B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM TP H CH MINH Trn ỡnh Mnh MT S M RNG CA NH Lí KRASNOSELSKII V NH X NẫN HOC GIN MT NểN LUN VN THC S TON Thnh ph H Chớ Minh - 2012 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM TP H CH MINH Trn ỡnh Mnh MT S M RNG CA NH Lí KRASNOSELSKII V NH X NẫN HOC GIN MT NểN Chuyờn ngnh: Toỏn Gii tớch Mó s: 60 46 01 LUN VN THC S TON NGI HNG DN KHOA HC PGS TS NGUYN BCH HUY Thnh ph H Chớ Minh - 2012 Li cm n Xin trõn trng cm n Thy Nguyn Bớch Huy ó nhit tỡnh hng dn, giỳp quỏ trỡnh chun b cng, tỡm kim ti liu, c v gúp ý chnh sa hon thnh lun ny! Trong quỏ trỡnh by lun vn, nu cú gỡ sai sút mong quý Thy thụng cm v lng th i Mc lc I II M U 0.1 0.2 0.3 3 Lý chn ti Mc tiờu ca lun Phng phỏp nghiờn cu NI DUNG Cỏc kt qu chun b 1.1 Khụng gian Banach cú th t 1.1.1 Nún v th t sinh bi nún 1.1.2 Nún chun 1.1.3 Nún chớnh qui 1.1.4 Nún sinh 1.1.5 Nún liờn hp 1.2 Bc tụpụ ca ỏnh x dng 1.3 nh lớ Krasnoselskii Mt s m rng ca nh lý Krasnoselskii 2.1 Cỏc b 2.2 Cỏc m rng ban u 2.3 nh lớ Krasnoselskii cho chun 2.4 S tn ti nhiu nghim 5 7 12 14 14 19 27 32 nh lý Krasnoselskii cho ỏnh x a tr 39 3.1 Bc topo ca ỏnh x a tr dng 39 3.2 nh lý Krasnoselskii cho ỏnh x a tr 41 Phn I M U 0.1 Lý chn ti Lý thuyt phng trỡnh khụng gian cú th t i t nhng nm 1940, c phỏt hin v hon thin cho n ngy Lý thuyt ny tỡm c nhng ng dng rng rói vic nghiờn cu cỏc phng trỡnh xut phỏt t Khoa hc t nhiờn, Y hc, Kinh t hc, Trong lý thuyt v cỏc phng trỡnh khụng gian cú th t thỡ nh lý Krasnoselskii v im bt ng ca ỏnh x nộn hoc gión mt nún úng vai trũ rt quan trng Cú th so sỏnh vai trũ ca nh lý ny vi nh lý Banach v im bt ng ca ỏnh x co, nh lý Schauder v im bt ng ca ỏnh x compc Cho n nay, nh lý Krasnoselskii l cụng c chớnh chng minh s tn ti nghim dng ca nhiu lp phng trỡnh vi phõn v tớch phõn Vỡ s quan trng ca nú m nh lý Krasnoselskii c nhiu nh toỏn hc quan tõm nghiờn cu v m rng theo nhiu hng khỏc cú th ng dng cho cỏc lp phng trỡnh mi Cỏc m rng ny c trỡnh by cỏc bi bỏo khoa hc c vit bi cỏc nh toỏn hc theo cỏc hng khỏc Vic hp chỳng li mt cỏch tng i y l vic lm cú ý ngha v cn thit 0.2 Mc tiờu ca lun Trỡnh by cỏc kt qu m rng ca nh lý Krasnoselskii v im bt ng ca ỏnh x nộn hoc gión mt nún mt cỏch h thng, tng i y v chi tit 0.3 Phng phỏp nghiờn cu - Lun ch xột cỏc kt qu lý thuyt sau thu thp cỏc ti liu t cỏc ngun, hc viờn s phõn loi, tng hp cỏc ti liu trỡnh by cỏc kt qu theo mt th hon chnh, chi tit - Cỏc phng phỏp chng minh c th: s dng cỏc tớnh cht ca th t sinh bi nún; s dng bc tụpụ cho ỏnh x dng Phn II NI DUNG Chng Cỏc kt qu chun b 1.1 1.1.1 Khụng gian Banach cú th t Nún v th t sinh bi nún nh ngha 1.1.1 Tp K khụng gian Banach thc X gi l nún nu: (i) K l úng, (ii) K + K K, K K 0, (iii) K (K) = { } Nu K l nún thỡ th t X sinh bi K c nh bi: x y yx K Mi x K \ { } gi l dng Mnh 1.1.1 Gi s "" l th t sinh bi nún, ú: x y x + z y + z, (xn yn n N , x y z X, lim xn = x, lim yn = y) x y Nu {xn } l dóy tng, hi t v x thỡ xn x 1.1.2 n N Nún chun nh ngha 1.1.2 Nún K gi l nún chun nu: N > : x y x N y Mnh 1.1.2 Gi s l th t sinh bi nún chun Khi ú: Nu u v thỡ on u; v := {x X : u x v} b chn theo chun Nu xn yn zn (n N ) v lim xn = a, lim zn = a thỡ lim yn = a Nu xn n iu, cú dóy hi t v a thỡ lim xn = a Chng minh: x u; v x u v u x u N x u +N uv uv yn xn zn xn yn xn N zn xn Coi {xn } l dóy tng v lim xnk = a Vỡ xn xnk (n c nh, k ln) nờn xn a n N Cho > 0, chn k0 xnk a n nk0 a xn a xnk a xn N a xnk < N thỡ ta cú 1.1.3 Nún chớnh qui nh ngha 1.1.3 Nún K gi l chớnh qui nu mi dóy tng, b chn trờn thỡ hi t Mnh 1.1.3 Nún chớnh qui l nún chun Chng minh Gi s K l chớnh qui nhng khụng l nún chun Khi ú n N xn , yn : xn yn , xn > n2 yn xn yn t un = , = thỡ un , un = 1, < xn xn n Vỡ < nờn tn ti v := n=1 Dóy sn n=1 := u1 + + un tng v b chn trờn (bi v) nờn hi t Suy lim un = (!) 1.1.4 Nún sinh nh ngha 1.1.4 K gi l nún sinh nu X = K K hay x X u, v K : x = u v Vớ d: Nún cỏc hm khụng õm C(K), L p l nún sinh Nu nún K cú im u0 thỡ ta cú r > : r x u0 x r x u0 x X v K l nún sinh Cm2 > : u0 + B( , ) K S r = cn tỡm Ta cú x = (x + r x u0 r x u0 ) Mnh 1.1.4 Nu K l nún sinh thỡ tn ti s M > cho x X u, v K : x = u v, u M x , v M x 32 Khi ú t cỏc iu kin (ii), (iv) v mnh (2.3.1), ta cú i(,U1 ,C) = Tng t, t U2 = {x C : (x) > à} Khi ú t cỏc iu kin (i), (iii) v mnh (2.3.1),ta cú i(,U2 , ) = T v < , ta cú U U = ỉ Do ú i(,C \ (U1 U2 )) = i(,C,C) i(,U1 ,C) i(,U2 ,C) = = = Vy ta cú th tỡm c x1 U1 , x2 U2 v x3 C \ (U1 U2 ) tha (xk ) = xk k {1, 2, 3} 2.4 S tn ti nhiu nghim Trc ht chỳng ta s trỡnh by hai nh lý im bt ng bi sau m nú c suy trc tip t nh lý 2.2.1 v nh lý 2.3.1 nh lớ 2.4.1 Cho , v l ba m b chn E cho , , Cho toỏn t A : K (3 \ ) K hon ton liờn tc Gi s rng 33 x, x K ; Ax Ax x, x K v Ax x, x K Khi ú, A cú ớt nht hai im bt ng x v x K (3 \ ); hn na x \ v x \ nh lớ 2.4.2 Cho , v l ba m b chn E cho , , Cho toỏn t A : K (3 \ ) K hon ton liờn tc Gi s rng Ax x , x K ; Ax x v Ax = x, x K ; Ax x , x K Khi ú, A cú ớt nht hai im bt ng x v x K (3 \ ); hn na x \ v x \ B 2.4.1 Cho X l mt co rỳt ca khụng gian Banach thc E v X1 l mt co rỳt, li, b chn xa X Cho U l mt m khỏc rng ca X v U X1 Gi s rng A : X1 X hon ton liờn tc, A(X1 ) X1 v A khụng cú im bt ng trờn X1 \U Khi ú i(A,U, X) = (2.4.1) Chng minh Vỡ co ca khụng gian Hausdorff phi l úng, X1 úng X v U X1 Do ú, theo tớnh khụng i ca ch s im bt ng, ta cú i(A,U, X) = i(A,U, X1 ) (2.4.2) Rừ rng, U l mt m ca X1 v ú theo tớnh cht ct ca ch s im bt ng i(A, X1 , X1 ) = i(A,U, X1 ) (2.4.3) Chn x0 U X1 v t H(t, x) = tx0 + (1 t)Ax Rừ rng X1 li, ta bit rng H : [0, 1] ì X1 X1 hon ton liờn tc V phn X1 nh l mt m, b chn 34 ca chớnh nú, ng biờn ca X1 X1 , tc l X1 l rng, nờn theo tớnh bt bit ng luõn v tớnh chun tc ca ch s im bt ng, ta c i(A, X1 , X1 ) = i(x0 , X1 , X1 ) = (2.4.4) Cui cựng t (2.4.2), (2.4.3) v (2.4.4) suy (2.4.1) H qu 2.4.1 Cho X l li, úng, khỏc rng, b chn ca khụng gian Banach thc E, gi s A : X X hon ton liờn tc Khi ú i(A, X, X) = Chng minh bng cỏch t U = X1 = X b 2.4.1 ta cú h qu nh lớ 2.4.3 Cho K l nún chun khụng gian Banach thc E v y1 , z1 , y2 , z2 E vi y1 < z1 < y2 < z2 Gi s rng A : [y1 , z2 ] E hon ton liờn tc, tng mnh v y1 Ay1 , Az1 < z1 , y2 < Ay2 , Az2 z2 (2.4.5) Khi ú A cú ớt nht ba im bt ng x1 , x2 , x3 [y1 , z2 ] cho y1 x1 z1 , y2 x2 z2 v y2 x3 z1 Chng minh Cho X = [y1 , z2 ], X1 = [y1 , z1 ] v X2 = [y2 , z2 ] ú, X1 X v X2 X Vỡ X, X1 v X2 l tt c cỏc khỏc rng, li, úng v b chn ca E, X l mt co rỳt ca E v X1 , X2 l nhng co rỳt ca X, suy A cú mt im bt ng cc i x1 [y1 , z1 ] T (2.4.5) ta bit y1 x2 z2 nờn y1 x1 = Ax1 Az1 < z1 Do ú x1 l mt im ca X1 X Cho U1 l phn ca X1 X, ú U1 = ỉ v A khụng cú im bt ng X1 \U1 Do ú theo b 2.4.1, ta cú i(A,U1 , X) = (2.4.6) 35 Tng t, ta cú th chng minh rng A cú mt im bt ng cc tiu x2 [y2 , z2 ] vi y2 x2 z2 dú x2 l mt im ca X2 X Tng t, cho U2 l ca X2 X Khi ú U2 = ỉ, A khụng cú im bt ng X2 \U2 v i(A,U2 , X) = (2.4.7) Theo tớnh cng tớnh ca ch s im bt ng, ta cú i(A, X, X) = i(A,U1 , X) + i(A,U2 , X) + i(A, X \U1 U2 , X) (2.4.8) V theo h qu 2.4.1 ta cú i(A, X, X) = (2.4.9) T (2.4.6), (2.4.7), (2.4.8) v(2.4.9) suy i(A, X \U1 U2 , X) = Do ú, A cú mt im bt ng x3 X \U1 U2 Rừ rng A khụng cú im bt ng X1 \U1 v X2 \U2 , ta bit x3 X \ (X1 X2 ) H qu 2.4.2 Vi iu kin ca nh lớ 2.4.3, A cú ớt nht ba im bt ng x1 , x2 v x3 [y1 , z2 ] cho x1 x2 x3 Chng minh A cú [y1 , z2 ] mt im bt ng ca tiu x1 v mt im bt ng cc i x3 Theo nh lý 2.4.3, x1 = x3 v tn ti im bt ng x2 khỏc ca A cho x1 < x2 < x3 Nh vy A l tng mnh, ta cú Ax1 Ax3 ngha l x1 x2 Ax2 x3 36 Trong trng hp tng quỏt, ta cú th chng minh kt lun sau: Cho K l nún chun khụng gian Banach thc E v yi , zi E (i = 1, 2, , m) vi y1 < z1 < y2 < z2 < ã ã ã < ym < zm Gi s A : [y1 , zm ] E hon ton liờn tc, tng mnh v y1 Ay1 , Az1 < z1 , y2 < Ay2 , Az2 < z2 , ã ã ã , ym < Aym , Azm zm (2.4.10) Khi ú, A cú ớt nht (2m 1) im bt ng x1 , x2 , , x2m1 [y1 , zm ] cho y1 x1 ym z1 , y2 xm zm , yi+1 x2 z2 , ã ã ã , ym1 xm+i zi xm1 zm1 , (i = 1, 2, , m 1) Ta lu ý rng m > 2, iu kin (2.4.10) quỏ nghiờm ngt rt khú kim tra Tip theo, cho K l mt nún khụng gian Banach thc E v Kr = {x L : x < r, r > 0} Khi ú Kr = {x K : x = r} v K r = {x K : x r} Xột hm lừm, khụng õm v liờn tc trờn K, ngha l : K [0, +) liờn tc v tha (tx + (1 t)y) t(x) + (1 t)(y) x, y K, t (2.4.11) Biu th hp K(, a, b) = {x K : a (x), x b, (0 < a < b)} Rừ rng, K(, a, b) l mt li, úng v b chn 37 nh lớ 2.4.4 Cho A : K c K c hon ton liờn tc v l mt hm lừm, khụng õm, liờn tc trờn K vi (x) x x K c Gi s tn ti < d < a < b < c cho (i) {x K(, a, b) : (x) > a} = ỉ v (Ax) > a (ii) Ax < d (iii) (Ax) > a x K(, a, b); x K d ; x K(, a, c), vi Ax > b Khi ú, A cú ớt nht ba im bt ng K c Chng minh t U1 = {x K c : x < d} (2.4.12) i(A, K c , K c ) = (2.4.13) Theo h qu 2.4.1, ta cú T (2.4.12)), (2.4.13) v cỏc iu kin, ta suy i(A, K c \ (U1 U2 ), K c ) = i(A, K c , K c ) i(A,U1 , K c ) i(A,U2 , K c ) = (2.4.14) Cui cựng theo (2.4.12), (2.4.14) v cỏc iu kin, ta suy tn ti x(1) , x(2) U2 v x(3) K c \ (U1 U2 ) cho Ax(i) = x(i) (i = 1, 2, 3) nh lớ 2.4.5 Cho A : K c K hon ton liờn tc v l mt hm lừm khụng õm, liờn tc trờn K vi (x) x vi mi x K c Gi s rng tn ti < d < a < c cho 38 (a) {x K(, a, c) : (x) > a} = ỉ v (Ax) > a (b) Ax < d, (c) (Ax) > a c x K(, a, c); x K d ; x K c vi Ax > c Ax Khi ú A cú ớt nht hai im bt ng K c Chng minh t U1 = {x K c : x < d} ú theo nh lý 2.4.4, A cú mt im bt ng x1 U1 Ta nh ngha Ax, x K c v Bx = cAx , x K c v A x c, Ax > c Rừ rng B : K c K c hon ton liờn tc v tha tt c cỏc iu kin ca nh lý 2.4.4 vi b = c Do ú, B cú mt im bt ng x3 K c \U1 U2 ú U2 = {x K(, a, c) : (x) > a} Rừ rng, U1 U2 = U U = K d K(, a, c) v ú (x3 ) < a Nu Ax3 > c thỡ theo iu kin (c) a > (x3 ) = (Bx3 ) = = cAx Ax3 c c Ax3 + Ax3 Ax3 c c (Ax3 ) + ( ) Ax3 AX3 c c a (Ax3 ) > Ax3 = Ax3 Ax3 c a Ta gp mõu thun Do ú Ax3 c nờn Ax3 = Bx3 = x3 Chng nh lý Krasnoselskii cho ỏnh x a tr 3.1 Bc topo ca ỏnh x a tr dng B 3.1.1 Cho X l khụng gian mờtric, Y l khụng gian nh chun v F : X 2Y l ỏnh x a tr na liờn tc trờn cú giỏ tr li úng Khi ú vi mi > tn ti ỏnh x liờn tc fe : X co(FX) cho vi mi x X, tn ti y X v z Fy cho d(x, y) < v f (x) z < Chng minh Vi x X v > F na liờn tc nờn tn ti x > cho F(B(x, x )) B(Fx, ) Ta cú th gi s x < Gi {Ui }iI l h m hu hn lm mn a phng ca {B(x, x ) : x X} v {i }iI l mt phõn hoch ph thuc nht vo {Ui }iI Ta nh ngha f : X Y xỏc nh bi f (x) = i (x)yi , iI õy U B(xi , x ) v yi Fxi , vi x X 40 Rừ rng f : X co(FX) liờn tc Vi x X cho trc, t I0 = {i I : i (x) = 0} Khi ú tn ti i0 I0 cho xi0 = max{xi , i I0 } x t y = xi0 , vi i I0 ta cú x Ui B(xi , i ) nờn xi B(xi , xi0 ) Do ú ta cú f (x) = i (x)yi B(Fy, ) iI Ly z Fy cho f (x) z < , ta cú iu phi chng minh nh ngha 3.1.1 Cho X l khụng gian Banach, X l m b chn v F : 2X l ỏnh x a tr na liờn tc trờn cú giỏ tr li úng Gi s / Fx vi mi x Khi ú ta nh ngha F l compc tng i v x bc topo ca ỏnh x F trờn ti xỏc nh bi deg(I F, , 0) = lim deg(I F , , 0) Vi f nh ngha b 3.1.1 nh lớ 3.1.1 Bc topo xỏc nh nh ngha 3.1.1 cú cỏc tớnh cht sau: (i) deg(I, , 0) = I v ch , (ii) Nu deg(I F, , 0) = thỡ F cú im bt ng trờn , (iii) t Ft : [0, 1] ì 2X l ỏnh x compc na liờn tc trờn cú giỏ tr li úng v x / Ft x, , vi (t, x) [0, 1] ì Khi ú deg(I ft , , 0) khụng ph thuc vo t [0, 1], (iv) Nu = , = ỉ v x = Fx, , vi x thỡ deg(I F, , 0) = deg(I F, , 0) + deg(I F, , 0) Cho X l khụng gian Banach, ta nh ngha o phi compc ca mt hp b chn X l hm s : 2X R+ tha cỏc iu kin sau: (i) à(A) = v ch A l tin compc tc l A hon ton b chn, 41 (ii) à(A B) = max{à(A), à(B)}, (iii) à(co A) = à(A)) Hai vớ d tiờu biu ca o phi compc l - o phi compc Kuratowski: (A) = inf{r > : A c ph bi mt s hu hn cỏc hp cú ng kớnh nh hn r} - o phi compc Hausdoff: (A) = inf{r > : A c ph bi mt s hu hn cỏc hỡnh cu cú bỏn kớnh nh hn r} nh ngha 3.1.2 Cho X l khụng gian Banach v F : X 2X l ỏnh x a tr Khi ú: (i) F gi l cụ c nu à(F) < à() vi X v à() = 0, (ii) F gi l k-set co nu à(F) < kà() vi v à(ỉ) = Vi l o phi compc Kuratowski hoc o phi compc Hausdoff Nhn xột Mi ỏnh x cụ c u l ỏnh x k-set co vi k=1 Mi ỏnh x compc u l ỏnh x cụ c v cng l ỏnh x k-set cú vỡ v trỏi ca bt ng thc nh ngha trờn bng 3.2 nh lý Krasnoselskii cho ỏnh x a tr Cho X l khụng gian Banach v K X l li úng, U X l m v U K = ỉ Ta kớ hiu UK = U K / F(x) vi Gi s F : UK 2K l ỏnh x a tr, na liờn tc trờn, cụ c v x x K (UK ) Ta xõy dng h siờu hn cỏc hp K nh sau: K0 = co F(UK ) Vi mi s siờu hn m K c nh ngha vi mi < , ú ta t: 42 K = co F(K1 UK ) K nu l s siờu hn loi nu l s siờu hn loi < Ta cú K gim v ú tn ti cho K = K Hn na {x | x UK Fx} K v coF(K UK ) = K , m F l cụ c nờn K l compc Khi ú ta nh ngha bc tụpụ iK (F,U) ca F trờn U i vi K nh sau: deg(I F , (U), 0) nu U K = ỉ iK (F,U) = nu U K = ỉ vi l phộp chiu liờn tc ca X trờn K v deg(I F , (U), 0) l bc topo ca ỏnh x a tr xỏc nh nh ngha 3.1.1 nh lớ 3.2.1 Cho X l khụng gian Banach v K X l li úng, U X / F(x) l m nh x a tr F : U K 2K l na liờn tc trờn, cụ c v x vi x K (UK ) Khi ú: (i) Nu iK (F,U) = thỡ F cú im bt ng, (ii) Nu x0 UK thỡ iK (F0 ,UK ) = vi F0 (x) = {x0 }, x UK , (iii) Nu U = U1 U2 , vi U1 ,U2 l hai m ri tha x / F(x) nu x K (U1 ) K (U2 ) thỡ iK (F,U) = iK (F,U1 ) + iK (F,U2 ), (iv) Nu H : [0, 1]ìUK 2K l na liờn tc trờn v (H([0, 1]ì)) < () vi UK tha () = v x / H(t, x) vi t [0, 1] v nu x K (UK ) thỡ iK (H(1, ),U) = iK (H(0, ),U) nh lớ 3.2.2 Cho X l khụng gian Banach vi nún K v r1 , r2 B(0, ), t r = max{r1 , r2 } nh x a tr F : B(0, r) K 2K l na liờn tc trờn v cụ c Gi s ỏnh x F tha 43 (i) Tn ti w K, w = cho x / F(x) + tw t > 0, x K B(0, r1 ), (ii) x / F(x) > 1, x K B(0, r2 ) Khi ú F cú im bt ng x0 tha min{r1 , r2 } x0 max{r1 , r2 } nh lớ 3.2.3 Cho X l khụng gian Banach vi nún K, U l lõn cn ca v T : U K 2K l ỏnh x na liờn tc trờn v cụ c Nu F ỏp ng iu kin Leray-Schauder thỡ F cú im bt ng Chng minh Ta nh ngha H : [0, 1] ì (D K) 2K vi H(t, x) = tF(x) Vi mi Q D K thỡ F(Q) H([0, 1] ì Q) co (F(Q) {0}) Suy (H([0, 1] ì Q)) < (Q) nu (Q) = Hn na F tha iu kin Leray-Schauder nờn x / H(t, x) vi t [0, 1] v x K D T nh lớ 3.2.1 ta cú iK (F, D) = iK (F(0), D) = ú F cú im bt ng nh lớ 3.2.4 Cho X l khụng gian Frộchet vi nún K X d l mt metric trờn X v r1 , r2 (0, ), r = max{r1 , r2 } v F : B(0, r) K 2K l ỏnh x na liờn tc trờn v cụ c Gi s tn ti na chun p cho (I F)(B(0, r) K) l p-b chn Hn na, gi s F tha: (1.a) Tn ti w K, p(w) = cho x / F(x) +tw vi t > 0, x K B(0, r1 ); (1.b) x / F(x) vi > v x K B(0, r2 ) Khi ú F cú im bt ng x0 tha min{r1 , r2 } d(x0 , 0) max{r1 , r2 } 44 Chng minh Trc ht ta ch rng iK (F, B(0, r1 )) = Gi s iK (F, B(0, r1 )) = v t = ta nh ngha H : [0, 1] ì (B(o, r1 ) K) 2K , H(t, x) = F(x) + t w Khi ú t (1.a), x / H(t, x) vi x K B(0, r1 ), t [0, 1] iu ny chng t rng (H([0, 1]) ì Q) < (Q) vi Q B(0, r) K v (Q) = 0, T (A + B) < (A) + (B) A, B X v theo nh lớ 3.2.1 thỡ iK (F, B(0, r1 )) = iK (F + w, B(0, r1 )) Gi s rng iK (F, B(0, r1 )) = ú cú x B(0, r1 ) K vi x F(x) + w Ta chn dóy xn B(0, r1 ) K vi xn F(xn ) + nw, n N T p(w) = 0, suy |p(nw)| + v (I F)(B(0, r1 ) K) l p-khụng b chn; iu ny mõu thun gi thit Ta ch rng iK (F, B(0, r2 )) = Ta nh ngha: T : [0, 1] ì (B(0, r2 ) K) 2K , T (t, x) = tF(x) Thỡ T (t, x) = x nu t [0, 1] v x K B(0, r2 ) F tha iu kin (1.b) v (T ([0, 1] ì Q)) < (Q), Q B(0, r2 ) K, (Q) = T ([0, 1] ì Q) co (F(Q) {0}) Theo nh lý 3.2.1 thỡ iK (F, B(0, r2 ) = 1) T cỏc kt qu trờn, ta cú iK (F, B(0, r)) \ B(0, r) = 0, vi r = min{r1 , r2 }, Vỡ vy F cú im bt ng khỏc 45 H qu 3.2.1 Cho X l khụng gian Frộchet vi metric d, K l mt nún tha K (K) = {0} v r1 , r2 (0, ) vi r = max{r1 , r2 } F : B(0, r) K 2K l ỏnh x na liờn tc trờn v cụ c Gi s F tha: (1.a) F(x) x K nu x K B(0, r1 ); (1.b) x F(x) K nu x K B(0, r2 ) Khi ú, nu tn ti na chun p, khụng trit tiờu trờn K, thỡ (I F)(B(0, r1 ) K) l p-b chn, F cú im bt ng x0 vi min{r1 , r2 } d(x0 , 0) max{r 1, r2 } Chng minh Ta chng minh rng (1.a) tha (1.a) v (1.b) tha (1.b) ca nh lý 3.2.4 Tht vy, chn w K m p(w) = Khi ú t K (K) = {0}, (1.a) rừ rng tha (1.a) vi w ly bt k Mt khỏc, nu x K B(0, r2 ) v x F(x) vi > 1, thỡ x = y vi y F(x), Vỡ vy x y (1 )x K bi iu kin (1.b) Do K l nún, ( 1)x K v, K (K) = {0}, ta cú x = Nhng d(x, 0) = r2 > 0, vy ta cú mõu thun, vy iu kin (1.b) c tha Ti liu tham kho Nguyn Bớch Huy Gii tớch phi tuyn Ti liu Cao hc, HSP Tp H Chớ Minh P M Fitzpatrick, W V Petryshyn Fixed point theorems and the fixed point index for multivalued mappings in cones J London Math Soc 12 (1975), 75-85 Leszek Gasinski, Nikolaos S Papageorgiou Nonlinear Analysis Chapman & Hall / CRC, 2005 D Guo, V Lakshmikantham Nonlinear problem in Abstract Cones Academic Press, 1988 [...]... 3 của bậc tôpô ta có ∃x ∈ Br2 \ Br1 : x = A(x) ✷ Hệ quả 1.3.1 Kết luận định lí 1.3.1 vẫn đúng nếu thay các điều kiện (1.), (2.) bởi: 1’ Ax x ∀x ∈ K ∩ Sr1 , 2’ Ax x ∀x ∈ K ∩ Sr2 Chương 2 Một số mở rộng của định lý Krasnoselskii 2.1 Các bổ đề Cho K là một nón của không gian Banach thực E Do đó K là một co rút của E, và vì vậy K là một tập được ánh dấu sao , lồi và đóng Cho Ω là một tập mở bị chặn của. .. mãn thì A có ít nhất một điểm bất động trong K ∩ (Ω2 \ Ω1 ) Chứng minh dựa vào các định lý 2.2.4 và 2.2.4,việc chứng minh là dễ dàng, nên ta chấp nhận nó 25 Nhận xét: ta khẳng định rằng định lý 2.2.6 là mở rộng của định lý điểm bất động của sự nén và giãn mặt nón của kiểu chuẩn Thật vậy, nếu ta lấy B1 x = B2 x = x ∀x ∈ K thì B1 B2 : K → R+ là một toán tử thần nhất và ∀x ∈ K ∩ ∂ Ω1 hoặc x ∈ K ∩ ∂ Ω2 ... g(x0 ) < 0 (!) 1.2 Bậc tôpô của ánh xạ dương Bổ đề 1.2.1 Cho không gian Banach X, tập đóng M ⊂ X và ánh xạ compắc A : M → X Khi đó tồn tại ánh xạ compắc A : X → X sao cho: A(x) = A(x) ∀x ∈ M, A(X) ⊂ co (A(M)) Định nghĩa 1.2.1 Cho X là không gian Banach với nón K Giả sử G ⊂ X là tập mở, bị chặn, A : K ∩ ∂ G → K là ánh xạ compắc sao cho Ax = x ∀x ∈ K ∩ ∂ G Gọi A : X → X là ánh xạ compắc sao cho:   A(x)... tra từ định lý 1.2.1 2 Giả sử B(x0 ) = λ x0 x0 ∈ K ∩ {θ }, λ > 1 Ta có: x − B(x) = tx0 x ∈ K ∩∂G t ⇒ B(v) = v với v = x + x0 λ −1 ⇒v∈ / K ⇒ t < 0 Vậy điều kiện (ii) của định lý 1.2.1 đúng ✷ 1.3 Định lí Krasnoselskii Cho X là không gian Banach với nón K, ta ký hiệu: Br = {x ∈ X : x < r}, Sr = {x ∈ X : x = r, r > 0}, Kr = K ∩ Br Định lí 1.3.1 (Định lí Krasnoselskii) Giả sử A : Kr → K là ánh xạ compắc... (2.2.5) cũng đúng và do đó A có ít nhất một điểm bất động trong K ∩ (Ω2 \ Ω1 ) ✷ 23 Chú ý rằng do Ku0 ⊂ K Định lí 2.2.3 là cải tiến của định lí 2.2.1 Định lí 2.2.4 Cho K là một nón trong không gian thực E, Ω là tập con mở, bị chặn của E với θ ∈ E và A : K ∩ Ω → K là toán tử hoàn toàn liên tục Giả sử tồn tại một nón K1 khác trong không gian Banach thực E1 khác và một toán tử thuần nhất B : K → K1 với... tục Giả sử rằng một trong hai điều kiện (H3 ) Ax ≤ x ∀x ∈ K ∩ ∂ Ω1 và Ax ≥ x ∀x ∈ K ∩ ∂ Ω2 , (H4 ) Ax ≥ x ∀x ∈ K ∩ ∂ Ω1 và Ax ≤ x ∀x ∈ K ∩ ∂ Ω2 , được thoả mãn Khi đó A có ít nhất một điểm bất động trong K ∩ (Ω2 \ Ω1 ) Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh định lí dưới điều kiện (H3 ), vì việc chứng minh tương tự khi (H4 ) được thỏa mãn Theo định lí mở rộng ánh xạ, A có thể mở rộng tới một toán tử hoàn... A(x) = θ ∀x ∈ K ∩ ∂ G, ∀x ∈ ∂ G nên bậc tôpô deg(I − A, G, θ ) xác định Ta định nghĩa iK (A, G) := deg(I − A, G, θ ) 10 và gọi iK (A, G) là bậc tôpô theo nón K của ánh xạ A trên tập mở G Ta cũng dùng các kí hiệu i(A, K ∩ G, K) hoặc i(A, G, K) Tính chất 1 Giả sử A0 , A1 là compắc và đồng luân dương trên K ∩ ∂ G theo định nghĩa, tồn tại ánh xạ compắc F : (K ∩ ∂ G) × [0, 1] → K sao cho f (x,t) = x, F(x, 0)... bất biến đồng luân và tính chuẩn tắc của chỉ số điểm bất động, ta có: i(A, K ∩ Ω, K) = i(θ , K ∩ Ω, K) = 1 Bổ đề 2.1.2 Cho A : K ∩ Ω → K và B : K ∩ ∂ Ω → K hoàn toàn liên tục Giả sử rằng (a) Bx > 0; inf x∈K∩∂ Ω x − Ax = tBx, ∀x ∈ K ∩ ∂ Ω, t ≥ 0 (b) Khi đó ta có i(A, K ∩ Ω, K) = 0 (2.1.1) Chứng minh Theo định lí ánh xạ mở rộng của Dugundji, ta có thể mở rộng B tới một toán tử hoàn toàn liên tục từ K... Ax x, ∀x ∈ K ∩ ∂ Ω2 , được thỏa mãn Khi đó A có ít nhất một điểm bất động trong K ∩ (Ω2 \ Ω1 ) Chứng minh Theo định lí mở rộng ánh xạ, A có sự mở rộng hoàn toàn liên tục (cũng được biểu thị theo A) từ K ∩ Ω2 vào K Trước hết, giả sử rằng (H1 ) được thỏa mãn, nghĩa là nó là trường hợp của nón giãn Dễ dàng thấy rằng Ax = µx, ∀x ∈ K ∩ ∂ Ω1 , µ ≥ 1 (2.2.1) Vì ngược lại, nếu tồn tại x0 ∈ K ∩ ∂ Ω1 và µ0 ≥... được thoả mãn Khi đó A có ít nhất một điểm bất động trong K ∩ (Ω2 \ Ω1 ) Chứng minh Ta có thể giả sử rằng (H5 ) được thỏa mãn, vì chứng minh là tương tự khi (H6 ) đúng Theo định lí mở rộng ánh xạ, A có thể mở rộng tới một toán tử hoàn toàn liên tục từ K ∩ Ω2 vào trong K Giả sử A không có điểm bất động trong K ∩ ∂ Ω1 và K ∩ ∂ Ω2 Dễ dàng chỉ ra rằng (2.2.1) đúng, vì mặt khác, nếu có x0 ∈ K ∩ ∂ Ω1 và ... 14 19 27 32 nh lý Krasnoselskii cho ỏnh x a tr 39 3.1 Bc topo ca ỏnh x a tr dng 39 3.2 nh lý Krasnoselskii cho ỏnh x a tr 41 Phn I M U 0.1 Lý chn ti Lý thuyt phng... trũ rt quan trng Cú th so sỏnh vai trũ ca nh lý ny vi nh lý Banach v im bt ng ca ỏnh x co, nh lý Schauder v im bt ng ca ỏnh x compc Cho n nay, nh lý Krasnoselskii l cụng c chớnh chng minh s tn... cho n ngy Lý thuyt ny tỡm c nhng ng dng rng rói vic nghiờn cu cỏc phng trỡnh xut phỏt t Khoa hc t nhiờn, Y hc, Kinh t hc, Trong lý thuyt v cỏc phng trỡnh khụng gian cú th t thỡ nh lý Krasnoselskii