BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Hữu Mạnh TÍCH PHÂN CHOQUET VÀ ĐỊNH LÍ CHOQUET LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Hữu Mạnh TÍCH PHÂN CHOQUET VÀ ĐỊNH LÍ CHOQUET Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 LỜI CẢM ƠN Lời cảm ơn sâu sắc nhất, xin trân trọng cảm ơn thầy – cố PGS.TS Đậu Thế Cấp, người giảng dạy khóa học, tận tình hướng dẫn trình thực luận văn Thạc sĩ nghiên cứu khoa học Tôi xin gửi lời chia buồn sâu sắc tới gia đình thầy đột ngột thầy Tôi xin gửi lời cảm ơn đến PGS.TS Nguyễn Bích Huy hỗ trợ trình hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô Hội đồng chấm luận văn dành thời gian đọc cho nhận xét quý báu luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, quý thầy cô khoa Toán – Tin học, quý thầy cô thuộc phòng Sau Đại Học trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM trang bị cho kiến thức tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập trường Tôi xin cám ơn bạn học viên lớp Cao học Giải Tích khóa 20 chia sẻ, giúp đỡ suốt trình học tập Cuối lời cảm ơn dành cho người thân gia đình tôi, người động viên suốt thời gian qua TP.HCM, ngày 29 tháng năm 2011 Trần Hữu Mạnh MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC .2 MỞ ĐẦU Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Độ đo 1.2 Tôpô .8 1.3 Dung lượng không gian tôpô 11 1.4 Mối liên hệ dung lượng độ đo 15 1.5 Một số dung lượng đặc biệt 17 1.6 Dung lượng rời rạc .23 Chương 2: TÍCH PHÂN CHOQUET THEO DUNG LƯỢNG .28 2.1 Định nghĩa 28 2.2 Tính chất .28 Chương 3: ĐỊNH LÍ CHOQUET .40 3.1 Hàm dung lượng 40 3.2 Định lí Choquet 41 KẾT LUẬN 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết dung lượng tích phân theo dung lượng đưa nhà toán học Pháp Gustave Choquet (1955) mở rộng, phát triển nhiều nhà toán học Hiện vấn đề có tính thời sự, nhiều nhà toán học quan tâm Vì vậy, chọn đề tài: “Tích phân Choquet định lí Choquet” nhằm tìm hiểu bước đầu nghiên cứu theo lý thuyết nói Mục đích nghiên cứu Trong luận văn này, đưa khái niệm dung lượng, tích phân Choquet theo dung lượng không gian tôpô Hausdorff tổng quát với σ - đại số Borel định lí Choquet ứng với hàm dung lượng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Trong luận văn này, nghiên cứu dung lượng không gian tôpô Hausdorff với σ - đại số Borel, khảo sát số trường hợp dung lượng rời rạc, nghiên cứu số tính chất tích phân Choquet theo dung lượng, dung lượng rời rạc Định lí Choquet không gian tôpô compắc địa phương, Hausdorff khả li nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn Các kết có luận văn trường hợp cho lý thuyết dung lượng không gian tôpô Hausdorff, có nhiều ứng dụng lý thuyết độ đo, xác suất Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn trình bày chương: - Chương 1: Trình bày số vấn đề lý thuyết độ đo, tôpô, lý thuyết dung lượng, dung lượng rời rạc cần thiết - Chương 2: Trình bày định nghĩa tích phân Choquet theo dung lượng không gian tôpô Hausdorff, số tính chất tích phân Choquet theo dung lượng, dung lượng rời rạc - Chương 3: Trình bày định nghĩa hàm dung lượng chứng minh định lí Choquet không gian tôpô compắc địa phương, Hausdorff khả li Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Độ đo Kí hiệu P ( X ) họ tất tập tập X Định nghĩa 1.1.1 Một họ M ⊂ P ( X ) gọi σ - đại số X thỏa mãn điều kiện i ∅ ∈ M ii Mọi dãy { En } ⊂ M +∞ E n ∈ M n =1 iii ∀E ∈ M thì= E X \ E∈ M c Nếu điều kiện ii thay điều kiện ii’ E1 , E2 , , En ∈ M n E j ∈ M j =1 M gọi đại số Cặp (X, M ) gồm tập X σ - đại số X gọi không gian đo σ - đại số tập X σ - đại số Nếu C họ tập X P ( X ) σ - đại số chứa C Do ta có σ Ta biết giao họ khác rỗng đại số M (C) giao tất σ - đại số chứa C σ - đại số M ( C ) gọi σ - đại số sinh C Với họ tập C , F X , ta có C ⊂ M ( F ) ⇒ M (C ) ⊂ M ( F ) Định nghĩa 1.1.2 Cho X không gian tôpô Ta gọi σ - đại số Borel X σ - đại số sinh họ tập mở X , kí hiệu B ( X ) Mỗi phần tử thuộc B ( X ) gọi tập Borel Như tập Borel bao gồm tập mở, tập đóng, giao đếm tập mở, hợp đếm tập đóng…của X Đặc biệt X không gian Hausdorff tập compắc tập Borel Ta gọi tập giao đếm tập mở tập Gδ , tập hợp đếm tập đóng tập Fσ Định nghĩa 1.1.3 Họ C tập X gọi nửa đại số i ∅ ∈ C ii E , F ∈ C ⇒ E ∩ F ∈ C iii E ∈ C E hợp hữu hạn tập rời C c Định lí 1.1.4 Nếu C nửa đại số họ A hợp hữu hạn tập rời C đại số Định nghĩa 1.1.5 Cho M σ - đại số X Một hàm tập µ : M → [ 0; +∞ ] gọi độ đo M thỏa mãn điều kiện µ (∅) =0 i  +∞  +∞ ii { En } dãy tập rời thuộc M µ   En  = ∑ µ ( En )  n=1  n=1 Độ đo µ M gọi hữu hạn µ ( E ) < +∞, ∀E ∈ M Độ đo µ M gọi độ đo xác suất µ ( X ) = Độ đo µ M gọi σ - hữu hạn tồn dãy {En } ⊂ M, µ ( En ) < +∞, ∀n +∞ E n n =1 =X Độ đo µ M gọi độ đo đầy đủ E ∈ M, µ ( E ) = F ⊂ E có F∈M Bộ ba ( X , M , µ ) M σ - đại số X , µ độ đo M gọi không gian độ đo Định lí 1.1.1 Cho ( X , M , µ ) không gian độ đo Khi a Mọi E , F ∈ M, E ⊂ F có µ ( E ) ≤ µ ( F ) (tính chất đơn điệu) b Mọi dãy { En } ⊂ M có  +∞  +∞ µ   En  ≤ ∑ µ ( En ) (tính chất cộng tính dưới)  n=1  n=1 c Mọi dãy { En } ⊂ M , En ⊂ En+1 , ∀n có  +∞  µ   En  = lim µ ( En ) (tính chất liên tục dưới)  n=1  n→+∞ d Mọi dãy { En } ⊂ M , En ⊃ En+1 , ∀n, µ ( E1 ) < +∞ có  +∞  µ   En  = lim µ ( En ) (tính chất liên tục trên)  n=1  n→+∞ Định nghĩa 1.1.6 σ - đại số Borel không gian tôpô X gọi độ đo Borel Một độ đo Borel µ X gọi quy E ∈ B ( X ) ta có Một độ đo µ ( E ) = inf { µ (U) U ⊃ E U mở} = sup { µ ( K ) K ⊂ E K compắc} 1.2 Tôpô Định nghĩa 1.2.1 Cho không gian tôpô X A ∈ X Một họ G lân cận A gọi hệ lân cận A với lân cận U A tồn lân cận V ∈ G cho V ⊂U Định nghĩa 1.2.2 Không gian X gọi không gian (LCS) X không gian tôpô compắc địa phương, Hausdorff khả li Định lí 1.2.1 Cho X không gian (LCS) Khi a Với tập compắc K ⊂ X , tồn dãy tập mở {Gn } cho Gn ⊃ Gn+1 +∞ G n =K n =1 b Với tập mở G ⊂ X , tồn dãy tăng tập mở compắc tương đối {Bn } (nghĩa với n Bn tập mở Bn tập compắc) cho Bn ⊂ Bn+1 = G +∞ +∞ B B = n = n 1= n n +1 Đặc biệt, K ⊂ G K ⊂ Bn với n đủ lớn c Với tập Borel V , tồn dãy tăng tập compắc {K n } cho +∞ K n =V n =1 Định nghĩa 1.2.3 Cho không gian tôpô X Một họ tập { Fα }α∈I gọi có tâm tập hữu hạn I I có  Fα ≠ ∅ α ∈I Vì K = +∞ K n compắc G tập mở chứa K nên tồn n0 ∈ N cho n =1 K n ⊂ G , ∀n ≥ n0 Suy T1 ( K n \ K ) < ε , ∀n ≥ n0 ⇒ T1 ( K n ) < T1 ( K ) + ε , ∀n ≥ n0 Mặt khác T1 ( K n ) ≥ T1 ( K ) , ∀n ≥ n0 (do T1 hàm không giảm) Do lim T1 ( K n ) = T1 ( K ) n→+∞ Vậy lim T ( K n ) = T ( K ) * * n→+∞ 3.2 Định lí Choquet Trong phần không gian X không gian (LCS) Cho không gian X Nếu T : K ( X ) → R hàm dung lượng tồn độ đo xác suất P B ( F) thỏa FK ) T ( K ), ∀K ∈ K ( X ) P (= Ta chứng minh định lí trường hợp hàm dung lượng T tương ứng định lí * 3.1.1 Trước hết ta cần số kết sau: Bổ đề 3.2.1 (Định lí Caratheodory mở rộng độ đo xác suất) Cho A đại số tập không gian X Cho hàm P : A → [0,1] thỏa i P ( X ) = ii Với ∀An ∈ A , ∀n ≥ đôi rời +∞  A ∈ A n n =1  +∞  +∞ P   An  = ∑ P ( An )  n=1  n=1 Khi P mở rộng đến độ đo xác suất σ ( A ) ( σ ( A ) σ - đại số sinh A ) Bổ đề 3.2.2 Cho K lớp compắc đại số A tập không gian X Cho P : A → [0,1] hàm cộng tính P ( X ) = Nếu ∀A ∈ = A , P ( A) sup{P ( K ) : K ∈ K , K ⊂ A} P hàm σ - cộng tính A Định lí 3.2.1 Đặt C lớp tập không gian X có dạng {V =∪ K G : K ∈ K ( X ), G ∈ G ( X )} Và A lớp tập F ( X ) dạng {FVV1 ,V2 , ,Vn :V ,V1 , ,Vn ∈ C } ( n = có dạng FV ,V ∈ C ) Thì a A nửa đại số tập F ( X ) b σ ( A ) = B ( F) Chứng minh: a Chứng minh A nửa đại số tập F ( X ) Ta có ∅= F∅V ∈ A Lấy FVV,V , ,V , FVV,V , ,V ∈ A ' ' n ' ' k Ta có FVV,V , ,V ∩ FVV,V , ,V = FV ∩ FV ,V , ,V ∩ FV ∩ FV ,V , ,V ' ' n ' ' ' k ( ' n ) ( ' ' k = FV ∩ FV  FV1 ,V2 , ,Vn ∩ FV ' ,V ' , ,V ' ' k ) = FV ∪V ∩ FV ,V , ,V ,V ' ,V ' , ,V ' ' n k = FVV,V∪V, ,V ,V ' ,V ' , ,V ' ∈ A ' Lấy n k FVV,V , ,V ∈ A Ta chứng minh n n F ( X ) \ FVV1 ,V2 , ,Vn = FV ∪ FV ∪V1 ∪ FVV1 ∪V2 ∪ ∪ FVV1 ,V∪2V, , Vn −1 Thật Với ∀F ∈ F ( X ) \ FV1 ,V2 , ,Vn ⇒ F ∈ F ( X ) F ∉ FV1 ,V2 , ,Vn V V Ta có n F ∉F V V1 ,V2 , ,Vn ⇒ F ∉ F F ∉  FVi V i =1 n ⇒ F ∈ FV F ∉  FVi i =1 ⇒ ∃i ∈ {1, 2, , n} cho F ∉ FVi Không tính tổng quát, giả sử F ∉ FV1 ⇒ F ∈ F V V ∪V Suy F ∈ FV F ∈ F V ∪V1 Suy F ∈ FV ∪ F n ∪ FVV1 ∪V2 ∪ ∪ FVV1 ,V∪2V, , Vn −1 Do n F ( X ) \ FVV1 ,V2 , ,Vn ⊂ FV ∪ FV ∪V1 ∪ FVV1 ∪V2 ∪ ∪ FVV1 ,V∪2V, , Vn −1 V ∪V1 Với ∀F ∈ FV ∪ F n ∪ FVV1 ∪V2 ∪ ∪ FVV1 ,V∪2V, , Vn −1 k ⇒ F ∈ FV F ∈ FVV1 ,V∪2V, , Vk −1 , với k ∈ {1, 2, , n} Nếu F ∈ FV ⇒ F ∉ FV ⇒ F ∉ FVV1 ,V2 , ,Vn Suy F ∈ F ( X ) \ FV1 ,V2 , ,Vn V k F ∈ FVV1 ,V∪2V, , Vk −1 , k ∈ {1, 2, , n} Nếu ⇒ F ∈ FV ∪Vk , k ∈ {1, 2, , n} ⇒ F ∉ FVk , k ∈ {1, 2, , n} ⇒ F ∉ FVV1 ,V2 , ,Vn ⇒ F ∈ F ( X ) \ FVV1 ,V2 , ,Vn Do FV ∪ FV ∪V ∪ FVV ∪V ∪ ∪ FVV,V∪V, ,V ⊂ F ( X ) \ FVV,V , ,V n 1 n −1 n Vậy n F ( X ) \ FVV1 ,V2 , ,Vn = FV ∪ FV ∪V1 ∪ FVV1 ∪V2 ∪ ∪ FVV1 ,V∪2V, , Vn −1 b Chứng minh σ ( A ) = B ( F) K ∪ G ,Vi = K i ∪ Gi , ∀i ∈{1, 2, , n} ∀FVV,V , ,V ∈ A với V = n G , Gi ∈ G ( X ); K , K i ∈ K ( X ), ∀i ∈ {1, 2, , n} Ta có FVV,V , ,V = FKK∪∪GG , ,K ∪G n 1 n n = ( FK ∪G ) ∩ FK1 ∪G1 ∩ ∩ FK n ∪Gn = ( FK ∩ FG ) ∩ ( FK1 ∪ FG1 ) ∩ ∩ ( FK n ∪ FGn ) (3.1) Với G ∈ G ( X ) , theo định lí 1.2.1 b tồn dãy tăng tập mở tiền compắc {Bn } cho +∞ G =  Bn+1 n =1 Do +∞  Bn +1 = F F= G = n +∞ F Bn +1 n =1 (3.2) Với K i ∈ K ( X ), ∀i ∈ {1, 2, , n} , theo định lí 1.2.3 tồn hệ lân cận mở {U im } K cho +∞ FK =  FU i Từ (3.1), (3.2), (3.3) suy m =1 (3.3) im FVV,V , ,V ∈ B ( F) n (do B ( F) σ - đại số sinh họ {F K : K ∈ K ( X )} {FG : G ∈ G ( X )} ) Suy A ⊂ B ( F) Do Ta có σ ( A ) ⊂ B ( F) K ∀K ∈ K ( X ), F= FK ∪∅ ∈ A ⊂ σ ( A ) ∀G ∈ G ( X ), FG= F∅∪G ∈ A ⊂ σ ( A ) Do Vậy B ( F) ⊂ σ ( A ) σ ( A ) = B ( F) Định lí 3.2.2 Cho T1 dung lượng rời rạc tương ứng hệ 1.6.1 A lớp tập F ( X ) tương ứng định lí 3.2.1 Định nghĩa P : A → [0,1] , ( P FVV1 ,V2 , ,Vn )   n   T1  Vi \ V  =   i =1  1 − T (V )  n ≥ n = Thì a P định nghĩa tốt P ( F ( X ) ) = b P hàm cộng tính Chứng minh: a Chứng minh P định nghĩa tốt P ( F ( X ) ) = Với n = , giả sử FV = FV , ta chứng minh P( FV ) = P( FV ) ' ' Giả sử ∃x ∈ V \ V ⇒ {x} ∩ V ≠ ∅ {x} ∩ V = ∅ ' ' ⇒ {x} ∉ FV {x} ∈ FV ' Ta gặp mâu thuẫn V \V ' = ∅ Suy V ' \V = ∅ Lập luận tương tự ta có: V =V' Suy ra: ⇒ − T1 (V ) = − T1 (V ' ) P ( FV ) = P ( FV ) ' Do Với n ≥ , giả sử FV= ,V2 , ,Vn V Ta chứng minh P FVV,V , ,V ≠ ∅ ' ' ( ' ' k ) ( FVV,V , ,V ) = P FVV,V , ,V n ' ' Trước hết ta chứng minh= V V= , n k, ' ' ' k n k \ V V V = i =i =j ' j \V ' FVV,V , ,V ≠ ∅ nên V j' \ V ' ≠ ∅, ∀j ∈{1, 2, , k} ' Do ' ' ' k Tồn x1 , x2 , , xk cho x j ∈ V j \ V , ∀j ∈ {1, 2, , k} {x1 , x2 , , xk } ∈ FV ' ,V ' , ,V ' ' V' ' Không tính tổng quát, giả sử tồn x ∈ V \ V ' Vì x ∉ V nên {x, x1 , x2 , , xk } ∈ FV1 ,V2 , ,Vn V Mặt khác x ∈ V nên {x, x1 , x2 , , xk } ∉ FV ' ,V ' , ,V ' ' V' Ta gặp mâu thuẫn Suy V ' \V = ∅ Lập luận tương tự ta có: Do V =V' V \V ' = ∅ k k Với ∀i, j ∈ {1, 2, , n}, i ≠ j , giả sử Vi ⊄ V ∪ V j (ta giả sử ngược lại ∃i : Vi ⊂ V ∪ V j tập FVV1 ,V2 , ,Vn không thay đổi ta bỏ V j ) Lấy y ∈ Vn \ V yi ∈ Vi \ (V ∪ Vn ), ∀i ∈ {1, 2, , n − 1} Vì { y1 , , yn−1} ∉ FV1 ,V2 , ,Vn { y , y1 , , yn−1} ∈ FV1 ,V2 , ,Vn nên ∃jn ∈ {1, 2, , k} cho V V ∅ hay yi ∉ V j'n , ∀i ∈ {1, 2, , n − 1} { y1 , , yn−1} ∩ V j'n = y ∈ V j'n Hiển nhiên Với y ' ∈ Vn \ V , hoàn toàn tương tự ta có y ' ∈ V jn ' Vn \ V ⊂ V j'n hay Vn ⊂ V ∪ V j'n Do Bằng cách làm tương tự, ∃in ∈ {1, 2, , n} cho V jn \ V ⊂ Vin ' Nếu in ≠ n Vn ⊂ Vin ∪ V Ta gặp mâu thuẫn với điều giả sử in = n Vn \ V = V j'n \ V Suy Chứng minh tương tự cho Vi , ∀i ∈ {1, 2, , n − 1} khác ta có ' V= V= V j'i \ V ' i \V ji \ V n k ⇒ Vi \ V = V j' \ V ' =i =j Cuối     ' ' V' P F T= V \ V T V \ V P F = =  j    V1' ,V2' , ,Vk'     ( ) n k V 1 V1 ,V2 , ,Vn i =i =j ( Vậy P định nghĩa tốt P ( F ( X ) ) = P ( F∅ ) = − T1 (∅) = b Chứng minh P hàm cộng tính Giả sử FVV,V , ,V ,FVV,V , ,V ∈ A hai tập không rỗng, rời ' n ' ' ' k ) FVV,V , ,V ∪ FVV,V , ,V ∈ A ' ' n ' ' k Ta chứng minh ( ) ( ( ) P FVV1 ,V2 , ,Vn ∪ FVV' ,V ' , ,V ' = P FVV1 ,V2 , ,Vn + P FVV' ,V ' , ,V ' ' k 2 k ) ∪V FVV,V , ,V ∩ FVV,V , ,V = FVV, , = ∅ nên không tính tổng quát, giả sử V ,V , ,V ' Vì ' ' n ' ' ' k ' n ' k Vn ⊂ V ∪ V ' FVV,V , ,V ∪ FVV,V , ,V ∈ A nên giả sử FVV= FVV,V , ,V ∪ FVV,V , ,V ,V , ,V ' Vì ' n '' ' ' k '' ' '' '' m ' n ' ' k Với ∀x ∉ V Lấy xi ∈ Vi \ V , ∀i ∈ {1, 2, , n} {x, x1 , x2 , , xn } ∈ FV1 ,V2 , ,Vn ⊂ FV '' ,V '' , ,V '' V '' V m ⇒ {x, x1 , x2 , , xn } ∩ V '' = ∅ hay x ∉ V '' V '' ⊂ V Suy V '' ⊂ V ' Tương tự ta có V '' ⊂ V ∩ V ' Do Ta chứng minh: V '' = V Giả sử tồn x ∈ V \ V x ∈ V \ V '' ' ' '' Lấy xi ∈ Vi \ V , ∀i ∈ {1, 2, , m} {x, x , x1 , , xm } ∈ FV1 ,V2 , ,Vn ∪ FV ' ,V ' , ,V ' '' '' ' '' '' '' V' V k ⇒ {x , x ' } ∩ V = ∅ {x, x ' } ∩ V ' = ∅ Ta gặp mâu thuẫn Do V = V V = V ' '' '' Giả sử V = V ' '' Vì Vn ⊂ V ∪ V = V ∪ V = V nên ' '' FVV,V , ,V = ∅ Ta gặp mâu thuẫn n Do V = V , V ⊂ V Vn ⊂ V '' ' ' Với F ∈ FV1 ,V2 , ,Vn ∪ FV ' ,V ' , ,V ' , F ∩ Vn ≠ ∅ F ∉ FV ' ,V ' , ,V ' ; F ∩ Vn = ∅ V V' F ∈ FVV' ,V ' , ,V ' ' k V' k k Do đó, dễ dàng chứng minh FVV,V = , ,V n FVV,V , , = V ' ' ' ' k ( (F ) F ) ∩= FVV,V , ,V ∪ FVV,V , ,V ∩= FV FVV ,V , ,V ' ' n V V1 ,V2 , ,Vn ' ' k ∪ FVV' ,V ' , ,V ' ' k '' n '' '' m ,Vn FVV ,∪VV, ,V Vn n '' '' '' m Ta có ( )   m ''   P= F P F= T1   Vi  ∩ Vn \ V    i =1   ( V V1 ,V2 , ,Vn ) ( V' V1' ,V2' , ,Vk' ) ( ( V V1 ,V2 , ,Vn ) + P(F V V1'' ,V2'' , ,Vm'' ,Vn )  m ''  P= F P= F T1  Vi \ (V ∪ Vn )   i =1    m ''    m ''  = T1  Vi \ V  − T1   Vi  ∩ Vn \ V  =  i 1=   i   V ∪Vn V1'' ,V2'' , ,Vm'' Suy P F V' V1' ,V2' , ,Vk' )  m ''  = T1  Vi \ V   i =1   m '' ''  = T1  Vi \ V   i =1  ( P(F = P FVV'' ,V '' , ,V '' = '' m V V1 ,V2 , ,Vn ) ∪ FVV' ,V ' , ,V ' ' k ) Vậy P hàm cộng tính Chứng minh định lí Choquet Đặt C lớp tập không gian X có dạng {V =∪ K G : K ∈ K ( X ), G ∈ G ( X )} Và A lớp tập F ( X ) dạng {FVV1 ,V2 , ,Vn :V ,V1 , ,Vn ∈ C } ( n = có dạng FV ,V ∈ C ) Thì A nửa đại số tập F ( X ) σ ( A ) = B ( F) Định nghĩa P : A → [0,1] ( P FVV1 ,V2 , ,Vn )   n  T V \ V   i  =   i =1  1 − T (V )  n ≥ n = Thì P hàm cộng tính P ( F ( X ) ) = σ - cộng tính theo bổ đề 3.2.1, P mở rộng đến độ đo xác Nếu P hàm suất σ (A) Hơn P ( F= T1 ( K = ) T * ( K ), ∀K ∈ K ( X ) K) Nghĩa định lí chứng minh Ta chứng minh P σ - cộng tính Đặt D lớp tập A dạng {F G K1 , K , , K n } : G ∈ G ( X ); K1 , K , , K n ∈ K ( X ); n ≥ Ta có D đóng với phép giao phần tử D tập compắc F ( X ) Vì D lớp compắc (suy từ định lí 1.2.2) Theo bổ đề 3.2.2, ta cần chứng minh ∀A ∈ A := P ( A) sup{P (C ) : C ∈ D, C ⊂ A} (3.4) Thật Lấy K ∪ G0 , K ∈ K ( X ), G0 ∈ G ( X ) FVV,V , ,V ∈ A với V = k Tồn dãy {Gn } ⊂ G ( X ) cho Gn ⊃ Gn+1 ∈ K ( X ) Gn ↓ K Theo định lí 1.2.3, ta có: FG ↑ FK FG ∪G ↑ FV n n Với ∀i ∈ {1, 2, k} V= K i ∪ Gi , K i ∈ K ( X ), Gi ∈ G ( X ) i Theo định lí 1.2.1 c., tồn dãy {K n (i )} ⊂ K ( X ) thỏa K n (i ) ↑ Vi ⇒ FK n ( i ) ↑ FVi Dễ thấy: ∪G FKG (1), K n n n (2), , K n ( k ) ∪G0 V ∈ D FKGnn(1), K n (2), , K n ( k ) ↑ F V1 ,V2 , ,Vk Để chứng minh (3.4), ta cần chứng minh: ( ) ( ∪G0 V P FKGnn(1), K n (2), , K n ( k ) ↑ P F V1 ,V2 , ,Vk ) Ta có ( ) P FVV1 ,V2 , ,Vk = −T1 (V ) + ∑ i∈{1, ,k } T1 (V ∪ Vi ) − ∑ i1 ,i2∈{1, ,k } T1 (V ∪ Vi1 ∪ Vi2 ) i1 < i2 ∑ + + (−1) k +1 i1 , ,ik ∈{1, ,k } T1 (V ∪ Vi1 ∪ Vi2 ∪ ∪ Vik ) (3.5) i1 < i2 < < ik Thật vậy, ta chứng minh (3.5) quy nạp Với k = , ta có = P ( FVV1 ) T= (V1 \ V ) = ∑ x∈V ∪V1 ∑ T ({x}) x∈V1 \V T ({x}) − ∑ T ({x}) x∈V = −T1 (V ) + T1 (V ∪ V1 ) ⇒ (3.5) thỏa Giả sử (3.5) đến k = n , nghĩa ( ) P FVV1 ,V2 , ,Vn = −T1 (V ) + ∑ i∈{1, ,n} T1 (V ∪ Vi ) − ∑ i1 ,i2∈{1, ,n} T1 (V ∪ Vi1 ∪ Vi2 ) i1 < i2 ∑ + + (−1) n+1 i1 , ,in∈{1, ,n} T1 (V ∪ Vi1 ∪ Vi2 ∪ ∪ Vin ) i1 < i2 < < in Với k= n + 1, ta có ( P FVV1 ,V2 , ,Vn +1 )  n+1  = T1  Vi \ V   i =1   n   n  = T1  Vi \ V  − T1  Vi \ (V ∪ Vn+1 )  =  i 1=  i1  ( ) ( n +1 = P FVV1 ,V2 , ,Vn − P FVV1 ,V∪2V, , Vn ) = −T1 (V ) + ∑ i∈{1, ,n} T1 (V ∪ Vi ) − ∑ i1 ,i2∈{1, ,n} T1 (V ∪ Vi1 ∪ Vi2 ) i1 < i2 ∑ + + (−1) n+1 i1 , ,in∈{1, ,n} T1 (V ∪ Vi1 ∪ Vi2 ∪ ∪ Vin ) i1 < i2 < < in  −  −T1 (V ∪ Vn+1 ) + ∑ T1 (V ∪ Vn+1 ∪ Vi ) i∈{1, ,n}  − ∑ T1 (V ∪ Vn+1 ∪ Vi1 ∪ Vi2 ) i1 ,i2∈{1, ,n} i1 < i2 + + (−1) = −T1 (V ) + n +1  T1 (V ∪ Vn+1 ∪ Vi1 ∪ Vi2 ∪ ∪ Vin )  ∑  i1 , ,in∈{1, ,n}  i1 < i2 < < in ∑ i∈{1, ,n +1} T1 (V ∪ Vi ) − ∑ i1 ,i2∈{1, ,n +1} T1 (V ∪ Vi1 ∪ Vi2 ) i1 < i2 ∑ + + (−1) n+2 i1 , ,in +1∈{1, ,n +1} T1 (V ∪ Vi1 ∪ Vi2 ∪ ∪ Vin +1 ) i1 < i2 < < in +1 Vậy (3.5) Tương tự ta có ( ∪G0 P FKGnn(1), K n (2), , K n ( k ) = −T1 (Gn ∪ G0 ) + − ∑ i1 ,i2∈{1, ,k } ) ∑ i∈{1, ,k } T1 (Gn ∪ G0 ∪ K n (i )) T1 (Gn ∪ G0 ∪ K n (i1 ) ∪ K n (i2 )) i1 < i2 + + (−1) k +1 ∑ i1 , ,ik ∈{1, ,k } T1 (Gn ∪ G0 ∪ K n (i1 ) ∪ K n (i2 ) ∪ ∪ K n (ik )) i1 < i2 < < ik (3.6) Do tổng (3.5), (3.6) hữu hạn lim T1 (Gn ∪ G0 ) = T1 (V ) n→+∞ lim T1 (Gn ∪ G0 ∪ K n (i1 ) ∪ K n (i2 ) ∪ ∪ K n (im ) n→+∞ = T1 (V ∪ Vi1 ∪ Vi2 ∪ ∪ Vim ), ∀m ∈ {1, , k} (theo định lí 1.3.5) Do ( ) ( ∪G0 V P FKGnn(1), K n (2), , K n ( k ) ↑ P F V1 ,V2 , ,Vk Vậy (3.4) thỏa định lí Choquet chứng minh hoàn toàn ) KẾT LUẬN Trong luận văn, đưa định nghĩa dung lượng không gian tôpô Hausdorff, chứng minh tính chất bản, đưa số dung lượng đặc biệt Chúng xây dựng hai dung lượng rời rạc T1 , T∞ , chứng minh số tính chất mối quan hệ dung lượng rời rạc Các kết giới thiệu hội thảo Quốc tế Giải tích ứng dụng Đại học Sài Gòn vào tháng năm 2011 Trong chương 2, trình bày định nghĩa tích phân Choquet theo dung lượng, đưa chứng minh số tính chất tích phân Choquet trường hợp dung lượng tổng quát Một số tính chất tích phân Choquet trường hợp dung lượng rời rạc T1 , T∞ đưa ra, chứng minh chi tiết giới thiệu hội thảo nêu Trong chương 3, đưa khái niệm hàm dung lượng không gian tôpô, xây dựng hàm dung lượng T không gian (LCS) từ dung lượng rời rạc T1 chương * Chúng phát biểu định lí Choquet không gian (LCS) đưa chứng minh định lí trường hợp hàm dung lượng T * Cuối cùng, kính mong nhận xét góp ý bảo tận tình quý thầy cô để có thêm kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu khoa học TÀI LIỆU THAM KHẢO Đậu Thế Cấp, Tô pô đại cương, Nhà xuất giáo dục, 2008 Đậu Thế Cấp, Độ đo tích phân, Nhà xuất giáo dục, 2006 Le Xuan Son, Vu Hong Thanh and Nguyen Nhuy, Choquet theorem for the space of continuous real-valued functions, East-West J of Mathematics: Vol 6, No (2004) pp 185193 Hung T Nguyen, An introduction to Random Sets, Chapman & Hall/CRC, 2006 G Choquet, Theory of capacities, Ann Inst Fourier (1953-1954), 131-295 David R Adams, Choquet integrals in potential theory, Publicacions Maternatiques, Vol 42 (1998), 3-66 Bosko Zivaljevic, Uniqueness of unbounded loeb measure using choquet’s theorem, Proceedings of the American Mathematical society, Vol 116, Number 2, Oct 1992 Yukio Ogura, On a Choquet theorem for random upper semicontinuous functions, Grant-inAid for Scientific research 17540123 P.Billingsley, Convergence of Probability Measures, John Wiley & Sons, 1968 10 Dau The Cap, Tran Huu Manh and Bui Dinh Thang, On the capacities and the Choquet integral of discrete measurable functions, International conference on analysis and applied mathematics, SaiGon university, March 2011, 368-374 [...]... ( X )} và {FG : G ∈ G ( X )} Từ định nghĩa, dễ thấy FG = FG∅ , F∅ = ∅, F∅ = F (X ) Định lí 1.2.3 Cho X là không gian (LCS) Nếu K ∈ K ( X ) và {Gn } là một hệ cơ bản các lân cận mở +∞ của K thì F n =1 Gn = FK và +∞ F Gn = FK n =1 Định nghĩa 1.2.5 Cho không gian tôpô X Tôpô miss and hit trong F ( X ) là tôpô có cơ sở là họ {F K G1 ,G2 , ,Gn } : K ∈ K ( X ); G1 , G2 , , Gn ∈ G ( X ) Định lí 1.2.4... lượng rời rạc trên X và ∑ T ({x}) < +∞ Khi đó T x∈X lượng trên X thỏa mãn T∞ ≤ T ≤ T1 trên B ( X ) ∞ và T1 là các dung Chương 2: TÍCH PHÂN CHOQUET THEO DUNG LƯỢNG 2.1 Định nghĩa Cho T là dung lượng trên X và f : X → R là hàm đo được Borel Cho A ∈ B ( X ), xét + hàm f A : R → R xác định bởi f A= (t ) T ({x ∈ A : f ( x) ≥ t}) , ∀t ∈ R Thế thì f A là hàm giảm theo t , không âm và do đó f A là hàm đo... Borel, ta định nghĩa tích phân Choquet của f theo dung lượng T trên tập A ∈ B ( X ) như sau +∞ ∫ fdT = ∫ A Nếu 0 +∞ f A (t )dt = ∫ T ({x ∈ A : f ( x) ≥ t}) dt 0 ∫ fdT < +∞ thì ta nói f khả tích Choquet A Đặc biệt nếu A = X ta viết ∫ fdT = ∫ fdT X Trong trường hợp tổng quát, cho f : X → R là hàm đo được Borel + − Kí hiệu f ( x) = max{ f ( x),0} và f = ( x) max{− f ( x),0} Nếu f + − hoặc f khả tích Choquet. .. : f ( x) ≥ t})dt 0 Định lí 2.2.2 Cho T là dung lượng trên X và A ∈ B ( X ) Hàm đặc trưng 1A : X → R , xác định bởi + 1 khi x ∈ A ∀x ∈ X ,1A ( x) = 0 khi x ∉ A ∫ Khi đó 1A dT = T ( A) Chứng minh: Ta có sup{1A ( x) : x ∈ X }=1 nên theo định lí 2.2.1 ∫1 A 1 dT = ∫ T ({x ∈ X :1A ( x) ≥ t})dt 0 A ∀t ∈ (0,1] thì {x ∈ X :1A ( x) ≥ t} = 1 ∫ Do đó= 1A dT T ( A)dt ∫= T ( A) 0 Định lí 2.2.3 + Cho T là... ∫ T (Gn )dt = ∫ lim T (Gn )dt (định lí hội tụ đơn điệu) n→∞ n→∞ +∞ = ∫ T (G)dt 0 = ∫ fdT Do đó lim n→∞ Vậy ∫ f dT = ∫ fdT n ∫ f dT ↑ ∫ fdT n Định lí 2.2.10 Tích phân Choquet không có tính chất cộng tính Nghĩa là với T là dung lượng trên X , + tồn tại các hàm f , g : X → R đo được Borel sao cho ∫ ( f + g )dT ≠ ∫ fdT + ∫ gdT Chứng minh: Lấy A, B ⊂ X sao cho A ∩ B ≠ ∅ và T ( B \ A) < T ( B ) Chọn =... T (Cn+1 ) và lim T (Cn ) = T (C0 ) ) n→+∞ Định nghĩa 1.3.5 Tập S ⊂ X được gọi là giá của dung lượng T nếu S là tập đóng nhỏ nhất trong X thỏa T ( X \ S ) = 0 Giá của T được kí hiệu là supp T Định lí 1.3.4 Nếu T là dung lượng trên X thì T (suppT ) ≥ T ( A), ∀A ∈ B ( X ) Và do đó T (suppT ) = T ( X ) Chứng minh: Với S = suppT và ∀A ∈ B ( X ) thì ta có A = ( A ∩ S ) ∪ ( A ∩ S ) c Theo định nghĩa... hiệu f ( x) = max{ f ( x),0} và f = ( x) max{− f ( x),0} Nếu f + − hoặc f khả tích Choquet thì ta định nghĩa tích phân Choquet của f theo dung lượng T trên tập A ∈ B ( X ) như sau = ∫ fdT A 2.2 Tính chất Định lí 2.2.1 ∫f A + dT − ∫ f − dT A Cho T là dung lượng trên X , f : X → R là hàm đo được Borel và A ∈ B ( X ) Khi + đó: a Nếu T ( A) = 0 thì ∫ fdT = 0 A b Nếu = α sup{ f ( x) : x ∈ A} ... 2: TÍCH PHÂN CHOQUET THEO DUNG LƯỢNG .28 2.1 Định nghĩa 28 2.2 Tính chất .28 Chương 3: ĐỊNH LÍ CHOQUET .40 3.1 Hàm dung lượng 40 3.2 Định lí Choquet. ..BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Hữu Mạnh TÍCH PHÂN CHOQUET VÀ ĐỊNH LÍ CHOQUET Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC... chọn đề tài: Tích phân Choquet định lí Choquet nhằm tìm hiểu bước đầu nghiên cứu theo lý thuyết nói Mục đích nghiên cứu Trong luận văn này, đưa khái niệm dung lượng, tích phân Choquet theo dung