1 ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A1 HỌC KỲ I NĂM HỌC: 2015 - 2016 Ngày thi: 26/11/2015 Thời gian làm bài: 90 phút TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN BỘ MÔN TOÁN NỘI DUNG ĐỀ THI (Đề thi gồm 07 câu in 01 trang.) Câu Tính giới hạn sau: x sin(t2 )dt − cos(1 − cos x) (a) lim x→0 x4 (b) lim x3 x→0 −3x2 + 2x x ≤ ax + sin x x > (a) Tìm a để f (x) liên tục x = (b) Tính f (0) với giá trị a vừa tìm Câu Cho hàm số f (x) = tan x Câu (a) Cho hàm số g(x) = t+ √ t + 1dt, với ≤ x < π Đặt f (x) = sin(g(x)) Tính f+ (0) (b) Cho đường cong (C) có phương trình x3 + y − 9xy = điểm M(2, 4) ∈ (C) Hãy tìm độ dốc, phương trình tiếp tuyến pháp tuyến (C) M Câu Hãy tìm thể tích lớn hình trụ tròn xoay nội tiếp khối cầu bán kính Câu (a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = 2x + đường thẳng x − y − = (b) Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành quay miền D giới hạn đường y = x3 , y = x = quanh trục Oy ∞ Câu Khảo sát tính hội tụ phân kỳ chuỗi n=1 ∞ Câu Tính tổng chuỗi n=0 n n+1 n2 (−1)n x2n+1 khoảng −1 < x < 2n + Cần Thơ, ngày 25 tháng 11 năm 2015 Cán đề LÊ HOÀI NHÂN ĐÁP ÁN Câu Tính giới hạn sau: x sin(t2 )dt − cos(1 − cos x) (a) lim x→0 x4 (b) lim x→0 x3 Giải (a) Khi x → ta có (1 − cos x)2 − cos (1 − cos x) ∼ ∼ x2 2 = x4 Do đó, x4 − cos(1 − cos x) = lim = 4 x→0 8x x→0 x (b) Giới hạn cho có dạng vô đinh Áp dụng quy tắc L’Hospital ta lim x x d dx sin(t2 )dt lim x3 x→0 = lim x→0 sin(t2 )dt d x dx sin(x2 ) = x→0 3x = lim −3x2 + 2x x ≤ ax + sin x x > (a) Tìm a để f (x) liên tục x = (b) Tính f (0) với giá trị a vừa tìm Câu Cho hàm số f (x) = Giải (a) Hàm f (x) liên tục x = hệ đẳng thức sau f (0) = lim f (x) = lim f (x) x→0− x→0+ (1) Ta có, • f (0) = (−3x2 + 2x)|x=0 = 0; • lim f (x) = lim (−3x2 + 2x) = (−3x2 + 2x)|x=0 = 0; x→0− x→0− • lim f (x) = lim (ax + sin x) = (ax + sin x)|x=0 = x→0+ x→0+ Từ điều trên, ta thấy hệ đẳng thức (1) với giá trị a Vậy tập hợp tất giá trị a phải tìm R (b) Vì hàm f (x) cho lân cận x = hai biểu thức khác nên ta tính đạo hàm phía f (x) x = ∆f f (∆x) − f (0) • f− (0) = lim = lim = lim (−3∆x + 2) = ∆x→0− ∆x ∆x→0− ∆x→0− ∆x f (∆x) − f (0) sin ∆x ∆f = a + = lim = lim a+ • f+ (0) = lim ∆x→0+ ∆x→0+ ∆x→0+ ∆x ∆x ∆x Vì a nhận giá trị tùy ý nên ta có hai khả sau • a = Khi đó, f− (0) = f+ (0) = Suy f (0) = • a = Khi đó, f− (0) = f+ (0) Suy f (0) không tồn 3 tan x Câu (a) Cho hàm số g(x) = t+ √ t + 1dt, với ≤ x < π Đặt f (x) = sin(g(x)) Tính f+ (0) (b) Cho đường cong (C) có phương trình x3 + y − 9xy = điểm M(2, 4) ∈ (C) Hãy tìm độ dốc, phương trình tiếp tuyến pháp tuyến (C) M Giải (a) π • f (x) = cos(g(x)).g (x) với ≤ x < Suy f+ (0) = cos(g(0)).g (0) √ tan x + tan x + • g (0) = = cos2 (x) x=0 tan • g(0) = (b) t+ √ t + 1dt = 0 • Vậy f+ (0) = cos(0).1 = • Đạo hàm hai vế đẳng thức x3 + y − 9xy = theo biến x xem y hàm số theo x ta 3x2 + 3y y − 9y − 9xy = • Trong đẳng thức cho x = y = ta có Độ dốc đường cong C M y (2) = 12 • Phương trình tiếp tuyến y = x + 5 13 • Phương trình pháp tuyến y = − x + Câu Hãy tìm thể tích lớn hình trụ tròn xoay nội tiếp khối cầu bán kính • Gọi r h bán kính đáy chiều cao hình trụ nội tiếp khối cầu bán h kính Suy r, hai cạnh góc vuông tam giác vuông với cạnh huyền Do đó, h2 h = 62 =⇒ r = 36 − r + • Thể tích khối trụ • V = π 36 − 3h2 V = πr h = π 36 − h2 h √ = ⇐⇒ h = √ √ • Lập bảng biến thiên kết luận h = r = Câu (a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = 2x + đường thẳng x − y − = (b) Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành quay miền D giới hạn đường y = x3 , y = x = quanh trục Oy 4 Giải (a) • Miền D biểu diễn hình vẽ bên (D hình thang loại 2) Phương trình tung độ giao điểm parabol y = 2x + đường thẳng x − y − = y2 − = y + ⇐⇒ y = −2 ∨ y = • Diện tích miền D S= (y + 1) − y2 −3 dy = 18 −2 (b) • Miền D biểu diễn hình vẽ bên (D hình thang loại 1) Phương trình hoành độ giao điểm y = x3 y = x3 = ⇐⇒ x = • Thể tích vật thể tạo thành quay D quanh trục Oy V = (2πx)(8 − x3 )dx = 96π ∞ n2 Câu Khảo sát tính hội tụ phân kỳ chuỗi n=1 n n+1 Giải • Số hạng tổng quát chuỗi số cho un = n n+1 n2 • Sử dụng tiêu chuẩn Cauchy Ta có, lim n n→∞ • Vì lim n→∞ n |un | = lim n→∞ n lim −n = en→∞ n+1 = e−1 |un | < nên chuỗi cho hội tụ ∞ Câu Tính tổng chuỗi n=0 (−1)n x2n+1 khoảng −1 < x < 2n + ∞ Giải n n+1 • Lấy x ∈ (−1, 1) Đăt S(x) = n=0 (−1)n x2n+1 =⇒ S (x) = 2n + ∞ (−1)n x2n n=0 • Chuỗi vừa thu chuỗi hình học với số hạng đầu u = công bội q = −x2 ∈ (0; 1) Do đó, có tổng S (x) = u = 1−q + x2 • Lấy nguyên hàm kết ta có S(x) = dx + C = arctan x + C + x2 • Cho x = Từ đề ta có S(0) = Theo ta có S(0) = C Suy C = Vậy S(x) = arctan x  ... h2 h = 62 =⇒ r = 36 − r + • Thể tích khối trụ • V = π 36 − 3h2 V = πr h = π 36 − h2 h √ = ⇐⇒ h = √ √ • Lập bảng biến thi n kết luận h = r = Câu (a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm... −2 ∨ y = • Diện tích miền D S= (y + 1) − y2 −3 dy = 18 −2 (b) • Miền D biểu diễn hình vẽ bên (D hình thang loại 1) Phương trình hoành độ giao điểm y = x3 y = x3 = ⇐⇒ x = • Thể tích vật thể tạo... thu chuỗi hình học với số hạng đầu u = công bội q = −x2 ∈ (0; 1) Do đó, có tổng S (x) = u = 1−q + x2 • Lấy nguyên hàm kết ta có S(x) = dx + C = arctan x + C + x2 • Cho x = Từ đề ta có S(0) =