BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH -o0o - HUỲNH NGỌC DIỄM MÔĐUN FP- XẠ ẢNH VÀ MÔĐUN FP- NỘI XẠ LUẬN VĂN THẠC SĨ ĐẠI SỐ Thành phố Hồ Chí Minh , 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH -o0o - HUỲNH NGỌC DIỄM MÔĐUN FP- XẠ ẢNH VÀ MÔĐUN FP- NỘI XẠ Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ ĐẠI SỐ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN VIẾT ĐÔNG Thành phố Hồ Chí Minh , 2012 LỜI CẢM ƠN Trước tiên, xin gửi lời cảm ơn đến tất thầy, cô môn Toán khoa Sư phạm trường Đại học Cần Thơ thầy, cô khoa Toán – tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, thầy môn Đại số, người tận tình giảng dạy cho suốt thời gian học Đại học Cao học Chính kiến thức tảng quan trọng để thực hiện, hoàn thành luận văn Hơn hết, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy TS Nguyễn Viết Đông, người thầy tận tình hướng dẫn, động viên, khích lệ, giúp đỡ suốt trình thực hoàn chỉnh luận văn Tiếp theo, cảm ơn anh, chị, bạn chuyên ngành Đại số động viên trình học tập sửa chữa sai sót luận văn Lời cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thân, người bạn bên tôi, ủng hộ tinh thần cho sống học tập, đặc biệt ba mẹ cô Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2011 Huỳnh Ngọc Diễm MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC BẢNG CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích đề tài Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nội dung luận văn Phương pháp nghiên cứu Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Môđun, môđun tự đồng cấu môđun 1.2 Tổng trực tiếp 10 1.3 Dãy khớp 10 1.4 Hàm tử Hom 11 1.5 Môđun xạ ảnh, môđun nội xạ 13 1.6 Môđun hữu hạn sinh, môđun biểu diễn hữu hạn 14 1.7 Hàm tử tenxơ 15 1.8 Phức đồng điều 17 1.9 Phép giải tích mở rộng 19 1.10 Bao, phủ lý thuyết đối xoắn 20 1.11 Cái kéo lại, đẩy 22 Chương MÔĐUN FP- XẠ ẢNH VÀ MÔĐUN FP- NỘI XẠ 24 2.1 Khái niệm tính chất môđun FP- xạ ảnh môđun FP- nội xạ 24 2.2 Chiều FP- xạ ảnh chiều FP- nội xạ 29 2.3 Bao phủ 33 KẾT LUẬN ĐỀ TÀI 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 BẢNG CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT Ký hiệu Ý nghĩa RM M R- môđun trái MR M R- môđun phải SMR M S- R- song môđun Mod Phạm trù môđun Ab Phạm trù nhóm cộng aben  Môđun A ⊕R B Tổng trực tiếp R hai môđun A B A ⊗R B Tích tenxơ R hai môđun A B Hom(A, B) Tập hợp đồng cấu từ A đến B Extn R (B, A) Tích mở rộng n chiều R hai môđun A B H n (X) Môđun đồng điều thứ n phức X Hn(X) Môđun đồng điều thứ n phức X theo số ⊥ Lớp trực giao C FP R Lớp R- môđun FP- xạ ảnh FI R Lớp R- môđun FP- nội xạ fpd R (M) Chiều FP- xạ ảnh R- môđun M fpd S (M) Chiều FP- xạ ảnh S- môđun M rfpD(R) sup{fpd R (M), M R- môđun phải hữu hạn sinh} rfpD(S) sup{fpd S (M), M S- môđun phải hữu hạn sinh} FP- id(M) Chiều FP- nội xạ R- môđun M r FP- dim(R) sup{FP- id(M), M R- môđun phải} C, C⊥ MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Như biết, ngày môn Đại số đồng điều tràn ngập vào toán học Vì vậy, việc học môn trở nên thực cần thiết trở thành môn học bắt buộc chương trình Khi học môn này, học môđun vành có đơn vị R, hàm tử Hom, hàm tử tenxơ, nhóm đồng điều, đối đồng điều phức, hàm tử xoắn Tor n , hàm tử mở rộng Extn Khi học môđun, làm quen với khái niệm tính chất môđun xạ ảnh, môđun nội xạ Tuy nhiên, thời gian có hạn nên chương trình học dừng lại việc nghiên cứu môđun mức độ chưa có tính chất chuyên sâu Giả sử cho R vành có đơn vị bất kỳ, M R- môđun phải xạ ảnh, biểu diễn hữu hạn ta tính số chiều nó, làm cách để tính số chiều? Một môđun gọi môđun xạ ảnh, môđun nội xạ biểu diễn hữu hạn? Cho C lớp R- môđun phải, C- tiền bao, C- bao,…được định nghĩa sao? Hoặc vài mô tả FP- môđun nội xạ gì?,… Vì thế, để trả lời cho câu hỏi này, học viên cao học chuyên ngành Đại số Lý thuyết số K20, chọn môn Đại số đồng điều để nghiên cứu luận văn tốt nghiệp với đề tài “MÔĐUN FP- XẠ ẢNH VÀ MÔĐUN FP- NỘI XẠ”, FP chữ viết tắt Finitely Presented có nghĩa “biểu diễn hữu hạn” Mục đích đề tài Tổng hợp kết môđun, môđun xạ ảnh, môđun nội xạ, ta tiến hành nghiên cứu: - Số chiều FP- xạ ảnh môđun thay đổi vành Cho R S vành coherent phải ϕ: R → S toàn cấu vành với S Rmôđun xạ ảnh phải R- môđun dẹt trái fpd R (M)= fpd S (M) với M Smôđun phải rfpD(S) ≤ rfpD(R) - Cho R S vành coherent phải S mở rộng tốt R fpd R (M)= fpd S (M) S- môđun phải M S rfpD(S) ≤ rfpD(R), dấu “ = ” xảy rfpD( R ) < ∞ - Đối với vành coherent phải R, rfpD(R) ≤ R- môđun phải (FP- nội xạ) có bao FP- xạ ảnh R- môđun phải (FP- nội xạ) có bao FP- xạ ảnh với tính chất ánh xạ - Cuối cùng, xét tiền phủ FP- xạ ảnh mở rộng tốt vành Đối tượng phạm vi nghiên cứu Cho R vành có đơn vị đồng thời vành coherent phải, S vành coherent phải mở rộng tốt R, M R- môđun phải biểu diễn hữu hạn Luận văn trình bày số lý thuyết FP- nội xạ, C- tiền bao, C- bao,…, kết số chiều FP- xạ ảnh, số mô tả bao FP- nội xạ, tiền phủ FP- xạ ảnh Nội dung luận văn Luận văn gồm hai chương: Chương 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ Chương 2: MÔĐUN FP- XẠ ẢNH VÀ MÔĐUN FP- NỘI XẠ Phương pháp nghiên cứu Trên sở kiến thức biết môđun, môđun xạ ảnh, môđun nội xạ với việc nghiên cứu tài liệu đặc biệt báo khoa học liên quan đến môđun FP- xạ ảnh môđun FP- nội xạ Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ Chương chủ yếu trình bày kiến thức cần thiết cho chương sau Chứng minh kết chương bỏ qua tìm thấy tài liệu tham khảo Trong toàn luận văn ta xét R vành có đơn vị 1.1 Môđun, môđun tự đồng cấu môđun Định nghĩa 1.1.1 Nhóm cộng aben (M, +) gọi môđun trái vành R (Rmôđun trái), ký hiệu R M, M ta xác định tác động trái từ R, tức có ánh xạ μ : R × M → M mà μ(r, m) = rm thỏa mãn:  M : 1m = m  M : (rs)m = r(sm)  M : r(m + n) = rm + rn  M : (r + s)m = rm + sm với r,s∈R với m, n ∈M Định nghĩa 1.1.2 Nhóm cộng aben (M, +) gọi môđun phải vành R (Rmôđun phải), ký hiệu M R , M ta xác định tác động phải từ R, tức có ánh xạ φ : M × R → M mà φ(m, r) = mr thỏa mãn:  M : m1 = m  M : m(rs) = (mr)s  M : (m + n)r = mr + nr  M : m(r + s) =mr + ms với r,s∈R với m, n ∈M Định nghĩa 1.1.3 Cho R S vành, nhóm cộng aben M gọi S- Rsong môđun, ký hiệu S M R , M S- môđun trái R- môđun phải cấu trúc tương thích, tức (sm)r = s(mr) với s ∈ S, r ∈ R, m ∈ M Từ đây, không cần nhấn mạnh môđun trái hay môđun phải R ta cần nói ngắn gọn R- môđun Định nghĩa 1.1.4 Cho M R – môđun, tập A ≠ ∅ M gọi phận ổn định M nếu: A + A ⊂ A RA ⊂ A A + A = {a + ba, b ∈ A} RA= {ra r ∈ R, a ∈ A} Nếu A phận ổn định M phép toán M giới hạn lại phần tử A, cảm sinh nên phép toán A Định lý 1.1.5 ([1], định lý 1, trang 11) Mỗi phận ổn định A môđun M, với phép toán cảm sinh lập thành R- môđun Định nghĩa 1.1.6 A gọi môđun M, ký hiệu A  M với x, y ∈ A x + y ∈ A với r ∈ R, với x ∈ A rx ∈ A Định lý 1.1.7 ([1], định lý 3, trang 12) Cho M R- môđun, giao họ khác rỗng môđun M môđun M Định nghĩa 1.1.8  Cho M R- môđun, S ⊂ M, môđun sinh tập S, ký hiệu 〈S〉 giao họ tất môđun M chứa S  Một tổ hợp tuyến tính S tổng hữu hạn dạng r m + r m +…+ r n m n r , r , …, r n ∈ R; m , m ,…, m n ∈ S  Cho M R- môđun trái, A  M Tập thương M/A = {m + A: m ∈ M} muốn trở thành R- môđun ta xác định M/A phép nhân từ R sau: với r ∈ R, m + A ∈ M/A r(m + A) = rm + A Phép nhân thỏa tiên đề từ M đến M Do đó, tập thương M/A xác định cấu trúc R- môđun trái Ta gọi M/A môđun thương môđun M theo môđun A Định nghĩa 1.1.9  Cho môđun M vành R Tập S ⊂ M gọi hệ sinh M 〈S〉 = M tức với phần tử m ∈ M m = r s + r s +…+ r n s n với r , r , …, r n ∈ R; s , s ,…, s n ∈ S  Tập S ⊂ M gọi độc lập tuyến tính từ r s + r s +…+ r n s n = r = r = … = r n =  Tập S ⊂ M không độc lập tuyến tính gọi phụ thuộc tuyến tính  Tập S ⊂ M gọi sở M S vừa hệ sinh vừa độc lập tuyến tính  Môđun M khác môđun sở gọi môđun tự Định nghĩa 1.1.10  Cho M, N R- môđun Ánh xạ f: M → N gọi R- đồng cấu với m, m , m ∈ M với r ∈ R thì: f (m + m ) = f(m ) + f(m ) f(rm) = rf(m)  Đồng cấu f gọi đơn cấu (toàn cấu) f đồng thời đơn ánh (toàn ánh)  Đồng cấu f gọi đẳng cấu f vừa đơn cấu vừa toàn cấu 1.2 Tổng trực tiếp Định lý 1.2.1 ([1], định lý 2, trang 24) Cho A, B môđun môđun M vành R thỏa tính chất: (i) A ∩ B = (ii) A + B = M Khi ta có đẳng cấu M ≅ A ⊕ B Thay cho dấu “≅ ” ta viết dấu “ = ”, tức M = A ⊕ B Khi ta nói M tổng trực tiếp hai môđun A, B M Định nghĩa 1.2.2 Môđun A M gọi hạng tử trực tiếp M có môđun B M cho M = A ⊕ B Khi đó, môđun B gọi hạng tử bù trực tiếp môđun A 1.3 Dãy khớp Định nghĩa 1.3.1 f g  Dãy đồng cấu (hữu hạn vô hạn) ⋅⋅⋅ → A  → B  → C → ⋅⋅⋅ gọi khớp môđun B Im(f)= Ker(g) Ext1S ( M ⊗R S, N ) ≅ Ext1R ( M, N ) =0, suy Ext1S ( M ⊗R S, N ) = Do M ⊗R S S- môđun phải FP- xạ ảnh Mà M S đẳng cấu với hạng tử trực tiếp M ⊗R S nên M S S- môđun FP- xạ ảnh Vậy M S FP- xạ ảnh M R FP- xạ ảnh M ⊗ R S Smôđun phải FP- xạ ảnh 2.2 Chiều FP- xạ ảnh chiều FP- nội xạ Định nghĩa 2.2.1 Cho M R- môđun phải  Chiều FP- xạ ảnh M, ký hiệu fpd R (M) hay fpd(M) số nguyên nhỏ n ≥ cho Ext n+1 R ( M, N ) = với R- môđun phải FP- nội xạ N Nếu n không tồn fpd R (M) = ∞  Chiều FP- nội xạ M, ký hiệu FP- id(M) số nguyên nhỏ n ≥ cho Ext n+1 R ( F, M ) = với tất R- môđun phải biểu diễn hữu hạn F Nếu n không tồn FP- id(M) = ∞ Nhận xét (1) Nếu M môđun FP- xạ ảnh fpd(M) = (2) Nếu M môđun FP- nội xạ FP- id(M) = Định nghĩa 2.2.2  Chiều FP- xạ ảnh phải R, ký hiệu rfpD(R) định nghĩa là: rfpD(R) = sup{fpd R (M): M R- môđun phải hữu hạn sinh}  Chiều FP- nội xạ phải R, ký hiệu r.FP-dim(R) định nghĩa là: r.FP-dim(R) = sup{FP-id(M): M R- môđun phải} Tính chất 2.2.3 ([4], proposition 3.1, page 1157) Cho R vành coherent phải, M R- môđun phải số nguyên n ≥ Các phát biểu sau tương đương: (i) fpd(M) ≤ n (ii) Ext Rn+1 ( M , N ) = với R- môđun phải FP- nội xạ N (iii) Ext Rn+ j ( M , N ) = với R- môđun phải FP- nội xạ N j ≥ (iv) Tồn dãy khớp → Pn  → Pn-1 → ⋅⋅⋅ → P1  → P0  → M → P i , i = 0,1,…,n FP- xạ ảnh Tính chất 2.2.4 ([Đối ngẫu Tính chất 2.2.3]) Cho R vành coherent phải, M R- môđun phải số nguyên n ≥ Các phát biểu sau tương đương: (i) FP - id(M) ≤ n (ii) Ext Rn+1 ( N , M ) = với R- môđun phải biểu diễn hữu hạn N (iii) Ext Rn+ j ( N , M ) = với R- môđun phải biểu diễn hữu hạn N j ≥ (iv) Tồn dãy khớp → M  → J  → J1 → ⋅⋅⋅ → J n-1  → J n → J i , i = 0,1,…,n FP- nội xạ Tính chất 2.2.5 ([4], Proposition 3.2, page 1158) Cho R vành coherent phải, dãy khớp R- môđun phải → A → B → C → Nếu hai số ba môđun A, B, C có chiều FP- xạ ảnh hữu hạn chiều FP- xạ ảnh môđun lại hữu hạn Hơn nữa: (i) fpd(B) ≤ sup{fpd(A), fpd(C)} (ii) fpd(A) ≤ sup{fpd(B), fpd(C) - 1} (iii) fpd(C) ≤ sup{fpd(B), fpd(A) + 1} Tính chất 2.2.6 Cho R S vành coherent phải Nếu ϕ: R → S toàn cấu vành với S R- môđun dẹt trái S R- môđun phải xạ ảnh Khi đó: (i) fpd S (M) = fpd R (M) với S- môđun phải M S (ii) rfpD(S) ≤ rfpD(R) Chứng minh (i)  Chứng minh fpd S (M) ≤ fpd R (M) Giả sử fpd R (M) = n < ∞, cho F S S- môđun phải FP- nội xạ, theo Bổ đề 2.1.9 ta có F R R- môđun phải FP- nội xạ Mặt khác theo Định lý 2.1.8 ta có đẳng cấu Ext Sn+1 ( M, Hom R ( S, F ) ) ≅ Ext n+1 Vì ϕ toàn cấu nên R ( M, F ) = FS ≅ Hom R ( S, F ) , suy Ext Sn+1 ( M, F ) = , fpd S (M) ≤ n hay fpd S (M) ≤ fpd R (M) (1)  Chứng minh fpd R (M) ≤ fpd S (M) Giả sử fpd S (M) = n < ∞, theo Tính chất 2.2.3 tồn dãy khớp S- môđun phải sau: → Pn  → Pn-1 → ⋅⋅⋅ → P1  → P0  →M → P i , i = 0,1,…,n S- môđun phải FP- xạ ảnh Theo Bổ đề 2.1.9 (iii) P i , i = 0,1,…,n R- môđun phải FP- xạ ảnh Do theo Tính chất 2.2.3 fpd R (M) ≤ n hay fpd R (M) ≤ fpd S (M) (2) Từ (1) (2) suy fpd R (M) = fpd S (M) (ii) Theo chứng minh câu (i) ta có fpd S (M) ≤ fpd R (M) ≤ rfpD(R) Vậy rfpD(S) ≤ rfpD(R) Định lý 2.2.7 Cho R S vành coherent phải S mở rộng tốt R Khi đó, với S- môđun phải M S fpd R (M) = fpd S (M) = fpd S (M ⊗ R S) Chứng minh  Chứng minh fpd R (M) ≤ fpd S (M) Không tính tổng quát ta giả sử fpd S (M) = n < ∞ Khi đó, theo Tính chất 2.2.3 tồn dãy khớp → Pn  → Pn-1 → ⋅⋅⋅ → P1  → P0  → M → P i , i = 0,1,…,n S- môđun phải FP- xạ ảnh Theo Bổ đề 2.1.10 (iii) P i , i = 0,1,…,n R- môđun phải FP- xạ ảnh nên fpd R (M) ≤ n hay fpd R (M) ≤ fpd S (M) (1)  Chứng minh fpd S (M ⊗ R S) ≤ fpd R (M) Nếu fpd R (M) = n < ∞ tồn dãy khớp R- môđun phải → Pn  → Pn-1 → ⋅⋅⋅ → P1  → P0  →M → P i , i = 0,1,…,n R- môđun phải FP- xạ ảnh Vì R S dẹt nên ta có dãy khớp S- môđun phải sau: → Pn ⊗R S  → Pn-1 ⊗R S → ⋅⋅⋅ → P1 ⊗R S  → P0 ⊗R S  → M ⊗R S → mà theo Bổ đề 2.1.10 (iii) P i ⊗ R S, i = 0,1,…,n S- môđun phải FP- xạ ảnh Suy fpd S (M ⊗ R S) ≤ n hay fpd S (M ⊗ R S) ≤ fpd R (M) (2)  Mặt khác, M S đẳng cấu với hạng tử trực tiếp M ⊗ R S nên fpd S (M) ≤ fpd S (M ⊗ R S) (3) Từ (1), (2) (3) suy fpd R (M) = fpd S (M) = fpd S (M ⊗ R S) Định lý 2.2.8 Cho R S vành coherent phải S mở rộng tốt R Khi đó, với S- môđun phải M S FP- id R (M) = FP- id S (M) = FP- id S (Hom R (S, M)) Chứng minh  Chứng minh FP- id R (M) ≤ FP- id S (M) Giả sử FP- id S (M) = n < ∞ Khi đó, theo Tính chất 2.2.4 tồn dãy khớp → M  → J  →⋅⋅⋅  → J n → J i , i = 0,1,…,n S- môđun phải FP- nội xạ Theo Bổ đề 2.1.10 (ii) J i , i = 0,1,…,n R- môđun phải FP- nội xạ nên FP- id R (M) ≤ n hay FP- id R (M) ≤ FP- id S (M) (1)  Chứng minh FP- id S (Hom R (S, M)) ≤ FP- id R (M) Nếu FP- id R (M) = n < ∞ tồn dãy khớp R- môđun phải → M  → J  →⋅⋅⋅  → J n → J i , i = 0,1,…,n R- môđun phải FP- nội xạ Vì S R xạ ảnh nên ta có dãy khớp S- môđun phải sau: → Hom R ( S, M )  → Hom R ( S, J )  →⋅⋅⋅  → Hom R ( S, J n ) → mà theo Bổ đề 2.1.10 (ii) Hom R (S, J i ), i = 0,1,…,n S- môđun phải FPnội xạ Suy FP- id S (Hom R (S, M)) ≤ n hay FP- id S (Hom R (S, M)) ≤ FP- id R (M) (2)  Mặt khác, M S đẳng cấu với hạng tử trực tiếp Hom R (S, M) nên FP- id S (M) ≤ FP- id S (Hom R (S, M)) (3) Từ (1), (2) (3) suy FP- id R (M) = FP- id S (M) = FP- id S (Hom R (S, M)) Hệ 2.2.9 Cho R S vành coherent phải Khi đó: (i) Nếu S mở rộng tốt R rfpD(S) ≤ rfpD(R) (ii) Nếu S mở rộng tốt R rfpD(S) = rfpD(R) Chứng minh (i) Theo chứng minh Định lý 2.2.7 ta có fpd S (M ⊗ R S) ≤ fpd R (M) ≤ rfpD(R) Suy rfpD(S) ≤ rfpD(R) (ii) Ta cần chứng minh rfpD(R) ≤ rfpD(S) Vì S mở rộng tốt R, R hạng tử trực tiếp R- song môđun S Cho R S R = R ⊕ T M R R- môđun phải bất kỳ, ta có M ⊗ R S ≅ M R ⊕ (M ⊗ R T) Do theo Định lý 2.2.7, ta có fpd R (M) ≤ fpd R (M ⊗ R S) = fpd S (M ⊗ R S) ≤ rfpD(S) suy rfpD(R) ≤ rfpD(S) Kết hợp với (i) ta rfpD(S) = rfpD(R) Định lý 2.2.10 Cho S mở rộng tốt R Nếu R S vành coherent phải rfpD(R) < ∞ rfpD(S) = rfpD(R) Chứng minh  Theo Hệ 2.2.9 (i) ta có rfpD(S) ≤ rfpD(R)  Ta cần chứng minh rfpD(R) ≤ rfpD(S) Cho rfpD(R) = n < ∞, tồn R- môđun phải M cho fpd R (M) = n Định nghĩa R- đồng cấu phải α: M → M ⊗ R S cho α(m) = m ⊗ với m ∈ M Từ tính khớp dãy → Ker(α) → M R S dẹt nên cho ta tính khớp dãy → Ker(α) ⊗ R S → M ⊗ R S Vì Ker(α) ⊗ R S = suy Ker(α) = 0, α đơn cấu ta có dãy khớp R- môđun phải: → M  → M ⊗R S  →L → Theo Tính chất 2.2.5 (ii), ta có: n = fpd R (M) ≤ sup{fpd R (M ⊗ R S), fpd R (L) -1} ≤ rfpD(R) = n fpd R (L) - ≤ n – 1, fpd R (M ⊗ R S) = n Mặt khác, theo Định lý 2.2.7 fpd R (M ⊗ R S) = fpd S (M ⊗ R S) ≤ rfpD(S) Suy rfpD(R) ≤ rfpD(S) Vậy rfpD(R) = rfpD(S) 2.3 Bao phủ Định lý 2.3.1 Cho R vành coherent phải, phát biểu sau tương đương: (i) Mọi R- môđun phải (FP- nội xạ) có bao FP- xạ ảnh với tính chất ánh xạ (ii) rfpD(R) ≤ R- môđun phải (FP- nội xạ) có bao FP- xạ ảnh Chứng minh (i) ⇒ (ii)  Cho M R- môđun phải (FP- nội xạ) Khi đó, ta có dãy khớp: i α → C  → F0  →M → ψ β → F2  → F1  →C → α : F0  → M β : F1  → C tiền phủ FP- xạ ảnh đặc biệt, suy C F FP- nội xạ ψ φ=iβ α Do ta có dãy khớp → F2  → F1  → F0  →M →  Cho θ : F2  → H bao FP- xạ ảnh với tính chất ánh xạ Khi đó, tồn δ : H  → F1 cho ψ = δθ Suy ϕδθ = ϕψ = nên ϕδ = 0, suy Im(δ) ⊆ Ker(ϕ) = Im(ψ) Vì tồn γ : H  → F2 cho ψγ = δ, ta có biểu đồ sau giao hoán: H γ δ θ ψ F2 F1 ϕ F0 α M Ta có ψγθ = δθ = ψ, suy γθ = 1F2 (vì ψ đơn cấu), F đẳng cấu với hạng tử trực tiếp H, suy F FP- xạ ảnh Do đó, theo Tính chất 2.2.3 fpd R (M) ≤ Vậy rfpD(R) ≤ (ii) ⇒ (i) Cho M R- môđun phải (FP- nội xạ) Theo (ii) M có bao FP- xạ ảnh f: M → F Ta cần chứng minh với R- môđun phải FP- xạ ảnh G đồng cấu g: F → G cho gf = suy g = Thật vậy, tồn β: M → Ker (g) cho iβ = f Im(f) ⊆ Ker(g) với i: Ker(g) → F phép nhúng Theo Tính chất 2.2.3 Ker(g) FP- xạ ảnh fpd R (G/Im(g)) ≤ Do tồn α: F → Ker(g) cho β = αf Khi ta có biểu đồ sau giao hoán khớp: M β f α F G G/Im(g) g π i Ta có (iα)f = i(αf) = iβ = f Suy iα đẳng cấu f bao, i toàn Ker(g) cấu, hay i đẳng cấu, suy g=0 Tính chất 2.3.2 ([Đối ngẫu Định lý 2.3.1]) Cho R vành coherent phải, phát biểu sau tương đương: (i) Mọi R- môđun phải (FP- xạ ảnh) có phủ FP- nội xạ với tính chất ánh xạ (ii) r.FP-dim(R) ≤ R- môđun phải (FP- xạ ảnh) có phủ FP- nội xạ Chứng minh (i) ⇒ (ii)  Cho M R- môđun phải (FP- xạ ảnh) Khi đó, ta có dãy khớp: α π → M  → F0  →C → β ψ → C  → F1  → F2 → α : M  → F0 β : C  → F1 tiền bao FP- nội xạ đặc biệt, suy C F FP- xạ ảnh α φ =βπ ψ Do ta có dãy khớp → M  → F0  → F1  → F2 →  Cho θ : H  → F2 phủ FP- nội xạ với tính chất ánh xạ Khi đó, tồn δ : F1  → H cho ψ = θδ, suy θδϕ = ψϕ = nên δϕ = 0, Im(ϕ) ⊆ Ker(δ) hay Ker(ψ) ⊆ Ker(δ), tồn γ : F2  → H cho γψ = δ, ta có biểu đồ sau giao hoán H δ M α F ϕ=βπ F1 θ ψ γ F2 Ta có θγψ = θδ = ψ nên θγ = 1F2 (do ψ toàn cấu), F đẳng cấu với hạng tử trực tiếp H, suy F FP- nội xạ Theo Tính chất 2.2.4 FP-id(M) ≤ Vậy r.FP-dim(R) ≤ (ii) ⇒ (i) Cho M R- môđun phải (FP- xạ ảnh) Theo (ii) M có phủ FP- nội xạ f : F  → M Ta cần chứng minh với R- môđun phải FP- nội xạ G đồng cấu g : G  → F cho fg = suy g = Thật vậy, tồn β : F / Im(g)  → M cho βπ = f với π : F  → F / Im(g) phép chiếu Theo Tính chất 2.2.4 F/Im(g) FP- nội xạ FP-id(Ker(g)) ≤ Do tồn α : F / Im(g)  → F cho β = fα Khi ta có biểu đồ sau giao hoán khớp: Ker(g) i g G F f α π F/Im(g) β M Ta có f(απ) = (fα)π = βπ = f Vì f phủ nên απ đẳng cấu, π đơn cấu, hay π đẳng cấu, suy g = Định lý 2.3.3 Cho R vành coherent phải Nếu M R- môđun phải có phủ FP- xạ ảnh M có tiền bao FP- nội xạ đặc biệt α: M → N cho N có phủ FP- xạ ảnh Chứng minh Cho θ: Q → M phủ FP- xạ ảnh M Khi tồn dãy khớp θ → K  → Q  → M → K FP- nội xạ Q FP- xạ ảnh Vì Q có f g tiền bao FP- nội xạ đặc biệt nên tồn dãy khớp: → Q  → D  →L → , D FP- nội xạ L FP- xạ ảnh Do ta có biểu đồ kéo lại sau: ` 0 K Q θ M α f K D β N g L L 0 Vì R vành coherent phải nên N FP- nội xạ K D FP- nội xạ, dòng khớp, suy α tiền bao FP- nội xạ đặc biệt M Mặt khác, D FP- xạ ảnh Q L FP- xạ ảnh, đó, β tiền phủ FP- xạ ảnh đặc biệt N Bây giờ, cho γ tự đồng cấu D với βγ = β Khi β(γf) = (βγ)f = βf = αθ Theo tính chất kéo lại tồn h: Q → Q cho θh = θ fh = γf Do đó, h đẳng cấu θ phủ FP- xạ ảnh Cho γ(d) = với d ∈ D β(d) = βγ(d) = 0, suy d ∈ Kerβ = Imf nên tồn q ∈ Q để d = f(q), suy fh(q) = γf(q) = γ(d) = hay q = fh đơn cấu nên d = 0, suy γ đơn cấu Mặt khác, với t ∈ D βγ(t) = β(t) suy γ(t) – t ∈ Kerβ = Imf nên tồn s ∈ Q để γ(t) – t = f(s) suy t = γ(t) – f(s) = γ(t – fh-1(s)) (vì f(s) = fhh-1(s) = γfh-1(s)), mà t – fh-1(s) ∈ D Do γ toàn cấu, suy γ đẳng cấu Vậy β phủ FP- xạ ảnh N Định lý 2.3.4 Cho S mở rộng tốt vành R θ: N S → M S S- toàn cấu Khi phát biểu sau tương đương: (i) θ: N R → M R tiền phủ FP- xạ ảnh đặc biệt M R (ii) θ: N S → M S tiền phủ FP- xạ ảnh đặc biệt M S Hơn nữa, S mở rộng tốt R điều kiện tương đương với: (iii) θ * : Hom R (S, N) → Hom R (S, M) tiền phủ FP- xạ ảnh đặc biệt Hom R (S,M) (iv) θ ⊗ i S : N ⊗ R S → M ⊗ R S tiền phủ FP- xạ ảnh đặc biệt M ⊗ R S Chứng minh (i) ⇒ (ii) Giả sử θ: N R → M R tiền phủ FP- xạ ảnh đặc biệt M R Khi đó, tồn θ dãy khớp R- môđun phải → K  → N  → M → với K ∈ FI R N ∈ FP R Vì S R xạ ảnh nên có dãy khớp S- môđun phải: θ∗ → Hom R ( S, K )  → Hom R ( S, N )  → Hom R ( S, M ) → Ta có M S (N S ) đẳng cấu với hạng tử trực tiếp Hom R (S, M) (Hom R (S, N)) Do đó, ta có biểu đồ sau giao hoán: LS NS Hom R (S, K) Hom R (S, N) θ MS θ* Hom R (S, M) 0 L S = Ker(θ) Vì K ∈ FI R nên theo Bổ đề 2.1.10 (ii) ta có Hom R (S, K) ∈ FI S Mặt khác L S đẳng cấu với hạng tử trực tiếp Hom R (S, K), suy L S FPnội xạ Hơn nữa, theo Bổ đề 2.1.10 (iii) N S FP- xạ ảnh Do θ: N S → M S tiền phủ FP- xạ ảnh đặc biệt M S (ii) ⇒ (i) Giả sử θ:N S → M S tiền phủ FP- xạ ảnh đặc biệt M S Khi đó, tồn θ dãy khớp S- môđun phải → K  → N  → M → với K ∈ FI S N ∈ FP S Theo Bổ đề 2.1.10 ta có K ∈ FI R N ∈ FP R Vậy θ: N R → M R tiền phủ FP-xạ ảnh đặc biệt M R (i) ⇒ (iii) Theo cách chứng minh Hom R (S, K) ∈ FI S Vì N R FP- xạ ảnh, S R R S hữu hạn sinh tự nên Hom R (S, N) ∈ FP R , theo Bổ đề 2.1.10 (iii) Hom R (S, N) ∈ FP S suy θ * : Hom R (S, N) → Hom R (S, M) tiền phủ FP- xạ ảnh đặc biệt Hom R (S,M) (iii) ⇒ (ii) Giả sử θ * : Hom R (S, N) → Hom R (S, M) tiền phủ FP- xạ ảnh đặc biệt Hom R (S,M) Khi đó, tồn dãy khớp S- môđun phải sau: θ∗ → QS  → Hom R ( S, N )  → Hom R ( S, M ) → với Q S ∈ FI S Hom R (S, N) ∈ FP S Vì N S đẳng cấu với hạng tử trực tiếp Hom R (S, N) ∈ FP S nên N S ∈ FP S , ta điều phải chứng minh (i) ⇔ (iv) Giả sử θ: N R → M R tiền phủ FP- xạ ảnh đặc biệt M R Khi đó, tồn θ dãy khớp R- môđun phải → K  → N  → M → với K ∈ FI R N ∈ FP R Vì R S dẹt nên ta có dãy khớp S- môđun phải: θ⊗1S → K ⊗R S  → N ⊗R S  → M ⊗R S → Ta có M S (N S ) đẳng cấu với hạng tử trực tiếp M ⊗R S ( N ⊗R S) , đó, ta có biểu đồ sau giao hoán: LS NS K ⊗R S N ⊗R S θ θ ⊗ 1S MS M ⊗R S L S = Ker (θ) Vì θ: N R → M R tiền phủ FP- xạ ảnh đặc biệt M R nên Ker(θ) R- môđun FP- nội xạ Theo Bổ đề 2.1.10 (ii) Ker(θ) S- môđun FPnội xạ hay L S FP- nội xạ Mà L S đẳng cấu với hạng tử trực tiếp K ⊗ R S nên K ⊗ R S FP- nội xạ Hơn nữa, theo Bổ đề 2.1.10 (iii) N ⊗ R S FP- xạ ảnh Do θ ⊗ i S : N ⊗ R S → M ⊗ R S tiền phủ FP- xạ ảnh đặc biệt M ⊗ R S Hệ 2.3.5 Cho S mở rộng tốt R θ: N S → M S S- toàn cấu Khi đó, θ phủ FP- xạ ảnh M S θ phủ FP- xạ ảnh M R Chứng minh Nếu θ: M R → N R phủ FP- xạ ảnh M R Giả sử θα = θ, α: N → N tự đồng cấu S- môđun N S Khi dấu “=” α θ xem R- đồng cấu Do α R- đẳng cấu N R θ phủ FP- xạ ảnh M R Do α * : Hom R (S, N) → Hom R (S, N) S- đẳng cấu S R xạ ảnh Mà ta lại có N S đẳng cấu với hạng tử trực tiếp Hom R (S, N) nên ta α S- đẳng cấu N S Vậy θ: M S → N S phủ FP- xạ ảnh M S Tính chất 2.3.6 (Đối ngẫu Định lý 2.3.4 Hệ 2.3.5) Cho S mở rộng tốt R θ: M S → N S S- đơn cấu Khi đó: (i) θ: M R → N R tiền bao FP- nội xạ đặc biệt M R θ: M S → N S tiền bao FP- nội xạ đặc biệt M S (ii) θ: M S → N S bao FP- nội xạ M S θ: M R → N R bao FP- nội xạ M R Chứng minh (i) (⇒) Giả sử θ: M R → N R tiền bao FP- nội xạ đặc biệt M R Khi đó, tồn θ φ dãy khớp R- môđun phải → M  → N  → P → N ∈ FI R P ∈ FP R Mặt khác, R S dẹt nên ta có dãy khớp S- môđun phải: θ⊗1S φ⊗1S → M ⊗R S  → N ⊗R S  → P ⊗R S → Ta có M S (N S ) đẳng cấu với hạng tử trực tiếp M ⊗R S ( N ⊗R S) , đó, ta có biểu đồ sau giao hoán: 0 MS M ⊗R S θ θ ⊗ 1S NS LS N ⊗R S P ⊗R S L S = CoKer (θ) Vì P ∈ FP R nên theo Bổ đề 2.1.10 (iii) ta có P ⊗ R S ∈ FP S Mặt khác, L S đẳng cấu với hạng tử trực tiếp P ⊗ R S, suy L S FP- xạ ảnh Hơn nữa, theo Bổ đề 2.1.10 (ii) N S FP- nội xạ Do θ: M S → N S tiền bao FP- nội xạ đặc biệt M S (⇐) Giả sử θ: M S → N S tiền bao FP- nội xạ đặc biệt M S Khi đó, tồn dãy khớp S- môđun phải sau: θ φ → M  → N  → P → N ∈ FI S P ∈ FP S Theo Bổ đề 2.1.10 N ∈ FI R P ∈ FP R Vậy θ: M R → N R tiền bao FP- nội xạ đặc biệt M R (ii) Nếu θ: M R → N R bao FP- nội xạ M R Giả sử αθ = θ, α: N → N tự đồng cấu S- môđun N S Khi đó, dấu “=” α θ xem R- đồng cấu Do đó, α R- đẳng cấu N R θ bao FP- nội xạ → Hom R ( S, N ) S- đẳng cấu S R xạ ảnh M R Do α∗ : Hom R ( S, N )  Mà N S đẳng cấu với hạng tử trực tiếp Hom R (S, N) nên ta α S- đẳng cấu N S Vậy θ: M S → N S bao FP- nội xạ M S KẾT LUẬN ĐỀ TÀI Qua trình nghiên cứu, đề tài nhận số kết sau: - Số chiều FP- xạ ảnh môđun thay đổi vành Cho R S vành coherent phải ϕ: R → S toàn cấu vành với S Rmôđun xạ ảnh phải R- môđun dẹt trái fpd R (M)= fpd S (M) M Smôđun phải rfpD(S) ≤ rfpD(R) - Cho R S vành coherent phải S mở rộng tốt R fpd R (M)= fpd S (M) S- môđun phải M S rfpD(S) ≤ rfpD(R), dấu “ = ” xảy rfpD(R) < ∞ - Đối với vành coherent phải R, rfpD(R) ≤ R- môđun phải (FP- nội xạ) có bao FP- xạ ảnh R- môđun phải (FP- nội xạ) có bao FP- xạ ảnh với tính chất ánh xạ - Cuối cùng, xét tiền phủ FP- xạ ảnh mở rộng tốt vành TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2006), Đại số đồng điều, Nhà xuất Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh Tiếng Anh: E E Enochs and O M G Jenda (2000), Relative Homological Algebra; Walter de Gruyter: Berlin – New York A Madanshekaf (2008), Quasi – Exact Sequence and Finitely Presented Modules, Iranian Journal of Mathematical Sciences and Informatics, Vol 3, No 2, 49 – 53 Lixin Mao, Nanqing Ding (2005), FP- Projective Dimensions, Communications in Algebra, 33: 1153 – 1170 Lixin Mao, Nanqing Ding (2005), Relative FP- Projective Modules, Communications in Algebra, 33: 1587 – 1602 J J Rotman (1979), An Introduction to Homological Algebra; Academic Press; New York J Trlifaj (2000), Covers, Envelopes, and Cotorsion Theories; Lecture notes for the workshop, “Homological Methods in Modules Theory”, Cortona, September 10 – 16 Shang Wenliang (2010), Almost Excellent Extensions and the FPHomological Property, International Journal of Algebra, Vol 4, no 16, 791 – 798 [...]... hữu hạn N  M được gọi là môđun FP- xạ ảnh nếu Ext1R ( M, N ) = 0 với mọi R- môđun phải FP- nội xạ N Ví dụ (1) J là R- môđun nội xạ thì J là R- môđun FP- nội xạ (2) P là R- môđun xạ ảnh thì P là R- môđun FP- xạ ảnh Ta ký hiệu FP R (FI R ) là lớp của những R- môđun FP- xạ ảnh (FP- nội xạ) Như vậy, những FP R - tiền phủ (phủ) đặc biệt sẽ được gọi là những tiền phủ (phủ) FP- xạ ảnh đặc biệt Tương tự, FI... ) = 0 Do đó M ⊗R S là một S- môđun phải FP- xạ ảnh Mà M S đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của M ⊗R S nên M S là một S- môđun FP- xạ ảnh Vậy M S là FP- xạ ảnh khi và chỉ khi M R là FP- xạ ảnh khi và chỉ khi M ⊗ R S là Smôđun phải FP- xạ ảnh 2.2 Chiều FP- xạ ảnh và chiều FP- nội xạ Định nghĩa 2.2.1 Cho M là R- môđun phải  Chiều FP- xạ ảnh của M, ký hiệu là fpd R (M) hay fpd(M) là số nguyên nhỏ nhất n... 0 Vậy M R là FPxạ ảnh Bổ đề 2.1.10 Cho S là mở rộng tốt của vành R và M S là một S- môđun phải Khi đó: (i) M S biểu diễn hữu hạn khi và chỉ khi M R biểu diễn hữu hạn (ii) M S là FP- nội xạ khi và chỉ khi M R là FP- nội xạ khi và chỉ khi Hom R (S, M) là một S- môđun phải FP- nội xạ (iii) M S là FP- xạ ảnh khi và chỉ khi M R là FP- xạ ảnh khi và chỉ khi M ⊗ R S là S- môđun phải FP- xạ ảnh Chứng minh... fpd S (M ⊗ R S) ≤ rfpD(S) Suy ra rfpD(R) ≤ rfpD(S) Vậy rfpD(R) = rfpD(S) 2.3 Bao và phủ Định lý 2.3.1 Cho R là vành coherent phải, các phát biểu sau là tương đương: (i) Mọi R- môđun phải (FP- nội xạ) có một bao FP- xạ ảnh với tính chất ánh xạ duy nhất (ii) rfpD(R) ≤ 2 và mọi R- môđun phải (FP- nội xạ) có một bao FP- xạ ảnh Chứng minh (i) ⇒ (ii)  Cho M là R- môđun phải (FP- nội xạ) Khi đó, ta có các... phải (FP- xạ ảnh) có một phủ FP- nội xạ với tính chất ánh xạ duy nhất (ii) r .FP- dim(R) ≤ 2 và mọi R- môđun phải (FP- xạ ảnh) có một phủ FP- nội xạ Chứng minh (i) ⇒ (ii)  Cho M là R- môđun phải (FP- xạ ảnh) Khi đó, ta có các dãy khớp: α π 0 → M  → F0  →C → 0 β ψ 0 → C  → F1  → F2 → 0 trong đó α : M  → F0 và β : C  → F1 là những tiền bao FP- nội xạ đặc biệt, suy ra C và F 2 là FP- xạ ảnh α... chiều FP- xạ ảnh là hữu hạn thì chiều FP- xạ ảnh của môđun còn lại cũng hữu hạn Hơn nữa: (i) fpd(B) ≤ sup{fpd(A), fpd(C)} (ii) fpd(A) ≤ sup{fpd(B), fpd(C) - 1} (iii) fpd(C) ≤ sup{fpd(B), fpd(A) + 1} Tính chất 2.2.6 Cho R và S là những vành coherent phải Nếu ϕ: R → S là một toàn cấu vành với S là một R- môđun dẹt trái và S là một R- môđun phải xạ ảnh Khi đó: (i) fpd S (M) = fpd R (M) với bất kỳ S- môđun. .. α, β) thỏa βg = αf và nếu có bộ ba (Y, α’, β’) thỏa β’g = α’f thì tồn tại duy nhất θ: D → Y sao cho biểu đồ sau giao hoán g g A C A C f β f β’ α B B D θ α’ Y Chương 2 MÔĐUN FP- XẠ ẢNH VÀ MÔĐUN FP- NỘI XẠ 2.1 Khái niệm và các tính chất của môđun FP- xạ ảnh và môđun FP- nội xạ Định nghĩa 2.1.1 Cho M là R- môđun phải  M được gọi là môđun FP- nội xạ nếu Ext1R ( N, M ) = 0 với mọi R- môđun phải biểu diễn... bất kỳ R- môđun phải FP- nội xạ N Nếu n không tồn tại thì fpd R (M) = ∞  Chiều FP- nội xạ của M, ký hiệu là FP- id(M) là số nguyên nhỏ nhất n ≥ 0 sao cho Ext n+1 R ( F, M ) = 0 với tất cả R- môđun phải biểu diễn hữu hạn F Nếu n không tồn tại thì FP- id(M) = ∞ Nhận xét (1) Nếu M là môđun FP- xạ ảnh thì fpd(M) = 0 (2) Nếu M là môđun FP- nội xạ thì FP- id(M) = 0 Định nghĩa 2.2.2  Chiều FP- xạ ảnh phải... tiền bao (bao) FP- nội xạ đặc biệt Hơn nữa:  Mọi R- môđun phải M có một tiền bao FP- nội xạ đặc biệt nếu có dãy khớp 0 → M → F → L → 0 trong đó F ∈ FI R và L ∈ FP R  Mọi R- môđun phải M có một tiền phủ FP- xạ ảnh đặc biệt nếu có dãy khớp 0 → K → F → M → 0 trong đó F ∈ FP R và K ∈ FI R  Nếu α: M → F là một bao FP- nội xạ của M thì CoKer(α) là FP- xạ ảnh  Nếu β: F → M là một phủ FP- xạ ảnh của M thì... Suy ra M S là FP- nội xạ  Mặt khác, theo Bổ đề 2.1.6 ta có đẳng cấu: Ext1R ( N ⊗S S, M ) ≅ Ext1S ( N, Hom R ( S, M ) ) Mà M S đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của Hom R (S, M) (theo Bổ đề 2.1.4 (ii)) Vậy M S là FP- nội xạ khi và chỉ khi M R là FP- nội xạ khi và chỉ khi Hom R (S, M) là S- môđun phải FP- nội xạ (iii)  Giả sử M là một S- môđun phải FP- xạ ảnh Cho N là một R- môđun phải FPnội xạ Theo (ii) ... đẩy 22 Chương MÔĐUN FP- XẠ ẢNH VÀ MÔĐUN FP- NỘI XẠ 24 2.1 Khái niệm tính chất môđun FP- xạ ảnh môđun FP- nội xạ 24 2.2 Chiều FP- xạ ảnh chiều FP- nội xạ 29 2.3 Bao phủ... Chương MÔĐUN FP- XẠ ẢNH VÀ MÔĐUN FP- NỘI XẠ 2.1 Khái niệm tính chất môđun FP- xạ ảnh môđun FP- nội xạ Định nghĩa 2.1.1 Cho M R- môđun phải  M gọi môđun FP- nội xạ Ext1R ( N, M ) = với R- môđun. .. môđun FP- xạ ảnh Ext1R ( M, N ) = với R- môđun phải FP- nội xạ N Ví dụ (1) J R- môđun nội xạ J R- môđun FP- nội xạ (2) P R- môđun xạ ảnh P R- môđun FP- xạ ảnh Ta ký hiệu FP R (FI R ) lớp R- môđun