§2 Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ Chuỗi lũy thừa chuỗi có dạng ¥ ¥ n n å an ( x - x0 ) hay å an x n=0 n=0 a0, a1, a2, số Số hạng tổng quát un(x)=an(x-x0)n (1) un(x)=anxn (2) phụ thuộc vào n biến x, hàm lũy thừa theo x (x-x0) Ta đặt X=x-x0 đưa dạng (1) thành dạng (2) nên ta viết kết sau với số hạng tổng quát dạng (2) §2 Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ ¥ n Miền HT chuỗi lũy thừa å an x tập D n=1 ¥ n a x å " x = x0 Ỵ D chuỗi số n HT n=1 Ví dụ: Chuỗi ¥ n å x n=0 Là chuỗi cấp số nhân nên HT |x|1 Vậy MHT (-∞,-1)U(1,+ ∞) 2n §2 Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT ¥ Tổng qt: giả sử chuỗi lũy thừa å an x n n=1 ¥ å an x0 tức chuỗi số n n =1 HT x=x0, HT Theo đkccsht ta n n a x = Þ $ M > : a x < M, " n lim n n n đƠ Bin i s hng tng quỏt ca chui: n ổ n n ỗx ữ n an x = an x ỗ ữ = a x n ữ ỗ x ố 0ứ n n ổx ổx ữ ữ ỗ ỗ = vn, " n < M ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗx0 ứ ỗx0 ứ ố ố Ơ Nu |x||x1| n Bán kính hội tụ (BKHT): ¥ Số R>0 cho chuỗi å an x n HT với x: |x|R gọi BKHT chuỗi §2 Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT Cách tìm BKHT chuỗi lũy thừa élim n | a | n ờnđƠ R= Thỡ BKHT l r =ờ t: | an+1 | r lim ờnđƠ ê ë | an | Cách tìm MHT chuỗi lũy thừa Sau tìm xong BKHT, ta cịn xét HT chuỗi điểm x=R x=-R có kết luận §2 Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT Ví dụ: Tìm BKHT, MHT chuỗi sau n ¥ ¥ x n å (nx ) å n n=1 n=1 n Với chuỗi lũy thừa này, ta có an=nn: r = lim n | an | = lim n = +Ơ ị R = nđƠ nđƠ BKHT R=0 tức MHT gồm điểm {0} 1 n n = Þ R =2 an = n Þ lim | an | = lim n 2 n đƠ n đƠ n n ¥ Khi x=2: å chuỗi số dương HT n=1 n ¥ (- 1)n Khi x=-2: å chuỗi HTTĐ n=1 n Vậy MHT [-2,2] §2 Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT Ví dụ: Tìm BKHT, MHT chuỗi: n n Ơ Ơ ổn +1 x 2n ữ ç å n å ç ( x - 1) ÷ n ÷ n=1 + n=1è2n - 1ø (n - 1)! x å n=1 5n ¥ n n! å n n n=1 n x ¥ Chuỗi lũy thừa với BKHT R=5, MHT (-5,5) 1 n an = n Þ lim | an | = lim n n = → R=5 n n n đƠ n đƠ + +5 ¥ (±5)n Khi x=± 5: å n Là chuỗi PK theo đkccsht n n=1 + Chú ý: Khi chuỗi số dương PK theo đkccsht chuỗi đan dấu tương ứng PK theo đkccsht §2 Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT ỉn +1 ön ÷ , X = ( x 1) ³ Chui ly tha vi an = ỗ ữ ç ÷ è2n - 1ø n ỉ n +1 ữ n n ỗ lim | an | = lim ỗ = R=2 ữ ữ nđƠ nđƠ ố2n - 1ứ Ơ ổn + ửn n ữ Ta ch xột X=2: ỗ Chui PK theo kccsht vỡ ữ ỗ ữ n=1ố2n - 1ứ n n - n- ỉ n ç ỉ ỉ ư3 ÷ 2n + 2ư ữ ỗ ữ ữ ữ ỗ un = ỗ = + n đ Ơ e ỗ uuuuuu r ữ ữ ữ ỗ ỗ 2n - 1ứ ữ ỗ ữ ữ ố2n - 1ứ ố ỗ ữ ç è ø Suy ra, chuỗi cho HT £ X < « £ ( x - 1)2 < « 1Vậy BKHT R=2, MHT: (1-√2, 1+√2) < x < 1+ §2 Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT (n - 1)! Chuỗi lũy thừa với an = 5n | an +1 | n! 5n n Þ lim = lim n +1 = lim = +Ơ R=0 n đƠ | an | n đƠ (n - 1)! nđƠ Vậy BKHT R=0, MHT {0} §2 Chuỗi Taylor - Maclaurint ∞ / ln(1 + x ) = ∑ (−1) n −1 x n n =1 ∞ n , D = ( −1,1] 2n +1 x / sin x = ∑ ( −1) (2n + 1)! n =0 n ∞ 2n x cos x = ∑ (−1)n (2n )! n =0 ∞ 2n +1 x / arctan x = ∑ ( −1)n , 2n + n =0 D=R D = ( −1,1) §2 Chuỗi Taylor - Maclaurint Ví dụ: Tìm chuỗi Maclaurint hàm: x f ( x ) = x - 5x + f ( x ) = ln(2 - x + x ) ỉ1 x ữ ỗ = x ữ ỗ ữ ốx - x - 2ø x - 5x + æ ữ ỗ n nử ổ ữ ỗ Ơ Ơ æö æö 1 1 x x ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ = x ỗ+ = x + ỗ ữ ç ÷ ÷ ÷ ç ÷ ÷ ç ç x x ÷ è ø è ø ÷ 3 2 ỗ n =0 n =0 ỗ ố ứ ữ 1 ỗ ữ ố ứ ¥ ỉ1 n +1 ÷ x Vậy: f ( x ) = ỗ MHT: (-2,2) ữ ỗ n + n + ÷ n =0 è2 ø f ( x ) = x x Chuỗi HT - < < - < < ↔ -2