Trang MỤC LỤC MỤC LỤC T T LỜI MỞ ĐẦU T T PHẦN I: LÝ THUYẾT T T CHƯƠNG 1: GIẢI TÍCH VECTƠ T T 1.1 Hệ tọa độ: T T 1.1.1 Hệ tọa độ cong: T T 1.1.2 Hệ tọa độ Descartes: T T 1.1.3 Hệ tọa độ trụ: T T 1.1.4 Hệ tọa độ cầu T T 1.2 Gradient: T T 1.3 Divergence Định lí Gauss – Ôxtrogratxki: 10 T T 1.3.1 Định nghĩa: 10 T T 1.3.2 Định lí divergence( định lý Gauss- Ôxtrogratxki): 10 T T 1.4 Rota định lý Stokes: 11 T T 1.4.1 Định nghĩa: 11 T T 1.4.2 Định lý Stokes: 12 T T 1.5 Toán tử Laplace: 12 T T 1.6 Một số hệ thức vectơ thường gặp: 13 T T 1.7 Một số hệ quả: 13 T T CHƯƠNG :NHỮNG ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ 14 T Luận văn tốt nghiệp T SVTH : Phạm Thị Minh Giang Trang  2.1 Vectơ cường độ điện trường E : 14  2.2 Vectơ cảm ứng từ B : 15 T T T T T T T T 2.3 Định luật bảo toàn điện tích phương trình liên tục: 16 T T 2.4 Định luật Gauss cho điện trường: 17 T T 2.5 Định luật Gauss cho từ trường: 17 T T 2.6 Định luật Faraday cảm ứng điện từ: 18 T T 2.7 Định luật Ampere lưu thông vectơ cảm ứng từ: 18 T T 2.8 Hệ phương trình Maxwell chân không: 20  2.9 Vectơ cảm ứng điện D : 22  2.10 Vectơ cường độ từ trường H : 23 T T T T T T T T T T 2.11 Hệ phương trình Maxwell môi trường vật chất: 24 T T 2.12 Điều kiện biên: 24  2.12.1 Điều kiện biên B 25  2.12.2 Điều kiện biên D : 26  2.12.3 Điều kiện biên E : 27  2.12.4 Điều kiện biên H : 28 T T T T T T T T T T T T T T T T CHƯƠNG 3: ĐIỆN TRƯỜNG TĨNH 30 T T 3.1 Hệ phương trinh Maxwell mô tả điện trường tĩnh: 30 T T 3.2 Thế vô hướng điện trường tĩnh: 30 T T 3.3 Phương trình Poisson phương trình Laplace: 33 T T CHƯƠNG 4: TỪ TRƯỜNG DỪNG 35 T T 4.1 Hệ phương trình Maxwell mô tả từ trường dừng: 35 T Luận văn tốt nghiệp T SVTH : Phạm Thị Minh Giang Trang  4.2 Khảo sát từ trường dừng dùng vectơ A : 35 T T T T  4.2.1 Thế vectơ A 35 T T 4.2.2 Phương trình Poisson- Phương trình Laplace: 36 T T  4.2.3 Nghiệm A phương trình Poisson – phương trình Laplace: 36 T T T T PHẦN HAI: BÀI TẬP VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI 40 T T CHƯƠNG 1: ĐIỆN TRƯỜNG TĨNH 40 T T Dạng 1: Áp dụng nguyên lý chồng chất điện trường → Xác định vectơ cường độ T T T điện trường 40 T Dạng 2: Áp dụng định luât Gauss cho toán đối xứng trụ, đối xứng cầu, đối xứng T phẳng,… → xác định vectơ cường độ điện trường,điện thế,… 45 T T T Dạng 3: Áp dụng phương pháp ảnh điện để xác định yếu tố điện trường 50 T T Dạng 4: Áp dụng giải phương trình Poisson – Laplace cho toán có tính đối T xứng trụ, đối xứng cầu với phân bố điện tích khối để khảo sát điện trường tĩnh 57 T Dạng 5: Cho số yếu tố trường điện để xác định phân bố điện tích 69 T T CHƯƠNG 2: TỪ TRƯỜNG DỪNG 72 T T Dạng 1: Áp dụng định luật Bio-Savart, nguyên lý chồng chất cho phân bố liên tục để T xác định yếu tố từ trường 72 T Dạng 2: Áp dụng định luật Ampere lưu thông vectơ cảm ứng từ Từ có T thể xác định yếu tố từ trường 75 T  Dạng 3: Áp dụng giải phương trình Poisson – Laplace vectơ A cho T T T toán có tính đối xứng cầu, đối xứng trụ để khảo sát từ trường dừng 78 T Dạng 4: Áp dụng phương pháp ảnh điện để khảo sát từ trường dừng 83 T T PHẦN BA: KẾT LUẬN 86 T Luận văn tốt nghiệp T SVTH : Phạm Thị Minh Giang Trang TÀI LIỆU THAM KHẢO: 87 T Luận văn tốt nghiệp T SVTH : Phạm Thị Minh Giang Trang LỜI MỞ ĐẦU Bài tập vật lý có vai trò quan trọng nhận thức phát triển tư người học Nó giúp cho người học đào sâu mở rộng kiến thức học, vận dụng kỹ năng, kỹ xảo để giải loại tập Vì vậy, đưa dạng phương pháp chung để giải dạng cần thiết Điện động lực học môn thuộc vật lý lý thuyết nên có nội dung vật lý phương pháp toán học Điện động lực vĩ mô nghiên cứu biểu diễn quy luật tổng quát trường điện từ tương quan với nguồn gây trường Và sau học môn điện động lực học, nhận thấy môn khó, phải biết quy luật, chất vật lý phương pháp toán học ( phương trình, hàm số, toán tử,…) kiến thức toán học hạn chế Do đó, việc giải tập điện động lực học gặp khó khăn Chính lí nên chọn tên đề tài: “ Phương pháp giải tập điện động lực học” Bài luận tập trung vào hai chương là: Điện trường tĩnh Từ trường dừng Điện động lực học vĩ mô thuộc học phần Điện động lực học Trong luận gồm hai phần: Phần một: “Lý thuyết” – tóm tắt nội dung lý thuyết hai chương phạm vi nghiên cứu chương giải tích vectơ công cụ khảo sát Trường điện từ hỗ trợ cho việc giải tập Bao gồm: Chương 1: Giải tích vectơ Chương 2: Những định luật trường điện từ Chương 3: Điện trường tĩnh Chương 4: Từ trường dừng Phần hai: “Bài tập phương pháp giải” – trình bày phương pháp sử dụng để giải tập điện động lực tập mẫu hai chương nghiên cứu Bao gồm: Chương 1: Điện trường tĩnh Luận văn tốt nghiệp SVTH : Phạm Thị Minh Giang Trang Chương 2: Từ trường dừng Với luận cung cấp cho bạn sinh viên phương pháp giải tập điện động lực tài liệu tham khảo phục vụ việc học tập Luận văn tốt nghiệp SVTH : Phạm Thị Minh Giang Trang PHẦN I: LÝ THUYẾT CHƯƠNG 1: GIẢI TÍCH VECTƠ 1.1 Hệ tọa độ: Các đại lượng điện từ trường hợp tổng quát hàm vị trí thời gian Nếu đại lượng vectơ, hướng chúng thay đổi không gian Để xác định vị trí, hướng không gian ta dùng hệ tọa độ Tùy toán mà sử dụng hệ tọa độ khác cho phù hợp để giải toán cho đơn giản nhanh 1.1.1 Hệ tọa độ cong: Trong không gian chiều, xét họ mặt cong độc lập: f (x,y,z) = u ; f (x,y,z)= u ; f (x,y,z)= u R R R R R R R R R R R Ba mặt u = const, u = const, u = const cắt điểm P Do thông số u , u ,u R R R R R R R R R R R R xác định điểm: P(u , u ,u ) Và u , u , u gọi tọa độ cong R R R R R R R R R R R R R R Gọi dl , dl , dl yếu tố dài đường tọa độ u , u , u Trong trường hợp R R R R R R R R R R R R tổng quát: dl =h du R R R R R R dl =h du R R R R dl =h du R R R R R R R Hệ số h , h , h gọi hệ số Larmor - hàm tọa độ cong Đối với hệ tọa độ R R R R R R trực giao, yếu tố dài: dl2=dl + dl 2 + dl hay dl2 = h 2du + h 2du 2 + h 2du P P R RP P R RP P R RP P P  ∂x   ∂y   ∂z  h =  +  +   ∂u1   ∂u1   ∂u1  P R RP P R RP P R RP P R RP P R RP P R RP 2 2  ∂x   ∂y   ∂z  h =  +  +   ∂u   ∂u   ∂u  2 ……………………………………… hay h i = R R  ∂x   ∂y   ∂z    +  +  ∂ ∂ u u  i   i   ∂u i  Luận văn tốt nghiệp với i= 1,2,3… SVTH : Phạm Thị Minh Giang Trang 1.1.2 Hệ tọa độ Descartes: u= x= Ba mặt tọa độ trực giao tương hổ mặt phẳng: u 2= const y= const cắt P(x,y,z) u 3= z= const       Vectơ đơn vị i1 = i x , i = i y , i3 = i z không thay đổi không gian;          ix =× iy iz ; iy =× iz ix ; iz =× ix iy Hệ số Larmor: h = 1, h = 1, h = R R R R R R Yếu tố thể tích: dV = dxdydz      Vectơ vị trí r vẽ từ gốc tọa độ đến điểm P(x,y,z): r = x ix + yiy + z iz 1.1.3 Hệ tọa độ trụ:  Ba mặt tọa độ trực giao tương hổ ρ , ϕ , z cắt P có tọa độ r ( ρ, ϕ, z ) z          Các vectơ đơn vị : iρ =× iϕ iz ; iϕ =× iz iρ ; iz =× iρ iϕ x = ρ cos ϕ , y = ρ sin ϕ , z = z Suy ra:  r Hệ số Larmor: h = 1, h = r, h = R R R R R M R O Yếu tố thể tích: dV =ρdρdϕdz   ϕ ρ  Vectơ vị trí xác định điểm P ( ρ , ϕ , z): r =ρ iρ + ziz y x 1.1.4 Hệ tọa độ cầu  Ba mặt tọa độ trực giao tương hổ r, θ, ϕ cắt P có tọa độ r ( r, θ, ϕ ) z          Các vectơ đơn vị: ir= iθ × i ϕ , iθ= iϕ × i r , iϕ= ir × i θ Vì: x = rsinθcos ϕ , y = rsinθsin ϕ , z = rcosθ Hệ số Larmor : h = , h = r , h = rsinθ R R R R R θ r R Yếu tố thể tích: dV = r sinθdrdθd ϕ P P   Vectơ vị trí xác định điểm P(r, θ, ϕ ): r = r i r Luận văn tốt nghiệp ϕ y x SVTH : Phạm Thị Minh Giang Trang 1.2 Gradient: Gradient toán tử tác dụng lên hàm vô hướng, kết hàm vectơ – vectơ gradient Ký hiệu: gradϕ = ∇ϕ ϕ(x, y,z) Xét trường vô hướng hàm: ϕ(r) = Grad φ vectơ có hướng mà φ tăng nhanh có độ lớn đạo hàm theo hướng Trong hệ tọa độ Descartes: ∂ϕ  ∂ϕ  ∂ϕ  i+ j+ k ∂x ∂y ∂z grad = ϕ  ∂ϕ   ∂ϕ   ∂ϕ  Độ lớn grad φ: gradϕ =   +   +    ∂x   ∂y   ∂z  Kí hiệu: ∇ toán tử vi phân (napla) := ∇ R ∂  ∂  ∂  i+ j+ k ∂x ∂y ∂z Trong hệ tọa độ cong : = gradϕ ∂ϕ  ∂ϕ  ∂ϕ  i1 + i2 + i3 h1 ∂u1 h ∂u h ∂u Áp dụng: hρ = 1; h = hφ = ρ; h = hz =  h1 = + Trong hệ tọa độ trụ:  ρ; u = φ; u = z  u1 = Khi đó: grad = ϕ ∂ϕ  ∂ϕ  ∂ϕ  iρ + iφ + iz ∂ρ ρ ∂φ ∂z h= 1;h= h= r;h= h= rSinθ h= r θ φ + Trong hệ tọa độ cầu:  θ;u = φ r;u =  u1 = Khi đó: grad = ϕ ∂ϕ  ∂ϕ  ∂ϕ  ir + iθ + iφ ∂r r ∂θ rSinθ ∂φ Luận văn tốt nghiệp SVTH : Phạm Thị Minh Giang Trang 10 1.3 Divergence Định lí Gauss – Ôxtrogratxki: 1.3.1 Định nghĩa:  Cường độ nguồn đặc trưng toán tử divergence Divergence vectơ A điểm trường Vô hướng, định nghĩa biểu thức:   AdS ∫  ∆S divA = lim ∆V →0 ∆V   Ký hiệu: divA = ∇.A  ∂A x ∂A y ∂A z Trong hệ tọa độ Descartes: divA = + + ∂x ∂y ∂z  = divA Trong hệ tọa độ cong:  ∂ ( A1h h ) ∂ ( A h 3h1 ) ∂ ( A 3h1h )  + +   h1h h  ∂u1 ∂u ∂u  Áp dụng: hρ = 1; h = hϕ = ρ; h = hz =  h1 = + Trong hệ tọa độ trụ:  ρ; u = ϕ; u = z  u1 =  ∂ ∂A ϕ ∂A z Khi đó: divA= ρA ρ ) + + ( ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z h= 1;h= h= r;h= h= rSinθ h= θ ϕ r + Trong hệ tọa độ cầu:  r;u = θ;u = ϕ  u1 =  Khi đó: = divA ∂ ∂ 1 ∂A ϕ + θ + r A sin A ( ) ( ) r θ r ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂ϕ 1.3.2 Định lí divergence( định lý Gauss- Ôxtrogratxki): Thông lượng vectơ qua mặt kín tích phân khối đive vectơ    divA.dV = A.dS ∫ ∫ V S Định lí divergence cho phép thay tích phân thể tích tích phân mặt ngược lại Luận văn tốt nghiệp SVTH : Phạm Thị Minh Giang Trang 73    m r × j dV ⇒ m = = ( r.ρωr sin θ )dV.sin θ ∫ 2V V∫ ( ) π a 2π ρω  a5    8πa 5ρω = θ θ ϕ = π r dr sin d d ( )    ∫0 ∫0 ∫0    15 = ⇒m Bài 2: Tìm cường độ từ trường bên hốc trụ dây dẫn hình trụ có  dòng điện chạy qua với mật độ j phân bố theo tiết diện Trục hốc hình trụ dây dẫn song song cách khoảng a Giải: Áp dụng nguyên lý chồng chất từ trường, cường độ từ trường bên lỗ chồng  chất hai trường, trường vật dẫn hình trụ dài vô hạn với mật độ dòng j trường hình trụ rỗng lấp đầy với mật độ dòng  − j chảy qua Khi đó, cường độ từ trường bên lỗ hổng:     1    H= j × OM +  − j  × O 'M = j × OM − O 'M  2     H = j × OO ' = j × a 2 ( ) ( ( ) ( ) ( ) M ) Từ trường bên lỗ hổng không đổi Hình 2.3 Bài 3: Một dây dẫn dài vô hạn mang dòng điện I=1A, uốn cho có dạng có nửa đường tròn bán kính 1cm bao quanh gốc tọa độ Hãy tính từ trường gốc tọa độ Luận văn tốt nghiệp SVTH : Phạm Thị Minh Giang Trang 74 Hình 2.4 Giải:     + Phần dây dẫn thẳng không gây từ trường tâm O Idl  r nên Idl × r = + Vậy từ trường tâm O phần nửa vòng tròn dây dẫn gây Từ trường O        µ o Idl × r  Idl × r = I.dl.r Idl ⊥ r Vì nên có phần tử dòng điện Idl sinh ra: dB = B 4π r hướng vào mặt giấy Khi đó, độ lớn vectơ từ trường nửa vòng tròn sinh := B = ∫ dB L π µ o I rdθ.r µ o I 1, 26.10−6.1 = = = 3,15.10−5 (T) −2 ∫ 4π r 4r 4.10 Luận văn tốt nghiệp SVTH : Phạm Thị Minh Giang Trang 75 Dạng 2: Áp dụng định luật Ampere lưu thông vectơ cảm ứng từ Từ xác định yếu tố từ trường Cách giải: (Thông thường phương pháp ưu tiên cao cho toán có tính đối xứng) Bước 1: chọn chiều chu tuyến L cho chiều chu tuyến chiều dòng điện thuận theo quy tắc đinh ốc Bước 2: áp dụng định luật Ampere lưu thông vectơ cảm ứng từ, ta có:   ∫ B.dl = ∑ Ii i L   Bài 1: Xác định cường độ từ trường H , vectơ từ trường B tạo dòng điện chiều I chạy theo dây dẫn dài vô hạn, hình trụ tròn bán kính a, hệ số từ thẩm µ o , môi trường xung quanh µ Giải: Áp dụng định luật Ampere lưu số:   ∫ Hdl =∑ I I i i L r Chọn chiều lấy tích phân hình 2.4, mật độ dòng điện: j= I πa Hình 2.5 + Với < r < a H1.2πr = j.πr ⇒ H1 =   phẳng hợp j r Có thể viết: H1 = + Với a < r H 2πr = I ⇒ H = Luận văn tốt nghiệp  H (  jr H1 có phương vuông góc với mặt   j× r )   Suy ra: B1 = µ o H1   I Suy ra: B2 = µH 2πr SVTH : Phạm Thị Minh Giang Trang 76 Bài 2: Một dây cáp đồng trục dùng để truyền dòng điện chiều gồm có lõi hình trụ, bán kính R vỏ hình trụ rỗng có bán kính R R Dòng điện có cường độ R R R R R R I chạy lõi chạy vỏ Giữa lõi vỏ có chất điện môi Tìm từ trường tạo dây cáp Giải: Theo định luật Ampere lưu số:   ∫ Hdl =∑ I i i L I Khi đó, cường độ từ trường: H = r 2πr + Với < r < R : R + Với R < r < R : R R1 R2 R µ Ir I µ o H1 =o Mật độ dòng điện: j1 = Suy ra: B1 = πR1 2πR1 R µ R R3 Hình 2.6 R µI µH = Khi đó, I r = I nên B2 = 2πr R R + Với R < r < R : R R R R I π ( R − R 22 ) Mật độ dòng điện lớp vỏ: j2 =  r − R 22  Suy ra: I r =I − j2 π ( r − R ) =I 1 − 2   R3 − R2  2 I  r − R 22  B = µ H = µ − Khi đó,   o o 2πr  R 32 − R 22  + Với R < r: I r = I – I =0 nên B = R R R R Luận văn tốt nghiệp R R SVTH : Phạm Thị Minh Giang Trang 77  Bài 3: Tìm vectơ A gây dòng điện thẳng dài vô hạn Giải: Chọn chiều lấy tích phân hình 2.6 Áp dụng định luật Ampere lưu số: I  µo I    µo I B ⇒ = iϕ Bdl =µ I ⇒ B.2 π r =µ I ⇒ B = o∑ i o ∫L 2πr π r i  A Xét hệ tọa độ trụ ( r, ϕ, z ) Thế vectơ phụ thuộc vào khoảng cách r, đó: =r A= A= A z ; A ϕ R R Hình 2.7 Mà:  ir  ∂  B= rotA = r ∂r Ar  riϕ ∂ ∂ϕ rA ϕ    iz ir riϕ ∂ ∂ ∂ = ∂z r ∂r ∂ϕ Az 0  iz µI ∂ ∂A  ⇒ o iϕ = − iϕ ( 2.1) ∂z ∂r 2πr A µo I µo I ∫ 2πrdr + C =− 2π ln r + C − Lấy tích phân hai vế (2.1) theo r, ta được: A = Chọn A ( r = r o ) = nên C = R R µo I µI r ln ro Khi đó: A = o ln o 2π 2π r  µI r  ⇒ A =o ln o iz 2π r Luận văn tốt nghiệp SVTH : Phạm Thị Minh Giang Trang 78  Dạng 3: Áp dụng giải phương trình Poisson – Laplace vectơ A cho toán có tính đối xứng cầu, đối xứng trụ để khảo sát từ trường dừng Cách giải: tương tự phần tập chương điện trường tĩnh (dạng 4) Bài 1: Cáp đồng trục bán kính lõi R , bán kính vỏ R , bán kính R R R R vỏ R Dòng điện chảy lõi vỏ theo phương song song trục cáp có R R cường độ I ngược chiều Lõi vỏ có độ từ thẩm µ o , điện môi lõi vỏ có độ từ thẩm µ Xác định phân bố vectơ, cảm ứng từ lỏi, vỏ,  lỏi vỏ Chọn A = r = R R R Giải: Chọn hệ tọa độ trụ, trục z trùng với trục cáp có chiều trùng với chiều dòng điện lõi  ∂  ∂A  ∂ A ∂ A Laplace hệ tọa độ trụ có dạng: = ∆A + r + r ∂r  ∂r  r ∂ϕ2 ∂z        j = jz Khi đó, mật độ dòng điện j    nên A = A z , A r = A ϕ = Và B = B.iϕ j=  r ϕ  j= R R R R  Mà mật độ dòng điện j phụ thuộc vào r nên vectơ phụ thuộc vào r Khi đó, phương trình Poisson vectơ là: ∆A z = −µjz ⇒ ∂  ∂A z  r  = −µjz ( 2.2 ) r ∂r  ∂r  + Xét < r < R : R R Mật độ dòng điện lõi j1 = Từ (2.2), ta có: I πR12 ∂  ∂A1z  ∂  ∂A1z  r  = −µj1 ⇒  r  = −µj1r ( 2.3) ∂r  ∂r  r ∂r  ∂r  Lấy tích phân hai lần hai vế (2.3) theo r: Luận văn tốt nghiệp SVTH : Phạm Thị Minh Giang Trang 79 µ jr C ∂A1z ∂A1z =− ∫ µ o j1rdr + C1 ⇒ =− o + ∂r ∂r r µ jr µ jr C ⇒ A1z = − ∫ o dr + ∫ dr + C = − o + C1 ln r + C 2 r r + Xét R < r < R : R R ∆A 2z = 0⇒ R R ∂  ∂A 2z  ( 2.4 ) r = r ∂r  ∂r  A 2z C3 ln r + C4 Lấy tích phân hai lần hai vế (2.4) theo r, ta được:= + Xét R < r < R : R R R R Mật độ dòng điện vỏ: j3 = Từ (2.2), ta có: I π ( R − R 22 ) ∂  ∂A 3z  ∂  ∂A  µ o j3 ⇒  r 3z  = µ o j3r ( 2.5 ) r = r ∂r  ∂r  ∂r  ∂r  µ o j3r + C5 ln r + C6 Lấy tích phân hai lần hai vế (2.5) theo r, ta được: A 3z = Suy ra:= A 4z C7 ln r + C8 + Xét R < r: ∆A 4z = R R Muốn tìm hệ số biểu thức tính vectơ ta sử dụng điều kiện biên điều kiện liên tục sau: µo j1r A = − + C2 + Khi r → theo điều kiện hữu hạn C = nên 1z R  + Mặt khác theo điều kiện liên tục A Suy ra: C2 = r = R1 R có: A = nên ta = = A= 1z r R= 2z r R 1 µo j1R12 C = −C3 ln R1 (2.6) + Tại mặt biên = H1ϕ r Luận văn tốt nghiệp =H 2ϕ r R R= 1 ∂A1z ⇒− µ o ∂r r = R1 ∂A 2z =− µ ∂r r = R1 µj1R12 ⇒ C3 = − SVTH : Phạm Thị Minh Giang Trang 80 Thay C vào (2.6), ta được: C = R R µj1R 12 ln R µ o j1 R12 − r ) ( = A1z Thay C vào A 1z , ta thu được: R R R R Thay C C vào A 2z , ta thu được: A 2z = − µj1R ln r R R R R R R A 2z r = R = A 3z r = R 2  + Tương tự, ta có:  ∂A 2z H ϕ r R = H 3ϕ r R ⇒ −  = = 2 µ o ∂r  R1 =− r =R2 ∂A 3z µ ∂r r =R2 Suy ra:   j1R 12 j3R 22  + C5 = −µ o       2 2 C = − µj1R ln R + µ  j1R + j3R  ln R − µ o j3R  o  R1    µ o j3 ( r − R 22 ) Thay vào A 3z : A = 3z R R + µo R µj1R 12 R 2 j R + j R ln ( 1 ) r − ln R A 3z r = R = A 4z r = R 3  + Tương tự,  ∂A 3z = H 4ϕ ⇒− H 3ϕ r R= r R = 3 µ o ∂r  =− r = R3 ∂A 4z µ ∂r , ta tìm hệ số r =R2 C C , thay vào A 4z ta thu được: R R A = 4z R R R R µ o j3 µ R µj R R R 32 − R 22 ) + o ( j1R 12 + j3 R 22 ) ln − 1 ln ( R3 R1    Để xác định độ lớn từ trường B miền r khác nhau, ta có: B = rotA B = − ∂A z ta thu giá trị B miền r khác ∂r Luận văn tốt nghiệp SVTH : Phạm Thị Minh Giang Trang 81 Bài 2: Dòng điện chảy dọc theo trục z hệ tọa độ trụ với mật độ dòng điện phân bố theo quy luật: 0;0 < r < a    = a/ j  jo iz ;a < r < b 0; b < r  n  r   b/ j = jo   iz , n ≥ với a ( n + 2) r ϕ SVTH : Phạm Thị Minh Giang Trang 83 Dạng 4: Áp dụng phương pháp ảnh điện để khảo sát từ trường dừng Với cách làm tương tự chương tập điện trường tĩnh  Bài 1: Dòng điện mật độ khối j ( x, y, z ) phân bố thể tích V môi trường có hệ số từ thẩm µ1 chiếm nửa không gian, nửa không gian lại có độ thẩm từ µ Tìm dòng điện ảnh để tính trường môi trường Giải:  + Muốn tính trường môi trường 1, ta đưa vào dòng điện ảnh với mật độ dòng j ' phân bố thể tích V’ đối xứng với V qua mặt phân cách hai môi trường và:     j ( x, y, z ) = jx ix + jy iy + jz iz     j1 ( x, y, = z ) K1 jx ix + jy iy − jz iz ( ) Đồng thời lấp đầy môi trường môi trường có hệ số từ thẩm µ1 Tại điểm M        µ1 j × r µ1 K1 j × r ' mặt phân cách: B1 ( M ) = dV + dV ' = µ H + µ H '1   1 4π V∫ r 4π V∫ r '   Vì hai dòng điện đối xứng với nhau, r đối xứng với r ' qua mặt phân cách nên hình chiếu: B1n =(1 + K1 ) µ1H1n H1t= (1 − K1 ) H1t + Muốn tính từ trường môi trường 2, lấp đầy môi trường môi trường ;  (    ) đồng thời đưa vào miền V dòng điện ảnh = j2 K jx ix + jy iy + jz iz Tại điểm M thì:      µ j2 × r µ2 K j × r = B2 ( M ) = dV dV 4π V∫ r 4π V∫ r Suy ra: B2n= K 2µ H1n H 2t = K H1t B1n = B2n ⇒ (1 + K1 ) µ1 = K 2µ Áp dụng điều kiện biên: H = H ⇒ (1 − K ) H = K H  1t 2t 1t 1t 2µ1 µ − µ1 Giải hệ ta thu được: K1 = µ + µ ; K = µ + µ 1 Luận văn tốt nghiệp SVTH : Phạm Thị Minh Giang Trang 84 Bài 2: Trục thẳng dài vô hạn mang dòng điện cường độ I nằm môi trường thứ có hệ số từ thẩm µ1 cách mặt phẳng phân cách với môi trường thứ có hệ số từ thẩm µ khoảng h Xác định từ trường môi trường 1và môi trường Nếu môi trường không khí µ1 =µ o , môi trường có µ  µ o Giải: Áp dụng phương pháp ảnh điện Tương tự để tính từ trường môi trường thứ cách lấp đầy môi trường môi trường Đặt trục thẳng dài vô hạn mang dòng điện I đối xứng R R với I qua mặt phân cách hai môi trường Xét điểm M nằm mặt phân cách hai    môi trường Khi đó, từ trường M: B1 ( M ) = µ1H + µ1H1   với H, H1 cường độ từ trường trục dây dẫn mang dòng điện I I gây R R  I   I − +  cosα H1t = H1x =   2πr 2πr  M Suy ra, thành phần hình chiếu:  I   I B = B1n = µ1  −  sin α 1y   2πr 2πr  Muốn xác định từ trường môi trường thứ cách lấp đầy môi trường thứ môi trường 2; đồng thời đặt trục thẳng dòng I I Khi đó, từ trường dòng I    gây M: B2 ( M ) = µ H ; với H cường độ từ trường dòng I gây M R R R R R   I  −   cosα H 2t = H 2x =   2πr  Suy ra, thành phần hình chiếu:   I  B = µ   sin α B2n = 2y   2πr  µ − µ1  I = I  µ + µ1 B1n = B2n µ1 ( I − I1 ) = µ I  ⇒ ⇒ Áp dụng điều kiện biên:  H = H I + I = I 2t  1t  I = 2µ1 I  µ + µ1 Luận văn tốt nghiệp SVTH : Phạm Thị Minh Giang R Trang 85 Theo đề, µ  µ1 =µ o nên I1 ≈ I , I chiều với I R R Ta có, vectơ điểm dòng dây thẳng dài vô hạn gây ra: A = µI ro ln 2π r   + Thế vectơ M (x,y) môi trường dòng I I gây ra: A1 = A1.iz chọn      Do , chiếu lên trục A i iz : A ( r= h = ) z o R R  µ I h µ I h  µo I µI A1 = −  o ln + o ln  = ln ( r1r2 ) − o ln h π  2π r1 2π r1  2π Với r , r khoảng cách từ trục dòng điện I trục dòng điện ảnh I tới điểm M(x, y) R r1 = R R R x2 + ( y − h ) R r2 = x2 + ( y + h )   Từ trường môi trường 1:= B1 rotA =  B1 R  ix ∂ ∂x   iy iz ∂ ∂ ∂A1  ∂A1  = ix − iy ∂y ∂z ∂y ∂x A1   µo I  y ( x + y − h ) ix − x ( x + y + h ) iy   π  x + ( y − h )2   x + ( y + h )2      + Từ trường môi trường từ trường trục mang dòng I (đặt vị trí R R trục mang dòng điện I) gây môi trường đồng vô hạn có hệ số từ thẩm µ   µ I r3 B2 = với r khoảng cách từ trục dòng điện I đến điểm cần tính trường 2πr32 R Luận văn tốt nghiệp R R R SVTH : Phạm Thị Minh Giang Trang 86 PHẦN BA: KẾT LUẬN Điện động lực học môn học khó kiến thức rộng, đòi hỏi sử dụng ngôn ngữ toán học cao cấp với tập phong phú đa dạng nên việc giải tập gặp phải khó khăn Với đề tài “Phương pháp giải tập điện động lực học” dựa vào mức độ nhận thức để phân loại tập với ý muốn giúp người học việc lựa chọn tập để giải có phương pháp chung Trong luận này, đưa 27 tập giải mẫu sử dụng phương pháp khác để giải; có 17 tập thuộc chương điện trường tĩnh 10 tập thuộc chương từ trường dừng Do thời gian nên luận trình bày tập hai chương Điện trường tĩnh Từ trường dừng với phân bố nguồn cho đều, vật dẫn có tính đối xứng làm cho việc giải tập đơn giản phần Bài luận giúp thân hiểu biết sâu sắc môn Điện động lực hy vọng luận đóng góp phần vào tài liệu học tập bạn sinh viên Dù cố gắng nhiều tránh thiếu sót trình làm luận, Rất mong đóng góp ý kiến thầy cô Xin chân thành cảm ơn Luận văn tốt nghiệp SVTH : Phạm Thị Minh Giang Trang 87 TÀI LIỆU THAM KHẢO: [1] Ngô Nhật Ảnh, Trương Trọng Tuấn Mỹ (2000), Trường điện từ, Nhà xuất đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh [2] Ngô Nhật Ảnh, Trương Trọng Tuấn Mỹ (2000), Bài tập trường điện từ, Nhà xuất ĐHQG TP.HCM [3] Phạm Văn Đổng, Hoàng Lan (1995), Giáo trình Điện động lực học Lý thuyết tương đối, Trường ĐHSP TP.HCM [4] Nguyễn Hữu Mình, Tạ Duy Lợi, Đỗ Đình Thanh, Lê Trọng Tường, Bài tập vật lý lý thuyết tập một, Nhà xuất Giáo dục (2009) [5] Kiều Khắc Lâu, Lý thuyết trường điện từ, Nhà xuất Giáo dục (1999) [6] Nguyễn Phúc Thuần, Điện động lực, Nhà xuất Đại học quốc gia (1998) [7] L G Gretskô , V I Xugakôv, O F Tômaxevits, A M Feđortsenkô, Tuyển tập tập vật lý lý thuyết, Nhà xuất đại học trung học chuyên nghiệp Hà Nội (1978) [8] V V Batưgin – In Tôptưgin, Tuyển tập tập Điện động lực học, Nhà xuất Giáo dục (1980) Luận văn tốt nghiệp SVTH : Phạm Thị Minh Giang [...]... trình Maxwell và các phương trình liên hệ  2.1 Vectơ cường độ điện trường E : Là đại lượng đặc trưng cho điện trường về phương diện tác dụng lực Điện tích q đặt trong trường điện chịu tác dụng của lực điện tại mỗi điểm của trường  Fe điện, tỷ số là một đại lượng không đổi được gọi là cường độ điện trường tại điểm q   Fe 1 Q  đó = E = R o (V/m) q 4πε o R 2 R: khoảng cách từ điện tích điểm Q đến... ta xét Thực nghiệm chứng tỏ, điện trường của một hệ điện tích điểm tuân theo nguyên lý chồng chất điện trường của hệ điện tích bằng tổng ( vectơ) các điện trường của tổng  = E điện tích  1 = E ∑ ∑ 4πε i i i o Q  R oi R2 Muốn tính cường độ điện trường gắn với hệ điện tích có phân bố liên tục ta phải chia không gian có điện tích thành những ∆V đủ nhỏ, mỗi phần xem như một điện tích điểm Sau đó dùng... quan đến trường từ hoặc trường điện  ρ divE = ε  rotE = 0 Mô tả điện trường tĩnh: D 2n - D1n = σ td Và với các điều kiện biên: E 2t = E1t 3.2 Thế vô hướng của điện trường tĩnh: Điện trường tĩnh là trường thế vì công của lực điện trường thực hiện khi di chuyển một điện tích theo đường cong kín thì bằng không Thật vậy: Công của lực tĩnh điện khi dịch chuyển một đơn vị điện tích dương theo đường cong... trước giá trị điện thế xác định tại một điểm nào đó trong miền có điện trường thì khi đó điện thế ở tất cả nơi khác sẽ được xác định đơn giá Việc chọn trước giá trị của điện thế dẫn đến tính đơn trị của hàm điện thế gọi là sự chuẩn hóa thế Trong điện kỹ thuật, người ta chọn điện thế chuẩn bằng không là ở đất Trong lý thuyết, chọn điện thế chuẩn bằng không ở vô cùng nếu điện tích tạo nên trường điện phân... này không thuận tiện đối với nhiều phép tính về điện trường Vì vậy để mô tả điện  trường, ngoài vectơ cường độ điện trường E người ta còn dùng đại lượng vật lý khác  không phụ thuộc vào tính chất môi trường gọi là vectơ cảm ứng điện D Khi đặt điện môi vào điện trường, điện môi bị phân cực mức độ phân cực điện môi  được đặc trưng bởi vectơ phân cực điện P   ∆P (C/m2 ) P = lim ∆V →0 ∆V R P P R Luận... Vectơ mật độ dòng điện mặt: i =σv → yếu tố dòng trong phân bố mặt: idS  Công thứ tính B cho các phân bố như sau:    µo j × R Phân bố khối: B = dV 4π V∫ R 3    µo i × R Phân bố mặt: B = dS 4π ∫S R 3 Đó chính là công thức Biot - Savart 2.3 Định luật bảo toàn điện tích và phương trình liên tục: Một trong những định luật quan trọng nhất của điện động lực học là định luât bảo toàn điện tích với nội... SVTH : Phạm Thị Minh Giang Trang 30 CHƯƠNG 3: ĐIỆN TRƯỜNG TĨNH 3.1 Hệ phương trinh Maxwell mô tả điện trường tĩnh:     Trường điện tĩnh là trường mà các yếu tố trường ( E, D, B, H ) không thay đổi theo thời gian và không có sự chuyển động các điện tích, nghĩa là không có dòng điện - mật độ dòng bằng không    ∂D ∂B Tức là khi đó: = 0; = 0 ; j = 0 Hệ phương trình được chia thành hai nhóm ∂t ∂t... = ∞   Công thức tính điện thế tại điểm A và ϕA bằng công Edl ∫ A của lực điện trường thực hiện khi di chuyển một đơn vị điện tích dương từ A ra xa vô cực Luận văn tốt nghiệp SVTH : Phạm Thị Minh Giang Trang 32 Công của lực điện trường thực hiện khi di chuyển một đơn vị điện tích dương từ A đến B   B B B là: ∫ Edl = - ∫ dφ ⇒ φ A - φ B = A   ∫ Edl A A ϕA − ϕB : hiệu điện thế giữa hai điểm A... công của lực điện trường khi di chuyển một đơn vị điện tích dương từ A đến B Điện trường tĩnh gắn với điện tích q Trường của điện tích điểm q đối xứng cầu nên:   q r E= 4πε r 3     q rdr q dr ⇒ Edr = = 3 4πε r 4πε r 2  ϕ(r)= Và ∞ ∞   Edr ∫ = q dr q = 2 ∫ 4πε r r 4πεr r Nếu hệ gồm n điện tích điểm q 1 , q 2 , q 3 ,…, q n phân bố trong miền giới nội thì theo  nguyên lý chồng chất điện trường... nghiệm của phương trình sẽ là: R G(R) = C2 R R (3.3.8)   Hàm G (r, r ') có ý nghĩa là điện thế tại điểm r của một điện tích điểm đơn vị đặt tại  điểm r ' Điện trường của điện tích đó tại mọi điểm cách nó một khoảng R có giá trị C bằng: E = gradφ = 22 R (3.3.9) Điện thông φE gởi qua mặt cầu bán kính R và tâm là điểm đặt điện tích đơn vị Từ (3.3.1) ta có : φE = 1 ε (3.3.10) Mặt khác, điện thông ... điện động lực học gặp khó khăn Chính lí nên chọn tên đề tài: “ Phương pháp giải tập điện động lực học Bài luận tập trung vào hai chương là: Điện trường tĩnh Từ trường dừng Điện động lực học vĩ... sau học môn điện động lực học, nhận thấy môn khó, phải biết quy luật, chất vật lý phương pháp toán học ( phương trình, hàm số, toán tử,…) kiến thức toán học hạn chế Do đó, việc giải tập điện động. .. chung để giải dạng cần thiết Điện động lực học môn thuộc vật lý lý thuyết nên có nội dung vật lý phương pháp toán học Điện động lực vĩ mô nghiên cứu biểu diễn quy luật tổng quát trường điện từ