BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đặng Thị Sáu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đặng Thị Sáu Chuyên ngành Mã số : Toán Giải Tích : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS LÊ HOÀN HÓA Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 MỤC LỤC MỤC LỤC BẢNG MỘT SỐ KÍ HIỆU ĐÃ SỬ DỤNG MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Bất đẳng thức Holder bất đẳng thức Minkowski [3] 1.2 Không gian vectơ 1.2.1 Định nghĩa: Không gian Bannach địa phương .8 1.2.2 Định nghĩa không gian metric tuyến tính 1.2.3 Sự bổ sung đầy đủ không gian metric .9 1.3 Không gian vectơ tôpô 1.4 Không gian lồi địa phương 12 1.5 Đối ngẫu không gian định chuẩn, không gian Banach 14 1.6 Đối ngẫu không gian tôpô 15 CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN CÁC DÃY 16 2.1 Không gian l p (0 < p ≤ ∞) [5] 16 p 2.2 Không gian λ ( A) (1 ≤ p ≤ ∞) , c0 ( A) 26 CHƯƠNG 3: VÀI LỚP KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG ĐẶC BIỆT 46 3.1 Các kiến thức chương.[ ] 46 3.2 Không gian Schwartz 54 3.3 Không gian Montel 56 3.4 Không gian Frechet 58 CHƯƠNG 4: MA TRẬN KOTHE 64 4.1 Ma trận Kothe 64 4.2 Cơ sở Schauder 86 KẾT LUẬN 88 TÀI LIỆU THAM KHẢO 89 BẢNG MỘT SỐ KÍ HIỆU ĐÃ SỬ DỤNG K Tập số thực  phức   Tập số tự nhiên * =  \{0} E' Không gian đối ngẫu không gian E E" Không gian đối ngẫu thứ hai không gian E l p , ( p > 0) ∞  = ( xi )i , xi ∈ K : ∑ xi i =1  p  < ∞  - Không gian dãy có  tổng lũy thừa p hữu hạn l∞ Không gian dãy bị chặn c0 Không gian dãy hội tụ A = ( a j ,k ) λ p ( A) ( j , k )∈ Ma trận Kothe   = = x    ∞ ( x j ) j ∈ K  : x k=:  ∑ x j a j ,k  j =1 p  p   < ∞, ∀k ∈      Không gian dãy nhân với cột ma trận Kothe A tạo thành dãy thuộc l p λ ∞ ( A) Không gian dãy nhân với cột ma trận Kothe A tạo thành dãy thuộc l∞ c0 ( A ) Không gian dãy nhân với cột ma trận Kothe A tạo thành dãy thuộc c0 ⋅ p k Chuẩn không gian l p Nửa chuẩn không gian λ p ( A) Nk Tập hợp số dòng mà có phần tử cột k (của ma trận A ) khác N bp   −1  x ∈ K : ( x j b j ) j∈  span( B) , Span B , < B > Bao tuyến tính tập B B Hàm cỡ - Phiếm hàm Minkowski tập B EB Không gian định chuẩn sinh B ( < B >, B ) lp  ≤ 1 , b ∈ l∞  với B ⊂ E - lồi địa phương jB Ánh xạ nhúng từ EB → E , E - lồi địa phương Im ( f ) Ảnh ánh xạ f Ker ( f ) Nhân ánh xạ f Ek ; l p ( N k , ak ) Không gian Banach địa phương theo nửa chuẩn ∧   , k k-  E Ker k   Ep Không gian Banach địa phương theo nửa chuẩn ( p- E ) ∧ Ker ( p ) , p jn Ánh xạ nhúng từ En → E ιk Ánh xạ tắc theo nửa chuẩn k từ không gian vectơ E vào Ek Π n∈ En Tích trực tiếp không gian En ⊕i∈I Ei Tổng trực tiếp không gian Ei dim E Số chiều không gian E L ( E, F ) Không gian ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F ιmk : Em → Ek Ánh xạ tuyến tính liên tục từ Em vào Ek M0 Pôla tập M λ '; λ×    p ( y j ) j∈ ∈ K : ∑ x j y j < ∞, ∀ ( x j ) j∈ ∈ λ =λ ( A )  j∈   Uk = {x ∈ λ : U k0 = { y ∈ λ : y ( x ) ≤ 1, ∀x ∈U } - pôla U λU' Tập U k0 λ ' k b , b ∈ λ ∞ ( A) ; k ' k k Hàm cỡ U k0 * y b , b ∈ λ ∞ ( A) ; y x k ≤ 1} , ∀k ∈  * k q  q  p  p =  ∑ y jbj = < ∞, q :   λ λ ( A ) ,1 < p=  p −1   j∈   ΓA Bao tuyệt đối lồi tập A ( jn : En → E )n∈ Hệ qua nạp ind n→ En Giới hạn quy nạp hệ quy nạp ( jn : En → E )n∈  Kết thúc chứng minh MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Trong giải tích nói chung giải tích hàm nói riêng, không gian Vectơ tôpô vài lớp không gian lồi địa phương đặc biệt kiến thức mà học tìm hiểu Tuy vậy, Ma trận Kothe không gian λ p ( A) , c0 ( A) kiến thức liên quan đến mảng mà chưa có dịp tìm hiểu, mặt khác kiến thức thích quan tâm Chúng chọn đề tài để tìm hiểu sâu “Không gian dãy ma trận Kothe” Mục đích nghiên cứu: Tìm hiểu mối liên hệ ma trận Kothe không gian dãy Đối tượng nghiên cứu: “Không gian dãy ma trận Kothe” Phạm vi nghiên cứu: Giải tích hàm Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài nghiên cứu: Luận văn tài liệu để hiểu sâu thêm ma trận Kothe mối liên hệ với không gian hàm Cấu trúc luận văn: Kết cấu luận văn bao gồm phần mở đầu bốn chương Chương Các định nghĩa khái niệm Chương Không gian dãy Chương Một vài không gian lồi địa phương đặc biệt Chương Ma trận Kothe Kết thúc luận văn vài kết luận danh mục tài liệu tham khảo Sau phần giới thiệu cho chương Chương 1: Chúng đưa định nghĩa, định lý cần thiết cho chương sau Chương 2: Mở đầu chương nêu số tính chất không gian l p Sau đó, trình bày khái niệm, tính chất, định lý liên quan đến không gian dãy tựa không gian l p không gian λ p ( A) , c0 ( A) Nó bao gồm không gian dãy ( xi )i có ∞ ∑x i =1 i p < ∞ , tức không gian l p , mặt khác không gian dãy ( xi )i mà nhân với cột ma trận đặc biệt - ma trận Kothe A = ( , j ) i , j∈ ta lại dãy ( xi , j )i∈ , j = 1, 2, thuộc l p Từ 2.2.4 đến 2.2.7 chứng minh λ p ( A) , c0 ( A) không gian vectơ; không gian khả metric đầy đủ không gian lồi địa phương Từ dẫn tới định lý 2.2.8: khẳng định λ p ( A) , c0 ( A) không gian Frechet Định lý 2.2.11 khẳng định λ p ( A)(1 < p < ∞ ) không gian phản xạ không gian thùng Mục 2.2.14.1 chứng minh định lý 2.2.14.2 Định lý cho ta biết không gian đối ngẫu không gian λ p ( A)(1 ≤ p < ∞ ) Định lý 2.2.15.2 xác định hàm cỡ tập λ p ( A)  ' Kết thúc chương định lý cho ta biết c0 ( A ) = λ ∞ ( A ) " Chương 3: Giới thiệu số không gian lồi địa phương đặc biệt, là: Không gian Schwartz, Không gian Montel, Không gian Frechet Mối quan hệ không gian Schwartz không gian Montel Chương 4: Trình bày định nghĩa ma trận Kothe, mối quan hệ ma trận Kothe với không gian lồi địa phương đặc biệt nêu chương Mở đầu chương định nghĩa ma trận Kothe, kế sau bổ đề 4.1.1 Bổ đề dùng để chuẩn bị cho chứng minh định lý trọng tâm chương định lý Dieudonne- Gomes Định lý nói điều kiện ma trận Kothe để λ p ( A) không gian Montel Tiếp theo định lý 4.1.3 nói điều kiện ma trận Kothe để λ p ( A) không gian Schwartz Phần cuối chương trình bày định nghĩa sở Schauder mối liên hệ sở với không gian λ ( A) Trong luận văn, kí hiệu  dùng để kết thúc chứng minh Về mặt hình thức đánh số bổ đề, định lý, hệ quả, định nghĩa, ý, nhận xét thứ tự chương, mục tiểu mục mà chúng có mặt ( ví dụ: Định lý 4.1.6.5 có nghĩa Định lý nằm chương 4, mục 1, nhóm tiểm mục 6, tiểu mục ) Sau mục, tiểu mục, định lý, bổ đề, kí hiệu [n]: chẳng hạn: “2.1 Không gian l p (0 < p ≤ ∞) [5] “ nghĩa mục 2.1 tham khảo tài liệu số [5] Nếu không thích thêm nội dung luận văn viết chủ yếu dựa theo tài liệu tham khảo số [6] phần dựa vào tài liệu tham khảo lại Trong trình bày, vấn đề trích dẫn nêu kết qủa có chứng minh Chúng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tác giả có tài liệu mà trích dẫn luận văn Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình chu đáo của: PGS TS Đậu Thế Cấp, PGS TS Lê Hoàn Hóa Tác giả xin bày tỏ kính trọng sâu sắc lòng biết ơn chân thành đến quý Thầy Chúng xin chân thành cảm ơn quý Thầy cô phản biện đọc kĩ luận văn giúp tác giả nhiều ý kiến quý báu Chúng xin chân thành cảm ơn qúy Thầy Cô Khoa toán Trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh nhiệt tình giảng dạy nhiều năm học cao học, chân thành cảm ơn Thầy cô Phòng Sau Đại Học, Trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh động viên giúp đỡ, tạo thuận lợi cho tác giả suốt qúa trình học tập hoàn thành luận văn Cuối tác giả xin gửi lời tri ân đến gia đình bạn bè – người bên quan tâm động viên tác giả suốt trình học làm luận văn Sự giúp đỡ họ góp phần không nhỏ vào việc hoàn thành luận văn Tp Hồ Chí Minh, ngày tháng 10 năm 2011 Đặng Thị Sáu 75 3) ⇒ 4) : c0 ( A) phản xạ tức c0 ( A ) = c0 ( A) mà " c0 ( A ) = λ ∞ ( A ) ( 2.2.17.2) Vì λ ∞ ( A ) không gian phản xạ " 4) ⇒ 1): Mọi không gian đóng không gian Frechet phản xạ không gian phản, mà c0 ( A) không gian đóng không gian phản xạ λ ∞ ( A) nên c0 ( A) phản xạ, nghĩa c0 ( A ) = c0 ( A ) , mặt khác c0 ( A ) = λ ∞ ( A ) nên c0 ( A ) = λ ∞ ( A )  " " 4.1.5 Mối liên hệ λ p ( A) & λ r ( A) , p ≠ r 4.1.5.1 Định lý phép đẳng cấu Banach Cho E, F hai không gian metric đầy đủ Nếu A: E  F song ánh tuyến tính liên tục A-1 liên tục Đặc biệt song ánh tuyến tính liên tục hai không gian Banach phép đẳng cấu 4.1.5.2 Định lý p q r Giả sử p, q, r ∈ ]0, ∞[ , + =, f , g - µ đo ∫ f d µ < ∞, ∫ g d µ < ∞ fg µ đo được, p q ( ∫ fg d µ ) ≤ ( ∫ f d µ ) ( ∫ g d µ ) r r p p q q 4.1.5.3 Định lý liên hệ λ p ( A) & λ r ( A) , p ≠ r Với ma trận Kothe điều kiện sau tương đương: 1) Có p, r ∈ [1; ∞ ] , p ≠ r cho λ p ( A) = λ r ( A) hai không gian vectơ 2) ∀p, r ∈ [1; ∞ ] ta có λ p ( A) = λ r ( A) hai không gian Frechet 76 ∑ 3) Mỗi k ∈ , ∃n ∈  thỏa j∈ a j ,k a −j ,1n < ∞ ( cột k có cột n cho tổng (các phần tử cột k chia cho phần tử cột n tương ứng ) < ∞ ) Chứng minh 1) ⇒ 3): Giả sử p < r λ p ( A ) ⊂ λ r ( A) với phép nhúng liên tục Tuy nhiên từ 1) “Định lý phép đẳng cấu Banach”- 4.1.5.1 ta suy λ p ( A ) , λ r ( A ) giống không gian Frechet Đặc biệt r =∞, từ 1) ta có λ ∞ ( A ) = c0 ( A ) Do 2.2.15.2 k ∈ , ∃n ∈ , n > k C > 0: y * n,r ≤C y , ∀y ∈ span (U kp ) , đặt * k, p p r = ,s: ,1 < r < ∞ p −1 r −1 = q tương tự với s = 1, r = ∞ Cho η ∈ lq : η (η a ) j j ,k lq ≤ ta suy ∈ (U kp ) Do 2.2.15.2 ta có j∈ s  s −1  ∑ η a j ,k a j ,n   j∈  s ≤C  s ⇒ sup  ∑ ζ j ( a j ,k a −j ,1n ) : ζ ∈ lq s , ζ  j∈ Vì (( a j ,k a −j ,1n ) s ) j∈ q ∈ lt , t = q−s j∈ (( a = ∑ ( a j ,k a ) −1 st j ,n q s  ≤ 1 ≤ C s  j ,k a )) −1 s j ,n t j∈ lt ≤ C st d st ,1 ≤ d < ∞ thỏa Vì ∃= k ∈ , ∃n ∈  : ∑ j∈ ( a j ,k a −j ,1n ) < ∞ Nếu cho k ∈  chọn d m ∈  : m ≥ d đặt n0 := k ta xác định cách 77 đệ qui dãy n1 , n2 , , nm : ∑ j∈ ( a j ,n a −j ,1n v +1 v ) d < ∞ với = v 0, , m − Do 4.1.5.2 ta có: a = ∑ j∈ a j ,k j , nm m −1 a j ,nv ∑ ∏a j∈ v =0 0, ∀i, j, k ∈  k ≤ i (b) lim am, j ;m am−1, j ;m+1 = 0, ∀m ∈  j →∞ Thì λ ( A) không đánh dấu Chứng minh Giả sử λ ( A) đánh dấu, 4.1.6.8 cho ( Dk )k∈ với Dk = 1, ∀k ∈  tồn dãy ( Ck )k∈ [1, ∞[ cho C = n = tồn m ∈  thỏa: ( 2ai , j ;1 ,sup k∈ Ck−1ai , j ;k ) ≤ max , j ;k ∀ ( i, j ) ∈  Giả sử i = m từ (a) 83 ta suy Cm−1+1am, j ;m+1 ≤ sup k∈ Ck−1am, j ;k ∀j ∈  , điều mâu thuẫn với (b) λ ( A) không đánh dấu 4.1.6.10 Ví dụ Ma trận Kothe xác định: A = ( , j ;k )  j i , k ≤ i, j ∈  ( i , j )∈ , k∈ với , j ;k :=  k  j , k > i, j ∈  Khi đó, λ ( A) không đánh dấu 4.1.7 Ví dụ Có ma trận Kothe A thỏa: p ∈ [1, ∞ ] , λ p ( A) không gian Montel không gian Schwartz Thật vậy, ma trận Kothe xác định: A = ( , j ;k ) ( i , j )∈ , k∈ với , j ;k Cho k , m ∈  với m > k cho k ( ki ) , j < k , i ∈  :=  j k , j ≥ k , i ∈  , j ;k , j ;m Với ε > , có vô số cặp ( i, j ) thỏa j k =   với j > m, i ∈  m , j ;k , j ;m ≥ ε Theo 4.1.3 λ p ( A ) không không gian Schwartz Để chứng minh λ p ( A) không gian Montel, ta điều kiện 6) định lý Dieudonne – Gomes Giả sử I tập : ε k > , ta  Cho n ∈  tất k ≥ n Giả sử inf (i , j )∈I , j ;n ai−, 1j= ;k chứng minh I hữu hạn Giả sử k= n + , với cặp ( i, j ) ∈ I cho j ≥ n + 1: j ε n +1 ≤ a −1 i , j ; n i , j ; n +1 a  n  =    n +1  84 Vì tồn j0 ∈  cho I ⊂  × {1, , j0 } Cho ( i, j ) ∈ I với ≤ j ≤ j0 k ≥ max ( j, n ) , ta có ( ni ) = k ( ki ) n εk ≤ a −1 i , j ;n i , j ;k a nn n−k =k i với j < n, k nj ε k ≤ , j ;n ai−, 1j ;k = , với n ≤ j k ( ki ) Vì I ∩ (  × { j}) hữu hạn với ≤ j ≤ j0 nên I hữu hạn Theo định lý Dieudonne – Gomes ta có λ p ( A) không gian Montel 4.1.8 Định lý Giả sử A = ( , j ;k )(i , j )∈ ,k∈ ma trận Kothe với , j ;1 ≥ ,k ;k = a1,k ;k với i, j , k ∈  , λ p ( A ) ,1 ≤ p < ∞ c0 ( A ) tương ứng đẳng cấu với l p c0 Vì vậy, λ p ( A) ,1 ≤ p < ∞ c0 ( A) không gian Frechet – Montel ma trận Kothe A chọn là: A = ( , j ;k ) ( i , j )∈ , k∈ với , j ;k k ( ki ) , j < k , i ∈  :=  j k , j ≥ k , i ∈  Chứng minh Giả sử ≤ p < ∞ x = ( xi , j )i , j∈ thuộc λ p ( A) , theo bất đẳng thức Holder ta có p ∑ ∑2 i∈ j∈ −j xi , j ≤ ∑∑ xi , j i∈ j∈ p ≤ x1 p Vì ánh xạ   −j Q : λ p ( A ) → l p , Qx :=  ∑ xi , j  ,  j∈ i∈ ánh xạ tuyến tính liên tục Nếu A toàn ánh theo định lý ánh xạ mở ta có A ánh xạ mở Định lý ánh xạ mở (giả sử E, F hai không 85 gian metric đầy đủ Nếu A: E  F tuyến tính, liên tục toàn ánh A ánh xạ mở ) Ta chứng minh A toàn ánh Thật vậy, theo tiêu chuẩn toàn ánh ( A: E  F ánh xạ tuyến tính liên tục hai không gian Frechet toàn ánh với tập bị chặn B E ' , tập (A ' ) −1 (B) bị chặn F ' ) ta xác định: p ' Q ' : l p' = lq → λ p ( A ) , q := p −1 Cho y ∈ lq x ∈ λ p ( A) ta có: y ) ( x ) y= x ( Qx ) ∑ y ∑ 2= (Q = ∑ y2 −j ' i i∈ i, j j∈ −j i i , j∈ xi , j , Q ' y = ( yi 2− j )i , j∈ Cho k ∈  U k = {x ∈ λ p ( A) : x k ≤ 1} ta có ( Q ) (U )= ' −1 k   y ∈ lq :  ∑x i , j∈ i, j  2− j yi ≤ x k , ∀x ∈ λ p ( A )   Cố định y ∈ ( Q ' ) (U k0 ) , ξ dãy số có hầu hết phần tử −1 định nghĩa x ∈ λ p ( A) x = (ξiδ j ,k )i , j∈ thì: = y (ξ ) = ξy ∑ i∈ i i 2k y ∑ ξ= −k i∈ i i 2k ∑x i , j∈ i, j 2− j yi p p  ,k ;k  2k a1,k ;k ξ = ≤ x k  ∑ ξi=  i∈  k k lp Vì ta có y l ≤ 2k a1,k ;k với y ∈ ( Q ' ) (U k0 ) −1 q Do 4.1.6.6 , (U k0 )k∈ hệ tập bị chặn, suy Q toàn ánh Chứng minh tương tự cho trường hợp c0 ( A)  86 4.2 Cơ sở Schauder 4.2.1 Định nghĩa sở Schauder sở tuyệt đối Cho E không gian lồi địa phương, dãy (e j ) j ∈  gọi sở Schauder củ E, x thuộc E xác định cách ∞ dãy (ε j (x)) j ∈  K cho x = ∑ ε j (x)e j với ε j : E  K , j =1 j ∈  gọi hàm hệ số sở Schauder (e j ) j ∈  Nhận xét: ε j : E  K , j ∈  phiếm hàm tuyến tính Cơ sở Schauder (e j ) j ∈  không gian lồi địa phương E gọi sở tuyệt đối , nửa chuẩn liên tục p E có nửa chuẩn liên tục q E có C > cho ∞ ∑ |ε j (x)|p(e j ) ≤ Cq(x), với x thuộc E j =1 4.2.2 Liên hệ không gian Frechet không gian λ ( A) 4.2.2.1 Định lý E không gian Frechet ( k )k∈ hệ nửa chuẩn tăng E Nếu E có sở tuyệt đối ( e j ) j∈ A = (e ) j k j , k∈ ma trận Kothe E đẳng cấu với λ1 (A) Chứng minh Vì k ≥ với k ( k )k∈ dãy tăng nên A rõ ràng ma trận Kothe Định nghĩa: T : E  K  , Tx := (ξ j ( x ) ) j∈ , dễ thấy T tuyến tính Vì ( e j ) j∈ sở tuyệt đối nên cho k thuộc  có m thuộc  C > cho với x thuộc E ta có 87 ∑ ξ j ( x ) e j k  C ≤ x j∈ m Suy T(x) ∈ λ ( A) , ∀x ∈ E T : E  λ ( A) liên tục Bây ta chứng minh T toàn ánh hay T(E) = λ ( A) Giả sử ξ ∈ λ ( A) Cho n, p, k ∈  n+ p ∑ξe ≤ j j j= n +1 k Do ξ ∈ λ ( A) nghĩa ∞ ∑ ξ j ej j =1 nhỏ nên n+ p ∑ j= n +1 ξ jej k k n+ p ∑ ξ e j j k j= n +1 ∞ ∑ξ e j =1 j j ∑ j= n +1 ξ j ej k < ε với ε  n  ≤ ε Từ suy  ∑ ξ j e j  dãy Cauchy  j =1  n∈  n   j =1  n∈ E, mà E Frechet nên  ∑ ξ j e j  x: = n+ p < ∞ hay hội tụ Đặt Tx = ξ Vậy T toàn ánh 4.2.2.2 Định lý Một không gian Frechet E đẳng cấu với λ ( A) E có sở tuyệt đối Chứng minh “⇐” Do 2.2.13 “⇒” Giả sử E Frechet đẳng cấu với λ ( A) ta cần chứng minh E có sở tuyệt đối Thật vậy, lấy e ) δ ) (= (= j j∈ j , k ∈ 1, j = k  0, j ≠ k Khi ( e j ) j∈ sở tuyệt đối λ ( A) , mà λ ( A) đẳng cấu với E nên ( e j ) j∈ sở tuyệt đối E 88 KẾT LUẬN Qua trình thực luận văn bắt đầu làm quen với khái niệm, tính chất không gian λ p ( A) , c0 ( A) , mối quan hệ với không gian lồi địa phương đặc biệt, số điều kiện để không gian Frechet không gian λ ( A) Trên hết hiểu sâu giải tích hàm có kiến thức quý báu cho kho tàng khổng lồ kiến thức quý báu Toán học Qua việc hoàn thành luận văn, cho thấy tầm kiến thức hiểu biết hạn chế Toán học Giải tích hàm Điều khiến cho cảm thấy cần phải học hỏi nhiều câu nói Lê - nin “ Học, Học Nữa, Học Mãi ” Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn không tránh khỏi sai sót Mong quý Thầy cô bạn có ý kiến, đóng góp để luận văn hoàn thiện Một lần xin trân trọng cảm ơn PGS TS Đậu Thế Cấp, PGS TS Lê Hoàn Hóa hướng dẫn tận tình cho hoàn thành luận văn Xin cảm ơn qúi Thầy cô phản biện đọc kỹ luận văn giúp nhiều ý kiến quý báu 89 TÀI LIỆU THAM KHẢO [ ] Đậu Thế Cấp (2009), Giải Tích Hàm,Nxb Giáo dục, Hà Nội [ ] Đậu Thế Cấp (2008), Không Gian Vectơ Tôpô, Đại học sư phạm Tp Hồ Chí Minh, Tp Hồ Chí Minh [ ] Lê Hoàn Hóa (2008), Phép Tính Vi Phân Trên Không Gian Banach, Đại học sư phạm Tp Hồ Chí Minh, Tp Hồ Chí Minh [ ] Nguyễn Xuân Liêm (1997), Giải Tích Hàm, Nxb Giáo dục, Hà Nội [ ] Đỗ Văn Lưu (1999), Giải Tích Hàm, Nxb Khoa học kĩ thuật Hà Nội, Hà Nội [ ] R.meise Vogt ( 1997), Introduction to Functonal analysis, Calaren don Press- Oxford [ ] I.Singer (1970), Bases in Banach spaces I, Springer – Verlag Berlin Heidebeg new york [...]... A của E tồn tại một B thuộc B và λ > 0 : A ⊂ λ B 1.4.8 Định lý E là không gian lồi địa phương có ( α )α∈A là hệ cơ bản các nửa chuẩn B con E là bị chặn nếu và chỉ nếu sup x∈B x α ≤ ∞, ∀α ∈ A 1.5 Đối ngẫu của các không gian định chuẩn, không gian Banach 1.5.1 Không gian đối ngẫu Cho X là một không gian định chuẩn trên trường K Không gian liên hợp (hay còn gọi là không gian đối ngẫu) của X , ký hiệu... Không gian phản xạ: Không gian định chuẩn X được gọi là phản xạ nếu X = X " hay nói khác đi X " ⊂ X 1.6 Đối ngẫu của không gian tôpô Cho E là không gian vectơ tôpô trên trường K Kí hiệu E ' := L ( E , K ) Không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục từ E vào K , E * :=  ( E , K ) Không gian các phiếm hàm tuyến tính từ E vào K Khi đó E ' , E * là không gian vectơ trên K với các phép toán ( f1 +... f 2 ( x ) , (α f1 )( x ) =α f1 ( x ) và E ' được gọi là không gian đối ngẫu của E , E * được gọi là không gian đối ngẫu đại số của E 16 CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN CÁC DÃY 2.1 Không gian l p (0 < p ≤ ∞) [5] Bổ đề ∞  l p ( xi )i , xi ∈ K : ∑ xi = i =1  p  < ∞ , p > 0  l p (0 < p ≤ ∞) là không gian vectơ trên trường K Thật vậy: Với p > 0 , ta xét tập l p gồm các dãy số x = ( xi )i thỏa ∞ ∑x i =1 i p... trên không gian "lớn hơn" là X ' , theo công thức x ∈ X ⇒ x ∈ X " : x (= f) f ( x ) , ∀f ∈ X ' Nếu X = X " thì không gian định chuẩn X được gọi là không gian phản xạ Bằng cách tương tự, ta có thể định nghĩa không gian đối ngẫu thứ ba, thứ tư, thứ n của một không gian định chuẩn 1.5.2 Định lý : Ánh xạ chính tắc ϕ : X  X " tuyến tính đẳng cự Do đó ϕ là phép nhúng đẳng cự từ X vào X " 1.5.3 Không gian. .. xét: Mọi không gian định chuẩn đều là không gian lồi địa phương 1.4.4 Định nghĩa hệ cơ bản các lân cận của 0 của không gian lồi địa phương Cho E lồi địa phương Họ U các lân cận của 0 trong E được gọi là hệ cơ bản các lân cận của 0, nếu mỗi lân cận U của 0 tồn tại lân cận V thuộc U và ε > 0 sao cho εV ⊂ U 1.4.5 Định nghĩa hệ cơ bản các nửa chuẩn Họ ( α )α∈A các nửa chuẩn liên tục trên không gian lồi... x, y ) = max n∈ cn pn ( x − y ) với ( cn )n là dãy số dương hội tụ về 0 1 + pn ( x − y ) 1.3.11 Lưu ý: Khi khảo sát về không gian vectơ tôpô, thường ta xét không gian đó là Hausdorff , nên ta thống nhất khi nhắc đến không gian vectơ tôpô, nghĩa là không gian vectơ tôpô đó thỏa Hausdorff 1.3.12 Định nghĩa Không gian vectơ tôpô E gọi là đầy đủ nếu mọi lưới Cauchy trong E đều hội tụ 1.4 Không gian lồi...  i 1=  i1  Do chuỗi số thực không âm có dãy tổng riêng phần bị chặn nên ∞ ∑x +y i =1 i p i hội tụ và 1 p 1 p 1 p    p p p  ∑ xi + yi  ≤  ∑ xi  +  ∑ yi  , p > 1 = = i1   i 1=  i1  ∞ ∞ ∞ 1.2 Không gian vectơ 1.2.1 Định nghĩa: Không gian Bannach địa phương Cho E là không gian vectơ và p là nửa chuẩn trên E Dễ thấy 0} là không gian vectơ con của E và Kerp := Np = {x ∈ E : p ( x )... như trên thỏa 8 tính chất tiên đề của không gian vectơ Vậy c0 ( A) là không gian vectơ trên trường K và là không gian vectơ con của λ ∞ ( A)  2.2.6 Bổ đề = E : λ p ( A ) (1 ≤ p ≤ ∞) hoặc E := c0 ( A ) là không gian lồi địa phương Chứng minh Ta có λ p ( A) (1 ≤ p ≤ ∞) ; c0 ( A) có họ các nửa chuẩn k Mặt khác ∀x ∈ E , x ≠ 0 tồn tại j ∈  : x j ≠ 0 , mà A là ma trận Kothe nên ∀j ∈ , ∃k ∈  sao cho a... đến lượt nó cũng có không gian liên hiệp, ký hiệu X " = ( X ' ) và ta còn gọi X " là ' không gian đối ngẫu (hay không gian liên hợp) thứ hai của X Về mặt không gian định chuẩn, mối liên hệ giữa X và X ' không rõ ràng lắm, trừ trường hợp X có số chiều hữu hạn Tuy nhiên, mối liên hệ giữa X và X " chặt chẽ hơn: X được xem 15 như là một không gian định chuẩn con của X " Vì vậy mỗi phần tử x của X , ngoài... hội tụ 1.4 Không gian lồi địa phương 1.4.1 Định nghĩa Không gian vectơ tôpô (Hausdorff) E được gọi là không gian lồi địa phương nếu mỗi x thuộc E có cơ sở lân cận (của 0) gồm các tập lồi Một tôpô τ làm cho không gian E thành không gian lồi địa phương được gọi là tôpô lồi địa phương (trên E) 1.4.2 Nhận xét Không gian lồi địa phương E khả metric nếu và chỉ nếu có một cơ sở lân cận đếm được, tuyệt đối lồi ...  Không gian dãy nhân với cột ma trận Kothe A tạo thành dãy thuộc l p λ ∞ ( A) Không gian dãy nhân với cột ma trận Kothe A tạo thành dãy thuộc l∞ c0 ( A ) Không gian dãy nhân với cột ma trận. .. đề tài để tìm hiểu sâu Không gian dãy ma trận Kothe Mục đích nghiên cứu: Tìm hiểu mối liên hệ ma trận Kothe không gian dãy Đối tượng nghiên cứu: Không gian dãy ma trận Kothe Phạm vi nghiên... số không gian lồi địa phương đặc biệt, là: Không gian Schwartz, Không gian Montel, Không gian Frechet Mối quan hệ không gian Schwartz không gian Montel 3 Chương 4: Trình bày định nghĩa ma trận