Câu Cho hai tập số thực: A = { x ∈ ¡ : x ≠ 1} B = { y ∈ ¡ : y ≠ 2} Chứng minh ánh xạ: f :A→B 2x xa y= x −1 song ánh Giải ♦ Tính đơn ánh: Giả sử với x1 , x2 ∈ A : f ( x1 ) = f ( x2 ) ta có, x1 x2 = ⇔ x1 x2 − x1 = x1 x2 − x2 ⇔ x1 = x2 x1 − x2 − Vậy f ánh xạ đơn ánh ♦ Tính toàn ánh y Lấy y ∈ B tùy ý Đặt x = đó, ta có: y−2 y y y−2 x= = 1+ ≠ ⇒ x ∈ A f ( x ) = =y y y−2 y −2 −1 y−2 Như ta có, f toàn ánh Kết luận: f song ánh Câu Chứng minh X = { xn } dãy hội tụ X dãy Cauchy Giải Ta cần chứng minh: Với ε > , ta tìm số N ∈ ¥ cho, ∀m, n > N ta có, xn − xm < ε xn = x Thật vậy, giả sử, lim n →∞ Khi đó, ta tìm số N ∈ ¥ cho, ∀n > N ta có, xn − x < Với ∀m, n > N , ta có, xn − x < ε ε xm − x < 2 Ta có, ∀m, n > N , xn − xm = xn − x − ( xm − x ) ≤ xn − x + xm − x < Vậy, X = { xn } dãy Cauchy (đpcm) Câu Tính giới hạn sau: a) lim sin ( ln ( + x ) ) − sin ( ln x )  ε ε + =ε 2 x →+∞ ( x − 1) b) lim x→0 Giải ε ln x 1+ x ln ln x + x ( ) a) x L1 = lim sin ( ln ( + x ) ) − sin ( ln x )  = lim cos sin x →+∞ x →+∞ 2 Ta có, cos ln x ( + x ) ≤ 1+ x 1+ x ln x = sin lim x = sin ln lim 1 +  = sin ln1 = lim sin  ÷ x →+∞ x →+∞ 2 x →+∞  x  Suy ra, L1 = ln b) L2 = lim+ ( x − 1) x →1 ln x lim ln x ln ( x −1) = e x→1+ Ta có, ln ( x − 1) lim ln x ln ( x − 1) = lim+ = lim+ x − x →1+ x →1 x →1 − ln x x ln x ln x ln x = − lim+ = − lim+ x = lim+ x ln x = x →1 x →1 x →1 1− − x x lim ln x ln ( x −1) Vậy, L2 = e x→1+ = e0 = ... ln ( x − 1) lim ln x ln ( x − 1) = lim+ = lim+ x − x 1+ x 1 x 1 − ln x x ln x ln x ln x = − lim+ = − lim+ x = lim+ x ln x = x 1 x 1 x 1 1− − x x lim ln x ln ( x 1) Vậy, L2 = e x 1+ = e0... ( + x ) ≤ 1+ x 1+ x ln x = sin lim x = sin ln lim 1 +  = sin ln1 = lim sin  ÷ x →+∞ x →+∞ 2 x →+∞  x  Suy ra, L1 = ln b) L2 = lim+ ( x − 1) x 1 ln x lim ln x ln ( x 1) = e x 1+ Ta có,