Chương ỔN ĐỊNH CỦA CÁC KHUNG PHẲNG 4.1 Các giả thiết Vật liệu khung làm việc giới hạn đàn hồi Các nút khung xem tuyệt đối cứng, chuyển vị qui tụ nút Khi xét biến dạng chịu uốn, bỏ qua biến dạng trượt biến dạng dọc trục Do trước sau biến dạng, chiều dài theo phương ban đầu không đổi Trừ trường hợp biến dạng dọc trục nhiệt độ gây Khi xác định chuyển vị khung kể đến ảnh hưởng biến dạng uốn lực dọc xuất trước biến dạng gây Ảnh hưởng gia số lực dọc xuất sau hệ ổn định bỏ qua Tải trọng tác dụng lên khung đặt nút Những tải trọng gây tượng kéo nén mà không gây tượng uốn ngang khung hệ chưa ổn định Theo giả thiết trên: Trước nghiên cứu ổn định cần phải xác định lực dọc khung chịu tải trọng cho không đặt nút (Hình 4.1a), tiếp xác định tải trọng tới hạn khung chịu tải trọng đặt nút có giá trị lực dọc đặt tương ứng ( Hình 4.1b) Các lực ngang xuất sau hệ ổn định với giá trị nhỏ,  chuyển vị ngang tải trọng ngang có liên hệ tuyến tính  áp dụng nguyên lý cộng tác dụng tải trọng ngang c chịu uốn với nén q2 q3 P4 q3 P2 P1 Q P4 P3 P5 Hình 4.1 4.2 Cách xác định chuyển vị chịu kéo nén P1 P2 Định lý công tương hổ: P1 ∆12 = P2 ∆21 ∆11+ ∆12 Phương pháp tính chuyển vị ∆21+ ∆22 ‘’m’’ Nếu P2 = A 21 = P2 ∆21 = ∆21 = ∆21 M1 ∆ 21 = ∑ ∫ M ds EJ _ ∆21 (4.1) P2 =1 Hình.4.2 ‘’k’’ 4.2.1 Thanh đặt tự hai khớp tựa Xét đặt tự hai khớp tựa chịu lực nén P tải trọng đặt đầu Hình 4.3a Yêu cầu xác định chuyển vị đầu MA = c a) P c) z z L RA b) MB = d y c d a b Hình 4.3 Mk Mm Momen Mm mặt cắt ngang z bất kỳ: c+ Mm = MA + RAz + Py = d−c z + Py L (4.2) Phương trình vi phân đường đàn hồi: y” = - Mm / EJ Từ điều kiện biên: z = z = L y = c d − c cos αL d −c y = cos αL + sin αz − [c + z] P sin αL P L (4.3) Thay giá trị y vào Pt (4.1) ta được: c   d M m = c cos αz +  −  sin αz sin α L tan α L   Trong đó: α2 = P EJ (4.4) (4.5) _ Mk Momen Mk mặ cắt ngang z bất kỳ: _ Mk =a+ b−a z L (4.6) Thay Pt.(4.5) (4.6) vào (4.1) ta : L EJ∆ km L L b−a c   b−a   d = ∫ M k M m dz = c ∫ (a + z ) cos αzdz +  − z  sin αzdz (4.7) ∫  a + L L   sin αL tan αL   0 _ Sau lấy tích phân biến đổi ta có:  acL bdL   adL bcL  EJ∆ km =  + + φ1 (v) +  φ2 (v)     Trong đó: v = αL = L P EJ (4.8) (4.9) φ1 (αL) = v ( − ) tan v v (4.10) φ2 (αL) =  v  − 1  v  sin v  (4.11) 4.2.2 Thanh có đầu ngàm, đầu tự do: Các tải trọng ngang tác dụng đầu có dạng Hình 4.4a Biểu đồ Mm tải trọng ngang lực nén P gây có dạng Hình 4.4b MA = c a) b) c) δ P QA= e z L c d PyA a b Hình 4.4 Mm Mk Momen uốn tại tiết diện cắt bất kỳ: Mm (z)= c + ez +P(δ – y) (4.12) Từ phương trình vi phân đường đàn hồi: y” = - Mm / EJ Với điều kiện biên z = 0, y = δ z = L, y’ =  Phương trình đường đàn hồi: y = A sin αz + B cos αz − Trong αc sin αL + e A= Pα cos αL c + ez − Pδ P B= (4.13) c P Thay Pt (4.13) vào (4.12) ta được: M m ( z ) = c cos αz + c(v sin v − 1) + d sin αz v cos v (4.14) Phương trình Mk có dạng: b−a Mk =a+ z L _ (4.15) Sau thay Pt (4.14) (4.15) vào (4.1), lấy tích phân biến đổi  công thức tính chuyển vị sau: EJ∆ km = bdL acL  adL bcL  ϕ1 (v) + ϕ (v ) +  + ϕ (v) 3 6   (4.16) Trong đó: ϕ1 (v) =  tan v  − 1  v  v  ϕ (v ) = v2 tan v   − v tan v − +   cos v v   ϕ (v ) = v2 tan v   −   cos v v   (4.17) 4.3.3 Phương trình ổn định Hệ phương trình (4.18) thỏa mãn với hai khả năng:  Tất ẩn số X không Lúc hệ có biến dạng kéo nén mà chưa có biến dạng uốn, hệ trạng thái cân chưa bị ổn định  Tất số ẩn số X khác không Lúc có xuất biến dạng uốn hệ bị ổn định  Điều kiện ẩn số X khác không định thức hệ phương trình phải không Điều kiện phương trình ổn định theo phương pháp lực δ11 δ12 ………… δ1n D= =0 δ21 δ22 ………… δ2n (4.19) ………………………… δn1 δn2 ………… δnn Bởi chuyển vị δkm phụ thuộc gía trị lực P, ta xác định lực tới hạn từ điều kiện (4.19) Theo cách giải tóan trên, ta chưa tìm giá trị ẩn số X, ẩn số vô định Để tìm phân bố nội lực đường hình dạng đường biến dạng hệ, ta qui ước cho ẩn số đơn vị, chẳng hạn cho X1 = xác định ẩn số lại theo phương trình tắc (4.18) Ví dụ 4.1: Xác định giá trị Pth hệ vẽ hình 4.6a, chọn hệ hình 4.6b biểu đồ đơn vị Hình 4.6c, d 0.36P P a) X1 EJ=const L L/2 L/2 0.36P b) P L Hình 4.6 X2 v=L P EJ c) 0.36P P d) P X2 =1 X1 =1 Hình 4.6 Đặt 0.36P v=L P EJ thông số tới hạn, ta có: Đối với chịu nén 1-2 : Đối với chịu nén 3-4: v1 = L P =v EJ v2 = L 0.36 P = 0.6v EJ Áp dụng nhân biểu đồ công thức (4.8) ta được: EJ δ11 = ⅓Ф(v1) +⅔L EJ δ22 = ⅓Ф(v2) +⅓L EJδ12 = -⅓L Thay kết qủa vào định thức (4.19) ta phương trình ổn định: D= Hay: 3EJ 2+Ф(v1) -1 -1 1+Ф(v2) =0 2Ф(0.6v) + Ф(v) + Ф(v) Ф(0.6v) + = Dùng phương pháp thử dần ta tìm giá trị thông số tới hạn: v = 3.57 Do đó: Pth = v EJ EJ = 12 L2 L2 4.4 Cách tính ổn định khung phẳng theo phương pháp chuyển vị Khi dùng phương pháp chuyển vị để tính ổn định ta thực bước sau:  Chọn hệ  Gây chuyển vị cuỡng liên kết đặt thêm vào  Lập hệ phương trình tắc  Lập phương trình ổn định 4.4.1 Hệ Để lập hệ ta đặt thêm vào hệ cho liên kết lực liên kết momen nút khung • Liên kết momen momen có tác dụng làm cho nút xoay chuyển vị thẳng • Liên kết lực đặt vào nút có chuyển vị thẳng chọn làm ẩn số, có tác dụng làm cho nút không chuyển vị thẳng Ví dụ Hình 4.7b hệ hệ cho H 4.7a P2 a) b) P1 Z3 Hình 4.7 Z2 Z1 Z4 Z6 Z5 Z7 4.4.2 Phương trình tắc Lập hệ gây chuyển vị cưỡng Zi liên kết đặt thêm vào Các chuyển vị Zi cần phải có giá trị để cho phản lực liên kết đặt thêm vào hệ chúng gây tải trọng gây phải không  Hệ phương trình tắc gồm có n điều kiện để xác định n phản lực cần tìm Rkz1 + Rkz2 + Rkz3 + + Rkzn + RkP = với k = 1…n Trong đó: • R kzi phản lực liên kết thứ k hệ chuyển vị cưỡng liên kết thứ i gây • RkP phản lực liên kết thứ k tải trọng gây hệ Do tải trọng đặt nút nên hệ chưa ổn định, hệ xuất lực kéo, nén tự cân mà không xuất momen uốn  số hạng tự RkP không Hệ phương trình tắc trở thành hệ phương trình nhất: r11 Z1 + r12 Z + + r1n Z n = r12 Z1 + r22 Z + + r2 n Z n = ………………………………………… rn1 Z1 + rn Z + + rnn Z n = (4.20) 4.4.3 Cách xác đinh hệ số phương trình tắc: Khi tính ổn định hệ số rkm hệ phương trình (4.20) phản lực liên kết thứ k hệ chuyển vị cưỡng Zm = lực kéo nén liên kết thứ m gây Muốn xác định hệ số rkm ta thực bước sau:  Vẽ biểu đồ momen biểu đồ momen Mm chuyển vị cưỡng Zm = lực kéo nén liên kết thứ m gây hệ  Xử dụng phương pháp tách nút mặt cắt để tính phản lực liên kết thứ k  rkm = rmk Biểu đồ nội lực thẳng chuyển vị cưỡng gây tra bảng 6.1 Cơ kết cấu tập II Biểu đồ nội lực thẳng chuyển vị cưỡng lực kéo nén gây tra bảng 4.1 Ổn định công trình (Cơ kết cấu tập III) 4.4.4 Phương trình ổn định Hệ phương trình (4.20) thỏa mãn với hai khả năng:  Tất hệ số Zi phải không Trong trường hợp nút không chuyển vị nên hệ chưa dạng cân ban đầu tức chưa ổn định  Tất số ẩn số Zi khác không Trong trường hợp nút có chuyển vị hệ có dạng biến dạng khác với dạng biến dạng ban đầu tức ổn định Muốn thỏa điều kiện định thức hệ số hệ Pt (4.20) phải không  phương trình ổn định theo phương pháp chuyển vị r11 r12 … …r1n r21 r22 …… ….r2n D= =0 (4.21) ……………………… rn1 rn2…… ….rnn Với cách giải ta tìm tải trọng tới hạn mà chưa tìm đường biến dạng hệ chưa biết giá trị ẩn số Zi Những ẩn số vô định Muốn tìm biến dạng hệ ổn định ta cho ẩn số đó, chẳng hạn Z1 = xác định ẩn số lại theo phương trình tắc (4.20) Ví dụ 4.2: Xác định lực tới hạn cho hệ vẽ hình 4.8a Chọn hệ hình 4.8b a) L P2 = 0.8P J L P1= P 2J b) Z1 Z2 P2 = 0.8P io J 2io io L Hình 4.8 P1= P io 3io 4ioφ2(αvo) P2 Z1 P1 P2 4io = =0 8io 8io 4io M1 P1 Z2=1 4ioφ2(vo) 2ioφ3(vo) 4ioφ2(αvo) độ cứng theo io= EJ/L Xác định thông số v chịu nén: v1 = L v2 = L P1 P =L = vo EJ EJ P2 0.8 P =L = 0.8vo = kvo EJ EJ Phương trình ổn định D= r11 r21 r12 r22 = r11r22 - r212 = Mk sử dụng phương pháp tách nút từ biểu đồ xác định được: r11 = 4ioφ2(αvo) +3io +8io = io(4φ2(αvo) + 11) r12 = r21 = 4io r22 = 4ioφ2(vo) + 8io = 4io(φ2(vo) + 2) Thay kết vào phương trình ổn định ta được: φ2(αvo) φ2(vo) + 2φ2(αvo) + 2.75 φ2(vo) + 4.5 = Giải phương trình siêu việt cách thử dần, cuối ta tìm được: vo = 5.56 đó: Pth = (vo /L)2 EJ = 30.9 EJ/L2 [...]... trong các thanh thẳng do các chuyển vị cưỡng bức gây ra tra trong bảng 6.1 của Cơ kết cấu tập II Biểu đồ nội lực trong các thanh thẳng do các chuyển vị cưỡng bức và do lực kéo hoặc nén gây ra tra trong bảng 4. 1 của Ổn định công trình (Cơ kết cấu tập III) 4. 4 .4 Phương trình ổn định Hệ phương trình thuần nhất (4. 20) thỏa mãn với hai khả năng:  Tất cả các hệ số Zi phải bằng không Trong trường hợp này các. . .4. 3 Cách tính ổn định các khung phẳng theo phương pháp lực 4. 3.1 Cách chọn hệ cơ bản: Nên chọn hệ cơ bản bằng cách lọai trừ các liên kết thừa để sao cho các thanh chịu nén trở thành các thanh có hai đầu là khớp tựa hoặc thanh có một đầu ngàm, một đầu tự do dễ dàng xác định chuyển vị trong hệ cơ bản theo các công thức đã thiết lập sẵn a) b) 3 X1 X2 c) X2 X1 X1 X1 X4 2 2 4 X2 4 6 X3 2 6 X2 6 4 X5... -⅓L Thay các kết qủa này vào định thức (4. 19) ta được phương trình ổn định: D= Hay: 0 1 3EJ 2+Ф(v1) -1 -1 1+Ф(v2) =0 2Ф(0.6v) + Ф(v) + Ф(v) Ф(0.6v) + 1 = Dùng phương pháp thử dần ta sẽ tìm được giá trị của thông số tới hạn: v = 3.57 Do đó: Pth = v 2 EJ EJ = 12 7 L2 L2 4. 4 Cách tính ổn định các khung phẳng theo phương pháp chuyển vị Khi dùng phương pháp chuyển vị để tính ổn định ta thực hiện các bước... P, áp dụng công thức (4. 8) hay (4. 16) Khi xác định chuyển vị trong các thanh chịu kéo hoặc nén ta quan niệm lực kéo hay nén là tải trọng đặt tại nút  Khi mất ổn định những lực này có thể thay đổi Tuy nhiên, các lực X này chỉ xuất hiện khi hệ mất ổn định và rất nhỏ nên có thể bỏ qua    4. 3.3 Phương trình ổn định Hệ phương trình thuần nhất (4. 18) được thỏa mãn với hai khả năng:  Tất cả các ẩn số... mất ổn định, các thanh của hệ chỉ xuất hiện lực kéo, nén tự cân bằng mà không xuất hiện momen uốn  các số hạng tự do RkP bằng không Hệ phương trình chính tắc trở thành hệ phương trình thuần nhất: r11 Z1 + r12 Z 2 + + r1n Z n = 0 r12 Z1 + r22 Z 2 + + r2 n Z n = 0 ………………………………………… rn1 Z1 + rn 2 Z 2 + + rnn Z n = 0 (4. 20) 4. 4.3 Cách xác đinh các hệ số của phương trình chính tắc: Khi tính ổn định các. .. mất ổn định  Tất cả hoặc một số các ẩn số X khác không Lúc này trong các thanh có xuất hiện biến dạng uốn và hệ bị mất ổn định  Điều kiện để cho các ẩn số X khác không là định thức của hệ phương trình phải bằng không Điều kiện này là phương trình ổn định theo phương pháp lực δ11 δ12 ………… δ1n D= =0 δ21 δ22 ………… δ2n (4. 19) ………………………… δn1 δn2 ………… δnn Bởi vì các chuyển vị δkm phụ thuộc gía trị của các. .. dạng của hệ vì chưa biết các giá trị của các ẩn số Zi Những ẩn số này là vô định Muốn tìm được biến dạng của hệ khi mất ổn định ta có thể cho một ẩn số nào đó, chẳng hạn Z1 = 1 xác định các ẩn số còn lại theo phương trình chính tắc (4. 20) Ví dụ 4. 2: Xác định lực tới hạn cho hệ vẽ trên hình 4. 8a Chọn hệ cơ bản như trên hình 4. 8b a) L P2 = 0.8P J L P1= P 2J b) Z1 Z2 P2 = 0.8P io J 2io io L Hình 4. 8 P1=... 3io 4ioφ2(αvo) P2 Z1 P1 P2 4io = =0 8io 8io 4io M1 P1 Z2=1 4ioφ2(vo) 2ioφ3(vo) 4ioφ2(αvo) độ cứng của từng thanh theo io= EJ/L Xác định các thông số v trong các thanh chịu nén: v1 = L v2 = L P1 P =L = vo EJ EJ P2 0.8 P =L = 0.8vo = kvo EJ EJ Phương trình ổn định D= r11 r21 r12 r22 = r11r22 - r212 = 0 Mk sử dụng phương pháp tách nút từ các biểu đồ xác định được: r11 = 4ioφ2(αvo) +3io +8io = io (4 2(αvo)... thể xác định lực tới hạn từ điều kiện (4. 19) Theo cách giải quyết bài tóan như trên, ta chưa tìm được các giá trị của ẩn số X, vì những ẩn số này là vô định Để tìm được sự phân bố nội lực và đường hình dạng đường biến dạng của hệ, ta qui ước cho một ẩn số nào đó bằng đơn vị, chẳng hạn cho X1 = 1 rồi xác định các ẩn số còn lại theo phương trình chính tắc (4. 18) Ví dụ 4. 1: Xác định giá trị Pth của hệ... Hình 4. 7b là hệ cơ bản của hệ đã cho trên H 4. 7a P2 a) b) P1 Z3 Hình 4. 7 Z2 Z1 Z4 Z6 Z5 Z7 4. 4.2 Phương trình chính tắc Lập hệ cơ bản và gây các chuyển vị cưỡng bức Zi tại các liên kết đặt thêm vào Các chuyển vị Zi cần phải có giá trị để sao cho phản lực tại các liên kết đặt thêm vào hệ do chúng gây ra và do các tải trọng gây ra phải bằng không  Hệ phương trình chính tắc gồm có n điều kiện để xác định ... lực thẳng chuyển vị cưỡng lực kéo nén gây tra bảng 4. 1 Ổn định công trình (Cơ kết cấu tập III) 4. 4 .4 Phương trình ổn định Hệ phương trình (4. 20) thỏa mãn với hai khả năng:  Tất hệ số Zi phải... kéo hay nén tải trọng đặt nút  Khi ổn định lực thay đổi Tuy nhiên, lực X xuất hệ ổn định nhỏ nên bỏ qua    4. 3.3 Phương trình ổn định Hệ phương trình (4. 18) thỏa mãn với hai khả năng:  Tất... (4. 20) 4. 4.3 Cách xác đinh hệ số phương trình tắc: Khi tính ổn định hệ số rkm hệ phương trình (4. 20) phản lực liên kết thứ k hệ chuyển vị cưỡng Zm = lực kéo nén liên kết thứ m gây Muốn xác định