BÙI M IN H TRÍ TOÁN KINH TÊ (Tái lần thứ hai) N HÀ XUẤT BAN B Á C H KHOA - H À NỘI Bản quyền thưộc Nhà xuất Bách Khoa - Hà Nội Mọi hình thức xuất bản, chép mà cho phép văn nhà xuất vi phạm pháp luật M ã số: ỉ 38 - 201J/CXBỈ]()5 - 56/BKHN Biên m ụ c xuất p h ẩ m T hư viện Q uốc gia V iệt Nam Bùi Minh Trí Toán kinh tế / Bùi M inh Trí - Tái bàn lần - H : Bách khoa Hà Nội, 2011 - 272tr ; hình vẽ, bảng ; 24cin Thư mục: tr 269-271 Toán kinh tế Giáo trình 330.01 - d c l BKE0007p-CIP MỤC LỤC • * LỜI NÓI Đ Ấ U PHẦN I TỐI ƯU HÓA LỜI NÓI Đ Ầ U 11 Chương I BÀI TOÁN TỐI ưu HÓA TổNG QUÁT VÀ CÁC VẤN ĐỂ Cơ SỞ .13 § Bài toán tối ưu hóa tổng quát vàphàn loại t o n .13 ỉ Bài toán lối ưu hóa tổim quát 13 1.2 Phân loại t o n 14 §2 Vấn để mỏ hình hóa toán học 15 2.1 Xây dựiiíí mô hình toán học cho rn(M vàn đề thực t ế 15 2.2 Một số mô hình thực t ế 17 §3 Một sô khái niệm két lù đại s ó 23 3.1 Ma t r ậ n 23 3.2 Định Ih ứ c 24 3.3 Ma irận nuhịch đáo, han;: ru;i |;KItiậĩi 26 3.4 Hệ phươnu trình đại số tiivcn lúih 27 3.5 Khône sian E u clid 29 Chương II QUY HOẠCH TUYẾN TỈNH 32 M đ ầ u 32 §1 Bài toán quv hoạch tuyến tín h 32 1.1 Bài toán tổn^ q u t 32 1.2 Dạnii chuẩn dạng lăc 33 1.3 Đưa Q H T T vé dạiiii chuẩn dạiiíỉ t ã c .34 1.4 Giai hài toán QMTI' hai biến phưo'ny Ịiháp hình học 35 §2 M ột sỏ tính chất c h u n g 38 §3 Phưotig p h áp đon hình giải Q H T T .42 3.1 Đ n a lối chuníi \'à sớ cua thuật t o n 42 3.2 Cơ sở thuật l o n 42 3.3 T huật toán đơn hình 47 3.4 C òng thức đổi sở Bang đưn h l n h 48 §4 V ấn đề p h o n g án cực biên sỏ xuất phát giai đoạn 52 §5 Q u y h oạch đối n g ẫ u 67 5.1 Q H T T dạng chuẩn Q p toán tuyến lính đối ng ẫu đối x ứ n g 5.2 Q H T T dạng tắc Cặp toán tuyên lính đối n a ầ u không đối x ứ n g /3 5.3 Ý n e h ĩa cặp toán đối n g ẫ u 74 5.4 Tiêu c h u ẩ n lối ưu thuậl toán đơn hình dối n g ẫ u 76 5.5 V í d ụ 80 Bài tập ch n g I I X6 Chương III BÀI TOÁN VẬN TẢI 89 §1 P h át biểu toán - Sự tồn nghiệm u 89 1.1 Phát bicu t o n 1.2 Sự tồn nghiệm u 91 §2 T iêu ch u ẩ n nhận biết phương lin cực b i ê n 92 §3 C ác phương pháp tìm phương án xuất p h t 95 3.1 Phư ơng pháp góc tây b ắ c 95 3.2 Phương pháp cước phí tối thiểu irong toàn h n g 96 3.3 Phư ơng pháp cực ticu cước phí theo h n g 97 3.4 Phươníỉ pháp cực tiểu cước phí theo c ộ t 97 § Tiêu chuaii tối ưu - thuật t(»án 97 4.1 Tièu chuẩn u 97 4.2 Thuật lo n 99 4.3 Các ví d ụ 101 §5 Trường hợp khòng cán băng tha p h át 108 Bài tập chương I I I 109 i Giai toán vận l i 109 II Giai BTVT có phuxTne án llioai hd-i 10 ill Giai BTVT khỏim bàng llìu |'iiát 10 IV Các càu hỏi p h ụ 1 Chương IV QUY HOẠCH Đ Ộ N G 112 M đ ầ u 1 §1 Phương pháịỉ phưong trình truy toán n gu yên tác Q H Đ 113 ỉ , Bài toán phân phối niól chicu Nà pliươna trình truy toán 113 1.2 Các Iiizu\ én tãc co' ban cua qu\ luạch độno ( Q H Đ ) 15 §2 Q uá trình nhiều giai đoạii phiioiig trình h m .116 Quá Irình nhiổu uiai (loan 116 2.2 Xây dựng phưoìm liình h a m 117 §3 Sơ đổ tính vù ví dụ áp íiụri" 118 3.1 S(ídó tính 118 3.2 Các ví d ụ 119 §4 Bài toán thực tế: Xác định che độ khoan giếng u 125 4.1 Thié't lập t o n 125 4.2 Phưívim pháp e i ủ i 126 4.3 Chu'o'im trìnli kết qu:l 127 Bài tập chương IV 128 Chương V QUY HOẠCH PHI TU Y Ê N 130 M đ ầ u 130 §1 M ột sô khái niệm giải tích lồ i .130 1.1 Tập hợp lồi I 31 1.2 H àm l i 133 §2, Lý thuyết quv hoạch l i 141 2.1 Bài toán quy hoạch lồi tổng quát điều kiện tối ưu 141 2.2 Phươns pháp siải quy hoạch lồi 146 §3 Một sô phương pháp giải Q H P T có ràng b u ộ c 160 3.1 Phươnc pháp g r a d i e n 160 3.2 Phươns pháp Lagran>:e 162 3.3 Một số ví d ụ : 164 §4 Bài toán quy hoạch phi tuyến nghiệm tối ưu n ó 170 Phát biểu t o n 170 4.2 N ghiêm • u 172 CT 4.3 Phân loại phưưng pháp tỉiai Q H P r 173 4.4 Quy hoạch phi tuvến tổna quát đicu khiển tói u 174 Bài tập chương V I I 178 TÀI LIỆU THAM K H Ả O 181 PHẦN II MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ MỞ Đ Ầ U 185 Chương I MÔ HÌNH KINH TỂ VÀ MÔ HÌNH TOÁN KINH T Ể 187 § M ỏ hình kinh t ê 187 1.1 Mô hình kinh tế lớn (m acro) 187 1.2 M ô hình kinh tế nhỏ ( m i c r o ) 195 1.3 Mỏ hình kinh tố phái triciì 196 §2 M ô hình toán kinh té 202 2.1 Khái n i ệ m 202 2.2 Các bước xày dựim mô liìiih học cho vân đề thực i c 203 §3 H àm sàn xiiá t 204 3.1 Mô hình ch una khái n ic m 204 3.2 Hàm đána c ấ p 204 3.3 Hàm san xuất với độ co ” iãn liia v số ( C E S ) 205 3.4 Hàin san XLiàì Cobb - D('Ui:lav 207 3.5 Hàm Walras - Leontieí (1\\| ) 209 Càu hỏi ôn tập chươiig I 210 Chương II PHƯƠNG PHÁP CÂN ĐỐI LiÊN NGÀNH 211 §1 Cân đòi lién níỊÙnh t ĩ n h 211 1.1 Bản« cán đối liên nsàiih dạiii! hii-Mi v i 212 1.2 Bànư cân đối licii ngành daii” giá i r ị .219 §2 Cán đối liên ngành đ ộ n g .225 §3 B ảng cân đối liên ngành Việt n a in 227 Câu hỏi ôn tập chươiig I I 232 Chương III PHƯƠNG PHÁP s Đ ổ MẠNG Lllơ l (PERT) 234 Mư đ ầ u 234 §1 Các khái niệm 235 1.1 Một số khái niệm vc (16 tliỊ 235 1.2 Các khái niệm SO' đồ maiiíi \ươì 236 § Các nguyên tắc thành lập mot so đổ m ạng lư ói .236 §3 Khái niệm đường găiiịỉ va đ;ic trưng lién q u a n 239 3.1 Đườnu e ã n e 239 3.2 Các dặc iruìm liên CỊLiaii đèn điròng g ã n c 241 Câu hỏi ôn tập chương III 244 Chương IV MÔ HÌNH PHỤC v ụ ĐÁM Đ Ô N G 246 § ỉ Các đặc trưng co ban hệ thòng phục vụ đám đ ỏ n g 247 1.1 Sơ đổ chuntỉ hộ thỏns: phục vụ đám đôiiii .247 [.2, Phán loai dònu \ o 248 1.3 Kcnh phục \-ụ 249 ] ,4, Pháiì loai hệ thốim phục \ ự 230 1.5, Tiạn>z thái cua hc ihốiiỊ: 250 1.6 Các tiêu chuán chất lươne cua hệ Ihốnia phục vụ đám đ ô n u 254 §2 Hệ thống phục vụ đám đởii” có tù chối cổ điển (hệ thống E r la n g ) .255 Mỏ tci hô thỏnt: 25S 2.2 Quií t r ì n h i h a ) đ ổi í r a n e Ihái \ SO' d ổ I r n e llìái 2.3 Hệ phương trình trạns Ihái 2SS xác suâì trạne t h i 56 hc ih ốnii 2.4 Các chi liêu đánh giá hoạt độnsi cua hệ l l i ỏ n g 257 §3 Hệ thòng chừ vói độ dài hàiig chò thòi gian chò hạn c h ế 260 3.1 Mô la hè thõìi” 260 3.2 Quii irình thay đối trạnn thái \ S(TÍ (lồ ti-ạiis: thái hộ t l i õ n e 2(i \'à xác sLiàt Irạiiu t h i 62 Câu hỏi ón tập chưưng I V 268 TÀI LIỆU THAM K H Ả O 269 3.3 ỉiê phương trình trạnỵ lliáí LỜI NÓI ĐẦU ' ĩroiìii k h o n e lìăni ỉ r ó lại cla\ Uìa;t loc đ ã p h t I r i cn rat m n h d ã d ọ v p úụn^j iìiỏl c c h r ộ n u rài \ tlìLiạ l \'à \í\0 hâu hốt h o tđ ộ ỉìu cua sau Ciìn sac \ lIo kiiili íê v o kl i oa h ọ c k ỹ Ỉ ILI UU' ì'ừ đỏ iìì Iiẩ \ s in h ca m ộ l iìLiaiih Ukíỉì Iìoc m ó i '[\niii ki ii h lỏ ^ • T o n k i n h lè i n ộ t c ỏ i i e c u qiiaii Iroiiii \ I nci CLII12 c ấ p p h i a í i m p h p l u ậ n , Ịiluroni: pháp inò hinh hoá phưoìii^ |)li,í|' lính toán tối ưu Do dỏ, k h ô iiiỉ nliữ ni: ià cổim CỊI dẽ tư \'é dịnh tính 11:à c;i d ịn li lirợ iii’ tiiú p iziai C | u \ ê t c c \' â n d c m ộ t c ú c h c ó hiỌu cỊua V i ộ c l â p kc' h o c h Ịihál \ u a ì xã hội ván đc quan I r i ế n kiiili tc \ \ i i ' j n i i ” c a o h i ệ u q u c u a s n Irọni: cua haì kv 111(111|UỐC nia Để giai toì c c v â n đ ê d ó Ihì p h a i k l i ó n i i Iiiiừn>: h o n lìiKMi L,K' p h ư n t i p h p đ i c k h i ổ n qu;iii lý \ đáv nhanli lốc đỏ ticìi bo khoa ÌÌOƠ kv lịuuìl thực hiộn biện pháp k l m a h ọ c LX) b ủn l ì o o i i trình ció (tÌL'u quan li'ọn,” tlau ík n hì phái xãy clụìii: đu'ực ino hình UKÍn học từ Ihuv licn san \u a l \ kinh cidunlì tlịch vụ piioiig phú da daiig IIÕU Icii ihàiih liai U),iii S (4.2) h,(x) i= l,2 , ,m = j= l,2 , ,p (4.3) T rong m ộ t h m f(x), {g,(x)Ị {hj(x)Ị phi tuyến Trong m ột số trường hợp, ràng buộc đẳng thức, bất đ ẳn s thức < c h u y ê n v ề bất đ ẳ n g thức > b ằ n o c c h n h â n hai v ế với ( - 1) N ế u toán có d ng (4.1), la có loán qu v ho ạch phi tuyến k h ô n s ràn g buộc Có n h ữ n g ta gặp toán dạníi n h sau: f(x ); X e M M = {x e D I gi(x) > 0; hj(x) = 0; Vi = m; Vj = 1, , pỊ (4 ) (4.5) D tập lồi tro ng R" Nếu h m f(x), { g i ( x ) Ị hị(x)Ị n hữ ng h m lồi ta có q u y hoạ ch lồi, trườníỉ h ọ p riêng quan trọníi cúa qu y h o ch phi tuvến N ế u h m f(x) m ộ t d n g toàn phư ơng, cúc ràim buộc tu y ến lính la có q u v hoạ ch toàn phương lại trường hợp riêng c ủ a q u y h o c h lồi Nhiều người ta biến đối toán có ràri2 b u ộ c toán k h ô n g có ràn g buộc bằ ng c ách d ù n g m ộ t h àm bổ Irợ H m bổ trợ biểu d i ễ n q u a h m số toán thân n ó trỏ' thành h m m ụ c tiêu có c c cực tiểu k h ô n g điều kiện m ột m iề n n o Noười ta th av đổi dần t h ô n s số c h í n h b n g c c h đ ó l m t ă n g ả n h h n í^ỉ c ủ a c c r n gcr b u ô.c l ê n h m b ổ 70 trơ v n h người ta x â y d ự n g dãy hài toán k h ô n g có r àn g buộc m n g h i ệ m c ủ a c h ú n g hội tụ đ ế n ng h iệm loán xuất phát Đ ể đơn giản, ta nêu tư tưởng c b ả n m ộ t c ách hình thức Xét toán: m i n f(x); X € R" (4.6) g ,(x )> (4.7) i= l,2 „ „ m H m bổ trợ đ iển hìn h k h ô n a có ràng buộc có thê viết dạng; (p[x,A.(t)] = f ( x ) + ^ Ầ , ( t ) G [ g , ( x ) ' 1-1 t = thông số, (X,(t)} hệ số trọng G ( y ) h m đ n đ i ệ u theo y m ý nghĩa k h tốt y = T h n g G (y) c h ọn cho: G(y) > với y < G(y) = với y > G(y) -^ + 00 y -^ + P h é p c h ọ n đ ầ u tiên t h ườ n g liên quan đến thủ tục ràng buộc c h ỉ thoả m ã n đố i với n g h i ệ m tối ưu lìm được, nghĩa tận c ù n ? trình T r o n g m ộ t c c h c h ọ n khác đòi hỏi ràn« buộc h o n thành tro n g tiến trình c ủ a q u trình T r o n g m ộ t số lớn trư no hợp, phươim Ịiháp diẻn tả sau: • C h ọ n dãy Ị t J c h o > c ủ a hàin (p[x, Ầ (t J] k = , , ■>' Trong các' k X: T ín h đ iể m cực tiểu x*" (liều kiện tươníĩ ứng x'‘ tồn ểm tối thiể u k h ỏ n ụ điều kiện ciía hani (pỊx, Ằ(tJ] v ề imuyè n tắc nh ận được; l i m x ^ = X * t r o n g đ ó X* n g h i ệ m c ù a b i t o n ( ) , ( ) P h n g p h p c c n h â n tử Laíĩransc, áp dụim c h o toán ràng buộc đẳng thức: f(x) (4.8) 171 hj(x) = , j = , , m (4.9) Đây phương pháp biến đổi toán (4.8), (4.9) toán ràng buộc Dễ thấy phép biến đổi thực cách đơn giản cách đặt A.i(t) = (hằng số) G(y) = y (p[x, Như phưcfng pháp nhân tử Lagrange cổ điển thí dụ cổ điển phương pháp hàm bổ trợ không ràng buộc 4.2 Nghiệm tối ưu Đ ể cho gọn ta viết toán dạng; (f(x) I X G MỊ M ột điểm X* thoả mãn: f(x‘) < f(x), V x e M gọi nghiệm tối ưu toàn cục toán Một điểm X mà tồn lân cận f ( x ) < f(x), Vx e w cho: w gọi nghiệm tối uu cục (địa phương) Khi toán quy hoạch lồi, nghĩa hàm mục tiêu hàm ràng buộc hàm lồi cực tiểu địa phương cực tiểu toàn cục Điều không cho trường hợp tổng quát M ột toán gọi đa cực trị có nhiều điểm cực tiểu địa phương với giá trị khác hàm mục tiêu Khác với toán tuyến tính toán quy hoạch lồi, toán QHPT tổng quát, miền ràng buộc không lồi, có vô hạn đỉnh, hàm mục tiêu đạt cực trị biên mà miền ràng buộc có số cực trị địa phưcfng Các nguyên nhân cắt nghĩa cho việc không tồn phương pháp chung cho phép giải toán QHPT Nhưng mặt khác QHPT lại mở rộng nhiều khả đặt toán kỹ thuật kinh tế thực tiễn Tiêu chuẩn toán kế hoạch hoá tối ưu thường làm cực đại lợi nhuận, cực tiểu giá thành, cực tiểu chi phí 172 biến biểu thị khối lượng sản xuất ỈOịu sai ph.ỉ.m khác Trong sô' ràng buộc có đưa vào hàm sán xuất đãc inHìg chiO liên hệ sản p h ẩ m c h i p h í n hân lực, vật liệ u m k h ô i ỈLíỢiig cua cbiúng c h ỉ c ó h ạn Đ ể g iả i toán phưưim pháp c QHTT thông thường ta phải giả thiết lợi nhuận, giá thành, chi phí taản cho đơn vị sản phẩm, chi phí riêng loại tài nguvên xét số, không phụ thuộc vào khối lượng sản xuất Giá thièi nhir nhiều trường hợp đơn giản mức Trong thực tế giá thành d o (với giá không đổi) tiền lãi đơn vị sản phẩm không với khối lượng sản xuất khác Tăng sản lượng sản phẩm thường cho phép giảm giá thành Chi phí riêng chừng mực định phụ thuộc vào khả sản xuất Đưa phụ thuộc vào toán kê hoạch hoá tối ưu làm cho hàm mục tiêu trở nên phi tuyên Với quy m ô sản xuất khác nhau, chi phí lao động, vể tài sản cố định, vật liệu, nháên liệu, điện tính cho đơn vị sản phẩm bao eiò' hằing số Điều nói íên cần thiết phải đưa hệ thức phi luyến \ hệ ràng buộc toán kinh tế giải vậy, việc phân tích tổng quát vấn đề kế hoạch hoá tối uu xác nhận V nghĩa thực tiền phươtng pháp QHPT 4.3 Phân íoại phương pháp giải QHPT Có nhiều phương pháp giải QHPT nèn ta cần phán loại chúng Có thể chia nhóm giải sau (để dễ lập luận ta giá sử xét ioán 'min f(x)) 1) Các phương pháp gradien: trons trường hợp toán ràng buộc phương pháp gradien nhà toán liọc Pháp Côsi nêu Đ ối với trường hợp chung thực chất phương pháị) Iihư sau Ta biết gradien c ủ a h m m ụ c tiê u f ( x ) phương án X vecto^’ n ằ m tro n g hư ớng tăng cục f(x) Vậy phải chuyển động theo hướng nẹược với hướng gradien f(x), nghĩa theo hướng Ìảm nhanh nhái 1'rén hiiớng ta đi, chừng hàm mục tiêu chưa tăng Sau tìm diểm mớii ta lại tìm hướng 2) Phương pháp hướng chấp nhận đươc: ihưc chát phương pháp đối v i m ỗ i đ i ể m X t h u ộ c m i ề n r n g b u ộ c c ó t h ế tổn ni(ột t ậ p h n g c h ấ p n h ậ n Chọn trorm hướna cháp nhận đư(Jc mà theo hàm mục tiêu eiảm khôna khỏi miền ràiie buòc 73 3) Phương pháp hàm phạt: thực chất phương pháp là; biến đổi toán phi tuyến có ràng buộc thành dãy toán ràng buộc Cụ thể thay hàm f(x) cách thêm vào nhữns hàm trọng số (toàn phần thêm gọi hàm phạt) cho điểm X mà chừng mực thoả mãn ràng buộc giá trị hàm phạt bé vàsao cho: f(x) -> f(x)* X X* Khi dùng phương pháp hàm phạt giữ vững mối điều hoà ràng buộc hàm trọng số mà ta đạt hiệu tối ưu lớn 4) Phương pháp tổ hợp tìm kiếm ngẫu nhiên Hoặc nêu tất phưomg án, tìm tiêu chuẩn bỏ bớt số phương án mà chắn chúng không cho nghiệm Thay việc giải toán phi tuyến trình ngẫu nhiên theo kiểu xích Markov dùng phương pháp Monter - Carlo (phưcmg pháp thống kê) 5) Phương pháp cực tiểu hoá hàm lõm - Phương pháp cắt phương pháp chia nón - Phương pháp xấp xỉ 6) Quy hoạch lồi đảo Xét trường hợp miền ràng buộc D bị khoét; X e D\int c (C lồi) 7) Phương pháp chuyển toán quy hoạch D c Cơ sở phương pháp xét hàm liên tục f(x); M —> R biểu diễn thành hiệu hàm lồi M, gọi hàm D c Một quy hoạch D c toán cực trị có dạng: min{f(x): X e D; gi(x) < 0; i = l,m } D tập lồi đóng R" f, g, (i = 1, m ) hàm D c 4.4 Quy hoạch phi tuyến tổng quát điểu khiển tối ưu Điều khiển tối ưu chuyên ngành Điều khiển tự động có vai trò xác định tạo lập luật điều khiển cho hệ thống để hệ thống đạt 174 tiêu tính hiệu định trước dạng (phiếm) hàm mục tiêu Q Lĩnh vực nghiên cứu ứng dụng điổu khiển tối ưu không riêng hệ thống kỹ thuật nià tìm thấy hầu h ết hệ thống kỹ thuật khác hệ sinh học, kinh t ế Có nhiều lý thuyết toán học khác hỗ trợ tốt cho việc giải toán tối ưu, song thực tế toán tối ưu cho hệ thống kỹ thuật lý thuyết mà thuật toán tối ưu cài đặt trực tiếp gián tiếp máy tính 4.4.1 NhCtig điều kiện điều khiển uv 1) M ô h ì n h h ệ t h ố n g Cho đến tính chất hệ thống kỹ thuật thường mô tả quan hệ - Các tín hiệu vào U|, U2 , , u= mà thường viết dạng vector gọi vector tín hiệu điều khiển / \ y - Các tín hiệu Yi, y?,- • Ys có dạng vecior y = / - tín hiệu trạng thái X|, x^, X \ X,J viết dạng vector X - Nếu biểu diễn quan hệ dạng “khối” hệ thống điều u, khiển kỹ thuật mô tả hình 4.1 Bài toán tối ưu thực m ô hình hệ thống lời giải u phụ thuộc vào độ xác m ô hình Hình 4.1 Mô tả m ột hệ thống kỹ thuật 175 2) Cấc điều kiện kỹ thuật Những tín hiệu vào hay trạng thái mà mô tả quan hệ coi nhiễu (ký hiệu tác động lên hệ thống Nguồn nhiễu từ vào hộ thống song sinh bên hệ thống Đối với toán tối un thường giả thiết; a) Có mô hình toán học mô tả quan hệ vào - - trạng thái hệ thống b) Có điéu kiện biên mô điểm làm việc, thời gian làm việc hệ thống c) Miển giá trị cho phép tín hiệu vào u, ký hiệu u gọi miền giá trị điều khiển thích hợp, ví dụ: / u u = u= d) \ u m in Hàm mục tiêu mô tả tính hiệu mà hệ thống cần đạt lời giải toán tối un với mô hình hệ thống sử dụng mà không mang tính thời gian thực 4.4.2 Điểu khiển tối uu tĩnh động Hai lớp toán tối ưu tĩnh động hình thành sờ sử dụng hai dạng mô hình khác hệ thống, mô hình tĩnh mô hình động Mô hình tĩnh mô tả hệ thống làm việc trạng thái cân bằng, ví dụ mô hình động chế độ chạy đều, mô hình nhà máy điện trạng thái sản xuất điện ổn định Ngược lại mô hình động mô tả chuyển trạng thái hệ thống từ chế độ sang chế độ khác tức mô tả trình độ, ví dụ mô hình tên lửa bay vào quỹ đạo, mô hình nhà máy điện ch ế độ tắt bật máy phát điện Bài toán ưu tĩnh Tại điểm làm việc cân bằng, giá trị trạng thái không thay đổi néii xem tham số mô hình Do mô hình tĩnh biểu diễn quan hệ vào - hệ thốns có dạns hệ phươns trình đại số; 176 Yk = f k ( U | , , i g VỚI k = s hay vici cọn thành y = f(u) y = (V|, y y.i u u„) Hà m m ục liêu c h o loán điều khicii lối ưu únu với rnô h ìn h lĩnh m ột h m chi phụ thuộc vào hai vector u y sau: Q - Q(u, y), ĐiỂu khiển b a o cũnsi nhăin đạt tới mót mục tiêu n o Người ta thường xây dưng p h iế m hàm m ụ c tiêu Phiếm hàm m ộ t m ặ t ph ụ thuộc vào c i } hệ th ố n g q u y ế t đ ịn h u, C V lại phụ ĩ.huộc vào c i o u diễn tả trên, vấn đề tìm điều khiển U cho daí cực trị Q(u, y) (max) _y = f(u) Đ â y toán lối ưu hoá ta quan lãm tỚ!í trườ ng hợ p phi tuyến Bài toán tối ưu động M ô hình đ ộ n g m ô tả c h u y ể n irạníỉ thái cua inột hệ t h ố n g từ c h ế đ ộ sa ng c h ế độ khác đương n hiên phụ ycu tô thời gian t (liên tục rời rạc) M ô hình đ ộ n g chứa vector biến (rạna ihái x(t) N ó bao g m thành phần: phần vi phân phần đại s ố nh sau: x(l) = y[x(t), u(t)] - hàm chuyến trạng với điêu kión b.an đđu x(0) = X(), t = 0,T y(t) = h[x(t), u(t)] - hàm Vấn đé cần xác định dày tíiì hiệu iliểu ktìiui Lii 1), l = ,T cho đạt cực tiểu ph iếm h m sau: |-'r Q (u) = s[x(T) + J(l F x ( t ) ,u n j d t m i n L -1 - Nề n tảng lý thuyết sở cho toán điêu khiêm tối ưu động phương pháp biến phân với dạng phát triển quy hoach đóng Bellman nguyên lý cực đại Pontriagin - Gần Viện sĩ Nga Evtusenko chuvển việc giải toán điều khiển tối ưu động QHPT 177 BÀI TẬP CHƯƠNG VII Cực tiểu hoá hàm f(x) = X^I + x“2 bằngphưoỉng pháp gradien, với điểm xuất phát x” = (2, 2) Cực tiểu hoá hàm + XjX2 - f(x) = phương pháp Newton với điểm xuất phát x” = (1, 1) Cực tiểu hoá hàm: f ( x ) = X”, + x^2 ~ phương pháp gradien liên hợp, với điểm xuất phát x“ = (4, 4) Bắt đầu từ điểm x'' = (1, - , 3) xác định phương pháp Gradien, Newton Gradien liên hợp cho hàm mục tiêu sau: a) f ( x ) = X^I + X", + X", b) f(x ) = x “| + X|X_ + x", + X, c ) e x p ( x ‘ | + x ^2 “ ^3 - X] + ) Tối thiểu hoá hàm sau, điểm; x"” = (2 ; - ,5 ; 2; - ,5 ) a) í(x) = X'| + x \ + x ’, + X'"., b) f(x ) = (X| - X ) - + ( x , * X , ) ’ c) f ( x ) = x ', + Ầ2 + x ’;, 4- X., + l ỏ x v x , + X “,X;, + X‘ 3X.4t “ T i m đ iểm cực tiểu điổrn cực đại h m số: f(x) = 20 + 0,3X| “ X2 + 0,3x"| + , x ', + 0,4X|X, phươnơ pháp: - Tim kiếm trực tiếp, tìm kiếm theo đa diện biến dạng \'à phương pháp Rosenbrock 178 Bắl đầu điểm: a) x ‘"' = [0,25; 2,55 J b) = [2,5; 2,5] c) - [-0,25; -2 ,5 Giải phương pháp hàm phạt hàm chắn toán sau: f(x) = 4X| - x ’ - 12 với ràng buộc: gi(x)= 10 X| -X, + 10 x , -X3 - >C) g2(x) = x, > >0 g , ( x ) = X, chọn điểm xuất phát x"'* = [2; Giải phưcmg pháp gradien: 3)' f ( x ) = (X| - + (x , - )” - > m in vớ i ràn g buộc; '2 x ,-x ^ -l> - , 8x điểm xuất phát " - >(X|X, 2xỉ > )>0 = (1,1) Giải phương pháp phân từ La;jiarú',ù; X|X2 - > m i n với ràng buộc: g|(x) = 25 - x ’| - x \ > {) 10 Giải q u y hoạch lồi với ràn« buộc tuyén tính: f ( x ) = - X | + x ' , - X| X, + 2x \ g,(x) = -x , + x , - < g (x) = x , - < XpX, < 179 11 Giải quy hoạch toàn phương: f(x ) = -6 X | + X, H -x , 2x \ - X | X + 2x'2 [...]... hình toán học: (2.4) í=l 1= 1 với các điều kiện sau: - = a , , i = l,m (2.5) = b , , j = l,n ( 2 6 ) J=! 1- 1 X , J > 0, i = l, m j = l,n , (2.7) Ngoài ra còn điều kiện cân bằng thu phát: 11 n ì (2.8) i=i j-i Có thể chứng minh điều kiện cân bằng ihii - phát như sau: - Lấy tổng 2 v ế của (2.5) theo i = l,m : n i n 1= 1 J=I n ì (2 5)’ 1= 1 Lấy tổng 2 vế của (2.6) theo j = 1, n : 19 n in II 6) 1= 1 1- 1 1= 1... luận ta xét bài toán tìm cực đại, sau đó ta xét cách chuyển bài toán tìm cực tiểu sang lìm cực đại Bài toán tổno quát của Q H T T có dạim: iì max (1. 1) II = > ) b (1. 2) 1 11 I I D X, > 0 j = 1 n (1. 3) Nèu uập bài toán (mi n) tức là: 1^ l'íx) = £ c , x , miii (1. 4) ; I Xe D (1. 5) thì giữ imuyên rùiiíi buọc la đua nó \é dang Ixií toán (max) f(x) = ^ ỷ c :v X in ax ( 1 6 ) Xe D (1. 7) Nếu bài toán (m ax)... tỏiưu là x ’thì bài toán (min) cũng có 1' Thật vậy, vì X* là phương án tối ưu cuabàitoaii(max) i! II fm.x = V x e L) 1- 1 ' i-l Chứnu tó 1- ! 1- 1 là phưoìi0,j=l.n (1. 11) Dạng chính tắc:... ^CịX|^m ax ti (1. 12) V a MX .1- = b ' i = I Lm 1- 1 (1. 13) X > 0 , J - Kn ( 1 1 4 ) 1, 3 Đưa Q H TT vế dạng chuẩn hoặc dạng chính tắc Bất kỳ Q H 1 T nào c ũ n s có thê đưa vé mội tr on” hai d'ảnz chuẩn hoặc chính tắc nhờ các phép biến đổi tuyến tính sau: n ”■ Mòt ràn p buổc ^ V • /- II J a X >b l Ị i c ó thể đưa vổ rà n a b u ô c I 1_ / ^ a X < “ b 1, 1 J |-:-l 1 1-! băng^ cách nhân 2 vế với ( ~ 1 ), và vict... hiệu: ' 1, nếu c ô n í nahệ j được sứ dựng cho dơn vị i LO, nếu imưực lại c,|: ticn lãi thu được cua cõng Iighệ I i;h() (t(ĩn VỊ 1 lượnsí yếu tố san xuất loại k nèu sử dutii,; công nahệ j cho đơn vị i Hãy chọn các công Iiíĩhộ cho các đcrn vị san yaiất sao cho tổng tién lãi là lớn nhất 11 1 [1 max Đ ây là bài toán 1- 1 1- 1 ni n _ Q uy hoạch nguyên biến logic 1- 1 r-l 21 J=I X,J> 0 , X,J e (0 .1} i = ĩ... ihực hành đế giải quyết các vấn đề nêu trên nãm trong môn học 1 oi ưu hóa ha\ còn gọi là Quy hoạch toán học 1. 1 Bài toán tối UXỈ hóa tổng quát Bài loán tói ưu hóa lổna quát được p h aỉ biéu Iihư sau: Cực đại hóa (cưc ticu hóa) hàm; i ' ( x ) m a x (rniii) (1- 1) Với các dicLi kiện: g,(x) () b, i = Km (1. 2) xeX cR " (1. 3) Bài toán (1. 1) (1. 3) dirực ízọi ià mộl cỊuỵ hoạch, hàm f(x) được gọi là h à... tổng giá trị đồ vật đem theo là lớn nhất Ký hiệu X, là số đồ vật loại j sẽ chái vào túi Ta có bài toán sau: í ” ^ c.x 1 —)• max (2.9) 1- 1 (2 .10 ) i a , x ^ < b 1= ! Xj (2 .11 ) > 0, j = Kn V > nguyên, j = l, n (2 .12 ) Đây là bài loán quy hoạch nguyên 2.2.4 Bài toán về khẩu phẩn thức ăn Cần phải xây dựng k h ẩ u phần thức ăn từ n loại thực phẩm với đơn giá cho trước sao cho đ ảm bảo được yêu cầu về m loại chất... ihuật toán lốt và kỹ (huạt lạp 11 'iiih thì nuười la có ihc >:i;ii đuọ’c các bài toán thực tế cờ lớn, phức tạp Phần I bao cồm 5 chưoiiti: Chu''n;^ / Bài toán tối ưu hóa tòiiii quát \'à các \ ’ấn đổ cơ scV Cliiừin:^ // Quv hoạch tu) cn tính Cliiíoiì'^ m Bài loán vận lai ChiừUi'^ IV Q u \ ’ hoạch độni’ Clìiio '11 ^ \ \ Quv hoạch phi tuvến Co' sớ cua các phươne pháp được trình hàv tiỗ hiểu, các ihuạl toán. .. trữ cho năm t Ta có mỏ hình toán học sau: - a^X |(t))Xj(l) min (2 .13 ) 1= ! ịx ,(t)> B (t),t= ĨT (2 .14 ) j_ | 22 ị r , ( t ) x , ( t ) = A (t),l = ĩ 7 f (2 .13 ) x / t ) - x , ( t + l ) < 0 , j = l.n,t = K T - I (2 .16 ) 0 < x , ( t ) < x,(t) (2 .17 ) ^ C j X , ( t ) < B(t).t = Ĩ , T (2 .18 ) I 1 Đây là bài toán quy hoạch phi lu \cn §3 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ TỪ ĐẠI số Trong các phần sau cứa cuốn sách này... có trong khẩu phần; c,; giá một đơn vị thực phẩrn loại j; (i = l , m , j = l , n ) Gọi X: là lượna thực phẩm loại j tronạ khẩu phần (j = 1, 11) Mô hình toán học của bài toán có dạna: 20 Tim cực tiểu cua hàm S(5: X —> l ì ì l ỉ ì | i Với điều kiện rn l=-l X: > 0 Thônơ ihườníỉ tronsỉ bài toán này còn xéi thêm điều kiện về tổng khối lượnơ cùa khâu phần, chẳn« hạn: X x,< w j-l 2.2.5 Bài toán phân bô vốn ... 18 1 PHẦN II MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ MỞ Đ Ầ U 18 5 Chương I MÔ HÌNH KINH TỂ VÀ MÔ HÌNH TOÁN KINH T Ể 18 7 § M ỏ hình kinh t ê 18 7 1. 1 Mô hình kinh tế lớn (m acro) 18 7... i-ỉ 33 y II l-l _ a„x, u I < b ' i = 1. 1m (1. 10) x>0,j=l.n (1. 11) Dạng tắc: ^CịX|^m ax ti (1. 12) V a MX .1- = b ' i = I Lm 1- 1 (1. 13) X > , J - Kn ( 1 ) 1, 3 Đưa Q H TT vế dạng chuẩn dạng tắc... san yaiất cho tổng tién lãi lớn 11 1 [1 max Đ ây toán 1- 1 1- 1 ni n _ Q uy hoạch nguyên biến logic 1- 1 r-l 21 J=I X,J> , X,J e (0 .1} i = ĩ m , j = l.n 2.2.6 Bài toán quy hoạch nguồn điện uu Cần