BÀI GIẢNG TĨM TẮT ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH PHẠM THẾ HIỂN Mục Lục Trang phụ bìa Trang Mục Lục Chương I Tập hợp – Ánh xạ - Cấu trúc đại số .3 I.1 Mệnh đề - Tập hợp – Ánh xạ I.1.1 Mệnh đề I.1.2 Tập hợp - Một số tập hợp thường gặp I.1.3 Ánh xạ 13 I.2 Cấu trúc đại số 16 I.2.1 Luật hợp thành cấu trúc đại số 16 I.2.2 Cấu trúc nhóm, vành, trường 16 I.2.3 Số phức 18 I.3 Đa thức – Phân thức – Phân thức hữu tỷ 21 I.3.1 Đa thức 21 I.3.2 Phân thức – Phân thức hữu tỷ 22 Bài tập 24 Chương II Ma trận - Định thức - Hệ phương trình tuyến tính …27 II.1 Ma trận 27 II.1.1 Các khái niệm 27 II.1.2 Các phép toán ma trận 30 II.2 Định thức 32 II.2.1 Khái niệm định thức 32 II.2.2 Các tính chất định thức 34 II.2.3 Ma trận nghịch đảo 37 II.3 Hệ phương trình tuyến tính 39 II.3.1 Các khái niệm 39 II.3.2 Hệ phương trình Cramer 40 II.3.3 Hạng ma trận 41 II.3.4 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 43 Bài tập 46 Chương III Không gian vector – Ánh xạ tuyến tính …55 III.1 Không gian vector 55 III.1.1 Khái niệm – Tính chất 55 III.1.2 Phụ thuộc tuyến tính - Độc lập tuyến tính 56 III.1.3 Cơ sở - Chuyển sở - Không gian vector hữu hạn chiều 58 III.1.4 Không gian 63 III.2 Không gian Euclide 64 III.2.1 Khái niệm 64 III.2.2 Các bất đẳng thức 65 III.2.3 Cơ sở trực chuẩn - Trực chuẩn hóa 65 III.3 Ánh xạ tuyến tính 66 III.3.1 Khái niệm ánh xạ tuyến tính 66 III.3.2 Ánh xạ tuyến tính ma trận 67 Bài tập 69 Chương IV Trị riêng vector riêng - Dạng toàn phương …72 IV.1 Trị riêng – Vector riêng 72 IV.1.1 Khái niệm tính chất 72 IV.1.2 Đa thức phương trình đặc trưng 72 IV.1.3 Cách tìm trị riêng vector riêng 72 IV.2 Dạng toàn phương 74 IV.2.1 Khái niệm dạng song tuyến, dạng toàn phương 74 IV.2.2 Đưa dạng toàn phương dạng tắc 75 IV.2.3 Các dạng xác định 78 Bài tập 93 Tài Liệu Tham Khảo 96 Chương I Tập hợp – Ánh xạ – Cấu trúc đại số I.1 Mệnh đề – Tập hợp – Ánh xạ I.1.1 Mệnh đề Khái niệm Mệnh đề (toán học) phát biểu mà ta khẳng định sai, sai hay gọi chân trị mệnh đề Thông thường người ta hay dùng ký hiệu số (hay ký tự Đ) cho giá trị ký hiệu số (hay ký tự S) cho giá trị sai Ký hiệu p, q, r, … mệnh đề tốn học Ví dụ: i p = “ phương trình x2 + = ln ln có nghiệm với x thuộc R ” mệnh đề sai ii q = “ số số vừa chia hết cho vừa chia hết cho ” mệnh đề iii Cậu làm tập nhà chưa! Không phải mệnh đề Vì cậu làm tập chưa làm Bản thân câu hỏi Các phép toán a Phép tuyển (hay phép hoặc): tuyển hai mệnh đề p q mệnh đề toán học nhận giá trị sai p q sai; trường hợp lại Ký hiệu p ∨ q (đọc p q) Bảng chân trị (chân lý) phép tuyển cho bảng 1.1 p 0 1 q 1 p∨q 1 Bảng 1.1: Bảng chân trị phép tuyển Ví dụ: a) Cho p = “ x = nghiệm phương trình x2 + 2x – = ” q = “ x = nghiệm phương trình x2 – = ” Khi mệnh đề tuyển p ∨ q = “ x = nghiệm phương trình x2 + 2x – = nghiệm phương trình x2 – = ” mệnh đề nhận giá trị số hữu tỷ ” q = “ số nguyên không âm ” Khi mệnh đề tuyển p ∨ q = “ số hữu tỷ b) Cho p = “ số nguyên không âm ” mệnh đề sai b Phép hội (hay phép và): hội hai mệnh đề p q mệnh đề toán học nhận giá trị p q đúng; nhận giá trị sai tất trường hợp lại Ký hiệu p ∧ q (đọc p q) Bảng chân trị phép hội cho bảng 1.2 p 0 1 q 1 p∧q 0 Bảng 1.2 : Bảng chân trị phép hội Ví dụ: a) Cho p = “ Số số chia hết cho ” q = “ Số số chia hết cho ” Khi mệnh đề hội p ∧ q = “ Số số chia hết cho 3” mệnh đề nhận giá trị b) Cho p = “ số nguyên tố ” q = “ số nguyên tố ” Khi mệnh đề hội p ∧ q = “ 2, số nguyên tố” mệnh đề sai c Phép kéo theo (hay phép …thì …): ứng với giả thiết p ta suy kết luận q giả thiết Sự suy nhận giá trị sai p q sai; trường hợp lại Ký hiệu p ⇒ q (đọc p suy q) Khi ta nói p điều kiện đủ q q điều kiện cần p Bảng chân trị phép kéo theo cho bảng 1.3 p 0 1 q 1 p⇒q 1 Bảng 1.3 : Bảng chân trị phép kéo theo Ví dụ: a) Cho p = “ Phương trình x2 + 5x + = có nghiệm ” q = “ Nghiệm phương trình x2 + 5x + = số nguyên ” Khi mệnh đề kéo théo p ⇒ q = “ Nếu phương trình x2 + 5x + = có nghiệm nghiệm số ngun ” mệnh đề b) Cho p = “ 10 chia hết cho ” q = “ 10 chia hết cho ” Khi mệnh đề kéo theo p ⇒ q = “ Nếu 10 chia hết cho 10 chia hết cho ” mệnh đề sai d Phép tương đương (hay khi, nếu, điều kiện cần đủ) : hai mệnh đề p q gọi tương đương với p q đồng thời có giá trị chân lý; nghĩa p q sai, điều kiện hoàn toàn Ký hiệu p ⇔ q (đọc p (sai) q (sai)); “⇔” gọi dấu liên hệ tương đương Khi ta nói p điều kiện cần đủ q Bảng chân trị phép tương đương cho bảng 1.4 p 0 1 q 1 p⇔q 0 Bảng 1.4 : Bảng chân trị phép tương đương Ví dụ : Cho p = “ Tam giác ABC có ba cạnh có ba góc ” q = “ Tam giác ABC tam giác ” Khi mệnh đề tương đương p ⇔ q = “ Tam giác ABC tam giác có ba cạnh có ba góc ” Dễ thấy, mối quan hệ tương đương p ⇔ q chẳng qua (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) ((p kéo theo q) (q kéo theo p)) Nói cách khác, hai mệnh đề p q tương đương mệnh đề kéo theo mệnh đề ngược lại Trong trường hợp này, hai phát biểu p ⇒ q q ⇒ p gọi đảo đề Để chứng minh mối quan hệ tương đương p ⇔ q, ta phải chứng minh mối quan hệ kéo theo p ⇒ q q ⇒ p Chú ý: (p ⇔ q) ⇔ (q ⇔ p) Trong ngôn ngữ tự nhiên, để diễn đạt mối liên hệ tương đương p q, người ta có nhiều cách nói p q đúng; p đúng, điều kiện cần đủ q đúng; điều kiện để p q đúng; p điều kiện cần đủ để q đúng; p tương đương q Nhận xét : Chứng minh quan hệ tương đương lúc đơn giản, nhiều cần phải chứng minh riêng lẻ đảo đề tương ứng e Phép phủ định : mệnh đề p phủ nhận mệnh đề p lại sai ngược lại Ký hiệu p (⎤ p) Bảng chân trị phép phủ định cho bảng 1.5 p p Bảng 1.5 : Bảng chân trị phép phủ định Ví dụ : Cho p = “ Phương trình x2 + x – = có nghiệm ” Khi mệnh đề phủ định mệnh đề p p = “ Phương trình x2 + x – = khơng có nghiệm ” Lượng từ Cho p(x) phát biểu thoả tính chất với x cụ thể thuộc tập X đó, phát biểu p(x) sai (tức phát biểu p(x) mệnh đề toán học) a Để diễn tả mệnh đề với x thuộc tập X có tính chất p(x) ta có viết ∀x ∈ X : p(x) b Để diễn tả mệnh đề tồn x thuộc tập X có tính chất p(x) ta có viết ∃x ∈ X : p(x) Ví du : a) ∀x ∈ R : x2 + 5x + > 0; b) ∃x ∈ R : x2 + 5x – = 0; Tính chất i p = p ; ii p ∨ p ≡ (Đồng đúng); iv ( p ∨ q ) ⇔ ( p ∧ q ) ; iii p ∧ p ≡ (Đồng sai); ( p ∧ q) ⇔ ( p ∨ q) ; vii ( p ⇒ q ) ⇔ ( p ∧ q ) ; ix ( ∀x ∈ X : p( x ) ) ⇔ ( ∃x ∈ X : p( x ) ) ; v vi ( p ⇒ q) ⇔ ( p ∨ q) ⇔ ( q ⇒ p) ; viii ( p ⇔ q ) ⇔ ( p ⇔ q ) ; x ( ∃x ∈ X : p( x)) ⇔ (∀x ∈ X : p( x)) ; Chứng minh : Ở chứng minh minh họa tính chất iv.,vi bảng chân trị Việc chứng minh tính chất cịn lại xem tập iv p 0 1 q 1 p∨q p∨q p q p∧q 1 1 0 1 0 1 0 Từ bảng chân trị ta có điều phải chứng minh vi p 0 1 q 1 p q p⇒q p∨q p⇒q 1 0 1 1 1 1 1 Từ bảng chân trị ta có điều phải chứng minh Chú ý : Nếu có n mệnh đề có 2n giá trị cho bảng chân trị Ví dụ : ( x + 1) a) Ta có ∀n ∈ N , n ≥ 2, ∀x ∈ R \ {1} , ( x + 1) = ( x − 1) ⇔ = 1; n ( x − 1) n n n b) Mối quan hệ “tương đương” ∀x, y ∈ R (x = y ⇔ x2 = y2) (bình phương lên) sai thí dụ 22 = ( - 2)2 khơng kéo theo = - 2; c) Mối quan hệ tương đương sau : ∀x ∈ [ −1, +∞ ) , x − ≥ x + ⇔ ( x − 1) ≥ x + ∧ x − ≥ (bình phương lên); ( ) Khi bình phương lên ta thơng tin “ x – lớn bậc hai ” nên khơng âm Vậy để đạt tương đương, mệnh đề sau ta phải bổ sung x – ≥ I.1.2 Tập hợp - Một số tập hợp thường gặp Khái niệm a Tập hợp khái niệm tốn học, khơng định nghĩa mà hiểu cách trực quan tụ tập nhiều đối tượng có chung tính chất liệt kê Các đối tượng tạo nên tập hợp gọi phần tử tập hợp Các tập hợp ký hiệu chữ hoa A, B, …; phần tử tập hợp thường ký hiệu chữ thường a, b, … chữ số Ta thường dùng chữ sau để ký hiệu tập hợp số + N : tập hợp số tự nhiên; N* = N \{0} + Z : tập hợp số nguyên; Z+ : tập hợp số nguyên không âm; Z - : tập số nguyên không dương + Q : tập hợp số hữu tỷ + R : tập hợp số thực; R* = R \ {0}; R+: tập hợp số không âm; R*+ = R+ \ {0}; R -: tập hợp số không dương; R*- = R - \ {0} + C : tập hợp số phức Ví dụ: a) Tập hợp điểm đường thẳng thực b) Tập hợp mái ngói ngơi nhà (Mỗi viên ngói phần tử tập hợp này) c) Tập hợp hình mặt phẳng (Mỗi hình mặt phẳng phần tử tập hợp) b Ta ký hiệu x ∈ A để x phần tử tập hợp A x ∉ A để x không phần tử tập hợp A Có hai cách tập hợp + Liệt kê tất phần tử tập hợp Ví dụ: A = {a, b, c, d} Tập hợp A có bốn phần tử a, b, c, d Ta có a ∈ A, e ∉ A + Nêu tính chất chung tất phần tử tập hợp Ví dụ: A = {x ∈ R : - 4x2 + 3x + > 0} Tập hợp nghiệm bất phương trình S = {(-1/4; 1)} c Cho hai tập hợp A, B Nếu với phần tử thuộc A thuộc B (∀ a ∈ A ⇒ a ∈ B) ta nói A phận B hay A tập hợp tập hợp B (hay A bao hàm B) Ký hiệu A ⊂ B Dĩ nhiên A ⊂ A Nếu A ⊂ B A ≠ B ta nói A phận thực B Nếu A ⊂ B B ⊂ A ta nói (mọi phần tử thuộc A thuộc B ngược lại phần tử thuộc B thuộc A) A B nhau, ký hiệu A = B Tập rỗng coi tập tập hợp bất kỳ, ký hiệu ∅, tập hợp khơng có phần tử d Để cho dễ hình dung tập hợp người ta thường dùng cách biểu diễn hình học (Gọi biểu đồ Ven) hình phẳng giới hạn đường cong kín để minh họa tập hợp; điểm hình phẳng phần tử tập hợp (Hình 1.1) a A Hình 1.1 Các phép toán tập hợp: Cho hai tập hợp A B Khi a Hợp hai tập hợp A B tập hợp gồm tất phần tử thuộc A thuộc B (hay thuộc hai tập hợp A B) ký hiệu A ∪ B (đọc A hợp B) (Hình 1.2) Vậy A ∪ B = {x : x ∈ A x ∈ B} A∪B A B Hình 1.2 Ví dụ: Cho A = {a, b, c} B = {b, c, e} Ta có A ∪ B = {a, b, c, e} Tương tự ta định nghĩa hợp nhiều tập hợp Giả sử A1, A2, …, An tập hợp Hợp tập hợp nói viết sau n A1 ∪ A ∪… ∪ A n = ∪ A i i =1 Từ định nghĩa ta thấy phép hợp tập hợp có tính chất sau i A ∪ ∅ = A ii A ∪ A = A iii A ∪ B = B ∪ A ( tính chất giao hốn) iv (A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C) (tính chất kết hợp) b Giao hai tập hợp A B tập hợp gồm tất phần tử thuộc A thuộc B (Gồm tất phần tử chung A B), ký hiệu A ∩ B (đọc A giao B) (Hình 1.3) Vậy A ∩ B = {x : x ∈ A x ∈ B} A∩B A B Hình 1.3 Ví dụ: Cho A = {1, 2, 3, 4} B = {3, 4, 5} Khi đó, ta có A ∩ B = {3, 4} Nếu A ∩ B = ∅ A B gọi hai tập hợp rời Tương tự ta định nghĩa giao nhiều tập hợp Giao tập hợp A1, A2, …, An viết sau n A1 ∩ A ∩… ∩ A n = ∩ A i i =1 Từ định nghĩa ta thấy phép giao tập hợp có tính chất sau i A ∩ ∅ = ∅ ii A ∩ A = A iii A ∩ B = B ∩ A (tính chất giao hốn) iv (A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C) (tính chất kết hợp) Hơn ta thấy phép giao có tính chất phân phối với phép hợp ngược lại phép hợp có tính chất phân phối với phép giao, tức ta có a) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ ( A ∩ C) b) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) Ta chứng minh đẳng thức b) Việc chứng minh đẳng thức a) xem tập Giả sử x ∈ A ∪ (B ∩ C) Khi x ∈ A x ∈ B ∩ C + Nếu x ∈ A rõ ràng x ∈ A ∪ B x ∈ A ∪ C, tức x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) Bước 3: Lập ma trận P làm chéo hóa trực giao ma trận A mà cột vector sở trực chuẩn tìm bước Ví dụ: Chéo hóa ma trận đối xứng ma trận trực giao ⎛3 2⎞ a) A = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜2 6⎟ ⎝ ⎠ + Tìm giá trị riêng cách giải phương trình đặc trưng det(A - λI) = 3−λ 6−λ P A (λ ) = 2 2 = ⇔ ( λ − ) ( λ − 11) = ⇔ λ = (bội hai) λ = 11 6−λ + Tìm vector riêng cách giải hệ phương trình (A - λI)x = Với λ = (bội hai), ta có ⎧ x + y + 2z = ⎧ x = − y − z ⎧ x = −2t − s ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ ⎨y = t ( ∀t + s ≠ ) ⎨2x + 4y + 4z = ⇔ ⎨ y ∈ R ⎪2 x + y + z = ⎪z ∈ R ⎪z = s ⎩ ⎩ ⎩ ⇒ x (1) = (−2,1,0) ; x (2) = (−2,0,1) Áp dụng trình trực giao hóa Gram – Smith vào {x(1), x(2)} ta vector riêng trực chuẩn ứng với λ = y (1) t ⎛ ⎞ = ⎜− , ,0 ⎟ ; 5 ⎠ ⎝ y (2) ⎛ ⎞ = ⎜− ,− , ⎟ ⎝ 5 5⎠ t Với λ = 11, ta có ⎧ x = y ⎪ ⎧ −8 x + y + z = ⎧x = u ⎪ ⎪ ⎪ (3) ⎨2x - 5y + 4z = ⇔ ⎨ y ∈ R ⇒ ⎨ y = 2u ( ∀u ≠ ) ⇒ x = (1,2,2) ⎪ x + y − 5z = ⎪z = y ⎪z = 2u ⎩ ⎩ ⎪ ⎩ t ⎛1 2⎞ Chuẩn hóa x(3) ta y (3) = ⎜ , , ⎟ ⎝3 3⎠ Từ suy ma trận P làm chéo hóa trực giao A 82 ⎛ ⎜− ⎜ ⎜ P=⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ − − 5 5 1⎞ ⎟ 3⎟ 2⎟ ⎟; 3⎟ 2⎟ ⎟⎠ ⎛ ⎜− ⎜ ⎜ −1 P = ⎜− ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ − ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 5⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 5 Vậy ⎛ ⎜− ⎜ ⎜ −1 P AP = ⎜ − ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ − 5 ⎛ ⎞ ⎟ ⎜− ⎟⎛ 2⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜2 4⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎠ ⎜ ⎝ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ − − 5 5 1⎞ ⎟ 3⎟ ⎛2 0 ⎞ 2⎟ ⎜ ⎟ ⎟ = ⎜0 ⎟ 3⎟ ⎜ 0 11⎟⎠ 2⎟ ⎝ ⎟⎠ ⎛ 1⎞ b) A = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎜ 1 0⎟ ⎝ ⎠ + Tìm giá trị riêng cách giải phương trình đặc trưng det(A - λI) = −λ P A (λ ) = 1 −λ 1 = ⇔ ( λ + 1) ( − λ ) = ⇔ λ = – (bội hai) λ = −λ + Tìm vector riêng cách giải hệ phương trình (A - λI)x = Với λ = – (bội hai), ta có ⎧x + y + z = ⎧ x = − y − z ⎧ x = −t − s ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ ⎨y = t ( ∀t + s ≠ ) ⎨x + y + z = ⇔ ⎨ y ∈ R ⎪x + y + z = ⎪z ∈ R ⎪z = s ⎩ ⎩ ⎩ ⇒ x (1) = (−1,1,0) ; x (2) = (−1,0,1) Áp dụng q trình trực giao hóa Gram – Smith vào {x(1), x(2)} ta vector riêng trực chuẩn ứng với λ = – y (1) t ⎛ 1 ⎞ = ⎜− , ,0⎟ ; 2 ⎠ ⎝ y Với λ = 2, ta có 83 (2) ⎛ 1 ⎞ = ⎜− ,− , ⎟ 6 6⎠ ⎝ t ⎧ −2 x + y + z = ⎧x = y ⎧x = u ⎪ ⎪ ⎪ (3) ⎨ x - 2y + z = ⇔ ⎨ y ∈ R ⇒ ⎨ y = u ( ∀u ≠ ) ⇒ x = (1,1,1) ⎪ x + y − 2z = ⎪z = y ⎪z = u ⎩ ⎩ ⎩ ⎛ Chuẩn hóa x(3) ta y (3) = ⎜ ⎝ , , ⎞ ⎟ 3⎠ t Từ suy ma trận P làm chéo hóa trực giao A ⎛ ⎜− ⎜ ⎜ P=⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ − − 6 ⎞ ⎟ 3⎟ ⎟ ⎟; 3⎟ ⎟ ⎟ 3⎠ ⎛ ⎜− ⎜ ⎜ −1 P = ⎜− ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ − ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 6⎟ ⎟ ⎟ 3⎠ Vậy ⎛ ⎜− ⎜ ⎜ −1 P AP = ⎜ − ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ − ⎛ ⎞ ⎟ ⎜− ⎟⎛ 1⎞⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ 1⎟⎜ ⎟⎜ 1 ⎟⎠ ⎜⎜ ⎝ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3⎠ ⎝ − − 6 ⎞ ⎟ 3⎟ ⎛ −1 0 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ = ⎜ −1 ⎟ 3⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ 0 2⎠ ⎟ ⎟ 3⎠ - Phân loại đường bậc hai mặt bậc hai + Đường bậc hai Trong mặt phẳng hệ tọa độ vng góc Descartes oxy, ta xét phương trình bậc hai tổng quát ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = hay gần với khái niệm ma trận ta viết lại sau 2 (4.1) a 11 x + 2a 12xy + a 22 y + 2ax + 2by + c = a11, a12, a22, a, b, c ∈ R a11, a12, a22 khơng đồng thời khơng Khơng giảm tính tổng quát, giả sử a11 ≠ Ta xét ma trận đối xứng thực ⎛ a11 a 12 ⎞ A=⎜ ⎟ ⎝ a12 a 22 ⎠ Phương trình đặc trưng A a11 − λ a12 a12 = ⇔ λ − ( a 11 + a12 ) λ + a11a 22 − a12 =0 a 22 − λ Vì A ma trận đối xứng nên chéo hóa trực giao Do đó, ta có 84 (4.2) PtAP = Dg(λ1, λ2), với λ1, λ2 nghiệm phương trình (4.2) hai vector riêng x(1), x(2) tương ứng với λ1, λ2 A thỏa mãn x (1) = x (2) = x (1), x (2) = Bằng phép chuyển sở từ sở tắc B sang sở B’ = {x(1), x(2)}, với x(1) = (x1, y1)t, x(2) = (x2, y2)t Khi đó, ta có ⎛ x1 x ⎞ ⎛ x⎞ ⎛ x '⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ x1 x ⎞ ⎛ x '⎞ ⎟ ⎜ ⎟ hay X = PX’, X = ⎜ ⎟ , P = ⎜ ⎟, X ' = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎝ y ⎠ ⎝ y1 y ⎠ ⎝ y ' ⎠ ⎝ y⎠ ⎝ y '⎠ ⎝ y1 y ⎠ Do đó, phương trình bậc hai (4.1) hệ trục ox’y’ λ1x’2 + λ2y’2 + 2ax + 2by + c = hay λ1x’2 + λ2y’2 + 2a(x1x’ + x2y’) + 2b(y1x’ + y2y’) + c = hay λ1x’2 + λ2y’2 + 2a’x’ + 2b’y’ + c = (4.3) a’ = ax1 + by1, b’ = ax2 + by2 Để phân biệt đường bậc hai ta xét trường hợp sau Trường hợp : Giả sử λ1 λ2 khác khơng Khi đó, phương trình (4.3) tương đương với 2 a' ⎞ b' ⎞ ⎛ ⎛ λ 1⎜ x '+ ⎟ + λ 2⎜ y '+ ⎟ + c ' = λ1 ⎠ λ2⎠ ⎝ ⎝ (4.4) ⎛ a' ⎞ ⎛ b' ⎞ c ' = c − λ 1⎜ ⎟ − λ 2⎜ ⎟ ⎝ λ1 ⎠ ⎝ λ2⎠ Áp dụng công thức tịnh tiến trục, tức tịnh tiến hệ tọa độ ox’y’ đến hệ tọa độ IXY, với X = x '+ a' λ1 , Y = y '+ b' λ2 Ta λ1X2 + λ2Y2 + c’ = (4.5) Nếu c’ ≠ 0, λ1 × λ2 > 0, λ1 × c’ < (4.5) xác định elip thựcvà thêm λ = λ1 = λ2 (4.5) trở thành đường trịn thực với bán kính r = c' λ Nếu c’ ≠ 0, λ1 × λ2 > 0, λ1 × c’ > (4.5) xác định elip ảo thêm λ = λ1 = λ2 (4.5) trở thành đường trịn ảo Nếu c’ ≠ 0, λ1 × λ2 < (4.5) xác định Hyperbol Nếu c’ = 0, λ1 × λ2 < (4 5) có dạng λ X + λ 2Y = ⇔ ( λ1 X + λ Y )( ) λ1 X − λ Y = xác định cặp đường thẳng thực cắt Nếu c’ = 0, λ1 × λ2 > (4.5) xác định đường thẳng ảo cắt thực Trường hợp hai : Giả sử λ1 = 0, λ2 ≠ (Hoặc λ2 = 0, λ1 ≠ 0) Khi đó, phương trình (4.3) viết lại sau λ2y’2 + 2a’x’ + 2b’y’ + c’’ = (4.6) 85 2 c b' ⎞ ⎛ b' a ' ≠ hay λ 2⎜ y '+ ⎟ = −2a '( x '+ c '') , với c '' = − a ' 2a ' λ λ2⎠ ⎝ Tịnh tiến hệ tọa độ ox’y’ đến hệ tọa độ JXY, với X = x’ + c’’, Y = y '+ Parabol Y2 = 2pX, với p = − a' b' λ2 ta λ2 Nếu a’ = phương trình (4.6) viết lại sau b' ⎞ b' ⎛ λ 2⎜ y '+ ⎟ + c ''' = , với c ''' = c − λ2⎠ λ2 ⎝ Tịnh tiến hệ tọa độ ox’y’ đến hệ tọa độ KXY, với X = x’, Y = y '+ b' λ2 ta λ 2Y + c ''' = Nếu λ2 × c’’’ < (4.7) xác định cặp đường thẳng song song với ox’ Nếu λ2 × c’’’ > (4.7) xác định cặp đường thẳng ảo song song Nếu c’’’ = (4.7) xác định cặp đường thẳng trùng Ví dụ: Hãy nhận dạng đường cong phẳng cho phương trình a) x2 + xy + y2 2x + 4y + = Ta có ⎛ ⎜1 A=⎜ ⎜1 ⎜ ⎝2 (4.7) 1⎞ 2⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ Phương trình đặc trưng 1− λ 2 1− λ = ⇔ 4λ − 8λ + = ⇒ λ = λ = 2 λ = hai vector riêng 2 ⎛ 1⎞ (2) x = ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠ Vậy ma trận đối xứng A có hai giá trị riêng λ = x(1), x(2) tạo thành sở trực chuẩn x (1) = ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟, ⎝1⎠ Ma trận chuyển sở từ sở B sang sở B’ ⎛ ⎜− P=⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2⎞ ⎛1 ⎟ ⎟ D = t AP = ⎜ ⎜ P 2⎟ ⎜0 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Khi đó, ta có 86 ⎞ 0⎟ ⎟ 3⎟ ⎟ 2⎠ ⎛ − ⎛ x ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎟= ⎝ y⎠ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 2⎞ x '+ ⎟ ⎛ x '⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ y '⎠ ⎜ x '+ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ 2 ⎞ ⎧ y '⎟ ⎪x = − x' + ⎟ ⎪ ⇒⎨ ⎟ ⎪ y ' ⎟ ⎪y = x' + 2 ⎠ ⎩ y' 2 y' Vậy phương trình a) tọa độ (x, y) trở thành phương trình tọa độ (x’, y’) ⎛ ⎛ 2 2 ⎞ ⎞ x '+ y ' ⎟⎟ + ⎜⎜ x '+ y ' ⎟⎟ + = x ' + y ' + ⎜⎜ − 2 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 (4.8) ⇔ x '+ + y '+ + = 2 Áp dụng công tịnh tiến trục, với X = x '+ , Y = y '+ , ta X + Y = −1 2 3 1 Vì λ × λ = × = > λ × c ' = × = > nên phương trình (4.8) xác định 2 2 2 elip ảo hệ trục IXY X + Y = , với bán trục lớn i bán trục nhỏ 2i i i ( ) b) – x2 + 2xy – y2 + x + y + = Ta có ( ) ⎛ −1 ⎞ A=⎜ ⎟ ⎝ −1 ⎠ Phương trình đặc trưng −1 − λ 1 = ⇔ λ + 2λ = ⇒ λ = λ = −2 −1 − λ Vậy ma trận đối xứng A có hai giá trị riêng λ = λ = −2 hai vector riêng x(1), x(2) tạo thành sở trực chuẩn x (1) = ⎛ 1⎞ (2) ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟, x = ⎝ 1⎠ ⎝1⎠ Ma trận chuyển sở từ sở B sang sở B’ ⎛ ⎜ P=⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2 2 − 2⎞ ⎟ ⎟ D = t AP = ⎛ 0 ⎞ P ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ −2 ⎠ ⎟ ⎠ Khi đó, ta có 87 ⎛ ⎛ x ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎟= ⎝ y⎠ ⎜ ⎜ ⎝ 2 2 − ⎛ 2⎞ ⎟ ⎛ x '⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ y '⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ x '− 2 x '+ 2 ⎞ ⎧ y '⎟ ⎪x = ⎟ ⎪ ⇒⎨ ⎟ ⎪ y '⎟ y = ⎠ ⎩⎪ x' − 2 x' + 2 y' 2 y' Vì λ1 = nên phương trình b) tọa độ (x, y) trở thành phương trình tọa độ (x’, y’) ⎛ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ 1⎞ −2 y ' + ⎜⎜ x '− y ' ⎟⎟ + ⎜⎜ x '+ y ' ⎟⎟ + = ⇔ y ' = ⎜⎜ x '+ ⎟⎟ ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2⎠ ⎝ ⎝ Áp dụng công thức tịnh tiến trục, với X = (4.9) 2 x '+ , Y = y ' , ta ParabolY = 2X + Mặt bậc hai Trong hệ tọa độ vng góc Descartes oxyz, ta xét phương trình bậc hai tổng quát 2 (4.10) a11 x + a 22 y + a 33 z + 2a12xy + 2a13xz + 2a 23yz + 2ax + 2by + 2cz + d = a11, a22, a33, a12, a13, a23, a, b, c, d ∈ R a11, a22, a33 không đồng thời không Giả sử a11 ≠ Khi đó, ta xét ma trận đối xứng thực ⎛ a11 a12 a13 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ a12 a 22 a 23 ⎟ ⎜a ⎟ ⎝ 13 a 23 a 33 ⎠ Phương trình đa thức đặc trưng a11 − λ a12 a13 a 12 a 22 − λ a 23 a13 a 23 = a 33 − λ Giả sử λ1, λ2, λ3 giá trị riêng A Khi vector riêng tương ứng với giá trị riêng λ1, λ2, λ3 tạo thành sở trực chuẩn x(1), x(2), x(3) Bằng phép chuyển sở từ sở tắc B sang sở B’ = {x(1), x(2), x(3)}, với (1) x = (x1, y1, z3)t, x(2) = (x2, y2, z2)t, x(3) = (x3, y3, z3)t Khi đó, ta có ⎛ x ⎞ ⎛ x1 x ⎜ ⎟=⎜ ⎜ y ⎟ ⎜ y1 y ⎜z⎟ ⎜z z ⎝ ⎠ ⎝ ⎛ x1 x ⎛ x⎞ x ⎞ ⎛ x '⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ y ⎟ ⎜ y ' ⎟ hay X = PX’, X = ⎜ y ⎟ , P = ⎜ y y ⎜z⎟ ⎜z z z ⎟⎠ ⎜⎝ z ' ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ Do đó, phương trình bậc hai (4.10) hệ trục ox’y’z’ 88 ⎛ x '⎞ x3⎞ ⎟ ⎜ ⎟ y3⎟ , X ' = ⎜ y '⎟ ⎜ z' ⎟ z ⎟⎠ ⎝ ⎠ λ1x’2 + λ2y’2 + λ3z’2+ 2ax’ + 2by’ + 2cz’ + d = hay λ1x’ + λ2y’ + λ3z’2 + 2a(x1x’ + x2y’ + x3z’) + 2b(y1x’ + y2y’ + y3z’) + 2c(z1x’ + + z2y’ + z3z’) + d = hay λ1x’2 + λ2y’2 + λ3z’2+ 2a’x’ + 2b’y’ + 2c’z’ + d = (4.11) a’ = ax1 + by1 + cz1, b’ = ax2 + by2 + cz2, b’ = ax3 + by3 + cz3 Trường hợp : Giả sử λ1, λ2 λ3 khác không dấu Khi đó, phương trình (4.11) tương đương với 2 2 a' ⎞ b' ⎞ ⎛ c' ⎞ ⎛ ⎛ λ 1⎜ x '+ ⎟ + λ 2⎜ y '+ ⎟ + λ 3⎜ z '+ ⎟ + d ' = λ1 ⎠ λ2 ⎠ λ3⎠ ⎝ ⎝ ⎝ (4.12) 2 ⎛ c' ⎞ ⎛ a' ⎞ ⎛ b' ⎞ d ' = d − λ 1⎜ ⎟ − λ 2⎜ ⎟ − λ 3⎜ ⎟ ⎝ λ1 ⎠ ⎝ λ2⎠ ⎝ λ3⎠ Áp dụng công thức tịnh tiến trục, tức tịnh tiến hệ tọa độ ox’y’z’ đến hệ tọa độ IXYZ, với X = x '+ a' λ1 , Y = y '+ b' λ2 , Z = z '+ c' λ3 Ta λ1X2 + λ2Y2 + λ3Z2 + d’ = Nếu d’ ≠ ta chia hai vế (4.13) cho d’ ta λ1 + λ 2 + λ = d' X d' Y d' (4.13) (4.14) Z Khi (4.13) xác định elipspoid thực d’ dấu với giá trị riêng; d’ khác dấu với giá trị riêng (4.13) xác định elipspoid ảo Nếu λ , λ , λ khơng dấu (4.13) xác định hyperboloid Bằng cách d' d' d' thay đổi ký hiệu tọa độ, ta giới hạn vào việc nghiên cứu hai phương trình λ1 d' X + λ2 d' Y − λ3 d' λ1 Z = (H1); d' X + λ2 d' Y − λ3 d' Z = −1 (H2) Ta gọi (H1) hyperboloid tầng gọi (H2) hyperboloid hai tầng Nếu d’ = giá trị riêng dấu (4.13) xác định mặt nón bậc hai ảo đỉnh o’ (Thực); giá trị riêng khác dấu (4.13) xác định mặt nón bậc hai đỉnh o’ Trường hợp hai λ1 × λ2 × λ3 = Khi λi (i =1, 2, 3) không Nếu λ3 = 0, λ1 × λ2 ≠ 0, c’ ≠ cách tịnh tiến hệ tọa độ, ta đưa (4.11) dạng λ1X2 + λ2Y2 + 2c’Z + d’’ = (4.15) Nếu λ1 × λ2 > (4.15) xác định paraboloid eliptic Nếu λ1 × λ2 < (4.15) xác định paraboloid hyperbolic Nếu λ3 = 0, λ1 × λ2 ≠ 0, c’ = cách tịnh tiến tọa độ ta đưa (4.11) dạng (4.16) λ1X2 + λ2Y2 + d’’’ = Nếu d’’’ ≠ 0, λ1 × λ2 > 0, d’’’ × λ1 < (4.16) xác định trụ eliptic thực 89 Nếu d’’’ ≠ 0, λ1 × λ2 > 0, d’’’ × λ1 > (4.16) xác định trụ eliptic ảo Nếu d’’’ ≠ 0, λ1 × λ2 < (4.16) xác định trụ hyperbolic Nếu d’’’ = 0, λ1 × λ2 < (4.16) xác định cặp mặt phẳng cắt theo o’Z Nếu d’’’ = 0, λ1 × λ2 > (4.16) xác định cặp mặt phẳng ảo cắt theo o’Z Nếu λ2 = λ3 = 0, λ1 ≠ 0, b’ ≠ 0, c’ ≠ cách tịnh tiến tọa độ ta đưa (4.11) dạng λ1X2 + 2b’Y + 2c’Z + d’’’’ = (4.17) Khi (4.17) xác định trụ parabolic Nếu b’ = c’ = 0, d’’’’ ≠ 0, λ1 × d’’’’ < (4.17) xác định cặp mặt phẳng song song với mặt phẳng o’YZ Nếu b’ = c’ = 0, d’’’’ ≠ 0, λ1 × d’’’’ > (4.17) xác định cặp mặt phẳng ảo song song Nếu b’ = c’ = 0, d’’’’ = (4.17) xác định cặp mặt phẳng trùng Ví dụ : Hãy nhận dạng mặt bậc hai a) x2 + 7y2 + z2 + 8xy – 4xz – 8yz + 2x + 3y + 5z + = 0; Ta có ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −4 ⎟ ⎜ −2 −4 ⎟ ⎝ ⎠ Phương trình đặc trưng 1− λ −2 −2 − λ −4 = ⇔ ( λ + 1) ( λ − 11) = ⇒ λ = – (Bội hai) λ = 11 −4 − λ ⎛ ⎛ ⎞ ⎜ ⎜− ⎟ 5⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ (2) ⎜ (1) Với λ = – 1, ta có hai vector trực chuẩn x = ⎜ ⎟; x = ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Với λ = 11, ta có vector trực chuẩn x (3) = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− ⎟ 6⎠ ⎝ 90 ⎞ ⎟ 30 ⎟ ⎟ ⎟ 30 ⎟ ⎟ ⎟ 30 ⎠ ⎛ ⎜− ⎜ ⎜ P=⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎛ −1 0 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ t ⎟ P AP = ⎜ −1 ⎟ ⎟ ⎜ 0 11⎟ ⎝ ⎠ ⎟ − ⎟ 6⎠ 30 30 30 Từ ta có ⎛ ⎜− ⎛ x⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ y⎟ = ⎜ ⎜ z⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎜ ⎜ ⎝ 30 30 30 ⎧ ⎞ x' + ⎟ ⎪x = − ⎟ x' ⎛ ⎞ ⎪ ⎟⎜ ⎟ ⎪ x' + ⎟ ⎜ y '⎟ ⇒ ⎨y = ⎟⎜ ⎟ ⎪ z' ⎟⎝ ⎠ ⎪ − ⎪z = ⎟ 6⎠ ⎩ 30 30 30 y' + y' + y' − 6 z' z' z' Do đó, phương trình a) tọa độ (x, y, z) trở thành phương trình tọa độ (x’, y’, z’) − x ' − y ' + 11z ' − x '+ 33 30 y '+ z '+ = Bằng tịnh tiến hệ tọa độ ox’y’z’ sang hệ tọa độ IXYZ ta − X − Y + 11Z = 315 315 ⇔ X + Y − 11Z = − 44 44 Vậy phường trình a) xác định hyperboloid hai tầng a) x2 + 4y2 + 6z2 + 4xy + 4xz + 8yz + x + 2y + 8z + = 0; Ta có ⎛1 2⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 4⎟ ⎜2 6⎟ ⎝ ⎠ Phương trình đặc trưng 1− λ 2 2 4−λ = ⇔ λ ( λ − 1)( λ − 10 ) = ⇒ λ = λ = λ = 11 6−λ ⎛ ⎞ ⎜− ⎟ 5⎟ ⎜ ⎜ ⎟ Với λ = 0, ta có vector trực chuẩn x (1) = ⎜ ⎟; ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 91 ⎛ 1⎞ ⎜−3⎟ ⎜ ⎟ 2⎟ ⎜ (2) Với λ = 1, ta có vector trực chuẩn x = − ⎜ 3⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Với λ = 10, ta có vector trực chuẩn x (3) = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− ⎟ 6⎠ ⎝ ⎛ 2 ⎞ − ⎜− ⎟ 3 5⎟ ⎜ ⎛0 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ t P=⎜ − ⎟ P AP = ⎜ ⎟ 3 5⎟ ⎜ 0 10 ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎟⎠ ⎝ Từ ta có ⎛ ⎜− ⎛ x⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ y⎟ = ⎜ ⎜ z⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎜ ⎜ ⎝ − 3 − ⎧ ⎞ x' − ⎟ ⎪x = − ⎟ x' ⎛ ⎞ ⎪ ⎟⎜ ⎟ ⎪ x' − ⎟ ⎜ y '⎟ ⇒ ⎨y = ⎟⎜ ⎟ ⎪ z' ⎟⎝ ⎠ ⎪ ⎪z = ⎟ 5⎠ ⎩ y' + y' + y' + 3 5 5 z' z' z' Do đó, phương trình b) tọa độ (x, y, z) trở thành phương trình tọa độ (x’, y’, z’) y ' + 10 z ' + 11 50 y '+ z '+ = 3 Bằng tịnh tiến hệ tọa độ ox’y’z’ sang hệ tọa độ IXYZ ta 2 Y + 10 Z = 15 Vậy phường trình b) xác định trụ eliptic (Thực) 92 Bài tập Tìm dạng chuẩn tắc dạng tồn phương sau a) q(x1, x2, x3) = x12 + x22 3x32 + 4x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3 b) q(x1, x2, x3) = x12 – 2x22 + x32 + 2x1x2 + 4x1x3 + 2x2x3 c) q(x1, x2, x3) = x12 – 3x32 – 2x1x2 + 2x1x3 – 6x2x3 d) q(x1, x2, x3) = x1x2 + x1x3 + x2x3 Tìm tất giá trị λ để dạng toàn phương sau xác định dương a) q(x1, x2, x3) = 5x12 + x22 + λx32 + 4x1x2 – 2x1x3 – 2x2x3 b) q(x1, x2, x3) = 2x12 + x22 + 3x32 + 2λx1x2 + 2x1x3 c) q(x1, x2, x3) = x12 + x22 + x32 + λx1x2 – 2x1x3 + 4x2x3 d) q(x1, x2, x3) = x12 + 4x22 + x32 + 2λx1x2 + 10x1x2 + 6x2x3 e) q(x1, x2, x3) = 2x12 + 2x22 + x32 + 2λx1x2 + 6x1x3 + 2x2x3 Tùy theo giá trị λ xác định dấu dạng toàn phương sau a) q(x1, x2, x3) = 3x12 + x22 + λx32 + 6x1x2 + 2x1x3 + 6x2x3 b) q(x1, x2, x3) = 2x12 – 6x22 + 5x32 + 4x1x2 + 2λx1x3 + 8x2x3 c) q(x1, x2, x3) = 2x12 + 5x22 + 10x32 + 4λx1x2 + 6x1x3 + 12x2x3 d) q(x1, x2, x3) = – x12 + λx22 – x32 – 8x1x2 + 8x1x2 – 4x2x3 e) q(x1, x2, x3) = x12 + x22 + x32 + λx1x2 + 2x1x3 – 2x2x3 Hãy tìm giá trị riêng vector riêng ma trận sau ⎛ −2 ⎞ a) A = ⎜⎜ −2 ⎟⎟ ; ⎜ −1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛1 2⎞ b) B = ⎜⎜ ⎟⎟ ; ⎜ 5 3⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 2⎞ c) C = ⎜⎜ ⎟⎟ ; ⎜ 3 5⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −1 ⎞ d) D = ⎜⎜ −1⎟⎟ ; ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −1 ⎞ e) E = ⎜⎜ ⎟⎟ ; ⎜ ⎟ ⎝ −1 −1 −4 ⎠ ⎛ −2 ⎞ f) F = ⎜⎜ ⎟⎟ ; ⎜ −4 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −1 ⎞ g) G = ⎜⎜ 0 ⎟⎟ ; ⎜ 0 1⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1⎞ h) H = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ; ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −2 ⎞ j) J = ⎜⎜ −1 ⎟⎟ ; ⎜ −5 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 2 1⎞ k) K = ⎜⎜ 1⎟⎟ ; ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1⎞ l) L = ⎜⎜ ⎟⎟ ; ⎜ 4⎟ ⎝ ⎠ 93 ⎛ −1 ⎞ m) M = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ; ⎜1 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ −2 ⎟ ⎜ ; n) N = ⎜ −1 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ −1 −1 ⎠ Các ma trận cho có chéo hóa (trên trường thực) khơng? Nếu chéo hóa ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −3 ⎟ ; ⎜ −1 −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛3 2⎞ ⎜ ⎟ B = ⎜ 4⎟ ; ⎜ 2 4⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −2 −1 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ C = ⎜ −7 ⎟ ; D = ⎜ ⎟ ; ⎜ ⎟ ⎜ −4 ⎟ ⎝ −1 −6 ⎠ ⎝ ⎠ ⎛2 ⎞ ⎜ ⎟ E = ⎜ −2 ⎟ ; ⎜1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ F = ⎜ 2 1⎟ ; ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −1 −1⎞ ⎜ ⎟ G = ⎜2 ⎟ ; ⎜2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ H = ⎜ 3 1⎟ ; ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ J = ⎜ 1⎟ ; ⎜ 4⎟ ⎝ ⎠ Chéo hóa ma trận sau ma trận trực giao ⎛ 4⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ ⎟ ; B = ⎜ −2 ⎟ ; ⎜ 4 9⎟ ⎜ 2 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ C = ⎜ 2⎟ ; ⎜ 2 2⎟ ⎝ ⎠ ⎛2 ⎞ ⎜ ⎟ D = ⎜ 14 ⎟ ; ⎜ 14 20 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ E = ⎜ 21 ⎟ ; ⎜ 21 70 ⎟ ⎝ ⎠ Đưa dạng toàn phương sau dạng tắc biến đổi trực giao a) q(x1, x2, x3) = 6x12 + x22 + x32 + 2x1x2 + 2x1x3 + 6x2x3 b) q(x1, x2, x3) = 6x12 – 2x22 + 3x32 + 8x1x2 + 4x1x3 + 4x2x3 c) q(x1, x2, x3) = 2x12 + 2x22 + 2x32 – 2x1x2 + 2x1x3 – 2x2x3 d) q(x1, x2, x3) = 2x12 – 2x22 – x32 + 4x1x2 – 4x1x3 – 2x2x3 e) q(x1, x2, x3) = x12 + x22 + x32 – 2x1x2 – 2x1x3 – 2x2x3 Hãy phân loại đường bậc hai cho sau a) 9x2 + 4xy + 6y2 + 18x + 4y – = b) 34x2 – 32xy + 34y2 + 4x + 104y – 344 = c) 7x2 – 48xy – 7y2 – 100x – 5oy + 25 = d) 16x2 + 24xy + 9y2 + 20x + 20y + 40 = e) x2 + 4xy + 4y2 + 2x + 4y – = 94 Hãy phân loại mặt bậc hai cho sau a) 7x2 + 4y2 + 7z2 + 4xy + 8xz + 4yz + 4x – 4y – 2z = 0; b) 11x2 – 4y2 + 11z2 + 20xy + 20xz + 40yz – 6x – 12y + 12z + 27 = 0; c) 3x2 + 3y2 + 2z2 + 2xy + 4xz + 4yz + 9x +3y + 5z = 0; d) x2 + 3y2 + 3z2 + 6xy + xz + 2yz – x + 2y – 3z – = 0; e) x2 + 2y2 – 4z2 + 2xy + 4xz + 4yz + 5x – 3y + 4z – = 0; 95 Tài Liệu Tham Khảo [1] Hồng Xn Sính Đại số NXB GD 1996 [2] Ngơ Thúc Lanh Đại số Tuyến tính NXB ĐH&THCN HN 1970 [3] Nguyễn Đình Trí (Chủ biên) Toán cao cấp, tập NXB GD 2000 [4] Nguyễn Đình Trí (Chủ biên) Bài tập Tốn cao cấp, tập NXB GD 2000 [5] Nguyễn Hữu Việt Hưng Đại số Tuyến tính NXB ĐHQDHN 2001 [6] Trần Văn Hãn Đại số Tuyến Tính Trong Kỹ Thuật NXB ĐH&THCN HN 1994 [7] V.A.Illin – E.G.Poznyak Linear Algebra “Mir” Moscow 1986 96 ... Ví dụ: a) Cho p = “ Số số chia hết cho ” q = “ Số số chia hết cho ” Khi mệnh đề hội p ∧ q = “ Số số chia hết cho 3” mệnh đề nhận giá trị b) Cho p = “ số nguyên tố ” q = “ số nguyên tố ” Khi mệnh... Trực chuẩn hóa 65 III.3 Ánh xạ tuyến tính 66 III.3.1 Khái niệm ánh xạ tuyến tính 66 III.3.2 Ánh xạ tuyến tính ma trận 67 Bài tập 69 Chương IV... hệ phương trình tuyến tính 43 Bài tập 46 Chương III Không gian vector – Ánh xạ tuyến tính …55 III.1 Không gian vector 55 III.1.1 Khái niệm – Tính chất