Đang tải... (xem toàn văn)
1. Khoảng cách Định nghĩa: Cho tập hợp X. Ánh xạ được gọi là một metric trên X nếu nó thoả các tiên đề sau:i) x, y X x = y.ii) x, y Xiii) x, y, z X.Tập X cùng với metric d xác định trên nó được gọi là không gian metric và được kí hiệu (X, d). Định nghĩa: Cho không gian tuyến tính X. Ánh xạ || . ||: X được gọi là chuẩn trên X nếu nó thoả các tiên đề sau:i) || x || 0 x X, || x || = 0 x = 0.ii) || x || = ||.|| x || x X,iii) || x + y || || x || + || y || x, y X.Không gian tuyến tính X cùng với chuẩn || . || xác định trên X được gọi là không gian định chuẩn và được kí hiệu (X, || . ||).• Nhận xét:Cho không gian định chuẩn (X, || . ||). Với mọi x, y X, đặt d(x, y) = || x y||thì d là metric trên X. Do đó mọi không gian định chuẩn đều là không gian metric với metric xác định như trên. Các tính chất và mệnh đề trong không gian metric đều đúng cho không gian định chuẩn.• Tính chất:Trong không gian định chuẩn hữu hạn chiều các chuẩn đều tương đương. Các không gian định chuẩn thông dụng:i) Không gian với x = ta có chuẩn .ii) Không gian các hàm liên tục trên a, b với chuẩn || x || = .iii) Không gian các hàm có đạo hàm liên tục trên a, b với chuẩn || x || = .iv) Không gian (1 p ) các dãy vô hạn x = (x¬n) với chuẩn = .iv) Không gian , p 1, các hàm luỹ thừa p khả tích Lebesgue trên a, b với chuẩn || f || = (f ).• Cận dưới lớn nhất (inf) và cận trên nhỏ nhất (sup):inf A = a .sup B = b Khoảng cách:Trong không gian metric (X, d) cho tập A, B và phần tử x. Ta định nghĩai) d(x, A) = .ii) = .iii) diam(A) = (đường kính diameter của tập A) Bài tậpChứng minh rằng:1. .2. (n 2).3. d(x, y).4. Nếu A B thì diam(A B) diamA + diamB.5. diam(A B) diamA + d(A, B) + diamB.2. Đóng, mở Định nghĩa: Cho không gian metric (X, d) và . Dãy hội tụ về x X nếu . Kí hiệu . • Định lý: Trong không gian , cho và . Ta có (1 i k ) khi n .• Định lý: Cho không gian định chuẩn X. Nếu và thì . Định nghĩa: Cho không gian metric (X, d).a) Với mỗi r > 0, x X. Tập S(x, r) = (hay Sx, r = ) được gọi là hình cầu mở (đóng) tâm x, bán kính r.b) Điểm x gọi là điểm dính của tập hợp A nếu với mọi r > 0 ta có S(x, r) A . Tập các điểm dính của A gọi là bao đóng của A, kí hiệu là hay A.c) Điểm x gọi là điểm trong của tập hợp A nếu tồn tại r(x) > 0 sao cho S(x, r) A. Tập các điểm trong của A gọi là phần trong của A, kí hiệu là hay intA.d) Điểm x gọi là điểm biên của tập hợp A nếu x là điểm dính của A và X A, tức là mọi r > 0 ta có S(x, r) A và S(x, r) (X A) . Tập hợp các điểm biên của A gọi là biên của A và kí hiệu là .• Tính chất:
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TUYỂN SINH CAO HỌC (TUYỂN SINH LẦN - NĂM 2012) MÔN: GIẢI TÍCH (PHẦN GIẢI TÍCH HÀM) Khoảng cách Định nghĩa: Cho tập hợp X Ánh xạ d : X × X → ¡ gọi metric X thoả tiên đề sau: i) d ( x, y ) ≥ ∀ x, y ∈ X d ( x, y ) = ⇔ x = y ii) d ( x, y ) = d ( y, x) ∀ x, y ∈ X iii) d ( x, y ) ≤ d ( x, z ) + d ( z , y ) ∀ x, y, z ∈ X Tập X với metric d xác định gọi không gian metric kí hiệu (X, d) Định nghĩa: Cho không gian tuyến tính X Ánh xạ || ||: X → ¡ gọi chuẩn X thoả tiên đề sau: i) || x || ≥ ∀ x ∈ X, || x || = ⇔ x = ii) || αx || = |α|.|| x || ∀ x ∈ X, iii) || x + y || ≤ || x || + || y || ∀ x, y ∈ X Không gian tuyến tính X với chuẩn || || xác định X gọi không gian định chuẩn kí hiệu (X, || ||) • Nhận xét: Cho không gian định chuẩn (X, || ||) Với x, y ∈ X, đặt d(x, y) = || x y|| d metric X Do không gian định chuẩn không gian metric với metric xác định Các tính chất mệnh đề không gian metric cho không gian định chuẩn • Tính chất: Trong không gian định chuẩn hữu hạn chiều chuẩn tương đương Các không gian định chuẩn thông dụng: 12 i) Không gian ¡ n n với x = ( x1, x2 , , xn ) ta có chuẩn || x || = ∑ | xi |2 ÷ i =1 ii) Không gian C[ a,b] hàm liên tục [a, b] với chuẩn || x || = max | x(t ) | a ≤t ≤b iii) Không gian C[1a,b] hàm có đạo hàm liên tục [a, b] với chuẩn | x (t ) | || x || = | x(a) | + amax ≤t ≤b iv) Không gian l p (1 ≤ p ≤ ∞) dãy vô hạn x = (xn) với chuẩn p ∞ || x || p = ∑ | x | p i ÷ i =1 iv) Không gian Lp [a, b] , p ≥ 1, hàm luỹ thừa p khả tích Lebesgue ( b [a, b] với chuẩn || f || = ∫a | f (t ) | p dt ) p (f ∈ Lp [a, b] ) • Cận lớn (inf) cận nhỏ (sup): a ≤ x, ∀x ∈ A inf A = a ⇔ ∀ε > 0, ∃x ' ∈ A : a ≤ x ' < a + ε x ≤ b, ∀x ∈ B sup B = b ⇔ ∀ε > 0, ∃x ' ∈ B : b − ε < x ' ≤ b Khoảng cách: Trong không gian metric (X, d) cho tập A, B phần tử x Ta định nghĩa d ( x, y ) i) d(x, A) = inf y∈A ii) d ( A, B) = inf x∈A, y∈B iii) diam(A) = d ( x, y ) sup d ( x, y ) x∈A, y∈B (đường kính - diameter- tập A) Bài tập Chứng minh rằng: | d (u, v) − d ( x, y) | ≤ d (u, x) + d (v, y) n −1 d ( x1, xn ) ≤ ∑ d ( xi , xi +1 ) (n ≥ 2) i =1 | d ( x, A) − d ( y, A) | ≤ d(x, y) Nếu A ∩ B ≠ ∅ diam(A ∪ B) ≤ diamA + diamB diam(A ∪ B) ≤ diamA + d(A, B) + diamB Đóng, mở Định nghĩa: Cho không gian metric (X, d) {xn }n ⊂ X Dãy {xn }n hội tụ x d ( xn , x) = Kí hiệu x → x ∈ X nlim n →∞ • Định lý: Trong không gian ¡ k , cho xn = (α1n , α 2n , , α kn ) x0 = (α10 , α 20 , , α k0 ) Ta có xn → x0 ⇔ α in → α i0 (1 ≤ i ≤ k ) n → ∞ • Định lý: Cho không gian định chuẩn X Nếu xn → x0 yn → y0 xn ± yn → x0 + y0 Định nghĩa: Cho không gian metric (X, d) a) Với r > 0, x ∈ X Tập S(x, r) = { y ∈ X : d ( x, y ) < r} (hay S[x, r] = { y ∈ X : d ( x, y) ≤ r} ) gọi hình cầu mở (đóng) tâm x, bán kính r b) Điểm x gọi điểm dính tập hợp A với r > ta có S(x, r) ∩ A ≠ ∅ Tập điểm dính A gọi bao đóng A, kí hiệu A hay [A] c) Điểm x gọi điểm tập hợp A tồn r(x) > cho S(x, r) ⊂ A Tập điểm A gọi phần A, kí hiệu Ao hay intA d) Điểm x gọi điểm biên tập hợp A x điểm dính A X \ A, tức r > ta có S(x, r) ∩ A ≠ ∅ S(x, r) ∩ (X \ A) ≠ ∅ Tập hợp điểm biên A gọi biên A kí hiệu ∂A • Tính chất: i) A đóng ⇔ ∀ {xn } ⊂ A, xn → x x ∈ A ii) A đóng ⇔ A = A iii) A mở ⇔ A = Ao iv) A tập đóng nhỏ chứa A v) Ao tập mở lớn A vi) Hợp họ tập mở tập mở vii) Giao họ tập đóng tập đóng viii) X \ A = X \ Ao , ( X \ A)o = X \ A • Phương pháp chứng minh tập A đóng: ta chứng minh - Mọi điểm dính A thuộc A - X \ A tập mở - A = f −1 ( F ) với f liên tục F đóng • Phương pháp chứng minh tập A mở: ta chứng minh - Mọi điểm A điểm A - A là hợp họ tập mở - X \ A đóng - A = f −1 (G ) với f liên tục G mở Bài tập Chứng minh rằng: a) d(x, A) = ⇔ x ∈ A ; b) d(x, A) = d(x, A ); c) d(A, B) = d ( A, B ) ; d) diam A = diam A Các tập hợp sau đóng hay mở ¡ n (n = 1,2, 3)? Chứng minh khẳng định: a) A = (a, b) (a < b) ; b) A = [0, 1) ; ∞ c) A = Un=1 (0, n ) n +1 ; ∞ d) A = In=1 (− 2n , nn+1 ) ; e) A = {( x, y ) : x + y ≤ 1} ; f) A = {( x, y ) : x + sin( x + y ) > 2} ; g) A = {( x, y ) : | x | + | y |< 5} ; h) A = {( x, y ) : max(| x |,| y |) < 5} Khảo sát đóng, mở C[ a ,b] hay C[1a ,b] { } f (t )dt < } ; a) A = f ∈ C[0,1] : ∫0 f (t )dt ≥ ; b) A = { f ∈C { d) ) A = { e) A = { f) A = { c) ) A = [ −1,1] : ∫0 f ∈ C[0,1] : max f ( x) ≥ x∈[0,1] f ∈ C[0,1] : max f ( x) > x∈[0,1] f ∈ C[0,1] : f ( x) ≥ −1 x∈[0,1] f ∈ C[0,1] : f ( x) < −1 x∈[0,1] { h) A = { f ∈ C } } } }; } g) A = f ∈ C[0,1] : ∫0 | f (t ) | dt ≥ ; [0,1] } : ∫0 f (t )dt < ; 4 Cho không gian metric (X, d) A ⊂ X Chứng minh với số thực ε tập G = {x ∈ X : d ( x, A) < ε } tập mở Cho không gian định chuẩn X A, B ⊂ X, x0 ∈ X Chứng minh rằng: a) Nếu A mở A + B mở; b) Nếu A đóng x0 + A đóng Chứng minh không gian định chuẩn X ta có S ( x0 , r ) = S[ x0 , r ] Tìm ví dụ cho thấy đẳng thức không không gian metric Giả sử X không gian định chuẩn Y không gian X chứa hình cầu Chứng minh Y = X Không gian đầy ánh xạ liên tục Dãy Cauchy không gian đầy Định nghĩa: Cho không gian metric (X, d) Dãy {xn } ⊂ X gọi dãy Cauchy d ( xn , xm ) = (hay dãy bản) n,lim m→∞ • Nhận xét: Mọi dãy hội tụ không gian metric dãy Cauchy Định nghĩa: Không gian metric (X, d) gọi không gian đầy dãy Cauchy X hội tụ Không gian định chuẩn đầy đủ gọi không gian Banach • Định lý: i) Nếu M đóng không gian metric đầy M đầy ii) Nếu M đầy M đóng Ánh xạ liên tục Định nghĩa: Cho hai không gian metric (X, d) (Y, ρ) ánh xạ f : X → Y f gọi liên tục x0 ∈ X với ε > tồn δ > cho với x ∈ X mà d ( x, x0 ) < δ ρ ( f ( x), f ( x0 )) < ε f gọi liên tục X f liên tục x ∈ X f gọi liên tục X với ε > tồn δ > cho với x1, x2 ∈ X mà d ( x1 , x2 ) < δ ρ ( f ( x1 ), f ( x2 )) < ε f gọi phép đẳng cự ρ ( f ( x), f ( y )) = d ( x, y ) ∀ x, y ∈ X • Định lý: Ánh xạ f : X → Y liên tục x0 ∈ X dãy {xn } ⊂ X , xn → x0 f ( xn ) → f ( x0 ) • Định lý: Ánh xạ f : X → Y liên tục X ∀G mở (đóng) Y f −1 (G ) mở (đóng) X Bài tập Cho ¥ tập số tự nhiên Đặt d(m, n) = 1 + m + n m = n m ≠ n a) Chứng minh d metric ¥ b) ( ¥ , d) không gian metric đầy Cho không gian metric X A ⊂ X Chứng minh ánh xạ d(x, A) liên tục X Compact Định nghĩa: Cho không gian metric (X, d) K ⊂ X Tập K gọi compact dãy {xn } ⊂ K có dãy hội tụ tới phần tử K Tập K gọi compact tương đối bao đóng K tập compact • Định lý: Cho không giam metric (X, d) Khi K compact ⇔ Mọi phủ mở {Gα }α∈I K tồn phủ hữu hạn • Định lý: Trong không gian metric ta có i) Tập compact tập đóng đầy đủ ii) Tập đóng tập compact tập compact iii) Tập tập compact tập compact tương đối • Định lý: (Tiêu chuẩn compact ¡ n ) Trong ¡ n tập hợp đóng bị chặn compact • Định lý: Giả sử f : X → Y ánh xạ liên tục Nếu K tập compact X f(K) tập compact Y • Định lý: (Hàm số liên tục tập compact) Nếu f hàm số liên tục tập compact K i) f liên tục K ii) f đạt giá trị nhỏ giá trị lớn K Bài tập Cho không gian định chuẩn X A, B ⊂ X Chứng minh rằng: a) Nếu A compact B đóng A + B đóng b) Nếu A B compact A + B compact Tập hợp tập hợp sau compact ¡ n a) K = {( x, y, z ) : x + y + | z | ≤ } ; b) K = {( x, y, z ) : x + y + z + x + y + z ≤ } ; c) K = {( x, y, z ) : x + y + z ≤ 5, x ≥ −2, y ≥ −3, z ≥ −4 } ; d) K = {( x, y, z ) : x + y + z < 5, x ≥ −2, y ≥ −3, z ≥ −4 } ; e) K = {( x, y, z ) : x + y + z ≤ 5, x ≥ −2, y ≥ −3 } ; f) K = {( x, y ) : xy = } Trong không gian metric X cho dãy {xn } , xn → x0 ∈ X Chứng minh tập K = {xn } ∪ {x0 } tập compact Cho f : X → Y ánh xạ liên tục tập compact X Chứng minh f ánh xạ liên tục Cho {K n }n dãy tập compact khác rỗng không gian metric ∞ X với K n+1 ⊂ K n (n = 1, 2, ) Chứng minh I K n ≠ ∅ n =1 Chứng minh không gian metric có hữu hạn phần tử compact Giả sử X không gian metric compact f : X → X ánh xạ đẳng cự Chứng minh f phép đẳng cự lên Định lý điểm bất động Định nghĩa Ánh xạ f : X → X gọi ánh xạ co tồn số α thoả < α < cho d ( f ( x), f ( y )) ≤ α d ( x, y ) ∀ x, y ∈ X • Nhận xét Mọi ánh xạ co ánh xạ liên tục Định nghĩa Điểm x ∈ X gọi điểm bất động ánh xạ f : X → X f (x) = x • Định lí (Nguyên lí ánh xạ co Banach) Cho X không gian metric đầy Khi ánh xạ co f : X → X tồn điểm bất động Bài tập Cho không gian metric X đầy ánh xạ f : X → X Nếu f n ánh xạ co tồn x0 ∈ X cho f ( x0 ) = x0 Giả sử X không gian metric đầy f ánh xạ từ hình cầu đóng S[x0, r] ⊂ X vào X cho i) ∃α ∈ (0, 1) cho d ( f ( x), f ( y )) ≤ α d ( x, y ) ∀ x, y ∈ X ii) d ( f ( x0 ), x0 ) ≤ (1 − α )r Chứng minh ánh xạ f có S[x0, r] điểm bất động Chứng minh phương trình Ax = x có nghiệm C[a ,b ] a) Ax(t) = 12 ∫0 sin(t − x( s))ds C[0,1] ; b) Ax(t) = 14 ∫0 cos(t − x( s))ds C[0,3] ; t c) Ax(t) = ∫0 x( s )sin sds C[0,1] ; t d) Ax(t) = ∫0 x( s ) cos(ts)ds C[0,1] ; t e) Ax(t) = ∫0 e− x (s) ds C[0,1] ; Chứng minh tồn λ > cho phương trình x '(t ) = + x (t ) cos t x(0) = có nghiệm C[0,λ ] Cho X không gian metric compact ánh xạ f : X → X Chứng minh d ( f ( x ), f ( y )) < d ( x, y ) ∀ x, y ∈ X, x ≠ y f có điểm bất động X Chứng minh nguyên lý ánh xạ co thay điều kiện ánh xạ co điều kiện d ( f ( x), f ( y )) < d ( x, y ) ∀ x, y ∈ X, x ≠ y không tồn điểm bất động Cho ánh xạ f: [0, r] → [0, r] với f ( x) = x Tìm r để f ánh xạ co Cho f: [a, b] → [a, b] khả vi [a, b] Chứng minh f ánh xạ co tồn K < cho | f ' ( x) | ≤ K ∀x ∈ ( a, b) Toán tử tuyến tính liên tục Định nghĩa: Cho X, Y hai không gian tuyến tính Toán tử A : X → Y gọi toán tử tuyến tính A(α x1 + β x2 ) = α Ax1 + β Ax2 ∀ x1, x2 ∈ X , ∀α , β ∈ K Định nghĩa: Cho X, Y hai không gian định chuẩn A : X → Y toán tử tuyến tính A gọi liên tục x ∈ X xn → x Axn → Ax A gọi liên tục X A liên tục x ∈ X A gọi bị chặn X tồn số M ≥ cho || Ax || ≤ M.|| x || ∀ x ∈ X • Định lý: Cho X, Y hai không gian định chuẩn Toán tử tuyến tính A : X → Y liên tục X A bị chặn X Không gian L(X, Y): Cho X, Y hai không gian định chuẩn Kí hiệu L(X, Y) tập hợp tất toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y L(X, Y) với hai phép toán cộng nhân vô hướng không gian tuyến tính Chuẩn toán tử A: || Ax || ∀ A ∈ L(X, Y) || A || = sup || x || x ≠0 Ta có i) Nếu || Ax || ≤ M.|| x || ∀ x ∈ X || A || ≤ M ii) || Ax || ≤ || A ||.|| x || ∀ x ∈ X L(X, Y) với chuẩn không gian định chuẩn gọi không gian toán tử tuyến tính liên tục từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Định nghĩa: (Sự hội tụ L(X, Y)) Dãy toán tử { An }n ⊂ L(X, Y) gọi hội tụ theo chuẩn đến toán tử A ⊂ L(X, || An − A ||= Kí hiệu A → A Y) nlim n →∞ • Nhận xét: Nếu An → A L(X, Y) An x → Ax ∀ x ∈ X Điều ngược lại nói chung không • Định lý: Nếu Y không gian Banach L(X, Y) không gian Banach Bài tập Chứng minh toán tử sau toán tử tuyến tính liên tục tính chuẩn chúng a) A : C[0,1] → C[0,1] , Ax(t ) = x(t ) ; b) A : C[0,1] → C[0,1] , Ax(t ) = t x(0) ; c) A : C[0,1] → C[0,1] , Ax(t ) = ϕ (t ).x(t ) với ϕ (t ) ∈ C[0,1] ; d) A : C[0,1] → C[0,1] , Ax(t ) = x(t ) Chứng minh phiếm hàm sau tuyến tính liên tục tìm chuẩn nó: a) Ax(t) = x(1) - x(-1) x ∈ C[−1,1] ; b) Ax(t ) = ∫0 tx(t )dt x ∈ C[0,1] Giả sử X, Y hai không gian định chuẩn A : X → Y toán tử tuyến tính Chứng minh dãy {xn } ⊂ X , xn → có { Axn }n bị chặn Y A liên tục Giả sử f phiếm hàm tuyến tính không liên tục không gian định chuẩn thực X Chứng minh với r > f ( S (0, r )) = ¡ Giả sử X, Y hai không gian định chuẩn, A, B : X → Y toán tử tuyến tính liên tục M ⊂ X cho L( M ) = X Chứng minh Ax = Bx ∀x ∈ M Ax = Bx ∀x ∈ X Cho X không gian định chuẩn thực f phiếm hàm tuyến tính xác định X Chứng minh f liên tục tập A = { x ∈ X: f (x) ≥ 1} đóng X 10 ... Trong không gian metric ta có i) Tập compact tập đóng đầy đủ ii) Tập đóng tập compact tập compact iii) Tập tập compact tập compact tương đối • Định lý: (Tiêu chuẩn compact ¡ n ) Trong ¡ n tập hợp... ⇔ A = Ao iv) A tập đóng nhỏ chứa A v) Ao tập mở lớn A vi) Hợp họ tập mở tập mở vii) Giao họ tập đóng tập đóng viii) X A = X Ao , ( X A)o = X A • Phương pháp chứng minh tập A đóng: ta... không gian định chuẩn X ta có S ( x0 , r ) = S[ x0 , r ] Tìm ví dụ cho thấy đẳng thức không không gian metric Giả sử X không gian định chuẩn Y không gian X chứa hình cầu Chứng minh Y = X Không