Ch Ch Ch Ch Ch ( 45 ti t ) ng : Phép tính vi phân hàm m t bi n ng : Phép tính tích phân hàm m t bi n ng : Lý thuy t chu i ng : Phép tính vi phân hàm nhi u bi n ng : ng d ng c a hàm nhi u bi n TÀI LI U THAM KH O [1] Toán h c cao c p, t p 2&3, Nguy n ình Trí (ch biên), NXB Giáo d c, 2009 [2] Toán cao c p, Gi i tích hàm m t bi n & Gi i tích hàm nhi u bi n, Công Khanh (ch biên), NXB HQG TP.HCM, 2010 Ch ng Phép tính vi phân hàm m t bi n 1.1 Các khái ni m c b n v hàm s m t bi n 1.1.1 nh ngh a Cho X Y t p h p khác r ng M t ánh x t t p X vào t p Y m t quy t c tt ng ng m i ph n t c a X v i nh t m t ph n t c a Y Ký hi u f : X Y x y ó: y x VD f : f x c g i nh c a x qua ánh x f c g i t o nh c a y qua ánh x f ánh x ; f : x x2 không ánh x (vì s x x nh) N u y Y ta có t p h p f y có không m t ph n t (ho c f x f x X f x f x2 x1 y x2 ) n ánh N u y Y ta có t p h p f y (ho c f X Y ) f toàn ánh N ufv a y VD n ánh v a toàn ánh f song ánh T c v i m i Y , t n t i nh t m t ph n t x X cho f(x) = y song ánh f : x x3 không f : x x2 n ánh, không toàn ánh Cho f : X Y song ánh Khi ó, v i m i y nh t m t ph n t x tt X cho f(x) = y Ánh x f ng ng ph n t y v i ngh ch nh x c a x ng Y, t n t i :Y X c g i ánh c c a f V y: y Y,f (Ánh x ng y cf x f x y c a f c!ng song ánh) Ánh x f : X Cho hai t p khác r ng X , Y Y c g i m t hàm s Ký hi u y = f(x) T pX c g i t p xác T pY y f x x nh c a f, ký hi u Df X c g i mi n giá tr c a f 1.1.2 Hàm s ng c nh ngh a Cho song ánh f : X f x g i hàm s ng y ; y N uy f c a chúng Y Ánh x ng c c a hàm y = f(x), vi t Y x hàm s ng i x ng qua c c a hàm y = f(x) "ng th#ng y = x VD f x 2x f c c a f x lo g x ; x > th 1.1.3 Hàm s l Hàm s y ng c y ng giác ng sin x ; a rcs in x ; c x 2 x ; 1; y y có hàm Hàm s y c o sx ; có hàm ng y x có hàm ng y Quy y c a rcco sx ; Hàm s y ; x ta n x ; x c a rcta n x ; x 1; y ; 2 ;y ; 2 c: arctan arctan 2 ;y Hàm s y y Quy cot x ; x a rc c o t x ; x ;y c: arctan arctan 0; ;y 0; có hàm ng c 1.2 Gi i h n c a hàm s m t bi n 1.1.1 nh ngh a Cho D t p s th$c i%m xo c g i i m gi i h n (hay i m t ) c a t p D n u m i kho ng x o , xo u ch a vô s ph n t c a t p D VD D ,1 D !# $ ;n ##& n D !# $ #&# i%m t c a D [0, 1] " # % # # ' n n n ;n D có nh t m t i%m t " # % # # ' D có i%m t –1 nh ngh a (theo ngôn ng “ Cho hàm s y = f(x) xác h n c a t p X S l d n n xo n u nh t p X x xo Khi ó ký hi u: lim f x x xo i%m gi i c g i gi i h n c a hàm s f x 0, ) ( : x (”) xo ( X mà f x l hay f x l l x xo Chú ý Trong VD nh ngh&a không òi h'i hàm f ph i xác x2 lim x x 4 m c dù hàm không xác nh t i xo nh t i x = T+ng ho c tích c a hai VCB x Tích c a m t VCB x xo m t VCB x lim f x x l xo x o m t VCB x xo x o m t hàm b ch n lân c n c a xo f x l * Gi s f g hai VCB x g x ; ó g VCB x x o lim x xo f x xo l Khi ó g x N u l = ta nói f VCB b c cao h n g, ký hi u f = o(g) N ul= N u0 ta nói f VCB b c th p h n g l ta nói f g VCB b c, ký hi u f = O(g) c bi t, n u l = ta nói f g VCB t f g ng ng, ký hi u – Các VCB t h f g ex ng c n nh x ng x ; ta n x g h VD Các VCB t s in x ng có tính ch t b c c u, t c n u f ng x ; ln x ; a rcsin x x * Ta có th% dùng VCB t x ; a rctan x x; x ng ng % kh d ng vô nh C th% ta dùng k t qu sau: nh lý i u ki n c n % f, g hai VCB t f – g VCB b c cao h n f ho c g ng ng a) N u f , g , f * , g * VCB x f x f* x g * lim lim x xo g x x xo g * x M nh g b) N u f, g hai VCB khác b c f + g t ng x o f f *, ng v i VCB b c th p h n x o chúng u t+ng c a nhi u c) N u f, g hai VCB x f x VCB Khi ó lim b,ng gi i h n c a t- s c a hai VCB b c x xo g x th p nh t t m/u (V t b' VCB b c cao h n) VD Tìm gi i h n: x2 a ) lim ; x s in x x co s x b ) lim x x4 x2 c ) lim x x sin x 3x x2 ta n x x6 * T ngh ch t nh ngh&a suy ra: ngh ch o c a m t VCB m t VCL o c a m t VCL m t VCB nên ta c!ng có k t qu ng t$ nh kh d ng vô i v i VCL ta dùng VCL t ng ng % nh VD Tìm gi i h n x lim x2 x2 2x x x (v t b' VCL b c th p h n) VD Tìm gi i h n 1) I 2) I 3) I lim x lim x lim x ln x tan x x sin x ln cos x ln e x2 x cos x sin x 4) I 5) I 6) I lim x sin e x lim ln x esin x lim x ln x ex esin x 2x cos x sin x 2x4 1.4 o hàm vi phân hàm m t bi n (Xem giáo trình) M t s công th c 1) 2) 3) a * x o hàm c b n x a ln a x ln a * arcsin x x2 loga x * 4) arccos x * 5) arctan x * 6) arc cot x * 1 x2 x2 1 x2 1.5 Công th c Taylor nh lý N u hàm f có o hàm n c p n + lân c n c a i%m Khi ó ta có công th c Taylor c a hàm f * Trong ó: Rn(x – xo) nc pnt i là: ** c g i ph n d th n, ta có: - < - [...]... x lim 0 1 ln x 1 esin 5 x lim x 0 ln 1 x 1 ex esin x 2x 1 cos x sin 3 x 2x4 1 1.4 o hàm và vi phân hàm m t bi n (Xem giáo trình) M t s công th c 1) 2) 3) a * x o hàm c b n x a ln a 1 x ln a 1 * arcsin x 1 x2 loga x * 4) arccos x * 5) arctan x * 6) arc cot x * 1 1 x2 1 x2 1 1 1 x2 1. 5 Công th c Taylor nh lý N u hàm f có o hàm n c p n + 1 trong lân c n c a i%m Khi ó ta có công th c Taylor c a hàm f *... thì lim g x x xo l 1. 1.5 M t s k t qu gi i h n c n nh 1) x lim , x 0 3) lim 1 x 0 1 x 1 2) lim 1 x e x 1 x x 1 x sin x 4) lim x 0 x ex 1 5) lim x 0 x 6 ) lim 7) 1 e 8) 1 9) 1 10) x 1 x tan x lim 1 x 0 x arcsin x lim 1 x 0 x arctan x lim 1 x 0 x 1 cos x 1 lim x 0 x2 2 x e ln 1 0 1. 3 Vô cùng bé (VCB) và vô cùng l n (VCL) nh ngh a Hàm f c g i là m t VCB khi x ho c vô cùng) n u lim f x x Hàm f xo x o (xo... trên th "ng c dùng % ch ng t' hàm không có gi i h n Gi i h n m t phía th "ng c dùng trong các tr "ng h p hàm ch a c(n b c ch)n, ch a tr tuy t i ho c hàm ghép sin x VD 1 Ch ng t' không t n t i gi i h n lim x 0 x ! 2 x 3; x + 0 # # # VD 2 Cho f x Tìm lim f x $ 1 x 0 # x sin ; x 0 # # x & 1. 1.4 Tính ch t và các phép toán c a gi i h n hàm s (Xem Giáo trình) nh lý Gi s ba hàm s f, g, h th'a mãn b t #ng... n, ta có: - 0 < - ...Ch ng Phép tính vi phân hàm m t bi n 1. 1 Các khái ni m c b n v hàm s m t bi n 1. 1 .1 nh ngh a Cho X Y t p h p khác r ng M t ánh x t t p X vào... a hàm y = f(x), vi t Y x hàm s ng i x ng qua c c a hàm y = f(x) "ng th#ng y = x VD f x 2x f c c a f x lo g x ; x > th 1. 1.3 Hàm s l Hàm s y ng c y ng giác ng sin x ; a rcs in x ; c x 2 x ; 1; ... x ; c x 2 x ; 1; y y có hàm Hàm s y c o sx ; có hàm ng y x có hàm ng y Quy y c a rcco sx ; Hàm s y ; x ta n x ; x c a rcta n x ; x 1; y ; 2 ;y ; 2 c: arctan arctan 2 ;y Hàm s y y Quy cot x ; x