VI TÍCH PHÂN A1 CHƯƠNG PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Lê Hoài Nhân Ngày 15 tháng năm 2015 Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN Ngày 15 tháng năm 2015 / 41 Chương Phép tính tích phân hàm biến Nguyên hàm Tích phân xác định Định nghĩa Định lý phép tính tích phân Công thức Newton - Leibniz Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng loại I Tích phân suy rộng loại II Ứng dụng tích phân Giá trị trung bình Diện tích hình phẳng Thể tích vật thể Độ dài cung Diện tích mặt tròn xoay Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN Ngày 15 tháng năm 2015 / 41 Nguyên hàm Định nghĩa 1.1 (Nguyên hàm) Hàm số F (x) gọi nguyên hàm hàm số f (x) khoảng (a, b) F (x) = f (x) với x ∈ (a, b) Mọi nguyên hàm hàm số f (x) có dạng F (x) + C với F (x) nguyên hàm f (x) C số tích phân Ký hiệu Ta có f (x)dx tập hợp tất nguyên hàm f (x) f (x)dx = F (x) + C Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN Ngày 15 tháng năm 2015 / 41 Tích phân xác định Định nghĩa 2.1 Cho hàm số f (x) xác định đoạn [a, b] Phân hoạch đoạn [a, b] điểm chia a = x0 < x1 < < xn = b Trên đoạn [xi −1 ; xi ] ta chọn điểm ξi lập tổng n In = f (ξi ).∆xi i =1 Cho n → ∞ cho max ∆xi → Nếu lim In = I không phụ thuộc n→∞ vào cách phân hoạch đoạn [a, b] cách chọn ξi ta nói f khả tích đoạn [a, b] I gọi tích phân xác định hàm f đoạn [a, b] Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN Ngày 15 tháng năm 2015 / 41 Định lý phép tính tích phân Định lý 2.1 (Định lý phép tính tích phân) x Cho f liên tục đoạn [a, b] Nếu F (x) = a f (t)dt với x ∈ [a, b] x d F (x) = dx f (t)dt = f (x) a Hệ 2.1 ϕ(x) Nếu F (x) = ψ(x) Lê Hoài Nhân () f (t)dt F (x) = f (ϕ(x)).ϕ (x) − f (ψ(x)).ψ (x) TÍCH PHÂN Ngày 15 tháng năm 2015 / 41 Định lý phép tính tích phân Ví dụ 2.1 Tính F (x) biết rằng: x2 F (x) = x3 + t dt F (x) = √ x2 dt + t2 Ví dụ 2.2 x2 Cho H(x) = x e− √ t dt Tính H (2) sin x Cho f (x) = y 1+ t dt g (y ) = Lê Hoài Nhân () f (x)dx Tìm g π TÍCH PHÂN Ngày 15 tháng năm 2015 / 41 Định lý phép tính tích phân Ví dụ 2.3 Tìm hàm số liên tục thỏa phương trình sau   x f (x) = π 1 + Lê Hoài Nhân () f (t)dt  x f (x) = − f (t)dt TÍCH PHÂN Ngày 15 tháng năm 2015 / 41 Định lý phép tính tích phân Ví dụ 2.4 Dùng quy tắc L’Hospital tính giới hạn x lim x→0 x cos tdt x lim x→−∞ arctan2 tdt √ x2 + Ví dụ 2.5 Tìm giá trị lớn hàm số 2x−x F (x) = cos dt + t2 Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN Ngày 15 tháng năm 2015 / 41 Định lý phép tính tích phân Định lý 2.2 (Công thức Newton - Leibniz) Cho f liên tục đoạn [a, b] Nếu Φ(x) nguyên hàm f (x) b đoạn [a, b] a f (x)dx = Φ(b) − Φ(a) Ví dụ 2.6 Dùng phương pháp biết tính tích phân 1 I1 = arcsin xdx √ I3 = x −1 dx x2 + x + − 12 x arctan xdx I2 = Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN Ngày 15 tháng năm 2015 / 41 Tích phân suy rộng loại I Định nghĩa 3.1 (Tích phân suy rộng loại I) Cho hàm số f (x) liên tục khoảng [a, +∞), ta định nghĩa +∞ b f (x)dx f (x)dx = lim b→+∞ a a Nếu f (x) liên tục khoảng (−∞, a] a a f (x)dx = lim f (x)dx b→−∞ b −∞ Nếu giới hạn tồn ta nói tích phân suy rộng hội tụ Tích phân không hội tụ gọi tích phân phân kỳ Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN Ngày 15 tháng năm 2015 10 / 41 Tính thể tích vật thể tổng quát phương pháp cắt lớp Phân hoạch đoạn [a, b] điểm chia a = x0 < x1 < < xn = b Các mặt phẳng Pxk cắt vật thể thành "lát cắt mỏng" Ta xấp xỉ "lát cắt mỏng" hình trụ có diện tích đáy A(xk ) chiều cao ∆xk Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN Ngày 15 tháng năm 2015 28 / 41 Tính thể tích vật thể tổng quát phương pháp cắt lớp Thể tích vật thể V thỏa n V ≈ n Vk = k=1 A(xk ).∆xk k=1 Phép xấp xỉ "tốt" n lớn Vì lim n n→∞ k=1 A(xk ).∆xk = b A(x)dx a nên ta có b A(x)dx V = a Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN Ngày 15 tháng năm 2015 29 / 41 Tính thể tích vật thể tổng quát phương pháp cắt lớp Ví dụ 4.5 Một vật thể có đáy hình tròn x + y = Tất thiết diện vuông góc trục hoành hình vuông Hãy tính thể tích vật thể Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN Ngày 15 tháng năm 2015 30 / 41 Tính thể tích vật thể tổng quát phương pháp cắt lớp Ví dụ 4.5 Một vật thể có đáy hình tròn x + y = Tất thiết diện vuông góc trục hoành hình vuông Hãy tính thể tích vật thể Để tính thể tích vật thể tổng quát phương pháp cắt lớp ta cần thực bước: Phác họa vật thể xác định hình dáng, kích thước thiệt diện Tìm biểu thức A(x) diện tích thiết diện vật thể xác định cận x Tính tích phân b A(x)dx V = a suy thể tích vật thể Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN Ngày 15 tháng năm 2015 30 / 41 Tính thể tích vật thể tổng quát phương pháp cắt lớp Ví dụ 4.6 Một vật thể cao (m) Thiết diện ngang cắt vật thể độ cao z phía đáy hình chữ nhật có kích thước + z − z (m) Tính thể tích vật thể Ví dụ 4.7 Tìm diện tích thiết diện nằm ngang cắt vật thể độ cao z phía đáy, phần vật thể nằm mặt phẳng nói z Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN Ngày 15 tháng năm 2015 31 / 41 Thể tích vật thể tròn xoay Cho miền D hình thang loại giới hạn đường cong y = f (x), y = g (x), x = a x = b với a < b Nếu quay miền D quanh trục Ox ta vật thể tích b V =π f (x) − g (x) dx a Nếu quay miền D quanh trục Oy ta vật thể tích b V = 2π a Lê Hoài Nhân () x |f (x) − g (x)| dx TÍCH PHÂN Ngày 15 tháng năm 2015 32 / 41 Thể tích vật thể tròn xoay Cho miền D hình thang loại giới hạn đường cong x = ϕ(y ), x = ψ(y ), y = c y = d với c < d Nếu quay miền D quanh trục Ox, ta vật thể tích d V = 2π c y |ϕ(y ) − ψ(y )| dy Nếu quay miền D quanh trục Oy , ta vật thể tích d V =π c Lê Hoài Nhân () ϕ2 (y ) − ψ (y ) dy TÍCH PHÂN Ngày 15 tháng năm 2015 33 / 41 Thể tích vật thể tròn xoay Ví dụ 4.8 Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường cong y = 2x − x y = với ≤ x ≤ quanh trục Ox Oy y = sin x y = với ≤ x ≤ π quanh trục Ox Oy x = y y = 0, x = (phần phía trục hoành) quanh trục Ox trục Oy Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN Ngày 15 tháng năm 2015 34 / 41 Độ dài cung Bài toán Tính độ dài cung phẳng AB đường cong L Nếu L cho phương trình y = f (x) với x ∈ [a, b] độ dài L tính theo công thức b l= + f (x)dx a Nếu L có phương trình tham số x = x(t) y = y (t) với t ∈ [α, β] β x (t) + y (t)dt l= α Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN Ngày 15 tháng năm 2015 35 / 41 Độ dài cung Ví dụ 4.9 Tính độ dài cung phẳng có phương trình y = x tính từ gốc tọa độ đến điểm A(4, 8) π x = a cos3 t, y = a sin3 t với ≤ t ≤ Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN Ngày 15 tháng năm 2015 36 / 41 Diện tích mặt tròn xoay Bài toán Cho cung phẳng AB đường cong L quay quanh đường thẳng cho trước Hãy tính diện tích mặt tròn xoay thu Nếu đường cong L có phương trình y = f (x) với x ∈ [a, b] quay quanh trục Ox, ta mặt cong có diện tích b S = 2π + f (x)dx |f (x)| a quanh trục Oy , ta mặt cong có diện tích b S = 2π a Lê Hoài Nhân () |x| + f (x)dx TÍCH PHÂN Ngày 15 tháng năm 2015 37 / 41 Diện tích mặt tròn xoay Bài toán Cho cung phẳng AB đường cong L quay quanh đường thẳng cho trước Hãy tính diện tích mặt tròn xoay thu Nếu đường cong L có phương trình tham số x = x(t) y = y (t) với t ∈ [α, β] quay quanh trục Ox, ta mặt cong có diện tích β S = 2π α |y (t)| x (t) + y (t)dt quay quanh trục Oy ta mặt cong có diện tích β S = 2π α Lê Hoài Nhân () |x(t)| x (t) + y (t)dt TÍCH PHÂN Ngày 15 tháng năm 2015 38 / 41 Diện tích mặt tròn xoay Ví dụ 4.10 Tính diện tích mặt tròn xoay tạo thành quay cung đường cong y = x với ≤ x ≤ quanh trục Oy Tính diện√tích mặt tròn xoay tạo thành quay cung đường cong y = − x với −1 ≤ x ≤ quanh trục Ox trục Oy Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN Ngày 15 tháng năm 2015 39 / 41 HẾT CHƯƠNG Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN Ngày 15 tháng năm 2015 40 / 41 Tính thể tích phương pháp cắt lớp Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN Ngày 15 tháng năm 2015 41 / 41 [...].. .Tích phân suy rộng loại I Cho f (x) liên tục trên R, ta định nghĩa +∞ f (x)dx = −∞ +∞ 0 f (x)dx + −∞ f (x)dx 0 nếu các tích phân ở vế phải đều hội tụ Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 11 / 41 Tích phân suy rộng loại I Ví dụ 3.1 Tính các tích phân suy rộng sau: 1 2 I = I = ∞ 0 ∞ 0 e −x dx 3 I = xe x dx −∞ +∞ ln xdx 4 1 Lê Hoài Nhân () I = dx 1 + x2 −∞ TÍCH PHÂN Ngày 15... từng phần, tính +∞ 1 2 I = x 2 e −x dx 0 +∞ 2 2 x 4 e −x dx J= 0 Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 15 / 41 Tích phân suy rộng loại I Ví dụ 3.5 (Hàm Gamma) Hàm Gamma là hàm được cho bởi tích phân suy rộng ∞ Γ(x) = t x−1 e −t dt 0 1 Chứng minh rằng tích phân trên hội tụ với mọi x > 0 2 Dùng công thức tích phân từng phần chứng minh rằng Γ(x + 1) = xΓ(x) 3 Chứng minh rằng Γ(n + 1) = n!... 1−p Lê Hoài Nhân () nếu p > 1 nếu p ≤ 1 nếu p ≥ 1 nếu p < 1 TÍCH PHÂN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 19 / 41 Tích phân suy rộng loại II Ví dụ 3.7 2 Tính tích phân I = f (x)dx trong đó 0   √1 nếu 0 ≤ x ≤ 1 f (x) = x  x − 1 nếu 1 < x ≤ 2 Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 20 / 41 Tích phân suy rộng loại II Ví dụ 3.8 1 Tính diện tích của miền phẳng nằm phía dưới đường thẳng y = 0, phía trên... = 0 Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 26 / 41 Tính thể tích vật thể tổng quát bằng phương pháp cắt lớp Tính thể tích vật thể (S) như hình vẽ bên Thiết diện của vật thể là miền phẳng mà nó là phần giao của S và mặt phẳng Ta tính thể tích vật thể bằng cách xác định diện tích các thiết diện của S Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 27 / 41 Tính thể tích vật thể tổng quát... vuông Hãy tính thể tích vật thể Để tính thể tích vật thể tổng quát bằng phương pháp cắt lớp ta cần thực hiện các bước: Phác họa vật thể và xác định hình dáng, kích thước của thiệt diện Tìm biểu thức A(x) của diện tích các thiết diện của vật thể và xác định các cận của x Tính tích phân b A(x)dx V = a và suy ra thể tích của vật thể Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 30 / 41 Tính thể tích vật... Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 29 / 41 Tính thể tích vật thể tổng quát bằng phương pháp cắt lớp Ví dụ 4.5 Một vật thể có đáy là hình tròn x 2 + y 2 = 1 Tất cả thiết diện vuông góc trục hoành của nó đều là hình vuông Hãy tính thể tích vật thể Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 30 / 41 Tính thể tích vật thể tổng quát bằng phương pháp cắt lớp Ví dụ 4.5 Một vật thể có... / 41 Tích phân suy rộng loại I Ví dụ 3.2 1 Tính diện tích của miền phẳng nằm phía trên đường thẳng y = 0, phía dưới đường ln x cong y = 2 và bên phải x đường thẳng x = 1 Lê Hoài Nhân () 2 TÍCH PHÂN Tính diện tích của miền phẳng nằm phía trên trục Ox, bên phải đường thẳng x = 1 và phía dưới đường cong 2 4 − y= 2x + 1 x + 2 Ngày 15 tháng 5 năm 2015 13 / 41 Tích phân suy rộng loại I Ví dụ 3.3 1 Tính. .. rộng loại II Ví dụ 3.6 Tính các tích phân suy rộng sau: 1 1 1 √ dx x I = π 2 4 L= 0 0 1 2 J= 1 dx x 2 5 M= 0 K= √ 0 1 3 cos x dx sin2 x 1 dx 2x − x 2 ln xdx 0 Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 18 / 41 Tích phân suy rộng loại II Định lý 3.1 (p - integrals) Nếu 0 < a < ∞ thì a1 p  +∞  hội tụ về  1 p−1 1 dx  xp   a phân kỳ đến ∞  phân kỳ đến ∞  a   1 2 dx  a1 p xp   hội tụ về... Diện tích hình phẳng 1 Một miền D được giới hạn bởi các đường cong: y = f (x), y = g (x), x = a và x = b với a < b có diện tích được tính theo công thức: b S= a 2 |f (x) − g (x)|dx Một miền D được giới hạn bởi các đường cong: x = ϕ(y ), x = ψ(y ), y = c và y = d với a < b có diện tích được tính theo công thức: d S= c Lê Hoài Nhân () |ϕ(y ) − ψ(y )|dy TÍCH PHÂN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 25 / 41 Diện tích. .. Tính diện tích miền phẳng nằm phía dưới đường cong y = e −x , phía trên đường cong y = e −2x và bên phải trục x = 0 Lê Hoài Nhân () 2 TÍCH PHÂN Tính diện tích miền phẳng nằm phía dưới đường cong 1 y = x −2 e − x , phía trên trục Ox và bên phải trục Oy Ngày 15 tháng 5 năm 2015 14 / 41 Tích phân suy rộng loại I Ví dụ 3.4 Cho biết +∞ 2 e −x dx = √ π 2 Bằng 0 phương pháp tích phân từng phần, tính +∞ 1 ...Chương Phép tính tích phân hàm biến Nguyên hàm Tích phân xác định Định nghĩa Định lý phép tính tích phân Công thức Newton - Leibniz Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng loại I Tích phân suy... pháp tích phân phần, tính +∞ I = x e −x dx +∞ 2 x e −x dx J= Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN Ngày 15 tháng năm 2015 15 / 41 Tích phân suy rộng loại I Ví dụ 3.5 (Hàm Gamma) Hàm Gamma hàm cho tích phân. .. cách phân hoạch đoạn [a, b] cách chọn ξi ta nói f khả tích đoạn [a, b] I gọi tích phân xác định hàm f đoạn [a, b] Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN Ngày 15 tháng năm 2015 / 41 Định lý phép tính tích phân