Chương 2: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT XÁC SUẤT I Khái niệm kiện Phép thử : Có thể thí nghiệm quan sát tượng Sự kiện kết phép thử Ví dụ : Phép thử tung súc sắc Các kiện A1={Xuất mặt nút } = A2={Xuất mặt nút } = …………… A6={Xuất mặt nút } = A ={Xuất mặt chẵn nút } = { 2, 4, } B ={Xuất mặt lẻ nút } = { 1, 3, 5} Sự kiện chắn : định xảy thực phép thử Ký hiệu : Ω Trong thí dụ Ω = {1,2, …, 6} Sự kiện : định không xảy thực phép thử Ký hiệu :∅ Trong thí dụ ∅ tập rỗng 3 Quan hệ kiện : 1) A+B - Tổng A B kiện xảy có chúng xảy 2) AB - Tích A B kiện xảy A B xảy 3) A B gọi xung khắc A B xảy Như : A B gọi xung khắc AB= ∅ 4) A - Đối lập A kiện xảy A không xảy Tính chất : a) A+ A = Ω b) A A =∅ 5) A ⊂ B gọi A thuận lợi cho B A xảy B xảy 6) A = B A ⊂ B B ⊂ A 7) Các kiện A1, …, An gọi nhóm đầy đủ a) Chúng xung khắc đôi : Ai Aj = ∅, i ≠ j b) Nhất định chúng xảy : A +A + +A n =Ω II Khái niệm xác suất Xác suất kiện A dùng để khả xảy A phép thử, ký hiệu P(A) Xác suất thỏa tiên đề Kolmogorov sau : T1 : P(A) ≥ T2 : P(Ω) = T3 : P(A+B) = P(A) + P(B) A B xung khắc ⎛∞ ⎞ ∞ T4 : P ⎜ ∪ Ai ⎟ = ∑ P( Ai ) (i =1, 2, …) xung ⎝ i =1 ⎠ i =1 khắc đôi 1 Không gian kiện sơ cấp : • Tập hợp tất khả xảy phép thử gọi không gian kiện sơ cấp (KGSKSC), ký hiệu Ω Phần tử Ω gọi kiện sơ cấp (SKSC) • Các kiện sơ cấp (SKSC) có đặc điểm: ƒ Xung khắc đôi ƒ Nhất định chúng phải xảy ƒ Không thể tổng kiện khác • Sự kiện tập Ω ƒ Các SKSC A gọi SKSC thuận lợi cho A ƒ A gọi xảy có SKSC A xảy ƒ [A] – số SKSC A KGSKSC có hữu hạn, vô hạn đếm vô hạn không đếm SKSC 2 Định nghĩa xác suất cổ điển : Xét KGSKSC Ω = { ω1 , …, ωn } : - Có hữu hạn phần tử - Các SKSC đồng khả : P(ω1) = … = P(ωn) = 1/n Định nghĩa : A] [ P ( A) = [Ω ] Ví dụ : Hộp có bi đỏ, trắng Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại bi Tính xác suất a) Được bi đỏ b) Được bi đỏ c) Được bi đỏ Giải : [ Ω ] = C 130 C a) A = { bi đỏ }, P ( A) = 36 C10 b) c) B = { bi đỏ }, C62C41 P( B) = C10 C = { bi đỏ }, C61C42 + C62C41 + C63 P(C) = C103 Cách khác, ta có C = { Không có bi đỏ nào} = { bi trắng} C 43 P (C ) = − C10 Định nghĩa xác suất theo hình học : Xét KGSKSC Ω : - Có vô hạn phần tử - Các SKSC đồng khả Giả sử Ω kiện A biểu diễn miền hình học Ký hiệu mes(A) mes(Ω) kích thước chúng Định nghĩa : mes ( A) P ( A) = mes (Ω ) Chúng ta thấy phụ thuộc mes(A) mà không phụ thuộc vào hình dáng, vị trí miền A miền Ω Ví dụ : Bẻ gỗ thành hai đoạn điểm ngẫu nhiên gỗ Tính xác suất để đoạn nhỏ có chiều dài không quámột phần ba chiều dài gỗ (A) Giải : Ký hiệu a chiều dài gỗ x chiều dài từ điểm gẫy đến đầu cố định gỗ Sự kiện A xảy Vậy (a / 3) + (a / 3) P ( A) = = 2/3 a Tính chất xác suất : a) ≤ P ( A) ≤ b ) P (∅ ) = c) P ( A) = − P( A) d ) P( A) ≤ P( B) A ⊂ B [...]... nhiên không hoàn lại 3 bi Tính xác suất a) Được 3 bi đỏ b) Được 2 bi đỏ c) Được ít nhất 1 bi đỏ Giải : [ Ω ] = C 130 3 C a) A = { được 3 bi đỏ }, P ( A) = 36 C10 b) c) B = { được 2 bi đỏ }, C62C41 P( B) = 3 C10 C = { được ít nhất 1 bi đỏ }, C61C 42 + C62C41 + C63 P(C) = C103 Cách khác, ta có C = { Không có bi đỏ nào} = { được 3 bi trắng} C 43 P (C ) = 1 − 3 C10 3 Định nghĩa xác suất theo hình học : Xét KGSKSC... hạn phần tử - Các SKSC đồng khả năng Giả sử Ω và sự kiện A có thể biểu diễn bằng các miền hình học Ký hiệu mes(A) và mes(Ω) là kích thước của chúng Định nghĩa : mes ( A) P ( A) = mes (Ω ) Chúng ta có thể thấy rằng chỉ phụ thuộc và mes(A) mà không phụ thuộc vào hình dáng, vị trí của miền A trong miền Ω Ví dụ : Bẻ một thanh gỗ thành hai đoạn tại một điểm ngẫu nhiên trên thanh gỗ Tính xác suất để đoạn... nhỏ hơn có chiều dài không quámột phần ba chiều dài thanh gỗ (A) Giải : Ký hiệu a là chiều dài thanh gỗ và x là chiều dài từ điểm gẫy đến một đầu cố định của thanh gỗ Sự kiện A xảy ra khi và Vậy (a / 3) + (a / 3) P ( A) = = 2/ 3 a 4 Tính chất của xác suất : a) 0 ≤ P ( A) ≤ 1 b ) P (∅ ) = 0 c) P ( A) = 1 − P( A) d ) P( A) ≤ P( B) nếu A ⊂ B ... 6) A = B A ⊂ B B ⊂ A 7) Các kiện A1, …, An gọi nhóm đầy đủ a) Chúng xung khắc đôi : Ai Aj = ∅, i ≠ j b) Nhất định chúng xảy : A +A + +A n =Ω II Khái niệm xác suất Xác suất kiện A dùng để khả... bi Tính xác suất a) Được bi đỏ b) Được bi đỏ c) Được bi đỏ Giải : [ Ω ] = C 130 C a) A = { bi đỏ }, P ( A) = 36 C10 b) c) B = { bi đỏ }, C62C41 P( B) = C10 C = { bi đỏ }, C61C 42 + C62C41 + C63... phép thử, ký hiệu P(A) Xác suất thỏa tiên đề Kolmogorov sau : T1 : P(A) ≥ T2 : P(Ω) = T3 : P(A+B) = P(A) + P(B) A B xung khắc ⎛∞ ⎞ ∞ T4 : P ⎜ ∪ Ai ⎟ = ∑ P( Ai ) (i =1, 2, …) xung ⎝ i =1 ⎠ i =1