Đang tải... (xem toàn văn)
Mảng kiến thức các bài toán về Max Min cực lớn. Có thể nói là không bao giờ học hết được. Nhưng trong khuôn khổ thi đại học ta có thể dùng các bđt phụ để chứng minh dồn biến và xét hàm tìm ra lời giải. Tài liệu cung cấp cho các bạn CÁC BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ HAY DÙNG TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC do thầy Mẫn Ngọc Quang biên soạn
BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ - THẦY MẪN NGỌC QUANG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ HAY DÙNG TRONG CÁC BÀI THI ĐẠI HỌC – THPTQG CƠ SỞ LÝ THUYẾT PHẦN : Nhóm bất đẳng thức Cosi hệ : Hệ với biến : x,y>0 1 1 1 1 1 ( x y )( ) ( ) (4) hay viết kiểu ( x y )( ) x y x y x y x y x y x y Dấu x = y VÍ DỤ ĐỂ CÁC EM DỄ HÌNH DUNG BÀI TOÁN ÁP DỤNG LUÔN CHO CÁC EM DỄ HÌNH DUNG : Câu : Cho a,b,c độ dài cạnh tam giac thỏa mãn : 2c b abc Tìm : P b c a a c b a bc Trước tiên phân tích toán , thầy muốn hỏi em người ta lại cho a,b,c độ dài cạnh tam giác ? Cái để biết b c a 0, a c b 0, a b c , áp dụng 1 , Tuy nhiên , tử số biểu thức không đồng bđt phụ , ta dùng x y x y phương pháp đồng hệ số để dung sau : 1 1 1 m( ) n( ) p( ) bc a a cb a bc bca a cb abc bca a bc a cb m n m m p n n p p 3 P Áp dụng : 1 ta có : x y x y Học Toán Thầy Quang – Càng học thấy mê Page BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ - THẦY MẪN NGỌC QUANG 1 bca a cb 1 bca abc 1 a bc a cb 2c c 2b b 2a a Vậy ta có : P( 1 1 1 2 2 ) 2( ) 3( ) 2( ) bc a ac b abc bca abc ac b c b a c b a Bây ta để ý đến giả thiết xem : 2c b abc , chia vế cho b.c ta 2c b abc a , Ồ hay , nhìn thấy chả thích!!! , thay vào biểu thức P ta b c có : 3 P 2( ) 2(a ) b c a a Một điều quan trọng sử dụng bất đẳng thức phụ em phải biết đươc điểm rơi , điểm rơi ý nói dấu xảy , em nhớ dấu = phải phù hợp quán từ đầu cuối , bất đẳng thức phụ , ví dụ chung ta áp dụng bđt phụ em nhìn lại : BĐT PHỤ 1: 1 x y x y dấu xảy x = y , a b c a c b b c a a b c a BĐT PHỤ : (a ) a , dấu bằn a a Kết hợp bđt phụ không thấy có mâu thuẫn , toán hướng dấu xảy : a b c KINH NGHIỆM : Nếu em thấy toán mà cho dạng phân thức mà biến tuần hoàn đối xứng ta nghĩ đến điểm rời a = b = c , từ nghĩ đến bất đẳng thức phụ 1 x y x y Bài : Cho x,y,z > : xy xz yz xyz Tìm max : Học Toán Thầy Quang – Càng học thấy mê Page BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ - THẦY MẪN NGỌC QUANG P 1 2x y z x y z x y 2z Bài toán tìm max em , nhớ 1 cho giá trị , x y x y làm để có max , vấn đề sử dụng ngược bđt phụ , em quan sát thầy làm BĐT phụ x y viết lại sau : ( x y )( ) 1 1 ( ) Ồ!!! đến sử x y x y dụng để tìm max Nào , tìm điểm rơi xem , biến x,y,z đối xứng đẹp , giả thiết lẫn biểu thức P , mà lại dương nên chắc điều dấu xảy x=y=z em Ta làm sau : 1 1 1 1 1 1 1 ( ) [ ( ) ( )]= [ ] ( x y) ( x z) x y x z 4 x y x z 16 x y z 1 1 1 1 1 1 ( ) [ ( ) ( )]= [ ] ( x y) ( y z) x y y z 4 x y y z 16 x y z 1 1 1 1 1 1 1 ( ) [ ( ) ( )]= [ ] ( x z) ( y z) x z y z 4 x z y z 16 x y z Vậy cuối ta có : P 1 1 4 [ ] x y z x y z x y z 16 x y z Đến sử dụng giả thiết sau : xy xz yz xyz thường mà toán cho tích xyz hay làm phép chia vế cho dễ sử dụng : xy+xz+yz=4xyz Vậy ta có : P 1 4 x y z 1 4.4 , Dấu = khí x = y = z x y z 16 x y z MỞ RỘNG VỚI BIẾN , BIẾN TA CŨNG CÓ : Khi có biến : x,y,z>0 1 1 1 ( x y z )( ) x y z x y z x yz Học Toán Thầy Quang – Càng học thấy mê Page BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ - THẦY MẪN NGỌC QUANG x hay viết ( x y z )( 1 1 1 )9 ( ) y z x y z x y z Dấu x = y = z Khi có biến : 1 1 1 1 1 ( x y z t )( ) 16 ( ) x y z t x y z t 16 x y z t Chú ý , toán em sử dụng bất đẳng thức phụ cho biến , nhiên em cần phải chưng minh trước sử dụng BÀI TẬP CHO CÁC EM ÁP DỤNG Sau ví dụ cho em thực hành , làm nhiều dạng , xuôi ngược quen em , không làm em đặt câu hỏi group , co bạn trả lời cho em Bài : Cho a, b, c Chứng minh P ab bc ca abc a 3b 2c b 3c 2a c 3a 2b Bài : x, y , x y Tìm : P x y Bài : a, b, c 0, a 2b 2c Tìm : P Bài : Cho x y , 1 x y 1 ab ac bc ab ac c x2 y2 3x y 4 2y x xy Tìm : P x 32 y x y x y 1 5 x 4y (CHÚ Ý : TẤT CẢ CÁC BÀI TẬP TRÊN ĐỀU CÓ VIDEO HƯỚNG DẪN CÁC EM LÀM BÀI , TUY NHIÊN CÁC EM NÊN TỰ VẬN DỤNG CÁC BĐT PHỤ THẦY ĐƯA TRÊN ĐỂ TẬP SUY NGHĨ NHÉ , CÀNG NGHĨ NHIỀU THÌ NÃO MÌNH CÀNG HOẠT ĐỘNG LINH HOẠT ) PS : Trong ví dụ em thực hành sử dụng vài bđt phụ nhỏ khác , em biết Học Toán Thầy Quang – Càng học thấy mê Page BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ - THẦY MẪN NGỌC QUANG Học Toán Thầy Quang – Càng học thấy mê Page ... dụng bất đẳng thức phụ em phải biết đươc điểm rơi , điểm rơi ý nói dấu xảy , em nhớ dấu = phải phù hợp quán từ đầu cuối , bất đẳng thức phụ , ví dụ chung ta áp dụng bđt phụ em nhìn lại : BĐT PHỤ... rời a = b = c , từ nghĩ đến bất đẳng thức phụ 1 x y x y Bài : Cho x,y,z > : xy xz yz xyz Tìm max : Học Toán Thầy Quang – Càng học thấy mê Page BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ - THẦY MẪN NGỌC QUANG... y x y x y 1 5 x 4y (CHÚ Ý : TẤT CẢ CÁC BÀI TẬP TRÊN ĐỀU CÓ VIDEO HƯỚNG DẪN CÁC EM LÀM BÀI , TUY NHIÊN CÁC EM NÊN TỰ VẬN DỤNG CÁC BĐT PHỤ THẦY ĐƯA TRÊN ĐỂ TẬP SUY NGHĨ NHÉ , CÀNG NGHĨ