BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH HỨA THỊ HẠ PHƯƠNG CÁC ĐIỂM XOẮN HỮU TỶ CỦA ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC TRÊN TRƯỜNG HỮU TỶ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH HỨA THỊ HẠ PHƯƠNG CÁC ĐIỂM XOẮN HỮU TỶ CỦA ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC TRÊN TRƯỜNG HỮU TỶ Chuyên ngành: Hình học tôpô Mã số: 604610 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC Tiến sĩ Phan Dân Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CẢM ƠN Với việc hoàn thành Luận văn này, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Phan Dân – người định hướng cho lựa chọn đề tài hướng dẫn suốt trình thực Tôi xin chân thành cảm ơn: Ban chủ nhiệm Khoa Quý Thầy tổ Bộ môn Hình học, Khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh giúp hoàn thành tất học phần khóa học Cao học, giúp nâng cao trình độ kiến thức chuyên môn phương pháp học tập hữu ích, giúp hoàn thành việc tiếp cận nội dung học trình định hướng đề tài cho luận văn tốt nghiệp Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học, Phòng Tổ chức-Hành chính, Phòng Kế hoạch-Tài Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Ban Giám hiệu trường THPT Nguyễn Hữu Cầu huyện Hóc Môn thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ suốt trình học tập Các đồng nghiệp, bạn khóa học, gia đình động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành luận văn tốt nghiệp Thành Phố Hồ Chí Minh, 06/ 2012 Tác giả Hứa Thị Hạ Phương MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC CÁC KÝ HIỆU PHẦN MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Lịch sử vấn đề Đối tượng phạm vi nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc luận văn Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Nhóm aben hữu hạn sinh 1.2 1.2 Đa tạp affine đa tạp xạ ảnh 1.2.1 Đa tạp affine 1.2.2 Đa tạp xạ ảnh 11 1.3 Tổng quan đường cong elliptic 16 1.4 Đường cong elliptic trường hữu hạn 𝔽𝒒 18 1T 1.5 Đường cong elliptic trường số thực ℝ 19 1T 1.6 Đường cong elliptic trường số phức ℂ 20 1T Chương 2:CÁC ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC DẠNG WEIERTRASS TRÊN ℚ 25 2.1 Tổng quan đường cong dạng Weiertrass ℚ 25 1T 2.1.1 Đường cong affine đường cong xạ ảnh 25 2.1.2 Phương trình Weiertrass dạng dài ngắn 25 2.1.3 j – bất biến đường cong elliptic 26 2.2 Các điểm hữu tỷ xoắn hữu tỷ đường cong elliptic ℚ 27 1T 2.2.1 Các định lý 27 2.2.2 Nhóm điểm hữu tỷ xoắn hữu tỷ 30 2.2.3 Sự phân bố điểm hữu tỷ xoắn hữu tỷ 30 2.2.4 Hạng đại số hai toán 30 2.3 Mô tả chung luật nhóm j – bất biến số họ đường cong 34 2.3.1 Luật nhóm số phương pháp xác định điểm bội 34 2.3.2 Các j – bất biến họ 𝒚𝟐 = 𝒙𝟑 − 𝒑𝒙, 𝒚𝟐 = 𝒙𝟑 − 𝒑𝟐 (𝒑 nguyên tố) 44 2.4 Mô tả nhóm xoắn số họ đường cong elliptic 44 2.4.1 Các thuật toán xác định điểm xoắn hữu tỷ 45 2.4.2 Các nhóm xoắn họ 𝒚𝟐 = 𝒙𝟑 − 𝒑𝒙, 𝒚𝟐 = 𝒙𝟑 − 𝒑𝟐 (𝒑 nguyên tố) 53 2.4.3 Nhóm xoắn họ 𝒚𝟐 = 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 56 1T 2.4.4 Các tính toán cho Bảng 2.1 57 KẾT LUẬN 61 Phụ lục A: BẢNG TÍNH TOÁN 62 Phụ lục B: CHU KỲ 𝝎𝟏 VÀ 𝝎𝟐, THUẬT TOÁN AM – GM 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO 72 CÁC KÝ HIỆU Ý nghĩa Ký hiệu ℤ Vành số nguyên 𝔽𝑞 Trường hữu hạn có 𝑞 phần tử � 𝕂 Bao đóng đại số trường 𝕂 ℚ Trường số thực ℝ ℂ 𝐼 (𝑉 ) 𝕂 [𝑋 ] Trường hữu tỷ Trường số phức Idean 𝐼 đa tạp 𝑉 Vành đa thức biến 𝑋 trường 𝕂 Δ(𝐸) Bậc đa thức 𝑓 𝑗(𝐸) j – bất biến đường cong elliptic 𝐸 deg (𝑓) 𝐸(ℚ) 𝐸 (ℚ)[𝑛] 𝐸 (ℚ)tor #𝐸(ℚ) 𝒪 𝒜𝑛 𝒫𝑛 ℘ 𝐺𝑘 𝜓𝑛 𝜌𝑝 𝐿 ℱ (𝐿 ) 𝜔𝑖 (𝐿) 𝑇(𝐴) Biệt thức đường cong elliptic 𝐸 Nhóm điểm hữu tỷ đường cong elliptic 𝐸 Nhóm điểm hữu tỷ có bậc hữu hạn chia hết 𝑛 Nhóm xoắn hữu tỷ đường cong elliptic 𝐸 Số điểm hữu tỷ đường cong elliptic 𝐸 Điểm vô tận 𝒪 đường cong elliptic 𝐸 Không gian affine 𝑛 chiều trường 𝕂 Không gian xạ ảnh 𝑛 chiều trường 𝕂 Hàm ℘ Weierstrass Chuỗi Eisenstein Đa thức chia thứ 𝑛 Phép quy gọn theo số nguyên tố 𝑝 Dàn 𝐿 Miền dàn 𝐿 Chu kỳ thứ 𝑖 dàn 𝐿 Nhóm xoắn nhóm aben 𝐴 𝐴⊕𝐵 gdc(𝑎, 𝑏) 𝑥 � � 𝑝 Tổng trực tiếp 𝐴 𝐵 Ước chung lớn 𝑎 𝑏 Ký hiệu Legendre PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong Lịch sử phát triển Toán học có nhiều giả thuyết nhiều toán mở mà tồn suốt thời gian dài làm cho nhiều hệ nhà Toán học dồn nhiều công sức niềm say mê nghiên cứu đặc biệt hầu hết toán có cách đặt vấn đề mô tả đơn giản – chẳng hạn toán chia ba góc thước compa, toán tô màu đồ, toán Hilbert, toán chứng minh Định lý lớn Fermat,… Riêng toán chứng minh Định lý lớn Fermat (còn gọi Định lí Fermat-Wiles) vấn đề thời Toán học suốt ba kỷ qua giải trọn vẹn vào năm 1994 Wiles Taylor có lẽ vấn đề thuộc loại thú vị nhà khoa học quan tâm nhiều Đây Bài toán thuộc lĩnh vực Lý thuyết số thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học Điều đặc biệt trình tìm kiếm lời giải cho giả thuyết Fermat, người ta phải sử dụng tới nhiều kiến thức kỹ thuật phương pháp nghiên cứu nhiều ngành khoa học khác Lý thuyết số, Đại số giao hoán, Giải tích, Giải tích phức, Hình học, Hình học Đại số, Lý thuyết Galois,…, số có đóng góp quan trọng ngành Hình học Đại số Lý thuyết đa tạp, đường cong đại số điểm hữu tỷ chúng, hàm elliptic, dạng modular,… khái niệm quan trọng kết nghiên cứu có liên quan tiệm cận theo nhiều hướng khác lời giải toán Fermat Chúng lựa chọn đề tài thuộc lĩnh vực Hình học Đại số với ý tưởng tìm hiểu giới thiệu số kiến thức “Lý thuyết đường cong Elliptic” với việc mô tả phân bố nhóm điểm xoắn hữu tỷ chúng Trong phạm vi đề tài, xét đường cong Elliptic trường số hữu tỷ mô tả dạng Weierstrass Vì đề tài mang tên: “Các điểm xoắn hữu tỷ đường cong Elliptic trường hữu tỷ” Lịch sử vấn đề Cơ sở lý thuyết công cụ nghiên cứu vấn đề “Các điểm hữu tỷ đường cong Elliptic Q”, phương pháp giải vấn đề nêu Luận văn dựa số kết sau đây: a) Một là: Xuất phát từ kết thú vị tính chất tách trực tiếp nhóm aben hữu hạn sinh (nghĩa Z-modun hữu hạn sinh) thành phần xoắn xoắn nó, phần tổng trực tiếp nhóm aben cyclic tách b) Hai là: Sự tiếp cận phương pháp mô tả cấu trúc nhóm điểm hữu tỷ (và nhóm xoắn nó) đường cong Elliptic Q , nhờ vào: - Định lí Mordell-Weil khẳng định tập điểm hữu tỷ đường cong elliptic nhóm aben hữu hạn sinh, - Định lí Mazur mô tả cấu trúc nhóm điểm có cấp hữu hạn nhóm điểm hữu tỷ - Định lý Nagell-Lutz mô tả đặc trưng nhóm điểm xoắn hữu tỷ họ đường cong Elliptic dạng Weierstrass: y2 = x3+Ax+B với A, B số nguyên Từ kết ta nhận thuật toán xác định điểm xoắn hữu tỷ c) Ba là: Các kết phương pháp mô tả luật nhóm nhóm điểm hữu tỷ đường cong Elliptic Nhìn qua người ta “nắm bắt” nhóm điểm hữu tỷ chúng có cách mô tả tường minh có hữu hạn phần tử Tuy nhiên thực hoàn toàn khác xa với điều đó, khó khăn gặp phải sử dụng thuật toán tìm kiếm mô tả điểm xoắn phần mềm máy tính Luận văn tập trung giải số vấn đề về: xác định nhóm điểm xoắn hữu tỷ số họ đường cong Q cho dạng Weierstrass Một số kết nghiên cứu thuộc hướng tiếp tục phát triển thời gian gần nhiều tác giả nước Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu mô tả cấu trúc nhóm điểm hữu tỷ số họ đường cong Elliptic dạng Weierstrass trường số hữu tỷ (Định lý MordellWeil) - Xét số họ đường cong có phương trình dạng: y2 = x3 –px, với p số nguyên tố, nhằm mục đích mô tả nhóm điểm xoắn hữu tỷ chúng - Phân loại xác định nhóm xoắn điểm hữu tỷ số họ đường cong có phương trình dạng: y2 = x3 - p2, với p số nguyên tố - Xét đường cong y2 = x3 + 2x2 - 3x giải toán mô tả nhóm điểm xoắn hữu tỷ Mục đích nghiên cứu - Mô tả cấu trúc nhóm tập điểm hữu tỷ E(Q) đường cong Elliptic E Q - Mô tả nhóm xoắn E(Q) số lớp đường cong Elliptic KẾT LUẬN Trong đề tài này, ta tập trung tìm hiểu đường cong elliptic trường hữu tỷ ℚ với j – bất biến cấu trúc nhóm xoắn chúng Định lý j – bất biến đường cong elliptic là: Hai đường cong elliptic trường đóng đại số đẳng cấu với chúng có j – bất biến Việc xác định cấu trúc nhóm xoắn hai toán việc nghiên cứu đường cong elliptic Khi đường cong elliptic định nghĩa trường hữu tỷ cấu trúc nhóm xoắn xác định hoàn toàn dựa định lý Mazur Để tính toán cụ thể điểm xoắn, ta sử dụng định lý Nagell – Lutz Và dựa vào hai định lý trên, ta đưa ba thuật toán để tính nhóm xoắn đường cong elliptic cụ thể: phương pháp Nagell – Lutz, thuật toán kết hợp, thuật toán Doud Và cuối cùng, để minh họa cho phần lý thuyết nêu trên, ta đưa tính toán liên quan đến j – bất biến cấu trúc nhóm xoắn (họ) đường cong 𝑦 = 𝑥 − 𝑝𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 𝑝2 , 𝑦 = 𝑥 + 2𝑥 − 3𝑥 Phụ lục A BẢNG TÍNH TOÁN Trong phần này, ta đưa bảng tính toán cụ thể bao gồm bước biến đổi từ đường cong elliptic định nghĩa phương trình Weierstrass dạng dài phương trình Weierstrass dạng ngắn cách tính ký hiệu Legendre Để thuận tiện, ta sử dụng lại ví dụ cuối mục 2.4.4 𝐸: 𝑦 + 𝑥𝑦 + 𝑦 = 𝑥 + 𝑥 − 5𝑥 + có 𝐸 (ℚ)tor ≅ ℤ2 ⨁ℤ4 Phương trình Weiertrass dạng ngắn 𝐸 𝐸 ′ : 𝑦 = 𝑥 − 6507𝑥 + 199206 Δ(𝐸′) = −30611001600 = −28 314 52 Sử dụng phép quy gọn mod 7, 𝐸 (𝔽7 ): 𝑦 = 𝑥 + 3𝑥 Theo Định lý 1.4.2, 𝑥 + 3𝑥 � = + + + + − + − = #𝐸 (𝔽7 ) = + + � � 𝔽7 x=0 Theo Hệ 2.4.1.9, #𝐸 (ℚ)tor ∈ {1,2,4,8} Do 𝐸 có điểm bậc (−3,1) điểm bậc (2,1) Ta suy 𝐸 (ℚ)tor ≅ ℤ2 ⨁ℤ4 𝐸: 𝑦 + 𝑥𝑦 + 𝑦 = 𝑥 + 𝑥 − 5𝑥 + 𝑎1 = 1, 𝑎3 = 1, 𝑎2 = 1, 𝑎4 = −5, 𝑎6 = 𝑏2 = 𝑎12 + 4𝑎2 = 12 + 4.1 = 5, 𝑏4 = 2𝑎4 + 𝑎1 𝑎3 = 2(−5) + 1.1 = −9, 𝑏6 = 𝑎32 + 4𝑎6 = 12 + 4.2 = 9, 𝑐4 = 𝑏22 − 24𝑏4 = 52 − 24(−9) = 241, 𝑐 = −𝑏23 + 36𝑏2 𝑏4 − 216𝑏6 = −53 + 36.5 (−9) − 216.9 = −3689 𝐴 = −27𝑐4 = −27.241 = −6507, 𝐵 = −54𝑐6 = −54 (−3689) = 199206 𝐸 ′ : 𝑦 = 𝑥 − 6507𝑥 + 199206 Bảng A1: Bảng biến đổi từ phương trình Weierstrass dạng dài phương trình Weierstrass dạng ngắn 𝑥 𝑥 + 3𝑥 Tính chất thặng dư 0 ≡ (mod 7) 14 76 76 ≡ ≢ 𝑎2 (mod 7) ∀𝑎 ∈ ℤ −1 234 234 ≡ ≢ 𝑎2 (mod 7) ∀𝑎 −1 36 140 ≡ 22 (mod 7) 14 ≡ (mod 7) 36 ≡ 12 (mod 7) 140 ≡ (mod 7) ∈ℤ 𝑥 + 3𝑥 �� � = + + + − + − = 𝔽7 x=0 Bảng A2: Giá trị Legendre 𝑥 + 3𝑥 � � 𝔽7 1 Phụ lục B CHU KỲ 𝝎𝟏 VÀ 𝝎𝟐 , THUẬT TOÁN AM – GM Giả sử 𝐸 đường cong elliptic ℂ Từ Định lý 1.6.8, ta biết 𝐸 tương ứng với dàn 𝐿 = ℤ𝜔1 + ℤ𝜔2 qua hàm chu kỳ đôi ℘ ℘′ Câu hỏi đặt : Làm để xác định chu kỳ 𝜔1 𝜔2 𝐿? Đây đồng thời yếu tố quan trọng việc triển khai thuật toán Doud trình bày Mục 2.4.1 Câu trả lời cho trường hợp cụ thể trình bày đây, thông qua bước : Biểu diễn 𝜔1 𝜔2 dạng tích phân elliptic Dùng phương pháp trung bình số học – hình học (AGM) để tính tích phân elliptic B.1 Biểu diễn 𝝎𝟏 𝝎𝟐 dạng tích phân elliptic Trong mục này, ta tìm cách xác định chu kỳ 𝜔1 𝜔2 đường cong elliptic ℝ (𝐸 ): 𝑦 = 4𝑥 − 𝑔2 𝑥 − 𝑔3 = 4(𝑥 − 𝑒1 )(𝑥 − 𝑒2 )(𝑥 − 𝑒3 ), với 𝑒1 < 𝑒2 < 𝑒3 Chẳng hạn (𝐸 ): 𝑦 = 𝑥 − 𝑥 Ta giả sử 𝜔1 ∈ 𝑖ℝ với ℑ𝔪(𝜔1 ) > 𝜔2 ∈ ℝ+ Hàm ℘ Weierstrass đạo hàm ℘′ biến ℂ/𝐿 thành 𝐸 thông qua (𝑥, 𝑦) = �℘(𝑧), ℘′ (𝑧)� Khi 𝑧 từ đến 𝜔2 /2, hàm ℘(𝑧) nhận giá trị thực bắt đầu với 𝑥 = ∞ Ta nhận điểm có bậc 𝑧 = 𝜔2 /2 Giống hình B1, đồ thị 𝐸 gồm phần Phần nối với ∞ chứa điểm bậc (𝑒3 , 0) Như vậy, ℘(𝑧) phải từ ∞ tới 𝑒3 𝑧 từ đến 𝜔2 /2 Hình B1: Đồ thị hàm y^2=x^3-x Trong khai triển Laurent ℘′(𝑧), số hạng −2/𝑧 Do đó, 𝑦 = ℘′ (𝑧) < 𝑧 gần với Như vậy, ℘′ (𝑧) < < 𝑧 < 𝜔2 /2 Xét tích phân ∞ � 𝑒3 𝑑𝑥 �4(𝑥 − 𝑒1 )(𝑥 − 𝑒2 )(𝑥 − 𝑒3 ) Thay 𝑥 = ℘(𝑧), mẫu số tích phân trở thành ��℘′ (𝑧)� = −℘′ (𝑧) cận trên, 0, 𝜔2 /2 Tích phân trở thành 𝜔2 /2 � 𝑑𝑧 = 𝜔2 Do đó, ∞ 𝜔2 = � 𝑒3 Phép 𝑥⟼ 𝑑𝑥 �(𝑥 − 𝑒1 )(𝑥 − 𝑒2 )(𝑥 − 𝑒3 ) �𝑒3 − �(𝑒3 − 𝑒1 )(𝑒3 − 𝑒2 )�𝑡 + �𝑒3 + �(𝑒3 − 𝑒1 )(𝑒3 − 𝑒2 )� 𝑡+1 đưa tích phân dạng 𝜔2 = đó, �𝑒3 − 𝑒1 + �𝑒3 − 𝑒2 𝑘= � −1 �(1 𝑑𝑡 − 𝑡 )(1 − 𝑘 𝑡 ) �𝑒3 − 𝑒1 − �𝑒3 − 𝑒2 �𝑒3 − 𝑒1 + �𝑒3 − 𝑒2 , Chú ý hàm dấu tích phân vừa nhận chẵn Nên ta có 𝜔2 = �𝑒3 − 𝑒1 + �𝑒3 − 𝑒2 � 𝑑𝑡 �(1 − 𝑡 )(1 − 𝑘 𝑡 ) Đây gọi tích phân elliptic thường ký hiệu 𝐾 (𝑘 ) = � Vậy, 𝜔2 = 𝑑𝑡 �(1 − 𝑡 )(1 − 𝑘 𝑡 ) �𝑒3 − 𝑒1 + �𝑒3 − 𝑒2 Bây ta tiếp tục tìm biểu thức tương tự cho 𝜔1 𝐾 (𝑘 ) Khi 𝑧 theo đường thẳng đứng từ 𝜔2 /2 tới 𝜔2 /2 + 𝜔1 /2, hàm ℘(𝑧) nhận giá trị thực từ 𝑒3 tới 𝑒2 , đạo hàm ℘′ (𝑧) nhận giá trị ảo Lý luận tương tự, ta có 𝜔1 = 2𝑖 �𝑒3 − 𝑒1 + �𝑒3 − 𝑒2 Đặt 𝑘 ′ = √1 − 𝑘 sử dụng phép � Do đó, � (1 − 𝜔1 = � 𝑑𝑡 �(𝑡 − 1)(1 − 𝑘 𝑡 ) 𝑡 ⟼ (1 − 𝑘 ′2 𝑢2 )−2 , tích phân trở thành 1/𝑘 𝑑𝑡 𝑡 )(1 − 𝑘2𝑡 2) = 𝐾 (𝑘 ′ ) = 𝐾 ��1 − 𝑘 � 2𝑖 �𝑒3 − 𝑒1 + �𝑒3 − 𝑒2 𝐾 ��1 − 𝑘 � Như vậy, 𝜔1 𝜔2 biểu diễn dạng tích phân elliptic Trong mục tiếp theo, ta đưa phương pháp tính xấp xỉ tích phân elliptic (với độ xác cao), tính 𝜔1 𝜔2 B.2 Trung bình số học – hình học (AGM) Để tính xấp xỉ tích phân elliptic, ta dùng phương pháp trung bình số học - hình học sau : Giả sử 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ Đặt 𝑎0 = 𝑎, 𝑏0 = 𝑏 𝑎𝑛 = (𝑎 + 𝑏𝑛−1 ) 𝑛−1 𝑏𝑛 = �𝑎𝑛−1 𝑏𝑛−1 Khi đó, ta có Định lý B.2.1 Các dãy số (𝑎𝑛 ) (𝑏𝑛 ) hội tụ 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ 𝑏𝑛 Chứng minh Không tính tổng quát, giả sử 𝑎 ≥ 𝑏 Nhận thấy Suy 𝑎𝑛 ≥ 𝑏𝑛 ∀𝑛 𝑎𝑛 − 𝑏𝑛 = ��𝑎𝑛−1 − �𝑏𝑛−1 � ≥ (B2) Do đó, 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1 = (𝑏 − 𝑎𝑛−1 ) ≤ ⇒ 𝑎𝑛 ≤ 𝑎𝑛−1 ∀𝑛 𝑛−1 Vậy, (𝑎𝑛 ) dãy giảm Tương tự có (𝑏𝑛 ) dãy tăng Tóm lại, 𝑏 ≤ 𝑏𝑛−1 ≤ 𝑏𝑛 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 𝑎𝑛−1 ≤ 𝑎 Vậy, (𝑎𝑛 ) (𝑏𝑛 ) hội tụ Lấy giới hạn (B2), suy lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = lim𝑛→∞ 𝑏𝑛 ∎ Đặt 𝑀(𝑎, 𝑏) = lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = lim𝑛→∞ 𝑏𝑛 Định lý B.2.2 Cho 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ+ Đặt 𝜋 𝐼(𝑎, 𝑏) = � 𝑑𝜃 �𝑎2 𝑐𝑜𝑠 (𝜃 ) + 𝑏2 𝑠𝑖𝑛2 (𝜃 ) Khi đó, 𝑎+𝑏 , √𝑎𝑏� = 𝐼(𝑎, 𝑏) 𝐼� Hơn nữa, 𝐼(𝑎, 𝑏) = 𝜋/2 𝑀(𝑎, 𝑏) Định lý B.2.3 Cho 𝐸 đường cong elliptic định nghĩa 𝑦 = 4𝑥 − 𝑔2 𝑥 − 𝑔3 = 4(𝑥 − 𝑒1 )(𝑥 − 𝑒2 )(𝑥 − 𝑒3 ), với 𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 ∈ ℝ thỏa 𝑒1 < 𝑒2 < 𝑒3 Giả sử 𝐿 = ℤ𝜔1 + ℤ𝜔2 dàn tương ứng với 𝐸 Khi đó, 𝜔1 = 𝜔2 = Ví dụ B.2.4 𝜋𝑖 𝑀(�𝑒3 − 𝑒1 , �𝑒2 − 𝑒1 ) 𝜋 𝑀(�𝑒3 − 𝑒1 , �𝑒2 − 𝑒1 ) Xét đường cong elliptic (𝐸 ): 𝑦 = 4𝑥 − 4𝑥 = 4𝑥 (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) Khi đó, 𝑒1 = −1, 𝑒2 = 0, 𝑒3 = Theo định lý B 2.3, ta có 𝜔1 = 𝜔2 = 𝜋𝑖 𝑀�√2, 1� 𝜋 𝑀�√2, 1� = 𝑖2.62205755429211981046483959 … = 2.62205755429211981046483959 … Sau xác định 𝜔1 𝜔2 , ta dễ dàng tính giá trị hàm ℘ Weierstrass thông qua định lý sau: Định lý B.2.5 Cho 𝑧 ∈ ℂ 𝑢 = 𝑒 2𝜋𝑖𝑧/𝜔2 Đặt 𝜏 = 𝜔1 /𝜔2 với điều kiện 𝜏 ∈ ℋ 𝑞 = 𝑒 2𝜋𝑖𝜏 Khi đó, 2𝜋𝑖 𝑢 ℘ (𝑧 ) = � � � + 12 (1 − 𝑢)2 𝜔2 ∞ + � 𝑞𝑛 � 𝑛=1 𝑢 𝑢 � � + − ( − 𝑞 𝑛 𝑢 )2 ( 𝑞 𝑛 − 𝑢 )2 ( − 𝑞 𝑛 )2 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A Dujella Elliptic Equations Winter School on Explicit Methods in Number Theory, Debrecen, 2009 [2] A Knap Elliptic Curves Princeton University Press, 1992 [3] B Mazur Arithmetic on Curves American Mathematical Society, 14 (1986), 207 – 259 [4] B Peter Elliptic Curves over ℚ DIAMANT Summer School on Elliptic and Hyperelliptic Curve Cryptograhphy, Technische Universiteit Eindhoven, 2008 [5] J.E Cremona Algorithm for Modular Elliptic Curves Cambridge University Press, 1992 [6] D Doud A procedure to Calculate Torsion of Elliptic Curves over ℚ Manuscripa Mathematica, 95 (1998), 463-469 [7] D Husemoller Elliptic Curves Springer Verlag, 2000 [8] D.S Kubert Universal Bounds on The Torsion of Elliptic Curves London Math, 33, no.2 (1976), 193-237 [9] E Freitag R Busam Complex Analysis Springer Verlag, 2005 [10] E.G Jiménez J.M.Tornero On the ubiquity of trivial torsion on elliptic curves Archiv der Mathematik, 2010 [11] J.H Silverman An Introduction to the Theory of Elliptic Curves Summer School on Computational Number Theory and Cryptography, University of Wyoming, 2006 [12] J.H Silverman The Arithmetic of Elliptic Curves Springer Verlag, 1986 [13] J.H Silverman J Tate Rational Points on Elliptic Curves, Springer Verlag, 1992 [14] J.S Miller Elliptic Curves Notes for Math 679, University of Michigan, 1996 [15] L.C Washington Elliptic Curves – Number Theory and Cryptography Taylor & Francis Group, 2008 [16] M.C Woodbury Finite Groups on Elliptic Curves Tài liệu online, 2003 [17] S Kleinerman On the torsion points of elliptic curves & Modular abelian varieties Luận văn Thạc Sĩ, 2004 [18] S Schmitt H.G Zimmer Elliptic Curves – A Computational Approach Walter de Gruyter, 2003 BẢNG TRA CỨU CÁC THUẬT NGỮ A Đường cong xạ ảnh, 16 AGM, 68 H B Hai toán bản, 32 Bao đóng xạ ảnh, 14 Hàm chu kỳ đôi, 23 Biệt thức, 17 Hàm Weierstrass, 22 Hạng đại số, 32 C Hữu hạn sinh, 7, Chiều, 10,16 Chu kỳ, 68 I Chuỗi Eisenstein, 22 Idean nguyên tố, 10, 13 Idean nhất, 13,14 D, Đ Dàn, 21 J Đa tạp affine, 9, 15 j – bất biến, 27, 35, 46 Đa tạp xạ ảnh, 11,15 Đa thức chia, 41 K Đa thức nhất, 11,13 Không có xoắn, Đẳng cấu, 28 Không gian affine, Điểm bội, 36 Không gian xạ ảnh, 11 Điểm vô tận, 15,16 Không kỳ dị, 10,16, 18, 24 Điểm xoắn, 32 Kỳ dị, 18 Định lý Hasse, 18 Ký hiệu Legendre, 19 Định lý Mazur, 29 Định lý Mordell, 29 L Định lý Nagell – Lutz, 31 Luật nhóm, 36, 38 Đồng cấu, 33 Đường cong affine, 26 M Đường cong elliptic, 26 Miền bản, 21 N Thuật toán kết hợp, 49 Nghịch hóa, 14 Thuật toán Schoof, 18, 20, 42 Nhóm aben Tích phân elliptic, 68 Hữu hạn sinh, 7, Tổng trực tiếp, Tự do, Trung bình số học - hình học, 68, 72 Nhóm xoắn, 7, 47, 59 Nhóm xoắn, 32, 57 V Vòng xuyến, P Phép quy gọn, 49 Phép quy gọn tốt, 50 Phép quy gọn xấu, 50 Phương pháp Nagell – Lutz, 47 Phương trình Weiertrass, 16 Phương trình Weierstrass dạng dài, 27 Phương trình Weiertrass dạng ngắn, 17, 27 Q Quan hệ tương đương, 11 Quy tắc cộng điểm, 39 S Siêu phẳng, 12, 13 Song ánh tự nhiên, 13 Song hữu tỷ, 27 T Thuần hóa, 14 Thuật toán Doud, 53, 55 [...]... về đường cong elliptic trên các trường số Q, R, C và F q Chương 2: Các đường cong Elliptic dạng Weierstrass trên Q - Tổng quan về các đường cong dạng Weierstrass trên Q Các j-bất biến - Các Định lí cơ bản mô tả về cấu trúc của nhóm các điểm hữu tỷ, các điểm xoắn hữu tỷ của các đường cong Elliptic trên Q: Định lý Mordell-Weil, Định lý Nagell-Lutz và Định lý Mazur - Các điểm hữu tỷ, xoắn hữu tỷ của đường. .. này, ta sẽ lần lượt xem xét một cách khái quát các đường cong elliptic trên trường hữu hạn 𝔽𝑞 , trường số thực ℝ và trường số phức ℂ Nội dung của phần này sẽ chủ yếu giới thiệu một phương pháp đơn giản để tính số điểm trên một đường cong elliptic trên trường hữu hạn, nhằm hỗ trợ cho các thuật toán ở chương sau để tính nhóm xoắn trên một đường cong elliptic 𝐸 trên trường hữu tỷ ℚ Thuật toán Schoof, một... xoắn hữu tỷ của đường cong Elliptic trên Q - Mô tả chung về luật nhóm, các j-bất biến của các họ y2 = x3 –px, y2 = x3 - p2, với p là số nguyên tố - Nhóm con xoắn của các họ: y2 = x3 –px, y2 = x3 - p2 và của đường cong: y2 = x3 + 2x2 - 3x Phần kết luận Trong luận văn sẽ đưa ra các kết luận về: - Các điểm xoắn hữu tỷ của đường cong Elliptic trên Q, với một số họ các đường cong Elliptic cụ thể và đưa... tiết các thuật toán xác định nhóm con xoắn các điểm hữu tỷ của đường cong Elliptic trên Q thông qua mối liên hệ với các kết quả nghiên cứu các họ đường cong trên trường hữu hạn và các đường cong trên trường số phức , ngoài phương pháp xác định trực tiếp bằng cách sử dụng định lý Nagell-Lutz 5 Phương pháp nghiên cứu Cơ sở xuất phát cho việc thực hiện các nội dung được bàn tới trong luận văn này là dựa trên. .. tính hạng đại số và xem xét các j – bất biến của một số (họ) đường cong elliptic cụ thể 2.1 Tổng quan về các đường cong dạng Weiertrass trên ℚ 2.1.1 Đường cong affine và đường cong xạ ảnh Trên các mặt phẳng affine, mặt phẳng xạ ảnh trên trường 𝕂 người ta có thể xây dựng khái niệm đường cong phẳng affine và đường cong phẳng xạ ảnh dùng công cụ đa thức và các tập không điểm của các đa thức với một sự trình... về đường cong elliptic 𝐸 trên một trường bất kỳ 𝕂 Câu hỏi đặt ra là 𝐸 có hình dạng như thế nào Nói chung, ta không thể vẽ đồ thị của 𝐸 trên một trường bất kỳ Nhưng khi 𝕂 là trường các số thực ℝ, đồ thị của 𝐸 có một trong các dạng căn bản sau Hình 1.1: Đường cong elliptic không kỳ dị Hình 1.2: Đường cong elliptic kỳ dị 1.6 Đường cong elliptic trên trường số phức ℂ Ở phần này, ta sẽ xem xét cấu trúc của. .. cong elliptic trên ℚ 2.2.1 Các định lý cơ bản Định lý 2.2.1.1 (Mordell-Weil) Cho 𝐸 là đường cong elliptic trên ℚ Khi đó, 𝐸 (ℚ) là nhóm abel hữu hạn sinh Định lý Mordell – Weil căn bản nói rằng tồn tại một tập gồm hữu hạn các điểm của 𝐸 (ℚ) mà nếu thực hiện quy tắc nhóm trên các điểm này, ta sẽ có được tất cả các điểm khác của 𝐸 (ℚ) Định lý 2.2.1.2 (Mazur) Cho 𝐸 là một đường cong elliptic trên trường. .. cấu trên một trường đại số đóng 𝕂 Tuy nhiên, nếu ta làm việc với một trường không đại số đóng thì có thể có hai đường cong elliptic với cùng một j – bất biến nhưng không đẳng cấu Trường hữu tỷ ℚ mà chúng ta quan tâm là một trường như vậy Và trên thực tế, ta có thể xây dựng một ví dụ cụ thể minh họa cho mệnh đề vừa nêu Ví dụ này sẽ được xem xét ở Mục 2.2.4 2.2 Các điểm hữu tỷ và xoắn hữu tỷ của đường cong. .. hợp các kết quả cơ bản (đã trình bày ở trên) về: - Cấu trúc của các nhóm aben hữu hạn sinh - Cấu trúc của nhóm các điểm hữu tỷ (Định lý Mordell-Weil) và sử dụng các công cụ nghiên cứu cơ bản của Đại số - Lý thuyết số để xác định và mô tả các đối tượng cần quan tâm Xuyên suốt nội dung, các Định lí Nagell-Lutz và Định lí Mazur được dùng để xác định các điểm xoắn trên một số họ đường cong đặc biệt, với các. .. đó, các điểm �℘(𝑧), ℘′ (𝑧)� nằm trên đường cong bậc 3 𝑦 2 = 4𝑥 3 − 𝑔2 𝑥 − 𝑔3 Theo thông lệ, ta giữ nguyên hệ số 4 trước 𝑥 3 Như vậy, biệt thức của đường cong trên sẽ là Định lý 1.6.6 Biệt thức 𝐷 = 16(𝑔23 − 27𝑔32 ) 𝐷 = 16(𝑔23 − 27𝑔32 ) ≠ 0 Như vậy, (1.6) là một đường cong elliptic không kỳ dị Trong chương sau, ta sẽ đưa ra một quy tắc thực hiện phép toán giữa các điểm trên đường cong elliptic trên trường ... Nhóm điểm hữu tỷ đường cong elliptic