Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS Lê Anh Vũ CHƯƠNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT Nội dung ‰ Phép thử biến cố, loại biến cố quan hệ biến cố ‰ Xác suất (quan điểm cổ điển, thống kê, hình học ) ‰ Các cơng thức tính xác suất: • Cơng thức cộng xác suất • Xác suất có điều kiện cơng thức nhân xác suất • Cơng thức xác suất đầy đủ cơng thức Bayes • Cơng thức Bernoulli PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ – CÁC LOẠI BIẾN CỐ 1.1 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ 1.1.1 HAI VÍ DỤ KINH ĐIỂN Ví dụ 1.1 Tung đồng xu hai mặt (sấp, ngửa) cân đối, đồng chất mặt phẳng nằm ngang – phép thử Vài kết cục khơng thể xảy ra: • Mặt sấp xuất • Mặt ngửa xuất • Hoặc mặt sấp, mặt ngửa xuất • Khơng mặt xuất Chúng gọi biến cố sinh phép thử xét Ví dụ 1.2 Gieo xúc xắc sáu mặt cân đối đồng chất mặt phẳng nằm ngang – phép thử Sinh phép thử kể vài biến cố • Mặt k chấm xuất (k = 1, 2, … , 6) • Mặt có số chấm lẻ xuất • Mặt có số chấm chẵn xuất • Mặt có số chấm khơng q k xuất ( k = 1, 2, … , 6) • Mặt có số chấm lớn xuất • Mặt có số chấm nhỏ xuất Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.1 Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS Lê Anh Vũ 1.1.2 MÔ TẢ PHÉP THỬ VÀ BIẾN COÁ ‰ ‰ Phép thử hành động, thí nghiệm khoa học xác suất nhằm nhiên cứu tượng ngẫu nhiên Phép thử thực nhóm điều kiện hồn toàn xác định Ta thường đồng phép thử với nhóm điều kiện xác định Mỗi thực xong phép thử, dẫn đến kiện (hay kết cục) định Biến cố kiện liên quan đến phép thử xẩy ra, khơng xẩy sau phép thử kết thúc Các biến cố đặc trưng cho phép thử 1.2 CÁC LOẠI BIẾN CỐ 1.2.1 BIẾN CỐ CHẮC CHẮN Biến cố chắn biến cố định phải xẩy sau thực xong phép thử Ta thường ký hiệu biến cố chắn U 1.2.2 BIẾN CỐ KHÔNG THỂ CÓ Biến cố khơng thể có biến cố khơng thể xảy phép thử thực Biến cố có ký hiệu ∅ 1.2.3 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN Biến cố ngẫu nhiên (BCNN) biến cố xảy ra, khơng xẩy thực xong phép thử; Trước phép thử thực hiện, ta dự đốn khơng thể khẳng định chắn xẩy hay khơng xẩy biến cố Biến cố ngẫu nhiên ký hiệu mẫu tự in hoa A, B, C… Ví dụ 1.3 • Bóc ngẫu nhiên tờ lịch năm – phép thử Biến cố “bóc tờ lịch ngày 30 tháng 2” biến cố khơng thể có Biến cố “bóc tờ lịch ghi ngày 14 tháng 2” biến cố ngẫu nhiên Biến cố “bóc tờ lịch ghi tháng 1, 2, 3, … , 12” biến cố chắn • Một người mua tờ vé số - phép thử Các biến cố vé số trúng độc đắc, trúng giải nhất, trúng giải nhì, trúng giải ba, trúng giải khuyến khích, khơng trúng giải biến cố ngẫu nhiên Biến cố vé số trúng giải, không trúng giải biến cố chắn Biến cố vé số vừa trúng giải vừa khơng trúng giải biến cố khơng thể có Ví dụ 1.4 Bây xét lại hai ví dụ kinh điển tung đồng xu gieo xúc xắc Hãy kể biến cố chắn, khơng thể có BCNN PHÉP TOÁN VÀ QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ 2.1 TỔNG CỦA CÁC BIẾN CỐ • Tổng hai biến cố A B, ký hiệu A + B ( hay A∪B), biến cố mà xảy hai biến cố A, B xảy sau phép thử thực Như Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.2 Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS Lê Anh Vũ (A+B xẩy ra) ⇔ ( Hoặc A xẩy ra, B xẩy ra) • n Tổng n biến cố A1, A2… An, ký hiệu ∑A = i =1 i A1 + A2 + … + An (hay n ∪ A ), i biến cố mà xảy có biến cố Ai i =1 ( i∈{1, 2, … , n}) xảy sau phép thử thực Như n ( ∑ Ai xẩy ra) ⇔ ( Hoặc A1 xẩy ra, A2 xẩy ra, …, An xẩy ra) i =1 2.2 TÍCH CỦA CÁC BIẾN CỐ • Tích hai biến cố A B, ký hiệu AB ( hay A∩B), biến cố mà xảy A B xảy sau phép thử thực Như (AB xẩy ra) ⇔ (A xảy B xẩy ra) • Tích n biến cố A1, A2, … , An, ký hiệu n ∏ Ai = A1A2 … An (hay i =n n ∩ A ), i i =1 biến cố mà xảy tất biến cố Ai xảy sau phép thử thực n ( ∏ Ai xẩy ra) ⇔ (A1 xẩy ra, A2 xẩy ra, … An xảy ra) i =n 2.3 BIẾN CỐ XUNG KHẮC VÀ BIẾN CỐ ĐỐI LẬP • Hai biến cố A B gọi xung khắc với chúng xảy phép thử thực Tức A.B = ∅ • Hai biến cố đối lập với chúng xung khắc sau phép thử thiết phải xẩy biến cố biến cố Biến cố đối lập A ký hiệu A Như vậy, sau thực phép thử, định có hai biến cố A A xảy Tức ⎧⎪ A + A = U ; ⎨ ⎪⎩ AA = ∅ Nói riêng, hai biến cố đối lập xung khắc Ngược lại nói chung sai Ví dụ 1.5 Một sinh viên thi hai mơn Tốn cao cấp Kinh tế lượng Gọi T biến cố sinh viên đậu mơn Tốn cao cấp, K biến cố sinh viên đậu mơn Kinh tế lượng Hãy biểu diễn biến cố sau qua T, K: a) Sinh viên đậu mơn b) Sinh viên đậu hai mơn c) Sinh viên bị trượt mơn Tốn cao cấp d) Sinh viên bị trượt hai mơn e) Sinh viên đậu mơn Kinh tế lượng Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.3 Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS Lê Anh Vũ f) Sinh viên đậu mơn g) Sinh viên đậu khơng q mơn Giải Gọi biến cố câu a, b, c, d, e, f, g A, B, C, D, E, F, G Ta có a) A = T + K (= T K + T K + TK) ; b) B = TK ; c) T (= T K + T K ); d) D = T K ; e) T K ; f) T K + T K ; g) G = T K + T K + T K ( = D + F = B ) 2.4 BIẾN CỐ SƠ CẤP - KHÔNG GIAN NHÓM ĐẦY ĐỦ CÁC BIẾN CỐ CÁC BIẾN CỐ SƠ CẤP – Biến cố sơ cấp biến cố phân tích qua biến cố khác ∅ khác Tập hợp tất biến cố sơ cấp phép thử gọi không gian biến cố sơ cấp Không gian mẫu biến cố sơ cấp thường ký hiệu Ω Cũng có dùng ký hiệu U biến cố chắn để ký hiệu Tập hợp n biến cố (n ≥ 2) A1, A2,…,An gọi nhóm (hay hệ) đầy đủ biến cố sau thực phép thử, có biến cố xẩy Tức ⎧ Ai A j = φ , ≤ i ≠ j ≤ n; ⎨ ⎩ A1 + A2 + + An = U • • { } Nói riêng, A, A nhóm đầy đủ gồm hai biến cố Ngược lại , nhóm đầy đủ hai biến cố phải gồm hai biến cố đối lập Ví dụ 1.6 Xét lại ví dụ gieo xúc xắc Đặt • Ai biến cố mặt i chấm xuất hiện, i = 1,6 • C biến cố mặt chẵn chấm xuất • L biến cố mặt lẻ chấm xuất Khi A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 tất biến cố sơ cấp Không gian biến cố sơ cấp Ω = {A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 } ⎧C = A2 + A4 + A6 ; Các biến cố C, L khơng biến cố sơ cấp vì: ⎨ ⎩ L = A1 + A3 + A5 2.5 BIẾN CỐ ĐỘC LẬP • Hai biến cố A B gọi độc lập với nhau, xẩy hay không xẩy biến cố chúng không ảnh hưởng đến khả xảy biến cố cịn lại Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.4 Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất • PGS-TS Lê Anh Vũ Hệ n biến cố (n ≥ 3) A1, A2…, An gọi độc lập toàn phần A2 độc lập với A1, A3 độc lập với A1A2, … , An độc lập với A1A2…An-1 Ví dụ 1.7 Hai sinh viên Lan Tuấn thi môn Kinh tế lượng Gọi L, T biến cố Lan, Tuấn đậu Rõ ràng L T độc lập với Chú ý Hai biến cố đối lập khơng thể độc lập xẩy biến cố phủ định xẩy biến cố 2.6 VÀI TÍNH CHẤT CỦA CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC BIẾN CỐ 1) Tính giao hốn: A + B = B + A A.B = B A 2) Tính kết hợp: A + (B + C ) = ( A + B ) + C A.(B.C ) = ( A.B ).C 3) Tính phân phối: A.(B + C ) = A.B + A.C A + (B.C ) = ( A + B )( A + C) 4) A + A = A ; A A = A ; (A ) = A 5) Luật DeMorgan: • A1 + A2 + • A1 A2 An = A1 + A2 + + An + An = A1 A2 An ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT 3.1 NHẬN XÉT – Ý NGHĨA CỦA XÁC SUẤT ‰ ‰ ‰ ‰ Các biến cố ngẫu nhiên có đặc điểm chung xẩy ra, khơng xẩy sau thực phép thử Khi phép thử chưa thực xong ta biết chắn biến cố ngẫu nhiên mà ta quan tâm có xẩy hay không Tuy nhiên dường ta trực cảm biến cố dễ xẩy hơn, cịn biến cố khó xẩy Nói cách khác, khả (dễ hay khó) xẩy biến cố ngẫu nhiên nói chung khác Ta muốn lượng hóa, tức tìm cách đo khả xẩy biến cố số Con số gọi xác suất biến cố xét Nói rõ hơn, xác suất biến cố A số, ký hiêu P(A), dùng để đo khả (dễ hay khó) xẩy biến cố A Xác suất P(A) nhỏ biến cố A khó xẩy ra, xác suất P(A) lớn biến cố A dễ xảy Chú ý rằng, khoa học xác suất, ta chủ yếu quan tâm đến xẩy hay không xẩy biến cố dường không quan tâm đến chất thực tế biến cố Bởi thế, hai biến cố A, B khác có xác suất nhau, tức chúng có khả xẩy mặt đó, xem chúng tương đương với Vấn đề đặt là, với biến cố A cho, làm để xác định P(A)? Dưới ta giới thiệu vài cách xác định P(A) Chú ý dù xác định xác suất phải thỏa mãn tính chất hiển nhiên sau Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.5 Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS Lê Anh Vũ • P(∅) = 0% = 0; P(U) = 100% = 1; • 0% = ≤ P(A) ≤ = 100%, với biến cố ngẫu nhiên A 3.2 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT THEO QUAN ĐIỂM CỔ ĐIỂN Giả sử sau thực phép thử ta có tất n trường hợp đồng khả năng, có mA trường hợp thuận lợi cho biến cố A xẩy Khi xác suất P(A) A định nghĩa tỷ số số trường hợp thuận lợi số tất trường hợp Tức P( A) = mA n Nhận xét • Định nghĩa cổ điển xác suất đơn giản, dễ hiểu, dễ tính tốn • Tuy nhiên định nghĩa áp dụng số tất trường hợp đồng khả sau phép thử số hữu hạn Ví dụ 1.8 Tung xúc xắc sáu mặt, cân đối, đồng chất mặt phẳng nằm ngang Tính khả (xác suất) để a) Mặt chấm xuất ; b) Mặt có số chấm chẵn xuất Giải Vì xúc xắc có sáu mặt (cân đối, đồng chất ) với số chấm từ đến nên sau gieo (tức thục xong phép thử), có trường hợp đồng khả Ta đặt tên biến cố sau : Ai biến cố mặt i chấm xuất hiện; i = 1,6 ; C biến cố mặt có số chấm chẵn xuất Theo yêu cầu đề bài, ta cần tính P(A6) P(C) Dễ thấy số trường hợp thuận lợi cho A6 C xẩy m6 = mC = Do a) P( A6 ) = ; b) P (C ) = = ( = 0, = 50%) 6 Nhận xét • Để dễ trực cảm khả xẩy biến cố, xác suất biến cố thường để dạng phần trăm • P( Ai ) = ; i = 1, 2, , ; P(L) = 50% ( L biến cố mặt có số chấm lẻ xuất hiện) 3.3 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT THEO QUAN ĐIỂM THỐNG KÊ Giả sử ta thực phép thử τ nhiều lần (trong điều kiện hoàn toàn giống nhau) quan sát để đếm số lần xẩy biến cố A ‰ Nếu n lần thực phép thử τ có m lần xuất biến cố A, tỷ số m f n ( A) = gọi tần suất xuất A n lần thử, m gọi tần số n xuất biến cố A Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.6 Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất ‰ PGS-TS Lê Anh Vũ Khi số lần thử đủ lớn, tần suất fn(A) dao động xung quanh giá trị ổn định Giá trị gọi xác suất biến cố A Một cách xác, ta định nghĩa P (A) = lim f n ( A) n →+∞ Nhận xét • Định nghĩa thống kê xác suất đơn giản, dễ hiểu Định nghĩa theo cách khơng cần phải địi hỏi sau thực phép thử số tất trường hợp phải hữu hạn đồng khả định nghĩa cổ điển Tuy nhiên khó dùng cách để tính xác suất cách xác Hơn nữa, muốn tính xác suất nhờ định nghĩa thống kê cần phải tốn thời gian kinh phí • Người ta thường xun áp dụng định nghĩa xác định xác suất nhiều kiện, tượng thực tiễn Tuy nhiên, thay cho tính tốn xác, ta xấp xỉ P(A) với tần suất fn(A) A n (số lần lặp phép thử) đủ lớn Ví dụ 1.9 Khi tung nhiều lần đồng tiền cân đối, đồng chất mặt phẳng nằm ngang tần suất xuất mặt sấp dao động quanh giá trị 0,5 – Buffon: tung 4.040 lần, số lần sấp 2.048, tần suất 0,5080 – Pearson: tung 12.000 lần, số lần sấp 6.019, tần suất 0,5016 – Pearson: tung 24000 lần, số lần sấp 12.012, tần suất 0,5005 Như vậy, xác suất để xuất mặt sấp 0,5 = 50% 3.4 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT THEO QUAN ĐIỂM HÌNH HỌC Trong nhiều trường hợp, ta dùng hình học để xác định xác suất Ta giới thiệu định nghĩa thơng qua ví dụ cụ thể Ví dụ 1.10 (Bài tốn hai người gặp nhau) Hai người hẹn gặp địa điểm xác định vào khoảng từ 20h đến 21h Mỗi người đến (và chắn đến) địa điểm hẹn khoảng thời gian cách độc lập, chờ 20 phút, khơng gặp người bỏ Tính khả ( xác suất ) để hai người gặp Giải Gọi G biến cố hai người gặp nhau; X, Y thời điểm đến người Rõ ràng X, Y điểm ngẫu nhiên đoạn [20; 21] Để G xẩy ra, tức hai người gặp nhau, ta phải có X − Y ≤ 20 (phút) = (giờ) Xem cặp (X, Y) điểm mặt phẳng tọa độ Khi ta hai miền phẳng (D) = { (X, Y) / 20 ≤ X ≤ 21; 20 ≤ Y ≤ 21}: biểu diễn tất trường hợp; (G) = { (X, Y) ∈(D) / X − Y ≤ }: biểu diễn trường hợp thuận lợi cho biến cố G xẩy Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.7 Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS Lê Anh Vũ Rõ ràng miền (G) to so với (D) khả gặp hai người lớn Do hợp lý ta định nghĩa P(G) tỷ số diện tích hai miền (G) (D), tức S (G ) = = P(G) = S ( D) CÔNG THỨC CỘNG XÁC SUẤT 4.1 • TRƯỜNG HP CÁC BIẾN CỐ XUNG KHAÉC Cho hai biến cố A, B hai biến cố xung khắc Ta có cơng thức cộng xác suất sau P( A + B) = P( A) + P ( B) • 4.2 Cho n biến cố A1, A2,…,An xung khắc đơi, ta có cơng thức cộng xác suất sau P( A1 + A2 + An ) = P( A1 ) + P( A2 ) + + P( An ) TRƯỜNG HP CÁC BIẾN CỐ BẤT KỲ Với A, B, C biến cố (khơng thiết xung khắc) Ta có công thức cộng xác suất tổng quát sau P( A + B) = P( A) + P( B) − P( A.B) ; P ( A + B + C ) = P( A) + P ( B) + P(C ) − P( AB) − P( BC ) − P(CA) + P( ABC ) 4.3 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ ĐỐI LẬP Cho biến cố A phép thử τ, A có biến cố đối lập A Ta có cơng thức P ( A) = − P( A) Ví dụ 1.11 Theo thống kê Bộ nơng nghiệp Hoa kỳ, diện tích tồn nông trại nước cho bảng sau Diện tích (ha) Tần suất Biến cố Dưới 10 0,087 A 10-49 0,192 B 50-99 0,156 C 100-179 0,173 D 180-259 0,098 E 260-499 0,143 F 500-999 0,085 G 1.000-1999 0,040 H Từ 2.000 0,026 I Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.8 Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS Lê Anh Vũ trở lên Chọn ngẫu nhiên nơng trại Sử dụng bảng thống kê trên, tính xác suất để nơng trại chọn có diện tích: a) Từ 100 đến 499 b) Nhỏ 2.000 c) Không 50 Giải Gọi J, K, L biến cố nông trại chọn thỏa mãn yêu cầu câu a, b, c Ta cần tính xác suất P(J), P(K), P(L) Từ bảng cho ta thấy: J = D + E + F; K = I ; L = A + B Vì biến cố cho bảng đơi xung khắc nên ta có: a) P(J) = P( D + E + F) = P(D) + P(E) + P(F) = 0, 414 = 41, 4% b) P(K) = P( I ) = – P(I) = – 0,026 = 0,974 = 97,4% c) P(L) = P( A + B ) = – P(A+B) = – P(A) – P(B) = – 0,087 – 0,192 = 0, 721 = 72,1% Kết luận: P(J) = 41,1%; P(K) = 97,4%; P(L) = 72,1% Ví dụ 1.12 Tại câu lạc âm nhạc, thăm dò 100 người thấy có 80 người thích nhạc Văn Cao; 70 người thích nhạc Trịnh Cơng Sơn; 60 người thích nhạc hai nhạc sỹ Chọn ngẫu nhiên người số họ Tính xác suất để người thích nhạc hai nhạc sỹ Giải Đặt C biến cố người chọn thích nhạc Văn Cao S biến cố người chọn thích nhạc Trịnh Cơng Sơn T biến cố người chọn thích nhạc hai nhạc sỹ Do C, S không xung khắc nên áp dụng công thức xác suất cộng P (T) = P (C + S) = P (C) + P (S) – P (CS) = 0,8 + 0,7 – 0,6 = 0,9 = 90% Kết luận: Xác suất để người chọn thích nhạc hai nhạc sỹ 90% XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT 5.1 CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT KHI CÁC BIẾN CỐ ĐỘC LẬP • Với A, B hai biến cố độc lập, ta có cơng thức nhân xác suất sau P( A.B) = P( A).P( B) • Cho n biến cố A1, A2…, An độc lập tồn phần Cơng thức nhân xác suất chúng sau P(A A A n ) = P(A ) P(A ) … P (A n ) Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.9 Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS Lê Anh Vũ Ví dụ 1.13 Tung xúc xắc lần Tính xác suất mặt chấm xuất lần Giải Gọi Ai biến cố xuất mặt chấm lần tung thứ i, i= 1,2,3 Gọi A biến cố mặt chấm xuất lần Ta cần tính P(A) Rõ ràng A = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 Do ( ) = P( A A A ) + P( A A A ) + P( A A A ) + P( A A A ) P ( A ) = P A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 3 3 Vì biến cố xuất mặt chấm lần tung độc lập với nên ta có 1 5 P ( A1 A2 A3 ) = P( A1 A2 A3 ) = P( A1 A2 A3 ) = P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) = × × = ; 6 216 1 1 P ( A1 A2 A3 ) = P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) = × × = 6 216 Kết luận: P ( A ) = 27 5.2 XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ CÔNG KHI CÁC BIẾN CỐ KHÔNG ĐỘC LẬP THỨC NHÂN XÁC SUAÁT Cho A, B hai biến cố tùy ý Giả sử B xẩy Khi xác suất biến cố A (được tính điều kiện biết biến cố B xảy ra) gọi xác suất (có điều kiện) A điều kiện B (đã xảy ra), ký hiệu P(A/B) Công thức xác suất có điều kiện sau P( A.B) P( B A) ; P ( B A) = P( A B) = P( B) P( A) Do P ( A.B) = P( A B) P( B) ; P ( A B ) = P( B A) P( A) P( B) Rõ ràng A, B độc lập P( A B ) = P( A) P( B A) = P( B) Từ ta tổng qt cơng thức nhân cho n biến cố A1, A2, … ,An (không thiết độc lập) sau P ( A1A A n ) = P ( A1 ) P ( A / A1 ) P ( A / A1 A2 )… P ( An / A1 A2 An −1 ) Ví dụ 1.14 Một lơ hàng có 20 sản phẩm, có hai sản phẩm xấu Chọn lần sản phẩm phát đủ hai sản phẩm xấu dừng Tính xác suất để dừng lại lần chọn thứ a) Chọn khơng hồn lại b) Chọn có hồn lại Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.10 Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS Lê Anh Vũ Giải Đặt Xi biến cố chọn sản phẩm xấu lần chọn thứ i, i = 1,20 D biến cố dừng lại lần chọn thứ Ta cần tính P(D) Dễ thấy D = X X X + X X X (các biến cố xung khắc với nhau) Do P ( D ) = P ( X X X ) + P ( X X X ) a) Chọn khơng hồn lại Các biến cố X , X , X khơng độc lập Do ta có: ‰ P( X X X ) = P( X ) P( X / X ) P( X / X X ) = ‰ 18 = = 20 19 18 20.19 190 P( X X X ) = P( X ) P( X / X ) P( X / X X ) 18 2 = = 20 19 18 20.19 190 Kết luận: P( D) = = ≈ 1, 05% 190 95 b) Chọn có hồn lại Các biến cố X , X , X độc lập với Do ta có: = ‰ P( X X X ) = P( X ) P( X ) P( X ) = ‰ 18 × × = 0,9% 20 20 20 P( X X X ) = P( X ) P( X ) P( X ) = Kết luận: 18 2 = 0,9% 20 20 20 P ( D) = 2.0, 009 = 1,8% COÂNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ VÀ CÔNG THỨC BAYES 6.1 CÔNG THỨC XÁÙC SUẤT ĐẦY ĐỦ Giả sử A1, A2…, An nhóm đầy đủ biến cố B biến cố Khi ta có cơng thức xác suất đầy đủ sau n P ( B ) = ∑ P ( Ai ) P( B / Ai ) = P ( A1 ) P ( B / A1 ) + P ( A2 ) P ( B / A2 ) + i =1 + P ( An ) P ( B / An ) 6.2 CÔNG THỨC BAYES Giả thiết hồn tồn giả thiết công thức xác suất đầy đủ Ta có cơng thức Bayes sau P( A ) P( B / Ak ) P( Ak ) P( B / Ak ) = P ( Ak / B) = n k P( B) ∑ P( Ai ) P( B / Ai ) i =1 Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.11 Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS Lê Anh Vũ Ví dụ 1.15 Một nhà máy sản xuất bóng đèn có ba phân xưởng Phân xưởng I sản xuất 25%, phân xưởng II sản xuất 35%, phân xưởng III sản xuất 40% số bóng đèn Tỉ lệ sản phẩm hỏng phân xưởng tổng số sản phẩm phân xưởng sản xuất 3%, 2%, 1% Một người mua bóng đèn nhà máy sản xuất Tính xác suất để a) Sản phẩm tốt b) Biết sản phẩm hỏng Tính xác suất để phân xưởng III sản xuất Giải Đặt A biến cố sản phẩm phân xưởng I sản xuất B biến cố sản phẩm phân xưởng II sản xuất C biến cố sản phẩm phân xưởng III sản xuất T biến cố sản phẩm tốt Khi dó A, B, C nhóm đầy đủ, T biến cố sản phẩm hỏng a) Ta cần tính P(T) Theo cơng thức xác suất đầy đủ, ta có P (T ) = P (T A) P( A) + P(T B ) P( B ) + P(T C ) P(C ) = 0,97 × 0.25 + 0,98 × 0,35 + 0,99 × 0, = 0,9815 = 98,15% b) Ta cần tính P(C/ T ) Áp dụng cơng thức xác Bayes, ta có P (C / T ) = P (C ) P(T / C ) P(C ) P(T / C ) 0, × 0, 01 ≈ 21,62% = − P(T ) − 0,9815 P (T ) Ví dụ 1.16 Một hộp có 15 bóng bàn, có bóng (chưa sử dụng) bóng cũ (đã sử dụng) Lần đầu chọn để sử dụng, sau bỏ vào lại Lần hai chọn a) Tính xác suất bóng chọn lần hai bóng b) Biết lần hai chọn bóng Tính xác suất lần đầu chọn bóng Giải Gọi Mi biến cố lần đầu chọn i bóng mới, i = 0,3 Khi Mo, M1, M2, M3 nhóm đầy đủ biến cố Đặt B biến cố lần hai chọn bóng a) Áp dụng cơng thức xác suất đầy đủ, ta có P(B) = P(Mo)P(B/Mo) + P(M1)P(B/M1) + P(M2)P(B/M2) + P(M3)P(B/M3) Ta có: P(M o ) = P( B / M o 2 C6 ; P(M ) = C9 C6 ; P(M ) = C9 C6 ; P(M ) = C9 ; 3 3 C15 C15 C15 C15 )= C C P( B / M ) = C C ; 15 ; P( B / M 15 )= C C ; P( B / M 15 )= C C 15 Do P ( B) = (C ) (C C 3 3 3 ) + C 9C 6.C + C 9C 6.C + C 9.C = 528 ≈ 8, 93% 5915 15 Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.12 Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS Lê Anh Vũ b) Áp dụng cơng thức Bayes, ta có C73 C92C61 P( M ) P( B / M ) C153 C153 P( M / B) = = = ≈ 40,91% 528 P( B) 22 5915 CÔNG THỨC BEC-NU-LI (BERNOULLI) 7.1 DÃY PHÉP THỬ BERNOULLI Một dãy n phép thử (0 < n ∈ ) gọi dãy phép thử Bernoulli, chúng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau đây: • Tất phép thử độc lập với • Trong phép thử biến cố A mà ta quan tâm có xác suất P(A) = p khơng đổi 7.2 CÔNG THỨC BERNOULLI Kí hiệu • • q = – p = P( A ) Pn(k; p) xác suất để biến cố A xuất k lần n phép thử Bernoulli (cịn gọi xác suất để có k lần thành cơng n lần thử) • Pn(k1, k2; p) xác suất để A xuất k1 lần , nhiều k2 lần n phép thử Bernoulli (còn gọi xác suất để n lần thử số lần thành cơng k1, nhiều k2) Ta có cơng thức Bernoulli sau Pn ( k , p ) = C nk p k q n − k ; ≤ k ≤ n Pn (k1 , k2 ; p) = k2 k2 k = k1 k = k1 ∑ Pn (k ; p) = ∑ Cnk p k q n−k ; ≤ k1 < k2 ≤ n 7.3 SỐ CÓ KHẢ NĂNG NHẤT Số k0 cho Pn(k0; p) lớn ( tất Pn(k;p) ) gọi số có khả Ta có • Nếu np – q ngun k0 có hai giá trị np – q np – q +1 • Nếu np – q khơng ngun k0 = k0 = [np – q] + Ví dụ 1.17 Xác suất bắn trúng mục tiêu xạ thủ lần bắn 0,6 Biết xác suất mục tiêu bị diệt trúng 1, 2, phát đạn 0,2 ; 0,5 ; 0,8 Cịn trúng phát đạn chắn bị diệt.Tìm xác suất mục tiêu bị diệt xạ thủ bắn phát đạn Giải Gọi D biến cố cần tìm xác suất Theo đề bài, D phụ thuộc vào việc mục tiêu bị trúng phát đạn Ta gọi biến cố mục tiêu trúng k phát đạn Tk Khi ta có nhóm đầy đủ T0, T1, T2, T3, T4 Theo công thức xác suất đầy đủ, P(D) tính cơng thức : Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.13 Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS Lê Anh Vũ P(D) = ∑ P(T K =0 K )P(D/TK ) Từ đề suy P(D/T1) = 0,2 ; P(D/T2) = 0,5 ; P(D/T3) = 0,8 ; P(D/T4) = 1, hiển nhiên P(D/T0) = _ Ta cần tính P(Tk), k = 0,4 Xạ thủ bắn phát đạn cách độc lập xác suất bắn trúng mục tiêu lần khơng thay đổi Do ta có dãy phép thử Bernoulli với p = 0,6, q = 0,4 Áp dụng công thức Bernoulli ta P(T0) = P4(0 ; 0,6) = C 40 p q = 0,44 = 0,0256 ; P(T1) = P4(1 ; 0,6) = C 41 p q = 4.0,6.0,43 = 0,1536 ; P(T2) = P4(2 ; 0,6) = C 42 p q = 6.0,62.0,42 = 0,3456 ; P(T3) = P4(3 ; 0,6) = C 43 p q = 4.0,63.0,4 = 0,3456 ; P(T4) = P4(4 ; 0,6) = C 44 p q = 0,64 = 0,1296 ; Kết luận: xác suất mục tiêu bị diệt xạ thủ bắn phát đạn : P(D) = 0,0256.0 + 0,1536.0,2 + 0,3456.0,5 + 0,3456.0,8 + 0,1296.1 = 60,96% Ví dụ 1.18 Một bác sỹ có xác suất chữa khỏi bệnh 0,8 Có thể nói 10 người đến bác sỹ chữa bệnh chắn có người khỏi bệnh khơng ? Nếu khơng số người khỏi có khả ? Giải Câu khẳng định sai Ở coi việc chữa bệnh cho 10 người dãy 10 phepes thử Bernoulli với xác suất thành công lần thử p = 0,8 Do q = 0, Từ , xác suất để 10 người đến chữa có người khỏi bệnh P10 (8;0,8) = C108 0,88.0, 22 ≈ 31, 08% Ở đây, np – q = 10 0, – 0,2 khơng ngun nên số có khă k0 = [np – q] + = Kết luận: Khơng thể nói 10 người đến chữa chắn người khỏi bệnh Chỉ nói cứ10 người đến chữa bệnh nhiều khả người khỏi 7.4 HAI TRƯỜNG HP TÍNH GẦN ĐÚNG Cơng thức Bernoulli n k lớn tính tốn cồng kềnh phức tạp Bởi người ta tìm cách tính gần Cụ thể ta có hai trường hợp • Nếu n lớn, p nhỏ ( p < 0, 1) ta dùng xấp xỉ Poinsson ( n p ) k − np e k! Nếu n lớn, p không bé không lớn (0,1 < p < 0,9) ta dùng xấp xỉ Gauss Moivre – Laplace ϕ ( xk ) k − np với xk = ; Pn (k ; p ) ≈ npq npq Pn(k; p) ≈ • Pn (k1 , k2 ; p ) ≈ φ ( x2 ) − φ ( x1 ) với xi = ki − np npq ; i= 1, Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.14 Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS Lê Anh Vũ ϕ ( x) hàm Gauss (có thể tra từ bảng hàm Gauss), φ ( x) hàm Laplace (có thể tra giá trị từ bảng hàm Laplace) Ví dụ 1.19 Xác suất sản xuất phế phẩm máy 0,005 Tìm xác suất để 800 sản phẩm máy có phế phẩm Giải Đây tốn áp dụng cơng thức Bernoulli hành động lặp lại (chọn 800 sản phẩm) Rõ ràng n = 800 lớn, p = 0,005 bé nên ta dùng xấp xỉ Poinsson với np = 4, k = P800 (3;0, 005) ≈ 43 −4 e ≈ 0,1954 = 19, 54% 3! Ví dụ 1.20 Xác suất ném trúng rổ cầu thủ 0,8 T ìm xác suất để 100 lần ném cầu thủ có a) 75 lần trúng rổ; b) khơng 75 lần Giải Đây tốn áp dụng cơng thức Bernoulli hành động lặp lại (100 lần ném rổ) Rõ ràng n = 100 lớn, p = 0,8 không bé không lớn nên ta dùng xấp xỉ Gauss Moivre – Laplace với np = 80 75 − 100.0,8 ) ϕ( 100.0,8.(1 − 0,8) ϕ (−1, 25) P100 (75;0,8) ≈ = = 0, 04565 = 4, 565% 100.0,8.(1 − 0,8) P100 (75,100;0,8) ≈ φ (5) − φ (−1, 25) = φ (5) + φ (1, 25)) = 0,8943=89,43% LƯC ĐỒ GIẢI BÀI TOÁN XÁC SUẤT Để giải toán xác suất, ta cần tuân thủ lược đồ sau : • Bước Đọc đề nhanh chóng phát hành động (tức phép thử) tốn Căn vào kết cục xẩy sau hành động để đặt tên biến cố tóm tắt u cầu cần tính xác suất Nếu thấy hành động lặp lặp lại nhiều lần nên dùng cơng thức Bernoulli tính tốn Nếu hành động khơng lặp chuyển sang bước • Bước Xét quan hệ biến cố cần tính xác suất biến cố đơn giản để định cần dùng công thức công thức cộng , nhân xác suất đầy đủ hay Bayes Rõ ràng gặp biến cố tổng hay tích dùng cơng thức cộng, nhân xác suất Còn thấy hành động chia hai giai đoạn, kết cục giai đoạn sau phụ thuộc vào kết cục giai đoạn đầu nói chung dùng cơng thức xác suất đầy đủ Bayes • Bước3 Đọc kỹ số liệu cho giả thiết toán để ráp vào cơng thức dùng tính tốn đến đáp số Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.15 Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS Lê Anh Vũ BÀI TẬP CHƯƠNG Vùng [1] Bảng chấm cơng năm vừa qua công ty Cudahey Masonry thống kê thành bảng Số ngày vắng Số công nhân 14 10 16 18 10 Chọn ngẫn nhiên công nhân Tính xác suất cơng nhân nghỉ b) Nhiều ngày? c) Từ đến ngày? a) ngày? e) Ít ngày? d) ngày? [2] Theo số liệu thống kê Digest of Education Statistics mạng lưới hình thành giáo dục Mỹ cho bảng phân phối tần số theo vùng, loại trường sau Loại Trường công lập Trường tư Cộng Đông-Bắc 266 555 821 Trung-Tây 359 504 863 Nam 533 502 1035 Tây 313 242 555 Cộng 1471 1803 3274 Chọn ngẫu nhiên trường Tính xác suất trường chọn a) Trường công lập? b) Ở vùng Trung-Tây? c) Trường công lập vùng Trung-Tây? d) Trường công lập hay trường vùng Trung-Tây? e) Trường tư vùng Đông-Bắc? [3] Trong 100 người vấn có 40 người thích dùng nước hoa A; 28 người thích dùng nước hoa B; 10 người thích dùng loại nước hoa A, B Chọn ngẫu nhiên người số 100 người Tính xác suất người a) Thích dùng loại nước hoa trên? b) Khơng thích dùng loại nứơc hoa cả? [4] Một hộp chứa 10 sản phẩm tốt, sản phẩm xấu a) Chọn ngẫu nhiên sản phẩm Tính xác suất chọn sản phẩm xấu? b) Chọn ngẫu nhiên (khơng hồn lại) hai sản phẩm Tính xác suất sản phẩm chọn lần sau sản phẩm xấu? c) Chọn ngẫu nhiên (có hồn lại) hai sản phẩm Tính xác suất sản phẩm chọn lần sau sản phẩm xấu? [5] Một hộp phấn có 12 phấn trắng; phấn xanh; 10 phấn vàng Chọn ngẫu nhiên viên phấn Tính xác suất viên phấn màu trắng? Biết viên phấn khơng phải màu vàng Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.16 Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS Lê Anh Vũ [6] Chọn khơng hồn lại sản phẩm từ hộp chứa10 sản phẩm tốt, sản phẩm xấu Tính xác suất chọn sản phẩm tốt lần lần chọn sản phẩm xấu? [7] Chọn khơng hồn lại bi từ hộp chứa 10 bi trắng bi đỏ Hãy tính xác suất để chọn bi trắng lần thứ lần thứ hai, lần thứ ba chọn bi đỏ? [8] Có hai hộp bi, hộp I có bi trắng, bi đen; hộp II có bi đen, bi trắng Từ hộp chọn ngẫu nhiên bi, số bi lại hộp bỏ chung vào hộp III Sau từ hộp III chọn ngẫu nhiên bi Tính xác suất bi chọn từ hộp III bi trắng [9] Đội tuyển bóng bàn Thành phố có ba vận động viên A, B, C vận động viên thi đấu trận, với xác suất thắng trận là: 0,7; 0,8; 0,9 Tính a) Xác suất đội tuyển thắng trận? b) Xác suất đội tuyển thắng hai trận? c) Xác suất C thua? Biết đội tuyển thắng hai trận [10] Một phân xưởng có 60 cơng nhân, có 40 nữ 20 nam Tỷ lệ công nhân nữ tốt nghiệp phổ thơng trung học 15 %, cịn tỷ lệ với nam 20% a) Gặp ngẫu nhiên cơng nhân phân xưởng Tìm xác suất để gặp công nhân tốt nghiệp phổ thông trung học? b) Gặp ngẫu nhiên hai công nhân phân xưởng Tìm xác suất để gặp cơng nhân tốt nghiệp phổ thông trung học hai công nhân trên? [11] Có sinh viên làm thi Xác suất làm sinh viên A 0,8; sinh viên B 0,7 sinh viên C 0,6 a) Tìm xác suất để có hai sinh viên làm b) Nếu có hai sinh viên làm thi Tìm xác suất sinh viên A không làm thi? [12] Một sinh viên thi môn Xác suất để sinh viên đạt yêu cầu môn thứ 80% Nếu sinh viên đạt mơn thứ xác suất đạt u cầu mơn thứ hai 60%; cịn khơng đạt mơn thứ xác suất đạt u cầu mơn thứ hai 30% Tính xác suất a) Sinh viên đạt yêu cầu môn? b) Sinh viên đạt yêu cầu môn thứ hai? c) Sinh viên đạt u cầu mơn? d) Sinh viên không đạt yêu cầu hai môn? [13] Một lơ hàng có 40 sản phẩm loại A 10 sản phẩm loại B Lấy ngẫu nhiên 10 sản phẩm từ lơ hàng để kiểm tra thấy 10 sản phẩm lấy kiểm tra loại A Từ số sản phẩm cịn lại lơ hàng chọn ngẫu nhiên sản phẩm Tính xác suất có sản phẩm loại B? [14] Một phân xưởng có ba máy Xác suất để máy sản xuất sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật 0,9; 0,8; 0,7 máy sản suất sản phẩm Tính xác suất để ba máy sản suất 14 sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật [15] Hộp thứ có chai thuốc (trong có chai phẩm chất) Hộp thứ hai có chai thuốc (trong có chai phẩm chất) Lấy ngẫu nhiên từ hộp chai a) Tính xác suất lấy chai thuốc tốt? b) Tính xác suất lấy chai thuốc tốt chai thuốc phẩm chất? Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.14 Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS Lê Anh Vũ c) Nếu lấy chai thuốc tốt chai thuốc phẩm chất Tính xác suất để chai thuốc phẩm chất hộp thứ nhất? [16] Hộp thứ có sản phẩm loại I sản phẩm loại II Hộp thứ hai có sản phẩm loại I sản phẩm loại II Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ hộp thứ bỏ vào hộp thứ hai, từ hộp thứ hai lấy ngẫu nhiên sản phẩm sản phẩm loại I Tính xác suất để sản phẩm lấy từ hộp thứ hai sản phẩm từ hộp thứ bỏ vào [17] Có hai lơ sản phẩm Lơ thứ có tỷ lệ sản phẩm loại I 90% Lơ thứ hai có tỷ lệ sản phẩm loại I 70% Chọn ngẫu nhiên lơ, từ lơ lấy nhẫu nhiên sản phẩm sản phẩm loại I Trả lại sản phẩm vào lơ chọn, từ lơ lấy tiếp sản phẩm Tính xác suất để sản phẩm lấy lần thứ hai sản phẩm loại I [18] Có hộp, hộp có sản phẩm Hộp thứ có sản phẩm loại B; hộp thứ hai có sản phẩm loại B; hộp thứ ba có sản phẩm loại B Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra1 sản phẩm a) Tính xác suất để lấy sản phẩm loại B? b) Nếu có sản phẩm loại B sản phẩm lấy Tính xác suất để sản phẩm loại B hộp thứ nhất? [19] Một nhà máy sản xuất linh kiện điện tử có phân xưởng Phân xưởng I sản xuất 40%; Phân xưởng II sản xuất 30%; Phân xưởng III sản xuất 20%; Phân xưởng IV sản xuất 10% sản phẩm tồn xí nghiệp Tỷ lệ phế phẩm phân xưởng I; phân xưởng II; phân xưởng III; phân xưởng IV tương ứng 1%; 2%; 3%; 4% Kiểm tra ngẫu nhiên sản phẩm nhà máy sản xuất a) Tính xác suất để sản phẩm lấy kiểm tra sản phẩm tốt? b) Cho biết sản phẩm lấy kiểm tra phế phẩm Tính xác suất để phế phẩm phân xưởng I sản xuất? c) Nếu lấy phế phẩm, theo bạn sản phẩm phân xưởng sản xuất? Vì sao? [20] Gieo cách ngẫu nhiên điểm vào hình trịn bán kính R (R > 0) Tìm xác suất cho điểm rơi vào a) hình vng nội tiếp đường tròn b) tam giác nội tiếp đường tròn c) lục giác nội tiếp đường tròn d) đa giác n cạnh nội tiếp đường trịn [21] Có ba người, người bắn viên đạn vào bia với xác suất bắn trúng 0,6 ; 0,7 ; 0,8 Tìm xác suất sau đây: a) Chỉ có người thứ hai bắn trúng b) Có người bắn trúng c) Chỉ có người thứ ba bắn trượt d) Có hai người bắn trúng e) Cả ba người bắn trúng f) Khơng có bắn trúng g) Có người bắn trúng h) Có khơng q hai người bắn trúng i) Có hai người bắn trúng [22] Một thi trắc nghiệm nhiều lựa chọn gồm 12 câu hỏi Mỗi câu có phương án trả lời, có phương án Cho biết câu trả lời điểm, câu trả lời sai bị trừ điểm Một sinh viên không học nên làm cách chọn ngẫu nhiên phương án trả lời câu hỏi Tìm xác suất Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.15 Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS Lê Anh Vuõ a) 13 điểm b) bị điểm âm [23] Một người bắn ba viên đạn Xác suất để ba viên trúng vòng 10 0,008 Xác suất để viên trúng vòng 0,15 Xác suất để viên trúng vịng 0,4 Tìm xác suất để người đạt 28 điểm [24] Một máy bay có động cơ, có động cánh phải, động cánh trái Mỗi động cánh phải có xác suất bị hỏng 0,1 ; cánh trái 0,05 Các động hoạt động độc lập Tính xác suất để máy bay thực chuyến bay an toàn trường hợp sau a) Máy bay bay có hai động làm việc b) Máy bay bay cánh động hoạt động [25] Hai máy sản xuất loại chi tiết Năng suất máy thứ hai gấp đôi máy thứ Tỉ lệ chi tiết đạt tiêu chuẩn máy thứ 65%, máy thứ hai 80% Lấy ngẫu nhiên chi tiết từ lô hàng hai máy sản xuất a) Tìm xác suất lấy chi tiết đạt tiêu chuẩn b) Nếu chi tiết phế phẩm, tìm xác suất chi tiết máy thứ hai sản xuất [26] Có hai lơ hàng, lơ thứ có 10 sản phẩm loại A, sản phẩm loại B ; lơ thứ hai có 16 sản phẩm loại A, sản phẩm loại B Từ lô ta lấy ngẫu nhiên sản phẩm Sau đó, hai sản phẩm thu lại lấy sản phẩm Tìm xác suất để sản phẩm lấy sau sản phẩm loại A [27] Có ba hộp đựng bút Hộp thứ có bút đỏ, 10 bút xanh Hộp thứ hai có bút đỏ, bút xanh Hộp thứ ba có bút đỏ, bút xanh Từ hộp thứ lấy bút, từ hộp thứ hai lấy cái, bỏ vào hộp thứ ba a) Tìm xác suất để hộp thứ ba số bút đỏ nhiều số bút xanh b) Từ hộp thứ ba lấy bút Tìm xác suất lấy bút màu [28] Một tín hiệu vơ tuyến phát lần Xác suất thu lần phát 0,4 a) Tìm xác suất để nơi thu nhận tín hiệu b) Muốn xác suất thu tín hiệu khơng bé 95% phải phát tối thiểu lần ? [29] Giả sử xác suất sinh trai 0,51 Một gia đình có người Tìm xác suất để gia đình có a) hai trai b) khơng q trai c) Nếu muốn có trai với xác suất 80% gia đình phải sinh tối thiểu ? [30] Một xạ thủ có xác suất bắn trúng đích lần bắn 0,7 Anh ta bắn lần, lần viên đạn a) Tìm xác suất có viên trúng đích b) Tìm xác suất có khơng q viên trúng c) Trong viên đạn khả viên trúng nhiều ? d) Muốn xác suất có viên đạn trúng đích khơng nhỏ 99% xạ thủ phải bắn tối thiểu viên đạn ? Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.16 ... Tìm xác suất Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.15 Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS Lê Anh Vũ a) 13 điểm b) bị điểm âm [23] Một người bắn ba viên đạn Xác suất để ba viên trúng vòng 10 0,008 Xác suất. .. hộp chai a) Tính xác suất lấy chai thuốc tốt? b) Tính xác suất lấy chai thuốc tốt chai thuốc phẩm chất? Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.14 Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS Lê Anh Vũ c) Nếu lấy chai... thức nhân xác suất chúng sau P(A A A n ) = P(A ) P(A ) … P (A n ) Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.9 Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS Lê Anh Vũ Ví dụ 1.13 Tung xúc xắc lần Tính xác suất mặt chấm