BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Quốc Dũng PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG DƯ VỚI HỆ SỐ NGUN P-ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CẢM ƠN Lời luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy PGS.TS Mỵ Vinh Quang – người bước hướng dẫn tơi phương pháp nghiên cứu đề tài kinh nghiệm thực đề tài, cung cấp nhiều tài liệu truyền đạt kiến thức q báu suốt q trình học tập thực luận văn Chân thành cám ơn q thầy tổ Đại số, khoa Tốn – Tin trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, thầy PGS.TS Bùi Xn Hải, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên Thành phố Hồ Chí Minh giúp tác giả nâng cao trình độ chun mơn phương pháp làm việc hiệu suốt q trình học tập Chân thành cám ơn q thầy phòng Sau đại học tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thực luận văn Chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu đồng nghiệp trường THPT Nguyễn Văn Trỗi tỉnh Tây Ninh tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt q trình học cao học thực luận văn Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè động viên, giúp đỡ tạo điều kiện cho tác giả hồn thành luận văn TP HCM tháng 03 năm 2012 Tác giả Trần Quốc Dũng MỤC LỤC Lời cảm ơn Mục lục Một số kí hiệu Lời nói đầu Chương Kiến thức 1.1 Quan hệ đồng dư 1.2 Lớp thặng dư hệ thặng dư 1.3 Định lí Ơle định lí Phecma 1.4 Kí hiệu Legendre 11 1.5 Chuẩn trường 12 1.6 Xây dựng trường số p – adic 22 1.7 Khai triển p – adic x  p 25 Chương Phương trình đồng dư với hệ số ngun p – adic 28 2.1 Phương trình đồng dư theo mơđun ngun tố 28 2.2 Các tổng lượng giác 35 2.3 Phương trình đồng dư với hệ số ngun p – adic 55 Kết luận 62 Tài liệu tham khảo 63 MỘT SỐ KÍ HIỆU p : Trường lớp thặng dư mơđun ngun tố p *p p Op : Tập phần tử khả nghịch  p : Trường số p – adic : Vành số ngun p – adic O*p : Tập phần tử khả nghịch O p  p : Chuẩn thơng thường : Chuẩn p – adic vp ( a ) tố Ba ( r ) : Số mũ p phân tích a thành thừa số ngun Ba ( r ) : Hình cầu đóng tâm a bán kính r  p Sa ( r ) a  p   χ τa (χ ) Ω ( f ,g) fa : Hình cầu mở tâm a bán kính r  p : Mặt cầu tâm a bán kính r  p : Kí hiệu Legendre a p : Hàm đặc trưng nhân tính mơđun p : Tổng Gauss : Tập hàm số phức : Tích Hermit Ω : Hàm đặc trưng cộng tính mơđun p LỜI NĨI ĐẦU Giải tích p – adic chun ngành Tốn học phát triển có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác tốn học đại lý thuyết số, hình học đại số, tơ pơ đại số… Vào năm 40 kỷ trước, giải tích p – adic phát triển mạnh mẽ trở thành chun ngành độc lập nhờ vào việc phát mối liên hệ sâu sắc giải tích p – adic với vấn đề lớn số học hình học đại số Chính vậy, chúng tơi chọn đề tài “Phương trình đồng dư với hệ số ngun p – adic” để nghiên cứu sâu mối liên hệ số p – adic với phương trình đồng dư số học Luận văn làm sáng tỏ mối liên hệ phương trình đồng dư với hệ số ngun phương trình đồng dư với hệ số ngun p – adic Nghiên cứu phương trình đồng dư theo mơđun ngun tố với hệ số ngun Nghiên cứu phương trình đồng dư theo mơđun ngun tố với hệ số ngun p – adic Cụ thể nghiên cứu tồn nghiệm phương trình đồng dư với hệ số ngun tồn nghiệm phương trình đồng dư với hệ số ngun p – adic Tìm hiểu chứng minh cơng thức số nghiệm phương trình đồng dư với hệ số ngun, đưa cơng thức số nghiệm phương trình đồng dư trường hợp đặc biệt Cấu trúc luận văn chia thành hai chương: Chương1 Kiến thức Chương chúng tơi trình bày kiến thức quan hệ đồng dư, lớp thặng dư hệ thặng dư, kí hiệu Legendre, giải tích p – adic chẳng hạn chuẩn trường, tính chất chung, đặc biệt khái niệm chuẩn phi Acsimet, xây dựng trường p – adic, khai triển p – adic phần tử  p số tính chất cần thiết cho chương sau Chương Phương trình đồng dư với hệ số ngun p – adic Chương chúng tơi trình bày vấn đề tồn nghiệm phương trình đồng dư với hệ số ngun theo mơđun ngun tố Nghiên cứu tồn nghiệm phương trình đồng dư với hệ số ngun p – adic Nghiên cứu mối liên hệ phương trình đồng dư với hệ số ngun phương trình đồng dư với hệ số ngun p – adic Tuy có nhiều cố gắng, khả hạn chế nên khó tránh khỏi thiếu sót, chúng tơi mong nhận thơng cảm góp ý chân thành q thầy tất bạn để luận văn hồn chỉnh CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong chương chúng tơi trình bày kiến thức quan hệ đồng dư, lớp thặng dư hệ thặng dư, kí hiệu Legendre, kiến thức giải tích p – adic chẳng hạn chuẩn trường, tính chất chung, đặc biệt khái niệm chuẩn phi Acsimet, xây dựng trường số p – adic, khai triển p – adic phần tử  p số tính chất cần thiết cho chương sau Đa số chứng minh chương bỏ qua người đọc dễ dàng tìm thấy chúng qua tài liệu tham khảo 1.1 Quan hệ đồng dư 1.1.1 Định nghĩa đồng dư Cho m số tự nhiên khác Các số ngun a b gọi đồng dư theo mơđun m chia a b cho m ta số dư Kí hiệu: a ≡ b ( mod m ) Hệ thức a ≡ b ( mod m ) gọi đồng dư thức, a gọi vế trái, b gọi vế phải đồng dư thức Định lí 1.1 Điều kiện cần đủ để a ≡ b ( mod m ) ( a − b ) m Nhận xét: Trong định lí trên, ta thay b = ta a ≡ ( mod m ) ⇔ a m Định lí 1.2 Quan hệ đồng dư theo mơđun m quan hệ tương đương  Chứng minh:  Tính phản xạ: Với a ∈  , ta có ( a − a ) m ⇒ a ≡ a ( mod m )  Tính đối xứng: Với a, b ∈  mà a ≡ b ( mod m ) ( a − b ) m ⇒ ( b − a ) m ⇒ b ≡ a ( mod m )  Tính bắc cầu: Với a, b, c ∈  mà a ≡ b ( mod m ) b ≡ c ( mod m ) ( a − b ) m ( b − c ) m ( a − b + b − c ) m ⇒ a ≡ c ( mod m ) ⇒a−c = 1.1.2 Các tính chất đồng dư thức a ≡ b ( mod m )  ⇒ a + c ≡ b + d ( mod m ) c ≡ d mod m ( )  a ≡ b ( mod m )  ⇒ ac ≡ bd ( mod m ) c ≡ d ( mod m ) 2’ a ≡ b ( mod m ) ⇒ ka ≡ kb ( mod m ) , với k ∈  2’’ a ≡ b ( mod m ) ⇒ a n ≡ b n ( mod m ) , với n ∈ * a ≡ b ( mod m ) ⇒ c1a + c2 a +  + cn a n ≡ c1b + c2b +  + cnb n ( mod m ) , với c1 , , cn ∈ , n ∈ * a ≡ b ( mod m ) ⇒ a ' ≡ b ' ( mod m ') , với = a ka = ', b kb= ', m km ' a ≡ b ( mod m ) , d | m ⇒ a ≡ b ( mod d ) 1.2 Lớp thặng dư hệ thặng dư Các lớp tương đương theo quan hệ đồng dư gọi lớp thặng dư Lớp thặng dư chứa a kí hiệu a Quan hệ đồng dư theo mơđun m có m lớp thặng dư 0, 1, 2, , m − Kí hiệu  m = {0, 1, 2, , m − 1} Nếu từ lớp thặng dư theo mơđun m ta chọn phần tử ta m số, gọi hệ thặng dư đầy đủ theo mơđun m Ví dụ: = 5 3, 4} {5, 11, −8, 13, 4} {0, 1, 2,= Do đó, {0, 1, 2, 3, 4} hay {5, 11, − 8, 13, 4} hệ thặng dư đầy đủ theo mơđun Nhận xét: Ta thường chọn hệ thặng dư đầy đủ theo hai cách:  Chọn giá trị khơng âm, nhỏ nhất: {0, 1, 2, , m − 1}  Chọn giá trị có giá trị tuyệt đối nhỏ nhất: m − 1  0, ± 1, ± 2, , ±  m lẻ   m  0, ± 1, ± 2, , ±  m chẵn 2  { x1 , x2 , , xm } hệ thặng dư đầy đủ theo mơđun m xi x j khơng đồng dư với theo mơđun m với i ≠ j { } Kí hiệu *m = a ∈  m | ( a, m ) = tập hợp lớp thặng dư ngun tố mơđun m Với lớp thặng dư thuộc *m ta chọn phần tử Khi đó, ta H m* tập = {a | a ∈  } gọi hệ thặng dư thu gọn theo mơđun m * m Số ngun a gọi thặng dư bậc hai theo mơđun p a làm cho phương trình x ≡ a ( mod p ) có nghiệm Ngược lại, a gọi bất thặng dư bậc hai Chú ý:  Nếu a thặng dư bậc hai theo mơđun p phần tử a ' ∈ a + p thặng dư bậc hai theo mơđun p Do đó, ta xem hai thặng dư bậc hai a a ' phân biệt chúng khơng đồng dư với theo mơđun p  Cho p số ngun tố lẻ  p ta có số thặng dư bậc hai theo mơđun p số bất thặng dư bậc hai theo mơđun p p −1 1.3 Định lí Ơle định lí Phecma 1.3.1 Hàm Ơle Hàm Ơle ϕ ( m ) , m ∈ * hàm xác định ϕ (1) = ϕ ( m ) số số tự nhiên nhỏ m , ngun tố với m m > Nói cách khác, ϕ ( m) = = ∑ 1≤ k ≤ m ,( k ,m )= ( Card  ) * m Nhận xét: Nếu p số ngun tố α ∈ * ϕ ( pα= ) pα − pα −1 Đặc biệt, với α = ta có ϕ ( p )= p −  −ab  Vì χ đặc trưng bậc hai mơđun p nên χ ( −ab ) =   (theo định lí 2.12)  p  Hơn nữa, τ= 1(χ ) ζ ζ ζ ∑= ∑= ∑= x −x x x x τ −1 ( χ ) x Suy ra,  −ab   −ab   −ab  = τ a ( χ )τ b ( χ )  = τ χ τ χ = τ χ ( ) ( ) ( )   p   p p  p      Hệ 2.14 Cho χ đặc trưng bậc hai mơđun p ≠ Khi đó, ∑ 'τ ( χ ) = x x Chứng minh: Với x ≡/ ( mod p ) , theo chứng minh định lí 2.13 ta có τ x ( χ ) = χ ( x )τ ( χ ) Khi đó, = ∑ 'τ x ( χ ) x ' χ ( x )τ ( χ ) ∑= x τ1 ( χ ) ∑ ' χ ( x ) x Do χ đặc trưng bậc hai mơđun p ≠ nên theo định lí 2.12 ta có x χ ( x) =   p   Hơn nữa, p số ngun tố lẻ nên  p ta có số thặng dư bậc hai theo mơđun p số bất thặng dư bậc hai theo mơđun p đó, suy p −1 Từ  x = ∑x 'τ x ( χ ) τ= ( χ ) ∑ '  x  p Cuối cùng, ta chứng minh định lí số nghiệm phương trình đồng dư bậc hai sau: Định lí 2.15 Cho N số nghiệm phương trình đồng dư a1 x12 +  + an xn ≡ ( mod p ) , đó, ≡/ ( mod p ) với i = 1, , n , d = a1 an p ≠ Khi đó, N xác định cơng thức n    n −1 d − ( )  p n−1 + ( p − 1)   p n chẵn   p  N =     p n−1 n lẻ Chứng minh: Áp dụng định lí 2.9 cho trường hợp ri =2 ⇒ di =( ri , p − 1) =2 (do p số ngun tố lẻ) Khi đó, n 1 N= p + ∑ ' ∏τ x ( χ ) = p n−1 + ∑ 'τ a1x ( χ ) τ an x ( χ ) p x i =1 p x n −1 (Với χ đặc trưng bậc hai mơđun p ≠ ) Có hai trường hợp xảy ra:  Trường hợp n số chẵn: Theo tính chất kí hiệu Lengendre, ta có  a2   ab   a   b    =       =  p   p  p  p Kết hợp điều với kết định lí 2.13 ta có  −a1 xa2 x   −an−1 xan x   −a1a2   −an−1an  n2 τ a1x ( χ ) τ an x ( χ ) = = p  p  p   p  p p   p        n   n a a a − ( ) n −1an   p = =   p   n   n d − ( )   p2 ,  p    với x chạy khắp hệ thặng dư thu gọn mơđun p Suy ra, n n   n   −1) d  −1) d  n2 −1 ( ( n −1 n −1   N = p + ∑' p = p + ( p − 1) p  p  p x  p       Trường hợp n số lẻ:  −a1 xa2 x   −an−2 xan−1 x  p  p.τ an x ( χ ) p   p   τ a x ( χ ) τ a x ( χ ) =  n n −1   n−1 a a − ( ) n −  p τ (χ ) = an x   p   với x chạy khắp hệ thặng dư thu gọn mơđun p Mặc khác, = τ an x ( χ ) χ= ) χ ( x )τ ( χ ) χ ( an )τ x ( χ ) , ( an x )τ ( χ ) χ ( an = suy n −1   n−1 a a − ( ) n −1 n −  p χ ( a )τ ( χ ) N p + ∑ ' = n x   p x p   n −1   n−1−1 a a − ( ) n −1 n −1   p χ ( an ) ∑ 'τ x ( χ ) = p +   p x   Theo hệ 2.14, ∑ 'τ ( χ ) = x x Từ đó, ta có N = p n−1 Vậy số nghiệm N phương trình đồng dư a1 x12 +  + an xn ≡ ( mod p ) xác định cơng thức n    n −1 d − ( )  p n−1 + ( p − 1)   p n chẵn   p  N =     p n−1 n lẻ  Hệ 2.16 Cho N số nghiệm phương trình đồng dư ax + by ≡ ( mod p ) , đó, ab ≡/ ( mod p ) , d = ab p ≠ Khi đó, N xác định cơng thức   −d   N =+ ( p − 1) 1 +   p    Chứng minh: Áp dụng định lí 2.15 cho trường hợp n = ta có   −d    −d  N =p + ( p − 1)  =+ p − 1+  ( )     p    p   Hệ 2.17 Cho N số nghiệm phương trình đồng dư a1 x12 +  + an xn ≡ a ( mod p ) , đó, ≡/ ( mod p ) với i = 1, , n , d = a1 an p ≠ Khi đó, N xác định cơng thức (2.29) n    n −  p n−1 +  ( ) d  p −1   p     N = n −1   n−1  ad − ( ) n −1  p p +   p     n chẵn n lẻ Chứng minh: Trước hết, ta nhận xét số nghiệm ( x1, , xn ) phương trình đồng dư (2.29) số nghiệm phương trình đồng dư −ax0 + a1 x12 +  + an xn ≡ ( mod p ) cho x0 ≡ 1( mod p ) Ta tìm số nghiệm phương trình đồng dư −ax0 + a1 x12 +  + an xn ≡ ( mod p ) thỏa x0 ≡ 1( mod p ) (2.30) Xét phương trình đồng dư −ax0 + a1 x12 +  + an xn ≡ ( mod p ) (2.31)  Số nghiệm ( x0 , x1 , , xn ) phương trình (2.31) cho x0 ≡ ( mod p ) rõ ràng số nghiệm phương trình a1 x12 +  + an xn ≡ ( mod p )  Với b ∈ *p , ( b, x1 , , xn ) nghiệm phương trình (2.31) xn   x1 1, , ,  nghiệm phương trình (2.30) ngược lại b  b Do đó, với b ∈ *p , số nghiệm ( x0 , x1 , , xn ) phương trình (2.31) thỏa x0 ≡ b ( mod p ) ln số nghiệm ( x0 , x1, , xn ) (2.30) thỏa x0 ≡ 1( mod p ) Từ đó, gọi M số nghiệm phương trình (2.30) thỏa x0 ≡ 1( mod p ) ( p − 1) M số nghiệm phương trình (2.31) thỏa x0 ≠ Số nghiệm phương trình (2.31) bao gồm số nghiệm ( x0 , x1, , xn ) với x0 ≠ số nghiệm ( x0 , x1, , xn ) với x0 = Ta tìm M dựa vào định lí 2.15 Có hai trường hợp:  Nếu n số chẵn n + số lẻ Khi đó, số nghiệm M phương trình (2.30) xác định quan hệ n   n −1 d − ( ) n −1   p2 = pn ( p − 1) M + p + ( p − 1)  p    Suy n n    n −1    n −1 d d 1 − − ( )  n ( ) n −1 n −1     p2  M= p − p − ( p − 1) p p − = =    p   p  ( p − 1)          Nếu n số lẻ n + số chẵn Khi đó, số nghiệm M phương trình (2.30) xác định quan hệ n +1   n+1−1 ( −a ) d − ( ) n −1 n  p ( p − 1) M + p = p + ( p − 1)   p   n −1    n−1  ad − ( )  n n −1  p  M p − p + ( p − 1) ⇒ =    p −  p     n −1   n−1 ad − ( ) n −1  p ⇒M = p +   p   Vậy số nghiệm N phương trình đồng dư a1 x12 +  + an xn ≡ a ( mod p ) xác định cơng thức n    n −  p n−1 −  ( ) d  p −1   p     N = n −1   n−1  ad − ( ) n −1   p + p2   p     n chẵn  n lẻ 2.3 Phương trình đồng dư với hệ số ngun p – adic 2.3.1 Các phương trình đồng dư phương trình vành O p Định lí 2.18 Cho F ( x1 , , xn ) đa thức hệ số ngun hữu tỉ Phương trình đồng dư F ( x1 , , xn ) ≡ ( mod p k ) (2.32) giải với k ≥ phương trình F ( x1 , , xn ) = (2.33) giải tập số ngun p – adic Chứng minh: Điều kiện đủ: Giả sử phương trình (2.33) có nghiệm ngun p – adic (α1 , ,α n ) Với k ≥ tồn số ngun hữu tỉ x1( ) , , xn ( ) cho k k α1 ≡ x1( k ) ( mod p k ) , ,α n ≡ xn ( k ) ( mod p k ) Từ đó, ta có ( F x1( ) , , xn ( ( nghĩa x1( ) , , xn ( k k) k k) ) ≡ F (α , ,α ) ≡ ( mod p ) , k n ) nghiệm phương trình đồng dư (2.32) (2.34) Điều kiện cần: Giả sử với k, phương trình đồng dư (2.32) có nghiệm ( x ( ) , , x ( ) ) Chọn từ dãy {x ( )} số ngun hữu tỉ dãy hội tụ p – adic { x ( ) } Từ dãy { x ( ) } chọn lần dãy hội tụ Lập lại k k k n ki ki q trình n lần, ta có dãy số tự nhiên {l1 , l2 , } cho { } dãy xi ( ) , xi ( ) , hội tụ p – adic Cho l l lim xi ( m ) = α i l m→∞ Ta chứng minh (α1 , ,α n ) nghiệm (2.33) Vì đa thức F ( x1 , , xn ) hàm liên tục nên ( ) F (α1 , ,α n ) = lim F x1( m ) , , xn ( m ) m→∞ ( l l ) Mặc khác, theo cách chọn dãy x1( m ) , , xn ( m ) , ( l l ) ( ) F x1( m ) , , xn ( m ) ≡ mod p ( m ) , l l l cho ( ) lim F x1( m ) , , xn ( m ) = m→∞ l l Do đó, F (α1 , ,α n ) = , định lí chứng minh Định lí 2.19 Cho F ( x1 , , xn ) dạng bậc k với hệ số ngun hữu tỉ Phương trình F ( x1 , , xn ) =  có nghiệm khơng tầm thường vành O p với m, phương trình đồng dư F ( x1 , , xn ) ≡ ( mod p m ) có nghiệm, xi khơng đồng thời chia hết cho p Chứng minh: Cho F ( x1 , , xn ) dạng bậc k với hệ số ngun hữu tỉ  Giả sử phương trình F ( x1 , , xn ) = ( ) có nghiệm khác α1 , ,α n tập số ngun p – adic Đặt ( ( ) ( )) m = v p α1 , , v p α n Khi đó, α i biểu diễn dạng m = α i p= αi , ( i 1,2, , n ) , đó, α i số ngun khơng đồng thời chia hết cho p Vì F ( x1 , , xn ) dạng bậc k nên ta có ( ) mk = F α1 , ,α n F (= p mα1 , , p mα n ) p= F (α1 , ,α n ) Do (α1 , ,α n ) nghiệm phương trình F ( x1 , , xn ) = Bộ số ( x ( ) , , x ( ) ) k k n thỏa (2.34) nghiệm (2.32) cho xi ( ) khơng đồng thời chia hết cho p k  Ngược lại, giả sử F ( x1 , , xn ) ≡ ( mod p k ) ( với F đa thức nhất, với k có nghiệm x1( ) , , xn ( có số xi ( k) k k) ) , khơng chia hết cho p Rõ ràng, với số i = i0 có số vơ hạn giá trị m cho xi0 ( m) khơng chia hết cho p Do đó, ta chọn dãy {l1 , l2 , } cho tất xi0 ( m ) khơng chia hết cho p Từ l α i = lim xi (l m m→∞ ) suy α i0 khơng chia hết cho p α i0 ≠ Như vậy, định lí chứng minh 2.3.2 Tính giải vài phương trình đồng dư Định lí 2.20 Cho F ( x1 , , xn ) đa thức hệ số ngun p – adic Cho γ , γ , , γ n số ngun p – adic cho với i (1 ≤ i ≤ n ) Ta có: F ( γ , γ , , γ n ) ≡ ( mod p 2δ +1 ) , ∂F (γ 1, γ , , γ n ) ≡ ( mod pδ ) , ∂xi ∂F (γ 1, γ , , γ n ) ≡/ ( mod pδ +1 ) ∂xi ( δ số ngun hữu tỉ khơng âm) Khi đó, tồn số ngun p – adic θ1 , ,θ n cho F (θ1 , ,θ n ) = θ1 ≡ γ ( mod pδ +1 ) , ,θ1 ≡ γ ( mod pδ +1 ) Chứng minh:  Xét đa thức f ( x ) = F ( γ , , γ i −1 , x, γ i +1 , , γ n ) Để chứng minh định lí, ta tìm ngun p – adic α thỏa f (α ) = α ≡ γ i ( mod pδ +1 ) Nếu α tìm ta đặt θ j = γ j với j ≠ i θi = α  Cho γ i = γ , ta xây dựng dãy α ,α1 , ,α m , (2.34’) số ngun p – adic, đồng dư với γ mơđun pδ +1 cho f (α m ) ≡ ( mod p 2δ +1+ m ) , với m ≥ (2.35) Với m = , đặt α = γ Giả sử với m ≥ đó, số ngun p – adic α , ,α m−1 thỏa mãn u cầu trên, đặc biệt, α m−1 ≡ γ ( mod pδ +1 ) f (α m−1 ) ≡ ( mod p 2δ + m )  Khai triển đa thức f ( x ) theo lũy thừa x − α m−1 : f ( x) = β + β1 ( x − α m−1 ) + β ( x − α m−1 ) +  (β ∈O ) i p Theo giả thiết quy nạp, β f= = (α m−1 ) p 2δ +m A , A số ngun , β1 f= p – adic Hơn nữa, từ α m−1 ≡ γ ( mod pδ +1 )= ' (α m−1 ) pδ B , B khơng chia hết cho p vành O p Đặt = x α m−1 + ξ p m+δ , ta có δ f (α m−1 + ξ p m+= ) p 2δ +m ( A + Bξ ) + β2 ( p 2δ +2mξ ) + Bây giờ, ta chọn ξ= ξ ∈ O p cho A + Bξ ≡ ( mod p ) (vì B ≡/ ( mod p ) ) Chú ý kδ + km ≥ 2δ + + m với k ≥ , ta có f (α m−1 + ξ p m+δ ) ≡ ( mod p 2δ +1+ m ) Do đó, ta đặt = α m α m−1 + ξ0 p m+δ Vì m + δ ≥ δ + nên α m ≡ γ ( mod pδ +1 ) Theo cách xây dựng, ta có ν p (α m − α m−1 ) ≥ m + δ , nên dãy (2.34’) hội tụ Kí hiệu giới hạn dãy (2.34’) α Rõ ràng, α ≡ γ ( mod pδ +1 ) Từ (2.35) suy lim f (α m ) = , m→∞ mặc khác f liên tục nên lim f (α m ) = f (α ) m→∞ Do đó, f (α ) = Hệ 2.21 Nếu đa thức F ( x1 , , xn ) có hệ số số ngun p – adic với i (1 ≤ i ≤ n ) số ngun p – adic γ , , γ n thỏa mãn F ( γ , , γ n ) ≡ ( mod p ) , F 'xi ( γ , , γ n ) ≡/ ( mod p ) , tồn số ngun p – adic θ1 , ,θ n cho  F (θ1 , ,θ n ) = θ1 ≡ γ ( mod p ) , ,θ n ≡ γ n ( mod p ) Chứng minh: Áp dụng định lí 2.20 với δ =  KẾT LUẬN Luận văn số điều kiện tồn nghiệm phương trình đồng dư với hệ số ngun phương trình đồng dư với hệ số ngun p – adic Luận văn mối liên hệ tồn nghiệm phương trình đồng dư với hệ số ngun tồn nghiệm phương trình đồng dư với hệ số ngun p – adic Đặc biệt luận văn chứng minh cơng thức số nghiệm phương trình đồng dư a1 x1r1 +  + an xn rn ≡ ( mod p ) , ≡/ ( mod p ) cách sử dụng tổng Gauss Từ đó, luận văn đến chứng minh cơng thức số nghiệm phương trình đồng dư bậc hai a1 x12 +  + an xn ≡ ( mod p ) a1 x12 +  + an xn ≡ a ( mod p ) , ≡/ ( mod p ) , a tùy ý p ≠ TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh [1] A.J.Baker (2003), An Introdution to p – adic Numbers and p – adic Analysis [2] Neal Koblitz (1984), p – adic Numbers, p – adic Analysis and Zeta – Functions, Springer [3] Neal Koblitz (1980), p – adic Analysis: a Short course and Recert word, Cambridge University Press [4] W.H.Schikhof (1984), Utrametric caculus, An introdution to p – adic analysis [5] Z.I.Borevich and I.R.Shafarevich (1966), Numbers theory, Academic Press Tiếng Việt [6] Đậu Thế Cấp (2008), Số học, Nhà xuất giáo dục [7] Lại Đức Thịnh (1969), Số luận, Nhà xuất giáo dục [...]... của phương trình đồng dư với hệ số ngun p – adic Nghiên cứu mối liên hệ giữa phương trình đồng dư với hệ số ngun và phương trình đồng dư với hệ số ngun p – adic 2.1 Phương trình đồng dư theo mơđun ngun tố 2.1.1 Sự tương đương của các đa thức Xét phương trình đồng dư với mơđun ngun tố p Các l p thặng dư mơđun ngun tố p là trường hữu hạn với p phần tử và một phương trình đồng dư với mơđun p có thể được... của  p , gọi là vành các số ngun p – adic 2) O *p = 1} gọi là t p các phần tử khả nghịch trong O p {x ∈  p | x = 3) O p \ O *p = { x ∈  p | x < 1} = pO p là iđêan tối đại của O p CHƯƠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG DƯ VỚI HỆ SỐ NGUN P – ADIC Trong chương này, chúng tơi trình bày các vấn đề về sự tồn tại nghiệm của một phương trình đồng dư với hệ số ngun theo mơđun là số ngun tố và sự tồn tại nghiệm của phương. .. này bằng phương ph p quy n p theo số biến n của đa thức F  Với n = 1 : Do F là đa thức thu gọn và F chỉ có một biến nên bậc của F ( x ) bé hơn p và F ( c ) ≡ 0 ( mod p ) với mọi c, tức là phương trình đồng dư F ( x ) ≡ 0 ( mod p ) có p nghiệm Điều này chỉ có thể xảy ra nếu tất cả các hệ số của F chia hết cho p , nghĩa là F ≡ 0 ( mod p ) Thật vậy, xét phương trình đồng dư theo mơđun ngun tố p F ( x=... hơn số biến) Vì vậy, phương trình đồng dư F ( x1 , , xn ) ≡ 0 ( mod p ) có ít nhất hai nghiệm  Hệ quả 2.6 (Định lí Chevalley) Nếu F ( x1 , , xn ) là một dạng bậc k < n thì phương trình đồng dư F ( x1 , , xn ) ≡ 0 ( mod p ) có một nghiệm khác 0 Chứng minh: Vì F là một dạng bậc k nên phương trình đồng dư F ( x1 , , xn ) ≡ 0 ( mod p ) ln có một nghiệm tầm thường là 0 Theo định lí 2.5 phương trình này phải... p n (n = an ≡ an+1 (mod p n ), n = 1,2, để x = {an } Khi đó, với mỗi n ∈  ta có các khai triển p – phân an =bo′ + b1′ p + bn′−1 p n−1 , bi′ =0, p − 1 an+1 =bo + b1 p + bn−1 p n−1 + bn p n , bi =0, p − 1 Mặt khác, an ≡ an+1 (mod p n ) ⇔ an − an+1  p n nên suy ra bo′ + b1′ p + bn′−1 p n−1 =bo + b1 p + bn−1 p n−1 do đó an =bo + b1 p +bn−1 p n −1 n −1 nên = x lim = an lim ∑= bi p i n→∞ +∞ ∑b p. .. Tóm lại với mọi x ∈  p , x ≤ 1, ∃bi ∈{0,1, , p − 1}: x = ∑ b p , gọi là khai triển p – adic của x trong O p 2) Nếu x khơng thỏa điều kiện x p ≤ 1 thì ta sẽ nhân x với một số p m +∞ thích h p sao cho x ' = x p m thỏa mãn x ' p ≤ 1 Khi đó, x ' = ∑ bn p n suy ra n =0 x= +∞ ∑bp i =− m i i bi ∈ {0,1, , p − 1} Cơng thức này gọi là cơng thức khai triển p – adic trong p Chú ý: 1) O p = {x ∈  p | x ≤... ν p ( x) là một chuẩn phi Acsimet trên  với quy ước ρ ∞ = 0 1.6.4 Mệnh đề Với mỗi số ngun tố p, ta có chuẩn ν p ( x) 1 xp   =  p , ∀x ∈  Chuẩn  p được gọi là chuẩn p – adic hay chuẩn p Rõ ràng chuẩn p là chuẩn phi Acsimet 1.6.5 Định lý Ostrowski Mọi chuẩn khơng tầm thường trên  đều tương đương với giá trị tuyệt đối thơng thường hoặc  p với p là một số ngun tố 1.6.6 Xây dựng trường số p. ..  min{ν p ( x),ν p ( y )}  ⇒ ν p ( x + y) = do ν p ( x + y ) = ν p ( y )  u α m +) x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 : Khơng mất tính tổng qt, giả sử x p= = , y p , n v mv + p β −α un với ν p ( x) = α ≤ β =ν p ( y ) Thế thì x + y = p nv α Khi đó suy ra ν p ( x + y ) ≥ α = min{ν p ( x),ν p ( y )} Vậy ν p ( x + y ) ≥ min{ν p ( x),ν p ( y )}  1.6.3 Mệnh đề Cho ρ là một số thực thỏa 0 < ρ < 1 và p là một số ngun... a là bất thặng dư bậc hai môđun p 0 Quy ước:   = 0  p 1.4.2 Các tính chất của kí hiệu Legendre p −1 a 1   ≡ a 2 ( mod p ) , trong đó 0 < a < p  p p −1 p −1 a a 2 2   = 1 ⇔ a ≡ 1( mod p ) ;   = −1 ⇔ a 2 ≡ −1( mod p ) p  p   1 3   = 1  p p −1 1 nếu p ≡ 1( mod 4 )  −1  4   = ( −1) 2 =   p −1 nếu p ≡ 3 ( mod 4 )  p 2 −1 1 nếu p ≡ 1( mod8 ) hoặc p ≡ 7 ( mod8 )... chuẩn phi Acsimet  1.6 Xây dựng trường số p – adic 1.6.1 Định nghĩa Cho p là một số ngun tố cố định Với mỗi x ∈  \ {0} , ta ln có x = p 1  m  m, n ∈ ,(m, n) = = = n, p ) 1 n  (m, p ) 1,( α được gọi là p số mũ của x, ký hiệu ν p ( x) = α Quy ước: ν p (0) = ∞, ∞ ± a = ∞ 1.6.2 Mệnh đề Cho p là một số ngun tố, ∀x, y ∈  ta có: i) ν p= ( xy ) ν p ( x) + ν p ( y ); ii) ν p ( x + y ) ≥ min{ν p ( ... liên hệ phương trình đồng dư với hệ số ngun phương trình đồng dư với hệ số ngun p – adic Nghiên cứu phương trình đồng dư theo mơđun ngun tố với hệ số ngun Nghiên cứu phương trình đồng dư theo mơđun... trình bày vấn đề tồn nghiệm phương trình đồng dư với hệ số ngun theo mơđun số ngun tố tồn nghiệm phương trình đồng dư với hệ số ngun p – adic Nghiên cứu mối liên hệ phương trình đồng dư với hệ. .. ngun tố Nghiên cứu tồn nghiệm phương trình đồng dư với hệ số ngun p – adic Nghiên cứu mối liên hệ phương trình đồng dư với hệ số ngun phương trình đồng dư với hệ số ngun p – adic Tuy có nhiều