Đang tải... (xem toàn văn)
Nhiều bài toán tối ưu chưa có thuật toán chính xác để giải quyết cho nên cần có một thuật toán gần đúng để tìm lời giải gần tối ưu.
SỬ DỤNG THUẬT TOÁN LUYỆN KIM SONG SONG GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN MAXSAT Chương I: 3 Tổng quan thuật toán mô phỏng luyện kim (Simulated Annealing = SA) 3 Sự hội tụ 7 Điều kiện dừng 7 Chương II: .8 Xây dựng khung thuật toán SA 8 Hàm Main_Seq 18 Kết quả thực nghiệm .25 1. Kết quả tuần tự .26 2. Kết quả song song .26 SỬ DỤNG THUẬT TOÁN LUYỆN KIM SONG SONG GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN MAXSAT BÁO CÁO KHOA HỌC ĐỂ TÀI: THUẬT TOÁN LUYỆN KIM SONG SONG (Parallel Simulated Annealing Algorithms) GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN MAX-SAT MỞ ĐẦU - Nhiều bài toán tối ưu chưa có thuật toán chính xác để giải quyết cho nên cần có một thuật toán gần đúng để tìm lời giải gần tối ưu. - Không gian lời giải cần tìm là rất lớn nếu một máy tính tìm kiếm sẽ rất lâu nên cần nhiều máy giải quyết và các máy phải thực hiện đồng thời. Điều này có thể thực hiện dễ dàng nếu các máy tính tính toán song song. Vì vậy việc tìm hiểu về các thuật toán song song là cần thiết và mang tính khả thi đối với các bài toán tối ưu - Để rút ngắn thời gian lập trình chúng ta cần xây dựng khung thuật toán giúp giải quyết các bài toán khác nhanh chóng hơn. - Mục đích của đề tài này là sử dụng thuật toán luyện kim song song để giải quyết bài toán tối ưu MAXSAT. Đề tài bao gồm các nhiệm vụ sau: • Nghiên cứu lý thuyết về thuật toán luyện kim • Xây dựng khung thuật toán chung cho các bài toán sử dụng thuật toán luyện kim • Áp dụng khung thuật toán luyện kim cho bài toán MAXSAT • Cài đặt bài toán MAXSAT và đưa ra kết quả thực nghiệm trên cả chương trình tuần tự và chương trình song song. • Từ đó sử dụng khung thuật toán luyện kim để giải quyết các bài toán tối ưu khác trong thực tế như: Bài toán người du lịch, bài toán khôi phục ảnh, thiết kế mạch IC, bài toán sắp xếp thời khoá biểu cho trường đại học… SỬ DỤNG THUẬT TỐN LUYỆN KIM SONG SONG GIẢI QUYẾT BÀI TỐN MAXSAT Chương I: Tổng quan thuật tốn mơ phỏng luyện kim (Simulated Annealing = SA) I. Giới thiệu chung về thuật tốn SA SA là một thuật tốn tìm kiếm xác suất di truyền, là phương pháp tối ưu hố có thể áp dụng để tìm kiếm tối ưu hố tồn cục của hàm chi phí và tránh tối ưu hố địa phương bằng việc chấp nhận một lời giải tồi hơn với một xác suất phụ thuộc nhiệt độ T. Sơ đồ: Sơ đồ thể hiện trong một khơng gian lời giải thuật tốn luyện kim sẽ tìm đến tối ưu tồn cục với bước nhảy từ tối ưu địa phương Tiền thân của SA là thuật tốn Monte Carlo năm 1953 của nhóm Metropolis. Thuật tốn SA được đề xuất bởi S. Kirk _ partrick năm 1982 và được cơng bố trước cơng chúng năm 1983. SA có nguồn gốc từ cơ học hệ thống. SA thực thi đơn giản và tương tự q trình luyện kim vật lý. Trong luyện kim vật lý kim loại được đốt nóng tới nhiệt độ cao và làm lạnh từ từ để nó kết tinh ở cấu hình năng lượng thấp (tăng kích thước của tinh thể và làm giảm những khuyết điểm của chúng). Nếu việc làm lạnh khơng xảy ra từ từ thì chất rắn khơng đạt được trạng thái có cấu hình năng lượng thấp sẽ đơng lạnh đến một trạng thái khơng ổn định (cấu trúc tối ưu địa phương) Gọi E là năng lượng của trạng thái s, E’ là trạng thái năng lượng của trạng thái s’ và ∆E = E’ – E là sự chệnh lệch nhiệt độ giữa trạng thái s’ và trạng thái s. Nếu ∆E ≤ 0 thì sự thay đổi kết quả được chấp nhận với xác suất T B kE e / ∆− trong đó T là nhiệt độ, k B là một hằng số vật lý được gọi là hằng số Boltzmann. Solution Space: Khơng gian lời giải Initial State: Trạng thái ban đầu Local Minimum: Tối ưu địa phương Global Minimum: Tối ưu tồn cục SỬ DỤNG THUẬT TỐN LUYỆN KIM SONG SONG GIẢI QUYẾT BÀI TỐN MAXSAT Nếu có số lượng lớn các bước lặp được thực hiện ở mỗi nhiệt độ, hệ thống sẽ đạt trạng thái cân bằng nhiệt. Khi đó, sự phân bố xác suất của hệ thống trong trạng thái s ở nhiệt độ T là T B kE e TZ / )( 1 ∆ trong đó Z(T): là hàm phân phối. SA sử dụng một biến điều khiển tồn cục là biến nhiệt độ T. Ban đầu T ở giá trị rất cao và sau đó được giảm dần xuống. Trong q trình tìm kiếm SA thay lời giải hiện thời bằng cách chọn ngẫu nhiên lời giải láng giềng với một xác suất phụ thuộc vào sự chênh lệch giữa giá trị hàm mục tiêu và tham số điều khiển T. Q trình tối ưu hố được tiếp tục cho tới khi cực tiểu tồn cục được tìm thấy hoặc tổng số bước chuyển vượt q một số tối đa các bước chuyển đã được định trước. Sự chuyển tiếp ở một nhiệt độ kết thúc khi đạt tới trạng thái cân bằng nhiệt. Sauk hi đạt tới trạng thái cân bằng nhiệt thì nhiệt độ được giảm thấp hơn. Nếu hệ thống khơng đơng lạnh và cũng khơng tìm được cực tiểu tồn cục thì vòng lặp vẫn tiếp tục và chỉ số k tăng. Hệ thống đơng lạnh khi T tiến tới nhiệt độ T cuối do người dùng đưa ra. Ta có sơ đồ thuật tốn. II. Mơ hình tốn học của thuật tốn SA 1. Khơng gian trạng thái SA thực thi trong một khơng gian trạng thái. Khơng gian trạng thái là một tập hợp các trạng thái, mỗi trạng thái đại diện cho một cấu hình. Kí hiệu khơng gian trạng thái là S, số phần tử của khơng gian trạng thái là |S|. Một quan hệ láng giềng trên S: SS ×⊆ µ Yes Yes Khởi tạo k = l= 0; Lấy ngẫu nhiên s i và phân tích T = T k ; s = s k Trạng thái cân bằng nhiệt Nhiệt độ giảm k = k+1; l = 0; Đơng lạnh? T ≤ T cuối Đạt tới cực tiểu tồn cục l = l + 1; No No k, l: là biến điều khiển vòng lặp l đánh dấu việc lặp lại ở nhiệt độ T k , k tăng khi đạt cân bằng nhiệt ở nhiệt độ T k. T k và s k điều khiển q trình xử lý ngẫu nhiên S DNG THUT TON LUYN KIM SONG SONG GII QUYT BI TON MAXSAT o Cỏc phn t ca à c gi l cỏc di chuyn o (s, s) à kt ni qua mt di chuyn c gi l lỏng ging o (s, s) à k kt ni qua mt tp k di chuyn SS k k ì= = à 1 U Tp trng thỏi kt ni vi trng thỏi ó cho s i S c kớ hiu l N i , s phn t ca N i gi l cp ca s i . N i l tp cỏc lỏng ging ca s i . Cú hai trng thỏi s i v s i-1 v xỏc sut s i l trng thỏi hin thi ph thuc vo hm chi phớ ca s i v hm chi phớ ca s i-1 v nhit T. Cú ba trng thỏi liờn tip s i-1 , s i , s i+1 thỡ trng thỏi s i-1 v s i+1 khụng phc thuc vo nhau. Xỏc sut m s l trng thỏi k tip ca s kớ hiu l P(s,s,T) gi l xỏc sut chuyn tip. = '' 1 ' )',()),'(),(( ),',( )'',()),''(),(( s ssssTss TssP ssTss : hm xỏc sut chp nhn (acceptance probability function) : hm xỏc sut la chn (selection probability function) cho phộp ch mt cp trng thỏi trong c la chn. Xỏc sut la chn khụng bao gi bng 0 cho mt cp trng thỏi c kt ni bi mt di chuyn n. [ ] [ ] = = 1 ' )',( 0)',( )',( 0)',( )',( Ns ss Ss ss ss ss ss à à Hm chp nhn : R 3 + [0,1] R 2. Hm nhit u tiờn khi to nhit T l T 0. Quy trỡnh ph bin nht l quy trỡnh lm lnh cõn xng: T new = T old * alpha khi alpha < 1. Thut toỏn kt thỳc khi T = 0. SỬ DỤNG THUẬT TOÁN LUYỆN KIM SONG SONG GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN MAXSAT Sơ đồ: 3. Hàm chi phí và hàm sức khoẻ Hàm đánh giá cost là hàm xác định chi phí được dùng để ước lượng một lời giải đã cho. Hàm chi phí của lời giải s kí hiệu là f(s). Hàm sức khoẻ Fitness được định nghĩa: %100* cost1 1 + = fitness Sự giảm bớt chi phí tương đương với sự tăng của hàm sức khoẻ Giá trị hàm sức khoẻ tăng khi nhiệt độ giảm thể hiện trong biểu đồ: 4. Sự phân bố trạng thái giới hạn Cho π Tk (s i ) là xác suất mà s i là lời giải hiện thời sau k bước của thuật toán ở nhiệt độ T. Vectơ xác suất trạng thái: π Tk = (π Tk (s 1 ), π Tk (s 2 ),…,π Tk (s i ),…). Cho chuỗi Markov, vector xác suất trạng thái hội tụ tới 1 véctơ xác suất giới hạn TTk k ππ = ∞→ lim Trên thực tế có thể chứng minh rằng: ∑ ∈ − − = ∞→ S j s T j sf T i sf i S Tk k )/)(exp( )/)(exp( )( lim π T o : nhiệt độ khởi đầu T n : nhiệt độ kết thúc T i : nhiệt độ vòng i khi i = 1, ,N N N i T T TT 1 0 0 = SỬ DỤNG THUẬT TỐN LUYỆN KIM SONG SONG GIẢI QUYẾT BÀI TỐN MAXSAT (Phân bố Boltzmann) • Phân bố giới hạn cho T 0 - Cân nhắc 2 lời giải s i và s j với f(s i ) < f(s j ). Trong trường hợp này có: ∞ → − = − − ∞→ → → 0 )()( exp )/)(exp( )/)(exp( )( )( T T i sf j sf T j sf T i sf k j S Tk i S Tk π π - Sự khẳng định cuối cùng là giả thiết 0)()( >− i sf j sf - Hội tụ tới ∞ chỉ có thể xảy ra nếu có: 0)( limlim 0 = →∞→ j s Tk Tk π - Chứng minh rằng: Cho lời giải khả thi s, k∞ và T0 xác suất π Tk (s) hội tụ tới 0, nếu s khơng phải lời giải tối ưu 0)( lim 0 lim = →∞→ s Tk Tk π - Ngồi ra có thể chứng minh rằng nếu s là một lời giải tối ưu thì || 1 )( lim 0 lim opt S s Tk Tk = →∞→ π Ở đây S opt là tập tất cả các lời giải tối ưu. 5. Sự hội tụ và điều kiện dừng Sự hội tụ Cho khơng gian tìm kiếm hữu hạn S, điều kiện đủ cho sự hội tụ là sự cân bằng chi tiết (detail balance) phụ thuộc vào xác suất giữa hai lời giải bất kỳ sj , si trong khơng gian trạng thái là bằng nhau: )().()().( T ji T j T ij T i τπτπ = Trong đó π i (T) là sự phân bố ổn định của trạng thái s i ở nhiệt độ T. Sự phân phối ổn định là một vectơ π(T) = (π 1 (T), π 2 (T), …, π |s| (T)) Thỏa mãn phương trình: π T (T)*P(T) = π T (T) P(T): ma trận chuyển tiếp π T : Hốn vị của π. |S| : là số phần tử của khơng gian trạng thái S. Nếu P là tối giản và khơng có chu kỳ thì tồn tại một xác suất ổn định duy nhất π. Điều kiện đủ cho tính khơng chu kỳ là tồn tại trạng thái s i є S sao cho P ii ≠ 0. Điều kiện dừng Thuật tốn dừng khi đã tìm được một lời giải đủ tốt và T là q nhỏ mà xác suất tránh được là khơng đáng kể. Một tiêu chuẩn kết thúc khác là chi phí trung bình thay đổi khơng đáng kể ở một vài giá trị liên tiếp nhau của T SỬ DỤNG THUẬT TỐN LUYỆN KIM SONG SONG GIẢI QUYẾT BÀI TỐN MAXSAT Chương II: Xây dựng khung thuật tốn SA I. Lý do xây dựng khung thuật tốn Chúng ta cần xây dựng khung chung cho thuật tốn nhằm đảm bảo: • Giảm thiểu q trình code cho người sau • Cho những người sau thử nghiệm bài tốn trên lập trình song song • Việc xây dựng khung sẽ khiến người đọc hiểu được tổng quan thuật tốn và cách cài đặt thuật tốn một cách nhanh hơn. Giúp cho người sau học có tính khoa học hơn. II. Khung chung của thuật tốn SA Tất cả các bài tốn giải bằng SA đều thực hiện theo các bước: • Bước 1: Đầu tiên, tìm điểm xuất phát của bài tốn • Bước 2: Liệt kê các láng giềng có thể có của lời giải hiện thời • Bước 3: Tiến hành ước lượng hàm mục tiêu hiện thời và hàm mục tiêu của láng giềng vừa tìm được • Bước 4: Sinh một biến ngẫu nhiên thường là phân bố mũ có các tham số phụ thuộc vào hiệu quả của các giá trị hàm mục tiêu và tham số T. • Bước 5: Nếu biến ngẫu nhiên lớn hơn hoặc nhỏ hơn một ngưỡng cho trước thì chấp nhận láng giềng vừa tìm được làm phương án hiện tại • Bước 6: Giảm nhiệt độ T. • Bước 7: Quay trở lại từ đầu Đã chứng minh được khi T 0 thì tìm được lời giải tối ưu tồn cục. Tại những giá trị nhiệt độ cao các bước chuyển được chấp nhận một cách ngẫu nhiên bất luận chúng là bước chuyển có cải thiện hàm chi phí hay khơng. Khi nhiệt độ được giảm xuống xác suất chấp nhận lời giải có cải thiện tăng lên và xác suất chấp nhận lời giải khơng có cải thiện giảm xuống. Khung thuật tốn SA gồm 3 lớp: - Problem: Định nghĩa bài tốn - Solution: Định nghĩa lời giải - Default Move: Định nghĩa sự chuyển đổi (sự phát sinh lời giải mới) Thuật tốn Metropolis heuristic: Algorithm Metropolis (S,T,M) (*Trả lại giá trị giảm của hàm chi phí*) Begin Repeat M = M + 1; SỬ DỤNG THUẬT TOÁN LUYỆN KIM SONG SONG GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN MAXSAT NewS neighbor(S);(*sinh ra lời giải mới NewS*) gain Gain(NewS,S);(*chênh lệch hàm chi phí*) If ((gain > 0) or (random < e gain/K B T )) then { S NewS; (*Chấp nhận lời giải*) If (cost(NewS) < cost(BestS)) then BestS NewS; } Until (M mod MarkovChain_length == 0); End;(* of metropolis) Trong đó: o Thủ tục nhận lời giải s ở nhiệt độ T và cải thiện nó qua sự tìm kiếm địa phương o M là số phép lặp ở nhiệt độ T o Hàm neighbor sinh ra lời giải mới NewS o Hàm Gain: độ chênh lệch hàm chi phí của lời giải S và lời giải mới NewS tức là gain = chi phí của S – chi phí của NewS. o Random là số ngẫu nhiên từ 0 đến 1 o Nếu chi phí NewS thấp hơn chi phí của S thì chấp nhận lời giải NewS còn nếu chi phí NewS lớn hơn chi phí của S thì vẫn chấp nhận lời giải NewS nhưng với xác suất là radom < e gain/K B T o Nếu NewS được chấp nhận sẽ so sánh với BestS. Nếu cost(BestS) > cost(NewS ) thì BestS được thay thế bởi NewS . Còn không thì vẫn giữ nguyên lời giải BestS và tiếp tục thực hiện vòng lặp. Thuật toán SA Algorthm Simulated_Annealing Begin Initialize(T); //khởi tạo nhiệt độ T S 0 = Initial_Solution()// khởi tạo lời giải S 0 M = 0; Repeat Call Metropolis (S 0 ,T,M) ; T alpha * T;//Cập nhật T Until (T = 0) Lời giải tốt nhất được tìm thấy End. o alpha: tốc độ làm lạnh SỬ DỤNG THUẬT TỐN LUYỆN KIM SONG SONG GIẢI QUYẾT BÀI TỐN MAXSAT o Thuật tốn SA ban đầu khởi tạo nhiệt độ T và lời giải S 0 o Gọi hàm Metropolis để tìm lời giải tốt nhất BestS. Sau khi đã tìm được lời giải tốt nhất thì cập nhật lại nhiệt độ T theo thơng số alpha.Thực hiện vòng lặp cho tới khi T = 0 sẽ tìm được lời giải tốt nhất tồn cục của bài tốn. Một điều quan trọng nữa là khi thực hiện thuật tốn SA người dùng phải cấu hình các thơng số của thuật tốn trong file cấu hình SA.cfg bao gồm: o // số bước chạy độc lập o // số ước lượng o // Markov-Chain Length o // độ giảm nhiệt độ o // có hiển thị trạng thái ? o LAN-configuration o // trạng thái tồn cục được cập nhật trong n ước lượng o // 0: asynchronized mode // 1: synchronized mode o // số bước lặp để phối hợp ( nếu là 0 khơng phối hợp) Thuật tốn SA có thể chạy được cả ở mơi trường tuần tự và mơi trường song song. III. Sơ đồ khung thuật tốn SA có hai phân lớp chính là lớp Required (lớp đòi hỏi) và lớp Provided (lớp cung cấp) được thể hiện trong hình vẽ dưới đây [...]... giải bài toán sử dụng cho song song double Solution::fitness () const { return 0.0; } Hàm sức khoẻ void UserStatistics::update(const Solver& solver) bool TerminateQ (const Problem& pbm, const Solver& solver,const SetUpParams& setup) Hàm kết thúc Chương III: Ứng dụng của thuật toán SA I Bài toán MAXSAT SỬ DỤNG THUẬT TOÁN LUYỆN KIM SONG SONG GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN MAXSAT 1 Giới thiệu bài toán Bài toán MAXSAT. ..SỬ DỤNG THUẬT TOÁN LUYỆN KIM SONG SONG GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN MAXSAT 1 Lớp cung cấp (Provided) Provided: bao hàm các thủ tục chung cho thuật toán SA và được áp dụng cho hầu hết các bài toán sử dụng thuật toán SA (ví dụ như khung của thuật toán SA tuần tự, khung của thuật toán SA song song, thiết đặt các thông số của bài toán ) Bao gồm các lớp: o SetupParams: Là... hiển thị trạng thái In ra lời giải tốt nhất toàn cục và giá trị hàm sức khỏe } SỬ DỤNG THUẬT TOÁN LUYỆN KIM SONG SONG GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN MAXSAT III 1 Khung thuật toán SA song song giải quyết bài toán MAXSAT Lựa chọn mô hình Có các loại mô hình như sau: • Mô hình khuyếch tán (Diffusion model): Các cá thể được sắp xếp trong không gian và giao với các cá thể khác Khi song song hoá, có nhiều tiến trình... giải có thể được thực hiện o UserStatistic: lưu trữ thông tin cuối cùng của bài toán :lời giải tốt nhất, số đánh giá, thời gian thực thi,… o DefaultMove: Thực hiện việc cập nhật lời giải mới của bài toán o TerminateQ: Thực hiện điều kiện dừng của bài toán Ta có sơ đồ khung thuật toán SA như sau: Những lớp có dấu * là các lớp Required Trong đó: SỬ DỤNG THUẬT TOÁN LUYỆN KIM SONG SONG GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN... được thoả mãn có tổng trọng số là lớn nhất II Khung thuật toán SA tuần tự giải quyết bài toán MAXSAT 1 Hàm void Solver_Seq::DoStep() SỬ DỤNG THUẬT TOÁN LUYỆN KIM SONG SONG GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN MAXSAT DoStep() { //Tăng bước lặp hiện tại lên 1; current_iteration current_iteration(current_iteration()+1) tentative = current; Apply(tentative); //Áp dụng lời giải mới tentfit tentative.fitness(); //Tính giá... đọc bài toán MAXSAT Đầu vào của bài toán là n biến và m mệnh đề được thể hiện trong một file là Sat.dat với định dạng: // số lượng biến, số lượng mệnh đề, chiều dài mỗi mệnh đề SỬ DỤNG THUẬT TOÁN LUYỆN KIM SONG SONG GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN MAXSAT // mệnh đề 1 (kết thúc là 0), nếu vị từ < 0 thì vị từ là phủ định ……… // mệnh đề N (kết thúc là 0), nếu vị từ < 0 thì vị từ là phủ định Ví dụ cụ thể : Bài toán. .. tục riêng trong thuật toán SA của từng bài toán cụ thể (ví dụ như các thủ tục tính nhiệt độ, thủ tục tính hàm sức khoẻ, thủ tục sinh lời giải ) • Các lớp đòi hỏi được sử dụng để lưu trữ dữ liệu cơ bản của thuật toán : bài toán, trạng thái không gian tìm kiếm và vào/ra Bao gồm các lớp: o Problem: Mô tả bài toán cần được giải quyết Nhận các thông số của bài • toán từ file định nghĩa bài toán o Solution:... tham số); ……………… SỬ DỤNG THUẬT TOÁN LUYỆN KIM SONG SONG GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN MAXSAT // Partial execution virtual void StartUp (); virtual void StartUp (có tham số); ………………… virtual void DoStep (); void reset(); }; o Statistic: được áp dụng cho bất kỳ khung nào trong MALLBA và bao gồm thông tin cần để bảo đảm toán tử thích hợp của thuật toán o Stop_Condition: Điều kiện dừng của bài toán o …… 2 Lớp đòi... Solution::initialize() { for (int i=0;i> (istream& is, Solution& sol) { for (int i=0;i> sol._var[i]; return is; } Sử dụng NetStream tính toán song song NetStream& operator >> (NetStream& ns, Solution&... các giá trị mới Các hàm của Slover tính toán các giá trị như: thời gian, các bước lặp, nhiệt độ hiện tại, lời giải hiện tại… double Solver::UpdateT(double temp, int K) Cập nhật nhiệt độ với tham số K double Thiết đặt nhiệt độ ban đầu SỬ DỤNG THUẬT TOÁN LUYỆN KIM SONG SONG GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN MAXSAT Solver::Set_Initial_Temperature(c onst Problem& pbm) cho bài toán 3.2 SA.req.cpp Một số hàm chính Ý nghĩa . SỬ DỤNG THUẬT TOÁN LUYỆN KIM SONG SONG GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN MAXSAT BÁO CÁO KHOA HỌC ĐỂ TÀI: THUẬT TOÁN LUYỆN KIM SONG SONG (Parallel Simulated Annealing. SỬ DỤNG THUẬT TỐN LUYỆN KIM SONG SONG GIẢI QUYẾT BÀI TỐN MAXSAT III. Khung thuật tốn SA song song giải quyết bài tốn MAXSAT 1. Lựa chọn mơ hình Có