, lên lớp 12 các em phai tính toán và giai toán tập hợp số phức Vì tập số thực là tập của tập số phức nên có nhiều kiến thức tương đồng, có điểm khác biệt nhất định, vì vậy các em rất hay bị nhầm lẫn và dễ hiểu sai yêu cầu bài toán nếu không nắm kiến thức Các bài toán về số phức liên quan đến nhiều kiến thức của các lớp dưới, nó đòi hỏi học sinh phai nắm vững các kiến thức ở lớp dưới bài toán giai phương trình, hệ phương trình tập hợp số thực, bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, bài toán hình giai tích mặt phẳng và phai thấy được mối liên hệ kiến thức cũ và mới, từ đó biết qui lạ về quen Đồng thời qua các bài toán về số phức, các em một lần được ôn tập, rèn kỹ giai một số dạng toán thường xuất hiện các đề thi Đại học, Cao đẳng và các đề thi Học sinh giỏi Chính vì thế, để giúp các em có thể tiếp cận được với các đề thi tốt nghiệp, Đại học và tạo tâm lí nhẹ nhàng học và tự tin thi, chúng xin trình bày một số sáng kiến về đề tài: "Cải tiến phương pháp dạy chuyên đề Số phức" PHẦN II: NỘI DUNG A Giải pháp cũ thường làm Trước dạy chuyên đề số phức, chúng thường dạy sau: Dạy theo bài Ứng với mỗi bài, chúng cho bài tập áp dụng đơn gian, đam bao kiến thức Sách giáo khoa không mở rộng, nâng cao Vì thế mà chúng thấy rằng phương pháp đó có hạn chế là: Chưa khắc sâu được khái niệm nên học sinh hay nhầm lẫn tập hợp số thực và tập hợp số phức Vì hệ thống bài tập dễ nên học sinh chủ quan, không chịu rèn luyện kĩ nên tính toán hay sai Học sinh cam thấy bài tập đơn điệu, nhàm chán, không đáp ứng được nhu cầu học của học sinh khá, giỏi Học sinh không thấy được mối liên hệ với các bài toán ở lớp dưới, không biết qui lạ về quen, không được củng cố, ôn tập một số dạng toán ban ở lớp 10 Học sinh không biết xây dựng hệ thống bài tập từ một bài tập đã cho B Giải pháp cải tiến Để khắc phục hạn chế trên, chúng đã cai tiến phương pháp dạy chuyên đề số phức thông qua các giai pháp sau: 1) Cung cấp lí thuyết về số phức: Khái niệm số phức, phần thực, phần ao của số phức, hai số phức bằng nhau, số phức liên hợp, biểu diễn hình học của số phức và môđun của số phức, các phép toán cộng, trừ, nhân, chia tập số phức, bặc hai của số thực âm, bậc hai của số phức, giai phương trình bậc hai với hệ số thực, hệ số phức tập hợp số phức 2) Chia thành nhiều dạng bài tập, có bài tập nâng cao Ứng với mỗi dạng bài tập, chúng hướng dẫn học sinh phương pháp giai, bài tập minh họa và cho bài tập tự luyện 3) Hướng dẫn cách sáng tạo bài tập mới Ưu điểm của giải pháp mới: Học sinh được củng cố, khắc sâu kiến thức cũ Ứng với mỗi dạng bài tập, học sinh đều được tiếp cận với các khái niệm liên quan đến số phức, và các phép toán tập hợp số phức vì thế mà các khái niệm được khắc sâu thêm, tránh cho học sinh không bị nhầm lẫn Qua các dạng bài, các em thấy được mối liên hệ của bài toán số phức với các bài toán đại số, hình học giai tích mặt phẳng đã được học ở lớp 10 Rèn luyện cho học sinh tư tổng hợp Cách sáng tạo bài toán mới, giúp học sinh biết qui lạ về quen Học sinh không còn bỡ ngỡ giai các bài toán khó về số phức Học sinh còn cam thấy hứng thú vì mình có thể tự được bài tập Khi các em tự được các đề toán các em nắm vấn đề của bài toán tốt và nhanh chóng đưa được lời giai Hệ thống bài tập tự luyện giúp học sinh biết phân tích, đánh giá để lựa chọn phương pháp giai thích hợp nhất cho bài Rèn luyện cho học sinh kĩ vận dụng linh hoạt, sáng tạo C Phương pháp tiến hành I GIẢI PHÁP 1: CUNG CẤP LÍ THUYẾT VỀ SỐ PHỨC I.1 CÁC KHÁI NIỆM Định nghĩa số phức Mỗi biểu thức dạng a + bi , đó a, b ∈ ¡ , i = −1 được gọi là một số phức Đối với số phức z = a + bi , ta nói a là phần thực, b là phần ảo của z Tập hợp các số phức kí hiệu là £ Chú ý:  Mỗi số thực a được coi là một số phức với phần ao bằng 0: a = a + 0i  Như vậy ta có ¡ ⊂ £  Số phức bi với b ∈ ¡ được gọi là số thuần ảo ( số ảo)  Số được gọi là số vừa thực vừa ao; số i được gọi là đơn vị ảo Số phức bằng Hai số phức là bằng nếu phần thực và phần ao tương ứng của chúng a = c b = d bằng nhau: a + bi = c + di ⇔  Số phức đối và số phức liên hợp Cho số phức z = a + bi , a, b ∈ ¡ , i = −1  Số phức đối của z kí hiệu là − z và − z = −a − bi  Số phức liên hợp của z kí hiệu là z và z = a − bi Biểu diễn hình học của số phức Điểm M (a; b) một hệ trục tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức z = a + bi Môđun của số phức Gia sử số phức z = a + bi được biểu diễn bởi M (a; b) mặt phẳng tọa độ Độ dài uuuu r của vectơ OM được gọi là môđun của số phức z và kí hiệu là | z | uuuu r Vậy: | z |=| OM | hay | z |= a + b Nhận xét: | z |=| − z |=| z | I.2 CÁC PHÉP TOÁN Phép cộng và phép trư Phép cộng và phép trừ hai số phức được thực hiện theo quy tắc cộng, trừ hai đa thức Tổng quát: (a + bi ) + (c + di) = (a + c) + (b + d )i (a + bi ) − (c + di) = (a − c) + (b − d )i Phép nhân Phép nhân hai số phức được thực hiện theo quy tắc nhân đa thức thay i = −1 kết qua nhận được Tổng quát: (a + bi ).(c + di ) = (ac − bd ) + (ad + bc)i Chú ý:  Phép cộng và phép nhân các số phức có đầy đủ các tính chất của phép cộng và phép nhân các số thực  Cho số phức z = a + bi , a, b ∈ ¡ , i = −1 Ta có: z + z = 2a ; z.z =| z |2 Phép chia hai số phức Với a + bi ≠ , để tính thương của a + bi Cụ thể: c + di , ta nhân ca tử và mẫu với số phức liên hợp a + bi c + di (c + di )(a − bi ) ac + bd ad − bc = = + i a + bi (a + bi )(a − bi ) a + b a + b I.1.3 TÍNH CHẤT CỦA SỐ PHỨC Cho số phức z = a + bi , a, b ∈ ¡ , i = −1  Tính chất 1: Số phức z là số thực ⇔ z = z  Tính chất 2: Số phức z là số ao ⇔ z = − z  Cho hai số phức z1 = a1 + b1i; z2 = a2 + b2i; a1 , b1 , a2 , b2 ∈ ¡ ta có:  Tính chất 3: z1 + z2 = z1 + z2  Tính chất 4: z1.z2 = z1.z2  z1  z1 ÷ = ; z2 ≠ z   z2  Tính chất 5:   Tính chất 6: | z1.z2 |=| z1 | | z2 | z1 | z1 | = ; z2 ≠ z | z2 |  Tính chất 8: | z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 |  Tính chất 7: I.1.4 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TRƯỜNG TẬP HỢP SỐ PHƯC 1.Công thức nghiệm của phương trình bậc hai Xét phương trình bậc hai: az + bz + c = (a ≠ 0) có ∆ = b −4ac  TH1: a, b, c là các số thực  Nếu ∆ > thì phương trình có nghiệm thực phân biệt z =  Nếu ∆ = thì phương trình có nghiệm kép thực z = −b 2a −b ± ∆ 2a  Nếu ∆ < ⇒ ∆ = i (−∆) thì phương trình có nghiệm phức phân biệt z= −b ± i −∆ 2a  TH2: a, b, c là các số phức  ∆ = thì phương trình có nghiệm kép thực z = −b 2a  ∆ ≠ 0; ∆ = a + bi = ( x + iy )2 Khi đó phương trình có hai nghiệm z = −b ± ( x + yi ) 2a Chú ý  Phương trình bậc hai tập hợp số phức với hệ số thực có nghiệm là số phức liên hợp  Khi b là số chẵn ta có thể tính ∆ ' và công thức nghiệm tương tự tập hợp số thực  Gọi z1 , z2 là nghiệm của phương trình az + bz + c = (a ≠ 0) a, b, c là các −b  z + z =  a số thực hoăc số phức Khi đó ta có:   z z = c  a II GIẢI PHÁP 2: CHIA THÀNH CÁC CHUYÊN ĐỂ NHỎ II.1 CHUYÊN ĐỀ 1: Tính toán tập hợp số phức II.1.1.Dạng 1: Thực các phép tính tập hợp số phức Xác định phần thực, phần ảo và tính môđun của số phức A Phương pháp  Sử dụng các qui tắc cộng, trừ, nhân, chia số phức để tính toán giá trị các biểu thức  Để xác định phần thực, phần ao và môđun của số phức z thì ta phai sử dụng các khái niệm liên quan đến số phức và các phép toán tập hợp số phức để biến đổi số phức z = a + bi (a; b ∈ R ) Khi đó: z có phần thực bằng a; phần ao bằng b; z = a + b  Trong tính toán về số phức ta có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ số thực B Bài tập minh họa Bài 1: Cho số phức z = + i 2 Tìm các số phức sau: z; z ; ( z ) ; + z + z Lời giải: a) z = 3 + i⇒z= − i 2 2   3 + i ÷ = + i2 + i= + i b) z =  4 2  2  3 2    3  3 1  31  1  − i÷ =  c) z =  ÷ − 3 ÷  i ÷+  i ÷ −  i ÷ = −i 2  2   2      2  + 1+ + i d) + z + z = 2 ( )  Nhận xét: Với bài tập trên, học sinh dễ dàng tính được Qua bài tập này mục đích giúp học sinh nhớ lại khái niệm số phức liên hợp và biết cách tính toán đơn gian về phép cộng, phép trừ số phức và phép tính luỹ thừa của một số phức Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau: A= + 3i − i + − i + 3i B = ( + 3i ) ( + 2i ) + C= D= + 4i ( − 4i ) ( + 3i ) 4+i + 2i ( + 2i ) ( + 3i ) − ( + 2i )  Lời giải: a) A = + 4i ( + 3i ) ( + i ) + ( − i ) ( − 3i ) ( − i ) ( + i ) ( + 3i ) ( − 3i ) = + 7i − 7i 27 161 + = + i 25 50 50 Ngoài cách áp dụng quy tắc nhân chia số phức cách làm trên, ta có thể tính bằng cách quy đồng mẫu số và thực hiện nhân chia số thực ( + 3i ) + ( − i ) A= ( + 3i ) ( − i ) 2 = − 22i ( − 22i ) ( + i ) 27 161 = = + i −i ( − i ) ( + i ) 50 50 Tương tự, ta có kết qua sau: −38 86 + i 13 13 22 79 C= + i 169 169 71 17 D= + i 41 41 B=  Nhận xét:  Bài tập giúp học sinh rèn kĩ tính toán bằng cách sử dụng phép nhân, phép chia số phức kết hợp với phép cộng và phép trừ  Đây là dạng bài tập không khó đối với học sinh ca với học sinh trung bình Nhưng thực tế, quá trình giang dạy chúng thấy rằng các em biết cách làm tính toán thường hay sai, nhất là đối với học sinh có kĩ tính toán và không cẩn thận Vì vậy dạy phần này chúng cho nhiều bài tập và hỏi các câu hỏi khác để rèn cho học sinh kĩ nhận dạng bài toán, kĩ tính toán và trình bày bài cho khoa học  Sau cho học sinh làm xong bài, chúng thay đổi cách hỏi sau: Tìm phần thực, phần ao của số phức và tính mô đun của số phức để khắc sâu cho học sinh các khái niệm: phần thực, phần ao, môđun của số phức  Để học sinh ghi nhớ kĩ hơn, chúng cho học sinh làm bài tập: Bài 3: Tìm phần thực, phần ao và tính mô đun của số phức z biết: a) z = ( +i ) (1− i ) b) ( + i ) ( − i ) z = + i + ( + 2i ) z c) z = ( + i ) , biết n là số tự nhiên thỏa mãn phương trình: n log ( n − 3) + log ( n + ) = 11  + i   2i  d) iz =  ÷ + ÷ 1− i  1+ i  Lời giải : a) Ta có: z= ( +i ) (1− i ) = ( + i 2 )( ) + 2i − i = + i ⇒ z = − i Vậy z có phần thực bằng 5; phần ao bằng − ( và có môđun: z = 52 + − ) =3 b) ( + i ) ( − i ) z = + i + ( + 2i ) z ⇔z= 8+i ( + i ) ( − 2i ) = 10 − 15i = − 3i = + 2i ( + 2i ) ( − 2i ) Vậy z có phần thực bằng 2; phần ao bằng −3 ; z = 22 + ( −3) = 13 c) Giai phương trình log ( n − 3) + log ( n + ) = tìm được n = (thỏa mãn điều kiện) Khi đó z = ( + i ) = − 8i Vậy z có phần thực bằng 8; phần ao bằng −8 ; z = 82 + (−8) = d) Ta có: 11 8  + i   2i  11  ÷ + ÷ = i + ( + i ) = 16 − i 1− i  1+ i  16 − i ⇒z= = −1 − 16i ⇒ z = −1 + 16i i Vậy z có phần thực bằng −1 ; phần ao bằng 16; z = (−1) + 162 = 257 Bài 4: Tính biểu thức sau: A = i109 + i 43 + i 60 − i 54 B = − i + i − i + i − + i 2014 C = + ( + i ) + ( + i ) + + ( + i ) D= ( 1− i) ( 10 ( 3+i −1 − i ) ) 10 10 Lời giải: a) A = i109 + i 43 + i 60 − i 54 = i 4.27 +1 + i 4.10+3 + i 4.15 − i 4.13+ = i − i + + = Để làm bài toán trên, giáo viên cần chú ý cho học sinh cách tính lũy thừa của i Ta có: i = −1; i = −i; i = 1; i = i 4i = i; i = i 4i = −1 Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được: Với mọi số tự nhiên n ta có: i 4n = i n +1 = i i n + = −1 i n +3 = −i n Như vậy: i ∈ { −1;1; i; −i} , ∀n ∈ N * b) Ta có: + i 2015 = ( + i ) ( − i + i − i + i − + i 2014 ) + i 2015 + i 4.503+3 − i ( − i ) ⇒B= = = = = −i 1+ i 1+ i 1+ i 2  Nhận xét: Giáo viên hướng dẫn học sinh làm bài theo cách phân tích lũy thừa của i ý a) Tuy nhiên, việc sử dụng hằng đẳng thức ở ta tính toán nhanh và thuận tiện c) Ta có C là tổng của 11 số hạng của cấp số nhân với số hạng đầu là u1 = 1, công bội q = + i Áp dụng công thức tính tổng 11 số hạng của cấp số nhân, ta có: 1− (1+ i) − q11 − ( + i ) C = u1 = = 1− q 1− (1+ i) −i 11 11 Để tính biểu thức ( + i ) giáo viên cần hướng dẫn học sinh cách tính một cách thuận tiện nhất.Trong quá trình giang dạy, chúng hướng dẫn học sinh làm theo một hai cách sau:  Cách 1: Đối với học sinh học ban ban 11 ( Phân tích ( + i ) = ( + i ) 11 ) ( + i ) = ( 2i ) ( + i ) = 32i + 32i = −32 + 32i  Cách 2: Đối với học sinh học ban nâng cao  π π   + i ÷ =  cos + i.sin ÷ Phân tích + i =  4    11  11π 11π  11 + i.sin Khi đó ( + i ) =  cos ÷ = −32 + 32i 4   Thay vào biểu thức, ta có: C = 32 + 33i ( )  Nhận xét: Để làm bài tập này đòi hỏi học sinh phai có kĩ biến đổi biểuthức lượng giác và công thức tính tổng của cấp số nhân.Qua đó giúp học sinh ôn lại các kiến thức về công thức lượng giác, về cấp số nhân d)  Cách 1: Áp dụng cho ban ban Ta có: (1− i) ( 10 ( = (1− i) ) = ( −2i ) = −32i .i = −32i ) = ( + i) ( + i) = ( 3 + 9i + 3i + i ) ( + 3i + i ) = 8i ( + 2i ) = −16 + 16i ( −1 − i ) = ( + i ) = ( ( + i ) ) ( + i ) = ( −8) ( + i ) 3+i 2 10 10 3 Thay vào biểu thức D ta có: D= ( −32i.16i + i ( −8) (1+ i 3) ) = −1  Cách 2: Áp dụng cho ban nâng cao Ta có: 7π 7π   − i =  cos + i sin ÷ 4   π π  + i =  cos + i sin ÷ 6  4π 4π   −1 − i =  cos + i sin ÷ 3   Thay vào D ta có: 35π 35π   5π 5π   + i sin + i sin  cos ÷2  cos ÷ 2   6   D= 40π 40π   210  cos + i sin ÷ 3   = cos5π + i sin 5π = −1 ( ) 10  Nhận xét: Qua các bài tập trên, giáo viên nêu phương pháp tính các bài toán ( ) ( n chứa các biểu thức sau: ( ±1 ± i ) ; ± ± i ; ±1 ± i n ) n  Cách 1: Phân tích ( ±1 ± i ) n = ( ±1 ± i ) 2k + p ; k ; n; p ∈ ¥ ;0 ≤ p ≤ ( ± ± i) = ( ± ± i) ( ±1 ± i ) = ( ±1 ± i ) 3k + p n n ; k ; n; p ∈ ¥ ,0 ≤ p ≤ 3k + p ; k ; n; p ∈ ¥ ,0 ≤ p ≤  Cách 2: Biểu diễn dưới dạng lượng giác các biểu thức: n nπ nπ  n (1+ i) = (1+ i 3) ( 3+i ) n ( 2) n + i sin  cos ÷ 4   nπ nπ   = 2n  cos + i sin ÷ 3   nπ nπ   = 2n  cos + i sin ÷ 6   Với cách làm tương tự, giáo viên yêu cầu học sinh về nhà làm bài sau: Hãy biểu diễn các biểu thức sau dưới dạng lượng giác: (1− i) n ; (1− i 3) ; ( n −i ) n  Trong tính toán tập hợp số phức, công thức nhị thức Niu-tơn (a + b) n vẫn đúng ta thay hai số thực a; b bởi hai số phức Để học sinh hiểu rõ và biết áp dụng công thức nhị thức Niu-tơn vào tính toán tập hợp số phức, chúng cho học sinh làm bài tập sau: Bài 5: Tính tổng 2012 2014 a ) S1 = C2015 − C2015 + C2015 − ×××+ C2015 − C2015 2013 2015 S = C2015 − C2015 + C2015 − ×××+ C2015 − C2015 2008 2014 b) S3 = C2015 + C2015 + C2015 + ×××+ C2015 + C2015 2009 2013 S = C2015 + C2015 + C2015 + ×××+ C2015 + C2015 2015 + C2015 + C2015 + ×××+ C2015 c) S5 = C2015 Lời giải: a) Ta có: 2014 2015 (1 + i ) 2015 = C2015 + C2015 ×i + C2015 ×i + ×××+ C2015 ×i 2014 + C2015 ×i 2015 2012 2014 2013 2015 = ( C2015 − C2015 + C2015 − ×××+ C2015 − C2015 − C2015 + C2015 − ×××+ C2015 − C2015 ) + ( C2015 )i 2015  2 Mặt khác : (1 + i ) =  ÷   1 Vậy S1 = 1018 ; S = − 1018 2 2015 2015π 2015π  + i sin  cos 4  1  ÷ = 2018 − 2018 i  b) Lại có: 2014 2015 22015 = C2015 + C2015 + C2015 + ×××+ C2015 + C2015 2014 2015 = C2015 − C2015 + C2015 − ×××+ C2015 − C2015 2012 2014 2013 2015 ⇒ A = C2015 + C2015 + C2015 + ×××+ C2015 + C2015 = C2015 + C2015 + C2015 + ×××+ C2015 + C2015 = 22014 S +A S +A = 1009 + 22013 ; S3 = = − 1009 + 22013 Vậy S3 = 2 2  z =  3  i c) z = ⇔ ( z − 1)( z + z + 1) = ⇔  z = − + 2  z = − − i  2 2π 2π Gọi ω = cos + i sin thì z = ω; z = ω ; z = ω là các nghiệm của phương trình 3 z3 = Nên + ω 3k + ω k = 3;1 + ω 3k +1 + ω k + = 0;1 + ω 3k + + ω k + = ∀k = 1; n Xét f ( x) = ( + x ) 2015 Ta có: 2015 k f (1) = 2015 ; f (ω ) = ∑ C2015 ×ω k = k =0 2015 3 k − i; f (ω ) = ∑ C2015 ×ω k = + i 2 2 k =0 ⇒ f ( 1) + f ( ω ) + f ( ω ) = 22015 + (1) Mặt khác: f ( 1) + f ( ω ) + f ( ω ) = 671 = ∑C k =0 k 2015 ×( + ω + ω 3k 6k 671 ) + ∑C 671 m=0 k = ∑ C2015 ×( + ω 3k + ω k ) = 3S5 m 2015 ×( + ω m +1 +ω 6m+2 671 ) + ∑C n=0 n 2015 ×( + ω 3n + + ω n + ) (2) k =0 Từ (1)(2) ⇒ S5 = 22015 +  Thay cho việc hỏi tính tổng S1; S ; S3 ; S trên, chúng có thể hỏi dưới dạng chứng minh, rút gọn II.1.2.Dạng 2: Tìm bậc hai của số phức A Phương pháp: Cho số phức z = a + bi, a, b ∈ ¡ Tìm bậc hai của z  Nếu z = thì z có một bậc hai là:  Nếu z = a > thì z có hai bậc hai là: ± a Bài 3: Trong các số phức z có môđun bằng 2 Tìm số phức z cho biểu thức P = z + + z + i đạt giá trị lớn nhất Lời giải: Gọi z = x + yi ( x; y ∈ R ) z = 2 ⇔ x2 + y = 2 ⇔ x2 + y = P = z + + z + i = ( x + 1) + y + x + ( y + 1) Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpxki cho hai bộ số 1;1 và ( x + 1)2 + y ; x + ( y + 1) , ta có: P ≤ ( x + 1) + y + x + ( y + 1)  = 4(9 + x + y ) Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-cốpxki cho hai bộ số 1;1 và x; y , ta có: x + y ≤ ( x2 + y ) = ⇒ P ≤ 52 ⇒ P ≤ 13 Đẳng thức xay x = y = Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 13 z = + 2i Bài 4: Trong các số phức z có môđun bằng Tìm số phức z cho biểu thức P = z − + z − + 7i đạt giá trị lớn nhất Lời giải: Gọi z = x + yi ( x; y ∈ R ) z = ⇔ x2 + y = ⇔ x2 + y = P = z − + z − + 7i = ( x − 1) + y + ( x − 1) + ( y + 7) ur ur ur ur Xét u ( x − 1; y ) , v ( − x; −7 − y ) ⇒ u + v = ( 0; −7 ) Khi đó: ur ur ur ur ur ur P = u + v ≥ u + v = Đẳng thức xay u , v cùng hướng ⇒ ( x − 1)(−7 − y ) = y (1 − x) ⇔ x = x =1⇒ y = ± ur ur Với x = 1; y = thì u , v ngược hướng (không thoa mãn) ur ur Với x = 1; y = − thì u , v cùng hướng (thoa mãn) Vậy z = − i thì P đạt giá trị nhỏ nhất bằng Bài 5: Trong các số phức z1, z2 thoa mãn: z1 − − i =1 ; z2 − − 6i = , tìm số phức z1, z2 cho z1 − z2 đạt giá trị lớn nhất Lời giải: Gọi z1 = a + b.i ; z2 = c + d i ;(a; b; c; d là số thực); z1 được biểu diễn bởi điểm M(a; b); z2 được biểu diễn bởi điểm N(c; d) mặt phẳng toạ độ Oxy z1 − − i = ⇔ z1 − − i = ⇔ (a − 1) + (b − 1) = suy M thuộc đường tròn tâm I(1; 1), bán kính R = z2 − − 6i = ⇔ z2 − − 6i = 36 ⇔ (c − 6) + ( d − 6) = 36 suy M thuộc đường tròn tâm J(6; 6), bán kính R' = z1 − z2 = (c − a ) + (d − b) = MN (Bài toán được qui về Bài toán 2) Đường thẳng IJ có phương trình y = x Đường thẳng IJ cắt đường tròn tâm I tại hai 2− 2−  2+ 2+  ; ; ÷; M  ÷     điểm M  Đường ( thẳng ) IJ ( cắt đường N1 − 2;6 − ; N + 2;6 + tròn ) tâm J tại hai điểm M N1 ≤ MN ≤ M N ⇔ − ≤ z1 − z2 ≤ + max z1 − z2 = + M ≡ M , N ≡ N 2− 2− + i ; z2 = + + + i thì z1 − z2 đạt giá trị lớn nhất 2 Bài 6: Cho các số phức z1 ; z2 thoa mãn: z1 =1 ; z2 [ z2 − (1 − i )] − + 2i là một số thực Tìm số phức z1 ; z2 cho P = z2 − ( z1 z2 + z1 z2 ) đạt giá trị nhỏ nhất ( Vậy z1 = ) Lời giải: Gọi z1 = a + bi ; z2 = c + di ; ( a; b; c; d ∈ R ) ⇒ M (a; b), N (c; d ) lần lượt biểu diễn cho z1 ; z2 hệ toạ độ Oxy z1 = ⇔ a + b = ⇔ a + b = ⇒ M thuộc đường tròn (T ) có tâm O, bán kính R = z2 = c − di; ω = z  z − ( − i )  − + 2i = ( c − di ) [ (c − 1) + (d + 1)i ] + − 6i = c(c − 1) + d (d + 1) + + [ c(d + 1) − d (c − 1) − 6] i ω là số thực ⇔ c(d + 1) − d (c − 1) − = ⇔ c + d − = ⇒ N thuộc đường thẳng ∆ : x + y − = Ta có d (O; ∆) > nên ∆ và (T ) không có điểm chung z1 z2 = ac + bd + (bc − ad )i; z1 z2 = ac + bd + (−bc + ad )i ⇒ z1z2 + z1z = 2(ac + bd ) P = c + d − 2(ac + bd ) = (c − a ) + (b − d ) − = MN − (vì a + b = ) (Bài toán được qui về Bài toán 3) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O ∆ : x + y − = ⇒ H (3;3)  2 ; ÷ 2   Đoạn OH cắt đường tròn (T ) tại I  Với N thuộc đường thẳng ∆ , M thuộc đường tròn (T ) , ta có: MN ≥ ON − OM ≥ OH − OI = IH = − Đẳng thức xay M ≡ I ; N ≡ H ( ) ⇒ P ≥ − − = 18 − Đẳng thức xay z1 = 2 + i; z2 = + 3i 2 2 + i; z2 = + 3i 2 Bài 7: Trong các số phức z thoa mãn điều kiện z − + z + = 10 Tìm số phức z có Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 18 − z1 = môđun lớn nhất Lời giải: Gọi z = x + yi ( x; y ∈ R ) ⇒ M ( x; y ) biểu diễn cho số phức z hệ toạ độ Oxy z − + z + = 10 ⇔ ( x − 3) + y + ( x + 3)2 + y = 10 ⇔ MF1 + MF2 = 10 ; (với F1 (−3;0); F2 (3;0) ) ⇔ M ∈ ( E ) có tâm O, trục lớn bằng 10; tiêu cự bằng ⇔ M ∈ ( E ) : z = OM ; OM lớn nhất ⇔ OM = a = ⇔ M (5;0) ∨ M (−5;0) Vậy z lớn nhất bằng z = ∨ z = −5 x2 y + =1 25 C Bài tập tự luyện Bài 1: Trong các số phức z có môđun bẳng 13 Tìm số phức ω = z + − 3i có môđun lớn nhất Bài 2: Cho số phức z thoa mãn z − z (1 + 2i) + (−1 + 2i) z − 20 = Tìm số phức z có môđun lớn nhất, nhỏ nhất Bài 3: Trong các số phức z1 ; z2 thoa mãn: ( z1 − 10 ) ( z1 + 6i ) có phần thực bằng −26 ; 2 z2 + − 3i + z2 − + 2i = 58 Tìm số phức z1 ; z2 cho z1 − z2 đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất Bài 4: Trong các số phức z1 ; z2 thoẩ mãn z1 − i = (1 + i) z1 ; z − + 2i = z − + 4i Tìm số phức z1 ; z2 cho biểu thức P = ( z1 − z1 ) i + z2 − ( z1 z2 + z1 z2 ) Bài 5: Cho số phức z ≠ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức p= z2 − z z + z2 z2 − z 2 Bài 6: Tìm số phức z có module nhỏ nhất, lớn nhất các số phức z thoa mãn điều kiện sau: z + − 5i = z +3−i b) z − + 2i = a) II.6 CHUYÊN ĐỀ 6: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH II.6.1 Phương pháp Để giai hệ phương trình với ẩn x, y ∈ ¡ ta làm sau:  Đặt z = x + iy ; x, y ∈ ¡  Từ hệ phương trình đã cho dẫn đến phương trình với ẩn z Gia sử ta tìm được z = a + bi ; a, b ∈ ¡ x = a y = b  Từ đó sử dụng khái niệm số phức bằng suy   Một số đẳng thức thường dùng : Với z = x + iy ; x, y ∈ ¡ ta có:  (1) z = x − yi  (2) z = x − y + xyi  (3) z = x3 − 3xy + (3 x y − y )i x − yi = z x + y2 i y + xi  (5) = z x + y2 x2 − y 2 xyi (6) = − 2  z ( x2 + y ) ( x2 + y )  (4)  (7) z n = r (cos ϕ + i sin ϕ ) ϕ + k 2π   ϕ + k 2π (8) z = n r  cos + i sin n n    k = 0; 1; 2; ; ( n − 1) B Bài tập minh họa  x3 − 3xy − x + = x − xy − y (I ) Bài 1: Giai hệ phương trình  2 y − x y + y − = y − xy − x  Lời giải:  z = x − y + xyi  Đặt z = x + iy ; x, y ∈ ¡ ⇒  3 2  z = x − 3x y + (3xy − y )i  x − 3xy − x + − x + xy + y = ( II ) Khi đó: ( I ) ⇔  2 i (− y + 3x y − y + − x − xy + y ) = Trừ vế với vế phương trình của hệ (II) ta được: x − 3xy + (3x y − y )i − (1 + i )( x − y + xyi ) − ( x + yi ) + i + = ⇔ z − (1 + i ) z − z + i + = ⇔ ( z − 1)( z − iz − − i ) = z = ⇔  z = −1  z = + i Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là: ( 1;0 ) , ( −1;0 ) , ( 1;1) 3x − y   x + x2 + y =  Bài 2: Giai hệ phương trình:   y − x + 3y =  x2 + y Lời giải: 3x − y 3x − y (3 x − y ) − ( x + y )i    − = (1)  x + x2 + y =  x + x2 + y2 = ( x + yi ) + x2 + y    ⇔ ⇔   y − x + 3y =  yi − x + y i =  yi − x + y i = 2 2    x +y x +y x2 + y Đặt z = x + iy ; x, y ∈ ¡ ⇒ x − yi i y + xi = ; = 2 z x + y z x + y2 z = + i 3−i − = ⇔ z − 3z + − i = ⇔  z z = 1− i Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là: ( 2;1) , ( 1;1) Từ đó phương trinh (1) trở thành: z + (6 − x)( x + y ) = x + y Bài 3: Giai hệ phương trình:  (I) 2 (3 − x)( x + y ) = x − y Lời giải: +) x = y = thỏa mãn hệ phương trình (I) +) x + y > , chia ca hai vế của ca hai phương trình của hệ (I) cho x + y ta được: 6x + y 6x + y    x + x2 + y =  x + x2 + y =   ⇔   y + 8x − y =  yi + x − y i = 3i 2   x +y x2 + y Cộng vế với vế phương trình của hệ ta được: x + yi + x + y + (8 x − y )i = + 3i x2 + y x − yi i y + xi = ; = z x + y z x2 + y + 8i = + 3i Từ đó phương trinh (1) trở thành: z + z z = + i ⇔ z − (6 + 3i) z + + 8i = ⇔   z = + 2i Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là: (0;0) , ( 2;1) , ( 4;2 ) Đặt z = x + iy ; x, y ∈ ¡ ⇒ 2 y − x y = (I ) Bài 4: Giai hệ phương trình:  4 3 x − y = 2( x − y ) Lời giải: 2 y − x y =  4 3 x − y (2 y − x y ) = 2( x − y )  x =   y = 3 2 y − x y =   ⇔ ⇔   x(3 + xy − x ) =  2 y − x y = ( II )  2 x − xy =    2 3 Đặt z = x + iy ; x, y ∈ ¡ ⇒ z = x − 3xy + (3x y − y )i Giai hệ (II) ta có: x − 3xy + (3x y − y )i = − i 2 Từ đó ta có: z = − i = ( cos ϕ + sin ϕ ) 5 ϕ + k 2π ϕ + k 2π  + i sin  cos ÷ 2 3  −1 −π   ; sin ϕ = ;ϕ ∈ ( ;0) ÷  k = 0,1, 2; cos ϕ = 10 10    1 Vậy nghiệm của hệ phương trình (x, y) là:  0; ÷, 2   ϕ + k 2π ϕ + k 2π  ; sin  cos ÷, k = 0,1, 2 3   ⇒z= C Bài tập tự luyện: Giai các hệ phương trình sau   40   x 1 − ÷=   5x + y  1)   y  + 40  = 10   x + y ÷   ( x − y )3 + xy + x − y + x + y = 2)  2 3 x y − y + xy − x + y + y − x − = III GIẢI PHÁP 3: Cách xây dựng các bài toán  Đối với các chuyên đề 1, việc tạo bài tập mới tương đối đơn gian Hơn các bài toán : Tính toán tập hợp số phức; Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z thoa mãn điều kiện cho trước; xác định số phức z thoa mãn điều kiện cho trước có mối liên hệ chặt chẽ với Để tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z thoa mãn điều kiện cho trước, ta bắt buộc phai biết tính toán và nhớ các khái niệm; kết hợp khéo léo hai bài toán tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z thoa mãn điều kiện cho trước, ta có bài toán xác định số phức  Đối với chuyên đề 2: Cách xây dựnng bài toán tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước  TH1: Tìm số phức z bằng cách giai pt bậc nhất với ẩn z z Xuất phát từ số phức z = a + bi ( a, b ∈ R ) đã biết ta cộng, trừ hai vế với một số phức, nhân, chia hai vế với một số phức khác ta được một đề bài mới Ví dụ 1: Xuất phát từ số phức z = − i Ta lấy (3 − i ).(1 − i) + − i = − 5i , ta có bài toán là: Tìm số phức z biết z.(1 − i) + − i = − 5i Ví dụ 2: Xuất phát từ số phức z = + 3i ⇒ z = − 3i Ta lấy (1 + i ) (2 − i)(2 − 3i) − (1 + 2i).(2 − 3i) = + i , ta có bài toán là: Tìm số phức z biết (1 + i ) (2 − i) z = (1 + 2i ).z + + i  TH2: Tìm số phức z bằng cách gọi số phức z cần lập dạng z = a + bi , a, b ∈ ¡ Sử dụng gia thiết bài toán và khái niệm hai số phức bằng để dẫn đến giai hệ phương trình ẩn a, b ¡ a + b = Ví dụ 1: Xuất phát từ hệ phương trình:  a.b = Ta có bài toán, tìm số phức z biết: | z |= và tích của phần thực với phần ao bằng a + (b − 2) = Ví dụ 2: Xuất phát từ hệ phương trình:  3a − b + = Ta có bài toán, tìm số phức z biết: | z − 2i |= và điểm M biểu diễn số phức z thuộc đường thẳng d có phương trình: 3x − y + = Hoặc toán: tìm số phức z biết: 1 | z + − i |=| z − | và điểm M biểu diễn số phức w = z − 2i thuộc đường tròn (C ) 2 có tâm I (0;2) , bán kính R =  Đối với chuyên đề 3: Cách xây dựng phương trình tập hợp số phức  Phương pháp 1: Từ nhận xét: +)Nếu z1 , z2 là nghiệm của phương trình az + bz + c (a ≠ 0) b, b, c là các số thực −b   z1 + z2 = a Khi đó ta có:   z z = c  a +) Phương trình bậc hai trường số phức với hệ số thực có nghiệm là số phức liên hợp Ta cần lấy số phức liên hợp bất kì tạo một phương trình bậc với nghiệm chính là số phức vừa chọn Muốn tạo ta một phương trình bậc ta cần nhân thêm vào phương trình bâc với một phương trình bậc nhất Ví dụ 1: Xuất phát từ số phức z1 = + 3i; z2 = − 3i , ta có z1 + z2 = 4; z1.z2 = 13 , từ đó ta có bài toán giai phương trình: z − z + 13 = Ví dụ 2: Xuất phát từ số phức z1 = + 3i; z2 = − 3i; z3 = , ta có z1 + z2 = 4; z1.z2 = 13 , ⇒ z1 , z2 , z3 là nghiệm của phương trình: ( z − 1)( z − z + 13) = Từ đó ta có bài toán: giai phương trình: z − z + 17 z − 13 = Ví dụ 3: Xuất phát từ số phức z1 = + 3i; z2 = − 3i; z3 = 2i , ta có z1 + z2 = 2; z1.z2 = , ⇒ z1 , z2 , z3 là nghiệm của phương trình: ( z − 2i)( z − z + 4) = Từ đó ta có bài toán: giai phương trình sau biết rằng phương trình có một nghiệm ao: z − 2(1 + i ) z +4(1 + i ) z − 8i =  Phương pháp 2: Xuất phát từ một phương trình bậc ẩn t ta cần thay t bởi một biểu thức bậc ẩn z một cách thích hợp ta có một phương trình bậc tập hợp số phức Ví dụ : Xuất phát từ phương trình: t + 3t − = Thay t = z , ta có phương trình: z + 3z − = Thay z − z + , ta có phương trình: ( z − z + 1)2 + 3( z − z ) − = z Thay t = z + ( z ≠ 0) , ta có phương trình: z + 3z − z + 3z + = Từ phương trình t + 3t − = ⇔ t.(t + 3) = , sau đó thay t = z + z ta có phương trình: z.( z + 1).( z + 3)( z + 4) =  Phương pháp 3: Xuất phát từ một phương trình đẳng cấp bậc với ẩn t và z , thay t bởi một biểu thức bậc ẩn z Ví dụ: Xuất phát từ phương trình t + 5tz − z = , thay t = z − z + ta có phương trình: (2 z − z + 3) + 5(2 z − z + 3) z − z =  Đối với chuyên đề 4:  Để bài tập biểu diễn hình học của z biết z thoả mãn điều kiện cho trước ta:  Chọn trước quỹ tích ( Ví dụ: Muốn quỹ tích là một đường tròn ta: + Chọn trước tâm và bán kính theo mong muốn + Lập phương trình đường tròn Tương tự nếu muốn quỹ tích là một đường thẳng, một elip hay một hypebol, )  Căn vào phương trình đường ta chọn để thiết lập mối quan hệ mà số phức z cần thoả mãn Ví dụ 1: Xuất phát từ việc chọn đường tròn có tâm I (0; −1) , bán kính R = Ta có phương trình đường tròn (C ) : x + ( y + 1)2 = (*) Coi z = x + yi, ( x, y ∈ ¡ ) Ta nhận thấy bậc hai vế trái của (*) là x + ( y + 1) = x + ( y + 1)i = x + yi + i = z + i Vậy ta có bài toán: Tìm tập hợp điểm mặt phẳng toạ độ biểu diễn cho số phức z thoa mãn z + i = Cũng từ (*) ta có x + ( y + 1) = ⇔ x + y + y − = ⇔ x + y − y + = x − xy + y + x + xy + y ⇔ x + ( y − 1)2 = ( x − y ) + ( x + y ) ⇔ x + ( y − 1) = ( x − y )2 + ( x + y ) ⇔ x + ( y − 1)i = x − y + ( x + y )i ⇔ x + yi − i = (1 + i )( x + yi ) ⇔ z − i = (1 + i ) z Vậy ta có bài toán: Tìm tập hợp điểm mặt phẳng toạ độ biểu diễn cho số phức z thoa mãn z − i = (1 + i ) z Tương tự biến đổi (*) cách thêm bớt số đại lượng ta có nhiều mối liên hệ khác, từ có nhiều tập thú vị Ví dụ 2: Để quỹ tích là đường thẳng ta có thể chọn trước đường thẳng (d) có phương trình: x + y − 25 =  Cách 1: Ta biến đổi x + y − 25 = ⇔ x + y = x − x + + y − y + 16 (*) ⇔ x + y = ( x − 3) + ( y − 4) ⇔ x + y = ( x − 3)2 + ( y − 4)2 ⇔ x + yi = x − + ( y − 4)i ⇔ x + yi = x + yi − − 4i ⇔ z = z − − 4i Vậy ta có bài toán: Tìm tập hợp điểm mặt phẳng toạ độ biểu diễn cho số phức z thoa mãn z = z − − 4i Còn nếu từ (*) ⇔ x + y = ( x − 3) + (4 − y ) ⇔ x + y = ( x − 3) + (4 − y ) ⇔ x + yi = x − + (4 − y )i ⇔ x + yi = x − yi − + 4i ⇔ z = z − + 4i Vậy ta có bài toán: Tìm tập hợp điểm mặt phẳng toạ độ biểu diễn cho số phức z thoa mãn z = z − + 4i Ta lại có z = z − + 4i ⇔ z z =1⇔ =1 z − + 4i z − + 4i Vậy ta có bài toán: Tìm tập hợp điểm mặt phẳng toạ độ biểu diễn cho số phức z thoa mãn z =1 z − + 4i  Cách 2: Ta chọn hai điểm A, B cho đường thẳng (d) có phương trình: x + y − 25 = Là đường trung trực của đoạn thẳng AB Chẳng hạn,chọn A(3;4); B (0;3) , ta có: M ∈ d ⇔ MA = MB ⇔ z − − 4i = z − 3i Vậy ta có bài toán: Tìm tập hợp điểm mặt phẳng toạ độ biểu diễn cho số phức z thoa mãn z − − 4i = z − 3i Hoặc: Tìm tập hợp điểm mặt phẳng toạ độ biểu diễn cho số phức z thoa mãn z − − 4i =1 z − 3i Ví dụ 3: Để quỹ tích là hai đường thẳng ta có thể chọn trước đường thẳng (d) và (d’) lần lượt có phương trình: x = 0; x = Khi đó ta có x( x − 2) = ⇔ x − x = ⇔ x − x + + y = + y ⇔ ( x − 1) + y = + y ⇔ ( x − 1) + y = + (2 y ) ⇔ x − + yi = + yi ⇔ x + yi − = x + yi − x + yi + ⇔ z −1 = z − z + Vậy ta có bài toán: tập hợp điểm mặt phẳng toạ độ biểu diễn cho số phức z thoa mãn z − = z − z + Ví dụ 4: Để quỹ tích là đường elip ta chọn tiêu điểm F1 (−1;0); F2 (1;0) và độ dài trục lớn là Khi đó M ( x; y ) biểu diễn số phức z thuộc elíp và MF1 + MF2 = ⇔ ( x + 1) + y + ( x − 1) + y = ⇔ ( x + 1) + yi + ( x − 1) + yi = ⇔ x + yi + + x + yi − = ⇔ z + + z − = Vậy ta có bài toán: tập hợp điểm mặt phẳng toạ độ biểu diễn cho số phức z thoa mãn z + + z − =  Để bài tập chứng minh tính chất liên quan đến hình biểu diễn số phức z chủ yếu ta dựa kiến thức của hình giải tích mặt phẳng Ví dụ: Xuất phát từ bài toán hình giai tích mặt phẳng: “Chứng minh điểm A(1;2), B(1 + 3;1), C(1 + 3; −1), D(1; −2) lập thành tứ giác nội tiếp đường tròn” phát triển thành bài toán liên quan đến hình biểu diễn của số phức: Gọi A, B, C , D là các điểm lần lượt biểu diễn các số phức: + 2i;1 + + i; + − i ;1 − 2i a) Chứng minh rằng A, B, C tạo thành một tam giác vuông Trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác biểu diễn số phức nào? b) Chứng minh tam giác ABD và ACD bằng nhau? Tính diện tích của chúng? c) Chứng minh rằng ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn (hoặc có thể hỏi chứng minh ABCD hình thang cân) Tâm đường tròn biểu diễn số phức nào?  Nhận xét: - Dựa sở có thể nhiều tập chứng minh tính chất liên quan đến hình biểu diễn số phức z - Có thể biểu diễn số phức z dạng tổng, hiệu, tích, thương của các số phức để toán phức tạp hơn, đồng thời rèn luyện kỹ tính toán  Đối với chuyên đề 5: Việc tạo các bài tập thường xuất phát từ một bài tập đại số bài tập hình giai tích mặt phẳng Từ các bài tập đó bằng cách sử dụng kiến thức về số phức, ta chuyển được các bài toán xuất phát sang bài toán: Cực trị của số phức Ví dụ 1: Xuất phát từ bài toán: Cho x; y ∈ R thoa mãn: x − y + = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + y Để tạo bài tập số phức từ bài tập này, chúng làm sau: Coi z = x + yi ( x; y ∈ R ) ⇒ M ( x; y ) biểu diễn cho số phức z mặt phẳng toạ độ Khi đó P = z Chọn A, B cho đường thẳng d : x − y + = là đường trung trực của đoạn thẳng AB Chẳng hạn chọn A(−1; −1), B (1;3) Vậy để M thuộc d : x − y + = thì z phai thoa mãn: z + + i = z − − 3i Vậy ta có bài toán: Trong các số phức z thoa mãn: z + + i = z − − 3i (*) Tìm số phức có môđun nhỏ nhất  Điều kiện (*) có thể thay bởi một điều kiện khác cho từ đó ta thu được đẳng thức x − y + = Chẳng hạn: Trong các số phức z thoa mãn: ( z − 2i ) ( z + 1) có phần ao bằng Tìm số phức có môđun nhỏ nhất Ví dụ 2: Xuất phát từ bài toán: Cho x; y ∈ R thoa mãn: y = x Tìm giá trị nhỏ nhất + 2y 4x2 Coi z = x + yi ( x; y ∈ R ) của biểu thức P = 1  y = x ⇔ x + y = y + y ⇔ x + y =  y + ÷ − ⇔ ( x + y ) + = ( y + 1) 2  2 2 ⇔ z +1 = z − z + i 2 Vậy ta có bài toán : 2 Trong các số phức z thoa mãn: z + = z − z + i Tìm số phức z cho biểu thức P = ( z+z) + z − z đạt giá trị nhỏ nhất Ví dụ 3: Xuất phát từ bài toán: Tìm điểm M đường tròn (T ) : x + y + y − = và điểm N đường thẳng ∆ : x + y + = cho MN đạt giá trị nhỏ nhất Coi z1 = a + bi ; z2 = c + di ; ( a; b; c; d ∈ R ) ⇒ M (a; b), N (c; d ) lần lượt biểu diễn cho z1 ; z2 hệ toạ độ Oxy x + y + y − = ⇔ ( x + y ) = x + ( y − 1) z1 thoa mãn : ( + i ) z1 = z1 − i ⇒ M ∈ (T ) Chọn A(1; −2); B(3; −4) cho ∆ : x + y + = là đường trung trực của AB z2 thoa mãn : z2 − + 2i = z2 − + 4i ⇒ N ∈ ∆ MN = (a − c) + (b − d ) = ( z1 − z1 ) i + z2 − ( z1z2 + z1 z ) Vậy ta có bài toán: Trong các số phức z1 ; z2 thoẩ mãn z1 − i = (1 + i) z1 ; z − + 2i = z − + 4i Tìm số phức z1 ; z2 cho biểu thức P = ( z1 − z1 ) i + z2 − ( z1 z2 + z1 z2 ) đạt giá trị nhỏ nhất  Đối với chuyên đề 6: Để tạo một bài toán giai hệ ta thường xuất phát từ việc gia phương trình tập hợp số phức biến đổi để thu được một hệ phương trình:  Ví dụ 1: Xuất phát từ phương trình: z = i z + (3 − i ) z + (3 − 2i ) z − i + = ⇔  z = −2 + i  z = −1 − i  z = x − y + xyi z = x + iy ; x , y ∈ ¡ ⇒ Đặt 2  z = x − 3x y + (3xy − y )i 3 2 ( x − y ) + xy + x − y + x + y = Ta có hệ phương trình:  2 3 x y − y + xy − x + y + y − x − =  z = −1  Ví dụ 2: Xuất phát từ phương trình: z + z + (6 + i ) z + + i = ⇔  z = −2 + i  z = −1 − i  z = x − y + xyi z = x + iy ; x , y ∈ ¡ ⇒ Đặt 2  z = x − 3x y + (3xy − y )i  x3 − 3x y + 4( x − y ) + x − y + = Ta có hệ phương trình:  3x y − y + xy + x + y + =  z = −2 + i  z = −1 − i Ví dụ 3: Xuất phát từ phương trình: z + 3z + + i = ⇔  Đặt z = x + iy ; x, y ∈ ¡ ⇒ z = x − y + xyi ( x + y )( x + y ) + 3x + y = Ta có hệ phương trình:  2 ( x + y ) y + x − y =  z = i   (1 − i ) Ví dụ 4: Xuất phát từ phương trình: z − iz + iz + = ⇔  z =   z = (1 − i )  2 2  z = x − y + xyi Đặt z = x + iy ; x, y ∈ ¡ ⇒  3 2  z = x − 3x y + (3xy − y )i  x( x + y ) + y ( x + y ) + x − y = Ta có hệ phương trình:  2 2 ( y − 1)( x + y ) + x( y + y ) − xy = KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC Trong các năm 2010-2011; 2011 - 2012; 2012-2013 chưa áp dụng phương pháp vào giang dạy, qua kiểm tra chúng thu được kết qua: Năm học 2010-2011 2011-2012 2012-2013 Lớp 12P 12A 12A 12D 12A 12K 12P Giỏi 4% 10% 15% 10% 17% 10% 12% Khá 32% 40% 40% 40% 50% 40% 35% Kết quả Trung bình 52% 45% 32% 45% 28% 45% 43% Yếu 12% 5% 10% 5% 5% 5% 10% Sau áp dụng phương pháp cai tiến vào ôn thi đại học cho lớp 12A, 12C, 12G năm học 2013 - 2014; lớp 12B ,12C, 12E và 12G,12M năm học 2014- 2015, qua kiểm tra thu được kết qua: Năm học 2013-2014 2014-2015 Lớp 12A 12C 12G 12B 12C 12E 12G 12M Giỏi 40% 36% 30% 45% 41% 35% 30% 35% Khá 45% 44% 42% 40% 42% 40% 40% 35% Kết quả Trung bình 15% 20% 28% 15% 17% 25% 35% 30% Yếu 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% Đặc biệt áp dụng phương pháp mới cai tiến vậy, lĩnh vực giang dạy đội tuyển học sinh giỏi chúng đã thu được kết qua: 1) Năm học 2011 - 2012, chúng bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi cấp Tỉnh có em dự thi đạt : giai nhất, giai nhì, giai ba 2) Năm học 2011 - 2012, chúng bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi giai Toán Máy tính cầm tay cấp Tỉnh có em dự thi đạt : giai nhất, giai nhì, giai ba Trong đó có em được chọn vào đội tuyển giai Toán Máy tính cầm tay cấp Quốc gia và ca hai em đều đạt giai khuyến khích 3) Năm học 2013 - 2014, chúng bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi cấp Tỉnh để chọn đội tuyển Quốc gia có em dự thi đạt: giai ba, giai khuyến khích 4) Năm học 2013 - 2014, chúng bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi cấp Tỉnh em dự thi đạt: giai nhì, giai ba 5) Năm học 2013 - 2014, chúng bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi giai Toán Máy tính cầm tay cấp Tỉnh có em dự thi đạt : giai nhất, giai nhì Trong đó có em được chọn vào đội tuyển giai Toán Máy tính cầm tay cấp Quốc gia và đạt giai nhất và giai khuyến khích 6) Năm học 2013 - 2014, chúng bồi dưỡng đội tyuển học sinh giỏi giai Toán mạng cấp Tỉnh có 25 em dự thi đạt 19 giai gồm: giai nhì, giai ba và 10 giai khuyến khích 7) Trong các kì thi Đại hoc, Cao đẳng, các lớp chúng dạy đều đỗ Đại học tương đối cao Xét riêng năm học 2013-2014, trường THPT Yên Khánh A có tới 22 em học sinh đạt điểm tổng ba môn thi đại học từ 24 điểm trở lên, đó lớp chúng giang dạy có tới 19 em chiếm tỉ lệ 86,4% Kết qua này, góp phần không nhỏ thành tích chung của nhà trường, giúp trường THPT Yên Khánh A là một trường có điểm bình quân thi Đại học cao của khối các trường THPT toàn tỉnh PHẦN III KẾT LUẬN Ban sáng kiến của chúng với đề tài: "Cải tiến phương pháp dạy chuyên đề số phức" đã đạt được một số kết qua đã trình bày ở Với cách dạy vậy, các em có thể hiểu vấn đề một cách sâu sắc và có thể nhìn một bài toán dưới nhiều góc độ khác nên có thể dễ dàng suy luận để chuyển các bài toán lạ về bài toán quen thuộc Hơn với cách dạy đó, làm cho học sinh thấy được sự phong phú các câu hỏi bài toán số phức thực chất nó đều có thể qui được về các bài toán quen thuộc, ban Chính vì thế mà các em không cam thấy nhàm chán, hào hứng, say mê học, tạo tâm lí thoai mái, nhẹ nhàng mỗi tiết học, đó là tiền đề tốt để học sinh tiếp thu bài, rèn luyện kĩ năng, nâng cao hiệu qua dạy và học Với cách dạy vậy, chúng tin rằng các em có thể tự tin các kì thi và nếu đề thi có xuất hiện các bài toán số phức thì 100% học sinh có thể làm được Những nội dung được trình bày ban sáng kiến này, chúng xuất phát từ yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học: lấy học sinh làm trung tâm và sự hiếu học của phần lớn học sinh trường là động lực lớn nhất để chúng không ngừng phấn đấu, học hỏi, nghiên cứu, cai tiến phương pháp góp phần nâng cao chất lượng giáo dục Ban sáng kiến này, trước hết là tài liệu thiết thực cho ban thân chúng và là tài liệu để các bạn đồng nghiệp, học sinh làm tài liệu tham khao Rất mong nhận được sự đóng góp của bạn đồng nghiệp Yên Khánh, tháng năm 2015 Người thực Bùi Thị Ngọc Lan Bùi Thị Lợi Trần Ngọc Uyên Đinh Thị Minh Tân Vũ Thị Thu Trang [...]... hình tròn tâm O, bán kính 2 thì a 2 + b 2 < 4 II.4.3 Dạng 3: Chứng minh tính chất liên quan đến hình biểu diễn của số phức hoặc dùng hình biểu diễn của số phức chứng minh tính chất của số phức A Phương pháp: Để chứng minh các điểm biểudiễn cho các số phức thoả mãn điều kiện (T), thông thường ta làm như sau  Đọc toạ độ các điểm biểu diễn cho các số phức đã cho ... 2 + 2i = 1 a) II.6 CHUYÊN ĐỀ 6: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH II.6.1 Phương pháp Để giai hệ phương trình với 2 ẩn x, y ∈ ¡ ta làm như sau:  Đặt z = x + iy ; x, y ∈ ¡  Từ hệ phương trình đã cho dẫn đến phương trình với ẩn z Gia sử ta tìm được z = a + bi ; a, b ∈ ¡ x = a y = b  Từ đó sử dụng khái niệm 2 số phức bằng nhau suy ra   Một số đẳng thức thường... của phương trình  TH2: z ≠ 0 ,chia ca hai vế của phương trình cho z 2 ta được:  2  d 2  d    a  z +  ÷  + b  z + ÷+ c = 0 bz   bz     2 3 2 d , ta đưa phương trình về phương trình bậc 2 ẩn t bz  Đặc biệt: az 2 + bz 3 + cz 2 ± bz + a = 0 2) ( z + a) 4 + ( z + b) 4 = c a+b  Đặt t = z + , đưa phương trình đã cho về phương trình bậc 4 trùng 2  Đặt t = z + phương. .. + 3  10)  ÷ − 3  ÷− 4 = 0  z − 2i   z − 2i  Bài 2: z1 , z2 là nghiệm phức của phương trình: 2(1 + i) z 2 − 4(2 − i ) z − 5 − 3i = 0 Tính | z1 |2 + | z2 |2 IV CHUYÊN ĐỀ 4: Biểu diễn hình học của số phức IV.4.1 Dạng 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z thoả mãn điều kiện cho trước A Phương pháp  Gọi z = x + yi ( x, y ∈ R ) ⇒ M ( x; y ) biểu diễn cho số phức z trong... z + c)( z + d ) = e với a + b = c + d  Đặt t = z 2 + (a + b) z , đưa phương trình đã cho thành phương trình bậc 2 ẩn t  Khi giai phương trình đa thức trên tập hợp số phức thực chất chúng tôi đã ôn tập cho học sinh các phương pháp giai phương trình trên tâp hợp số thực  z1 + z2 = 4 + i Bài 4: Giai hệ phương trình với ẩn phức z1 , z 2 sau:  2 2  z1 + z2 = 5 − 2i Lời... 6: Tìm số phức z thoa mãn:    z −1 =1 z −i z − 3i =1 z+i II.3 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP HỢP SỐ PHỨC II 3.1 Phương pháp giải phương trình az 2 + bz + c = 0 (a ≠ 0)  Tính ∆ = b 2 −4ac  Dựa vào giá trị của ∆ để xác định công thức nghiệm (dựa vào mục I.1.4 ) II 3.2 Bài tập minh họa Bài 1: Giai các phương trình sau trên tập hợp số phức: a) z 2 + 2 z + 5 = 0 b) ( z 2 +... minh rằng OAB là tam giác đều b) Cho O, A biểu diễn số 1, B biểu diễn số phức z không thực; A’ biểu diễn số phức z ' ≠ 0 và B’ biểu diễn số phức z.z’ Chứng minh rằng hai tam giác OAB và OA’B’ đồng dạng II.5 CHUYÊN ĐỀ 5: Cực trị của số phức II.5.1 Các bài toán qui về bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm một biến A Phương pháp Bài toán: Trong... trình trên tập hợp số phức cần đầy đủ các kĩ năng của việc giai phương trình trên tập hợp số thực, qua các ví dụ trên ta đã sử dụng phương pháp phân tích thành tích để đưa một phương trình bậc 3, bậc 4 về thành tích của các phương trình bậc nhất, bậc 2 Tôi nhấn mạnh cho học sinh: một phương trình đa thức bậc n xét trên tập hợp số phức thì có n nghiệm... ⇔ z 2 − 3z + 3 − i = 0 ⇔  z z = 1− i Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là: ( 2;1) , ( 1;1) Từ đó phương trinh (1) trở thành: z + (6 − x)( x 2 + y 2 ) = 6 x + 8 y Bài 3: Giai hệ phương trình:  (I) 2 2 (3 − x)( x + y ) = 8 x − 6 y Lời giải: +) x = y = 0 thỏa mãn hệ phương trình (I) +) x 2 + y 2 > 0 , chia ca hai vế của ca hai phương trình của hệ (I) cho x 2 + y 2 ta được:... mới thay đổi lại câu hỏi như trên, từ đó đưa ra phương pháp cụ thể của dạng câu hỏi tìm số phức z như sau:  Nếu trong điều kiện đề bài chỉ có duy nhất một kí hiệu z hoặc z thì ta quy về bài toán thực hiện phép tính  Nếu trong điều kiện đề bài có nhiều hơn một kí hiệu z hoặc z hoặc có kí hiệu môđun ta giai theo phương pháp sau:  Gọi z = a + bi , a, b ∈ ¡  ... của chúng với đề tài: "Cải tiến phương pháp dạy chuyên đề số phức" đã đạt được một số kết qua đã trình bày ở Với cách dạy vậy, các em có thể hiểu vấn đề một cách... đến hình biểu diễn của số phức dùng hình biểu diễn của số phức chứng minh tính chất của số phức A Phương pháp: Để chứng minh các điểm biểudiễn cho các số phức thoả mãn điều kiện... C Phương pháp tiến hành I GIẢI PHÁP 1: CUNG CẤP LÍ THUYẾT VỀ SỐ PHỨC I.1 CÁC KHÁI NIỆM Định nghĩa số phức Mỗi biểu thức dạng a + bi , đó a, b ∈ ¡ , i = −1 được gọi là một số phức