LỜI CẢM ƠN -  Tôi chân thành cảm ơn thầy Lê Hoài Nhân tận tình hướng dẫn, giúp đỡ để hoàn thành tốt luận văn Bên cạnh cảm ơn Cô Nguyễn Thị Hồng Dân - cố vấn học tập lớp chúng tôi, Cô quan tâm, dìu dắt suốt khóa học Đồng thời, chân thành cảm ơn quý thầy cô Khoa Khoa học Tự nhiên, đặc biệt quý Thầy Cô môn Toán truyền đạt cho kiến thức tảng quan trọng làm hành trang bước vào sống Sau tỏ lòng biết ơn đặc biệt đến người thân gia đình động viên tạo điều kiện tốt cho suốt trình học tập Tuy cố gắng để hoàn thành luận văn tránh khỏi sai sót, mong nhận đóng góp quý Thầy Cô bạn Cần Thơ, tháng năm 2013 Sinh viên thực Ngô Thị Kiểm i MỤC LỤC -  CHƯƠNG ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 1 ĐẠO HÀM 1.1 Đạo hàm điểm 1.2 Đạo hàm phía 1.3 Đạo hàm khoảng, đoạn 1.4 Đạo hàm vô hạn 1.5 Quan hệ tính đạo hàm liên tục 2 CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM 2.1 Đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương 2.2 Đạo hàm hàm hợp 2.3 Đạo hàm hàm ngược 2.4 Đạo hàm hàm y = u ( x )  v( x ) , ( u ( x ) > ) 2.5 Đạo hàm hàm ẩn 2.5.1 Hàm ẩn hàm 2.5.2 Đạo hàm hàm ẩn 2.6 Đạo hàm cấp cao 2.6.1 Định nghĩa 2.6.2 Các phép toán VI PHÂN 3.1 Khái niệm vi phân 3.2 Quan hệ vi phân đạo hàm 3.3 Ý nghĩa hình học vi phân 3.4 5ác quy tắc tính vi phân 3.5 Vi phân cấp cao CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 4.1 Cực trị địa phương 4.2 Các định lý giá trị trung bình 4.2.1 Định lý Rolle 4.2.2 Định lý Lagrange 4.2.3 Định lý Cauchy CÔNG THỨC TAYLOR 5.1 Công thức Taylor với phần dư Lagrange 5.2 Công thức Taylor với phần dư Peano 10 5.3 Khai triển Maclaurin hàm sơ cấp đơn giản 10 CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM 12 1.CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 12 1.1 Cực trị địa phương 12 1.2 Giá trị lớn nhỏ hàm số 12 XẤP XỈ TUYẾN TÍNH 13 TỐC ĐỘ BIẾN THIÊN 13 ii VẬN TỐC, GIA TỐC 14 4.1 Vận tốc 14 4.2 Gia tốc 14 CHƯƠNG PHÂN LOẠI BÀI TẬP 16 TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA 16 1.1 Phương pháp giải 16 1.2 Bài tập minh họa 16 1.3 Bài tập 25 1.4 Hướng dẫn đáp số tập 26 TÍNH GẦN ĐÚNG BẰNG ĐẠO HÀM 28 2.1 Phương pháp giải 28 2.2 Bài tập minh họa 29 2.3 Bài tập 35 2.4 Hướng dẫn đáp số tập 36 BÀI TẬP VỀ Ý NGHĨA HÌNH HỌC VÀ CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM 37 3.1 Ý nghĩa hình học ( Bài toán tuyến tính) 37 3.1.1 Phương pháp giải 37 3.1.2 Bài tập minh họa 37 3.2 Ý nghĩa học 42 3.2.1 Phương pháp giải 42 3.2.2 Bài tập minh họa 42 3.3 Bài tập 45 3.4 Hướng dẫn đáp số tập 46 BÀI TOÁN VỀ TỐC ĐỘ BIẾN THIÊN 48 4.1 Phương pháp giải 48 4.2 Bài tập minh họa 49 4.3 Bài tập 58 4.4 Hướng dẫn đáp số tập 59 BÀI TOÁN VỀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT 60 5.1 Giá trị nhỏ giá trị lớn đoạn [a,b] 60 5.2 Giá trị nhỏ giá trị lớn khoảng (a,b) 61 5.3 Bài tập minh họa 61 5.4 Bài tập 68 5.5 Hướng dẫn đáp số tập 69 KHAI TRIỂN CÔNG THỨC TAYLOR VÀ MACLAURIN 70 6.1 Khai triển Taylor Maclaurin 70 6.1.1 Phương pháp giải 71 6.1.2 Bài tập minh họa 72 6.2 Sử dụng khai triển Taylor Maclaurin để tính gần 78 6.2.1 Phương pháp giải 78 6.2.2 Bài tập minh họa 78 6.3 Sử dụng khai triển Taylor Maclaurin để tính giới hạn 80 6.3.1 Phương pháp giải 80 6.3.2 Bài tập minh họa 80 6.4 Bài tập 83 6.5 Hướng dẫn đáp số tập 85 iii CÁC BÀI TOÁN VỀ ÁP DỤNG CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 86 7.1 Phương pháp giải 86 7.2 Bài tập minh họa 86 7.3 Bài tập 92 7.4 Hướng dẫn đáp số tập 93 KẾT LUẬN 94 TÀI LIỆU THAM KHẢO 95 iv MỞ ĐẦU Phép tính vi phân sử dụng phổ biến toán học chúng có nhiều ứng dụng khảo sát biến thiên hàm số, tìm min, max, tính tốc độ biến thiên…Như vậy, phân loại giải toán Việc phân loại giải tập giúp hiểu phép tính vi phân ứng dụng Đề tài “Phân loại tập phép tính vi phân hàm biến ” giúp giải vấn đề với nội dung tóm tắt sau: Chương Đạo hàm vi phân Trình bày kiến thức phép tính vi phân hàm biến Chương Ứng dụng đạo hàm Trình bày vài ứng dụng đạo hàm Chương Phân loại tập Trình bày dạng tập, nêu phương pháp giải ví dụ tập minh họa tập có hướng dẫn đáp số v Chương ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN ĐẠO HÀM 1.1 Đạo hàm điểm Định nghĩa Giả sử hàm y = f ( x ) xác định x0 lân cận x0 Nếu giới hạn f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) ∆f lim tồn hữu hạn giới hạn gọi = lim ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x đạo hàm hàm số f ( x ) điểm x0 Ký hiệu f ′ ( x0 ) hay y′ ( x0 ) Ý nghĩa đạo hàm y − Ý nghĩa hình học f ′ ( x0 ) = tan α hệ số góc tiếp tuyến đường cong y = f ( x ) M0 điểm có hoành độ x0 tiếp tuyến có phương trình y − f ( x0 ) = f ′ ( x0 )( x − x0 ) α O x0 x − Ý nghĩa học Giả sử chất điểm chuyển động đường thẳng có hoành độ theo thời gian t s ( t ) Khi v ( t0 ) = s′ ( t0 ) vận tốc tức thời chất điểm thời điểm t0 − Ý nghĩa chung f ′ ( x0 ) biểu thị tốc độ biến thiên hàm f x0 1.2 Đạo hàm phía Định nghĩa Giả sử hàm số y = f ( x ) xác định x0 ∀x > x0 (hay ∀x < x0 ) Nếu tồn giới hạn hữu hạn: hay lim ∆x→0+ f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) ∆x lim ∆x→0− f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) ∆x giới hạn gọi đạo hàm phải (hay đạo hàm trái) hàm số f ( x ) điểm x0 ký hiệu tương ứng f +′( x0 ) f −′( x0 ) Định lý Điều kiện cần đủ để hàm số y = f ( x ) có đạo hàm x0 hàm số f ( x ) có đạo hàm trái phải điểm f −′ ( x0 ) = f +′ ( x0 ) 1.3 Đạo hàm khoảng, đoạn Định nghĩa Hàm f ( x ) có đạo hàm khoảng ( a, b ) f ( x ) có đạo hàm điểm x ∈ ( a, b ) Hàm f ( x ) có đạo hàm đoạn [ a, b ] f ( x ) có đạo hàm ( a, b ) , có đạo hàm phải a có đạo hàm trái b 1.4 Đạo hàm vô hạn ∆f = ∞ ta nói hàm f ( x ) có đạo hàm vô hạn x0 ∆x →0 ∆x Định nghĩa Nếu lim 1.5 Quan hệ tính đạo hàm liên tục Định lý Nếu hàm số y = f ( x ) xác định x0 lân cận x0 f ( x ) có đạo hàm x0 liên tục điểm Chú ý Hàm số f ( x ) liên tục x0 chưa có đạo hàm x0 CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM 2.1 Đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương Định lý Nếu hàm số f ( x ) g ( x ) có đạo hàm x tổng, hiệu, tích, thương chúng có đạo hàm điểm x và: ′  f ( x ) ± g ( x )  = f ′ ( x ) ± g ′ ( x ) ′  f ( x ) g ( x )  = f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) ′  f ( x)  f ′( x ) g ( x ) − f ( x ) g′( x )   = g ( x)  g ( x)  2.2 Đạo hàm hàm hợp Định lý Nếu hàm số y = f ( x ) có đạo hàm x = x0 , hàm h = g ( y ) xác định khoảng chứa điểm y0 = f ( x0 ) , có đạo hàm y = y0 hàm hợp h ( x ) = g  f ( x )  có đạo hàm x0 ′ h′ ( x0 ) = h′ ( y0 ) y′ ( x0 ) hay ( g f ) = g ′ ( y0 ) f ′ ( x0 ) Chứng minh Ta có h  y ( x0 + ∆x )  − h  y ( x0 )  ∆x h  y ( x0 + ∆x )  − h  y ( x0 )  y ( x0 + ∆x ) − y ( x0 ) =  y ( x0 + ∆x ) − y ( x0 ) ∆x Cho qua giới hạn ta h′ ( x0 ) = h′ ( y0 ) y′ ( x0 ) 2.3 Đạo hàm hàm ngược Định lý Cho hàm số y = f ( x ) liên tục tăng nghiêm ngặt khoảng ( a, b ) Nếu f ( x ) có đạo hàm x0 ∈ ( a, b ) f ′( x ) ≠ hàm ngược x = g ( y ) có đạo hàm y0 = f ( x0 ) có g ′ ( y0 ) = 2.4 Đạo hàm hàm y = u ( x )  v( x ) f ′ ( x0 ) , (u ( x ) > 0) Đối với hàm dạng ta áp dụng công thức đạo hàm hàm lũy thừa hàm số mũ để tính Phương pháp y = u ( x )  v( x ) , (u ( x ) > 0) (2.1) Lấy logarith số e hai vế (2.1) ta ln y = v ( x ) ln u ( x )  (2.2) Lấy đạo hàm hai vế theo biến x (2.2) Ta có v ( x ) u′ ( x ) y′ = v′ ( x ) ln u ( x ) + y u ( x) Hay y′ = u ( x )  v ( x )−1 u ( x ) v′ ( x ) ln u ( x ) + v ( x ) u′ ( x )  2.5 Đạo hàm hàm ẩn 2.5.1 Hàm ẩn hàm Định nghĩa Một hàm với đối số x gọi hàm ta cho trực tiếp biểu thức giải tích chứa x Hàm ẩn y với đối số x hàm xác định phương trình liên hệ x y không giải y 2.5.2 Đạo hàm hàm ẩn Giả sử y = f ( x ) hàm ẩn xác định phương trình F ( x, y ) = Khi ta có F ( x, y ) = 0, ∀x (2.3) Xem vế trái (2.3) hàm hợp, ta lấy đạo hàm hai vế theo x Khi xuất đạo hàm y′( x ) phương trình Giải y′ ta tìm biểu thức đạo hàm 2.6 Đạo hàm cấp cao 2.6.1 Định nghĩa Giả sử hàm f ( x ) có đạo hàm khoảng ( a, b ) Khi f ′ ( x ) hàm x gọi đạo hàm cấp hàm f ( x ) Nếu f ′ ( x ) có đạo hàm ′ ( f ′ ( x )) gọi đạo hàm cấp hai f ( x ) ký hiệu f ′′ ( x ) Ta dùng số ký hiệu đạo hàm cấp sau y′′ = f ′′ = d2y d2 f = dx dx * Đạo hàm cấp n hàm số f , ký hiệu f ( f( n) ′ ( x ) =  f ( n−1) ( x )  với n) ( x ) định quy nạp sau n ≥ ta quy ước: f ( 0) ( x) = f ( x) 2.6.2 Các phép toán Định lý Giả sử hàm f ( x ) g ( x ) có đạo hàm cấp n x Khi đó:  f ( x ) ± g ( x )  cf ( x )  ( n) ( n) = cf ( n) = f( n) ( x ) ± g ( n) ( x ) ( x) Công thức Leibnitz:  f ( x ) g ( x )  Ckn = ( n) n = ∑ Cnk f ( k =0 n! k !( n − k )! k) ( x ) g ( n −k ) ( x ) VI PHÂN 3.1 Khái niệm vi phân Định nghĩa Cho hàm y = f ( x ) xác định x0 lân cận Cho x số gia ∆x tùy ý Nếu x0 số gia hàm số ∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) viết dạng: ∆y = A∆x + α ( ∆x ) A∆x đại lượng tỉ lệ với ∆x α ( ∆x ) vô bé bậc cao ∆x (nghĩa α ( ∆x ) → ∆x → ) ta nói hàm số f ( x ) khả vi x0 lượng A∆x gọi vi phân hàm số điểm x0 Ký hiệu dy = A∆x f ( x ) gọi khả vi ( a, b ) khả vi điểm thuộc khoảng 3.2 Quan hệ vi phân đạo hàm Định lý Điều kiện cần đủ để hàm số y = f ( x ) khả vi x0 f ( x ) có đạo hàm hữu hạn điểm Chứng minh f ( x ) khả vi x0 ⇒ ∆y = A∆x + α ( ∆x ) • Do α ( ∆x ) ∆y = A+ ∆x ∆x ∆y = A = f ′ ( x0 ) ∆x →0 ∆x lim  α ( ∆x )  → ∆x →    ∆x  Nghĩa hàm số có đạo hàm x0 • ∆y = f ′ ( x0 ) ∆x →0 ∆x Giả sử hàm số có đạo hàm f ′ ( x0 ) , nghĩa lim ⇔ ∆y = f ′ ( x0 ) + α α → ∆x → ∆x Suy ∆y = f ′ ( x0 ) ∆x + α ( ∆x ) f ′ ( x0 ) ∆x tỷ lệ với ∆x α ( ∆x ) vô bé bậc cao ∆x Theo định nghĩa f ( x ) khả vi điểm x0 Chú ý Nhờ định lý ta đồng khái niệm khả vi tồn đạo hàm hữu hạn hàm biến sin ( sin x ) − x (1 − x sin ( sin x ) − x − x = lim x →0 x →0 x5 x5 Ta có lim ) Áp dụng khai triển hàm sin x (1 + x ) ta α (1 + ( − x ) ) ⇒ x (1 − x ) 1 3 1 = − x2 − x4 + o ( x4 ) x3 x5 = x − − + o ( x5 ) sin x sin x sin ( sin x ) = sin x − + + o ( sin x ) 3! 5!  x3 x 1 x3 x 5 = x − + + o ( x ) −  x − + + o ( x5 )  + ( x + o ( x ) ) 3! 5! 6 3! 5!  5! x3 x = x − + + o ( x5 ) 10 ⇒ sin ( sin x ) − x − x = 19 x + o ( x5 ) 90 sin ( sin x ) − x − x 19  −5  19 lim = x x + o x = ( )   x →0 x →0 x5  90  90 ⇒ lim sin ( sin x ) − x − x 19 Vậy lim = x →0 x5 90 tan ( tan x ) − sin ( sin x ) x →0 tan x − sin x lim Theo công thức Maclaurin với n = ta có x3 + o ( x3 ) x3 sin x = x − + o ( x ) 3! tan x = x + ⇒ tan x − sin x = x + o ( x3 ) Khi theo khai triển hàm hợp ta có 81 tan x + o ( x3 ) tan ( tan x ) = tan x +  x3 x3 1 = x + + o ( x ) +  x + + o ( x3 )  3  = x+ 3 x + o ( x3 ) sin x + o ( x3 ) sin ( sin x ) = sin x −  x3 x3 1 = x − + o ( x ) −  x − + o ( x3 )  6  = x − x3 + o ( x ) ⇒ tan ( tan x ) − sin ( sin x ) = x3 + o ( x3 ) x3 + o ( x3 ) tan ( tan x ) − sin ( sin x ) ⇒ lim = lim =2 x →0 x →0 tan x − sin x x + o(x ) tan ( tan x ) − sin ( sin x ) =2 x →0 tan x − sin x Vậy lim lim x →0 sin ( x ) sinh x Theo công thức Taylor với n = ta có x3 sin x = x − + o ( x3 ) x6 ⇒ sin ( x ) = x − + o ( x ) 2 x3 sinh x = x + + o ( x ) x6 x5 x − + o( x ) x − + o ( x5 ) sin ( x ) 6 ⇒ lim = lim = lim =0 0 x → x → x →0 x x2 sinh x 1+ + o( x ) x + + o( x ) 2 Vậy lim x →0 sin ( x ) sinh x = 82 11  lim  − cot x  x →0 x x   sin x − x cos x 11  sin x − x cos x   Ta có lim  − cot x  = lim  = lim  x →0 x x sin x x sin x x  x→0 x   x →0 Theo khai triển hàm sin x cos x ta x3 + o ( x3 ) ⇒ x sin x = x3 + o ( x3 ) sin x = x − x2 cos x = − + o ( x ) x3 ⇒ x cos x = x − + o ( x3 ) x3 ⇒ sin x − cos x = + o ( x ) x + o ( x3 ) 11  Vậy lim  − cot x  = lim 3 = x →0 x x   x →0 x + o ( x ) 6.4 Bài tập Viết khai triển Taylor hàm số sau: a) f ( x ) = x − x + 3x + theo lũy thừa ( x − ) b) x + x − x + x + theo lũy thừa ( x + 2) Viết khai triển Maclaurin hàm số sau: a) y = ln (1 + x ) đến số hạng x 1+ x b) y = đến số hạng x cos x c) y = đến số hạng x x + 3x + 2 d) y = arcsin x đến số hạng o ( x n +1 ) e) y = sin x đến số hạng x13 83 f) y = arcsin x 1− x g) y = ln đến số hạng x sin x đên số hạng x x Khai triển đến số hạng x lân cận x0 = hàm f ( x ) = e cos x Khai triển hàm f ( x ) = + x − x ( x > 0) theo lũy thừa nguyên dương đến số hạng chứa x x3 Viết khai triển Taylor hàm f ( x ) = x lân cận x0 = tới số hạng (x − 8)2 Áp dụng tính gần đánh giá sai số Tính gần giá trị sau: a) sin 0,1 b) c) cos180 d) e 29 Áp dụng khai triển để tính giới hạn giới hạn sau: e x sin x − x (1 + x ) x →0 x3 a) lim c) lim x →0 e) lim x →0 x − sin x x3    b) lim  x − x ln 1 +   x →0  x   d) lim x →1 x2 + 1− x 1+ x ln − 2x 1− x earctan x −  sin x − ( cos x )    x Để công thức gần sin x = x − x − − sin ( x − ) x − + sin ( x − 3) f) lim x →0 x3 có sai số ε < 10−3 x cần có giá trị bao nhiêu? Tìm số hạng khai triển hàm số f ( x ) = x theo lũy thừa nguyên dương ( x − 1) 84 6.5 Hướng dẫn đáp số tập a) f ( x ) = 11 + ( x − ) + ( x − ) + ( x − ) 4 b) f ( x ) = −5 + 21( x + ) − 43 ( x + ) + 12 ( x + ) − ( x + ) + ( x + ) a) ln (1 + x ) 25 = x − x + x3 − x4 + o ( x4 ) 1+ x 12 x2 x4 b) = 1+ − + o ( x5 ) cos x 24 c) 1 17 33 = − x + x − x + x + o ( x5 ) x − 3x + 2 16 32 d) Với n = ta thu arcsin x = x + x + x + o ( x6 ) 40 e) Đặt t = x3 ⇒ f ( x ) = sin t Áp dụng khai triển hàm sin x ta 1  t2 t4 3  t2  t4 sin t = t  − + + o ( t )  = t 1 − − + o (t5 )  120    18 3240  x7 x13 ⇒ sin x = x − − + o ( t16 ) 18 3240 3 f) y ( x ) = x + g) y ( x ) − x + x + o ( x6 ) 15 x2 x4 x6 − − + o ( x7 ) 180 2835 e e ecos x = e − x + x + o ( x ) f ( x ) = 1   − + o  2x 8x x  f ( x ) = + 1 ( x − 8) − ( x − 8) , 12 288 a) sin ( 0,1) = 0,1 − ≈ 2,0799 0,13 = 0,09983 với sai số không vượt 0,0005 3! 85 1 1 1 1 = − + − + − + − = 0,60653 với sai số 2 2! 3! 4! 5! 6! 7! e b) không 0,0001 c) cos180 = 0,9511 với độ xác 10 −4 d) a) d) − 29 ≈ 3,072 b) c) e) f) − x ≤ 0,001.120 < 0,12 Áp dụng công thức Taylor f ( x) = 1+ 1 ( x − 1) − ( x − 1) + o ( x − 1) ( ) CÁC BÀI TOÁN VỀ ÁP DỤNG CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 7.1 Phương pháp giải Sử dụng định nghĩa, định lý, tính chất, hệ quả,… có liên quan đến toán 7.2 Bài tập minh họa Chứng minh f ′( x ) đa thức f ( x ) = x3 − x − x + có nghiệm thực khoảng (-1,1) Giải Ta tìm nghiệm đa thức  x1 = x2 = x3 − x − x + = ⇔ ( x − 1) ( x + 1) = ⇔   x3 = −1 Theo định lý Rolle, f ( −1) = f (1) tồn x ∈ ( −1,1) : f ′ ( x ) = hay phương trình f ′( x ) = có nghiệm thuộc khoảng (-1,1) Giả sử P ( x ) = ( x + 3)( x + )( x − 1) Chứng minh khoảng ( −3,1) tồn nghiệm phương trình P′′ ( x ) = 86 Giải Đa thức P( x ) có nghiệm điểm x1 = −3, x2 = −1, x3 = Trong khoảng ( −3, − ) ( −2, 1) hàm P ( x ) khả vi thỏa điều kiện định lý Rolle P ( −3) = P ( −2 ) = P ( −2 ) = P (1) = Do theo định lý Rolle, tìm điểm c1 ∈ ( −3, −2 ) c2 ∈ ( −2, 1) cho P′ ( c1 ) = P′ ( c2 ) = Áp dụng định lý Rolle cho [ c1 , c2 ] hàm P′ ( x ) ta lại tìm c ∈ ( c1 , c2 ) ⊂ ( −3, 1) cho P′′ ( x ) = Chứng minh bắt đẳng thức sau: a) sin x − sin y ≤ x − y b) ln (1 + x ) < x, ∀x > c) a −b a a−b < ln < < b < a a b b Giải a) sin x − sin y ≤ x − y Xét hàm f ( x ) = sin x , ta có f ( x ) liên tục có đạo hàm f ′ ( x ) = cos x, ∀x ∈ ℝ Áp dụng định lý Lagrange [ x, y ] , ta có f ( x ) − f ( y ) = ( x − y ) f ′ ( c ) với y < c < x sin y − sin x = ( y − x ) cos c Suy sin x − sin y ≤ x − y cos c ≤ x − y (vì cos c ≤ ) (đpcm) b) ln (1 + x ) < x, ∀x > Bất đẳng thức cần phải chứng minh 87 ln (1 + x ) < x x > ⇔ ln (1 + x ) − x < x > Xét hàm f ( t ) = ln (1 + t ) − t với t > , ta có f ( t ) liên tục có đạo hàm f ′ (t ) = − [ 0,t ] 1+ t Áp dụng định lý Lagrange ta có f ( t ) − f ( ) = ( t − ) f ′ ( c ) , c ∈ ( 0, t ) c   ⇒ ln (1 + t ) − t = t  − 1 = −t c +1  c +1  Vì t > c > nên − ct Chứng minh rằng: x1 x2 = f ( c ) − cf ′ ( c ) x1 − x2 f ( x1 ) f ( x2 ) x1 < c < x2 Giải Ta đặt D ( x1 , x2 ) = x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) D ( x1 , x2 ) x1 − x2 khai triển định thức, ta có f ( x2 ) f ( x1 ) − x1 f ( x2 ) − x2 f ( x1 ) x2 x1 = = 1 x1 − x2 − x2 x1 90 Đặt g ( x ) = f ( x) , ϕ ( x ) = Vì điểm x = không thuộc [ x1 , x2 ] , nên hàm x x g ( x ), ϕ ( x ) thỏa tất điều kiện định lý Cauchy đoạn [ x1 , x2 ] , tồn c ∈ ( x1 , x2 ) cho g ( x2 ) − g ( x1 ) g ′ ( c ) = ϕ ( x2 ) − ϕ ( x1 ) ϕ ′ ( c ) D ( x1 , x2 ) g ′ ( c ) = = f ( c ) − cf ′ ( c ) (đpcm) x1 − x2 ϕ′ (c ) Từ suy Chứng tồn số A, B, C cho với hàm f ( x ) ∈ C ( 3) [ −1,1 ] có: Af ( −h ) + Bf ( ) + Cf ( h ) = f ′ ( h ) = f ′ ( ) h + o ( h3 ) , h ≤ Giải Áp dụng công thứ Taylor ta có f ′′ ( ) h + o ( h3 ) 2! f ′′ ( ) f ( −h ) = f ( ) − f ′ ( ) h + h + o ( h3 ) 2! f ( h ) = f ( 0) + f ′ ( 0) h + Thay f (− h ) f (h ) vào biểu thức Af ( − h ) + Bf ( ) + Cf ( h ) = f ′ ( ) h + o ( h3 ) , h ≤ A  f ( ) − f ′ ( ) h + o ( h3 )  + Bf ( ) + C  f ( ) + f ′ ( ) h + o ( h3 )   A=−  A + B + C =   Suy C − A = ⇒ B = C + A =   C =  Giả sử x → ta có f ( x ) = + kx + o ( x ) Chứng minh lim  f ( x )  x →0 x = ek Giải 91 Biểu diễn hàm [ f ( x )]  f ( x )  x =e x dạng ( x ) ln f ( x ) ( f x > x → ), theo đầu ta có ( ) lim  f ( x )  x →0 x = lim e ( x ) ln (1+ kx + o( x )) x →0 Từ dùng khai triển hàm ln (1 + x ) ta tìm lim e x →0 ( x ) ln (1+ kx +o( x )) = lim e x ( kx + o( x )) = e k (đpcm) x →0 7.3 Bài tập Chứng tỏ phương trình 16 x − 64 x + 31 = có hai nghiệm phân biệt nằm khoảng (0,1) Cho hàm f ( x ) liên tục [ 0,1] , khả vi ( 0,1) f ( ) = f (1) = Chứng minh tồn c ∈ (0,1) cho f ′ ( c ) = f ( c ) Chứng minh phương trình x n + px + q = hai nghiệm thực n chẵn không ba nghiệm thực n lẻ Chứng minh hàm f ( x ) = x + 1  thỏa mãn định lý Lagrange  ,  x 2  Chứng minh bất đẳng thức sau: a) arctan x − arctan y ≤ x − y , ∀x, y ∈ ℝ b) c) x− y ≤ x − y , ∀x, y ∈ [1, + ∞ ) x ≤ ln (1 + x ) ≤ x, ∀x > x +1 Chứng minh f ( x ) = x − x + ϕ ( x ) = x − x + 20 x − thỏa định lý Cauchy [1, 4] Tìm c ? Giả sử f ( x ) hàm khả vi, ϕ ( x ) hàm đơn điệu tăng khả vi với x ≥ x0 Chứng minh f ′ ( x ) < ϕ ′ ( x ) với x ≥ x0 thì: f ( x ) − f ( x0 ) < ϕ ( x ) − ϕ ( x0 ) với x ≥ x0 92 Giả sử f ( x ) = C ( f ′( x) ≤ 2) [ 0,1] = f (1) , f ′′ ( x ) ≤ A x ∈ ( 0,1) Chứng minh A x ∈ [0,1] Giả sử f ( x ) có đạo hàm hữu hạn cấp ba khoảng ( −∞, + ∞ ) Chứng minh hàm f ( x ) , f ′ ( x ) , f ′′ ( x ) , f ′′′ ( x ) luôn nhận giá trị dương ( −∞, + ∞ ) tồn số a cho f ( x ) > ax với x 7.4 Hướng dẫn đáp số tập 1, 2, Sử dụng định lý Rolle 4, Sử dụng định lý Lagrange 6, Áp dụng định lý Cauchy 8, Áp dụng công thức Taylor 93 KẾT LUẬN Luận văn giải trọn vẹn vấn đề đặt phần mở đầu Ở chương 1, trình bày khái quát khái niệm, định lý, công thức chứng minh định lý đạo hàm vi phân Chương 2, trình bày số ứng dụng đạo hàm Đặc biệt, chương chương trọng tâm luận văn phân loại số dạng tập phép tính vi phân hàm biến đồng thời nêu phương pháp giải tập minh họa tập có hướng dẫn đáp số Qua thời gian thực luận văn, thực bắt đầu quen với việc đọc tài liệu khoa học cách nghiêm túc, có hệ thống biết chọn lọc, tăng cường khả phân tích tổng hợp kiến thức Đặc biệt cách trình bày luận văn 94 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] R.A Adam, Calculus, Addition – Wesley publishers limited, 1995 [2] Trần Lưu Cường, Toán Olympic, Nhà xuất giáo dục, 2000 [3] P.E Danco, Bài tập toán học cao cấp, Nhà xuất Đại học trung học chuyên nghiệp Hà Nội – Nhà xuất “Mir” Maxcova [4] Đỗ Công Khanh, Toán cao cấp (Giải tích hàm biến – Toán 1), Nhà xuất Đại học quốc gia Tp.Hồ Chí Minh, 2002 [5] Nguyễn Hữu Khánh, Vi tích phân A1, Đại học Cần Thơ, 1999 [6] Y.Y Liasco, Giải tích toán học (Ví dụ tập), Nhà xuất Đại học trung học chuyên nghiệp Hà Nội, 1978 [7] Trần Ngọc Liên, Vi tích phân A1, Đại học Cần Thơ, 2009 [8] http:// www.tailieu.vn 95 [...]...Tuy nhiên, đôi khi ta có thể xem dx là biến độc lập mới, gọi là vi phân của x , và biến phụ thuộc mới dy , gọi là vi phân của y , như là hàm của x và dx , vì ta có: dy = dy dx = f ′ ( x ) dx dx 3.3 Ý nghĩa hình học của vi phân y Giả sử y = f ( x ) khả vi tại x0 Xét đồ thị hàm số tại lân cận điểm M 0 ( x0 , y0 ) Gọi α là góc tạo bởi tiếp tuyến M 0T với M0... α M 0 M = MT T ∆x M α O x0 x0 + ∆x x Vậy vi phân của hàm số y = f ( x ) ứng với x0 và ∆y cho trước bằng số gia tung độ của tiếp tuyến với đường cong 3.4 5ác quy tắc tính vi phân Giả sử f ( x ), g ( x ) khả vi tại x0 ta có: d [ f ± g ] = df ± dg d ( f g ) = fdg + gdf  f  gdf − fdg d = g2 g ( g ( x ) ≠ 0) 3.5 Vi phân cấp cao Định nghĩa 8 Vi phân cấp n của hàm số f được định nghĩa quy nạp như sau... 3 PHÂN LOẠI BÀI TẬP 1 TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA 1.1 Phương pháp giải − Xác định miền xác định − Áp dụng định nghĩa của đạo hàm + Đạo hàm tại một điểm f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) ∆f = lim = f ′ ( x0 ) lim ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x lim x → x0 hay f ( x ) − f ( x0 ) = f ′ ( x0 ) x − x0 + Đạo hàm một phía lim ∆x→0+ f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = f +′ ( x0 ) ∆x lim ∆x→0− f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = f −′ ( x0 ) ∆x 1.2 Bài. .. rằng hàm số y = f ( x ) khả vi đến cấp ( n + 1) trong lân cận của điểm x0 và f ′ ( x0 ) = f ′′ ( x0 ) = = f ( n −1) ( x0 ) = 0, f( n) ( x0 ) ≠ 0 Khi đó: i) Nếu n lẻ thì hàm số không có cực trị tại x0 ii) Nếu n chẵn thì hàm số có cực trị tại x0 H ơ n n ữ a n ếu f ( n) ( x0 ) > 0 thì hàm số có cực tiểu và nếu f ( n) có cực đại tại x0 1.2 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số Định nghĩa 10 Cho hàm. .. 4.1 Cực trị địa phương Định nghĩa 9 Hàm số y = f ( x ) xác định trong ( a, b ) và c ∈ ( a, b ) Hàm số f ( x ) đạt cực đại địa phương (hay cực tiểu địa phương) tại điểm c nếu tồn tại một lân cận của điểm c sao cho với mọi x thuộc vào lân cận đó ta có f ( x ) < f ( c ) (hay f ( x ) > f ( c ) ) ( x ≠ c ) 6 Điểm c gọi là cực đại (cực tiểu) địa phương của hàm số Cực đại và cực tiểu địa phương gọi chung... Chương 2 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM 1.CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 1.1 Cực trị địa phương Định lý 13 ( Điều kiện đủ thứ nhất của cực trị) Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục trong lân cận của điểm x0 , có đạo hàm trong lân cận đó ( có thể trừ x0 ) Giả sử x0 là điểm tới hạn của hàm số Nếu f ′ ( x ) đổi dấu khi x qua x0 thì hàm số đạt cực trị địa phương tại x0 và x0 được gọi là cực trị của hàm số Nếu f ( x ) đổi dấu... Giả sử f là hàm liên tục trên khoảng (a, b ) và lim f ( x ) = L và lim− f ( x ) = M x→a + x →b Khi đó: i) Nếu f ( u ) > L và f ( u ) > M với u nào đó thuộc ( a, b ) thì hàm số f có một giá trị lớn nhất trên (a, b ) ii) Nếu f ( v ) < L và f ( v ) < M với v nào đó thuộc ( a, b ) thì hàm số f có một giá trị nhỏ nhất trên (a, b ) 2 XẤP XỈ TUYẾN TÍNH Định nghĩa 11 Ta gọi xấp xỉ tuyến tính của hàm f tại... > m Vì f đạt giá trị m và M trên [a, b] mà f ( a ) = f ( b ) nên ít nhất một trong hai giá trị đó của hàm số phải đạt được tại một điểm c nào đó thuộc ( a, b ) Khi đó theo bổ đề Fermat thì f ′ ( c ) = 0 4.2.2 Định lý Lagrange 7 Định lý 10 Giả sử hàm số f liên tục trên [ a, b ] và khả vi trên ( a, b ) Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c ∈ ( a, b ) sao cho f (b) − f ( a ) = f ′(c) b−a Chứng minh f (b... − e1/ ∆x = 0 ∆x→0 1.3 Bài tập 1 Tìm đạo hàm các hàm số sau: a) f ( x ) = 1 x2 d) f ( x ) = 5(tan x − x ) b) f ( x ) = ( x 2 + 2 x + 2 ) e − x c) f ( x ) = x x e) f ( x ) = 2 x 2 2 Tính f ′ (1) nếu f ( x ) = x + ( x − 1) arcsin f) f ( x ) = 5sin x + 3cos x x x +1 3 Cho hàm số f ( x ) = x ( x − 1)( x − 2 ) ( x − 1000 ) Tính f ′ ( 0 )  x 2e − x khi x ≤ 1  Tính y′ ( x ) 4 Cho hàm số y ( x ) =  1... suy ra b = x02 − ax0 = x02 − 2 x02 = − x02 Vậy để f ( x ) liên tục và có đạo hàm hữu hạn tại x0 thì a = 2x0 và b = − x02 8 Tìm các đạo hàm f +′ ( x ) và f −′ ( x ) tại các điểm gián đoạn x0 của hàm f (x ) n ếu a) f ( x ) = x 2 + x3 x b) f ( x ) = 1 1 + e1/ x Giải a) f ( x ) = x 2 + x3 x x = 0 là điểm gián đoạn loại 1 của hàm số vì f ( +0 ) = lim ∆x→0+ ( ∆x ) 2 + ( ∆x ) ∆x 3 = lim ∆x→0+ 23 ∆x 1 + ∆x ... Đề tài Phân loại tập phép tính vi phân hàm biến ” giúp giải vấn đề với nội dung tóm tắt sau: Chương Đạo hàm vi phân Trình bày kiến thức phép tính vi phân hàm biến Chương Ứng dụng đạo hàm Trình... dụng phổ biến toán học chúng có nhiều ứng dụng khảo sát biến thiên hàm số, tìm min, max, tính tốc độ biến thiên…Như vậy, phân loại giải toán Vi c phân loại giải tập giúp hiểu phép tính vi phân ứng... dụng đạo hàm Chương Phân loại tập Trình bày dạng tập, nêu phương pháp giải ví dụ tập minh họa tập có hướng dẫn đáp số v Chương ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN ĐẠO HÀM 1.1 Đạo hàm điểm Định nghĩa Giả sử hàm y