ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com XÁC SUẤT & THỐNG KÊ CAO ĐẲNG PHÂN PHỐ PHỐI CHƯƠNG TRÌNH Số tiế tiết: 30 - PHẦN I LÝ THUYẾT XÁC SUẤT (Probability theory) Chương Xác suất Biến cố Chương Biến ngẫu nhiên Chương Phân phối Xác suất thơng dụng Đào Hữu Hồ – Xác suất Thống kê – NXB Khoa học & Kỹ thuật Đậu Thế Cấp – Xác suất Thống kê – Lý thuyết tập – NXB Giáo dục Phạm Xn Kiều – Giáo trình Xác suất Thống kê – NXB Giáo dục Nguyễn Cao Văn – Giáo trình Lý thuyết Xác suất & Thống kê – NXB Ktế Quốc dân F.M Dekking – A modern introduction to Probability and Statistics – Springer Publication (2005) Biên soạ soạn: ThS ThS Đồ Đồn Vương Ngun Download Slide giả giảng XSTK_CĐ XSTK_CĐ dvntailieu.wordpress.com Chương Xác suấ suất Biế Biến cố • Những tượng mà thực điều kiện cho kết gọi tượng tất nhiên Chẳng hạn, đun nước điều kiện bình thường đến 1000C nước bốc hơi; người nhảy khỏi máy bay bay người rơi xuống tất nhiên • Những tượng mà cho dù thực điều kiện cho kết khác gọi tượng ngẫu nhiên Chẳng hạn, gieo hạt lúa điều kiện bình thường hạt lúa nảy mầm khơng nảy mầm Hiện tượng ngẫu nhiên đối tượng khảo sát lý thuyết xác suất Xác suất - Thống kê Cao đẳng Wednesday, January 05, 2011 PHẦN II LÝ THUYẾT THỐNG KÊ (Statistical theory) Chương Mẫu thống kê Ước lượng tham số Chương Kiểm định Giả thuyết Thống kê Chương Bài tốn Tương quan Hồi quy Tài liệu tham khảo Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Xác suất – Thống kê Ứng dụng – NXB Thống kê Đinh Ngọc Thanh – Giáo trình Xác suất Thống kê – ĐH Tơn Đức Thắng Tp.HCM Đặng Hùng Thắng – Bài tập Xác suất; Thống kê – NXB Giáo dục Lê Sĩ Đồng – Xác suất – Thống kê Ứng dụng – NXB Giáo dục PHẦN I LÝ THUYẾT XÁC SUẤT (Probability theory) Chương XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ §1 Biến cố ngẫu nhiên §2 Xác suất biến cố §3 Cơng thức tính xác suất ………………………………………………………………………… §1 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN 1.1 Hiện tượng ngẫu nhiên Người ta chia tượng xảy đời sống hàng thành hai loại: tất nhiên ngẫu nhiên Chương Xác suấ suất Biế Biến cố 1.2 Phép thử biến cố • Để quan sát tượng ngẫu nhiên, người ta cho tượng xuất nhiều lần Việc thực quan sát tượng ngẫu nhiên đó, để xem tượng có xảy hay khơng gọi phép thử (test) • Khi thực phép thử, ta khơng thể dự đốn kết xảy Tuy nhiên, ta liệt kê tất kết xảy Tập hợp tất kết xảy phép thử gọi khơng gian mẫu phép thử Ký hiệu Ω ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Chương Xác suấ suất Biế Biến cố Mỗi phần tử ω ∈ Ω gọi biến cố sơ cấp Mỗi tập A ⊂ Ω gọi biến cố (events) VD Xét sinh viên thi hết mơn XSTK, hành động sinh viên phép thử Tập hợp tất điểm số: Ω = {0; 0, 5; 1; 1, 5; ; 9, 5; 10} mà sinh viên đạt khơng gian mẫu Các phần tử: ω1 = ∈ Ω , ω2 = 0, ∈ Ω,…, ω21 = 10 ∈ Ω biến cố sơ cấp Các tập Ω : Chương Xác suấ suất Biế Biến cố 1.3 Quan hệ biến cố a) Quan hệ tương đương Trong phép thử, biến cố A gọi kéo theo biến cố B A xảy B xảy Ký hiệu A ⊂ B Hai biến cố A B gọi tương đương với A ⊂ B B ⊂ A Ký hiệu A = B VD Quan sát gà mái đẻ trứng ngày Gọi Ai : “có i gà mái đẻ trứng ngày”, i = 0, A: “có gà mái đẻ trứng ngày” B : “có nhiều gà mái đẻ trứng ngày” Khi đó, ta có: A3 ⊂ B , A2 ⊄ B , B ⊂ A A = B Chương Xác suấ suất Biế Biến cố Khi đó, ta có: A = A1 ∪ A2 B = A1 ∩ A2 VD Xét phép thử gieo hai hạt lúa Gọi N i : “hạt lúa thứ i nảy mầm”; K i : “hạt lúa thứ i khơng nảy mầm” (i = 1, 2); A : “có hạt lúa nảy mầm” Khi đó, khơng gian mẫu phép thử là: Ω = {K1K ; N 1K ; K1N ; N 1N } Các biến cố tích sau biến cố sơ cấp: ω1 = K1K 2, ω2 = N 1K 2, ω3 = K1N , ω4 = N 1N Biến cố A khơng phải sơ cấp A = N 1K ∪ K1N Xác suất - Thống kê Cao đẳng Wednesday, January 05, 2011 Chương Xác suấ suất Biế Biến cố A = {4; 4, 5; ; 10} , B = {0; 0, 5; ; 3, 5} ,… biến cố Các biến cố A, B phát biểu lại là: A : “sinh viên thi đạt mơn XSTK”; B : “sinh viên thi hỏng mơn XSTK” • Trong phép thử, biến cố mà chắn xảy gọi biến cố chắn Ký hiệu Ω Biến cố khơng thể xảy gọi biến cố rỗng Ký hiệu ∅ VD Từ nhóm có nam nữ, ta chọn ngẫu nhiên người Khi đó, biến cố “chọn nam” chắn; biến cố “chọn người nữ” rỗng Chương Xác suấ suất Biế Biến cố b) Tổng tích hai biến cố • Tổng hai biến cố A B biến cố, biến cố xảy A xảy hay B xảy phép thử (ít hai biến cố xảy ra) Ký hiệu A ∪ B hay A + B • Tích hai biến cố A B biến cố, biến cố xảy A B xảy phép thử Ký hiệu A ∩ B hay AB VD Một người thợ săn bắn hai viên đạn vào thú thú chết bị trúng hai viên đạn Gọi Ai : “viên đạn thứ i trúng thú” (i = 1, 2); A : “con thú bị trúng đạn”; B : “con thú bị chết” Chương Xác suấ suất Biế Biến cố c) Biến cố đối lập Trong phép thử, biến cố A gọi biến cố đối lập (hay biến cố bù) biến cố A A xảy A khơng xảy ngược lại, A khơng xảy A xảy Vậy ta có: A = Ω \ A VD Từ lơ hàng chứa 12 phẩm phế phẩm, người ta chọn ngẫu nhiên 15 sản phẩm Gọi Ai : “chọn i phẩm”, i = 9,10,11,12 Ta có khơng gian mẫu là: Ω = A9 ∪ A10 ∪ A11 ∪ A12 , A10 = Ω \ A10 = A9 ∪ A11 ∪ A12 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, January 05, 2011 Chương Xác suấ suất Biế Biến cố Chương Xác suấ suất Biế Biến cố 1.4 Hệ đầy đủ biến cố a) Hai biến cố xung khắc Hai biến cố A B gọi xung khắc với phép thử A B khơng xảy b) Hệ đầy đủ biến cố Trong phép thử, họ gồm n biến cố {Ai } , i = 1, n VD Hai sinh viên A B thi mơn XSTK Gọi A : “sinh viên A thi đỗ”; B : “chỉ có sinh viên B thi đỗ”; C : “chỉ có sinh viên thi đỗ” 1) Ai ∩ Aj = ∅, ∀ i ≠ j 2) A1 ∪ A2 ∪ ∪ An = Ω gọi hệ đầy đủ có biến cố Ai , i0 ∈ {1; 2; ; n } họ xảy Nghĩa là: Khi đó, A B xung khắc; B C khơng xung khắc Chú ý Trong VD 7, A B xung khắc khơng đối lập VD Trộn lẫn bao lúa vào bốc hạt Gọi Ai : “hạt lúa bốc bao thứ i ”, i = 1, Khi đó, hệ {A1; A2 ; A3 ; A4 } đầy đủ Chú ý Trong phép thử, hệ {A; A} đầy đủ với A tùy ý …………………………………………………………………………………… Chương Xác suấ suất Biế Biến cố §2 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Quan sát biến cố phép thử, khơng thể khẳng định biến cố có xảy hay khơng người ta đốn khả xảy biến cố hay nhiều Khả xảy khách quan biến cố gọi xác suất (probability) biến cố Xác suất biến cố A, ký hiệu P (A), định nghĩa nhiều dạng sau: dạng cổ điển; dạng thống kê; dạng tiên đề Kolmogorov; dạng hình học Chương Xác suấ suất Biế Biến cố VD Từ hộp chứa sản phẩm tốt phế phẩm người ta chọn ngẫu nhiên sản phẩm Tính xác suất để có: 1) sản phẩm tốt; 2) phế phẩm VD Tại bệnh viện có 50 người chờ kết khám bệnh Trong có 12 người chờ kết nội soi, 15 người chờ kết siêu âm, người chờ kết nội soi siêu âm Gọi tên ngẫu nhiên người 50 người này, tính xác suất gọi người chờ kết nội soi siêu âm? Xác suất - Thống kê Cao đẳng Chương Xác suấ suất Biế Biến cố 2.1 Định nghĩa xác suất dạng cổ điển Xét phép thử với khơng gian mẫu Ω = {ω1; ; ωn } biến cố A ⊂ Ω có k phần tử Nếu n biến cố sơ cấp có khả xảy (đồng khả năng) xác suất biến cố A định nghĩa là: P (A) = Số trường hợp A xảy k = Số trường hợp xảy n VD Một cơng ty cần tuyển hai nhân viên Có người nữ người nam nộp đơn ngẫu nhiên (khả trúng tuyển người nhau) Tính xác suất để: 1) hai người trúng tuyển nữ; 2) có người nữ trúng tuyển Chương Xác suấ suất Biế Biến cố 2.2 Định nghĩa xác suất dạng thống kê • Nếu thực phép thử n lần, thấy có k k lần biến cố A xuất tỉ số gọi tần n suất biến cố A • Khi n thay đổi, tần suất thay đổi theo ln k dao động quanh số cố định p = lim n →∞ n • Số p cố định gọi xác suất biến cố A theo nghĩa thống kê k Trong thực tế, n đủ lớn P (A) ≈ n ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, January 05, 2011 Chương Xác suấ suất Biế Biến cố VD • Pearson gieo đồng tiền cân đối, đồng chất 12.000 lần thấy có 6.019 lần xuất mặt sấp (tần suất 0,5016); gieo 24.000 lần thấy có 12.012 lần xuất mặt sấp (tần suất 0,5005) • Laplace nghiên cứu tỉ lệ sinh trai – gái London, Petecbua Berlin 10 năm đưa tần suất sinh bé gái 21/43 2.3 Tính chất xác suất 1) Nếu A biến cố tùy ý ≤ P (A) ≤ 2) P (∅) = ; 3) P (Ω) = 4) Nếu A ⊂ B P(A) ≤ P(B ) Chương Xác suấ suất Biế Biến cố §3 CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 3.1 Cơng thức cộng xác suất Xét phép thử, ta có cơng thức cộng xác suất sau • Nếu A B hai biến cố tùy ý: P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ) − P (A ∩ B ) • Nếu A B hai biến cố xung khắc thì: P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ) • Nếu họ {Ai } (i = 1, , n ) xung khắc đơi thì: P (A1 ∪ A2 ∪ ∪ An ) =P (A1 )+P (A2 )+ +P (An ) …………………………………………………………………………… Chương Xác suấ suất Biế Biến cố Chương Xác suấ suất Biế Biến cố VD Một nhóm có 30 nhà đầu tư loại, có: 13 nhà đầu tư vàng; 17 nhà đầu tư chứng khốn 10 nhà đầu tư vàng lẫn chứng khốn Một đối tác gặp ngẫu nhiên nhà đầu tư nhóm Tìm xác suất để người gặp nhà đầu tư vàng chứng khốn? Chú ý Đặc biệt VD Trong vùng dân cư, tỉ lệ người mắc bệnh tim 9%; mắc bệnh huyết áp 12%; mắc bệnh tim huyết áp 7% Chọn ngẫu nhiên người vùng Tính xác suất để người khơng mắc bệnh tim khơng mắc bệnh huyết áp? P (A) = − P (A); P (A) = P (A.B ) + P (A.B ) VD Một hộp phấn có 10 viên có viên màu đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên phấn Tính xác suất để lấy viên phấn màu đỏ A ∩ B = A ∪ B; A ∪ B = A ∩ B Chương Xác suấ suất Biế Biến cố 3.2 XÁC SUẤT CĨ ĐIỀU KIỆN • Xét phép thử: người A , B C thi tuyển vào cơng ty Gọi A : “người A thi đỗ”, B : “người B thi đỗ”, C : “người C thi đỗ”, H : “có người thi đỗ” Khi đó, khơng gian mẫu Ω là: {ABC , ABC , ABC , ABC , ABC , ABC , ABC , ABC } Ta có: A = {ABC , ABC , ABC , ABC } ⇒ P (A) = ; H = {ABC , ABC , ABC } ⇒ P (H ) = Xác suất - Thống kê Cao đẳng Chương Xác suấ suất Biế Biến cố Lúc này, biến cố: “2 người thi đỗ có A ” là: AH = {ABC , ABC } P (AH ) = • Bây giờ, ta xét phép thử là: A , B , C thi tuyển vào cơng ty biết thêm thơng tin có người thi đỗ Khơng gian mẫu trở thành H A trở thành AH Gọi A H : “A thi đỗ biết có người thi đỗ” ta ( ) được: P A H = P (AH ) = P (H ) ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, January 05, 2011 Chương Xác suấ suất Biế Biến cố Chương Xác suấ suất Biế Biến cố 3.2.1 Định nghĩa xác suất có điều kiện Trong phép thử, xét hai biến cố A B với P (B ) > Xác suất có điều kiện A với điều kiện B xảy ký hiệu định nghĩa là: P (A ∩ B ) P AB = P (B ) ( ) VD Một nhóm 10 sinh viên gồm nam nữ có nam 18 tuổi nữ 18 tuổi Chọn ngẫu nhiên sinh viên từ nhóm Gọi A : “sinh viên chọn nữ”, B : “sinh viên chọn 18 tuổi” Hãy tính P A B , P B A ? ( ) ( ) Chương Xác suấ suất Biế Biến cố Trong phép thử, hai biến cố A B gọi độc lập B có xảy hay khơng khơng ảnh hưởng đến khả xảy A ngược lại Chú ý Nếu A B độc lập với cặp biến cố: A B , A B , A B độc lập với b) Cơng thức nhân • Nếu A B hai biến cố khơng độc lập thì: P (A ∩ B ) = P (B )P A B = P (A)P B A ( ) Chương Xác suấ suất Biế Biến cố VD Một sinh viên học hệ niên chế thi lại lần lần thi thứ bị rớt (2 lần thi độc lập) Biết xác suất để sinh viên thi đỗ lần lần tương ứng 60% 80% Tính xác suất sinh viên thi đỗ? VD Có hai người A B đặt lệnh (độc lập) để mua cổ phiếu cơng ty với xác suất mua tương ứng 0,8 0,7 Biết có người mua được, xác suất để người A mua cổ phiếu là: 19 12 40 10 A ; B ; C ; D 19 19 47 47 Xác suất - Thống kê Cao đẳng ) Tính chất 1) ≤ P A B ≤ 1, ∀A ⊂ Ω ; ( ) ( ) 3) P (A B ) = − P (A B ) ( ) 2) A ⊂ C P A B ≤ P C B ; Nếu A B hai biến cố độc lập thì: P (A ∩ B ) = P (A).P (B ) a) Sự độc lập hai biến cố ) ( hạn chế khơng gian mẫu Ω xuống B hạn chế A xuống A ∩ B Chương Xác suấ suất Biế Biến cố 3.2.2 Cơng thức nhân xác suất ( Nhận xét Khi tính P A B với điều kiện B xảy ra, nghĩa ta • Nếu n biến cố Ai , i = 1, , n khơng độc lập thì: ( ) ( ) P (A1A2 An ) = P (A1 ) P A2 A1 P An A1 An −1 VD Một người có bóng đèn có bóng bị hỏng Người thử ngẫu nhiên bóng đèn (khơng hồn lại) chọn bóng tốt Tính xác suất để người thử đến lần thứ Chương Xác suấ suất Biế Biến cố VD Trong dịp tết, ơng A đem bán mai lớn mai nhỏ Xác suất bán mai lớn 0,9 Nếu bán mai lớn xác suất bán mai nhỏ 0,7 Nếu mai lớn khơng bán xác suất bán mai nhỏ 0,2 Biết ơng A bán mai, xác suất để ơng A bán hai mai là: A 0,6342; B 0,6848; C 0,4796; D 0,8791 VD Hai người A B chơi trò chơi sau: Cả hai ln phiên lấy lần viên bi từ hộp đựng bi trắng bi đen (bi lấy khơng trả lại hộp) Người lấy bi trắng trước thắng Giả sử A lấy trước, tính xác suất A thắng ? ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, January 05, 2011 Chương Xác suấ suất Biế Biến cố Chương Xác suấ suất Biế Biến cố 3.2.3 Cơng thức xác suất đầy đủ Bayes a) Cơng thức xác suất đầy đủ Xét họ n biến cố {Ai } (i = 1,2, , n ) đầy đủ B biến cố phép thử, ta có: n ( P (B ) = ∑ P (Ai )P B Ai i =1 ( ( ) = P (A1 )P B A1 + + P (An )P B An VD 10 Một cửa hàng bán hai loại bóng đèn kích cỡ gồm: 70 bóng màu trắng với tỉ lệ bóng hỏng 1% 30 bóng màu vàng với tỉ lệ hỏng 2% Một khách hàng chọn mua ngẫu nhiên bóng đèn từ cửa hàng Tính xác suất để người mua bóng đèn tốt ? Chương Xác suấ suất Biế Biến cố Xét họ n biến cố {Ai } (i = 1,2, , n ) đầy đủ B biến cố phép thử Khi đó, xác suất để biến cố Ai xảy sau B xảy là: ( ) ( P (Ai )P B Ai n ) ∑ P(Ai )P (B Ai ) = VD 11 Chuồng thỏ có thỏ trắng thỏ đen; chuồng có thỏ trắng thỏ đen Quan sát thấy có thỏ chạy từ chuồng sang chuồng 2, sau có thỏ chạy từ chuồng Tính xác suất để thỏ chạy từ chuồng thỏ trắng ? Chương Xác suấ suất Biế Biến cố b) Cơng thức Bayes P Ai B = Nhánh 1: P(đèn tốt màu trắng) = 0,7.0,99 Nhánh 2: P(đèn tốt màu vàng) = 0,3.0,98 Suy ra: P(đèn tốt) = tổng xác suất nhánh = 0,987 ) ) Chú ý Trong trắc nghiệm ta dùng sơ đồ giải nhanh sau: ( P (Ai )P B Ai P (B ) ) i =1 VD 12 Xét tiếp VD 10 Giả sử khách hàng chọn mua bóng đèn tốt Tính xác suất để người mua bóng đèn màu vàng ? Chương Xác suấ suất Biế Biến cố Phân biệt tốn áp dụng cơng thức Nhân – Đầy đủ – Bayes A1, A2 , B 1) Nếu tốn u cầu tìm xác suất A1 ∩ B, A2 ∩ B tốn cơng thức nhân Trong tốn, ta xét biến cố Xác suất xác suất tích nhánh 2) Nếu tốn u cầu tìm xác suất B {A1, A2 } đầy đủ tốn áp dụng cơng thức đầy đủ Xác suất tổng nhánh Chương Xác suấ suất Biế Biến cố A1, A2 cho biết B xảy ra, đồng thời hệ {A1, A2 } 3) Biết sản phẩm chọn hỏng, tính xác suất sản phẩm phân xưởng A sản xuất ? đầy đủ tốn áp dụng cơng thức Bayes Xác suất tỉ số nhánh cần tìm với tổng hai nhánh VD 14 Tỉ lệ ơtơ tải, ơtơ xe máy qua đường X có trạm bơm dầu : : 13 Xác suất để ơtơ tải, ơtơ xe máy qua đường vào bơm dầu 0,1; 0,2 0,15 Biết có xe qua đường X vào bơm dầu, tính xác suất để ơtơ ? 11 10 A ; B ; C ; D 57 57 57 57 3) Nếu tốn u cầu tìm xác suất VD 13 Nhà máy X có phân xưởng A, B , C tương ứng sản xuất 20%, 30% 50% tổng sản phẩm nhà máy Giả sử tỉ lệ sản phẩm hỏng phân xưởng A, B , C tương ứng sản xuất 1%, 2% 3% Chọn ngẫu nhiên sản phẩm nhà máy X sản xuất 1) Tính xác suất (tỉ lệ) sản phẩm hỏng ? 2) Tính xác suất sản phẩm hỏng phân xưởng A sản xuất ? Xác suất - Thống kê Cao đẳng ……………………………………………………………………………………… ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG I Câu Có sinh viên A, B C thi mơn XSTK Gọi biến cố Ai : “có i sinh viên thi đỗ” (i = 0,1,2, ); C : “sinh viên C thi đỗ” Biến cố AC là: A Sinh viên C thi đỗ; B Chỉ có sinh viên C thi đỗ; C Có sinh viên thi đỗ; D Sinh viên C thi khơng đỗ Câu Có sinh viên A, B C thi mơn XSTK Gọi biến cố Ai : “có i sinh viên thi đỗ” (i = 0,1,2, ); A: “sinh viên A thi đỗ” Biến cố A2A là: A Sinh viên A thi hỏng; B Chỉ có sinh viên A thi đỗ; C Có sinh viên thi đỗ; D Chỉ có sinh viênA thi hỏng Câu Có sinh viên A , B C thi mơn XSTK Gọi biến cố Ai : “có i sinh viên thi đỗ” (i = 0,1, 2, ); B : “sinh viên B thi đỗ” Biến cố A0B là: A Sinh viên B thi hỏng; B Có sinh viên thi đỗ; C Sinh viên A C thi đỗ; D Sinh viên A C thi đỗ Câu Có sinh viên A , B C thi mơn XSTK Gọi biến cố Ai : “có i sinh viên thi đỗ” (i = 0,1, 2, ); B : “sinh viên B thi đỗ” Hãy chọn đáp án ? B A1B ⊂ A2 ; A A0B ⊂ A1B ; C A0B = A1B ; D A3B ⊂ A3 Câu Có sinh viên A1 , A2 , A3 thi mơn XSTK Gọi biến cố Ai : “sinh viên Ai thi đỗ” (i = 1,2, ); H : “2 sinh viên thi hỏng có A1 ” Hãy chọn đáp án ? A A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ⊂ H ; B H = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ; C H = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ; D H ⊂ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 Xác suất - Thống kê Cao đẳng Wednesday, January 05, 2011 Câu Có sinh viên A , B C thi mơn XSTK Gọi biến cố Ai : “có i sinh viên thi đỗ” (i = 0,1, 2, ); B : “sinh viên B thi đỗ” Biến cố A1B là: A Sinh viên B thi hỏng; B Chỉ có sinh viên thi đỗ; C Sinh viên A C thi đỗ; D Chỉ có sinh viên A C thi đỗ Câu Có sinh viên A, B C thi mơn XSTK Gọi biến cố Ai : “có i sinh viên thi đỗ” (i = 0,1,2, ); C : “sinh viên C thi đỗ” Biến cố A0C là: A Sinh viên C thi hỏng; B Chỉ có sinh viênC thi hỏng; C Có sinh viên thi đỗ; D Cả sinh viên thi hỏng Câu Có sinh viên A1 , A2 , A3 thi mơn XSTK Gọi biến cố Ai : “sinh viên Ai thi đỗ” (i = 1,2, ); H : “có sinh viên thi hỏng” Hãy chọn đáp án ? A A1H = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ; B A1H = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ; C A1H = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ; D A1H = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 Câu Có sinh viên A1 , A2 , A3 thi mơn XSTK Gọi biến cố Ai : “sinh viên Ai thi đỗ” (i = 1,2, ); H : “có sinh viên thi hỏng” Hãy chọn đáp án ? A P A1A2A3 H ≥ P A1A2 H ; ( ) ( ) B P (A A H ) = P (A A A H ); C P (A A H ) ≤ P (A A A H ); 2 2 D A1H = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Câu 10 Có sinh viên A1 , A2 , A3 thi mơn XSTK Gọi biến cố Ai : “sinh viên Ai thi đỗ” (i = 1,2, ); H : “có sinh viên thi hỏng” Hãy chọn đáp án ? A A1 = H ; B A2A3 ⊂ H ; C A1A2A3 ⊂ H ; D A1A2A3 = H Câu 11 Một hộp đựng 10 cầu gồm: màu đỏ, vàng xanh Chọn ngẫu nhiên từ hộp cầu Xác suất chọn màu đỏ, vàng xanh là: A 0,2857 ; B 0,1793 ; C 0,1097 ; D 0, 0973 Câu 15 Một cầu thủ ném bóng vào rỗ cách độc lập với xác suất vào rỗ tương ứng 0,7; 0,8; 0,9 Biết có bóng vào rỗ Xác suất để bóng thứ vào rỗ là: A 0, 5437 ; B 0, 5473 ; C 0, 4753 ; D 0, 4573 Câu 16 Một cầu thủ ném bóng vào rỗ cách độc lập với xác suất vào rỗ tương ứng 0,7; 0,8; 0,9 Biết bóng thứ vào rỗ Xác suất để có bóng vào rỗ là: A 20% ; B 24% ; C 26% ; D 28% Câu 19 Một trung tâm Tai–Mũi–Họng có tỉ lệ bịnh nhân Tai, Mũi, Họng tương ứng 25%, 40%, 35%; tỉ lệ bịnh nặng phải mổ tương ứng 1%, 2%, 3% Xác suất để chọn ngẫu nhiên bịnh nhân phải mổ từ trung tâm là: A 0, 008 ; B 0, 021; C 0, 312 ; D 0, 381 Câu 20 Một trung tâm Tai–Mũi–Họng có tỉ lệ bịnh nhân Tai, Mũi, Họng tương ứng 25%, 40%, 35%; tỉ lệ bịnh nặng phải mổ tương ứng 1%, 2%, 3% Chọn ngẫu nhiên bịnh nhân từ trung tâm người bị mổ Xác suất để bịnh nhân chọn bị bịnh Mũi là: A 0, 008 ; B 0, 021; C 0, 312 ; D 0, 381 ………………………………………………………………………………………………… Xác suất - Thống kê Cao đẳng Wednesday, January 05, 2011 Câu 12 Một hộp đựng 10 cầu gồm: màu đỏ, vàng xanh Chọn ngẫu nhiên từ hộp cầu Xác suất chọn màu xanh là: A 0,2894 ; B 0, 4762 ; C 0, 0952 ; D 0, 0476 Câu 13 Một hộp đựng 10 cầu gồm: màu đỏ, vàng xanh Chọn ngẫu nhiên từ hộp cầu thấy có màu xanh Xác suất chọn màu đỏ là: A 40% ; B 50% ; C 60% ; D 80% Câu 14 Một hộp đựng 10 cầu gồm: màu đỏ, vàng xanh Chọn ngẫu nhiên từ hộp cầu thấy có màu xanh Xác suất chọn màu đỏ là: A 40% ; B 70% ; C 26% ; D 28% Câu 17 Một xạ thủ bắn viên đạn vào thú thú chết bị trúng viên đạn Xác suất viên đạn thứ trúng thú 0,8 Nếu viên thứ trúng thú xác suất trúng viên thứ hai 0,7 trượt xác suất trúng viên thứ hai 0,1 Biết thú sống Xác suất để viên thứ hai trúng thú là: A 0, 0714 ; B 0, 0741; C 0, 0455 ; D 0, 0271 Câu 18 Một trung tâm Tai–Mũi–Họng có tỉ lệ bịnh nhân Tai, Mũi, Họng tương ứng 25%, 40%, 35%; tỉ lệ bịnh nặng phải mổ tương ứng 1%, 2%, 3% Xác suất để chọn ngẫu nhiên bịnh nhân bị bịnh Mũi phải mổ từ trung tâm là: A 0, 008 ; B 0, 021; C 0, 312 ; D 0, 381 Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên §1 Biến ngẫu nhiên hàm mật độ §2 Hàm phân phối xác suất §3 Tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên …………………………………………………………………………… §1 BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ HÀM MẬT ĐỘ 1.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên • Xét phép thử với khơng gian mẫu Ω Giả sử, ứng với biến cố sơ cấp ω ∈ Ω , ta liên kết với số thực X (ω) ∈ ℝ , X gọi biến ngẫu nhiên Tổng qt, biến ngẫu nhiên (BNN) X phép thử với khơng gian mẫu Ω ánh xạ X :Ω→ ℝ ω ֏ X (ω) = x Giá trị x gọi giá trị biến ngẫu nhiên X ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, January 05, 2011 Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên VD Người A mua loại bảo hiểm tai nạn năm với phí 70 ngàn đồng Nếu bị tai nạn cơng ty chi trả triệu đồng Gọi X số tiền người A có sau năm mua bảo hiểm Khi đó, ta có Phép thử là: “mua bảo hiểm tai nạn” Biến cố T : “người A bị tai nạn” Khơng gian mẫu Ω = {T , T } Vậy X (T ) = 2, 93 (triệu), X (T ) = 0, 07 (triệu) • Nếu X (Ω) tập hữu hạn {x 1, x 2, , x n } hay vơ hạn đếm X gọi biến ngẫu nhiên rời rạc Để cho gọn, ta viết X = {x1, x , , x n , } Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên • Nếu X (Ω) khoảng ℝ (hay ℝ ) X gọi biến ngẫu nhiên liên tục Chú ý Trong thực nghiệm, biến ngẫu nhiên thường rời rạc Khi biến ngẫu nhiên rời rạc X có giá trị đủ nhiều khoảng ℝ , ta xem X biến ngẫu nhiên liên tục Thực chất là, biến ngẫu nhiên liên tục dùng làm xấp xỉ cho biến ngẫu nhiên rời rạc tập giá trị biến ngẫu nhiên rời rạc đủ lớn • Cho biến ngẫu nhiên X hàm số y = ϕ(x ) Khi đó, biến ngẫu nhiên Y = ϕ(X ) gọi hàm biến ngẫu nhiên X Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên 1.2 Hàm mật độ a) Biến ngẫu nhiên rời rạc Cho BNN rời rạc X : Ω → ℝ , X = {x 1, x , , x n , } Giả sử x < x < < x n < với xác suất tương ứng P ({ω : X (ω) = x i }) ≡ P (X = x i ) = pi , i = 1, 2, Ta định nghĩa • Bảng phân phối xác suất X X x1 x … x n … P p1 p2 … pn … • Hàm mật độ X p x = x , i f (x ) =  i 0 x ≠ x i , ∀i  Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên VD Một xạ thủ có viên đạn, bắn viên vào mục tiêu cách độc lập Xác suất trúng mục tiêu lần bắn 0,8 Biết rằng, có viên trúng mục tiêu hết đạn dừng Gọi X số viên đạn xạ thủ bắn, lập bảng phân phối xác suất X ? Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên Chú ý pi ≥ ; ∑ pi = 1, i = 1, 2, Nếu x ∉ {x 1, x , , x n , } P (X = x ) = P (a < X ≤ b ) = ∑ a a ) = 0, − ϕ(a ) Nếu x ≥ ϕ(x ) ≈ 0, Chương Phân phố phối xác suấ suất thơng dụng c) Xác suất X ~ N(µ, σ2) X −µ ∈ N (0; 1) σ Vậy, ta có cơng thức tính xác suất: b − µ     − ϕ a − µ  P (a ≤ X ≤ b ) = ϕ    σ   σ  Nếu X ∈ N (µ; σ2 ) T = VD Tốc độ chuyển liệu từ máy chủ ký túc xá đến máy tính sinh viên vào buổi sáng chủ nhật có phân phối chuẩn với trung bình 60Kbits/s độ lệch chuẩn 4Kbits/s Xác suất để tốc độ chuyển liệu lớn 63Kbits/s là: A 0,2266; B 0,2144; C 0,1313; D 0,1060 Xác suất - Thống kê Cao đẳng f (x ) = σ 2π − e (x −µ )2 2σ2 , x ∈ ℝ b) Các số đặc trưng X ~ N(µ, σ2) ModX = EX = µ; VarX = σ2 Chương Phân phố phối xác suấ suất thơng dụng VD Một kỳ thi đầu vào trường chun A quy định điểm đỗ tổng số điểm mơn thi khơng thấp 15 điểm Giả sử tổng điểm mơn thi học sinh biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 12 điểm Biết tỉ lệ học sinh thi đỗ 25,14% Độ lệch chuẩn là: A điểm; B 4,5 điểm; C điểm; D 5,5 điểm VD Giả sử thời gian khách phải chờ để phục vụ cửa hàng BNN X (phút), X ∈ N (4, 5; 1,21) 1) Tính xác suất khách phải chờ từ 3,5 phút đến phút 2) Tính thời gian tối thiểu t xác suất khách phải chờ vượt q t khơng q 5% VD Cho BNN X có phân phối chuẩn với EX = 10 P (10 < X < 20) = 0, Tính P (0 < X ≤ 15) ? 19 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, January 05, 2011 Chương Phân phố phối xác suấ suất thơng dụng §5 CÁC LOẠI XẤP XỈ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 5.1 Xấp xỉ phân phối Siêu bội Nhị thức Xét BNN X có phân phối Siêu bội H (N ; N A ; n ) • Nếu p cố định, N → ∞ C Nk C Nn −−kN A A C Nn NA N → p = − q thì: d  → C nk pkq n −k • Ứng dụng, N lớn n nhỏ so với N thì: N X ∼ B(n; p ), p = A N Chương Phân phố phối xác suấ suất thơng dụng Chú ý Khi cỡ mẫu n nhỏ so với kích thước N (khoảng 5%N ) tổng thể việc lấy mẫu có hồn lại hay khơng hồn lại VD Một vườn lan có 10.000 nở hoa, có 1.000 hoa màu đỏ 1) Tính xác suất để chọn ngẫu nhiên 20 lan có hoa màu đỏ 2) Tính xác suất để chọn ngẫu nhiên 50 lan 10 có hoa màu đỏ 3) Có thể tính xác suất để chọn ngẫu nhiên 200 lan có 50 hoa màu đỏ khơng ? Chương Phân phố phối xác suấ suất thơng dụng 5.2 Xấp xỉ phân phối Nhị thức Poisson Xét biến ngẫu nhiên X có phân phối Nhị thức B(n; p ) • Khi n → ∞ , p → np → λ thì: e −λ λk d C nk pkq n −k  → k! • Ứng dụng, đặt λ = np Nếu n đủ lớn p gần (hoặc gần 1) thì: X ∼ P (λ) Chú ý Xấp xỉ có hiệu np < hay nq < VD Một lơ hàng thịt đơng lạnh đóng gói nhập có chứa 0,4% bị nhiễm khuẩn Tìm xác suất để chọn ngẫu nhiên 1.000 gói thịt từ lơ hàng có: 1) khơng q gói bị nhiễm khuẩn; Chương Phân phố phối xác suấ suất thơng dụng 5.3 Xấp xỉ phân phối Nhị thức phân phối Chuẩn Cho X ∈ B(n; p ) Nếu n lớn, np ≥ nq ≥ X ∼ N (µ; σ2 ) với µ = np, σ2 = npq Khi đó:  k − µ  P (X = k ) = f   σ  σ  (giá trị cho bảng A với f (−x ) = f (x )) k − µ     − ϕ  k1 − µ  P (k1 ≤ X ≤ k2 ) = ϕ      σ   σ  (giá trị cho bảng B với ϕ(−x ) = −ϕ(x )) Xác suất - Thống kê Cao đẳng Chương Phân phố phối xác suấ suất thơng dụng 2) 34 gói bị nhiễm khuẩn VD Giải câu 3) VD Tóm tắt loại xấp xỉ rời rạc N p= A N X ∈ H (N , N A, n ) X ∈ B(n, p) (n < 5%N ) λ = n NA N Sai số lớn X ∈ P (λ) np <  nq <  λ = np Chương Phân phố phối xác suấ suất thơng dụng Chú ý Khi k = µ , ta sử dụng cơng thức hiệu chỉnh: P (X = k ) ≈ P (k − 0, ≤ X ≤ k + 0, 5) VD Trong đợt thi tuyển cơng chức thành phố có 1.000 người dự thi với tỉ lệ thi đạt 80% Tính xác suất để: 1) có 172 người khơng đạt; 2) có khoảng 170 đến 180 người khơng đạt VD Trong 10.000 sản phẩm dây chuyền sản xuất có 2.000 sản phẩm khơng kiểm tra chất lượng Tìm xác suất để 400 sản phẩm sản xuất ra: 1) có 80 sản phẩm khơng kiểm tra; 2) có từ 70 đến 100 sản phẩm khơng kiểm tra 20 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, January 05, 2011 Chương Phân phố phối xác suấ suất thơng dụng Tóm tắt xấp xỉ Chuẩn cho Nhị thức np ≥   nq ≥  µ = np X ∈ B(n, p) EX = np VarX = npq σ = npq X ∈ N (µ, σ ) EX = µ VarX = σ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Chương Câu Một thùng bia có 24 chai để lẫn chai q hạn sử dụng Chọn ngẫu nhiên từ thùng chai bia Xác suất chọn phải chai bia q hạn sử dụng là: A 0, 4123 ; B 0, 5868 ; C 0, 4368 ; D 0, 5632 k − µ  , f   σ  b − µ     − ϕ a − µ  P (a < X < b ) = ϕ    σ   σ  Câu Chủ vườn lan để nhầm 10 chậu lan có hoa màu đỏ với 10 chậu lan có hoa màu tím (lan chưa nở hoa) Một khách hàng chọn ngẫu nhiên chậu từ 20 chậu lan Xác suất khách chọn nhiều chậu lan có hoa màu đỏ là: A 0, 0586 ; B 0, 0486 ; C 0, 0386 ; D 0, 0286 Câu Chủ vườn lan để nhầm 20 chậu lan có hoa màu đỏ với 100 chậu lan có hoa màu tím (lan chưa nở hoa) Một khách hàng chọn ngẫu nhiên 15 chậu từ 120 chậu lan Gọi X số chậu lan có hoa màu tím khách chọn Giá trị EX VarX là: 36 25 135 A EX = 3,VarX = ; B EX = ,VarX = ; 68 17 25 125 125 C EX = ,VarX = ; D EX = ,VarX = 68 68 Câu Một hiệu sách bán 40 truyện A, có 12 in lậu Một khách hàng chọn ngẫu nhiên truyện A Hỏi khả cao khách chọn truyện A khơng phải in lậu ? A cuốn; B cuốn; C cuốn; D Câu Một hộp chứa 100 viên phấn có 10 viên màu đỏ Hỏi khơng nhìn vào hộp bốc tùy ý lần viên để xác suất có viên màu đỏ 0,0272 ? A 10 viên; B 12 viên; C 14 viên; D 16 viên ⇒ P (X = k ) = σ ………………………………………………………… Câu Xác suất có bịnh người chờ khám bịnh bịnh viện 12% Khám 20 người này, xác suất có người bị bịnh là: A 0, 2891; B 0, 7109 ; C 0, 3891; D 0, 6109 Câu Xác suất có bịnh người chờ khám bịnh bịnh viện 72% Khám 61 người này, hỏi khả cao có người bị bịnh ? A 41 người; B 42 người; C 43 người; D 44 người Câu Một gia đình ni gà mái đẻ với xác suất đẻ trứng gà ngày 0,75 Để trung bình ngày có nhiều 122 gà mái đẻ trứng số gà tối thiểu gia đình phải ni là: A 151 con; B 162 con; C 163 con; D 175 Câu 11 Tại bệnh viện A trung bình có ca mổ Hỏi số ca mổ chắn xảy bệnh viện A 10 ? A 25 ca; B 26 ca; C 27 ca; D 28 ca Câu Trong đợt xổ số người ta phát hành 100.000 vé có 10.000 vé trúng thưởng Hỏi người muốn trúng vé với xác suất lớn 95% cần phải mua tối thiểu vé ? A vé; B 12 vé; C 27 vé; D 29 vé Câu 10 Một trạm điện thoại trung bình nhận 900 gọi Xác suất để trạm nhận 32 gọi phút là: A 0, 0659 ; B 0, 0481; C 0, 0963 ; D 0, 0624 Câu 12 Một bến xe khách trung bình có 70 xe xuất bến Xác suất để phút có từ đến xe xuất bến là: A 0,2133 ; B 0,2792 ; C 0, 3209 ; D 0, 4663 Xác suất - Thống kê Cao đẳng Câu 13 Cho biến biến ngẫu nhiên X ∈ N (4; 2,25) Giá trị xác suất P (X > 5, 5) là: A 0,1587 ; B 0, 3413 ; C 0,1916 ; D 0,2707 21 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Câu 14 Thống kê điểm thi X (điểm) mơn XSTK sinh viên trường Đại học A cho thấy X biến ngẫu nhiên với X ∈ N (5, 25; 1, 25) Tỉ lệ sinh viên có điểm thi mơn XSTK trường A từ đến điểm là: A 56,71%; B 68,72%; C 64,72%; D 61,72% Câu 15 Thời gian X (tháng) từ lúc vay đến lúc trả tiền khách hàng ngân hàng A biến ngẫu nhiên có phân phối N (18; 16) Tính tỉ lệ khách hàng trả tiền cho ngân hàng A khoảng từ 12 đến 16 tháng ? A 24,17%; B 9,63%; C 25,17%; D 10,63% Câu 16 Chiều cao nam giới trưởng thành biến ngẫu nhiên X (cm) có phân phối N (165; 25) Tỉ lệ nam giới trưởng thành cao từ 1,65m đến 1,75m là: A 1,6%; B 42,75%; C 45,96%; D 47,73% Câu 19 Một khách sạn nhận đặt chỗ 585 khách hàng cho 500 phòng vào ngày 2/9 theo kinh nghiệm năm trước cho thấy có 15% khách đặt chỗ khơng đến Biết khách đặt phòng, tính xác suất có từ 494 đến 499 khách đặt chỗ đến nhận phòng vào ngày 2/9 ? A 0,0273; B 0,1273; C 0,2273; D 0,3273 Câu 20 Tỉ lệ niên tốt nghiệp THPT quận A 75% Trong đợt tuyển qn nghĩa vụ qn năm nay, quận A gọi ngẫu nhiên 325 niên Tính xác suất để có từ 80 đến 84 niên bị loại chưa tốt nghiệp THPT ? A 13,79%; B 20,04%; C 26,32%; D 28,69% ……………………………………………………………………………………… Chương Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số Wednesday, January 05, 2011 Câu 17 Một lơ hàng thịt đơng lạnh đóng gói nhập với tỉ lệ bị nhiểm khuẩn 1,6% Kiểm tra ngẫu nhiên 2000 gói thịt từ lơ hàng Tính xác suất có 36 gói thịt bị nhiểm khuẩn ? A 0,1522; B 0,2522; C 0,0922; D 0,0522 Câu 18 Trong kho lúa giống có tỉ lệ hạt lúa lai tạp 2% Tính xác suất cho chọn 1000 hạt lúa giống kho có từ 17 đến 19 hạt lúa lai tạp ? A 0,2492; B 0,3492; C 0,0942; D 0,0342 PHẦN II LÝ THUYẾT THỐNG KÊ (Statistical theory) Chương IV MẪU THỐNG KÊ VÀ ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ §1 Lý thuyết mẫu §2 Ước lượng khoảng ……………………………………………………… §1 LÝ THUYẾT MẪU 1.1 Mẫu tổng thể • Tập hợp tất phần tử đối tượng mà ta nghiên cứu gọi tổng thể Số phần tử tổng thể gọi kích thước tổng thể (thường lớn) Chương Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số • Từ tổng thể ta chọn n phần tử n phần tử gọi mẫu có kích thước n (cỡ mẫu) • Mẫu định tính mẫu mà ta quan tâm đến phần tử có tính chất A hay khơng • Mẫu chọn ngẫu nhiên cách khách quan gọi mẫu ngẫu nhiên • Mẫu định lượng mẫu mà ta quan tâm đến yếu tố lượng (như chiều dài, cân nặng,…) phần tử có mẫu • Có hai cách lấy mẫu: Mẫu có hồn lại: phần tử vừa quan sát xong trả lại cho tổng thể trước quan sát lần sau Mẫu khơng hồn lại: Phần tử vừa quan sát xong khơng trả lại cho tổng thể Khi mẫu có kích thước lớn ta khơng phân biệt mẫu có hồn lại hay khơng hồn lại Xác suất - Thống kê Cao đẳng • Gọi X1, X 2, , Xn kết quan sát Ta xem quan sát n lần, lần ta biến ngẫu nhiên Xi (i = 1, , n ) Do ta thường lấy mẫu tổng thể có nhiều phần tử nên X1, X 2, , X n xem độc lập có phân phối xác suất 22 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, January 05, 2011 Chương Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số 1.2 Sắp xếp mẫu dựa vào số liệu thực nghiệm a) Sắp xếp theo dạng bảng VD Kiểm tra ngẫu nhiên 50 sinh viên Ta xếp điểm số X thu theo thứ tự tăng dần số sinh viên n có điểm tương ứng vào bảng sau: X (điểm) 10 n (số SV) 20 10 2 Chương Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số Các niên có chiều cao khoảng xem cao Khi đó, ta có bảng số liệu dạng khoảng sau: X 148-152 152-156 156-160 160-164 164-168 20 35 25 15 n b) Sắp xếp theo dạng khoảng Khi cần tính tốn, người ta chọn số trung bình khoảng để đưa số liệu dạng bảng: X 150 154 158 162 166 20 35 25 15 n VD Đo chiều cao X (cm) n = 100 niên Vì chiều cao khác nên để tiện việc xếp, người ta chia chiều cao thành nhiều khoảng Chú ý Đối với trường hợp số liệu cho dạng liệt kê ta xếp lại dạng bảng Chương Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số 1.3 Các đặc trưng mẫu Xét mẫu ngẫu nhiên (X1, X 2, , Xn ), ta có đặc trưng mẫu sau a) Trung bình mẫu Xn = n ∑X n i =1 i c) Tỉ lệ mẫu Xét mẫu định tính với biến Xi (i = 1, , n ) có phân phối Bernoulli B(1; p): 0, phần tử tính chất A Xi =  1, phần tử có tính chất A  Nếu mẫu có m phần tử có tính chất A tỉ lệ mẫu là: Xác suất - Thống kê Cao đẳng = n ∑ (X − X ) n − i =1 i Với X = Chương Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số n S = Sn2 = ( ) n Sˆ2 = Sˆn2 = ∑ (Xi − X ) n i =1 X1 + X + + Xn • Phương sai mẫu hiệu chỉnh: • Trong tính tốn cụ thể, ta sử dụng cơng thức: 2 n  n ˆ2 S2 = X − X = S   n −1   n −1 Để đơn giản, ta dùng ký hiệu X = Xn b) Phương sai mẫu • Phương sai mẫu: F = Fn = Chương Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số m n n ∑X n i =1 i Dùng máy tính bỏ túi để tính đặc trưng mẫu SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI ĐỂ TÍNH CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU Số liệu đơn (khơng có tần số) VD Cho mẫu có cỡ mẫu n = : 12; 13; 11; 14; 11 a) Máy fx 500 – 570 MS • Xóa nhớ: SHIFT → MODE → → = → = • Vào chế độ thống kê nhập liệu: – MODE → (chọn SD fx500MS); MODE → MODE → (chọn SD fx570MS) – Nhập số: 12 M+ 13 M+ 11 M+ 14 M+ 11 M+ 23 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Dùng máy tính bỏ túi để tính đặc trưng mẫu Wednesday, January 05, 2011 Dùng máy tính bỏ túi để tính đặc trưng mẫu • Xuất kết quả: – SHIFT → → → = (kết x trung bình mẫu) – SHIFT → → → = (kết x σn độ lệch chuẩn mẫu sˆ) – SHIFT → → → = (x σn − độ lệch chuẩn mẫu có hiệu chỉnh s ) – MODE → (stat) → (1-var) → (nhập số): 12= 13= 11= 14= 11= → AC • Xuất kết quả: – SHIFT → → (var) → → = (n : cỡ mẫu) – SHIFT → → (var) → → = (x ) – SHIFT → → (var) → → = (x σn = sˆ) – SHIFT → → (var) → → = (x σn − = s ) b) Máy fx 500 – 570 ES • Xóa nhớ: SHIFT → → → = → = • Vào chế độ thống kê nhập liệu: – SHIFT → MODE → dịch chuyển mũi tên tìm chọn mục Stat → (chế độ khơng tần số) Số liệu có tần số VD Cho mẫu có cỡ mẫu n = sau: X 12 11 15 n Dùng máy tính bỏ túi để tính đặc trưng mẫu a) Máy fx 500 – 570 MS • Xóa nhớ: SHIFT → MODE → → = → = • Vào chế độ thống kê nhập liệu: – MODE → (chọn SD fx500MS); MODE → MODE → (chọn SD fx570MS) – Nhập số: 12 → SHIFT → , → → M+ 11 → SHIFT → , → → M+ 15 → SHIFT → , → → M+ • Xuất kết quả, ta làm 1a) Dùng máy tính bỏ túi để tính đặc trưng mẫu b) Máy fx 500 – 570 ES • Xóa nhớ: SHIFT → → → = → = • Vào chế độ thống kê nhập liệu: – SHIFT → MODE (SETUP) dịch chuyển mũi tên →4→1 – MODE → (stat) → (1-var) – Nhập giá trị tần số vào cột hình: X FREQ 12 11 15 → AC • Xuất kết quả, làm 1b) Dùng máy tính bỏ túi để tính đặc trưng mẫu Dùng máy tính bỏ túi để tính đặc trưng mẫu VD Điều tra suất 100 lúa vùng A, ta có bảng số liệu sau: Năng suất - 3,5 - 4,5 - 5,5 - 6,5 (tấn/ha) 3,5 - 4,5 - 5,5 - 6,5 - Diện tích(ha) 12 18 27 20 Những ruộng có suất 4,4 tấn/ha có suất thấp Dùng máy tính bỏ túi để tính: 1) tỉ lệ diện tích lúa có suất thấp; 2) suất lúa trung bình, phương sai mẫu chưa hiệu chỉnh độ lệch chuẩn mẫu có hiệu chỉnh Giải Bảng số liệu viết lại: Năng suất 3,25 3,75 4,25 4,75 5,25 5,75 6,25 6,75 (tấn/ha) Diện 12 18 27 20 tích(ha) m + 12 + 18 = = 37% n 100 2) x = 4, 75; sˆ2 = 0, 685; s = 0, 8318 1) f = …………………………………………………………………………………… Xác suất - Thống kê Cao đẳng 24 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, January 05, 2011 Chương Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số §2 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG 2.1 Định nghĩa • Xét thống kê T ước lượng tham số θ , khoảng (θ1; θ2 ) gọi khoảng ước lượng với xác suất − α cho trước P (θ1 < θ < θ2 ) = − α • Xác suất − α gọi độ tin cậy ước lượng, 2ε = θ2 − θ1 gọi độ dài khoảng ước lượng ε gọi độ xác ước lượng • Bài tốn tìm khoảng ước lượng cho θ gọi tốn ước lượng khoảng f (t ) = e − 2π T= t2 Chương Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số 2.2 Ước lượng khoảng cho trung bình tổng thể µ Giả sử tổng thể X có trung bình µ chưa biết Với độ tin cậy − α cho trước, ta tìm khoảng ước lượng cho µ (µ1; µ2 ) thỏa P (µ1 < µ < µ2 ) = − α Trong thực hành, ta có trường hợp sau a) Trường hợp Kích thước mẫu n ≥ 30 phương sai tổng thể σ2 biết • Từ mẫu ta tính x (trung bình mẫu) 1−α tra bảng B • Từ − α ⇒ = ϕ(tα )    → tα σ • Khoảng ước lượng là: x − ε; x + ε , ε = tα n ( ) Tra bảng B 1−α = ϕ (tα ) = P (−1, 96 < T < 1, 96) = 95% X −µ σ ( tα ∫ f (t )dt ) P T < t5% = 95% n −1, 96 −t5% −t5% < T < t5% 1, 96 ε tα t5% σ σ ⇒ X − t5% < µ < X + t5% n n Chương Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số b) Trường hợp Kích thước mẫu n ≥ 30 phương sai tổng thể σ2 chưa biết • Tính x s (độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh) 1−α tra bảng B • Từ − α ⇒ = ϕ(tα )     → tα s • Khoảng ước lượng là: (x − ε; x + ε), ε = tα n Chú ý Mối liên hệ độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh s chưa hiệu chỉnh sˆ là: s2 = 1−α n n sˆ ⇒ s = sˆ n −1 n −1 Xác suất - Thống kê Cao đẳng α Chương Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số c) Trường hợp Kích thước mẫu n < 30 , σ2 biết X có phân phối chuẩn ta làm trường hợp d) Trường hợp Kích thước mẫu n < 30 , σ2 chưa biết X có phân phối chuẩn • Từ mẫu ta tính x , s tra bảng C   → tαn −1 • Từ − α ⇒ α   (nhớ giảm bậc thành n − tra bảng!) • Khoảng ước lượng là: s x − ε; x + ε , ε = tαn −1 n ( ) 25 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, January 05, 2011 Chương Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số CÁC BÀI TỐN VỀ ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG Bài Ước lượng khoảng Tùy theo tốn thuộc trường hợp nào, ta sử dụng trực tiếp cơng thức trường hợp Bài Tìm độ tin cậy (ta khơng xét TH4) Giải phương trình: ε = tα Hay ε = tα σ n s n ⇒ tα = ⇒ tα = ε n ; σ ε n s Tra bảng B, ta suy ra: ϕ (tα ) = 1−α ⇒ − α = 2ϕ (tα ) Chương Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số Với độ tin cậy 95%, ước lượng lượng Vitamin trung bình có trái A ? VD Biết chiều cao người biến ngẫu nhiên X (cm) có phân phối chuẩn N (µ; 100) Với độ tin cậy 95%, muốn ước lượng chiều cao trung bình dân số có sai số khơng q cm phải cần đo người ? VD Kiểm tra tuổi thọ (tính giờ) 50 bóng đèn nhà máy A sản xuất ra, người ta bảng số liệu: Tuổi thọ 3.300 3.500 3.600 4.000 Số bóng đèn 10 20 12 1) Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình loại bóng đèn nhà máy A sản xuất với độ tin cậy 97% ? Chương Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số VD Để nghiên cứu nhu cầu loại hàng X phường A người ta tiến hành khảo sát 400 tồn 4000 gia đình Kết khảo sát là: Nhu cầu (kg/tháng) 0,5 1,5 2,5 3,5 Số gia đình 10 35 86 132 Nhu cầu (kg/tháng) 4,5 5,5 6,5 7,5 Số gia đình 78 31 18 10 1) Hãy ước lượng nhu cầu trung bình loại hàng X tồn gia đình phường A năm với độ tin cậy 95%? 2) Với mẫu khảo sát trên, ước lượng nhu cầu trung bình loại hàng X phường A với độ xác lớn 4,8 tấn/năm độ tin cậy 99% cần khảo sát tối đa gia đình phường A ? Xác suất - Thống kê Cao đẳng Chương Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số Bài Tìm cỡ mẫu (ta xét TH1 TH2) Ta cố định s (hay σ) để tìm cỡ mẫu N a) Nếu ε > ε’ ta giải bất đẳng thức: tα  s > ε′ ⇒ N < tα  ⇒ N max  ε ′  N s b) Nếu ε < ε’ ta giải bất đẳng thức:  s < ε ′ ⇒ N > t α  ⇒ N   ε ′  N VD Lượng Vitamin có trái A biến ngẫu nhiên X (mg) có độ lệch chuẩn 3,98 mg Phân tích 250 trái A thu lượng Vitamin trung bình 20 mg tα s Chương Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số 2) Dựa vào mẫu để ước lượng tuổi thọ trung bình loại bóng đèn nhà máy A sản xuất có độ xác 59,02 đảm bảo độ tin cậy ? 3) Dựa vào mẫu trên, muốn ước lượng tuổi thọ trung bình loại bóng đèn nhà máy A sản xuất có độ xác nhỏ 40 với độ tin cậy 98% cần phải kiểm tra tối thiểu bóng đèn ? VD Chiều cao loại A biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Người ta đo ngẫu nhiên 20 A thấy chiều cao trung bình 23,12 m độ lệch chuẩn mẫu chưa hiệu chỉnh 1,25 m Tìm khoảng ước lượng chiều cao trung bình loại A với độ tin cậy 95%? Chương Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số VD Đo đường kính 100 trục máy nhà máy sản xuất bảng số liệu: Đường kính (cm) 9,75 9,80 9,85 9,90 Số trục máy 37 42 16 1) Hãy ước lượng trung bình đường kính trục máy với độ tin cậy 97% ? 2) Dựa vào mẫu để ước lượng trung bình đường kính trục máy có độ xác 0,006cm đảm bảo độ tin cậy ? 3) Dựa vào mẫu trên, muốn ước lượng trung bình đường kính trục máy có độ xác lớn 0,003cm với độ tin cậy 99% cần phải đo tối đa trục máy ? 26 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Chương Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số VD Tiến hành khảo sát 420 tổng số 3.000 gia đình phường thấy có 400 gia đình dùng loại sản phẩm X cơng ty A sản xuất với bảng số liệu: Số lượng (kg/tháng) 0,75 1,25 1,75 2,25 2,75 3,25 Số gia đình 40 70 110 90 60 30 Hãy ước lượng trung bình tổng khối lượng sản phẩm X cơng ty A sản xuất tiêu thụ phường tháng với độ tin cậy 95%? A (5612,7kg; 6012,3kg); B (5893,3kg; 6312,9kg); C (5307,3kg; 5763,9kg); D (5210,4kg; 5643,5kg) Wednesday, January 05, 2011 Chương Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số 2.3 Ước lượng khoảng cho tỉ lệ tổng thể p • Giả sử tỉ lệ p phần tử có tính chất A tổng thể chưa biết Với độ tin cậy − α cho trước, khoảng ước lượng p (p1; p2 ) thỏa P (p1 < p < p2 ) = − α m với n cỡ mẫu, m n số phần tử ta quan tâm khoảng ước lượng cho p là: • Nếu biết tỉ lệ mẫu f = fn = ( f − ε; f + ε), ε = tα Trong tα tìm từ ϕ(tα ) = Chương Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số VD Tỉnh X có 1.000.000 niên Người ta khảo sát ngẫu nhiên 20.000 niên tỉnh X trình độ học vấn thấy có 12.575 niên tốt nghiệp PTTH Hãy ước lượng tỉ lệ niên tốt nghiệp PTTH tỉnh X với độ tin cậy 95%? Số niên tốt nghiệp PTTH tỉnh X khoảng nào? VD Để ước lượng số cá có hồ người ta bắt lên 10.000 con, đánh dấu thả lại xuống hồ Sau thời gian, lại bắt lên 8.000 cá thấy 564 có đánh dấu Với độ tin cậy 97%, ước lượng tỉ lệ cá có đánh dấu số cá có hồ ? VD 10 Người ta chọn ngẫu nhiên 500 tivi kho chứa TV thấy có 27 TV Sony Chương Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số VD 12 Khảo sát suất X (tấn/ha) 100 lúa huyện A, ta có bảng số liệu: 3,25 3,75 4,25 4,75 5,25 5,75 6,25 6,75 X S (ha) 12 18 27 20 Những ruộng có suất lúa 5,5 tấn/ha ruộng có suất cao Sử dụng bảng khảo sát trên, để ước lượng tỉ lệ diện tích lúa có suất cao huyện A có độ xác ε = 8,54% đảm bảo độ tin cậy bao nhiêu? A 92%; B 94%; C 96%; D 98% ………………………………………………………………………………………………… Xác suất - Thống kê Cao đẳng f (1 − f ) n 1−α (tra bảng B ) Chương Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số 1) Dựa vào mẫu trên, để ước lượng tỉ lệ TV Sony kho có độ xác ε = 0, 0177 đảm bảo độ tin cậy ước lượng bao nhiêu? 2) Dựa vào mẫu trên, muốn có độ xác ước lượng tỉ lệ TV Sony nhỏ 0,01 với độ tin cậy 95% cần chọn thêm TV nữa? VD 11 Lấy ngẫu nhiên 200 sản phẩm kho hàng A thấy có 21 phế phẩm 1) Dựa vào mẫu trên, để ước lượng tỉ lệ phế phẩm kho A có độ xác ε = 0, 035 đảm bảo độ tin cậy ước lượng bao nhiêu? 2) Dựa vào mẫu trên, muốn có độ xác ước lượng tỉ lệ phế phẩm nhỏ 0,01 với độ tin cậy 93% cần kiểm tra thêm sản phẩm nữa? Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê §1 Khái niệm kiểm định giả thuyết thống kê §2 Kiểm định so sánh đặc trưng với số §3 Kiểm định so sánh hai đặc trưng ……………………………………………………………… §1 KHÁI NIỆM VỀ KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ 1.1 Khái niệm chung • Mơ hình tổng qt tốn kiểm định là: ta nêu lên hai mệnh đề trái ngược nhau, mệnh đề gọi giả thuyết H mệnh đề lại gọi nghịch thuyết (hay đối thuyết) H • Giải tốn kiểm định là: cách dựa vào quan sát mẫu, ta nêu lên quy tắc hành động, ta chấp nhận giả thuyết H hay bác bỏ giả thuyết H 27 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê • Khi ta chấp nhận giả thuyết H , nghĩa ta tin H đúng; bác bỏ H , nghĩa ta tin H sai Do dựa mẫu quan sát ngẫu nhiên, nên ta khơng thể khẳng định chắn điều cho tổng thể • Trong chương này, ta xét loại kiểm định tham số (so sánh đặc trưng với số, so sánh hai đặc trưng hai tổng thể) 1.2 Các loại sai lầm kiểm định Khi thực kiểm định giả thuyết, ta dựa vào quan sát ngẫu nhiên số trường hợp suy rộng cho tổng thể Sự suy rộng có đúng, có sai Thống kê học phân biệt loại sai lầm sau: Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê c) Mối liên hệ hai loại sai lầm • Khi thực kiểm định, ta ln muốn xác suất phạm phải sai lầm tốt Tuy nhiên, hạ thấp α β tăng lên ngược lại Trong thực tế, hai loại sai lầm này, loại tác hại ta nên tránh • Trong thống kê, người ta quy ước sai lầm loại tác hại loại nên cần tránh Do đó, ta xét phép kiểm định có α khơng vượt q giá trị ấn định trước, thơng thường 1%; 3%; 5%;… Giá trị α gọi mức ý nghĩa kiểm định Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê • Nếu hàm mật độ T đối xứng qua trục Oy ta chọn khoảng đối xứng [−tα ; tα ], với: α P (T ≤ −tα ) = P (T ≥ tα ) = Vậy, xét nửa bên phải trục Oy ta được: t ≤ tα ta chấp nhận giả thuyết H ; t > tα ta bác bỏ giả thuyết H • Nếu hàm mật độ T khơng đối xứng qua trục Oy ta chọn khoảng tin cậy [0; C ], với P (T ≥ C ) = α Nếu t ≤ C ta chấp nhận giả thuyết H , t > C ta bác bỏ giả thuyết H ………………………………………………………………………… Xác suất - Thống kê Cao đẳng Wednesday, January 05, 2011 Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê a) Sai lầm loại I • Sai lầm loại loại sai lầm mà ta phạm phải việc bác bỏ giả thuyết H H • Xác suất việc bác bỏ H H xác suất sai lầm loại ký hiệu α b) Sai lầm loại II • Sai lầm loại loại sai lầm mà ta phạm phải việc chấp nhận giả thuyết H H sai • Xác suất việc chấp nhận giả thuyết H H sai xác suất sai lầm loại ký hiệu β Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê 1.3 Cơ sở lý thuyết kiểm định • Để giải tốn kiểm định, ta quan sát mẫu ngẫu nhiên X1, , Xn đưa giả thuyết H • Từ mẫu trên, ta chọn thống kê T = f (X1, , Xn ; θ ) cho H phân phối xác suất T hồn tồn xác định • Với mức ý nghĩa α , ta tìm khoảng tin cậy (hay khoảng ước lượng) [a; b ] cho T độ tin cậy − α Khi đó: t ∈ [a; b ] ta chấp nhận giả thuyết H ; t ∉ [a; b ] ta bác bỏ giả thuyết H Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê §2 KIỂM ĐỊNH SO SÁNH ĐẶC TRƯNG CỦA TỔNG THỂ VỚI MỘT SỐ 2.1 Kiểm định so sánh trung bình với số Với số µ0 cho trước, ta đặt giả thuyết H : µ = µ a) Trường hợp Với n ≥ 30, σ2 biết 1−α B • Từ mức ý nghĩa α ⇒ = ϕ(tα )  → tα x − µ0 • Tính giá trị thống kê t = n σ • Nếu t ≤ tα ta chấp nhận H , nghĩa µ = µ ; t > tα ta bác bỏ H , nghĩa µ ≠ µ 28 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, January 05, 2011 Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê b) Trường hợp Với n ≥ 30, σ2 chưa biết Ta làm trường hợp thay σ s c) Trường hợp Với n < 30, σ2 biết X có phân phối chuẩn, ta làm trường hợp d) Trường hợp Với n < 30, σ2 chưa biết X có phân phối chuẩn tra bảng C • Từ cỡ mẫu n mức ý nghĩa α    → tαn −1 • Tính giá trị thống kê t = • Nếu t ≤ tαn −1 x − µ0 n s ta chấp nhận giả thuyết H ; t > tαn −1 ta bác bỏ giả thuyết H Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê VD Trong nhà máy gạo, trọng lượng đóng bao theo quy định bao gạo 50 kg độ lệch chuẩn 0,3 kg Cân thử 296 bao gạo nhà máy thấy trọng lượng trung bình 49,97 kg Kiểm định giả thuyết H : “trọng lượng bao gạo nhà máy 50 kg” có giá trị thống kê t kết luận là: Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê VD Điểm trung bình mơn Tốn sinh viên năm trước 5,72 Năm nay, theo dõi 100 SV số liệu: Điểm 27 43 Xác suất - Thống kê Cao đẳng 12 A t = 1, 7205 ; chấp nhận H với mức ý nghĩa 6% B t = 1, 7205 ; bác bỏ H , trọng lượng thực tế bao gạo nhỏ 50 kg với mức ý nghĩa 6% C t = 1, 9732 ; chấp nhận H với mức ý nghĩa 4% D t = 1, 9732 ; bác bỏ H , trọng lượng thực tế bao gạo nhỏ 50 kg với mức ý nghĩa 4% VD Một cơng ty cho biết mức lương trung bình kỹ sư cơng ty 5,7 triệu đồng/tháng với độ lệch chuẩn 0,5 triệu đồng/tháng Kỹ sư A dự định xin vào làm cơng ty thăm dò 18 kỹ sư thấy lương trung bình 5,45 triệu đồng/tháng Kỹ sư A định rằng: mức lương trung bình với mức cơng ty đưa nộp đơn xin làm Với mức ý nghĩa 2%, cho biết kết luận kỹ sư A ? Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê VD Người ta kiểm tra ngẫu nhiên 38 cửa hàng cơng ty A có bảng doanh thu tháng là: X (triệu đồng/tháng) 200 220 240 260 Số cửa hàng 16 12 Kiểm định giả thuyết H : “doanh thu trung bình hàng tháng cửa hàng cơng ty 230 triệu đồng”, mức ý nghĩa tối đa để giả thuyết H chấp nhận là: A 3,4%; B 4,2%; C 5,6%; D 7,8% VD Sở Điện lực A báo cáo rằng: trung bình hộ hàng tháng phải trả 250 ngàn đồng tiền điện, với độ lệch chuẩn 20 ngàn Người ta khảo sát ngẫu nhiên 500 hộ tính trung bình hàng tháng hộ trả 252 ngàn đồng tiền điện Trong kiểm định giả thuyết H : “trung bình hộ phải trả hàng tháng 250 ngàn đồng tiền điện” với mức ý nghĩa α = 1% , cho biết giá trị thống kê t kết luận ? Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê VD Nhà Giáo dục học B muốn nghiên cứu xem số tự học trung bình hàng ngày sinh viên có thay đổi khơng so với mức giờ/ngày cách 10 năm Ơng B khảo sát ngẫu nhiên 120 sinh viên tính trung bình 0,82 giờ/ngày với sˆ = 0, 75 giờ/ngày Với mức ý nghĩa 3%, cho biết kết luận ơng B ? Số sinh viên Chú ý Trong tất trường hợp bác bỏ, ta so sánh x µ : Nếu x > µ ta kết luận µ > µ Nếu x < µ ta kết luận µ < µ Kiểm định giả thuyết H : “điểm trung bình mơn Tốn sinh viên năm năm trước”, mức ý nghĩa tối đa để H chấp nhận là: A 13,94%; B 13,62%; C 11,74%; D 11,86% VD Thời gian X (phút) hai chuyến xe bus thành phố biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Cơng ty xe bus nói rằng: trung bình phút lại có chuyến xe bus Người ta chọn ngẫu nhiên thời điểm ghi lại thời gian (phút) hai chuyến xe bus là: 5,3; 4,5; 4,8; 5,1; 4,3; 4,8; 4,9; 4,7 Với mức ý nghĩa 5%, kiểm định lời nói ? 29 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, January 05, 2011 Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê VD Chiều cao giống X (m) vườm ươm biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Người ta đo ngẫu nhiên 25 giống có bảng số liệu: X (m) 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 Số Theo quy định vườn ươm, cao m đem trồng Với mức ý nghĩa 5%, kiểm định giả thuyết H : “cây giống vườn ươm cao m” có giá trị thống kê kết luận là: A t = 2, 7984 , khơng nên đem trồng B t = 2, 7984 , nên đem trồng C t = 1, 9984 , khơng nên đem trồng D t = 1, 9984 , nên đem trồng Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê VD Một báo cáo cho biết có 58% người tiêu dùng Việt Nam quan tâm đến hàng Việt Khảo sát ngẫu nhiên 1.000 người dân Việt Nam thấy có 536 người hỏi có quan tâm đến hàng Việt Với mức ý nghĩa 5%, kiểm định lại báo cáo ? VD 10 Khảo sát ngẫu nhiên 400 sinh viên mức độ nghiêm túc học thấy 13 sinh viên thừa nhận có ngủ học Trong kiểm định giả thuyết H : “có 2% sinh viên ngủ học”, mức ý nghĩa tối đa để H chấp nhận ? VD 11 Để kiểm tra loại súng thể thao, người ta cho bắn 1.000 viên đạn vào bia thấy có 670 viên trúng mục tiêu Sau đó, người ta cải tiến kỹ thuật kiểm tra lại thấy tỉ lệ trúng súng lúc 70% Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê §3 KIỂM ĐỊNH SO SÁNH HAI ĐẶC TRƯNG CỦA HAI TỔNG THỂ 3.1 So sánh hai trung bình hai tổng thể X, Y Ta có trường hợp việc chấp nhận hay bác bỏ H ta làm kiểm định so sánh trung bình với số (cả trường hợp ta đặt giả thuyết H : µ x = µ y ) a) Trường hợp nx , ny ≥ 30 σ2x , σy2 biết Ta tính thống kê t = x −y σ2 σ2x + y nx ny so sánh với tα Xác suất - Thống kê Cao đẳng Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê 2.2 Kiểm định so sánh tỉ lệ với số • Với số p0 cho trước, ta đặt giả thuyết H : p = p0 1−α B • Từ mức ý nghĩa α ⇒ = ϕ(tα )  → tα m • Từ mẫu cụ thể, ta tính tỉ lệ mẫu f = n f − p0 n , q = − p0 giá trị thống kê t = p0q Nếu t ≤ tα chấp nhận H , nghĩa p = p0 Nếu t > tα bác bỏ H , nghĩa p ≠ p0 Khi đó: f > p0 ⇒ p > p0 ; f < p0 ⇒ p < p0 Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê Trong kiểm định giả thuyết H : “tỉ lệ bắn trúng súng thể thao 70%”, với mức ý nghĩa 3% có giá trị thống kê t kết luận là: A t = 2, 0702 cải tiến kỹ thuật tốt B t = 2, 0702 cải tiến kỹ thuật chưa tốt C t = 2, 0176 cải tiến kỹ thuật tốt D t = 2, 0176 cải tiến kỹ thuật chưa tốt VD 12 Cơng ty A tun bố có 40% người tiêu dùng ưa thích sản phẩm Khảo sát 400 người tiêu dùng thấy có 179 người ưa thích sản phẩm cơng ty A Trong kiểm định giả thuyết H : “có 40% người tiêu dùng thích sản phẩm cơng ty A”, mức ý nghĩa tối đa để H chấp nhận là: A 7,86%; B 6,48%; C 5,24%; D 4,32% Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê b) Trường hợp nx , ny ≥ 30 σ2x , σy2 chưa biết Ta thay σ2x , σy2 sx2 , sy2 trường hợp c) Trường hợp nx , ny < 30 σ2x , σy2 biết đồng thời X , Y có phân phối chuẩn Ta làm trường hợp d) Trường hợp nx , ny < 30 σ2x , σy2 chưa biết đồng thời X , Y có phân phối chuẩn • Tính phương sai chung mẫu: (nx − 1)sx2 + (ny − 1)sy2 s2 = n x + ny − 30 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, January 05, 2011 Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê • Tính giá trị thống kê t = x −y 1 s + nx ny n +ny −2 tra bảng C • Từ α    → tα x so sánh với t VD Người ta tiến hành bón hai loại phân X , Y cho cà chua Với 60 bón phân X thu trung bình 32,2 độ lệch chuẩn 8,5 quả; 72 bón phân Y thu trung bình 28,4 độ lệch chuẩn 9,3 Với mức ý nghĩa 5%, cho biết kết luận hai loại phân bón ? Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê VD Tuổi thọ (năm) pin biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Một cơng ty sản xuất thử nghiệm 10 pin loại X 12 pin loại Y có kết quả: x = 4, , sx = 1,1 y = 4, , sy = 0, Với mức ý nghĩa 1%, ta kết luận tuổi thọ loại pin X cao loại pin Y khơng ? VD Tuổi thọ (tháng) thiết bị biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Người ta kiểm tra ngẫu nhiên tuổi thọ 15 thiết bị loại A, có kết quả: 114; 78; 96; 137; 78; 103; 126; 86; 99; 114; 72; 104; 73; 86; 117 Kiểm tra tuổi thọ 17 thiết bị loại B thấy có trung bình 84 tháng độ lệch chuẩn 19 tháng Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê • Tính giá trị thống kê t = fx − fy 1   p0q  +   nx ny  • Kết luận: Nếu t ≤ tα ta chấp nhận H ⇒ px = py Nếu t > tα fx < fy ta bác bỏ H ⇒ px < py Nếu t > tα fx > fy ta bác bỏ H ⇒ px > py VD Từ hai tổng thể X Y người ta tiến hành kiểm tra mẫu có kích thước nx = 1000 , ny = 1200 tính chất A fx = 0, 27 fy = 0, Xác suất - Thống kê Cao đẳng Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê VD Để so sánh mức lương trung bình nhân viên nữ X (USD/giờ) nam Y (USD/giờ) cơng ty đa quốc gia, người ta tiến hành khảo sát ngẫu nhiên 100 nữ 75 nam có kết quả: x = 7,23 , sx = 1, 64 y = 8, 06 , sy = 1, 85 Với mức ý nghĩa 3%, kiểm định giả thuyết H : “mức lương trung bình nữ nam cơng ty nhau” có giá trị thống kê kết luận là: A t = 4, 0957 , mức lương nữ nam B t = 4, 0957 , mức lương nữ thấp nam C t = 3, 0819 , mức lương nữ nam D t = 3, 0819 , mức lương nữ thấp nam Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê Kiểm định giả thuyết H : “tuổi thọ thiết bị loại A B với mức ý nghĩa 3%” có giá trị thống kê kết luận là: A t = 2,1616 ; tuổi thọ hai loại thiết bị B t = 2,1616 ; tuổi thọ loại thiết bị A lớn C t = 2, 4616 ; tuổi thọ hai loại thiết bị D t = 2, 4616 ; tuổi thọ loại thiết bị A lớn 3.2 So sánh hai tỉ lệ hai tổng thể X, Y Ta thực bước sau: • Đặt giả thuyết H : px = py • Từ mẫu ta tính fx = mx nx , fy = my ny , p0 = m x + my n x + ny Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê Với mức ý nghĩa 9%, so sánh tỉ lệ tổng thể ? VD Kiểm tra 120 sản phẩm kho I thấy có phế phẩm; 200 sản phẩm kho II thấy có 24 phế phẩm Hỏi chất lượng hàng hai kho có khác khơng với: 1) mức ý nghĩa 5%; 2) mức ý nghĩa 1% VD Một cơng ty điện tử tiến hành điều tra thị trường sở thích xem tivi cư dân thành phố Điều tra ngẫu nhiên 400 người quận X thấy có 270 người xem tivi ngày; 600 người quận Y có 450 người xem tivi ngày Trong kiểm định giả thuyết H : “tỉ lệ cư dân xem tivi ngày quận X Y nhau”, mức ý nghĩa tối đa để H chấp nhận là: A 0,96%; B 2,84%; C 4,06%; D 6,14% 31 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, January 05, 2011 Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê VD Trước bầu cử, người ta thăm dò 1000 cử tri thấy có 400 người nói bỏ phiếu cho ơng A Một tuần sau (vẫn chưa bầu cử), người ta tổ chức thăm dò khác thấy có 680 số 1500 cử tri hỏi bỏ phiếu cho ơng A Kiểm định giả thuyết H : “tỉ lệ cử tri ủng hộ ơng A hai lần nhau”, với mức ý nghĩa 1% có giá trị thống kê kết luận là: A t = 2, 6356 ; cử tri ngày ủng hộ ơng A B t = 2, 6356 ; cử tri ủng hộ ơng A khơng thay đổi C t = 2,1349 ; cử tri ngày ủng hộ ơng A D t = 2,1349 ; cử tri ủng hộ ơng A khơng thay đổi Chương Bài tố tốn tương quan & Hồi quy HỆ SỐ TƯƠNG QUAN MẪU 1.1 Định nghĩa • Hệ số tương quan mẫu r số đo mức độ phụ thuộc tuyến tính hai mẫu ngẫu nhiên cỡ X Y • Giả sử ta có mẫu ngẫu nhiên cỡ n vector ngẫu nhiên (X , Y ) (xi , yi ); i = 1; 2; ; n Khi đó, hệ số tương quan mẫu r tính theo cơng thức: r= …………………………………………………………………………… Chương Bài tố tốn tương quan & Hồi quy 1.2 Tính chất 1) −1 ≤ r ≤ 2) Nếu r = X , Y khơng có quan hệ tuyến tính; Nếu r = ±1 X , Y có quan hệ tuyến tính tuyệt đối 3) Nếu r < quan hệ X , Y giảm biến 4) Nếu r > quan hệ X , Y đồng biến VD Kết đo lường độ cholesterol (Y) có máu 10 đối tượng nam độ tuổi (X) sau: X 20 52 30 57 28 43 57 63 40 49 Y 1,9 4,0 2,6 4,5 2,9 3,8 4,1 4,6 3,2 4,0 Tính hệ số tương quan mẫu X Y Chương Bài tố tốn tương quan & Hồi quy Đường hồi quy trung bình tuyến tính thực nghiệm • Từ mẫu thực nghiệm vector ngẫu nhiên (X , Y ), ta biễu diễn cặp điểm (xi , yi ) lên mpOxy Khi đó, đường cong nối điểm đường cong phụ thuộc Y theo X mà ta cần tìm (xem hình a), b)) Hình a Xác suất - Thống kê Cao đẳng Hình b xy − x y n ; xy = ∑ x i yi sˆx sˆy n i =1 Chương Bài tố tốn tương quan & Hồi quy Giải Từ số liệu bảng trên, ta tính được: 20 × 1, + + 49 × 4, xy = = 167, 26 ; 10 n x = ∑ xi = 43, ; sˆx = 13, 5385 ; n i =1 y= n ∑ y = 3, 56; sˆy = 0, 8333 n i =1 i Vậy r = xy − x y = 0, 9729 sˆx sˆy Chương Bài tố tốn tương quan & Hồi quy • Đường thẳng đường hồi quy thực nghiệm xấp xỉ tốt điểm mẫu cho, xấp xỉ đường cong cần tìm Trong hình a) ta thấy xấp xỉ tốt (phụ thuộc tuyến tính chặt), hình b) xấp xỉ khơng tốt 2.1 Phương pháp bình phương bé • Khi có phụ thuộc tuyến tính tương đối chặt hai biến ngẫu nhiên X Y ta cần tìm biểu thức a + bX xấp xỉ Y tốt theo nghĩa cực tiểu sai số bình phương trung bình E (Y − a − bX )2 , phương pháp gọi bình phương bé 32 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, January 05, 2011 Chương Bài tố tốn tương quan & Hồi quy 2.2 Phương trình đường hồi quy tuyến tính Đường hồi quy tuyến tính Y theo X là: y = a + bx Trong đó: b = xy − x y sˆx2 , a = y − b.x Chương Bài tố tốn tương quan & Hồi quy VD Đo chiều cao (X: m) khối lượng (Y: kg) học sinh nam, ta có kết quả: X 1,45 1,60 1,50 1,65 1,55 Y 50 55 45 60 55 1) Tìm hệ số tương quan r 2) Lập phương trình hồi quy tuyến tính Y theo X 3) Dự đốn học sinh cao 1,62m nặng khoảng kg? Đường hồi quy tuyến tính X theo Y là: Giải 1) x = 1, 55; sˆx = 0, 0707; y = 53; sˆy = 5, 099 ; x = a + by Trong đó: b = xy − x y sˆy2 , a = x − b.y Chương Bài tố tốn tương quan & Hồi quy 2) b = xy − x y = 82, 45 − 1, 55 × 53 = 60, 0181 ; sˆx2 (0, 0707)2 a = y − bx = 53 − 60, 0181 × 1, 55 = −40, 0281 Vậy y = −40, 0281 + 60, 0181x 3) Học sinh cao 1,62m nặng khoảng: y = −40, 0281 + 60, 0181 × 1, 62 = 57, 2012 kg Sử dụng máy tính bỏ túi tìm đườ đường hồi quy Xuất kết quả: SHIFT → → (dịch chuyển mũi tên phải lần) → (A a phương trình) → (B b phương trình) → (r r ) Đáp số: r = 0, 9729 ; y = 0, 9311 + 0, 0599x 2) Máy tính fx500ES, fx570ES VD Xét lại VD cho Nhập số liệu: SHIFT → MODE → dịch chuyển mũi tên tìm chọn mục Stat → (chế độ khơng tần số) Xác suất - Thống kê Cao đẳng xy = 82, 45 ⇒ r = 82, 45 − 1, 55 × 53 = 0, 8322 0, 0707 × 5, 099 Sử dụng máy tính bỏ túi tìm đườ đường hồi quy SỐ LIỆU KHƠNG CĨ TẦN SỐ 1) Máy tính fx500MS, fx570MS VD Bài tốn cho dạng cặp (x i , yi )như sau: X 20 52 30 57 28 43 57 63 40 49 Y 1,9 4,02,6 4,5 2,9 3,84,1 4,6 3,2 4,0 Tìm hệ số r , đường hồi quy Y theo X: y = a + bx Nhập số liệu: MODE → REG → LIN X, Y → M+ 20, 1.9 → M+ 52, 4.0 → M+ … …… … 49 , 4.0 → M+ Sử dụng máy tính bỏ túi tìm đườ đường hồi quy MODE → (stat) → (A+Bx) → (nhập giá trị X, Y vào cột) X Y 20 1.9 52 4.0 … … 49 4.0 Xuất kết quả: SHIFT → → → 1(A a phương trình) SHIFT → → → 2(B b phương trình) SHIFT → → → 3(r r phương trình) Đáp số: r = 0, 9729 ; y = 0, 9311 + 0, 0599x ………… ………… Hết……………………… 33 [...]... …………………………………………………………………………………… Xác suất - Thống kê Cao đẳng 24 ĐH Cơng nghiệp Tp. HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, January 05, 2011 Chương 4 Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số §2 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG 2.1 Định nghĩa • Xét thống kê T ước lượng tham số θ , khoảng (θ1; θ2 ) được gọi là khoảng ước lượng nếu với xác suất 1 − α cho trước thì P (θ1 < θ < θ2 ) = 1 − α • Xác suất 1 − α được gọi là độ tin... hồn lại Xác suất - Thống kê Cao đẳng • Gọi X1, X 2, , Xn là những kết quả quan sát Ta xem như đã quan sát n lần, mỗi lần ta được một biến ngẫu nhiên Xi (i = 1, , n ) Do ta thường lấy mẫu trong tổng thể có rất nhiều phần tử nên X1, X 2, , X n được xem là độc lập và có cùng phân phối xác suất 22 ĐH Cơng nghiệp Tp. HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, January 05, 2011 Chương 4 Mẫu thố thống kê & Ước... ≥ 30 và σ2x , σy2 đã biết Ta tính thống kê t = x −y σ2 σ2x + y nx ny và so sánh với tα Xác suất - Thống kê Cao đẳng Chương 5 Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê 2.2 Kiểm định so sánh tỉ lệ với một số • Với số p0 cho trước, ta đặt giả thuyết H : p = p0 1−α B • Từ mức ý nghĩa α ⇒ = ϕ(tα )  → tα 2 m và • Từ mẫu cụ thể, ta tính tỉ lệ mẫu f = n f − p0 n , q 0 = 1 − p0 giá trị thống kê t... độ chính xác lớn hơn 4,8 tấn/năm và độ tin cậy 99% thì cần khảo sát tối đa bao nhiêu gia đình trong phường A ? Xác suất - Thống kê Cao đẳng Chương 4 Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số Bài 3 Tìm cỡ mẫu (ta chỉ xét TH1 và TH2) Ta cố định s (hay σ) để tìm cỡ mẫu N a) Nếu ε > ε’ thì ta giải bất đẳng thức: tα  s > ε′ ⇒ N < tα  ⇒ N max  ε ′  N s 2 b) Nếu ε < ε’ thì ta giải bất đẳng thức:... nhận giả thuyết H , và nếu t > C thì ta bác bỏ giả thuyết H ………………………………………………………………………… Xác suất - Thống kê Cao đẳng Wednesday, January 05, 2011 Chương 5 Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê a) Sai lầm loại I • Sai lầm loại 1 là loại sai lầm mà ta phạm phải trong việc bác bỏ giả thuyết H khi H đúng • Xác suất của việc bác bỏ H khi H đúng là xác suất của sai lầm loại 1 và được ký hiệu là... để trong 5 phút có từ 4 đến 6 xe xuất bến là: A 0,2133 ; B 0,2792 ; C 0, 3209 ; D 0, 4663 Xác suất - Thống kê Cao đẳng Câu 13 Cho biến biến ngẫu nhiên X ∈ N (4; 2,25) Giá trị của xác suất P (X > 5, 5) là: A 0,1587 ; B 0, 3413 ; C 0,1916 ; D 0,2707 21 ĐH Cơng nghiệp Tp. HCM dvntailieu.wordpress.com Câu 14 Thống kê điểm thi X (điểm) mơn XSTK của sinh viên tại trường Đại học A cho thấy X là biến ngẫu... sản phẩm chọn ra Bảng phân phối xác suất của X là: A) B) X 0 1 2 X 0 1 2 2 8 1 1 8 2 P P 15 15 3 3 15 15 Xác suất - Thống kê Cao đẳng BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Chương 2 Câu 1 Cho BNN rời rạc X có bảng phân phối xác suất: 2 4 5 X –1 0 0,15 0,10 0,45 0,05 0,25 P Giá trị của P[(−1 < X ≤ 2) ∪ (X = 5)] là: A 0,9; B 0,8; C 0,7; D 0,6 Câu 2 Cho BNN rời rạc X có bảng phân phối xác suất: 2 3 4 X 1 P 0,15 0,25 0,40... lượng tỉ lệ diện tích lúa có năng suất cao ở huyện A có độ chính xác là ε = 8,54% thì đảm bảo độ tin cậy là bao nhiêu? A 92%; B 94%; C 96%; D 98% ………………………………………………………………………………………………… Xác suất - Thống kê Cao đẳng f (1 − f ) n 1−α (tra bảng B ) 2 Chương 4 Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số 1) Dựa vào mẫu trên, để ước lượng tỉ lệ TV Sony trong kho có độ chính xác là ε = 0, 0177 thì đảm bảo độ... sinh viên vào buổi sáng chủ nhật có phân phối chuẩn với trung bình 60Kbits/s và độ lệch chuẩn 4Kbits/s Xác suất để tốc độ chuyển dữ liệu lớn hơn 63Kbits/s là: A 0,2266; B 0,2144; C 0,1313; D 0,1060 Xác suất - Thống kê Cao đẳng f (x ) = 1 σ 2π − e (x −µ )2 2σ2 , x ∈ ℝ b) Các số đặc trưng của X ~ N(µ, σ2) ModX = EX = µ; VarX = σ2 Chương 3 Phân phố phối xác suấ suất thơng dụng VD 2 Một kỳ thi đầu vào ở trường... H sai • Xác suất của việc chấp nhận giả thuyết H khi H sai là xác suất của sai lầm loại 2 và được ký hiệu là β Chương 5 Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê 1.3 Cơ sở lý thuyết của kiểm định • Để giải quyết bài tốn kiểm định, ta quan sát mẫu ngẫu nhiên X1, , Xn và đưa ra giả thuyết H • Từ mẫu trên, ta chọn thống kê T = f (X1, , Xn ; θ 0 ) sao cho nếu khi H đúng thì phân phối xác suất của ... xuất 1) Tính xác suất (tỉ lệ) sản phẩm hỏng ? 2) Tính xác suất sản phẩm hỏng phân xưởng A sản xuất ? Xác suất - Thống kê Cao đẳng ……………………………………………………………………………………… ĐH Cơng nghiệp Tp. HCM dvntailieu.wordpress.com... trước, tính xác suất A thắng ? ĐH Cơng nghiệp Tp. HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, January 05, 2011 Chương Xác suấ suất Biế Biến cố Chương Xác suấ suất Biế Biến cố 3.2.3 Cơng thức xác suất đầy... ngẫu nhiên người 50 người này, tính xác suất gọi người chờ kết nội soi siêu âm? Xác suất - Thống kê Cao đẳng Chương Xác suấ suất Biế Biến cố 2.1 Định nghĩa xác suất dạng cổ điển Xét phép thử với