BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Minh Vân NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ở TRUNG HỌC CƠ SỞ LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Minh Vân NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ở TRUNG HỌC CƠ SỞ Chuyên ngành: Lý luận & PPDH môn Toán Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC Ts Trần Lương Công Khanh Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CÁM ƠN Lời đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trần Lương Công Khanh, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ hoàn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho kiến thức thú vị didactic toán, cung cấp cho công cụ hiệu để thực việc nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn PGS TS Annie Bessot, PGS TS Claude Comiti, TS Alain Birebent nhiệt tình giải đáp thắc mắc truyền đạt cho kiến thức Didactic quý báu Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới: - Ban lãnh đạo chuyên viên phòng KHCN-SĐH trường Đại học Sư phạm TP.HCM tạo điều kiện thuận lợi cho suốt khóa học - Ban Giám hiệu thầy cô tổ Toán trường THPT Lương Văn Chánh tạo điều kiện thuận lợi động viên, giúp đỡ để hoàn thành tốt khóa học - Tập thể lớp Didactic K20 chia sẻ niềm vui khó khăn suốt khóa học Cuối cùng, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thân yêu gia đình động viên, giúp đỡ mặt Nguyễn Thị Minh Vân MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cám ơn Mục lục Danh mục chữ viết tắt Danh mục bảng MỞ ĐẦU CHƯƠNG TÌM HIỂU VỀ PHƯƠNG PHÁP “GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH” .6 1.1 Thế “Giải toán cách lập hệ phương trình” .6 1.1.1 “Giải toán cách lập hệ phương trình” [1] 1.1.2 “Giải toán cách lập hệ phương trình” [8] 1.1.3 Chỉ dẫn cho việc lập phương trình [18] [22] 12 1.2 Sự giao “giải toán cách lập hệ phương trình” “giải toán cách lập phương trình” 15 1.3 Các toán giải cách lập hệ phương trình .16 1.3.1 Các toán [1] 16 1.3.2 Các toán [8] 22 1.4 “Giải toán cách lập hệ phương trình” – phương pháp giải toán gắn với “vấn đề thực tiễn” 28 CHƯƠNG “GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH” TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC .32 2.1 Pháp “Giải toán cách lập hệ phương trình” thể chế dạy học 32 2.1.1 Những ghi nhận lý thuyết 34 2.1.2 Bài tập 38 2.2 Nam “Giải toán cách lập hệ phương trình” thể chế dạy học Việt 46 2.2.1 Những ghi nhận lý thuyết 47 2.2.2 Bài tập 56 2.2.3 “Đặc điểm” toán giải “giải toán cách lập hệ phương trình” 63 2.3 Kết phân tích thể chế 70 CHƯƠNG THỰC NGHIỆM 73 3.1 Mục đích thực nghiệm .73 3.2 Hình thức tổ chức thực nghiệm 73 3.3 Phân tích thực nghiệm .74 3.3.1 Giới thiệu câu hỏi thực nghiệm .74 3.3.2 Phân tích a priori 75 3.3.3 Phân tích a posteriori .84 Kết luận từ thực nghiệm .88 KẾT LUẬN 90 TÀI LIỆU THAM KHẢO 92 DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT GTHPT : Giải toán cách lập hệ phương trình GTPT : Giải toán cách lập phương trình GV : Giáo viên HPT : Hệ phương trình HS : Học sinh PT : Phương trình SBT : Sách tập SGK : Sách giáo khoa SGV : Sách giáo viên Tr : Trang THSC : Trung học sở DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1.1- Các cách giải toán “Vừa gà, vừa thỏ”……………………… 10 Bảng 1.2- Những vấn đề then chốt cần nắm vững lập PT……………… 13 Bảng 1.3-Phân loại toán giải cách lập PT, HPT………………………………………… …………………………… 16 Bảng 2.1-Lời giải toán chứa quy trình GTHPT thể chế Pháp ……………………………………… …………………………… 34 Bảng 2.2-Các điểm đặc trưng GTHPT thể chế Pháp ………… 45 Bảng 2.3-GTPT CT94 CT20……………………… ………… 47 Bảng 2.4-So sánh CT94 CT20 GTHPT…………………………… ….54 Bảng 2.5-Số lượng loại toán giải GTHPT thể chế…… ……56 Bảng 2.6-Một số toán đề thi tuyển sinh vào lớp 10 liên quan đến GTHPT…………………………………………………………… ……… 59 Bảng 2.7-Các vấn đề đề cập toán giải GTHPT……………………………………………………….…………… 61 Bảng 3.1-Các lời giải cho câu hỏi 1……………………………….…… …77 Bảng 3.2-Các lời giải cho câu hỏi 2……………………………….…… …81 Bảng 3.3-Thống kê số lượng chiến lược cho câu hỏi 1…………….…… 83 Bảng 3.4-Thống kê số lượng chiến lược cho câu hỏi 2…………….…… 85 Bảng 3.5-Thống kê số lượng lời giải có đặt điều kiện cho ẩn câu hỏi 1………………………………………………….…………….…… ……….86 Bảng 3.6-Thống kê số lượng lời giải có đặt điều kiện cho ẩn câu hỏi 2………………………………………………….…………….…… ……….86 MỞ ĐẦU Những ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát Một toán cổ mà nhiều hệ học sinh Việt Nam biết: Vừa gà vừa chó Bó lại cho tròn Ba mươi sáu Một trăm chân chẵn Hỏi có gà, chó? Bài toán có mặt sách giáo khoa lớp xuất năm 1989, 1997 sách giáo khoa lớp 8, chương trình hành (chương trình cải cách năm 2000) Ở sách giáo khoa lớp năm 1989 1997, ví dụ học Giải toán cách lập phương trình (trang 90 trang 74) Đến sách giáo khoa lớp hành, toán xuất với tư cách “bài toán cổ quen thuộc Việt Nam”, đưa vào phần mở đầu Chương III - PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN với câu hỏi “Nó có liên hệ với toán: Tìm x, biết 2x + 4(36 – x) = 100?”, sau Ví dụ học Giải toán cách lập phương trình (trang 24) Và đến sách giáo khoa lớp hành, tác giả lấy toán để mở đầu Chương III - HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN, cụ thể: “trong toán trên, đại lượng chưa biết số gà, ta thấy đại lượng chưa biết khác số chó Nếu kí hiệu x số gà y số chó thì: - Giả thiết có tất 36 vừa gà vừa chó mô tả hệ thức x + y = 36 - Giả thiết có tất 100 chân mô tả hệ thức 2x + 4y = 100 Các hệ thức ví dụ phương trình bậc hai ẩn.” (trang 4) Như toán “phiên dịch” thành phương trình bậc ẩn mà thành hệ phương trình bậc hai ẩn Điều trình bày cụ thể Giáo trình đào tạo giáo viên THCS, hệ Cao đẳng sư phạm Nhà xuất giáo dục năm 1998 (trang 111) qua đoạn sau: - Hay Sáng tạo Toán học, tập I (Mathematical discovery) G Polia (bản dịch Phan Tất Đắc, Nguyễn Sĩ Tuyển, NXB Hà Nội -1975), toán có phiên khác “một chủ trại nọ, nuôi gà thỏ, thảy 50 con, gồm 140 chân Hỏi chủ trại có gà thỏ?” Tác giả trình bày nhiều cách giải toán nhẩm, dùng nhanh trí (ý chói lọi - chia đôi số chân), nhiên nhấn mạnh đến phương pháp “áp dụng trường hợp số lớn lẫn số nhỏ, áp dụng tập hợp vô hạn toán, chẳng cần phải có ý chói lọi hoi mà đòi hỏi phải nắm vững điều ngôn ngữ đại số”, sau “phiên dịch” toán sang ngôn ngữ kí hiệu toán học hệ phương trình , với x số gà, y số thỏ Sau sách hướng dẫn bạn đọc đến phương pháp lập “hệ thống phương trình đưa đến phương trình” để giải số toán (trang 49 - 59) Như vậy, toán cổ gắn bó chặt chẽ với phương pháp giải toán dành cho học sinh bậc Trung học sở (THCS), “giải toán cách lập phương trình, hệ phương trình” Vì nội dung “giải toán cách lập phương trình” học viên cao học khác nghiên cứu nên chọn nghiên cứu nội dung “giải toán cách lập hệ phương trình” Với điều quan sát trên, đặt câu hỏi xuất phát sau: Q’0: Vì toán cổ “vừa gà vừa chó” lại chọn để giới thiệu học “giải toán cách lập phương trình, hệ phương trình”? Q’1: Có giao “giải toán cách lập hệ phương trình” “giải toán cách lập phương trình”? Bản chất phương pháp giải toán gì? Những ràng buộc toán dẫn đến việc lập hệ phương trình thay phương trình? Q’2: Nội dung “giải toán cách lập hệ phương trình” trình bày sách giáo khoa qua thời kì? Có thể chế ưu tiên phát triển không? Nó hướng đến mục tiêu dạy học nào? Tồn quan niệm, quy tắc ứng xử giáo viên học sinh dạy học nội dung này? Q’3: Nội dung có tồn thể chế dạy học nước khác hay không? Có giống khác với thể chế dạy học Việt Nam? Mục đích nghiên cứu phạm vi lý thuyết tham chiếu Mục đích luận văn tìm câu trả lời cho câu hỏi trên, qua có nhìn toàn cảnh nội dung “giải toán cách lập hệ phương trình” theo quan điểm Didactic Toán Vì lựa chọn công cụ lí thuyết sau đây: - Thuyết nhân học: với thuyết nhân học, tiến hành phân tích thể chế, tài liệu từ cho phép tìm tồn trình phát triển nội dung “giải toán cách lập hệ phương trình”… Các lời giải xảy giải thích lời giải Chiến lược Sa1: Gọi x, y (h, x, y > 0) t/gian lớp 9A, 9B làm riêng xong công việc Trong 1h, lớp 9A làm 1/x công việc, lớp 9B làm 1/y công việc Cả hai lớp làm 1/12 công việc Nên ta có PT 1   (1) Do lớp 9A có 30 HS, lớp 9B có 40 HS suất x y 12 HS nên ta có PT S hpt 1 31  x 4y (2) Giải hệ ta có x = 28, y = 21 Sa2: HS lập PT (1) do nhầm lẫn từ kiện “năng suất học sinh nhau” nên lập PT (2) 1  x y Hệ phương Sa3: HS lập PT (1) PT (2) không lập trình PT (2) cách kết hợp điều kiện lại toán Sa4: HS lập PT (1) Thay so sánh S hpt suất lời giải Sa1, HS so sánh số ngày làm việc riêng lớp dựa điều kiện lại toán, PT (2) x  y Sa5: Gọi x, y phần việc lớp 9A, 9B làm h S hpt Từ điều kiện toán, ta có PT x + y = x  y 12  Đối với chiến lược phương trình: Chiến lược Các lời giải giải thích lời giải Sb1: Gọi x (h) số ngày làm riêng xong công việc lớp 9A, x Phương trình S pt > Trong 1h, lớp 9A làm công việc Do lớp 9A có 30 HS x lớp 9B có 40 HS, suất HS nên ta có 1h, lớp 9B làm 41 41 công việc Suy ta có PT:  (*)  3x x x 12 Sb2: Gọi x (h) thời gian làm riêng xong công việc lớp 9A, x > Do lớp 9A có 30 HS lớp 9B có 40 HS, suất HS nên ta có thời gian làm riêng xong công việc lớp 9B x Trong 1h, lớp 9A làm công việc Lớp 9B làm x 1 công việc Cả hai lớp làm Suy PT (*) 12 x S pt Sb3: Gọi x (h) thời gian làm riêng xong công việc lớp 9A, x > Suy 12 - x (h) thời gian làm riêng xong công việc lớp 9B Suy PT lập 1   Ở HS nhầm lẫn suy x 12  x 12 thời gian làm riêng lớp 9B lại lập PT theo gọi  Đối với chiến lược suất chiến lược số học: Chiến lược Các lời giải giải thích lời giải Sc: Gọi x (công việc/h) suất học sinh Suy Năng suất lớp 9A 30x; lớp 9B 40x; hai lớp 70x Năng suất Vì hai lớp hoàn thành công việc 12 nên 12.70x = 1, suy x = S nsuat Do đó, thời gian làm riêng lớp: 1/30x = 28h; 1/40x = 21h 840 Nếu không gọi x tường minh suy luận xem lời giải lời giải số học Sd: Ta có 30 + 40 = 70 người làm công việc 12 h Số học S sohoc Do suất bình quân học sinh nên lớp 9A làm 70.12 70.12 = 28 h lớp 9B làm = 21 h 30 40 3.3.2.2 Câu hỏi Câu Gần Tết nguyên đán, hai chị em An Xuân mua hoa chợ bán lại kiếm tiền phụ giúp gia đình Mỗi loại hoa hai chị em bán giá An bán 25 bó hoa cúc 17 bó vạn thọ, lãi 91000 đồng Xuân bán 19 bó hoa cúc 13 bó vạn thọ, lãi 69000 đồng Hỏi hai chị em thu tiền lãi từ hoa cúc tiền lãi từ hoa vạn thọ? - Biến  V 21 thucte: toán dạng dù mặt sách giáo khoa lại thực tế quen thuộc, đặc biệt vùng quê làm thực nghiệm Người dân Tết gần kề thường đến vùng trồng hoa mua hoa với giá sỉ đem bán lẻ chợ xa trung tâm Việc bán hoa thường mang lại chút tiền lãi cho người bán bị lỗ lượng hoa nhiều Bài toán thực tế dạng toán giải cách lập HPT  V 22 yêucâu: Ở yêu cầu tìm lãi thu từ việc bán hoa cúc hoa vạn thọ toàn hoa bán Việc gọi ẩn hai đại lượng gây khó khăn cho việc lập HPT việc kết luận đáp án BT Với lựa chọn biến trên, chiến lược hệ phương trình ưu tiên - Chiến lược  S HPT : hệ phương trình: Chiến lược theo hướng sau:  S HPT 1: ẩn trực tiếp + gọi ẩn trực tiếp tiền lãi từ hoa cúc tiền lãi từ hoa vạn thọ + suy tiền lãi từ bó hoa cúc, từ bó hoa vạn thọ + lập HPT  S HPT 2: ẩn gián tiếp + gọi ẩn tiền lãi từ bó hoa cúc bó hoa vạn thọ + Lập HPT + Tính số tiền lãi từ hoa cúc hoa vạn thọ công thức: Số tiền lãi = số tiền lãi từ bó * số bó  S PT : phương trình + gọi ẩn số tiền lãi từ loại hoa + suy số lãi từ hoa lại tổng tiền lãi trừ ẩn + Suy số tiền lãi từ bó hoa, cho loại +Lập PT từ điều kiện: số tiền lãi từ An Xuân +Giải nghiệm PT kiểm tra lại điều kiện chưa sử dụng +Kết luận Rõ ràng chiến lược phương trình tốn nhiều công sức, dự đoán có khả xảy - Các lời giải xảy ra: Bảng sau trình bày lời giải có thể, lời giải chưa tính đến việc đặt điều kiện cho ẩn ứng xử HS nghiệm âm xảy Bảng 3.2 – Các lời giải câu hỏi Chiến lược Các lời giải giải thích lời giải Saa1: Gọi x tiền lãi thu từ hoa cúc, y tiền lãi thu từ hoa vạn thọ Điều kiện: x, y > Suy số tiền lãi Hệ phương trình từ bó hoa cúc S HPT x x , từ bó hoa vạn thọ 44 30  + 17 = 25 91000 Ta có HPT   44 30 x y  19 x + 13 y = 69000 Nghiệm x = 220000 y = - 60000  44 30  Saa2: Gọi x tiền lãi thu từ hoa cúc, y tiền lãi thu từ hoa vạn thọ Điều kiện: x, y > Theo đề ta có hệ phương trình 91000 Giải hệ ta x = 5000, y = - 2000 Vậy lãi từ  25 x + 17 y =  69000 19 x + 13 y = hoa cúc 5000 đồng lãi (lỗ) từ hoa vạn thọ – 2000 (2000) đồng lời giải này, HS đồng tiền lãi từ hoa cúc (tổng số) với tiền lãi từ bó hoa cúc, tượng tự hoa vạn thọ Saa3: tương tự Saa2, nhiên HS để ý đến việc tổng số tiền lãi 160000 nên kết luận lại nhiên không sửa ẩn Vậy lãi từ hoa cúc (25 + 19).5000 = 220000 đồng Lỗ từ hoa vạn thọ (17 +13) 2000 = 60000 đồng Saa4: Gọi x tiền lãi thu từ bó hoa cúc, y tiền lãi thu từ bó hoa vạn thọ Điều kiện: x, y > Theo đề ta có hệ phương S HPT 25 x + 17 y = 91000 Giải hệ ta x = 5000, y = - 2000 trình   69000 19 x + 13 y = Vậy lãi từ hoa cúc (25 + 19).5000 = 220000 đồng Lỗ từ hoa vạn thọ (17 +13) 2000 = 60000 đồng Sbb: Gọi x số tiền lãi từ hoa cúc, x > Suy tiền lãi từ hoa vạn thọ 16000 – x Do Tiền lãi từ bó hoa cúc x , bó hoa vạn thọ 44 Phương trình S PT 160000  x 30 25 Từ số tiền lại An, ta có PT: x 160000  x  17  91000 Suy x = 220000 Nghiệm thỏa 44 30 mãn PT 19 x  13 160000  x  69000 44 30 Chúng phân tích thêm phần sau toán mục đích kiểm chứng RE1 chọn ẩn “đề hỏi gọi ẩn” để kiểm chứng RE2 việc đặt điều kiện, cách chọn nghiệm phù hợp điều kiện Lựa chọn toán: • Chúng chọn giá trị y nghiệm hệ phương trình lập âm Lựa chọn cho phép tìm hiểu: - Ứng xử HS gặp trường hợp nghiệm âm - Hoặc “số tiền lãi âm” HS hiểu “tiền lỗ” Như vậy, HS đặt điều kiện ẩn số dương nhận thấy “nghiệm âm” chấp nhận HS có quay lại chỉnh sửa việc đặt điều kiện? Hay không quan tâm đến việc kiểm tra lại nghiệm so với điều kiện? • Trong trường hợp HS chọn ẩn trực tiếp (nghiệm RE1), với lời giải Saa2: nghiệm hệ thu x = 5000 y = - 2000 Liệu học sinh kết luận số tiền lãi từ hoa cúc 5000, từ hoa vạn thọ – 2000 hay suy nghĩ lại đề toán, đề cho tiền lãi nhiều hơn? 3.3.3 Phân tích a posteriori Kết thực nghiệm tổng kết lại qua bảng sau Bảng 3.3 - Thống kê số lượng chiến lược cho câu hỏi Chiến lược Hệ phương trình S hpt Phương trình Năng Số suất học S hpt S hpt S pt S pt Không Khác giải Sa1 Sa2 Sa3 Sa4 Sa5 Sb1 Sb2 Sb3 khác S nsuat S sohoc 53 3 20 0% 2,1 55, 3,1% 0% 1% 3,1 5,2% % 2% 1% 7,3% 1% 20,8% 58 (60,4%) % (9,4%) 96 (100%) Kết thực nghiệm thu 10/96 (10,4%) giải đúng, gồm Sa4 S sohoc , kết cho phép kiểm chứng giả thuyết H1 Đa số học sinh tuân theo chiến lược hệ phương trình Cụ thể hơn: có 58/96 (60,4%) học sinh lập phương trình (1): 1 + = Tuy nhiên, có học sinh lập xác x y 12 phương trình (2) Phương trình (2) suy từ suy luận mối liên quan số ngày làm việc sỉ số suất bình quân học sinh x = 41 y Phương trình mong đợi = liên hệ suất x 3y lớp để hệ thu đặt ẩn phụ hệ phương trình tuyến tính bậc mong đợi thể chế không xảy Một kết đáng quan tâm 53 lời giải Sa3, có 29 lời giải (chiếm 30,2%) mà PT (2) 30 40 30 40 = ⇔ − = (*) PT cách suy luận từ x y x y kiện, nhiên ta thấy kết việc liên kết kiện lại yếu tố lí thuyết cho đề toán Điều thú vị nghiệm hệ thu x = 21, y = 28 phù hợp với điều kiện chặt x, y > 12 nên học sinh có đáp án toán mà không suy nghĩ đến thực tế, lớp 9A có người nên số ngày làm việc Với lời giải chiến lược phương trình ta không tìm lời giải Đa số em gọi x số làm xong công việc lớp 9A 12 – x số làm lớp 9B, phương trình lập bài) kết nối kiện kiểu sinh nêu lập phương trình 1 (3/9 + = x 12 − x 12 30 40 (5/9 bài) Chỉ học + = x 12 − x 12 31 + =với x số ngày làm việc x x 12 lớp 9A Thực nghiệm cho thấy PT suất tổng đa số lập dạng toán học học GTHPT GTPT (PT bậc 2) việc lập PT lại không cho kết mong đợi Điều cho thấy kĩ suy luận từ kiện toán chưa thực tồn HS kiểm chứng giả thuyết H1 Với việc lựa chọn “bài toán quen thuộc” toán suất khiến chiến lược hệ phương trình chiếm ưu so với chiến lược lại toán giải cách nhanh gọn chiến lược số học Rõ ràng, việc giải toán học sinh bị ảnh hưởng thực tế học tập toán làm chung - làm riêng học “giải toán cách lập hệ phương trình” Việc chọn kiện “ẩn dấu hiệu PT”, phải suy luận biến đổi lập PT “phá vỡ hợp đồng” thể chế HS, việc gây khó khăn cho HS Bảng Thống kê số lượng chiến lược cho câu hỏi Chiến lược Phương Hệ phương trình trình S HPT Saa1 Saa2 Saa3 35 13 4,2% 36,5% 13,5% 52 (54,2%) S HPT S PT Saa4 Sbb 25 26% 3,1% Khác Không giải 16 16,7% 96 (100%) Từ bảng ta thấy hiệu lực RE1 “đề gọi gọi ẩn” Đó 54,2% HS gọi ẩn trực tiếp, có 26 % chọn ẩn khác 3,1% chọn ẩn chiến lược khác Trong số 52 HS gọi ẩn trực tiếp, có tới 35 HS lập HPT với ẩn vừa gọi, lời giải Saa2 Và nghiệm thu từ hệ đáp án toán Các em kết luận mà không ý đáp án không phù hợp với đề Chỉ có 13 HS với lời giải Saa3 nhận thấy điều bất hợp lí nên kết luận lại không sửa lại ẩn vừa gọi Điều cho thấy tuân thủ nghiêm ngặt hợp đồng RE1 Với 26% lời giải mong đợi ta thấy lần kĩ toán học hóa tình thực tế chưa hình thành HS Kết lần củng cố H1 Để xác định hiệu lực hợp đồng RE2, tiến hành phân tích kết thực nghiệm hai câu hỏi Bảng 3.5 - Thống kê số lượng lời giải có đặt điều kiện cho ẩn câu hỏi Điều kiện x, y > Điều kiện chặt Điều Không Không x, y > 12 x kiện khác giải điều kiện > 12 đặt lượng (96) 25 27 20 (không cần giải điều kiện) 14 x > Số S sohoc 55 (57,3%) Bảng 3.6 - Thống kê số lượng lời giải có đặt điều kiện cho ẩn câu hỏi Đặt điều kiện (ĐK) So sánh Không so sánh Chưa Câu hỏi nghiệm HPT nghiệm HPT kết luận ĐK ban đầu ĐK ban đầu đáp án 25 9,4% 26,4% 8,3% Không đặt Không giải điều kiện 38 16 39,6% 16,7% 42 (43,8%) Qua hai bảng ta thấy rằng, tỉ lệ đặt điều kiện so với không đặt điều kiện giải toán câu hỏi 55/14, câu hỏi 42/38 Số lời giải có đặt điều kiện câu hỏi giảm có lẽ xuất phát từ việc nghiệm thu lập hệ nghiệm âm dạng toán không tồn thể chế nên HS cách đặt ẩn Tuy nhiên, việc đặt điều kiện cho ẩn chiếm ưu Ở câu hỏi 1, có 27/55 lời giải có đặt điều kiện nêu điều kiện chặt x, y > 12 Theo phân tích trên, có 53 lời giải cho đáp án x = 21, y = 28 thỏa điều kiện chặt Nhưng không HS 53 HS nhận đáp án không thỏa mãn toán Ở câu hỏi 2, có 9/42 HS nhận nghiệm thu từ hệ không thỏa điều kiện đặt cho ẩn Có 25/42 HS kết luận đáp án với giá trị âm không thỏa điều kiện, nhận đáp án x = 5000, y = - 2000 mà không ý tổng số tiền lãi 160000 đồng Kết chứng tỏ RE2 kiểm chứng Một ghi nhận lúc thực nghiệm, thấy giá trị nghiệm y âm, nhiều học sinh ngạc nhiên nói lớn tiếng “y âm” Chỉ cô giáo nói “lỗ” em yên tâm làm Trong thực tế, việc buôn bán dẫn đến lỗ nên học sinh dễ dàng chấp nhận đáp án âm Nhưng có trường hợp không chấp nhận việc này, lời giải sau Có học sinh “khắc phục” nghiệm âm cách đổi dấu hệ phương trình hệ số y (dùng bút xóa), hệ thu không nghiệm âm: Kết luận từ thực nghiệm Mặc dù GTHPT nội dung ưu tiên thể chế dạy học Việt Nam, tập cho phần nhiều, phong phú nội dung, liên quan đến nhiều vấn đề thực tế thú vị Mục tiêu nhắm đến dạy cho HS kĩ toán học hóa tình thực tế Tuy nhiên qua thực nghiệm ta thấy mục tiêu không đạt được, giả thuyết H1 kiểm chứng Điều theo xuất phát từ việc chuẩn bị chưa đầy đủ cho HS trước học GTHPT thể chế, việc thực hành viết biểu thức đại số “phiên dịch” từ ngôn ngữ đời thường sang ngôn ngữ đại số Hoặc GTHPT kèm với toán nội dung khó HS Việc toán yêu cầu tìm hai đại lượng, mà việc chọn ẩn hai đại lượng không gây khó khăn cho việc lập giải HPT đưa đến quay tắc hợp đồng RE1 Đồng thời nghiệm hệ thu có giá trị dương đáp án toán làm thói quen kiểm tra lại nghiệm hệ so với điều kiện, với toán không hình thành, từ thành lập nên hợp đồng RE2 KẾT LUẬN Những kết nghiên cứu mà đạt đề tài là: Nghiên cứu “Thế GTHPT” chương cho phép xác định vấn đề sau:  GTHPT trường hợp áp dụng phương pháp toàn Đề-các ý tưởng giải toán đời sống cách đưa toán toán học toán đại số, cuối giải toán cách giải PT Điều mang lại ý nghĩa thực tiễn cho GTHPT GTHPT đánh dấu bước chuyển giải toán từ số học sang đại số  Quy trình thực GTHPT gồm bước:  Chọn ẩn đặt điều kiện cho ẩn (nếu có)  Biểu thị đại lượng qua ẩn số số cho  Lập phương trình  Giải hệ phương trình  Chọn nghiệm thích hợp, trả lời Từ quy trình cho thấy để lập PT cần phải biết viết “các biểu thức đại số” nhằm “biểu thị đại lượng qua ẩn số số cho”  Mấu chốt GTHPT lập PT, ““phiên dịch” từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ đại số” Từ xác định khó khăn gặp phải GV HS  GTHPT toán thực tế kèm đem lại hội tiếp cận cho HS vấn đề mô hình hóa toán học Chương trả lời cho câu hỏi đặt câu hỏi Nghiên cứu thể chế chương cho phép kết luận số vấn đề:  GTHPT thể chế dạy học quy trình gồm bước trình bày chương Các vấn đề đặt điều kiện cho ẩn kiểm tra lại nghiệm hệ thu dù có bắt buộc trình bày hay không không ảnh hưởng đến việc kết luận toán Với toán cho thể chế, vấn đề mô hình hóa toán học chưa thực tồn  Kiểu nhiệm vụ “viết biểu thức đại số, chuyển từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ toán học” chưa ưu tiên thể chế Dữ kiện toán rõ ràng, vừa đủ khiến cho khả suy luận, kĩ lập PT HS chưa thành thạo Điều đưa đến giả thuyết H1  Việc gọi ẩn trực tiếp không gây khó khăn cho việc lập HPT Nghiệm HPT có giá trị dương đáp án toán làm nảy sinh quy tắc hợp đồng RE1, RE2 Nghiên cứu chương trả lời cho hai câu hỏi Q2 Q3 câu hỏi đặt cuối chương Kết thực nghiệm chương cho phép hợp thức H1, RE1, RE2 Đồng thời mở hướng nghiên cứu cho luận văn: Xây dựng đồ án dạy học GTHPT khắc phục hạn chế vốn có giúp HS có kĩ toán học hóa tình thực tế Chúng hy vọng luận văn đem đến nhìn toàn cảnh GTHPT bậc THCS, góp phần vào việc đổi phương pháp giảng dạy toán trường phổ thông TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Bộ giáo dục đào tạo (1998), Giáo trình đào tạo giáo viên THCS_hệ CĐSP, NXB Giáo dục Phan Đức Chính, Tôn Thân, Nguyễn Huy Đoan, Lê Văn Hồng, Trương Công , Nguyễn Hữu Thảo (2004), Toán 8, tập 2, NXB Giáo Dục Phan Đức Chính, Tôn Thân, Nguyễn Huy Đoan, Lê Văn Hồng, Trương Công Thành, Nguyễn Hữu Thảo (2004), Toán 8_sách giáo viên, tập 2, NXB Giáo Dục Phan Đức Chính, Tôn Thân, Nguyễn Huy Đoan, Phạm Gia Đức, Trương Công Thành, Nguyễn Duy Thuận (2010), Toán 9, tập 2, NXB Giáo Dục Phan Đức Chính, Tôn Thân, Nguyễn Huy Đoan, Phạm Gia Đức, Trương Công Thành, Nguyễn Duy Thuận (2008), Toán 9_sách giáo viên, tập 2, NXB Giáo Dục Trần Thị Mỹ Dung (2008), Nghiên cứu thực hành giáo viên dạy học hệ phương trình tuyến tính lớp 10, luận văn thạc sĩ, Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh Ngô Hữu Dũng, Trần Kiều (1997), Đại số 9_chương trình 1994, NXB Giáo dục G Polia, Phan Tất Đắc, Nguyễn Sĩ Tuyển dịch (1975), Sáng tạo Toán học , tập 1, NXB Hà Nội Phạm Đức Tài (2009), Hướng dẫn thực chuẩn kiến thức, kĩ môn Toán THCS, Bộ GD ĐT, NXB Giáo dục 10 Nguyễn Hữu Thảo (2001) Hướng dẫn ôn tập thi tốt nghiệp THCS năm học 2000 – 2001, NXB Giáo dục 11 Phan Ngọc Thảo, Trương Văn Hưỡn, Huỳnh Thông (1991), Toán lập phương trình hệ phương trình lớp 8, 9, NXB thành phố Hồ Chí Minh 12 Lê Văn Tiến (2005), Phương pháp dạy học môn Toán trường phổ thông (các tình dạy học điển hình), NXB Đại học quốc gia thành phố Hồ Chí Minh 13 Tôn Thân, Phạm Gia Đức, Trần Hữu Nam, Phạm Đức Quang, Trương Công Thành, Nguyễn Duy Thuận (2010), Bài tập Toán 9, tập 2, NXB Giáo Dục 14 Nguyễn Duy Thuận (1997), Đại số 8, NXB Giáo dục 15 Nguyễn Duy Thuận (1989), Đại số 8, NXB Giáo dục 16 Huy Song Tường, Phùng Huệ Ngư, Võ Mai Lý dịch (?), Chuyện hay Toán học, NXB Trẻ Tiếng Pháp Tiếng Anh 17 Gisèle Chapiron, Michel Mante, René Mulet – Marquis, Catherine Pérotin (1999), Mathématiques 3e , collection TRIANGLE, HATIER Illustration 18 Gisèle Chapiron, Michel Mante, René Mulet – Marquis, Catherine Pérotin (1999), Mathématiques 3e , collection TRIANGLE_livre du professeur, HATIER Illustration 19 Gisèle Chapiron, Michel Mante, René Mulet – Marquis, Catherine Pérotin (1999), Mathématiques 4e , collection TRIANGLE, HATIER Illustration 20 Lalina Coulange (1997), Les problèmes “concrets” “mettre en équations” dans l’enseignent, article 21 Lalina Coulange (?) Évolution du passage arithmétique – algèbre dans les manuels et les programs du 20ème siècle”, article 22 G Polya (1971), How to solve it – A new aspect of Mathematical method, Princeton University Press, Princeton, New Jersey [...]... xuất, gợi mở cho luận văn CHƯƠNG 1 TÌM HIỂU VỀ PHƯƠNG PHÁP “GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH” Mục đích của chương: Chương 1 sẽ trả lời cho câu hỏi Q1: Thế nào là giải toán bằng cách lập hệ phương trình (GTHPT)? Có sự giao nhau nào với giải toán bằng cách lập phương trình (GTPT)? Những bài toán có ràng buộc như thế nào thì được giải bằng cách lập hệ phương trình? Mục tiêu dạy học nào gắn... tìm hiểu những vấn đề liên quan đến phương pháp GTHPT để có cái nhìn toàn cảnh về nó ở cấp độ phương pháp dạy học 1.1 Thế nào là Giải toán bằng cách lập hệ phương trình Giải toán bằng cách lập hệ phương trình là một phương pháp giải toán dành cho học sinh cuối THCS, được bố trí vào học kì 2 của lớp 9 Vì thế nó hầu như vắng mặt trong các giáo trình Toán ở bậc đại học cũng như cao đẳng Chúng tôi ghi... Hợp đồng didactic, chúng tôi muốn tìm ra những quy tắc ngầm ẩn trong việc dạy – học nội dung này 3 Câu hỏi nghiên cứu Từ công cụ lí thuyết đã chọn, chúng tôi viết lại các câu hỏi nghiên cứu sau: Q1: Thế nào là giải toán bằng cách lập hệ phương trình ? Có sự giao nhau nào với giải toán bằng cách lập phương trình ? Những bài toán có ràng buộc như thế nào thì được giải bằng cách lập hệ phương trình? Mục... trình) - Giải phương trình (hệ phương trình) - Chọn nghiệm thích hợp, trả lời (tr 112 – 113) Các bước này được gọi là trình tự các bước trong lời giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình (tr 112, mục c) Với trình tự này ta thấy không có sự phân biệt giữa GTHPT và GTPT về quy trình thực hiện, chỉ khác nhau ở số phương trình được lập Vậy đâu là lí do để dẫn đến việc lập hệ phương trình. .. dạy học nào gắn với giải toán bằng cách lập hệ phương trình? Q2: Giải toán bằng cách lập hệ phương trình được trình bày như thế nào trong thể chế dạy học? Nó có được thể chế ưu tiên không? Có tồn tại ở thể chế dạy học các nước khác không? Có sự giống nhau hay khác nhau nào so với thể chế Việt Nam? Q3: Tồn tại những quy tắc nào của hợp đồng didactic trong việc dạy và học nội dung này? 4 Phương pháp nghiên. .. của toán học và vấn đề nghiên cứu của chúng tôi có mặt trong đó [12]: Phương pháp dạy học môn Toán ở trường phổ thông (các tình huống dạy học điển hình) 1.1.1 Giải toán bằng cách lập hệ phương trình trong [1] Trong [1], GTHPT được trình bày trong Chương 6 CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ Nó là phương pháp chung nhằm giải các bài toán loại tìm tòi, diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường và nội dung của bài toán. .. đặc trưng của các bài toán được giải bằng GTHPT, đồng thời rút ra những kết luận về tương giao giữa GTHPT và GTPT Các bài toán được giải bằng cách lập hệ phương trình 1.3 1.3.1 Các bài toán trong [1] Trong mục II “CÁC BÀI TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI” của Chương 6, [1] phân loại các bài toán “được giải bằng cách lập PT, HPT” thành 2 dạng: TOÁN BẬC NHẤT và TOÁN BẬC HAI Bậc của bài toán là bậc của PT, HPT... Phương pháp nghiên cứu Đầu tiên, chúng tôi sẽ tìm hiểu giải toán bằng cách lập hệ phương trình qua các tài liệu về phương pháp giảng dạy môn Toán để nắm được nội dung cũng như những vấn đề liên quan Tiếp đó, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích mối quan hệ thể chế với nội dung giải toán bằng cách lập hệ phương trình Chúng tôi sẽ tiến hành trên 2 bộ sách giáo khoa lớp 9 ở Việt Nam: chương trình chỉnh lí... phương trình và giải toán bằng cách lập phương trình Ở kết quả phân tích trên ta thấy cả [1] và [8] đều không phân biệt giữa GTHPT và GTPT về mặt quy trình Ý tưởng thực hiện là như nhau, khác nhau ở “số ẩn được gọi và số phương trình được lập Sự giao nhau giữa 2 phương pháp giải toán thể hiện qua các ý sau: 1 Quy trình thực hiện GTHPT và GTPT đều suy ra từ 1 quy trình chung: Trong [1] là quy trình: ... kiện cho phép lập hai phương trình Điều này phân biệt với các bài toán được giải bằng GTPT - Một số bài toán không nêu tường minh đại lượng phải tìm, cần 1 sự phân tích hợp lí mới đưa đến việc lập hệ phương trình để giải Khả năng mô hình hóa toán học được đòi hỏi ở các bài toán này - Có 1 sự đa dạng về các bài toán thuộc 5 dạng, từ các bài toán cổ, các bài toán tìm số đến các bài toán hình học, vật lí ... với giải toán cách lập phương trình ? Những toán có ràng buộc giải cách lập hệ phương trình? Mục tiêu dạy học gắn với giải toán cách lập hệ phương trình? Q2: Giải toán cách lập hệ phương trình ... với phương pháp giải toán dành cho học sinh bậc Trung học sở (THCS), giải toán cách lập phương trình, hệ phương trình Vì nội dung giải toán cách lập phương trình học viên cao học khác nghiên. .. MỞ ĐẦU CHƯƠNG TÌM HIỂU VỀ PHƯƠNG PHÁP “GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH” .6 1.1 Thế Giải toán cách lập hệ phương trình .6 1.1.1 Giải toán cách lập hệ phương trình