2012-09-30 Chương 1: CÁC KỸ THUẬT XẤP XỈ Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng – ĐH SPKT TPHCM Mục tiêu chương o Trình bày PP số dư có trọng số để tìm lời giải xấp xỉ p phương g trình vi p phân thường g o Dùng hàm liên tục toàn cục để giải PT vi phân o Dùng hàm liên tục cục để giải PT vi phân thông qua dạng yếu PT vi phân o Giới thiệu xấp ấ xỉ phần ầ tử hữu hạn o Trình bày công thức PTHH Galerkin Rayleigh-Ritz 2012-09-30 Nội dung PP thặng dư có trọng số Công thức dạng yếu Hàm thử liên tục đoạn Công thức PTHH Galerkin Công thức biến phân PP Rayleigh-Ritz Công thức PTHH Rayleigh-Ritz Bài tập PP thặng dư có trọng số (1) Mục tiêu: o Giới thiệu PP số dư có trọng số dùng để tìm lời giải xấp xỉ PT vi phân thường thường o Phân biệt PP số dư có trọng số sau: − PP tụ tập điểm − PP bình phương tối thiểu − PP Galerkin o Hàm xấp xỉ hàm liên tục toàn miền toán 2012-09-30 PP thặng dư có trọng số (2) o Để minh học PP này, xem xét ví dụ sau:  d 2u   u   x,  x   dx u    u (1)   (1) (2) PP thặng dư có trọng số (3) Lời giải giải tích (Nhắc lại) '' o PT nhất: u  u  (3) o PT đặc trưng: r    r  1 o Nghiệm tổng quát PT (3): uh  C1e x  C2 e x o Nghiệm riêng (1) có dạng ur  Ax  B Thay ur vào (1) ta có u p  x 2012-09-30 PP thặng dư có trọng số (4) o Nghiệm tổng quát (1) u  uh  u p  C1e x  C2 e  x  x o Thay nghiệm tổng quát vào điều kiện biên (2) u     u 1  C  C1  C2     C1e1  C2 e1    C  e e 1 e e 1    o Nghiệm pt vi phân thường cho u  x   e x e x e e  x ,  x 1  e2  e2  PP thặng dư có trọng số (5) Lời giải PP số dư có trọng số hàm thử x1 lời g giải xác số dư x2 − Bước 1: Giả sử hàm thử u   với hệ số chưa biết u  a   ax 1  x  Hàm thử thỏa điều kiện biên (2) 2012-09-30 PP thặng dư có trọng số (6) − Bước 2: Tính số dư R(ai) Do u lời giải xác (1) nên u''  u   x  R  u''  u  x  d 2u R  a    u  x  2a  ax 1  x   x  dx − Bước 3: Xác định hệ số cách chọn hàm kiểm tra wi cho x2 I i     wi Rdx   ? x1 Thay R bước vào I, ta có I  a    w  2a  ax 1  x   x  dx  0 10 PP thặng dư có trọng số (7) o Hàm kiểm tra wi chọn số hàm sau: PP tụ tập điểm: w hàm Dirac delta 1 x  xi wi    x  xi     x  xi PP bình phương tối thiểu: wi  PP Galerkin: wi  R ai u ai 11 2012-09-30 PP thặng dư có trọng số (8) Tìm hệ số a PP số dư có trọng số I  a    w  2a  ax 1  x   x  dx  0 12 PP thặng dư có trọng số (9) PP tụ tập điểm: Chọn hàm kiểm tra 1 w    x  0,5    0 x  0,5 ế x  0,5 I  a      x  0,5   2a  ax 1  x   x  dx  0   2a  a  0,5 1  0,5   0,5    2, 25a  00,5 50  a  0, 2222 u  0, 2222 x 1  x  13 2012-09-30 PP thặng dư có trọng số (10) PP bình phương cực tiểu: Chọn hàm kiểm tra dR d  2a  ax(1  x)  x    2  x 1  x  d a d a w I (a )    2  x 1  x    2a  ax 1  x   x  dx  0    ax  1  2a  x3  1  3a  x  1  2a  x  4a dx  0  x5  x4 x3 x2   a  1  2a   1  3a   1  2a   4ax    0  4, a  1.0883   a  0, 2305 u  0, 2305 x 1  x  14 PP thặng dư có trọng số (10) PP Galerkin: Chọn hàm kiểm tra w du d  ax 1  x     x 1  x  da da I (a )    x 1  x    2a  ax 1  x   x  dx  0    ax  1  2a  x3  1  a  x  2ax dx  0  x5 x4 x3 x2    a  1  2a   1  a   2a   0   0,3667 a  0, 0833   a  0, 2272 u  0, 2272 x 1  x  15 2012-09-30 PP thặng dư có trọng số (11) u  a   ax 1  x  Tại x=0,5 ta có giá trị u pp sau: C/xác: 0,0566 TT điểm: 0,0556 BP tối thiểu: 0,0576 Galerkin: 0,0568 16 PP thặng dư có trọng số (12) Giải pt vi phân (1) hàm thử khác − Bước 1: Giả sử hàm thử u  a1 , a2   a1 x 1  x   a2 x 1  x  Hàm thử thỏa điều kiện biên (2) − Bước 2: Tính số dư R  a1 , a2   a2 x   a1  a2  x   a1  6a2  1 x   a1  a2  17 2012-09-30 PP thặng dư có trọng số (13) − Bước 3a: Hàm kiểm tra theo PP b/p tối thiểu w1  R  x2  x  a1 w2  R  x3  x  x  a2 − Bước 3b: Tính a1 a2 nghiệm hệ pt   I1  a1 , a2    w1 Rdx     I a , a  w Rdx   2 2   18 PP thặng dư có trọng số (14)     x  x    a2 x   a1  a2  x    a1  6a2  1 x   a1  a2   dx   1  x  x  x   a x3  a  a x  a  6a  x  a  a  dx            0 4, a1  2,35a2  1, 0833   2,35a1  4, 27 a2  1, 05 22,35 35   a1  11, 0833  a1  0,1484 1484   4,              2,35 4, 27   a2   1, 05   a2  0,1642  u  a1 , a2   0,1484 x 1  x   0,1642 x 1  x  19 2012-09-30 PP thặng dư có trọng số (15) − Bước 3a: Tính hàm kiểm tra theo PP Galerkin w1  u  x 1  x  a1 w2  u  x 1  x  a2 − Bước 3b: Tính a1 a2 nghiệm hệ pt   I1  a1 , a2    w1 Rdx     I a , a  w Rdx   2 2   20 PP thặng dư có trọng số (16) 1   x 1  x   a2 x   a1  a2  x   a1  6a2  1 x  2a1  2a2  dx  0 1  x  x  a x  a  a x   a  6a  x  2a  2a  dx    2   2   0  1,8667 a1  3,15a2  0, 25  0,1833a1  0,1429a2  0, 05 8667 33,15 15   a1  00, 25  a1   0,1443 1443  1,8667              0,1833 0,1429   a2   0, 05   a2  0,1649  u  a1 , a2   0,1443x 1  x   0,1649 x 1  x  21 10 2012-09-30 Hàm thử liên tục đoạn (9) o Lời giải xấp xỉ tìm  0,1344 x   u   0, 0363 x  0, 0327  1707 x  0,1707 1707 0,1707 0 x x2 3  x 1 38 Hàm thử liên tục đoạn (10) Nhận xét: o Dùng hàm thử liên tục đoạn có ưu điểm: − Dùng hàm liên tục đoạn i đơn giản xấp xỉ lời giải phức tạp − Tăng số lượng hàm i, tức tăng số đoạn miền toán, tăng độ xác lời giải xấp p xỉ − Lời giải xấp xỉ cho kết xác điểm biên đoạn o Từng đoạn miền toán gọi phần tử 39 19 2012-09-30 Công thức PTHH Galerkin (1) Mục tiêu: o Trình bày cách tiếp cận tổng quát cách dùng PTHH hàm liên tục đoạn o Các tính chất hàm dạng o Ví dụ minh họa 40 Công thức PTHH Galerkin (2) Xây dựng hàm thử liên tục đoạn: o Xét miền hữu hạn xi, xi+1 hình vẽ nút xi ui phần tử xi+1 ui+1 x tọa độ nút giá trị nút o Giả sử hàm thử tuyến tính u  a0  a1 x 41 20 2012-09-30 Công thức PTHH Galerkin (3) o Biểu diễn hàm thử theo giá trị nút: Yêu cầu giá trị hàm thử giá trị nút nút phần tử tử − Tại x=xi, ta có u  xi   ui − Tại x=xi+1, ta có  u  xi   a0  a1 xi  u  xi 1   a0  a1 xi 1 ui xi 1  ui 1 xi  a   hi  ui    ui 1  ui 1  ui a1   hi Với hi  xi 1  xi 42 Công thức PTHH Galerkin (4) Thay giá trị a0, a1 vào u  Đặt N1  x   u ta có, xi 1  x x  xi ui  ui 1 hi hi xi 1  x x  xi ; N2  x   hi hi Hàm thử tuyến tính theo giá trị nút viết lại: u  x   N1  x  ui  N  x  ui 1 N1(x) N2(x) gọi hàm dạng 43 21 2012-09-30 Công thức PTHH Galerkin (5) Các tính chất hàm dạng: N1 N2 x xi xi+1 o Hàm dạng nút i có giá trị nút i nút khác nút i N1 ( xi )  1; N1 ( xi 1 )  N ( xi )  0; N ( xi 1 )  o Tổng hàm dạng N1 ( x)  N ( x)   N i ( x)  i 1 44 Công thức PTHH Galerkin (6) Ví dụ minh họa: o Giải phương trình vi phân sau  d 2u   u   x,  x   dx u    u (1)   (1) (2) o Dạng yếu ế phương trình vi phân:  dw du   du  I    wu  wx  dx   w   dx dx   dx  0 45 22 2012-09-30 Công thức PTHH Galerkin (7) o Chia miền toán [0,1] thành phần tử hình vẽ 1 x1=0 u1 x2=1/3 u2 3 x3=2/3 u3 x4=1 u4 x o Dạng yếu phương trình vi phân viết lại:  xi1  dw du du   I      wu  wx  dx   w 0 d x d x d x   i 1   xi  46 Công thức PTHH Galerkin (8) o Xét phần tử thứ i, tích phân phần tử Ii  xi 1  xi  dw du   wu  wx  dx   dx dx  − Chọn hàm thử: u  x   N1  x  ui  N  x  ui 1   N1 u  N2   i  ui 1  − Hàm kiểm tra theo PP Galerkin: w1  x   u  N1  x  ui w2  x   u  N2  x  ui 1 47 23 2012-09-30 Công thức PTHH Galerkin (9) − Thay hàm thử hàm kiểm tra vào tích phân Ii để tìm ui ui+1 ta có  xi1  u   ui  ' ' '  i       N N N N N N N x      1 2 1   dx   u u  i 1   i 1   xi    xi1  u  ui    ' ' '  i       N N N N N N N x   2 2   dx     2 u u  i 1   i 1    xi  xi 1  xi   N1'  '   '   N1   N    ui  xi1  N1  N  dx       xdx  ui 1  xi  N  N  N      N1  N2  ' 48 Công thức PTHH Galerkin (10) xi 1  xi    h   i         hi   hi    xi1    hi    xi     hi2   xi 1  x      hi   xi 1  x    hi   x  xi   hi  h  i      xi 1  x   hi2   hi2     x  x  x  x  i  i 1 hi2   h i      xi 1  x  xi 1  hi2    xi     xi 1  x  x  xi   hi2    xi 1  x   xi 1  hi  x  xi    ui    xdx x d    hi   ui 1  xi  x  xi   h   i    xi 1  x  x  xi    i h  x  xi  hi2  xi 1  x   xi1  hi     ui   d x   u    x  x  xdx  i    i 1  xi    h  i      xi 1  x  x  xi    xxi 1  x    xi 1  hi2 hi   ui     x d  u    x  xx  dx   x  xi  i   i 1  xi   h   hi i    49 24 2012-09-30 Công thức PTHH Galerkin (11)  xi1 x  xxi 1  xi21  dx  x hi2  i   x i 1  x   xi  xi 1  x  xi xi 1  dx  x hi2  i xi 1    x3 2  x x xx x      i 1 i 1 hi2    xi   xi1 2 1 x x  x    xi  xi 1  xxi xi 1  x   hi   xi xi 1  x   xi  xi 1  x  xi xi 1    xi1 xxi 1  x  dx  dx   h hi   ui   xi   u    xi1  2 x  xxi  xi    i 1   x  xxi dx  x d   x  hi2 hi   i  i xi xi 1  xi xi 1    x3 x x2 x x xx x x        i i 1 i i 1 hi2  2  xi   ui    xi 1  ui 1  hi  x 2    x x xx x   i i  hi    xi xi 1  x x3    xi 1    x   i     x x  xi1   x   i    xi  50 Công thức PTHH Galerkin (12)   xi31  xi3   xi2 xi 1  xi xi21  xi 1  xi   2 h  i      xi31  xi3 xi21 xi xi2 xi 1       xi 1  xi  2   hi    xi31  xi3 xi21 xi xi2 xi 1     xi 1  xi    hi  2    ui    3   ui 1   xi 1  xi  xi21 xi  xi 1 xi2  xi 1  xi    hi     xi31 xi2 xi 1 xi3     1 3   hi  xi xi xi21 xi3         x  x 3      xi 1  xi    i 1 i  xi 1  xi   x x      i  i  u hi2   hi     i         ui 1      xi 1  xi 3   xi 1  xi   xi 1  xi   xi 1  xi        h hi2      i    xi 1  xi   xi  xi 1  xi     1   hi   x  x 3  x  x  x 2  i 1 i i 1  i i 1    51 25 2012-09-30 Công thức PTHH Galerkin (13)   hi3     hi  hi       h3     i  hi   hi    hi 3 h i    hi 6 h i    hi3 h    i  hi2     ui  u   h    i 1  i  hi  hi    hi     hi3  xi hi2       hi3  3xi 1hi2    hi   hi     x x   i i   hi  ui      hi  ui 1   hi    xi 1  xi    hi  6  52 Công thức PTHH Galerkin (14) − Vậy tích phân Ii phần tử Phần tử 1: , 2,9444 ,  3,1111   u1   0,, 0185 I1    u   0, 0370  2,9444  3,1111   2   Phần tử 2:  3,1111 2,9444  u2   0, 0741 I2     u   0, 0926  2,9444 3,1111    3   Phần tử 3:  3,1111 2,9444  u3  0,1296  I3    u    0,1481 2,9444 3,1111    4   53 26 2012-09-30 Công thức PTHH Galerkin (12) 1  N  du du   1 − Tính w dx  N  dx Phần tử 1:  N1    '  u'      u      N       Phần tử 2: 0  0    Phần tử 3:  N1 1  '    u       '  u 1   N 1  54 Công thức PTHH Galerkin (13) − Để tính I tổng Ii, viết lại t/phân p/tử Phần tử 1:  3,1111 2,9444 0  u1  0, 0185 u'     2,9444      3,1111 0  u2   0, 0370      0   u3            0   u4      Phần tử 2: 0 0 0 3,1111 2,9444  0 2,9444 3,1111  0 0 Phần tử 3: 0 0  0  0   u1     u2   0, 0741    u3  0, 0926       u4    0   u1        0  u2        3,1111 2,9444  u3  0,1296          2,9444 3,1111 u4   0,1481 u' 1  55 27 2012-09-30 Công thức PTHH Galerkin (14) − Vậy 0   u1   0, 0185  u'     3,1111 2,9444    2,9444 3,1111  3,1111 2,9444  u2  0, 0370  0, 0741 0 I    2,9444 3,1111  3,1111 2,9444  u3   0, 0926  0,1296       2,9444 3,1111 u4   0,1481  u' 1   0   u1   0, 0185  u'     3,1111 2,9444     u2   0,1111   2,9444 6, 2222 2,9444   2,9444 6, 2222 2,9444   u3   0, 2221       2,9444 3,1111 u4   0,1481  u' 1   56 Công thức PTHH Galerkin (14) − Áp đặt điều kiện biên u(0)=u1=0 u(1)=u4=0 vào hệ pt trên, 0     0, 0185  u'     3,1111 2,9444    2,9444 6, 2222 2,9444  u2   0,1111      2,9444 6, 2222 2,9444  u3   0, 2222      2,9444 3,1111    0,1481  u' 1    6, 2222 2,9444  u2   0,1111         2,9444 6, 2222   u3   0, 2222  u   0, 0448    2     u3  0, 0569  57 28 2012-09-30 Công thức PTHH Galerkin (15) o Lời giải xấp xỉ tìm 1/3 2/3 58 Công thức biến phân (1) o Công thức biến phân biến đổi PT vi phân thành phiếm hàm  d 2u  u   x,  x  o Ví dụ pt vi phân:  dx   u    and u (1)  Có biểu thức biến phân  d 2u   du   J      u  x   udx    u  dx  dx   x 0  Phiếm hàm tương ứng   du  2  J       u  xu  dx   dx  x 0   59 29 2012-09-30 Công thức biến phân (2) o Cực tiểu hóa phiếm hàm dẫn đến phương trình vi phân chủ đạo nhiều toán kỹ thuật o Năng lượng nhiều toán kỹ thuật phiếm hàm 60 PP Rayleigh-Ritz (1) o PP Rayleigh-Ritz tìm lời giải xấp xỉ phương trình vi phân dựa vào phiếm hàm o PP Rayleigh-Ritz gồm bước: − Bước 1: Giả sử lời giải (thỏa đk biên tự nhiên đk biên cần) có chứa hệ số − Bước 2: Thế lời giải giả sử vào phiếm hàm cực tiểu hóa phiếm hàm để tìm hệ số 61 30 2012-09-30 PP Rayleigh-Ritz (2) o Ví dụ: giải pt vi phân  d 2u   u   x,  x   dx  u    and u (1)   − Phiếm hàm tương ứng   du  2  J       u  xu  dx   dx  x 0   − Giả sử u  ax 1  x  − Cực tiểu phiếm hàm dJ   a  0.2272 da 62 Công thức PTHH Rayleigh-Ritz o Giải pt vi phân o Phiếm hàm  d 2u   u   x,  x   dx  u    and u (1)     du  2  J        u  xu  dx i 1 x  xi    dx   n xi 1 o Hàm thử cho phần tử [xi-xi+1] u  N1  x  ui  N  x  ui 1 o Cực tiểu J N1  x   xi 1  x xi 1  xi N2  x   x  xi xi 1  xi 63 31 2012-09-30 Bài tập (1) o Bài 1: Cho phương trình vi phân  d 2u  2u  1,  x  x  dx  u 1  u (2)   Giả sử hàm thử có dạng u  a  x  1 x   Giải pt vi phân cho PP 1a PP ttụ tập tậ điểm điể 1b PP bình phương cực tiểu 1c PP Galerkin So sánh kết PP 64 Bài tập (2) o Bài 2: Cho phương trình vi phân  d u du  2u  0,  x   2 dx  dx  u    u (1)   Giải pt vi phân PP PTHH Galerkin theo cách chia miền toán thành 1a phần tử x1=0 x2=1/3 x3=2/3 x4=1 x 65 32 2012-09-30 Bài tập (3) 1b phần tử x1=0 x1=1/4 3 X2=2/4 4 x3=3/4 x4=1 x So sánh kết cách chia miền toán nêu lời g giải xác 66 33 [...]... nhiều bài toán kỹ thuật o Năng lượng trong nhiều bài toán kỹ thuật là một phiếm hàm 60 6 PP Rayleigh-Ritz (1) o PP Rayleigh-Ritz tìm lời giải xấp xỉ của phương trình vi phân dựa vào phiếm hàm o PP Rayleigh-Ritz gồm 2 bước: − Bước 1: Giả sử lời giải khả dĩ (thỏa đk biên tự nhiên hoặc đk biên cần) có chứa các hệ số − Bước 2: Thế lời giải giả sử vào phiếm hàm và cực tiểu hóa phiếm hàm để tìm các hệ số 61... số đoạn trên miền bài toán, sẽ tăng độ chính xác của lời giải xấp p xỉ − Lời giải xấp xỉ cho kết quả chính xác tại các điểm biên của từng đoạn o Từng đoạn của miền bài toán được gọi là phần tử 39 19 2012-09-30 4 Công thức PTHH Galerkin (1) Mục tiêu: o Trình bày cách tiếp cận tổng quát của cách dùng PTHH và hàm liên tục từng đoạn o Các tính chất của hàm dạng o Ví dụ minh họa 40 4 Công thức PTHH Galerkin... giải xấp xỉ tìm được  0,1344 x   u   0, 0363 x  0, 0327  0 1707 x  0,1707 0 1707 0,1707 0 x 1 3 1 x2 3 3 2  x 1 3 38 3 Hàm thử liên tục từng đoạn (10) Nhận xét: o Dùng hàm thử liên tục từng đoạn có những ưu điểm: − Dùng hàm liên tục từng đoạn i đơn giản có thể xấp xỉ lời giải phức tạp − Tăng số lượng hàm i, tức là tăng số đoạn trên miền bài toán, sẽ tăng độ chính xác của lời giải xấp. .. u  a  x  1 x  2  1 Giải pt vi phân đã cho bằng các PP 1a PP ttụ tập 1 tậ điểm điể 1b PP bình phương cực tiểu 1c PP Galerkin 2 So sánh kết quả giữa các PP trên 64 8 Bài tập (2) o Bài 2: Cho phương trình vi phân  d 2 u du  2u  0, 0  x  1  2 dx  dx  u  0   0 và u (1)  1  1 Giải pt vi phân trên bằng PP PTHH Galerkin theo các cách chia miền bài toán thành 1a 3 phần tử 1 x1=0 1 2 x2=1/3... ui  N 2  x  ui 1 N1(x) và N2(x) được gọi là hàm dạng 43 21 2012-09-30 4 Công thức PTHH Galerkin (5) Các tính chất của hàm dạng: N1 N2 1 x xi xi+1 o Hàm dạng của nút i có giá trị bằng 1 tại nút i và 0 tại các nút khác nút i N1 ( xi )  1; N1 ( xi 1 )  0 N 2 ( xi )  0; N 2 ( xi 1 )  1 o Tổng các hàm dạng bằng 1 2 N1 ( x)  N 2 ( x)   N i ( x)  1 i 1 44 4 Công thức PTHH Galerkin (6) Ví dụ minh...2012-09-30 1 PP thặng dư có trọng số (17) u  a1 , a2   a1 x 1  x   a2 x 2 1  x  22 1 PP thặng dư có trọng số (18) Nhận xét: − Độ chính xác của lời giải xấp xỉ tăng khi bậc của hàm thử tăng − Các điểm xi của PP tụ tập điểm cần chọn sao cho ma trận của hệ pt chứa ai không bị suy biến − PP bình phương tối thiểu luôn làm cho ma trận của hệ pp chứa ai đối xứng − PP Galerkin... x  29 14 2012-09-30 3 Hàm thử liên tục từng đoạn (1) Nhận xét: o Độ chính xác của lời giải xấp xỉ phụ thuộc vào hàm thử được chọn o Tuy nhiên, chọn hàm thử tốt cho một bài toán bất kỳ không phải dễ, đặc biệt khi bài toán có − Hình dạng 2 hoặc 3 chiều phức tạp − Có điều kiện biên phức tạp o Do đó, cần có 1 cách chọn hàm thử phù hợp cho mọi bài toán 30 3 Hàm thử liên tục từng đoạn (2) Mục tiêu: o Giới...  6, 2222 2,9444  u2   0,1111         2,9444 6, 2222   u3   0, 2222  u   0, 0448    2     u3  0, 0569  57 28 2012-09-30 4 Công thức PTHH Galerkin (15) o Lời giải xấp xỉ tìm được 1/3 2/3 58 5 Công thức biến phân (1) o Công thức biến phân biến đổi PT vi phân thành một phiếm hàm  d 2u  u   x, 0  x  1 o Ví dụ pt vi phân:  dx 2   u  0   0 and u (1)  0 Có... thức có được bằng cách áp dụng tích phân từng phần lên dạng mạnh đạo hàm bậc 2 Ví dụ: Có dạng mạnh  d 2u  I   w  2  u  x  dx  0  dx  0 1 Á dụng Áp d tích tí h phân hâ từ từng phần hầ 1  dw du   du  I    wu  wx  dx   w   0 dx dx   dx  0 0 1 đạo hàm bậc 1 26 2 Công thức dạng yếu (4) PP Galerkin dùng với dạng yếu − Bước 1: Giả sử hàm thử u  ai  với các hệ số ai chưa... u  0     N 0    0   2  Phần tử 2: 0  0    Phần tử 3:  N1 1  '  0   u 1       '  u 1   N 2 1  54 4 Công thức PTHH Galerkin (13) − Để tính I là tổng các Ii, viết lại t/phân của các p/tử Phần tử 1:  3,1111 2,9444 0 0  u1  0, 0185 u'  0    2,9444  0   0   3,1111 0 0  u2   0, 0370   0    0 0 0   u3   0   0        0 0