ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com XÁC SUẤT & THỐNG KÊ ĐẠI HỌC PHÂN PHỐ PHỐI CHƯƠNG TRÌNH Số tiế tiết: 30 - PHẦN I LÝ THUYẾT XÁC SUẤT (Probability theory) Chương Xác suất Biến cố Chương Biến ngẫu nhiên Chương Phân phối Xác suất thơng dụng Chương Vector ngẫu nhiên Chương Định lý giới hạn Xác suất Đào Hữu Hồ – Xác suất Thống kê – NXB Khoa học & Kỹ thuật Đậu Thế Cấp – Xác suất Thống kê – Lý thuyết tập – NXB Giáo dục Phạm Xn Kiều – Giáo trình Xác suất Thống kê – NXB Giáo dục Nguyễn Cao Văn – Giáo trình Lý thuyết Xác suất & Thống kê – NXB Ktế Quốc dân F.M Dekking – A modern introduction to Probability and Statistics – Springer Publication (2005) Biên soạ soạn: ThS ThS Đồ Đồn Vương Ngun Download Slide giả giảng XSTK_ XSTK_ĐH dvntailieu.wordpress.com Chương Xác suấ suất Biế Biến cố • Những tượng mà thực điều kiện cho kết gọi tượng tất nhiên Chẳng hạn, đun nước điều kiện bình thường đến 1000C nước bốc hơi; người nhảy khỏi máy bay bay người rơi xuống tất nhiên • Những tượng mà cho dù thực điều kiện cho kết khác gọi tượng ngẫu nhiên Chẳng hạn, gieo hạt lúa điều kiện bình thường hạt lúa nảy mầm khơng nảy mầm Hiện tượng ngẫu nhiên đối tượng khảo sát lý thuyết xác suất Xác suất - Thống kê Đại học Saturday, October 01, 2011 PHẦN II LÝ THUYẾT THỐNG KÊ (Statistical theory) Chương Mẫu thống kê Ước lượng tham số Chương Kiểm định Giả thuyết Thống kê Chương Bài tốn Tương quan Hồi quy Tài liệu tham khảo Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Xác suất – Thống kê Ứng dụng – NXB Thống kê Đinh Ngọc Thanh – Giáo trình Xác suất Thống kê – ĐH Tơn Đức Thắng Tp.HCM Đặng Hùng Thắng – Bài tập Xác suất; Thống kê – NXB Giáo dục Lê Sĩ Đồng – Xác suất – Thống kê Ứng dụng – NXB Giáo dục PHẦN I LÝ THUYẾT XÁC SUẤT (Probability theory) Chương XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ §1 Biến cố ngẫu nhiên §2 Xác suất biến cố §3 Cơng thức tính xác suất ………………………………………………………………………… §1 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN 1.1 Hiện tượng ngẫu nhiên Người ta chia tượng xảy đời sống hàng thành hai loại: tất nhiên ngẫu nhiên Chương Xác suấ suất Biế Biến cố 1.2 Phép thử biến cố • Để quan sát tượng ngẫu nhiên, người ta cho tượng xuất nhiều lần Việc thực quan sát tượng ngẫu nhiên đó, để xem tượng có xảy hay khơng gọi phép thử (test) • Khi thực phép thử, ta khơng thể dự đốn kết xảy Tuy nhiên, ta liệt kê tất kết xảy Tập hợp tất kết xảy phép thử gọi khơng gian mẫu phép thử Ký hiệu Ω ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Chương Xác suấ suất Biế Biến cố Mỗi phần tử ω ∈ Ω gọi biến cố sơ cấp Mỗi tập A ⊂ Ω gọi biến cố (events) VD Xét sinh viên thi hết mơn XSTK, hành động sinh viên phép thử Tập hợp tất điểm số: Ω = {0; 0, 5; 1; 1, 5; ; 9, 5; 10} mà sinh viên đạt khơng gian mẫu Các phần tử: ω1 = ∈ Ω , ω2 = 0, ∈ Ω,…, ω21 = 10 ∈ Ω biến cố sơ cấp Các tập Ω : Chương Xác suấ suất Biế Biến cố 1.3 Quan hệ biến cố a) Quan hệ tương đương Trong phép thử, biến cố A gọi kéo theo biến cố B A xảy B xảy Ký hiệu A ⊂ B Hai biến cố A B gọi tương đương với A ⊂ B B ⊂ A Ký hiệu A = B VD Quan sát gà mái đẻ trứng ngày Gọi Ai : “có i gà mái đẻ trứng ngày”, i = 0, A: “có gà mái đẻ trứng ngày” B : “có nhiều gà mái đẻ trứng ngày” Khi đó, ta có: A3 ⊂ B , A2 ⊄ B , B ⊂ A A = B Chương Xác suấ suất Biế Biến cố Khi đó, ta có: A = A1 ∪ A2 B = A1 ∩ A2 VD Xét phép thử gieo hai hạt lúa Gọi N i : “hạt lúa thứ i nảy mầm”; K i : “hạt lúa thứ i khơng nảy mầm” (i = 1, 2); A : “có hạt lúa nảy mầm” Khi đó, khơng gian mẫu phép thử là: Ω = {K1K ; N 1K ; K1N ; N 1N } Các biến cố tích sau biến cố sơ cấp: ω1 = K1K 2, ω2 = N 1K 2, ω3 = K1N , ω4 = N 1N Biến cố A khơng phải sơ cấp A = N 1K ∪ K1N Xác suất - Thống kê Đại học Saturday, October 01, 2011 Chương Xác suấ suất Biế Biến cố A = {4; 4, 5; ; 10} , B = {0; 0, 5; ; 3, 5} ,… biến cố Các biến cố A, B phát biểu lại là: A : “sinh viên thi đạt mơn XSTK”; B : “sinh viên thi hỏng mơn XSTK” • Trong phép thử, biến cố mà chắn xảy gọi biến cố chắn Ký hiệu Ω Biến cố khơng thể xảy gọi biến cố rỗng Ký hiệu ∅ VD Từ nhóm có nam nữ, ta chọn ngẫu nhiên người Khi đó, biến cố “chọn nam” chắn; biến cố “chọn người nữ” rỗng Chương Xác suấ suất Biế Biến cố b) Tổng tích hai biến cố • Tổng hai biến cố A B biến cố, biến cố xảy A xảy hay B xảy phép thử (ít hai biến cố xảy ra) Ký hiệu A ∪ B hay A + B • Tích hai biến cố A B biến cố, biến cố xảy A B xảy phép thử Ký hiệu A ∩ B hay AB VD Một người thợ săn bắn hai viên đạn vào thú thú chết bị trúng hai viên đạn Gọi Ai : “viên đạn thứ i trúng thú” (i = 1, 2); A : “con thú bị trúng đạn”; B : “con thú bị chết” Chương Xác suấ suất Biế Biến cố c) Biến cố đối lập Trong phép thử, biến cố A gọi biến cố đối lập (hay biến cố bù) biến cố A A xảy A khơng xảy ngược lại, A khơng xảy A xảy Vậy ta có: A = Ω \ A VD Từ lơ hàng chứa 12 phẩm phế phẩm, người ta chọn ngẫu nhiên 15 sản phẩm Gọi Ai : “chọn i phẩm”, i = 9,10,11,12 Ta có khơng gian mẫu là: Ω = A9 ∪ A10 ∪ A11 ∪ A12 , A10 = Ω \ A10 = A9 ∪ A11 ∪ A12 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 01, 2011 Chương Xác suấ suất Biế Biến cố Chương Xác suấ suất Biế Biến cố 1.4 Hệ đầy đủ biến cố a) Hai biến cố xung khắc Hai biến cố A B gọi xung khắc với phép thử A B khơng xảy b) Hệ đầy đủ biến cố Trong phép thử, họ gồm n biến cố {Ai } , i = 1, n VD Hai sinh viên A B thi mơn XSTK Gọi A : “sinh viên A thi đỗ”; B : “chỉ có sinh viên B thi đỗ”; C : “chỉ có sinh viên thi đỗ” 1) Ai ∩ Aj = ∅, ∀ i ≠ j 2) A1 ∪ A2 ∪ ∪ An = Ω gọi hệ đầy đủ có biến cố Ai , i0 ∈ {1; 2; ; n } họ xảy Nghĩa là: Khi đó, A B xung khắc; B C khơng xung khắc Chú ý Trong VD 7, A B xung khắc khơng đối lập VD Trộn lẫn bao lúa vào bốc hạt Gọi Ai : “hạt lúa bốc bao thứ i ”, i = 1, Khi đó, hệ {A1; A2 ; A3 ; A4 } đầy đủ Chú ý Trong phép thử, hệ {A; A} đầy đủ với A tùy ý …………………………………………………………………………………… Chương Xác suấ suất Biế Biến cố §2 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Quan sát biến cố phép thử, khơng thể khẳng định biến cố có xảy hay khơng người ta đốn khả xảy biến cố hay nhiều Khả xảy khách quan biến cố gọi xác suất (probability) biến cố Xác suất biến cố A, ký hiệu P (A), định nghĩa nhiều dạng sau: dạng cổ điển; dạng thống kê; dạng tiên đề Kolmogorov; dạng hình học Chương Xác suấ suất Biế Biến cố VD Từ hộp chứa sản phẩm tốt phế phẩm người ta chọn ngẫu nhiên sản phẩm Tính xác suất để có: 1) sản phẩm tốt; 2) phế phẩm VD Tại bệnh viện có 50 người chờ kết khám bệnh Trong có 12 người chờ kết nội soi, 15 người chờ kết siêu âm, người chờ kết nội soi siêu âm Gọi tên ngẫu nhiên người 50 người này, tính xác suất gọi người chờ kết nội soi siêu âm? Xác suất - Thống kê Đại học Chương Xác suấ suất Biế Biến cố 2.1 Định nghĩa xác suất dạng cổ điển Xét phép thử với khơng gian mẫu Ω = {ω1; ; ωn } biến cố A ⊂ Ω có k phần tử Nếu n biến cố sơ cấp có khả xảy (đồng khả năng) xác suất biến cố A định nghĩa là: P (A) = Số trường hợp A xảy k = Số trường hợp xảy n VD Một cơng ty cần tuyển hai nhân viên Có người nữ người nam nộp đơn ngẫu nhiên (khả trúng tuyển người nhau) Tính xác suất để: 1) hai người trúng tuyển nữ; 2) có người nữ trúng tuyển Chương Xác suấ suất Biế Biến cố 2.2 Định nghĩa xác suất dạng thống kê • Nếu thực phép thử n lần, thấy có k k lần biến cố A xuất tỉ số gọi tần n suất biến cố A • Khi n thay đổi, tần suất thay đổi theo ln k dao động quanh số cố định p = lim n →∞ n • Số p cố định gọi xác suất biến cố A theo nghĩa thống kê k Trong thực tế, n đủ lớn P (A) ≈ n ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Chương Xác suấ suất Biế Biến cố VD • Pearson gieo đồng tiền cân đối, đồng chất 12.000 lần thấy có 6.019 lần xuất mặt sấp (tần suất 0,5016); gieo 24.000 lần thấy có 12.012 lần xuất mặt sấp (tần suất 0,5005) • Laplace nghiên cứu tỉ lệ sinh trai – gái London, Petecbua Berlin 10 năm đưa tần suất sinh bé gái 21/43 • Cramer nghiên cứu tỉ lệ sinh trai – gái Thụy Điển năm 1935 kết có 42.591 bé gái sinh tổng số 88.273 trẻ sơ sinh, tần suất 0,4825 Chương Xác suấ suất Biế Biến cố VD Tìm xác suất điểm M rơi vào hình tròn nội tiếp tam giác có cạnh cm Giải Gọi A: “điểm M rơi vào hình tròn nội tiếp” Diện tích tam giác là: 22 dt(Ω) = = cm Bán kính hình tròn là: 3 r= = cm 3  2 π π   ⇒ dt(S ) = π   = ⇒ P (A) = = 0, 6046   3 Chương Xác suấ suất Biế Biến cố Từ điều kiện, ta có: x − y ≤ 0, x − y − 0, ≤ x − y ≤ 0, ⇔  ⇔  x − y ≥ −0, x − y + 0, ≥   Suy ra, miền gặp gặp hai người S : {0 ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ 1, x − y − 0, ≤ 0, x − y + 0, ≥ 0} dt (S ) Vậy p = = = 75% dt(Ω) 2.4 Tính chất xác suất 1) Nếu A biến cố tùy ý ≤ P(A) ≤ ; 3) P(Ω) = 1; 2) P(∅) = ; 4) Nếu A ⊂ B P(A) ≤ P(B ) Saturday, October 01, 2011 Chương Xác suấ suất Biế Biến cố 2.3 Định nghĩa xác suất dạng hình học (tham khảo) Cho miền Ω Gọi độ đo Ω độ dài, diện tích, thể tích (ứng với Ω đường cong, miền phẳng, khối) Xét điểm M rơi ngẫu nhiên vào miền Ω Gọi A: “điểm M rơi vào miền S ⊂ Ω ”, ta có: P (A) = độ đo S độ đo Ω Chương Xác suấ suất Biế Biến cố VD Hai người bạn hẹn gặp địa điểm xác định khoảng từ 7h đến 8h Mỗi người đến (và chắn đến) điểm hẹn cách độc lập, khơng gặp người đợi 30 phút đến khơng đợi Tìm xác suất để hai người gặp Giải Chọn mốc thời gian 7h Gọi x, y (giờ) thời gian tương ứng người đến điểm hẹn, ta có: ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ Suy Ω hình vng có cạnh đơn vị Chương Xác suấ suất Biế Biến cố §3 CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 3.1 Cơng thức cộng xác suất Xét phép thử, ta có cơng thức cộng xác suất sau • Nếu A B hai biến cố tùy ý: P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ) − P (A ∩ B ) • Nếu A B hai biến cố xung khắc thì: P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ) • Nếu họ {Ai } (i = 1, , n ) xung khắc đơi thì: P (A1 ∪ A2 ∪ ∪ An ) =P (A1 )+P (A2 )+ +P (An ) …………………………………………………………………………… Xác suất - Thống kê Đại học ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 01, 2011 Chương Xác suấ suất Biế Biến cố Chương Xác suấ suất Biế Biến cố VD Một nhóm có 30 nhà đầu tư loại, có: 13 nhà đầu tư vàng; 17 nhà đầu tư chứng khốn 10 nhà đầu tư vàng lẫn chứng khốn Một đối tác gặp ngẫu nhiên nhà đầu tư nhóm Tìm xác suất để người gặp nhà đầu tư vàng chứng khốn? Chú ý Đặc biệt VD Trong vùng dân cư, tỉ lệ người mắc bệnh tim 9%; mắc bệnh huyết áp 12%; mắc bệnh tim huyết áp 7% Chọn ngẫu nhiên người vùng Tính xác suất để người khơng mắc bệnh tim khơng mắc bệnh huyết áp? P (A) = − P (A); P (A) = P (A.B ) + P (A.B ) VD Một hộp phấn có 10 viên có viên màu đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên phấn Tính xác suất để lấy viên phấn màu đỏ A ∩ B = A ∪ B; A ∪ B = A ∩ B Chương Xác suấ suất Biế Biến cố Chương Xác suấ suất Biế Biến cố 3.2 XÁC SUẤT CĨ ĐIỀU KIỆN • Xét phép thử: người A , B C thi tuyển vào cơng ty Gọi A : “người A thi đỗ”, B : “người B thi đỗ”, C : “người C thi đỗ”, H : “có người thi đỗ” Khi đó, khơng gian mẫu Ω là: {ABC , ABC , ABC , ABC , ABC , ABC , ABC , ABC } Ta có: A = {ABC , ABC , ABC , ABC } ⇒ P (A) = ; H = {ABC , ABC , ABC } ⇒ P (H ) = Lúc này, biến cố: “2 người thi đỗ có A ” là: AH = {ABC , ABC } P (AH ) = • Bây giờ, ta xét phép thử là: A , B , C thi tuyển vào cơng ty biết thêm thơng tin có người thi đỗ Khơng gian mẫu trở thành H A trở thành AH Gọi A H : “A thi đỗ biết có người thi đỗ” ta ( ) được: P A H = Chương Xác suấ suất Biế Biến cố 3.2.1 Định nghĩa xác suất có điều kiện Trong phép thử, xét hai biến cố A B với P (B ) > Xác suất có điều kiện A với điều kiện B xảy ký hiệu định nghĩa là: P (A ∩ B ) P AB = P (B ) ( ) VD Một nhóm 10 sinh viên gồm nam nữ có nam 18 tuổi nữ 18 tuổi Chọn ngẫu nhiên sinh viên từ nhóm Gọi A : “sinh viên chọn nữ”, B : “sinh viên chọn 18 tuổi” Hãy tính P A B , P B A ? ( ) ( ) Xác suất - Thống kê Đại học P (AH ) = P (H ) Chương Xác suấ suất Biế Biến cố Nhận xét Khi tính P A B với điều kiện B xảy ra, nghĩa ta ( ) hạn chế khơng gian mẫu Ω xuống B hạn chế A xuống A ∩ B Tính chất 1) ≤ P A B ≤ 1, ∀A ⊂ Ω ; ( ) ( ) 3) P (A B ) = − P (A B ) ( ) 2) A ⊂ C P A B ≤ P C B ; ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 01, 2011 Chương Xác suấ suất Biế Biến cố Chương Xác suấ suất Biế Biến cố Nếu A B hai biến cố độc lập thì: P (A ∩ B ) = P (A).P (B ) 3.2.2 Cơng thức nhân xác suất a) Sự độc lập hai biến cố Trong phép thử, hai biến cố A B gọi độc lập B có xảy hay khơng khơng ảnh hưởng đến khả xảy A ngược lại Chú ý Nếu A B độc lập với cặp biến cố: A B , A B , A B độc lập với b) Cơng thức nhân • Nếu A B hai biến cố khơng độc lập thì: P (A ∩ B ) = P (B )P A B = P (A)P B A ( ) ( ) Chương Xác suấ suất Biế Biến cố VD Có hai người A B đặt lệnh (độc lập) để mua cổ phiếu cơng ty với xác suất mua tương ứng 0,8 0,7 Biết có người mua được, xác suất để người A mua cổ phiếu là: 19 12 40 10 A ; B ; C ; D 47 19 47 19 Chương Xác suấ suất Biế Biến cố i =1 ( ( ) ) ( ) = P (A1 )P B A1 + + P (An )P B An VD 10 Một cửa hàng bán hai loại bóng đèn kích cỡ gồm: 70 bóng màu trắng với tỉ lệ bóng hỏng 1% 30 bóng màu vàng với tỉ lệ hỏng 2% Một khách hàng chọn mua ngẫu nhiên bóng đèn từ cửa hàng Tính xác suất để người mua bóng đèn tốt ? Xác suất - Thống kê Đại học ) ( ) VD Một người có bóng đèn có bóng bị hỏng Người thử ngẫu nhiên bóng đèn (khơng hồn lại) chọn bóng tốt Tính xác suất để người thử đến lần thứ VD Trong dịp tết, ơng A đem bán mai lớn mai nhỏ Xác suất bán mai lớn 0,9 Nếu bán mai lớn xác suất bán mai nhỏ 0,7 Nếu mai lớn khơng bán xác suất bán mai nhỏ 0,2 Biết ơng A bán mai, xác suất để ơng A bán hai mai là: A 0,6342; B 0,6848; C 0,4796; D 0,8791 VD Hai người A B chơi trò chơi sau: Cả hai ln phiên lấy lần viên bi từ hộp đựng bi trắng bi đen (bi lấy khơng trả lại hộp) Người lấy bi trắng trước thắng Giả sử A lấy trước, tính xác suất A thắng ? Chương Xác suấ suất Biế Biến cố 3.2.3 Cơng thức xác suất đầy đủ Bayes a) Cơng thức xác suất đầy đủ Xét họ n biến cố {Ai } (i = 1,2, , n ) đầy đủ B biến cố phép thử, ta có: P (B ) = ∑ P (Ai )P B Ai ( P (A1A2 An ) = P (A1 ) P A2 A1 P An A1 An −1 Chương Xác suấ suất Biế Biến cố VD Một sinh viên học hệ niên chế thi lại lần lần thi thứ bị rớt (2 lần thi độc lập) Biết xác suất để sinh viên thi đỗ lần lần tương ứng 60% 80% Tính xác suất sinh viên thi đỗ? n • Nếu n biến cố Ai , i = 1, , n khơng độc lập thì: Chú ý Trong trắc nghiệm ta dùng sơ đồ giải nhanh sau: Nhánh 1: P(đèn tốt màu trắng) = 0,7.0,99 Nhánh 2: P(đèn tốt màu vàng) = 0,3.0,98 Suy ra: P(đèn tốt) = tổng xác suất nhánh = 0,987 VD 11 Chuồng thỏ có thỏ trắng thỏ đen; chuồng có thỏ trắng thỏ đen Quan sát thấy có thỏ chạy từ chuồng sang chuồng 2, sau có thỏ chạy từ chuồng Tính xác suất để thỏ chạy từ chuồng thỏ trắng ? ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 01, 2011 Chương Xác suấ suất Biế Biến cố Chương Xác suấ suất Biế Biến cố b) Cơng thức Bayes Xét họ n biến cố {Ai } (i = 1,2, , n ) đầy đủ B biến cố phép thử Khi đó, xác suất để biến cố Ai xảy sau B xảy là: ( ) P Ai B = ( P (Ai )P B Ai ) n ∑ P(Ai )P (B Ai ) = ( P (Ai )P B Ai P (B ) ) i =1 VD 12 Xét tiếp VD 10 Giả sử khách hàng chọn mua bóng đèn tốt Tính xác suất để người mua bóng đèn màu vàng ? Chương Xác suấ suất Biế Biến cố Phân biệt tốn áp dụng cơng thức Nhân – Đầy đủ – Bayes A1, A2 , B 1) Nếu tốn u cầu tìm xác suất A1 ∩ B, A2 ∩ B tốn cơng thức nhân Trong tốn, ta xét biến cố Xác suất xác suất tích nhánh 2) Nếu tốn u cầu tìm xác suất B {A1, A2 } đầy đủ tốn áp dụng cơng thức đầy đủ Xác suất tổng nhánh Chương Xác suấ suất Biế Biến cố A1, A2 cho biết B xảy ra, đồng thời hệ {A1, A2 } 3) Biết sản phẩm chọn hỏng, tính xác suất sản phẩm phân xưởng A sản xuất ? đầy đủ tốn áp dụng cơng thức Bayes Xác suất tỉ số nhánh cần tìm với tổng hai nhánh VD 14 Tỉ lệ ơtơ tải, ơtơ xe máy qua đường X có trạm bơm dầu : : 13 Xác suất để ơtơ tải, ơtơ xe máy qua đường vào bơm dầu 0,1; 0,2 0,15 Biết có xe qua đường X vào bơm dầu, tính xác suất để ơtơ ? 11 10 ; B ; C ; D A 57 57 57 57 3) Nếu tốn u cầu tìm xác suất VD 13 Nhà máy X có phân xưởng A, B , C tương ứng sản xuất 20%, 30% 50% tổng sản phẩm nhà máy Giả sử tỉ lệ sản phẩm hỏng phân xưởng A, B , C tương ứng sản xuất 1%, 2% 3% Chọn ngẫu nhiên sản phẩm nhà máy X sản xuất 1) Tính xác suất (tỉ lệ) sản phẩm hỏng ? 2) Tính xác suất sản phẩm hỏng phân xưởng A sản xuất ? Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên §1 Biến ngẫu nhiên hàm mật độ §2 Hàm phân phối xác suất §3 Tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên …………………………………………………………………………… §1 BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ HÀM MẬT ĐỘ 1.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên • Xét phép thử với khơng gian mẫu Ω Giả sử, ứng với biến cố sơ cấp ω ∈ Ω , ta liên kết với số thực X (ω) ∈ ℝ , X gọi biến ngẫu nhiên Tổng qt, biến ngẫu nhiên (BNN) X phép thử với khơng gian mẫu Ω ánh xạ X :Ω→ ℝ ω ֏ X (ω) = x Giá trị x gọi giá trị biến ngẫu nhiên X Xác suất - Thống kê Đại học ……………………………………………………………………………………… Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên VD Người A mua loại bảo hiểm tai nạn năm với phí 70 ngàn đồng Nếu bị tai nạn cơng ty chi trả triệu đồng Gọi X số tiền người A có sau năm mua bảo hiểm Khi đó, ta có Phép thử là: “mua bảo hiểm tai nạn” Biến cố T : “người A bị tai nạn” Khơng gian mẫu Ω = {T , T } Vậy X (T ) = 2, 93 (triệu), X (T ) = −0, 07 (triệu) • Nếu X (Ω) tập hữu hạn {x 1, x 2, , x n } hay vơ hạn đếm X gọi biến ngẫu nhiên rời rạc Để cho gọn, ta viết X = {x1, x , , x n , } ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 01, 2011 Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên • Nếu X (Ω) khoảng ℝ (hay ℝ ) X gọi biến ngẫu nhiên liên tục Chú ý Trong thực nghiệm, biến ngẫu nhiên thường rời rạc Khi biến ngẫu nhiên rời rạc X có giá trị đủ nhiều khoảng ℝ , ta xem X biến ngẫu nhiên liên tục Thực chất là, biến ngẫu nhiên liên tục dùng làm xấp xỉ cho biến ngẫu nhiên rời rạc tập giá trị biến ngẫu nhiên rời rạc đủ lớn • Cho biến ngẫu nhiên X hàm số y = ϕ(x ) Khi đó, biến ngẫu nhiên Y = ϕ(X ) gọi hàm biến ngẫu nhiên X Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên Chú ý pi ≥ ; ∑ pi = 1, i = 1, 2, Nếu x ∉ {x 1, x , , x n , } P (X = x ) = P (a < X ≤ b ) = ∑ a θ , ta nói ước lượng thừa Xác suất - Thống kê Đại học Chương Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số KHÁI NIỆM CHUNG VỀ ƯỚC LƯỢNG • Ước lượng đốn giá trị chưa biết tổng thể dựa vào quan sát mẫu lấy từ tổng thể Thơng thường, ta cần ước lượng trung bình, tỉ lệ, phương sai, hệ số tương quan tổng thể • Có hai hình thức ước lượng: Ước lượng điểm: kết cần ước lượng cho trị số Ước lượng khoảng: kết cần ước lượng cho khoảng • Ước lượng điểm có ưu điểm cho ta giá trị cụ thể, dùng để tính kết khác, nhược điểm khơng cho biết sai số ước lượng Ước lượng khoảng ngược lại Chương Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số 2.2 So sánh ước lượng a) Ước lượng phân tán • Gọi T1, T2 hai ước lượng θ Ta nói T1 phân tán T2 Var (T1 ) ≤ Var (T2 ) • Khi T1 phân tán T2 , ta nói T1 tốt T2 Nghĩa là, dùng T1 để ước lượng θ ta nhận sai số ước lượng so với dùng T2 b) Ước lượng tốt • Định nghĩa Thống kê T gọi ước lượng tốt θ T ước lượng phân tán 28 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 01, 2011 Chương Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số VD Giả sử chiều cao X người Việt Nam có phân phối chuẩn N (µ; σ2 ) Quan sát mẫu X1, , Xn để ước lượng chiều cao trung bình µ Xét thống kê sau: X + 2X X + + Xn T1 = X1, T2 = T3 = n Đánh giá ước lượng đúng: E (T1 ) = E (X1 ) = µ ,  X + 2X  2  = µ + µ = µ, E (T2 ) = E    3   Chương Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số • Bất đẳng thức Rao – Cramer Nếu thống kê T ước lượng θ thì: VarT ≥ n.I (θ) Vậy T thỏa VarT = ước lượng tốt n.I (θ) …………………………………………………………………………………………… Chương Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số 3.2 Ước lượng khoảng cho trung bình tổng thể µ Giả sử tổng thể X có trung bình µ chưa biết Với độ tin cậy − α cho trước, ta tìm khoảng ước lượng cho µ (µ1; µ2 ) thỏa P (µ1 < µ < µ2 ) = − α Trong thực hành, ta có trường hợp sau a) Trường hợp Kích thước mẫu n ≥ 30 phương sai tổng thể σ2 biết • Từ mẫu ta tính x (trung bình mẫu) 1−α tra bảng B • Từ − α ⇒ = ϕ(tα )    → tα σ • Khoảng ước lượng là: x − ε; x + ε , ε = tα n Xác suất - Thống kê Đại học  X + + X  µ + + µ  n E (T3 ) = E  = µ =  n n  Đánh giá độ phân tán: Var (T1 ) = Var (X1 ) = σ2 ,  X + 2X  2  = σ2 + σ2 = σ2 , Var (T2 ) = Var   9    X + + X  σ2 + + σ2 σ2 2  = = Var (T3 ) = Var   n n n2  Vậy n lớn T3 ước lượng tốt Chương Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số §3 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG Giả sử biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f (x , θ) phụ thuộc vào tham số θ Gọi tin lượng Fisher X là: ∂ 2 I (θ) = E  ln f (x , θ)  ∂θ  ( Chương Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số ) 3.1 Định nghĩa • Xét thống kê T ước lượng tham số θ , khoảng (θ1; θ2 ) gọi khoảng ước lượng với xác suất − α cho trước P (θ1 < θ < θ2 ) = − α • Xác suất − α gọi độ tin cậy ước lượng, 2ε = θ2 − θ1 gọi độ dài khoảng ước lượng ε gọi độ xác ước lượng • Bài tốn tìm khoảng ước lượng cho θ gọi tốn ước lượng khoảng Tra bảng B 1−α = ϕ (tα ) = tα ∫ f (t )dt 1−α tα α 29 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 01, 2011 Chương Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số b) Trường hợp Kích thước mẫu n ≥ 30 phương sai tổng thể σ2 chưa biết • Tính x s (độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh) 1−α tra bảng B • Từ − α ⇒ = ϕ(tα )     → tα s • Khoảng ước lượng là: (x − ε; x + ε), ε = tα n Chú ý Mối liên hệ độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh s chưa hiệu chỉnh sˆ là: s2 = n n sˆ ⇒ s = sˆ n −1 n −1 Chương Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số CÁC BÀI TỐN VỀ ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG Bài Ước lượng khoảng Tùy theo tốn thuộc trường hợp nào, ta sử dụng trực tiếp cơng thức trường hợp Bài Tìm độ tin cậy (ta khơng xét TH4) Giải phương trình: ε = tα Hay ε = tα σ n s n ⇒ tα = ⇒ tα = ε n ; σ ε n s Tra bảng B, ta suy ra: ϕ (tα ) = 1−α ⇒ − α = 2ϕ (tα ) Chương Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số Với độ tin cậy 95%, ước lượng lượng Vitamin trung bình có trái A ? VD Biết chiều cao người biến ngẫu nhiên X (cm) có phân phối chuẩn N (µ; 100) Với độ tin cậy 95%, muốn ước lượng chiều cao trung bình dân số có sai số khơng q cm phải cần đo người ? VD Kiểm tra tuổi thọ (tính giờ) 50 bóng đèn nhà máy A sản xuất ra, người ta bảng số liệu: Tuổi thọ 3.300 3.500 3.600 4.000 Số bóng đèn 10 20 12 1) Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình loại bóng đèn nhà máy A sản xuất với độ tin cậy 97% ? Xác suất - Thống kê Đại học Chương Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số c) Trường hợp Kích thước mẫu n < 30 , σ2 biết X có phân phối chuẩn ta làm trường hợp d) Trường hợp Kích thước mẫu n < 30 , σ2 chưa biết X có phân phối chuẩn • Từ mẫu ta tính x , s tra bảng C   → tαn −1 • Từ − α ⇒ α   (nhớ giảm bậc thành n − tra bảng!) • Khoảng ước lượng là: s x − ε; x + ε , ε = tαn −1 n ( ) Chương Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số Bài Tìm cỡ mẫu (ta xét TH1 TH2) Ta cố định s (hay σ) để tìm cỡ mẫu N a) Nếu ε > ε’ ta giải bất đẳng thức: tα  s > ε′ ⇒ N < tα  ⇒ N max  ε ′  N s b) Nếu ε < ε’ ta giải bất đẳng thức:  s < ε ′ ⇒ N > t α  ⇒ N  ε ′  N VD Lượng Vitamin có trái A biến ngẫu nhiên X (mg) có độ lệch chuẩn 3,98 mg Phân tích 250 trái A thu lượng Vitamin trung bình 20 mg tα s Chương Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số 2) Dựa vào mẫu để ước lượng tuổi thọ trung bình loại bóng đèn nhà máy A sản xuất có độ xác 59,02 đảm bảo độ tin cậy ? 3) Dựa vào mẫu trên, muốn ước lượng tuổi thọ trung bình loại bóng đèn nhà máy A sản xuất có độ xác nhỏ 40 với độ tin cậy 98% cần phải kiểm tra tối thiểu bóng đèn ? VD Chiều cao loại A biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Người ta đo ngẫu nhiên 20 A thấy chiều cao trung bình 23,12 m độ lệch chuẩn mẫu chưa hiệu chỉnh 1,25 m Tìm khoảng ước lượng chiều cao trung bình loại A với độ tin cậy 95%? 30 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Chương Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số VD Để nghiên cứu nhu cầu loại hàng X phường A người ta tiến hành khảo sát 400 tồn 4000 gia đình Kết khảo sát là: Nhu cầu (kg/tháng) 0,5 1,5 2,5 3,5 Số gia đình 10 35 86 132 Nhu cầu (kg/tháng) 4,5 5,5 6,5 7,5 Số gia đình 78 31 18 10 1) Hãy ước lượng nhu cầu trung bình loại hàng X tồn gia đình phường A năm với độ tin cậy 95%? 2) Với mẫu khảo sát trên, ước lượng nhu cầu trung bình loại hàng X phường A với độ xác lớn 4,8 tấn/năm độ tin cậy 99% cần khảo sát tối đa gia đình phường A ? Chương Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số VD Tiến hành khảo sát 420 tổng số 3.000 gia đình phường thấy có 400 gia đình dùng loại sản phẩm X cơng ty A sản xuất với bảng số liệu: Số lượng (kg/tháng) 0,75 1,25 1,75 2,25 2,75 3,25 Số gia đình 40 70 110 90 60 30 Hãy ước lượng trung bình tổng khối lượng sản phẩm X cơng ty A sản xuất tiêu thụ phường tháng với độ tin cậy 95%? A (5612,7kg; 6012,3kg); B (5893,3kg; 6312,9kg); C (5307,3kg; 5763,9kg); D (5210,4kg; 5643,5kg) Saturday, October 01, 2011 Chương Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số VD Đo đường kính 100 trục máy nhà máy sản xuất bảng số liệu: Đường kính (cm) 9,75 9,80 9,85 9,90 Số trục máy 37 42 16 1) Hãy ước lượng trung bình đường kính trục máy với độ tin cậy 97% ? 2) Dựa vào mẫu để ước lượng trung bình đường kính trục máy có độ xác 0,006cm đảm bảo độ tin cậy ? 3) Dựa vào mẫu trên, muốn ước lượng trung bình đường kính trục máy có độ xác lớn 0,003cm với độ tin cậy 99% cần phải đo tối đa trục máy ? Chương Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số 3.3 Ước lượng khoảng cho tỉ lệ tổng thể p • Giả sử tỉ lệ p phần tử có tính chất A tổng thể chưa biết Với độ tin cậy − α cho trước, khoảng ước lượng p (p1; p2 ) thỏa P (p1 < p < p2 ) = − α m với n cỡ mẫu, m n số phần tử ta quan tâm khoảng ước lượng cho p là: • Nếu biết tỉ lệ mẫu f = fn = ( f − ε; f + ε), ε = tα Trong tα tìm từ ϕ(tα ) = Chương Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số VD Tỉnh X có 1.000.000 niên Người ta khảo sát ngẫu nhiên 20.000 niên tỉnh X trình độ học vấn thấy có 12.575 niên tốt nghiệp PTTH Hãy ước lượng tỉ lệ niên tốt nghiệp PTTH tỉnh X với độ tin cậy 95%? Số niên tốt nghiệp PTTH tỉnh X khoảng nào? VD Để ước lượng số cá có hồ người ta bắt lên 10.000 con, đánh dấu thả lại xuống hồ Sau thời gian, lại bắt lên 8.000 cá thấy 564 có đánh dấu Với độ tin cậy 97%, ước lượng tỉ lệ cá có đánh dấu số cá có hồ ? VD 10 Người ta chọn ngẫu nhiên 500 tivi kho chứa TV thấy có 27 TV Sony Xác suất - Thống kê Đại học f (1 − f ) n 1−α (tra bảng B ) Chương Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số 1) Dựa vào mẫu trên, để ước lượng tỉ lệ TV Sony kho có độ xác ε = 0, 0177 đảm bảo độ tin cậy ước lượng bao nhiêu? 2) Dựa vào mẫu trên, muốn có độ xác ước lượng tỉ lệ TV Sony nhỏ 0,01 với độ tin cậy 95% cần chọn thêm TV nữa? VD 11 Lấy ngẫu nhiên 200 sản phẩm kho hàng A thấy có 21 phế phẩm 1) Dựa vào mẫu trên, để ước lượng tỉ lệ phế phẩm kho A có độ xác ε = 0, 035 đảm bảo độ tin cậy ước lượng bao nhiêu? 2) Dựa vào mẫu trên, muốn có độ xác ước lượng tỉ lệ phế phẩm nhỏ 0,01 với độ tin cậy 93% cần kiểm tra thêm sản phẩm nữa? 31 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Chương Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số VD 12 Khảo sát suất X (tấn/ha) 100 lúa huyện A, ta có bảng số liệu: 3,25 3,75 4,25 4,75 5,25 5,75 6,25 6,75 X S (ha) 12 18 27 20 Những ruộng có suất lúa 5,5 tấn/ha ruộng có suất cao Sử dụng bảng khảo sát trên, để ước lượng tỉ lệ diện tích lúa có suất cao huyện A có độ xác ε = 8,54% đảm bảo độ tin cậy bao nhiêu? A 92%; B 94%; C 96%; D 98% Chương Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số • Khoảng ước lượng (σ12 ; σ22 ), đó: σ12 = n.sˆ2 n.sˆ2 , σ22 =    α  2 α  χn 1 −  χn       b) Trường hợp Trung bình tổng thể µ chưa biết • Từ mẫu ta tính x , s  α  α α D • Từ − α ⇒  → χn2−1 1 − , χn2−1      2  2 • Suy ra: (σ1 ; σ2 ), σ1 = (n − 1)s (n − 1)s , σ22 =  α α  2    χn −1 1 −  χn −1       Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê §1 Khái niệm kiểm định giả thuyết thống kê §2 Kiểm định so sánh đặc trưng với số §3 Kiểm định so sánh hai đặc trưng ……………………………………………………………… §1 KHÁI NIỆM VỀ KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ 1.1 Khái niệm chung • Mơ hình tổng qt tốn kiểm định là: ta nêu lên hai mệnh đề trái ngược nhau, mệnh đề gọi giả thuyết H mệnh đề lại gọi nghịch thuyết (hay đối thuyết) H • Giải tốn kiểm định là: cách dựa vào quan sát mẫu, ta nêu lên quy tắc hành động, ta chấp nhận giả thuyết H hay bác bỏ giả thuyết H Xác suất - Thống kê Đại học Saturday, October 01, 2011 Chương Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số 3.4 Ước lượng khoảng cho phương sai tổng thể σ2 (Tham khảo) Giả sử tổng thể X có phân phối chuẩn với phương sai σ chưa biết Với độ tin cậy − α cho trước, khoảng ước lượng cho σ (σ12 ; σ22 ) thỏa: P (σ12 < σ < σ22 ) = − α Trong thực hành ta có hai trường hợp sau a) Trường hợp Trung bình tổng thể µ biết • Từ mẫu ta tính n.sˆ2 α • Từ − α ⇒ , tra bảng D ta tìm được:  α  α χn2 1 − , χn2       Chương Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số VD 13 Khảo sát 16 sinh viên điểm trung bình học kỳ tính s = 1, điểm Hãy ước lượng phương sai điểm trung bình học kỳ sinh viên với độ tin cậy 97%, biết điểm trung bình X sinh viên biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn VD 14 Mức hao phí ngun liệu cho đơn vị sản phẩm biến ngẫu nhiên X (gram) có phân phối chuẩn Quan sát 28 sản phẩm người ta thu bảng số liệu: X (gram) 19,0 19,5 20,0 20,5 Số sản phẩm 14 Với độ tin cậy 95%, ước lượng phương sai mức hao phí ngun liệu trường hợp: 1) biết EX = 20 gram; b) chưa biết EX ………………………………………………………………………………………………… Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê • Khi ta chấp nhận giả thuyết H , nghĩa ta tin H đúng; bác bỏ H , nghĩa ta tin H sai Do dựa mẫu quan sát ngẫu nhiên, nên ta khơng thể khẳng định chắn điều cho tổng thể • Trong chương này, ta xét loại kiểm định tham số (so sánh đặc trưng với số, so sánh hai đặc trưng hai tổng thể) 1.2 Các loại sai lầm kiểm định Khi thực kiểm định giả thuyết, ta dựa vào quan sát ngẫu nhiên số trường hợp suy rộng cho tổng thể Sự suy rộng có đúng, có sai Thống kê học phân biệt loại sai lầm sau: 32 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê Saturday, October 01, 2011 Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê a) Sai lầm loại I • Sai lầm loại loại sai lầm mà ta phạm phải việc bác bỏ giả thuyết H H • Xác suất việc bác bỏ H H xác suất sai lầm loại ký hiệu α c) Mối liên hệ hai loại sai lầm • Khi thực kiểm định, ta ln muốn xác suất phạm phải sai lầm tốt Tuy nhiên, hạ thấp α β tăng lên ngược lại b) Sai lầm loại II • Sai lầm loại loại sai lầm mà ta phạm phải việc chấp nhận giả thuyết H H sai • Xác suất việc chấp nhận giả thuyết H H sai xác suất sai lầm loại ký hiệu β • Trong thống kê, người ta quy ước sai lầm loại tác hại loại nên cần tránh Do đó, ta xét phép kiểm định có α khơng vượt q giá trị ấn định trước, thơng thường 1%; 3%; 5%;… Giá trị α gọi mức ý nghĩa kiểm định Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê 1.3 Cơ sở lý thuyết kiểm định • Để giải tốn kiểm định, ta quan sát mẫu ngẫu nhiên X1, , Xn đưa giả thuyết H • Từ mẫu trên, ta chọn thống kê T = f (X1, , Xn ; θ ) cho H phân phối xác suất T hồn tồn xác định • Với mức ý nghĩa α , ta tìm khoảng tin cậy (hay khoảng ước lượng) [a; b ] cho T độ tin cậy − α Khi đó: t ∈ [a; b ] ta chấp nhận giả thuyết H ; t ∉ [a; b ] ta bác bỏ giả thuyết H Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê §2 KIỂM ĐỊNH SO SÁNH ĐẶC TRƯNG CỦA TỔNG THỂ VỚI MỘT SỐ 2.1 Kiểm định so sánh trung bình với số Với số µ0 cho trước, ta đặt giả thuyết H : µ = µ a) Trường hợp Với n ≥ 30, σ2 biết 1−α B • Từ mức ý nghĩa α ⇒ = ϕ(tα )  → tα x − µ0 • Tính giá trị thống kê t = n σ • Nếu t ≤ tα ta chấp nhận H , nghĩa µ = µ ; t > tα ta bác bỏ H , nghĩa µ ≠ µ Xác suất - Thống kê Đại học Trong thực tế, hai loại sai lầm này, loại tác hại ta nên tránh Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê • Nếu hàm mật độ T đối xứng qua trục Oy ta chọn khoảng đối xứng [−tα ; tα ], với: α P (T ≤ −tα ) = P (T ≥ tα ) = Vậy, xét nửa bên phải trục Oy ta được: t ≤ tα ta chấp nhận giả thuyết H ; t > tα ta bác bỏ giả thuyết H • Nếu hàm mật độ T khơng đối xứng qua trục Oy ta chọn khoảng tin cậy [0; C ], với P (T ≥ C ) = α Nếu t ≤ C ta chấp nhận giả thuyết H , t > C ta bác bỏ giả thuyết H ………………………………………………………………………… Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê b) Trường hợp Với n ≥ 30, σ2 chưa biết Ta làm trường hợp thay σ s c) Trường hợp Với n < 30, σ2 biết X có phân phối chuẩn, ta làm trường hợp d) Trường hợp Với n < 30, σ2 chưa biết X có phân phối chuẩn tra bảng C • Từ cỡ mẫu n mức ý nghĩa α    → tαn −1 • Tính giá trị thống kê t = • Nếu t ≤ tαn −1 x − µ0 n s ta chấp nhận giả thuyết H ; t > tαn −1 ta bác bỏ giả thuyết H 33 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê Chú ý Trong tất trường hợp bác bỏ, ta so sánh x µ : Nếu x > µ ta kết luận µ > µ Nếu x < µ ta kết luận µ < µ VD Sở Điện lực A báo cáo rằng: trung bình hộ hàng tháng phải trả 250 ngàn đồng tiền điện, với độ lệch chuẩn 20 ngàn Người ta khảo sát ngẫu nhiên 500 hộ tính trung bình hàng tháng hộ trả 252 ngàn đồng tiền điện Trong kiểm định giả thuyết H : “trung bình hộ phải trả hàng tháng 250 ngàn đồng tiền điện” với mức ý nghĩa α = 1% , cho biết giá trị thống kê t kết luận ? Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê A t = 1, 7205 ; chấp nhận H với mức ý nghĩa 6% B t = 1, 7205 ; bác bỏ H , trọng lượng thực tế bao gạo nhỏ 50 kg với mức ý nghĩa 6% C t = 1, 9732 ; chấp nhận H với mức ý nghĩa 4% D t = 1, 9732 ; bác bỏ H , trọng lượng thực tế bao gạo nhỏ 50 kg với mức ý nghĩa 4% VD Một cơng ty cho biết mức lương trung bình kỹ sư cơng ty 5,7 triệu đồng/tháng với độ lệch chuẩn 0,5 triệu đồng/tháng Kỹ sư A dự định xin vào làm cơng ty thăm dò 18 kỹ sư thấy lương trung bình 5,45 triệu đồng/tháng Kỹ sư A định rằng: mức lương trung bình với mức cơng ty đưa nộp đơn xin làm Với mức ý nghĩa 2%, cho biết kết luận kỹ sư A ? Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê Kiểm định giả thuyết H : “điểm trung bình mơn Tốn sinh viên năm năm trước”, mức ý nghĩa tối đa để H chấp nhận là: A 13,94%; B 13,62%; C 11,74%; D 11,86% VD Thời gian X (phút) hai chuyến xe bus thành phố biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Cơng ty xe bus nói rằng: trung bình phút lại có chuyến xe bus Người ta chọn ngẫu nhiên thời điểm ghi lại thời gian (phút) hai chuyến xe bus là: 5,3; 4,5; 4,8; 5,1; 4,3; 4,8; 4,9; 4,7 Với mức ý nghĩa 5%, kiểm định lời nói ? Xác suất - Thống kê Đại học Saturday, October 01, 2011 Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê VD Nhà Giáo dục học B muốn nghiên cứu xem số tự học trung bình hàng ngày sinh viên có thay đổi khơng so với mức giờ/ngày cách 10 năm Ơng B khảo sát ngẫu nhiên 120 sinh viên tính trung bình 0,82 giờ/ngày với sˆ = 0, 75 giờ/ngày Với mức ý nghĩa 3%, cho biết kết luận ơng B ? VD Trong nhà máy gạo, trọng lượng đóng bao theo quy định bao gạo 50 kg độ lệch chuẩn 0,3 kg Cân thử 296 bao gạo nhà máy thấy trọng lượng trung bình 49,97 kg Kiểm định giả thuyết H : “trọng lượng bao gạo nhà máy 50 kg” có giá trị thống kê t kết luận là: Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê VD Người ta kiểm tra ngẫu nhiên 38 cửa hàng cơng ty A có bảng doanh thu tháng là: X (triệu đồng/tháng) 200 220 240 260 Số cửa hàng 16 12 Kiểm định giả thuyết H : “doanh thu trung bình hàng tháng cửa hàng cơng ty 230 triệu đồng”, mức ý nghĩa tối đa để giả thuyết H chấp nhận là: A 3,4%; B 4,2%; C 5,6%; D 7,8% VD Điểm trung bình mơn Tốn sinh viên năm trước 5,72 Năm nay, theo dõi 100 SV số liệu: Điểm Số sinh viên 27 43 12 Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê VD Chiều cao giống X (m) vườm ươm biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Người ta đo ngẫu nhiên 25 giống có bảng số liệu: X (m) 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 Số Theo quy định vườn ươm, cao m đem trồng Với mức ý nghĩa 5%, kiểm định giả thuyết H : “cây giống vườn ươm cao m” có giá trị thống kê kết luận là: A t = 2, 7984 , khơng nên đem trồng B t = 2, 7984 , nên đem trồng C t = 1, 9984 , khơng nên đem trồng D t = 1, 9984 , nên đem trồng 34 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê 2.2 Kiểm định so sánh tỉ lệ với số • Với số p0 cho trước, ta đặt giả thuyết H : p = p0 1−α B • Từ mức ý nghĩa α ⇒ = ϕ(tα )  → tα m • Từ mẫu cụ thể, ta tính tỉ lệ mẫu f = n f − p0 n , q = − p0 giá trị thống kê t = p0q Nếu t ≤ tα chấp nhận H , nghĩa p = p0 Nếu t > tα bác bỏ H , nghĩa p ≠ p0 Khi đó: f > p0 ⇒ p > p0 ; f < p0 ⇒ p < p0 Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê Trong kiểm định giả thuyết H : “tỉ lệ bắn trúng súng thể thao 70%”, với mức ý nghĩa 3% có giá trị thống kê t kết luận là: A t = 2, 0702 cải tiến kỹ thuật tốt B t = 2, 0702 cải tiến kỹ thuật chưa tốt C t = 2, 0176 cải tiến kỹ thuật tốt D t = 2, 0176 cải tiến kỹ thuật chưa tốt VD 12 Cơng ty A tun bố có 40% người tiêu dùng ưa thích sản phẩm Khảo sát 400 người tiêu dùng thấy có 179 người ưa thích sản phẩm cơng ty A Trong kiểm định giả thuyết H : “có 40% người tiêu dùng thích sản phẩm cơng ty A”, mức ý nghĩa tối đa để H chấp nhận là: A 7,86%; B 6,48%; C 5,24%; D 4,32% Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê α   α • Nếu χn2−1   ≤ χ2 ≤ χn2−1 1 −  ta chấp nhận H ,     ngược lại ta bác bỏ H Trong trường hợp bác bỏ: s > σ02 ta kết luận σ > σ02 ; s < σ02 ta kết luận σ < σ02 VD 13 Tiến hành 25 quan sát tiêu X loại sản phẩm (phân phối chuẩn), tính s = 416, 667 Có tài liệu nói phương sai tiêu X 400 Với mức ý nghĩa 3%, cho nhận xét tài liệu ? …………………………………………………………………………… Xác suất - Thống kê Đại học Saturday, October 01, 2011 Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê VD Một báo cáo cho biết có 58% người tiêu dùng Việt Nam quan tâm đến hàng Việt Khảo sát ngẫu nhiên 1.000 người dân Việt Nam thấy có 536 người hỏi có quan tâm đến hàng Việt Với mức ý nghĩa 5%, kiểm định lại báo cáo ? VD 10 Khảo sát ngẫu nhiên 400 sinh viên mức độ nghiêm túc học thấy 13 sinh viên thừa nhận có ngủ học Trong kiểm định giả thuyết H : “có 2% sinh viên ngủ học”, mức ý nghĩa tối đa để H chấp nhận ? VD 11 Để kiểm tra loại súng thể thao, người ta cho bắn 1.000 viên đạn vào bia thấy có 670 viên trúng mục tiêu Sau đó, người ta cải tiến kỹ thuật kiểm tra lại thấy tỉ lệ trúng súng lúc 70% Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê 2.3 Kiểm định so sánh phương sai với số (tham khảo) Giả sử tổng thể có phân phối chuẩn Với số σ02 cho trước, ta thực bước sau: • Đặt giả thuyết H : σ = σ02 (n − 1)s σ02 α   α α tra bảng D • Từ α ⇒     → χn2−1  , χn2−1 1 −   2    • Từ mẫu ta tính thống kê χ2 = Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê §3 KIỂM ĐỊNH SO SÁNH HAI ĐẶC TRƯNG CỦA HAI TỔNG THỂ 3.1 So sánh hai trung bình hai tổng thể X, Y Ta có trường hợp việc chấp nhận hay bác bỏ H ta làm kiểm định so sánh trung bình với số (cả trường hợp ta đặt giả thuyết H : µ x = µ y ) a) Trường hợp nx , ny ≥ 30 σ2x , σy2 biết Ta tính thống kê t = x −y σ2 σ2x + y nx ny so sánh với tα 35 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 01, 2011 Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê b) Trường hợp nx , ny ≥ 30 σ2x , σy2 Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê chưa biết • Tính giá trị thống kê t = Ta thay σ2x , σy2 sx2 , sy2 trường hợp c) Trường hợp nx , ny < 30 σ2x , σy2 biết đồng thời X , Y có phân phối chuẩn Ta làm trường hợp d) Trường hợp nx , ny < 30 σ2x , σy2 chưa biết đồng thời X , Y có phân phối chuẩn • Tính phương sai chung mẫu: (nx − 1)sx2 + (ny − 1)sy2 s2 = n x + ny − Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê Với mức ý nghĩa 3%, kiểm định giả thuyết H : “mức lương trung bình nữ nam cơng ty nhau” có giá trị thống kê kết luận là: A t = 4, 0957 , mức lương nữ nam B t = 4, 0957 , mức lương nữ thấp nam C t = 3, 0819 , mức lương nữ nam D t = 3, 0819 , mức lương nữ thấp nam Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê 3.2 So sánh hai tỉ lệ hai tổng thể X, Y Ta thực bước sau: • Từ mẫu ta tính fx = nx , fy = Xác suất - Thống kê Đại học my ny , p0 = n +ny −2 tra bảng C • Từ α    → tα x so sánh với t VD Người ta tiến hành bón hai loại phân X , Y cho cà chua Với 60 bón phân X thu trung bình 32,2 độ lệch chuẩn 8,5 quả; 72 bón phân Y thu trung bình 28,4 độ lệch chuẩn 9,3 Với mức ý nghĩa 5%, cho biết kết luận hai loại phân bón ? VD Tuổi thọ (năm) pin biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Một cơng ty sản xuất thử nghiệm 10 pin loại X 12 pin loại Y có kết quả: x = 4, , sx = 1,1 y = 4, , sy = 0, Với mức ý nghĩa 1%, ta kết luận tuổi thọ loại pin X cao loại pin Y khơng ? VD Tuổi thọ (tháng) thiết bị biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Người ta kiểm tra ngẫu nhiên tuổi thọ 15 thiết bị loại A, có kết quả: 114; 78; 96; 137; 78; 103; 126; 86; 99; 114; 72; 104; 73; 86; 117 Kiểm tra tuổi thọ 17 thiết bị loại B thấy có trung bình 84 tháng độ lệch chuẩn 19 tháng Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê Kiểm định giả thuyết H : “tuổi thọ thiết bị loại A B với mức ý nghĩa 3%” có giá trị thống kê kết luận là: A t = 2,1616 ; tuổi thọ hai loại thiết bị B t = 2,1616 ; tuổi thọ loại thiết bị A lớn C t = 2, 4616 ; tuổi thọ hai loại thiết bị D t = 2, 4616 ; tuổi thọ loại thiết bị A lớn mx 1 s + nx ny Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê VD Để so sánh mức lương trung bình nhân viên nữ X (USD/giờ) nam Y (USD/giờ) cơng ty đa quốc gia, người ta tiến hành khảo sát ngẫu nhiên 100 nữ 75 nam có kết quả: x = 7,23 , sx = 1, 64 y = 8, 06 , sy = 1, 85 • Đặt giả thuyết H : px = py x −y • Tính giá trị thống kê t = fx − fy 1   p0q  +   nx ny  • Kết luận: Nếu t ≤ tα ta chấp nhận H ⇒ px = py Nếu t > tα fx < fy ta bác bỏ H ⇒ px < py Nếu t > tα fx > fy ta bác bỏ H ⇒ px > py m x + my n x + ny VD Từ hai tổng thể X Y người ta tiến hành kiểm tra mẫu có kích thước nx = 1000 , ny = 1200 tính chất A fx = 0, 27 fy = 0, 36 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 01, 2011 Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê Với mức ý nghĩa 9%, so sánh tỉ lệ tổng thể ? VD Kiểm tra 120 sản phẩm kho I thấy có phế phẩm; 200 sản phẩm kho II thấy có 24 phế phẩm Hỏi chất lượng hàng hai kho có khác khơng với: 1) mức ý nghĩa 5%; 2) mức ý nghĩa 1% VD Một cơng ty điện tử tiến hành điều tra thị trường sở thích xem tivi cư dân thành phố Điều tra ngẫu nhiên 400 người quận X thấy có 270 người xem tivi ngày; 600 người quận Y có 450 người xem tivi ngày Trong kiểm định giả thuyết H : “tỉ lệ cư dân xem tivi ngày quận X Y nhau”, mức ý nghĩa tối đa để H chấp nhận là: A 0,96%; B 2,84%; C 4,06%; D 6,14% Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê 3.3 So sánh hai phương sai hai tổng thể X, Y (Tham khảo) • Đặt giả thuyết H : σx2 = σy2 • Tính giá trị kiểm định g = sx2 sy2 α tra bảng E    → f = f α (nx − 1, ny − 1) 2 • Nếu g ≤ f ta chấp nhận H , g > f ta bác bỏ H Trong trường hợp bác bỏ H : sx2 > sy2 kết luận σx2 > σy2 ; • Từ α ⇒ sx2 < sy2 kết luận σx2 < σy2 Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê 3.4 So sánh hai trung bình dạng vector (X, Y) (Tham khảo) • Đặt d = Y − X giả thuyết H : µd = • Tính thống kê t = d n (n số cặp có mẫu) sd • Tùy vào n phương sai biết hay chưa biết, ta xét trường hợp giống so sánh trung bình với số VD 11 Giả sử người ta dùng thuốc A cho 10 người Đo nhịp tim/phút trước sau dùng thuốc người, có bảng kết quả: Trước: X 70 77 78 72 81 78 73 74 79 80 Sau: Y 76 75 78 77 85 81 76 74 85 80 Xác suất - Thống kê Đại học Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê VD Trước bầu cử, người ta thăm dò 1000 cử tri thấy có 400 người nói bỏ phiếu cho ơng A Một tuần sau (vẫn chưa bầu cử), người ta tổ chức thăm dò khác thấy có 680 số 1500 cử tri hỏi bỏ phiếu cho ơng A Kiểm định giả thuyết H : “tỉ lệ cử tri ủng hộ ơng A hai lần nhau”, với mức ý nghĩa 1% có giá trị thống kê kết luận là: A t = 2, 6356 ; cử tri ngày ủng hộ ơng A B t = 2, 6356 ; cử tri ủng hộ ơng A khơng thay đổi C t = 2,1349 ; cử tri ngày ủng hộ ơng A D t = 2,1349 ; cử tri ủng hộ ơng A khơng thay đổi Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê VD Giá cổ phiếu biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Điều tra ngẫu nhiên giá cổ phiếu cơng ty X 25 ngày người ta tính độ lệch tiêu chuẩn mẫu hiệu chỉnh 7,5 ngàn đồng; cơng ty Y 22 ngày 6,2 ngàn đồng Với mức ý nghĩa 5%, so sánh độ rủi ro cổ phiểu hai cơng ty ? VD 10 Doanh số bán hàng (đơn vị: triệu đồng) cơng ty A biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Cơng ty A cho người theo dõi doanh số bán hàng ngày vùng X tính phương sai mẫu chưa hiệu chỉnh 82,1; vùng Y ngày tính 25,3 Với mức ý nghĩa 3%, so sánh độ rủi ro đầu tư cơng ty A hai vùng ? Chương Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê Với mức ý nghĩa 5%, thuốc A có làm thay đổi nhịp tim trước dùng so với sau dùng hay khơng ? Giải Đặt d = Y − X giả thuyết H : µd = Do n = 10, phương sai chưa biết nên tốn TH4 Từ bảng số liệu, ta tính được: d = 2, ; sd = 2, 8382 C Mức ý nghĩa α = 0, 05 → t0,05 = 2, 262 Thống kê t = d sd n = 2, 10 = 2, 7855 2, 8382 > t0,05 Vì t nên ta bác bỏ H Vậy thuốc A làm thay đổi nhịp tim …………………………………………………………………………… 37 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 01, 2011 Chương Bài tố tốn tương quan & Hồi quy HỆ SỐ TƯƠNG QUAN MẪU 1.1 Định nghĩa • Hệ số tương quan mẫu r số đo mức độ phụ thuộc tuyến tính hai mẫu ngẫu nhiên cỡ X Y • Giả sử ta có mẫu ngẫu nhiên cỡ n vector ngẫu nhiên (X , Y ) (xi , yi ); i = 1; 2; ; n Khi đó, hệ số tương quan mẫu r tính theo cơng thức: r= xy − x y n ; xy = ∑ x i yi sˆx sˆy n i =1 Chương Bài tố tốn tương quan & Hồi quy 1.2 Tính chất 1) −1 ≤ r ≤ 2) Nếu r = X , Y khơng có quan hệ tuyến tính; Nếu r = ±1 X , Y có quan hệ tuyến tính tuyệt đối 3) Nếu r < quan hệ X , Y giảm biến 4) Nếu r > quan hệ X , Y đồng biến VD Kết đo lường độ cholesterol (Y) có máu 10 đối tượng nam độ tuổi (X) sau: X 20 52 30 57 28 43 57 63 40 49 Y 1,9 4,0 2,6 4,5 2,9 3,8 4,1 4,6 3,2 4,0 Tính hệ số tương quan mẫu X Y Chương Bài tố tốn tương quan & Hồi quy Giải Từ số liệu bảng trên, ta tính được: 20 × 1, + + 49 × 4, xy = = 167, 26 ; 10 n x = ∑ xi = 43, ; sˆx = 13, 5385 ; n i =1 y= Chương Bài tố tốn tương quan & Hồi quy Đường hồi quy trung bình tuyến tính thực nghiệm • Từ mẫu thực nghiệm vector ngẫu nhiên (X , Y ), ta biễu diễn cặp điểm (xi , yi ) lên mpOxy Khi đó, đường cong nối điểm đường cong phụ thuộc Y theo X mà ta cần tìm (xem hình a), b)) n ∑ y = 3, 56; sˆy = 0, 8333 n i =1 i Vậy r = xy − x y = 0, 9729 sˆx sˆy Hình a Chương Bài tố tốn tương quan & Hồi quy • Đường thẳng đường hồi quy thực nghiệm xấp xỉ tốt điểm mẫu cho, xấp xỉ đường cong cần tìm Trong hình a) ta thấy xấp xỉ tốt (phụ thuộc tuyến tính chặt), hình b) xấp xỉ khơng tốt 2.1 Phương pháp bình phương bé • Khi có phụ thuộc tuyến tính tương đối chặt hai biến ngẫu nhiên X Y ta cần tìm biểu thức a + bX xấp xỉ Y tốt theo nghĩa cực tiểu sai số bình phương trung bình E (Y − a − bX )2 , phương pháp gọi bình phương bé • Với cặp điểm (x i , yi ) sai số xấp xỉ là: εi = yi − (a + bx i ) (xem hình c)) Xác suất - Thống kê Đại học Hình b Chương Bài tố tốn tương quan & Hồi quy Ta tìm ước lượng a, b n cho ∑ εi2 đạt cực tiểu i=1 n Đặt Q = ∑ εi2 i =1 n Hình c = ∑ yi − (a + bxi ) , ta có:   i =1 n n  na + b x = yi (1) Q / = ∑ ∑ i   a i =1 i =1 ⇔  n n Q / =  n  b a ∑ xi + b ∑ xi = ∑ xi yi (2) i =1 i =1  i =1 38 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 01, 2011 Chương Bài tố tốn tương quan & Hồi quy (1) ⇔ a = n Chương Bài tố tốn tương quan & Hồi quy n 1 ∑ y − b n ∑ xi = y − b.x n i =1 i i =1 • Vậy b = Thay a vào (2), ta được: n n i =1 i =1 (y − b.x ) ∑ xi + b ∑ x i2 = ∑ x i yi y = a + bx • Tương tự: b = Giải 1) x = 1, 55; sˆx = 0, 0707; y = 53; sˆy = 5, 099 ; 82, 45 − 1, 55 × 53 = 0, 8322 0, 0707 × 5, 099 Chương Bài tố tốn tương quan & Hồi quy 1) Lập phương trình hồi tuyến tính X theo Y 2) Dự đốn muốn lợi nhuận thu 0,5 triệu đồng cần đầu tư bao nhiêu? Giải 1) Ta có x = 2; sˆx = 0, 7746; y = 0, 71; sˆy = 0, 2427 ; xy = 1, 56 sˆy2 = 1, 56 − 0, 71 × 2 (0, 2427) = 2, 3768 ; a = x − by = − 2, 3768 × 0, 71 = 0, 3125 Vậy x = 0, 3125 + 2, 3768y 2) Nếu muốn lợi nhuận thu 0,5 triệu cần đầu tư khoảng: x = 0, 3125 + 2, 3768 × 0, = 1, 5009 triệu đồng Xác suất - Thống kê Đại học xy − x y sˆy2 , a = x − b.y Đường hồi quy tuyến tính X theo Y là: x = a + by Chương Bài tố tốn tương quan & Hồi quy VD Đo chiều cao (X: m) khối lượng (Y: kg) học sinh nam, ta có kết quả: X 1,45 1,60 1,50 1,65 1,55 Y 50 55 45 60 55 1) Tìm hệ số tương quan r 2) Lập phương trình hồi quy tuyến tính Y theo X 3) Dự đốn học sinh cao 1,62m nặng khoảng kg? xy − x y , a = y − b.x i =1 xy − x y   ⇔ b x − x  = xy − x y ⇔ b =   sˆx2 ⇒b = sˆx2 Đường hồi quy tuyến tính Y theo X là: n 1 n n   n n  ⇔ b  ∑ x i2 − x ∑ x i  =  ∑ x iyi − y ∑ x i  n i =1  n i =1 n i =1   n i =1 xy = 82, 45 ⇒ r = xy − x y Chương Bài tố tốn tương quan & Hồi quy 2) b = xy − x y = 82, 45 − 1, 55 × 53 = 60, 0181 ; (0, 0707)2 a = y − bx = 53 − 60, 0181 × 1, 55 = −40, 0281 Vậy y = −40, 0281 + 60, 0181x sˆx2 3) Học sinh cao 1,62m nặng khoảng: y = −40, 0281 + 60, 0181 × 1, 62 = 57, 2012 kg VD Số vốn đầu tư (X: triệu đồng) lợi nhuận thu (Y: triệu đồng) đơn vị thời gian 100 quan sát là: Y X 0,3 0,7 1,0 20 10 30 10 10 20 Chương Bài tố tốn tương quan & Hồi quy VD Số thùng bia (Y: thùng) bán phụ thuộc vào giá bán (X: triệu đồng/ thùng) Điều tra 100 đại lý loại bia đơn vị thời gian có bảng số liệu: Y X 0,150 0,160 0,165 100 110 120 15 30 10 25 15 1) Tính hệ số tương quan r 2) Lập phương trình hồi tuyến tính X theo Y 3) Dự đốn muốn bán 115 thùng bia giá bán thùng cỡ bao nhiêu? 39 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 01, 2011 Chương Bài tố tốn tương quan & Hồi quy Giải 1) x = 0,1558; sˆx = 0, 006; y = 110; sˆy = 7, 746 ; xy = 17,1 ⇒ r = 2) b = xy − x y sˆy2 = 17,1 − 0,1558 × 110 = −0, 8176 0, 006 × 7, 746 17,1 − 0,1558 × 110 (7, 746)2 = −0, 0006 ; a = x − by = 0,1558 + 0, 0006 × 110 = 0, 2218 Vậy x = 0, 2218 − 0, 0006y 3) Nếu muốn bán 115 thùng bia giá bán thùng khoảng: x = 0, 2218 − 0, 0006 × 115 = 0,1528 triệu đồng Sử dụng máy tính bỏ túi tìm đườ đường hồi quy Xuất kết quả: SHIFT → → (dịch chuyển mũi tên phải lần) → (A a phương trình) → (B b phương trình) → (r r ) Đáp số: r = 0, 9729 ; y = 0, 9311 + 0, 0599x b) Máy tính fx500ES, fx570ES Xét lại VD Nhập số liệu: SHIFT → MODE → dịch chuyển mũi tên tìm chọn mục Stat → (chế độ khơng tần số) MODE → (stat) → (A+Bx) → (nhập giá trị X, Y vào cột) Sử dụng máy tính bỏ túi tìm đườ đường hồi quy X Y 21 23 25 11 Nhập số liệu: MODE → REG → LIN X, Y; n → M+ 21, 3; → M+ 21, 4; → M+ … … 25 , 5; → M+ Xuất kết quả: làm 1a) Đáp số: r = 0, 7326 ; y = −2, 6694 + 0, 3145x Xác suất - Thống kê Đại học Sử dụng máy tính bỏ túi tìm đườ đường hồi quy Số liệu khơng có tần số a) Máy tính fx500MS, fx570MS VD Bài tốn cho dạng cặp (x i , yi )như sau: X 20 52 30 57 28 43 57 63 40 49 Y 1,9 4,02,6 4,5 2,9 3,84,1 4,6 3,2 4,0 Tìm hệ số r , đường hồi quy Y theo X: y = a + bx Nhập số liệu: MODE → REG → LIN X, Y → M+ 20, 1.9 → M+ 52, 4.0 → M+ … …… … 49 , 4.0 → M+ Sử dụng máy tính bỏ túi tìm đườ đường hồi quy X Y 20 1.9 52 4.0 … … 49 4.0 Xuất kết quả: SHIFT → →7 → 1(A a phương trình) SHIFT → →7 → 2(B b phương trình) SHIFT → →7 → 3(r r phương trình) Số liệu có tần số a) Máy tính fx500MS, fx570MS VD Tìm hệ số r , đường hồi quy thực nghiệm Y theo X : y = a + bx với tốn cho dạng bảng sau: Sử dụng máy tính bỏ túi tìm đườ đường hồi quy b) Máy tính fx500ES, fx570ES Xét lại VD Nhập số liệu: SHIFT → MODE → dịch chuyển mũi tên tìm chọn Mục Stat → (chế độ có tần số) MODE → (stat) → (A+Bx) → (nhập giá trị X, Y, tần số vào cột) X Y FREQ 21 21 … … 25 Xuất kết quả: làm 1b) ……………… Hết……………… 40 [...]... xác suất đồng thời của (X ,Y ) ta có: • Bảng phân phối xác suất của X X x1 x 2 ⋯ x m P p1• p2• ⋯ pm • Trong đó pi • = pi1 + pi 2 + ⋯ + pin (tổng dòng i của bảng phân phối xác suất đồng thời) Kỳ vọng của X là: EX = x 1p1• + x 2 p2• + ⋯ + x m pm • Xác suất - Thống kê Đại học §1 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA VECTOR NGẪU NHIÊN RỜI RẠC • Bảng phân phối xác suất của Y Y y1 y2 ⋯ yn P p•1 p•2 ⋯ p•n Trong đó p• j... có: F → p, X → µ, S 2 → σ2 (theo xác suất) Xác suất - Thống kê Đại học S 2 = Sn2 = 2 1 n Xi − X ) ( ∑ n − 1 i =1 ( ) Với X 2 = 1 n 2 ∑X n i =1 i c) Tỉ lệ mẫu Xét mẫu định tính với các biến Xi (i = 1, , n ) có phân phối Bernoulli B(1; p): Chương 6 Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số 1.4 Phân phối xác suất của các đặc trưng mẫu (tham khảo) 1.4.1 Phân phối xác suất của trung bình mẫu a) Trường... xác suất và các định lý §2 Các loại xấp xỉ phân phối xác suất ……………………………………………………………………… §1 MỘT SỐ LOẠI HỘI TỤ TRONG XÁC SUẤT VÀ CÁC ĐỊNH LÝ (tham khảo) 1.1 Hội tụ theo xác suất – Luật số lớn a) Định nghĩa • Dãy các biến ngẫu nhiên {Xi } (i = 1, , n, ) được gọi là hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên X nếu: ∀ω ∈ Ω, ∀ε > 0 : lim P Xn (ω) − X (ω) ≥ ε = 0 n →∞ ( Ký hiệu: Xn   → X (n → ∞) Xác suất. .. thực được xác định như sau: Nếu X là rời rạc với xác suất P (X = x i ) = pi thì: EX = ∑ x i pi i Nếu X là liên tục có hàm mật độ f (x ) thì: +∞ EX = ∫ x f (x )dx −∞ Xác suất - Thống kê Đại học 0 1 4 5 8 2 X P 0,10 0,20 0,30 0,05 0,25 0,10 Ta có: Mod X = 2 VD 2 Tìm Mod X , biết X có bảng phân phối xác suất: 1 2 4 5 X P 1 − 3p 0,18 0,07 0,25 8 p VD 3 Tìm Mod X , biết X có hàm mật độ xác suất:  3... b , ta có: Xác suất - Thống kê Đại học Chương 5 Định lý giớ giới hạn trong xác suấ suất Chú ý Khi cỡ mẫu n khá nhỏ so với kích thước N (khoảng 5%N ) của tổng thể thì việc lấy mẫu có hồn lại hay khơng hồn lại là như nhau VD 1 Một vườn lan có 10.000 cây sắp nở hoa, trong đó có 1.000 cây hoa màu đỏ 1) Tính xác suất để khi chọn ngẫu nhiên 20 cây lan thì được 5 cây có hoa màu đỏ 2) Tính xác suất để khi... (phút), X ∈ N (4, 5; 1,21) 1) Tính xác suất khách phải chờ từ 3,5 phút đến 5 phút 2) Tính thời gian tối thiểu t nếu xác suất khách phải chờ vượt q t là khơng q 5% Xác suất - Thống kê Đại học VD 1 Tốc độ chuyển dữ liệu từ máy chủ của ký túc xá đến máy tính của sinh viên vào buổi sáng chủ nhật có phân phối chuẩn với trung bình 60Kbits/s và độ lệch chuẩn 4Kbits/s Xác suất để tốc độ chuyển dữ liệu lớn hơn... n = 9 như sau: X 12 11 15 n 3 2 4 Xác suất - Thống kê Đại học Saturday, October 01, 2011 Chương 6 Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số Nếu σ2 chưa biết thì:  S2  X −µ  X ∼ N µ; n ∼ N (0; 1)  ⇒ n  S  1.4.2 Phân phối xác suất của phương sai mẫu ( ) Giả sử mẫu X 1, , X n có X i ∈ N µ; σ 2 , ∀ i Khi đó: n −1 σ2 S 2 ∼ χ 2 (n − 1) 1.4.3 Phân phối xác suất của tỉ lệ mẫu F Giả sử Xi ∈ B(1;... khi sai Thống kê học phân biệt 2 loại sai lầm sau: 32 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Chương 7 Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê Saturday, October 01, 2011 Chương 7 Kiể Kiểm định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê a) Sai lầm loại I • Sai lầm loại 1 là loại sai lầm mà ta phạm phải trong việc bác bỏ giả thuyết H khi H đúng • Xác suất của việc bác bỏ H khi H đúng là xác suất của... Chương 3 Phân phố phối xác suấ suất thơng dụng VD 3 Ơng B trồng 100 cây bạch đàn với xác suất cây chết là 0,02 Gọi X là số cây bạch đàn chết 1) Tính xác suất có từ 3 đến 5 cây bạch đàn chết ? 2) Tính trung bình số cây bạch đàn chết và VarX ? 3) Hỏi ơng B cần phải trồng tối thiểu mấy cây bạch đàn để xác suất có ít nhất 1 cây chết lớn hơn 10% ? VD 4 Một nhà vườn trồng 126 cây lan q, xác suất nở hoa của mỗi... ∂θ  ( Chương 6 Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số ) 3.1 Định nghĩa • Xét thống kê T ước lượng tham số θ , khoảng (θ1; θ2 ) được gọi là khoảng ước lượng nếu với xác suất 1 − α cho trước thì P (θ1 < θ < θ2 ) = 1 − α • Xác suất 1 − α được gọi là độ tin cậy của ước lượng, 2ε = θ2 − θ1 được gọi là độ dài của khoảng ước lượng và ε được gọi là độ chính xác của ước lượng • Bài tốn đi tìm khoảng ước ... ngẫu nhiên người 50 người này, tính xác suất gọi người chờ kết nội soi siêu âm? Xác suất - Thống kê Đại học Chương Xác suấ suất Biế Biến cố 2.1 Định nghĩa xác suất dạng cổ điển Xét phép thử với... phân phối xác suất đồng thời) Kỳ vọng X là: EX = x 1p1• + x p2• + ⋯ + x m pm • Xác suất - Thống kê Đại học §1 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA VECTOR NGẪU NHIÊN RỜI RẠC • Bảng phân phối xác suất Y Y y1... Trong tốn, ta xét biến cố Xác suất xác suất tích nhánh 2) Nếu tốn u cầu tìm xác suất B {A1, A2 } đầy đủ tốn áp dụng cơng thức đầy đủ Xác suất tổng nhánh Chương Xác suấ suất Biế Biến cố A1, A2 cho