BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK - PHƯƠNG PHÁP TÍNH CHƯƠNG TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM & TÍCH PHÂN • TS NGUYỄN QUỐC LÂN (11/2006) NỘI DUNG - A- TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM 1- ĐẠO HÀM CẤP 1: SAI PHÂN ĐIỂM TIẾN – LÙI, ĐIỂM TIẾN – LÙI - HƯỚNG TÂM - TÍNH ĐẠO HÀM BẬC CAO B- TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN 1- HỆ SỐ NEWTON-COTES 2- CÔNG THỨC HÌNH THANG & SIMPSON 3- GIẢM SAI SỐ MINH HOẠ Ý TƯỞNG Hàm y = f(x), xác định qua bảng giá trị, biểu thức phức tạp (không dễ tìm f’ hay ∫) → Thay bảng Moác xk 0.3 0.4 0.6 Giaù Trò yk = f(xk) 0.355 0.36 0.4 0.6 Tính xấp xỉ: a/ Đạo hàm f’ mốc x1: f’(0.4) b/ ∫ f ( x ) dx 0.3 Xây dựng đa thức nội suy L(x) từ bảng {( xk, f(xk) )}, k = …  L( x ) = ax + bx + c   L( 0.3) = 0.355, L( 0.4 ) = 0.36  MINH HOẠ CÔNG THỨC ĐẠO HÀM ĐIỂM - Moác điểm (x0, f(x0)) , (x0+h, f(x0+h)) x0 Giaù trò f(x0) x0 + h f(x0 + h) f ( x0 + h) − f ( x0 ) M 2h f ' ( x0 ) ≈ ,∆= , M = max f ' ' [ x0 , x0 + h ] h Công thức xấp xỉ Sai số h x0 – h VD: Xấp xỉ f’(1.8) với f(x) = lnx & h = 0.1 , 0.01 , 0.001 h x0 x0 + h h 0.1 0.01 0.001 Xaáp xæ C/xaùc f’(x0) 0.5555556 TỔNG KẾT XẤP XỈ ĐẠO HÀM - − f ( x0 ) + f ( x0 + h) − f ( x0 + 2h) M 3h ,∆= điểm: f ' ( x0 ) ≈ 2h Xấp xỉ đạo hàm f ( x0 + h) − f ( x0 ) M2 ⋅h ,∆= điểm: f ' ( x0 ) ≈ h cấp f ( x0 + h) − f ( x0 − h) M ⋅ h2 ,∆= Hướng tâm: f ' ( x0 ) ≈ 2h f ( x0 + h ) − f ( x0 ) + f ( x0 − h ) M 4h2 ,∆= Xấp xỉ f’’(x0): f ' ' ( x0 ) ≈ h 12 CÔNG THỨC XẤP XỈ TÍCH PHÂN n −1 h  Hình thang, n đoạn chia: I ≈  f ( x0 ) + 2∑ f ( xk ) + f ( xn )  2  k =1 Sai số: ∆ = ( b − a ) M h 12 Xấp xỉ tích phân b−a M h3 [ f (a) + f (b)], ∆ = Hình thang: I ≈ 12 b I = ∫ f ( x ) dx a h= b−a n b−a  b + a f ( a ) + f + f ( b ) Simpson: I ≈       Sai số: ∆ = M h 90 C/t Simpson, n: chẵn h ( b − a) M 4h4 I ≈ [ f ( x0 ) + 4∑ f ( x2 k +1 ) + 2∑ f ( x2 k ) + f ( xn ) ], ∆ = 180 CÔNG THỨC HÌNH THANG VỚI n ĐOẠN CHIA Giảm h: Chia [a, b]→ n đoạn nhau, độ dài h = (b– a)/n (n+1) điểm chia: x0 = a < x1 = a + h < x2 = a + 2h < … < xn = b h a x1 xn −1 b x2 b Công thức hình thang: ∫ a M ( b − a) h2 Sai số: 12 n −1 h  f ( x)dx ≈  f ( x0 ) + 2∑ f ( xk ) + f ( xn )  2  k =1 điểm đầu, cuối: hệ số 1; Các điểm lại: Hệ số CÔNG THỨC SIMPSON VỚI n ĐOẠN CHIA CÁCH ĐỀU Công thức Simpson với n (số chẵn) đoạn chia nhau) a b ∫ f ( x)dx = a h x1 x2 xn −1 b h [ f ( x0 ) + 4∑ f ( x2k +1 ) + 2∑ f ( x2k ) + f ( xn ) ] M ( b − a) h4 Sai số: ∆ ≤ 180 Trung điểm (chỉ số lẻ): hệ số 4; đầu: hệ số 1; Còn lại: Hệ số VÍ DỤ -1 sin x , x ≠  I = ∫ f ( x)dx a/ CT hình Tính tích phân Xét f ( x) =  x  x = thang, h = 0.2 b/ Simpson, h = 0.25 1, TÌM SỐ ĐOẠN CHIA Tìm số đoạn chia n để xấp xỉ với sai số 10-6 tích phân sau dx I =∫ a/ Công thức hình thang b/ Công thức Simpson x + ... tạp (không dễ tìm f’ hay ∫) → Thay bảng Moác xk 0.3 0 .4 0.6 Giaù Trò yk = f(xk) 0.355 0.36 0 .4 0.6 Tính xấp xỉ: a/ Đạo hàm f’ mốc x1: f’(0 .4) b/ ∫ f ( x ) dx 0.3 Xây dựng đa thức nội suy L(x)... - A- TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM 1- ĐẠO HÀM CẤP 1: SAI PHÂN ĐIỂM TIẾN – LÙI, ĐIỂM TIẾN – LÙI - HƯỚNG TÂM - TÍNH ĐẠO HÀM BẬC CAO B- TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN 1- HỆ SỐ NEWTON-COTES... ( b ) Simpson: I ≈       Sai số: ∆ = M h 90 C/t Simpson, n: chẵn h ( b − a) M 4h4 I ≈ [ f ( x0 ) + 4 f ( x2 k +1 ) + 2∑ f ( x2 k ) + f ( xn ) ], ∆ = 180 CÔNG THỨC HÌNH THANG VỚI n ĐOẠN