Những Thời Khắc Trọng Đại TOÁN HỌC Howard Eves Trần Quang Nghĩa lược dịch Thời Khắc Trọng Đại Toán Học Howard Eves Những vết gạch tiếng gầm gừ Trong huyền thoại Homere, anh hùng Ulysses rời đảo Cyclops sau làm mù gả khổng lồ mắt Gã bất hạnh sáng sáng ngồi trước cửa hang dùng sỏi để đếm số cừu khỏi hang, bước ra, gã ném sỏi sang bên Rồi chiều, đàn cừu hang, bước vào, gã lại lấy bớt sỏi từ đống sỏi thu ban sáng Bằng cách này, số sỏi ban sáng hết sạch, gã tin số cừu hết, lạc Truyện gã khổng lồ mắt chắn câu chuyện xưa đề cập đến tương ứng một, phép đếm Nguyên tắc nầy có nhiều minh họa khác Chẳng hạn, thổ dân da đỏ Bắc Mỹ muốn đếm số kẻ thù mà y kết liễu, y lột da đầu họ Còn thợ săn Phi Châu thời tiền sữ giữ lại nanh cho heo rừng mà họ giết Những thiếu nữ chưa lập gia đình lạc Masai cư ngụ triền núi Kilimanjaro mang vòng đồng quanh cổ, số vòng với số tuổi họ Những chủ quán rượu Anh dùng vệt phấn bảng để ghi số lần uống thực khách Những cư dân Peru thưỏ trước dùng sợi thừng có thắt nút với nhiều màu sắc khác để đếm dân sô làng Và lẽ dĩ nhiên, học sinh ngày đếm xem ngày đến Noel bằmg cách đếm ngày tờ lịch Và người, có lần, dùng ngón tay để đếm số Vật tạo tác có ý nghĩa toán học xưa tìm tay cầm xương, có vết khắc sâu theo dạng thức toán học xác định, với mảnh thạch anh sắc bén dùng để khắc gắn khe đầu cán Công cụ gọi xương Ishango, tìm thấy nhà khảo cổ Jean de Heinzelin làng đánh cá Ishango, hồ Edward thuộc Cộng Hoà Congo, có niên đại khoảng 9000 6500 trước Công Nguyên Chắc chắn thời khắc trọng đại xưa toán học xảy khi, cách vài ngàn năm, người nguyên thủy bắt đầu học ghi lại số vật dụng vết gạch mặt đất hay đá Rồi xả hội tiến hóa đến mức phải cần qui trình đếm Một lạc, thị tộc gia đình phải phân chia lương thực người cộng đồng, phải ghi lại số đầu gia súc Qui trình dùng lằn gạch tạo tượng ứng - với số đơn vị cải chắn khởi thủy khoa học chữ viết sau xuất Thật hợp lí giả định với số lượng nhỏ, người ta đếm ngón tay dơ lên hay chỉa xuống Với số lượng lớn người ta dùng sỏi thẻ, nét gạch mặt đất hay đá, hay vết cắt xương hay mặt gỗ, hay thắt nút dây thừng Đến lúc đó, người dùng tiếng gầm gừ định để số lượng Và sau chữ số nghĩ để thay từ số lượng Mặc dù trình phát triển kỷ đếm người nguyên thủy ức đoán, củng cố báo cáo nhà khảo cổ nghiên cứu tộc nguyên thủy sống ngày tạo tác đào số đia điểm giới Đó qui trình mà trẻ ngày dùng để bắt đầu học đếm Trong thời kì khởi đầu việc đếm tiếng nói, người ta dùng tiếng khác để www.hoctoancapba.com.vn  Page 2  Thời Khắc Trọng Đại Toán Học Howard Eves số lượng, chẳng hạn hai cừu hai người, chữ hai hai tình lại nói hai từ khác Hiện tượng tìm thấy ngôn ngử, chẳng hạn tiếng Anh, ta có nhiều chữ khác có nghĩa hai : team of horses (2 ngựa xe), span of mules ( cặp lừa), yoke of oxen (đôi bò), brace of partridge (cặp gà gô), pair of shoes (đôi giày) Cái từ biểu thị tính trừu tượng cao số lượng 2, độc lập với vật cụ thể kèm, phải lâu xuất Mối liên hệ từ số đếm với vạch ghi kéo dài đến ngày số lạc nguyên thủy Chẳng hạn ngôn ngử tộc Papuan Tân Guinea, người nghĩa 20, hai bàn tay nghĩa mười, bàn tay năm Bộ lạc Kamayura Nam Mỹ lấy từ "ngón giữa" để số Họ nói : "ngón ngày" để nói "ba ngày" Còn thổ dân Dene-Dinje Nam Mỹ, có thói quen đếm cách gấp ngón tay lại, nói sau để số đếm : "một " - " ngón út gấp lại" "hai" - " ngón út áp út gấp lại" "ba" - "ngón út, áp út ngón gấp lại" "bốn" - " bốn ngón trừ ngón gấp lại" "năm" - năm ngón gấp lại" " mười" - hai bàn tay nắm lại" Đối với thổ dân Mandigo Tây Phi để "chín" họ dùng từ "kononto", có nghĩa "như thằng nhỏ bụng" - ý họ muốn nói chín tháng cưu mang Giai đoạn cụ thể trình đếm hiển nhiên ngôn ngử Malay Azted, chữ "một", "hai", "ba" " sỏi", "hai sỏi", "ba sỏi" Tương tự dân Niuès Nam Thái Bình Dương, ba từ chữ số "một trái", "hai trái", "ba trái" Có thứ ngôn ngử dáng điệu dùng để chữ số, chẳng hạn tộc Papuan, muốn số cụ thể, họ phận khác thể 1: ngón út phải 12: mũi 2: ngón áp út phải 13: miệng 14: tai trái 5: ngón phải 6: cổ tay phải 7: khuỷu tay phải 8: vai phải 9: tai phải 10: mắt phải 11: mắt trái 22: ngón út trái Trong tộc nguyên thủy, người sành điệu thời đại, người ta thường dùng lời lẽ để đếm kết hợp với dáng điệu bàn tay Chẳng hạn, vài lạc, nói "mười" thường kèm theo hai bàn tay vỗ vào nhau, "sáu" kèm với động tác bàn tay vuốt nhanh lên bàn tay Nhà nhân chủng học Karl Menninger nói quan sát cách đếm ngón tay thổ dân biết họ thuộc sắc dân nào, chủng tộc www.hoctoancapba.com.vn  Page 3  Thời Khắc Trọng Đại Toán Học Howard Eves Nhà văn Anh Mason có kể giai thoại ngồ ngộ chiến II Một thiếu nữ Nhật sống Ấn, lúc có chiến tranh với nước Nhật Để tránh tình rắc rối xảy ra, bạn cô giới thiệu cô người Trung Hoa với cư dân người Anh Ấn Ông nghi ngờ hỏi cô hảy thử đếm đến năm ngón tay Cô này, sau chút dự, làm theo lời ông ta Rồi:; Thấy thế, ông Headley bổng cười lớn: "Đó, cô thấy không! Cô có thấy cách cô ta đếm không? Cô ta mở lòng bàn tay gấp ngón tay vào ngón để đếm Cô có thấy người Trung quốc đếm không? Không bao giờ! Người Trung quốc đếm người Anh Bắt đầu với bàn tay nắm lại Như cô ta Nhật!" ông ta cười lên đắc thắng Khái niệm tương ứng - coi phép đếm tập hợp số hữu hạn Trong loạt phần lớn in tạp chí toán học Mathematische năm 1874, nhà toán học Đức Georg Cantor áp dụng khái niệm để "đếm" số vô hạn nhờ sáng tạo lý thuyết lừng danh số siêu hạng Nhưng chuyện tương lai, thời khắc trọng đại TOÁN học xảy gần đây, bàn đến kì tới Chữ số La Mả www.hoctoancapba.com.vn  Page 4  Thời Khắc Trọng Đại Toán Học Howard Eves Sự iiến hóa chữ số www.hoctoancapba.com.vn  Page 5  Thời Khắc Trọng Đại Toán Học Howard Eves Kim tự tháp vĩ đại Ai cập Những nhận định hình học người phải có từ lâu, xuất phát cách vô thức từ quan sát nhận dạng hình so sánh kích thước hình thể chúng Chắc chắn khái niệm xa xưa mà người cảm nhận khái niệm vể khoảng cách, đặc biệt phát đoạn thẳng khoảng cách ngắn nối hai điểm Một khái niệm xa xưa xuất từ vô thức đến nhận thức dạng hình đa giác, hình tam giác, tứ giác Thật tự nhiên người ta vạch đường biên cách ấn định điểm mặt đất nối hai điểm lên tiếp tường thẳng hay hàng rào Trong trình xây dựng tường khái niệm thẳng đứng, song song, vuông góc ló diện Nhiều đường cong đặc biệt bật đường phức tạp thiên nhiên, gây ấn tượng lên tâm trí vô thức người Chẳng hạn dĩa tròn hình ảnh mặt trời, mặt trăng, hay đường cầu vòng hay mặt cắt thân Rồi quỹ đạo parabol viên đá ném đi, đường dây xích dây nho buông thỏng, đường xoắn ốc dây thừng cuộn lại, tua loài dây leo gây ý cho óc quan sát Một số loài nhện giăng tơ theo hình đa giác Những dợn sóng đường tròn đồng tâm tỏa đá ném xuống hồ, đường xoắn ốc nghệ thuật vỏ loài ốc biển Nhiều có dạng khối cầu; thân hình trụ; dạng hình nón xuất tự nhiên Những bề mặt khối tròn xoay, quan sát tự nhiên sản phẩm thợ gốm, tác động cách vô thức đến trí óc hay tò mò Con người, loài vật, nhiều có trục hay mặt đối xứng Kháí niệm thể tích thành hình lần bình chứa đổ đầy nước bờ suối hay bờ sông Khái niệm không gian điểm không gian liên kết lần nhìn lên bầu trời đầy ban đêm Danh sách liệt kê kéo dài vô tận Việc làm quen ban đầu với khái niệm hình học theo cách gọi hình học vô thức Những người tiền sử quen với cách trẻ em ngày thể vẽ chúng Giai đoạn thứ hai hình học xuất trí tuệ người biết rút từ tập hợp liên hệ hình học cụ thể mối liên hệ trưù tượng tổng quát mà liên hệ cụ thể nói trường hợp cá biệt Bằng cách người ta thiết lập qui tắc hình học Ví dụ, cách tính diện tích hình chữ nhật giấy ô vuông cách đếm ô vuông đơn vị mà chúng chứa đựng, học sinh tiểu học rút qui tắc tính diện tích hình chữ nhật lấy tích hai kích thước Hay cách đo chu vi đỉa gỗ dây, học sinh suy chu vi đường tròn lớn ba lần đường kính đường tròn chút Và ví dụ cao cấp hơn, xét dĩa gỗ tâm có đóng đinh sâu đến nửa bán cầu bán kính, cực có định Bây ta cuộn sợi dây thừng đinh theo hình xoắc ốc lấp đầy đỉa tròn bán cầu (Trong hình vẽ phần sợi dây) Vì sợi dây thừng lấp đầy bán cầu dài gấp hai sợi dây thừng lấp đầy đỉa tròn nên ta kết luận diện tích bán cầu hai lần diện tích hình tròn bán kính, diện tích mặt cầu bốn diện tích hình tròn www.hoctoancapba.com.vn  Page 6  Thời Khắc Trọng Đại Toán Học Howard Eves lớn - kiện Archimedes chứng minh cách nghiên nhặt vào kỉ thứ ba trước công nguyên Với thực nghiệm thế, hình học trở thành khoa học thực nghiệm Hình học giai đoạn thí nghiệm gọi hình học thực nghiệm Khi lục lọi sâu vào lịch sử toán học khứ, tìm thấy số lượng đáng kể kết hình học thực nghiệm Loại hình học xuất vài vùng phát triển phương Đông Cổ Đại khoảng thiên niên kỉ thứ năm đến thứ ba trước công nguyên qua trình xây dựng, trồng trọt, thương mại nghi lễ tôn giáo Thật thú vị biết kiến thức hình học lưu giữ trước 600 trước công nguyên phần lớn hình học thực nghiệm Hình học hình thành số qui tắc thô sơ, số đắn, số gần đúng, hình học Babylon, Ai cập Ấn độ, Trung quốc Để minh họa, ta xét công thức tính diện tích hình viên phân Trung quốc Công thức tìm thấy s/2 s/2 c/2 Cữu Chương Toán Pháp, có nguồn gốc từ kỉ thứ hai trước Công nguyên, ta biết Tần Thủy Hoàng có sách đốt sách năm s 213 trước Công nguyên, tin sách có nguồn gốc sớm Trong hình dưới, gọi c độ dài dây cung s s/2 c/2 s/2 chiều cao viên phân Nếu từ đỉnh viên phân ta kẻ hai cát tuyến cắt phần kéo dài c đoạn với s/2, mắt thường ta thấy diện tích hình viên phân diện tích tam r giác cân tạo đường c hai cát tuyến Cữu chương Toán Pháp cho hai diện tích tức công thức diện tích hình viên phân A = s(c + s)/2 Áp dụng công thức cho hình viên phân đặc biệt nửa hình tròn bán kính r: c = 2r, s = r, ta diện tích nửa hình tròn : A = r(2r + r)/2 = 3r2/2, tức diện tích hình tròn 3r2 Như Cữu Chương Toán Pháp cho π = 3, giá trị gần π thường dùng thời cổ Trong giấy cói Rind ghi lại công trình hình học người Ai cập có niên đại 1650 B.C, tìm thấy qui tắc tính diện tích hình tròn diện tích hình vuông có độ dài cạnh 8/9 đường kính hình tròn Như công thức thực nghiệm cho giá trị số π = (4/3)4 = 3,1604 www.hoctoancapba.com.vn  Page 7  Thời Khắc Trọng Đại Toán Học Howard Eves Mặc dù phần lớn thổ đất sét khô đào Mesopotamia chứng tỏ người Baylon lấy π = 3, thổ có niên đại từ 1900 đến 1600 B.C khai quật Susa năm 1936, cách thành phố Babylon 200 dặm cho π = 31/8 = 3,125 Còn nhiều dẫn chứng khác loại hình học thực nghiệm Chúng ta ấn tượng trước số lượng đồ sộ qui tắc tìm thấy phương pháp túy thực nghiệm Nếu số lượng kiến thức ấy, phải tỉm ví dụ bật để minh họa thời khắc trọng đại toán học, ví dụ tốt Bài toán số 14 giấy cói Moskow Bản có niên đại khoảng 1850 B.C ghi lại 25 toán cổ Bản giấy cổ mua Ai cập năm 1893 lưu giữ bảo tàng Moscow Trong Bài toán 14, ta tìm thấy thuật toán sau: "Bạn cho khối chóp cụt có chiều cao 6, cạnh đáy lớn 4, cạnh đáy nhỏ Bạn bình phương 16, nhân cho 8, bình phương Sau bạn cộng số 16, 4, 28 Rồi lấy phần ba Cuối nhân 28 với 56 Thế, số 56 Bạn thấy đúng." Bạn hiểu việc nào? Đầu tiên, phải biết rằng, theo thói quen thời cổ minh họa toán, trước tiên thủ tục tổng quát đưa ra, sau số cụ thể cá biệt áp dụng Vì khối chóp Ai cập thời cổ có dạng khối chóp tứ giác nên toán đề cập đến khối chóp cụt tứ giác đều, phần khối chóp cắt mặt phẳng song song với đáy Gọi a, b cạnh đáy h chiều cao đây: a = 4, b = h = Từ mô tả trên, thuật toán cho thể tích khối chóp cụt tứ giác V = (a2 + ab + b2)h/3, kết cá biệt công thức tổng quát cho khối chóp cụt : V = (B + BB ' + B')h/3 B, B', h diện tích hai đáy chiều cao khối Hãy ngừng lúc, lí giải đúng, để bày tỏ thán phục với công thức tìm thực nghiệm Chúng ta biết người Babylon tìm công thức diện tích hình thang (coi tam giác "cụt") tích chiều cao nửa tổng hai cạnh đáy Từ người Babylon www.hoctoancapba.com.vn  Page 8  Thời Khắc Trọng Đại Toán Học Howard Eves cho thể tích khối chóp cụt tích chiều cao với nửa tổng diện tích hai đáy, nghĩa : V = h (B1 + B2)/2 Ức đoán tự nhiên triển vọng thật lại sai Tác giả người Ai cập thời cổ Bài toán 14 thảo Moscow, không giống người Babylon, lại đoán xác Rõ ràng qui nạp thành thực nghiệm đáng nể hình học Đáng nể đến nhà toán học Eric Temple Bell đặt tên cho Bài toán 14 " kim tự tháp Ai cập vĩ đại nhất"; với Bell, phép qui nạp mà toán đưa đáng nể nhiều so với công trình xây dựng kim tự tháp khổng lồ đá tảng Ai cập cổ đại đứng vững đến tận ngày Đây thời khắc trọng đại toán học www.hoctoancapba.com.vn  Page 9  Thời Khắc Trọng Đại Toán Học Howard Eves Từ thực nghiệm đến nghiên cứu Khoảng năm 600 trước công nguyên toán học bước vào thời kì phát triển thứ ba Các sử gia toán học trí vinh danh tiến vượt bậc cho người Hi Lạp thời đó, người tiên phong tiếng Thales thành Miletus, thất hiền thời cổ đại Hình Thales trải năm trẻ tuổi làm nghề buôn bán, sau trở nên giàu có, nhờ năm cuối đời, ông dành hết thời gian cho nghiên cứu du lịch Ông đến Ai cập mang cho thành Miletus thành tựu người Ai cập hình học Ông thiên tài nhiểu lãnh vực: khách, cố vấn, kỹ sư, doanh nhân, triết gia, nhà toán học thiên văn học Ông người mà tên tuổi biết đến lịch sử TOÁN học, cá nhân nêu phát hình học phương pháp diễn dịch Những kết sau đóng góp ông: Đường kính chia đôi đường tròn Hai góc đáy tam giác cân Những góc đối đỉnh tạo hai đường thẳng cắt Hai tam giác có hai góc cạnh Góc nội tiếp nửa đường tròn góc vuông Thật chắn năm kết biết lâu trước thời Thales, năm kết kiểm chứng thực nghiệm Vì giá trị phát nội dung chúng mà chỗ Thales chứng thực chúng lí luận chứng minh thay trực giác thực nghiệm Chẳng hạn, kết thứ ba dễ dàng kiểm chứng cách dùng kéo cắt cặp góc đối đỉnh đặt chúng trùng lên Tuy nhiên Thales chứng minh theo cách học trung học Trong hình dưới, ta muốn chứng minh góc x = góc y Ta có góc x góc y bù với góc z Mà hai đại lượng đại lượng thứ ba nhau, góc x = góc y x z y Kết suy từ chuổi diễn dịch nhỏ, dựa vào kết Loại hình học gọi hình học chứng minh hay hình học diễn dịch, người Hi Lạp phát triển mạnh mẽ từ 600 B.C sau Những người Hi Lạp dở bỏ thành hình học, nói chung toán học, xây dựng phương pháp thực nghiệm để thay phương pháp nghiên cứu Nổ lực đầy ý thức tập trung chắn MỘT THỜI KHẮC TRỌNG ĐẠI CỦA TOÁN HỌC, truyền thống đúng, Thales thành phố Miletus người phát động Câu hỏi là, số dân tộc vào thời đó, lại người Hi Lạp, không khác, cho khẳng định chân lí hình học phải chứng minh lí luận phép đo thực www.hoctoancapba.com.vn  Page 10  Thời Khắc Trọng Đại Toán Học Howard Eves hoàn tất phần phụ lục để tên riêng Nhưng công việc tiến hành chậm chàng trai nghĩ nhiều, cuối vào năm 1829, anh trao thảo cho thân phụ, ba năm sau, vào 1832, tiểu luận xuất phần phụ lục dày 26 trang tác phẩm người cha Bolyai sau không xuất thêm phát lãnh vực này, để lại nhiều trang thảo liên hệ tới vần đề Mặc dù Gauss Bolyai công nhận người thai nghén hình học phi Euclid, nhà toán học Nga Lobachevsky người cho in tác phẩm có hệ thống phát hình học Lobachevsky trải phần lớn sống đại học Kazan, lúc đầu sinh viên, sau giáo sư toán, cuối hiệu trưởng, công trình sớm sủa ông hình học phi Euclid xuất năm 1829-1830 tạp chí trường, vài năm trước tiểu luận Bolyai xuất Bài viết ông gây ý Nga và, viêt tiếng Nga, không gây ý phần khác Âu châu Lobachevsky giới thiệu công trình xem tiểu sử Bolyai với nhà xuất khác Để đến số độc già đông hơn, ông in vào năm 1840 sách nhỏ tiếng Đức tựa Các Nghiên Cứu Hình Học Về Lý Thuyết Đường Song Song, sau đó, năm 1855, năm trước sau mù, ông cho in tiếng Pháp tiểu luận rút gọn cuối có tên Pangeométrie Công trình Lobachevsky đến tay Gauss có bàn in tiếng Đức vào năm 1840, Bolyai biêt đến vào năm 1848 Ông thay tiên đề song song tiên đề sau : "Qua điểm cho trước không nằm đường thẳng cho trước, tồn hai đường thẳng song song với đường thẳng ấy" Ông phát triển nhiều đẳng thức lượng giác hình học chứng tỏ tam giác nhỏ dần đẳng thức lượng giác giống với đẳng thức lượng giác quen thuộc hình học Euclid Xem tiểu sử Lobachevski Lobachevsky không sống để thấy công trình ca ngợi khắp nơi, hình học phi Euclid mà ông phát triển ngày mang tên ông, hình học Lobachevsky, tước hiệu “Copernic hình học” gán cho ông Vài năm sau xuất công trình Lobachevsky Bolyai, giới toán học tỏ quan tâm nhiều với hình học phi Euclid, qua phải vài hệ phát đánh giá đầy đủ Một vấn đề phải hoàn thiện chứng minh cho tính tương thích nội hình học Mặc dù Lobachevsky Bolyai không gặp mâu thuẫn nghiên cứu phát triển hình học dựa vào giả thuyết góc nhọn, có khả mâu thuẫn không tương thích sinh ta nghiên cứu xa hơn, sâu Sự độc lập thực tiên đề song song với www.hoctoancapba.com.vn  Page 85  Thời Khắc Trọng Đại Toán Học Howard Eves tiên đề khác công nhận mà không nghi vấn đến mà tính tương thích giả tuyết góc nhọn thiết lập Những chứng minh không lâu sau Beltrami, Cayley, Klein, Poincaré cung cấp Phương pháp xây dựng mô hình hình học bên hình học Euclid, cho phát triển trừu tượng giả thuyết góc nhọn gán cho biểu thị không gian Euclid Như không tương thích hình học phi Euclid bộc lộ không tương thích hình học Euclid Cái chứng tương thích loại chứng tương thích tương đối; hình học phi Euclid Lobachevsky tương thích hình học Euclid tương thích, lẽ dĩ nhiên, người tin tưởng hình học Euclid tương thích Những thành tương thích hình học phi Euclid không giải rốt vấn nạn tiên đề song song, mà quan trọng hơn, giải phóng hình học khỏi khuôn mẫu truyền thống Các tiên đề hình học, nhà toán học, giả thưyết mà chân lý ngụy lý vật chất mối quan tâm họ, miễn chúng tương thích với Một tiên đề từ không cần phải “ hiển nhiên” “dễ thấy”, phù hợp với kinh nghiệm không gian vật lý mà nhà toán học sống Toán học từ sáng tạo ngẫu hứng trí tuệ người sản phẩm nhu cầu thực giới ngoại giới Sự sáng tạo hình học phi Euclid, cách đạp đổ tín điều truyền thống phá vỡ thói quen suy nghĩ hàng kỉ, đánh đòn trí mạng vào gọi quan điểm chân lý tuyệt đối toán học Và lời Georg Cantor, “Tinh túy toán học nằm tính tự nó” Chúng ta thấy giả thuyết góc tù bị loại bỏ tất nhà toán học tiên phong nghiên cứu tiên đề song song mâu thuẫn với giả định đường thẳngcó độ dài vô Sự công nhận hình học phi Euclid thứ hai, xây dựng giả thuyết góc tù, nghĩ đến Riemann (1826-1866) vào năm 1854 lí giải khác khái niệm vô hạn vô (boundlessness infiniteness) Mặc dù tiên đề Euclid công nhận đường thẳng kéo dài mải mải hai phía, không ám độ dài vô mà vô hạn Lấy ví dụ cung đường tròn lớn nối hai điểm mặt cầu Cung kéo dài mải mải dọc theo đường tròn lớn nên coi vô hạn rõ ràng độ dài vô Xem thêm Riemann Đường thẳng mang khái niệm vậy, nghĩa sau kéo dài, trở lại thành Sau phân biết hai khái niệm này, Riemann xây dựng hình học thỏa mãn giả thuyết góc tù cách đổi lại tiên đề 1, 2, sau: 1’ Hai điểm phân biệt xác định đường thẳng 2’ Một đường thẳng vô hạn 5’ Bất kì hai đường thẳng mặt phẳng cắt Hình học phi Euclid thứ hai gọi hình học Riemann Nếu đọc cẩn thận phát biểu Euclid tiên đề 1, 2, (xem 26), ta thấy nội www.hoctoancapba.com.vn  Page 86  Thời Khắc Trọng Đại Toán Học Howard Eves dung không khác với tiên đề 1’ 2’, Euclid ngầm ám nhiều Ông ám tiên đề tính đường thẳng qua hai điểm ám tiên đề vô đường thẳng ông sử dụng tiên đề theo nghĩa thế, phát biểu hai tiên đề ông không rõ ràng Với giải phóng hình học Lobachevsky Riemann khỏi ràng buộc truyền thống, đường mở cho sáng tạo loạt hình học thú vị khác, tất dựa tiên đề khác nhiều với tiên đề Euclid Trong số phải kể đến hình học phi Archiemedes, hình học phi Desargue, hình học phi Riemann, hình học hữu hạn (trong chứa số điểm, đường hữu hạn) Những hình học tưởng trừu tượng vô dụng thật tìm tiếng nói giới thực Ví dụ, nghiên cứu thuyết tương đối, Einstein tìm ông phải công nhận hình học phi Euclid mô tả giới vật lý mà thuyết hoạt động- hình học Riemann mà ta nói Trong không-thời gian ông, đường thẳng đường truyền ánh sáng, ta tạo tam giác tia sáng nối điểm vũ trụ thiên hà tổng ba góc tam giác lấy lớn 180o Hiện tượng nhà thiên văn kiểm chứng vào năm 1919 Thêm nữa, nghiên cứu tiến hành năm 1947 không gian thị giác (không gian quan sát cách tâm lí người có thị giác bình thường) đưa đến kết luận không gian mô tả xác hình học Lobachevsky Cũng nhớ hình học Lobachevsky, tổng ba góc tam giác nhỏ 180o Chắc chắn phát cách mạng Lobachevsky Riemann hình học phi Euclid xứng đáng vinh danh MỘT THỜI KHẮC TRỌNG ĐẠI CỦA TÓAN HỌC, hiểu Cassius Keyser tuyên bố tiên đề song song Euclid “có lẽ phát biểu ngắn ngủi lừng danh lịch sử khoa học.” Xem thêm hình học phi Euclid www.hoctoancapba.com.vn  Page 87  Thời Khắc Trọng Đại Toán Học Howard Eves 28 SỰ GIẢI PHÓNG CỦA ĐẠI SỐ (1) Trong 26, nói có hai phát triển tóan học có tính cách mạng xảy nửa đầu kỷ 19 Thứ phát hình học phi Euclid xảy khoảng 1829 thảo luận hai vừa qua Giờ bàn đến phát thứ hai- phát môn đại số không truyền thống xảy vào năm 1843 Chúng ta thây rằng, tương tự giải phóng hình học từ hình học cổ truyền Euclid, giải phóng thứ hai nhằm đem đại số thoát khỏi môn đại số truyền thống hệ thống số thực Trong giải phóng hình học có nguồn gốc từ xa xưa qua khảo sát lại tiên đề song song Euclid, giải phóng đại số bắt nguồn từ nhận ra, nhà toán học người Anh nửa đầu kỷ 19, tồn cấu trúc đại số Thế thuật ngữ “cấu trúc đại số” Trong khảo sát tính số học số nguyên dương, người ta gặp phải hai phép toán, gọi “phép công” “phép nhân” Những phép toán gọi phép toán nhị cấp- ứng với cặp số nguyên dương a b ta liên kết cặp số nguyên c d, theo thứ tự gọi tồng tích a b, kí hiệu: c = a + b, d = a x b Hai phép toán thực tập hợp số nguyên dương, chứa tính chất sau: Với số nguyên dương a, b, c, d, ta có: a + b = b + a ( tính giao hoán phép cộng) 2.a x b = b x a (tính giao hoán phép nhân) (a + b) + c = a + (b + c) (tính kết hợp phép cộng) (a x b) x c = a x (b x c) (tính kết hợp phép nhân) a x (b + c) = a x b + a x c (tính phân phối phép nhân phép cộng) Trong đầu kỷ 19, đại số coi môn số học biểu diễn ký hiệu Nghĩa là, thay ta tính toán với số cụ thể, đại số ta dùng chữ để thay số Thật ra, quan điểm thường dạy trường trung học ngày Năm tính chất nói đại số số nguyên dương Nhưng tính chất kí hiệu hóa, ta cho chúng áp dụng cho phần tử khác số nguyên dương, miễn ta định nghĩa phép tính nhị cấp liên hệ Đây trường hợp mà ta liệt kê tập hợp S với hai phép tính kí hiệu + x: (a) Cho S tập hợp số nguyên chẵn, gọi + x phép tính cộng nhân thông thường (b) Cho S tập hợp số hữu tỉ, gọi + x phép tính cộng nhân thông thường số thực (c) Cho S tập hợp số thực có dạng m + n m n số nguyên, gọi + x phép cộng nhân thông thường số thực (d) Cho S tập hợp sồ nguyên Gaussian (tức số phức m + ni với m, n số nguyên i = −1 , gọi + x phép cộng nhân thông thường số phức (e) Cho S tập hợp cặp số (m, n) số nguyên, định nghĩa: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) x (c, d) = (ac, bd) (f) Gọi S tập hợp cặp số (m, n) số nguyên định nghĩa: www.hoctoancapba.com.vn  Page 88  Thời Khắc Trọng Đại Toán Học Howard Eves (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) x (c, d) = (ac - bd, ad + bc) (g) Gọi S tập hợp hai phần tử phân biệt m n, ta định nghĩa: m+m=mxm=m m+n=n+m=mxn=nxm=m n+n=nxn=n (h) Gọi S tập hợp tập điểm mặt phẳng, gọi a + b phần hội a b, a x b phần giao a b Bảng danh sách kéo dài mãi, cho ta thấy năm tính chất phổ biến hệ thống phần tử số Năm tính chất hệ chúng tạo thành cấu trúc đại số áp dụng cho nhiều hệ thống khác Như có cấu trúc đại số chung gán cho nhiều hệ thống Năm tính chất coi tiên đề cho loại cấu trúc, định lí rút từ chúng áp dụng cho hệ thống thỏa mãn năm tiên đề Đứng quan điểm đại số bị cắt đứt khỏi số học trói buộc trở thành nghiên cứu xây dựng giả thiết túy hình thức Những tia sáng sớm sủa quan điểm đại lần xuất Anh, nửa đầu kỷ 19, với công trình George Peacock (1791-1858), tốt nghiệp Cambridge giảng dạy Peacock người nghiên cứu nghiêm túc nguyên tắc tảng đại số, năm 1830, ông cho in tác phẩm Khảo luận Đại số học, ông thử tiếp cận đại số cách lôgic theo lối tiên đề tương tự Euclid làm với hình học, nhờ ông mệnh danh “ Euclid đại số học.” Peacock phân biệt mà ông gọi “đại số số học” “đại số biểu tượng” Ông coi đại số số học ngành nghiên cứu thoát thai từ cách dùng kí hiệu để số thập phân dương thông thường, với kí hiệu cho phép tính, phép cộng trừ Nhưng, đại số số học, số phép toán bị giới hạn phạm vi thực hiện, Chẳng hạn phép trừ, a - b, thực a > b Đại số biểu tượng Peacock, trái lại, công nhận phép toán đại số số học đến giới hạn chúng Do phép trừ “đại số biểu tượng” luôn thực Những người đương thời Peacock phát triển đẩy xa nghiên cứu ông gần với khái niệm đại đại số ngày Như Gregory (1813-1844) in viết tính giao hoán phân phối phép toán đại số đào sâu Năm 1840, De Morgan (1806-1871), người Anh, phát triển tảng đại số lên tầm cao Trường phái Anh lan truyền đến Âu châu, năm 1867, nhà toán học Đức Hemann Hankel (1839-1873) nghiên cứu chúng cách toàn diện Nhưng trước đó, có nhà toán học Hamilton, Grassmann cho xuất khảo cứu vượt xa tầm quan trọng Đưa đến giải phóng đại số, theo cách tương tự phát Lobachevsky Bolyai làm hình học phi Euclid Công trình họ coi MỘT THỜI KHẮC TRỌNG ĐẠI CỦA TÓAN HỌC, nội dung www.hoctoancapba.com.vn  Page 89  Thời Khắc Trọng Đại Toán Học Howard Eves Trước kết thúc, nhắc lại tiên đề đại số đại cấu trúc mà ta gọi trường thứ tự Trường tập hợp S phần tử trang bị hai phép tính nhị cấp, kí hiệu ⊕ ⊗ thỏa mãn tiên đề sau đây: Với a, b, c thuộc S: TĐ 1: a ⊕ b thuộc S TĐ 2: a ⊗ b thuộc S TĐ 3: (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c) TĐ 4: (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c) TĐ 5: a ⊗ (b ⊕ c) = (a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c) (b ⊕ c) ⊗ a = (b ⊗ a) ⊕ (c ⊗ a) TĐ 6: S chứa phần tử z (zero) cho: a ⊕ z = a, với a TĐ 7: S chứa phần tử u (đơn vị) cho: a ⊗ u = a, với a TĐ 8: Vởi phần tử a thuộc S, tồn phần tử a thuộc S cho: a + a = z TĐ 9: Nếu c ⊗ a = c ⊗ b a ⊗ c = b ⊗ c c ≠ z a = b TĐ 10: Với phần tử a thuộc S, tồn phần tử a-1 thuộc S cho: a ⊗ a-1 = u Nếu 10 tiên đề ra, hai tiên đề sau thỏa, ta có trường thứ tự: TĐ 11: Tồn tập P, không chứa z S cho a ≠ z có phẩn tử a a thuộc P TĐ 12: Nếu a b thuộc P, a ⊕ b a ⊗ b thuộc P Định nghĩa 1: Các phần tử P gọi phần tử dương S; phần tử khác z không dương gọi phần tử âm Định nghĩa : Nếu a ⊕ b dương ta viết: a b Tập hợp tiên đề có phần rườm rà, mục đích để phục vụ cho sau Ví dụ, tiên đề 2, ta cần phát biểu luật phân phối tiên đề thay hai Chú ý tính chất phép cộng, nhân thông thường có mặt tiên đề này, ta thấy ý nghĩa tiên đề khác vận dụng vào tập số thực Ví dụ số z số 0, số u sô 1, số a số - a , số a-1 số 1/a ; tập P tập hợp số thực dương; định nghĩa a > b a + (- b) số dương 12 tiên đề cho trường thứ tự dù quen thuộc truờu tượng buồn tẻ nên không dạy cho học sinh trung học Hãy thêm hai định nghĩa Định nghĩa Một phần tử a S gọi cận tập không rỗng M S ta có m < a hay m = a với m M Định nghĩa Một phần tử a S gọi cận bé tập không rỗng M S a cận M a < b với cận khác M Bây định nghĩa trường toàn thứ tự trường thứ tự thỏa thêm tiên đề sau: TĐ 13 (tiên đề tính liên tục): Nếu tập không rỗng M S có cận trên, có cận bé www.hoctoancapba.com.vn  Page 90  Thời Khắc Trọng Đại Toán Học Howard Eves 29 SỰ GIẢI PHÓNG CỦA ĐẠI SỐ (2) Hình học, nói 27, bị xiềng xích vào tiên đề Euclid Lobachevsky Bolyai, 1829 1832, giải phóng khỏi lệ thuộc cách thiết lập môn hình học tiên đề Euclid không công nhận Với thành tựu này, xác ăn sâu đến hàng chục kỷ cho tồn môn hình học bị lung lay, đường mở cho sáng tạo môn hình học khác lạ Một câu chuyện tương tự kể đại số Các nhà toán học đầu kỷ 19 quan niệm tồn môn đại số khác với môn đại số mang tính số học Chẳng hạn, gặp môn đại số mà tính giao hoán phép nhân bị vi phạm, chắn không chấp nhận điều cho khôi hài loại bỏ Cảm giác William Rowan Hamilton gặp phải năm 1843, ông bắt buộc, nhận định vật lí, sáng tạo môn đại số tính giao hoán phép nhân không Bước cực đoan chấp nhận loại bỏ tính giao hoán không đến dễ dàng với Hamilton; dần mở với ông sau nhiều năm suy tư vấn đề đặc biệt Hãy xem động lực vật lý nằm đàng sau sáng tạo Hamilton Cách tiếp cận tốt có lẽ xét cách định nghĩa số phức ông, định nghĩa đẹp đẽ, xem số phức cặp số thực mà ông trình bày lần đâu tiên trước Viện Hàn Lâm Hoàng Gia Ái Nhĩ Lan Đối với nhà toán học thời, học sinh cấp ngày nay, số phức định nghĩa số có dạng a + bi a, b số thực i số mà i2 = - 1, phép tính cộng, nhân, lũy thừa số thực đa thức, thay i2 = - Từ đó, ta kết sau: (a + bi)(c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i Còn Hamilton định nghĩa số phức cặp (a , b) số thực định nghĩa phép cộng, phép nhân: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac – bd, ad + bc) (a, b) = (c, d) a = c b = d Dễ dàng với định nghĩa ta chứng minh tập hợp số phức tạo thành trường số (0, 0) phần tử zero số (1, 0) phần tử đơn vị phép nhân Hệ thống số phức công cụ tiện lợi việc nghiên cứu vectơ phép quay mặt phẳng Hamilton thử chế tạo hệ thống tương tự để nghiên cứu vectơ phép quay không gian Qua nghiên cứu, ông thấy cần định nghĩa tứ (a, b, c, d) chứa tập hợp R C số thực phức, định nghĩa sau: • (a, b, c, d) = (e, f, g, h) a = e, b = f, c = g, d = h • (a, b, c, d) + (e, f, g, h) = (a + e, b + f, c + g, d + h) • (a, b, c, d) (e, f, g, h) = (ae – bf – cg – dh, af + be + ch – dg, ag + ce + df – bh, ah + bg + de – cf) Ta chứng minh với định nghĩa này, coi số thực m (m, 0, 0, 0) số phức (a, b) (a, b, 0, 0) phép tính số thực số phức bảo toàn tập hợp Ta chứng minh phép cộng tứ có tính giao hoán kết hợp, phép nhân tứ kết hợp có tính www.hoctoancapba.com.vn  Page 91  Thời Khắc Trọng Đại Toán Học Howard Eves phân phối phép cộng Nhưng tính giao hoán phép nhân không Ví dụ: (0, 1, 0, 0) (0, 0, 1, 0) = (0, 0, 0, 1) khi: (0, 0, 1, 0) (0, 1, 0, 0) = (0, 0, 0, - 1) Sau nhiều năm suy tư kết quả, cuối Hamilton chịu chấp nhận tính không giao hoán phép nhân buổi dạo dọc theo sông chiều hoàng hôn với vợ Đây MỘT THỜI KHẮC TRỌNG ĐẠI CỦA TÓAN HỌC Trước khép lại này, tìm hiểu đại số không giao hoán khác – đại số ma trậnsáng tạo nhà toán học người Anh Arthur Cayley (1821-1895) vào năm 1857 Khái niệm ma trận đến với ông ông khảo sát phép biên đổi tuyến tính thuộc dạng: ⎧ x' = ax + by ⎨ ⎩ y ' = cx + dy a, b, c, d số thực, (x ,y) toạ độ điểm M (x’, y’) toạ độ M’, ảnh điểm M Phép biến đổi xác định hệ số a, b, c d, phép biến đổi coi tượng trưng bảng số: ⎡a b ⎤ ⎢c d ⎥ ⎣ ⎦ gọi ma trận cấp Nếu ta thực tiếp phép biến đổi cho điểm M’ để ảnh M’’ cho bởi: ⎧x' ' = ex' + fy' ⎨ ⎩ y' ' = gx' + hy' ta có, phép tính đại số : ⎧x' ' = (ea + fc)x + (eb + fd)y ⎨ ⎩ y' ' = (ga + hc)x + (gb + hd)y Từ ta có định nghĩa sau tích hai ma trận: ⎡e ⎢g ⎣ f ⎤ ⎡a b ⎤ ⎡ ea + fc = h ⎥⎦ ⎢⎣ c d ⎥⎦ ⎢⎣ ga + hc eb + fd ⎤ gb + hd ⎥⎦ Phép cộng định nghĩa bởi: ⎡a b ⎤ ⎡ e ⎢c d ⎥ + ⎢ g ⎣ ⎦ ⎣ f ⎤ ⎡a + e b + f ⎤ = h ⎥⎦ ⎢⎣c + g d + h ⎥⎦ Từ chứng minh phép cộng có tính giao hoán, kết hợp phép nhân có tính kết hợp phân phối phép cộng Nhưng phép nhân tính giao hoán, thấy ví dụ sau: ⎡1 0⎤ ⎡0 1⎤ ⎡0 1⎤ ⎢0 0⎥ ⎢0 1⎥ = ⎢0 0⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡0 1⎤ ⎡1 0⎤ ⎡0 0⎤ ⎢0 1⎥ ⎢0 0⎥ = ⎢0 0⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ www.hoctoancapba.com.vn  Page 92  Thời Khắc Trọng Đại Toán Học Howard Eves Người ta “chế tạo” thêm đại số phép nhân tính kết hợp có tính giao hoán, phép nhân không giao hoán lẫn không kết hợp Điều ngạc nhiên tứ Hamilton thời chào đón công cụ nhà vật lý tương lai, dần trở nên không khác mẫu đồ cổ bảo tàng toán sử, thay giải tích vectơ tinh tế nhà vật lý học toán học Mỹ Josiah Willard Gibbs (1839-1903) Đại học Yale Trái lại, ma trận Cayley phát triển ngày trở thành công cụ quan trọng hữu dụng toán học Tiếng tăm tứ nằm chỗ phá vỡ rào cản đại số truyền thống, khiến sáng tạo MỘT THỜI KHẮC TRỌNG ĐẠI CỦA TÓAN HỌC www.hoctoancapba.com.vn  Page 93  Thời Khắc Trọng Đại Toán Học Howard Eves 31 VƯỢT QUA HỮU HẠN Các nhà toán học triết gia, vật lộn với khái niệm vô cực tập hợp vô hạn từ ngày xa xưa thởi Hi lạp cổ đại Nghịch lí Zeno ví dụ sớm sủa vài khó khăn gặp phải Một số người Hi lạp, Aristotle Proclus, chấp nhận kiện tập hợp làm lớn mải mải mà không bị chận, từ chối tồn tập hợp hoàn tất (completed) Suốt thời Trung cổ triết gia biện giải vấn đề tiềm thực thể số vô cực Cũng ý so sánh số vô cực dẫn đến nghịch lí Ví dụ, số điểm hai đường tròn đồng tâm chúng tương ứng – cách liên kết cặp điểm bán kính chung; độ dài đường tròn lại dài đường tròn Galileo vật lộn với tập hợp vô hạn, ông ta thấy tính chất hoàn tất phải bị loại bỏ Trong tác phẩm Hai Khoa Học Mới (1638), ông nhận xét điểm hai đoạn thẳng không tương ứng – chiếu đơn giản từ đoạn lên đoạn kia, chúng có số điểm, đoạn dài đoạn phải có nhiều điểm đoạn Ông nhận số nguyên dương tương ứng – với bình phương chúng, tập hợp số phương phận tập hợp số nguyên dương Những nghịch lí gây bối rối xuất ta giả định có tồn tập hợp vô hạn hoàn tất; để tránh nghịch lí, ta phải loại bỏ ý tưởng tập hợp vô hạn hoàn tất Gauss, thư danh tiếng gởi Schumacher ngày 12/7/1831, nói : “Tôi chống lại cách sử dụng đại lượng vô thực thể thực sự; điều không cho phép toán học Vô cực cách nói, người ta đề cập đến giới hạn mà vài tỉ số tiến gần đến mong muốn, tỉ số khác phép tăng lên vô hạn.” Cauchy với nhiều người khác khước từ tồn tập hợp vô hạn hoàn tất nghịch lí tập hợp tương ứng một-một với tập thực chúng Do đó, nhà toán học làm việc với tập hợp vô hạn chuỗi số vô hạn, số thực, số tự nhiên v v họ thường tránh né vấn nạn phiền toái đằng sau giả định tập hợp vô hạn hoàn tất tồn Khi nhà toán học cuối phải đối mặt với vấn đề phải tạo cho giải tích tính nghiêm nhặt cần có, vấn nạn không bỏ qua mà phải giải Bolzano (1781-1848) tác phẩm Những Nghịch Lí Của Vô Cùng in năm 1851, ba năm sau ông qua đời, người bước tích cực theo hướng công nhận tồn thực tập hợp vô hạn Ông cho kiện tập hợp vô hạn tương ứng –một với phận phải www.hoctoancapba.com.vn  Page 94  Thời Khắc Trọng Đại Toán Học Howard Eves chấp nhận thực tế Nhưng công trình Bolzano vô cùng, khai phá, lại thiên triết lý toán học Một nghiện cứu thực toán học tập hợp vô hạn xuất với công trình xuất sắc Cantor vào cuối kỷ thứ 19 Georg Cantor sinh gia đình người Đan Mạch St Peterburg, Nga vào năm 1845, chuyển sống Đức vào năm 1856 Cha Cantor người theo Do Thái Giáo sau cải theo đạo Tin Lành, mẹ người Công giáo Đứa sớm quan tâm sâu sắc đến thần học trung cổ, quen thuộc với biện giải tính liên tục vô hạn Kết ông từ bỏ đề nghi cha khuyến cáo theo nghề kỹ sư để chuyên tâm vào triết lý, vật lý toán học Ông theo học Zurich, Gottingen Berlin (tại ông chịu ảnh hưởng Weierstrass ông nhận tiến sĩ vào năm 1869) Sau ông theo nghề dạy học thời gian dài Đại học Halle từ 1869 đến 1905 Ông chết nhà thương tâm thần Halle năm 1918 Mối quan tâm ban đầu Cantor lý thuyết số, phương trình dạng vô định, chuỗi số lượng giác Lý thuyết tinh tế chuỗi lượng giác tạo cho ông cảm hứng sâu nghiên cứu tảng giải tích Ông khai sinh số vô tỉ giới hạn dãy số hữu tỷ, khác xa với cách Dedekind định nghĩa phép cắt lấy cảm hứng từ hình học- đến năm 1874 bắt đầu công trình cách mạng lý thuyết tập hợp số vô Với công trình thứ hai này, Cantor sáng tạo lãnh vực nghiên cứu toán học hòan toàn Trong tác phẩm mình, ông phát triển lý thuyết số siêu hạn (transfinite), dựa luận thuyết toán học vô thực sự, tạo số học số siêu hạn tương tự số học số hữu hạn Cantor sùng đạo, công trình ông, theo nghĩa đó, coi tiếp nối biện bác liên hệ với nghịch lí Zeno, phản ảnh trân trọng ông với chiêm nghiệm kinh viện trung cổ chất vô Những quan điểm ông gặp chống đối chủ yếu từ Kronecker (1823-1891) Đại học Berlin, Kronecker từ chối kịch liệt nỗ lực Cantor xin chân giảng dạy Đại học lừng danh Ngày nay, lý thuyết tập hợp Cantor xâm nhập ngành toán học chứng tỏ đặc biệt quan trọng vị tướng học (topology) tảng lý thuyết hàm thực Ta gọi số phần tử tập hợp hữu hạn số Như số số tập hợp hữu hạn đồng với số tự nhiên Các số tập hợp vô hạn gọi số siêu hạn Cantor phát triển lý thuyết ông số siêu hạn xuất loạt viết tiếng từ năm 1874 đến 1895 phần lớn in tập san toán học Đức Mathematicsche Annalen Journal fur Mathematik Trước nghiên cứu Cantor, nhà toán học biết đến số vô cực, kí hiệu ∞, kí hiệu dùng chung để biểu thị “ số” phần tử tập hợp tập hợp số tự nhiên, tập hợp số thực, tập hợp điểm đoạn thẳng Qua công trình Cantor, tầm nhìn mẻ bao quát giới thiệu, kích cỡ số học thành tựu Vì tính táo bạo phi thường ý tưởng công trình Cantor, số phương pháp chứng minh độc đáo chúng mà lý thuyết số siêu www.hoctoancapba.com.vn  Page 95  Thời Khắc Trọng Đại Toán Học Howard Eves hạn Cantor có sức lôi mạnh mẽ Đây MỘT THỜI KHẮC TRỌNG ĐẠI CỦA TÓAN HỌC Chúng ta tìm hiểu ngắn gọn lý thuyết đáng nể Chúng ta bắt đầu khái niệm tương đương hai tập hợp, hai tập hợp mà ta tương ứng – phần tử chúng Ví dụ tập hợp A = { 0; ; ; 7} số tự nhiên tập hợp B = {*; @ ; % ; &} kí hiệu hai tập hợp tương đương, ta tương ứng ↔ *, ↔ @, ↔ % ↔ & Nếu hai tập hợp hữu hạn trường hợp trên, rõ ràng chúng tương đương chúng có số phần tử nhau, hay ta gọi có số : n(A) = n(B) = Nếu ta áp dụng nguyên tắc cho tập hợp vô hạn, gặp kết thú vị không ngờ Như Galileo quan sát thấy rằng, dùng tương ứng n ↔ n2, kết tập hợp số phương tương đương với tập hợp số nguyên dương, ta phải nói chúng có số, theo quan điểm này, ta có quyền nói số số phương “bằng” với số số nguyên dương Kết tiên đề Euclid nói toàn phần lớn thành phần không nói số tập hợp vô hạn Chúng ta kí hiệu số tập hợp số tự nhiên d (Cantor kí hiệu số ‫א‬0 (đọc aleph không), bảo tập hợp có số tập hợp đếm Như ta nói có d số phương, có d số tự nhiên, giống ta nói tập hợp A, B có phần tủ Và suy tập hợp S gọi đếm phần tử chúng liệt kê dạng dãy số {s1, s2, s3 , } Vì tập hợp vô hạn có chưá tập đếm nên d số siêu hạn “nhỏ nhất” Trong viết mình, Cantor chứng minh hai tập hợp quan trọng sau đếm được, mà nhìn tin Tập hợp tập hợp số hữu tỷ Tập hợp có tính dày đặc, có nghĩa hai số hữu tỷ phân biệt tồn số hữu tỷ khác- tồn vô số số hữu tỷ khác Ví dụ: • số có số hữu tỷ sau: ½, 2/3, ¾, 4/5, 5/6 , , n/(n+1) • ½ có số hữu tỷ 1/3, 2/5, 3/7, 4/9, 5/11, , n/(2n +1), • 1/3 có số hữu tỷ 1/4, 2/7, 3/10, 4/13, 5/16, , n/(3n +1), Vì tính chất này, ta tin số siêu hạn tập hợp số hữu tỷ phải lớn d (Nhớ số tập hợp A gọi lớn số tập hợp B B tương đương với tập thực A, A không tương đương với tập B) Can tor chứng tỏ thật vậy, mà ngược lại tập hợp số hữu tỷ đếm Cách chứng minh ông thật thú vị, trình bày sau ĐỊNH LÍ Tập hợp số hữu tỷ đếm CM: Xét dãy số www.hoctoancapba.com.vn  Page 96  Thời Khắc Trọng Đại Toán Học 1/2 2/2 3/2 4/2 1/3 2/3 3/3 4/3 1/4 2/4 3/4 4/4 … … … Howard Eves dãy thứ chứa số tự nhiên theo thứ tự lớn dần (đó phân số dương có mẫu 1); dãy thứ chứa phân số dương có mẫu theo thứ tự lớn dần, , dãy thứ n chứa phân số dương có mẫu n theo thứ tự lớn dần .v ….v Dễ thấy tất số hữu tỷ có mặt bảng này, ta liệt kê số theo thứ tự cho mũi tên, bỏ số xuất rồi, dãy số vô hạn: 1, 2, ½, 1/3, 3, 4, 3/2, 2/3, ¼, số hữu tỷ dương xuất lần Gọi dãy số {r1, r2, r3, }, dãy số {0, - r1, r1, - r2, r2 , } chứa tất số hữu tỷ Vậy tập hợp số hữu tỷ đếm Tập hợp thứ hai mà Cantor đề cập đến lớn tập hợp số hữu tỷ Hãy bắt đầu định nghĩa ĐỊNH NGHĨA Một số phức gọi số đại số nghiệm phương trình đa thức f(x) = a0xn + a1xn-1 + + an-1x + an = ao ≠ hệ số nguyên Một số phức không đại số gọi số siêu việt Dễ thấy số đại số bao gồm số hữu tỷ thức số Vậy mà ta có định lí sau, không lấy làm ngạc nhiên: ĐỊNH LÍ Tập hợp số đại số đếm CM: Gọi f(x) đa thức có dạng định nghĩa trên, không tính tổng quát, giả sữ a0 > Xét chiều cao h đa thức, số định bởi: h = n + a0 + |a1| + |a2| + + |an| Hiển nhiên, h số nguyên ≥ 1, rõ ràng có số hữu hạn đa thức có chiều cao h cho trước, có số hữu hạn số đại số phát xuất từ đa thức có chiều cao cho trước Như vậy, liệt kê số đại số, loại bỏ số lặp lại có, xuất phát từ đa thức có chiều cao 1, xuất phát từ đa thức có chiều cao 2, Do tập hợp số đại số liệt kê thành dãy vô hạn; suy đếm Theo hai định lí vừa qua, tập hợp vô hạn đếm Thật điều không đúng, Cantor khẳng định: ĐỊNH LÍ Tập hợp số thực khoảng (0 ; 1) không đếm CM: Cách chứng minh phản chứng sử dụng phương pháp đặc biệt gọi qui trình chéo Cantor Giả sữ tập hợp đếm được, liệt kê số thực thành dãy {p1, p2, p3, } Mỗi số pi viết theo cách dạng số thập phân vô hạn Ở cần nhắc lại số www.hoctoancapba.com.vn  Page 97  Thời Khắc Trọng Đại Toán Học Howard Eves hữu tỷ viết dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn; ví dụ số 0,3 viết thành 0,29999 Chúng ta liệt kê tập hợp theo cách sau: p1 = 0,a11 a12a13 p2 = 0,a21a22a23 p3 = 0,a31a32a33 ………………… aij chữ số thuộc {0, 1, 2, 3, , 9} Với cách liệt kê thế, có số không thuộc dãy ấy, chẳng hạn số có dạng 0,b1b2b3 bk ≠ akk với k = 1, 2, 3, Chẳng hạn: p1 = 0,780 p2 = 0,201 p3 = 0,711 ………………… ta lấy b1 ≠ a11 = 7, chọn b1 = 3, b2 ≠ a22 = 0, chọn b2 = 1, b3 ≠ a33 = 1, chọn b3 = Như số 0,b1b2b3 = 0,312 số thực thuộc khoảng (0 ; 1) Số ≠ p1 chữ số b1 ≠ a11, số ≠ p2 chữ số b2 ≠ a22 , Như số 0,b1b2b3 chắn mặt dãy liệt kê khác pk với k Điều trái giả thiết, tập hợp số thực (0 ; 1) không đếm Từ định lí 3, Cantor suy kết quan trọng sau: ĐỊNH LÍ Các số siêu việt tồn CM: Thật vậy, theo định lí 3, tập hợp số thực không đếm được, tập hợp số phức không đếm Nhưng theo định lí 2, tập hợp số đại số đếm được, phải tồn số phức số đại số, định lí chứng minh Không phải nhà toán học chấp nhận cách chứng minh định lí Sụ chấp nhận hay không chấp nhận cách chứng minh nằm chổ ta hiêu tồn toán học Môt số nhà toán học cho tồn vật thể toán học khắng định vật thể xác định tạo Còn định lí không đưa số siêu việt cụ thể nên khẳng định tồn số siêu việt Vì không hài lòng với kết luận này, số nhà toán học nỗ lực tìm cách chứng minh tồn số siêu việt cách số siêu việt cụ thể Chính Hermite (1822-1901), vào năm 1873, chứng minh số e, số logarit tự nhiên, số siêu việt Và Lindermann (1852-1939), năm 1882, lần chứng minh số π số siêu việt Số 2 , gọi số Hilbert, số siêu việt Sau gần 30 năm nỗ lực, nhà toán học chứng minh số có dạng ab với a số đại số khác 0, , b số vô tỷ, (số Hilbert số thế) số siêu việt Vì tập hợp số thực thuộc (0 ; 1) không đếm được, nên số tập hợp số siêu hạn lớn d Chúng ta kí hiệu số c (Cantor gọi số ‫א‬1) Như vậy, ta có quyền nói “có c điểm đoạn [0 ; 1]”, “có c điểm đoạn [a ; b] với a < b” Người ta tin tưởng c số siêu hạn số d, có nghĩa hai số siêu hạn số siêu hạn lớn d mà nhỏ c Mối tin tưởng gọi giả thuyết liên tục, nhiều nỗ lực, chưa có chứng minh để khẳng www.hoctoancapba.com.vn  Page 98  Thời Khắc Trọng Đại Toán Học Howard Eves định điều hay bác bỏ Mải đến 1963, Cohen Đại học Stanford chứng minh giả thuyết độc lập với tiên đề lý thuyết tập hợp Có tồn số siêu hạn lớn số c không? Các nhà toán học chứng minh tập hợp hàm số thực f(x) xác định (0 ; 1) có số lớn c (số ‫א‬2) Hay nói khác có ‫א‬2 đường cong vẽ mặt phẳng (đó đồ thị hàm số f nói trên) Ta chưa biết số ‫א‬2 có phải số siêu hạn số c hay không Và câu hỏi sau đương nhiên: “Có số siêu hạn lớn số ‫א‬2 hay không ?” Và Cantor trả lời có vô hạn số siêu hạn, hệ định lí sau, goi Định lí Cantor: Cho tập hợp X, gọi P(X) tập hợp tập X, số P(X) lớn số X” www.hoctoancapba.com.vn  Page 99  [...]... ánh sáng phê phán của các bộ óc toán học hiện đại cho thấy bộ sách đã bộc lộ những khiếm điểm ở cấu trúc hệ thống, mà giá trị của bộ sách bị giảm sút đi Không thể nào, vào một thời xa xưa và phôi thai của khoa học, có thể tạo ra một hệ thồng toán học hoàn hảo, không tì vết Phế tích của đại học Alexandria Học tại Đại Học Alexandria thật là tuyệt Hiện nay nguyên bản của bộ Elements ở thời ông không còn... dạy loại hình học của giai đoạn này là một tập hợp những thí nghiệm hình học đơn giản sử dụng các mô hình dễ làm và rẽ tiền Chắc chắn kết quả là sự hứng thú toán học của học sinh sẽ được khơi dậy, và đó là một đền bù xứng đáng cho công lao đầu tư của các nhà gõ đầu trẻ trong hướng đi mới mẻ và đầy sáng tạo này www.hoctoancapba.com.vn  Page 13  Thời Khắc Trọng Đại của Toán Học Howard Eves 4 Định lí... MỘT THỜI KHẮC TRỌNG ĐẠI CỦA TOÁN HỌC Chúng ta sẽ khép lại bài này bằng cách liệt kê vài tiên đề và định đề Euclid: Tiên đề hoặc những Khái Niệm Chung 1 Những vật cùng bằng với một vật khác thì bằng nhau 2 Nếu những vật bằng nhau cộng thêm vào hai vật bằng nhau thỉ bằng nhau 3 Nếu những vật bằng nhau lấy ra từ hai vật bằng nhau thỉ bằng nhau www.hoctoancapba.com.vn  Page 27  Thời Khắc Trọng Đại của Toán. .. nhất trong lịch sử khoa học www.hoctoancapba.com.vn  Page 28  Thời Khắc Trọng Đại của Toán Học Howard Eves 9 Nhà tư tưởng và viên tướng Thật đáng kinh ngạc khi có nhiều thành tựu toán học có nguồn gốc từ Hi lạp cách đây hai ngàn năm "Nơi miền đất đó có những người khổng lồ", theo như cách nói của nhà hình học Julian Lowell Coolidge của Harvard Không còn nghi ngờ gì nữa người vĩ đại nhất trong các người... chắc chắn những công thức ấy đã đóng góp cho sự phát triển của nhân loại nhiều hơn công trạng của các vị tướng hay các vị vua đã từng được chọn in trên tem www.hoctoancapba.com.vn  Page 19  Thời Khắc Trọng Đại của Toán Học Howard Eves 5 Lao đến khủng hoảng đầu tiên Những số nguyên chúng ta làm quen từ thuở niên thiếu được gọi là những số tự nhiên hoặc nguyên dương: 1, 2, 3, Những số này là những khái... cả những ấn phẩm hiện đại của Các Yếu Tố đều dựa vào bộ hiệu đính của Theon ở Alexandria, một nhả phê bình Hi Lạp sống khoảng 700 năm sau thời đại của Euclid Chỉ khi bắt đầu thế kỷ thứ 19 người ta mới phát hiện một bản sao cổ hơn Năm 1808, khi Napoleon ra lệnh chuyển tất cả những bản thảo quí từ các thư viện Ý về Pháp, F Peyrard tìm www.hoctoancapba.com.vn  Page 25  Thời Khắc Trọng Đại của Toán Học Howard. .. có vô số số vô tỉ www.hoctoancapba.com.vn  Page 23  Thời Khắc Trọng Đại của Toán Học Howard Eves 8 Kinh Thánh của Toán Học Sau khi Đại Đế Alexander băng hà năm 323 B.C, toàn bộ đế quốc Macedonia được phân thành ba phần, và phần đất chứa Ai cập đặt dưới quyền cai trị của vị tướng tài năng của Alexander là Ptolemy Soter, không lâu sau đã lên ngôi vua của miền đất này Ptolemy chọn Alexandria, chỉ cách... thuộc với công trình của Theudias và Eudoxus, nhưng không vì thế mà tác phẩm của ông bớt đi www.hoctoancapba.com.vn  Page 24  Thời Khắc Trọng Đại của Toán Học Howard Eves giá trị Mặc dù tác phẩm này là tập hợp những biên soạn của những người đi trước, nhưng giá trị chủ yếu của bộ sách nằm ở sự việc tuyển chọn khéo léo và sắp xếp hợp lí và sắc sảo các kiến thức theo một chuỗi logic của sự phát triển từ... mở cửa trường Đại Học Alexandria lừng danh Trong số những học giả uyên bác có mặt trong ban giảng huấn là nhà toán học Euclid, chắc chắn cũng đã từng theo học tại Học Viện Platonic ở Athens Một trong những nhiệm vụ quan trọng về TOÁN học của Euclid khi dạy tại Alexandria là biên soạn bộ Elements (Các Yếu Tố) lừng danh thiên cổ của ông Bộ sách đáng nể và đồ sộ này gồm 13 quyển, là bộ sách toán được viết... chương trình hình học của chúng ta hiện nay hình như là ở giai đoạn hai, giai đoạn thực nghiệm hình học Quá ít thời gian dành cho giai đoạn này Đáng lí ra phải dành cho học sinh nhiều thời gian hơn để chúng nắm bắt được sâu sắc những khái niện hình học cơ bản Ở đây chúng cũng nhận ra được sự quan trọng của phương pháp qui nạp sơ khởi trong toán học, đồng thời được chỉ ra những bất cập của nó nêu không ... danh HAI THỜI KHẮC TRỌNG ĐẠI CỦA TOÁN HỌC, thời khắc nối gót theo thời khắc kia, liên quan đến nhân vật độc đáo toán học Khoảng 1515, Scipione del Ferro (1465-1526), giáo sư toán Đại học Bologna,... www.hoctoancapba.com.vn  Page 9  Thời Khắc Trọng Đại Toán Học Howard Eves Từ thực nghiệm đến nghiên cứu Khoảng năm 600 trước công nguyên toán học bước vào thời kì phát triển thứ ba Các sử gia toán học trí vinh danh... TOÁN học xảy gần đây, bàn đến kì tới Chữ số La Mả www.hoctoancapba.com.vn  Page 4  Thời Khắc Trọng Đại Toán Học Howard Eves Sự iiến hóa chữ số www.hoctoancapba.com.vn  Page 5  Thời Khắc Trọng Đại