BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đỗ Hoàng Hải T-NHÓM GIẢI ĐƯỢC HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đỗ Hoàng Hải T-NHÓM GIẢI ĐƯỢC HỮU HẠN Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 LỜI CẢM ƠN Trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này , đã nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ quý báu của các thầy cô , các anh chị và các bạn Với lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc xin được bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới: Ban Giám Hiệu, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ quá trình học tập và thực bảo vệ luận văn PGS TS Mỵ Vinh Quang, người thầy kính mến đã hết lòng giúp đỡ , dạy bảo, và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho suốt quá trình học tập Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình chu đáo thầy Mỵ Vinh Quang Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô khoa Toán-Tin giúp trang bị kiến thức cần thiết để hoàn thành luận văn Và cuối xin dành lời cảm ơn đến bạn bè, người thân động viên, cổ vũ giúp yên tâm hoàn thành tốt luận văn MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Bảng kí hiệu dùng luận văn LỜI MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nhóm, nhóm 1.2 Tâm hóa tử, chuẩn hóa tử tâm 1.3 p-nhóm, π-nhóm, p’-nhóm, p-nhóm Sylow, nhóm Hall 1.4 Nhóm giải .6 1.5 Nhóm siêu giải .7 1.6 Nhóm lũy linh .8 1.7 Hoán tử, nhóm hoán tử, nhóm dẫn xuất 1.8 Dãy chuẩn tắc, nhân tử bản, dãy .11 1.9 Hệ Sylow, System Normalizer 12 1.10 Phép tự đẳng cấu lũy thừa 12 1.11 Nhóm abnormal, nhóm pronormal 12 Chương T -NHÓM HỮU HẠN GIẢI ĐƯỢC 13 2.1 T -nhóm 13 2.2 H -nhóm .13 2.3 T -nhóm hữu hạn siêu giải 20 2.4 NSN -nhóm .25 KẾT LUẬN 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO 32 BẢNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN H ≤G H nhóm G H p1 , , pm , p số nguyên tố phân biệt H = p1k1 p2k2 pmkm r k −1 Nếu s ước nguyên tố H S s-nhóm Sylow H theo Bổ đề Frattini ta có G = HN G ( S ) , suy N G ( S ) > S G HS = H : mâu thuẫn Do N G ( S ) > S Thật vậy, giả sử N G ( S ) = S = Mà G NSN -nhóm nên S  G Suy S  H Do nhóm Sylow H chuẩn tắc Hnên với s,Hcó snhóm Sylow nhất, suy Hlà tích trực tiếp nhóm Sylow Suy H nhóm lũy linh G G NSN -nhóm nênHlà nhóm Dedekind G Gọi u ước nguyên tố G , u ≠ r U u-nhóm Sylow G Khi U ≤ H Thật vậy, giả sử U ′ u-nhóm Sylow H U ′ u-nhóm Sylow G Do U U ′ liên hợp với G : U g U ′g ≤ g = Hg H Vậy U ≤ H Suy ∃g ∈ G= −1 −1 Suy U  H  G Mà G T -nhóm siêu giải nên U  G Vậy U u-nhóm Sylow G u-nhóm Sylow H Do G không lũy linh, R r-nhóm Sylow G N G ( R ) = R Thật vậy, giả sử R ≠ N G ( R ) R  G Vậy nhóm Sylow G chuẩn tắc G, suy G lũy linh: mâu thuẫn Vậy N G ( R ) = R ⇒ RU ≤ G nhóm siêu giải với N RU ( R ) = R ⇒r[...]... trình bày m t số k t quả về T- nhóm giải được hữu hạn, T- nhóm siêu giải đượchữu hạn và các t nh ch t của chúng; các khái niệm về Nnhóm, H * -nhóm, P -nhóm, nghiên cứu về các N -nhóm, H * -nhóm, P -nhóm hữu hạn. Đặc bi t luận văn đã đi sâu và đưa ra mối liên hệ giữa các nhóm con chuẩn t c, á chuẩn t c, H -nhóm con và sử dụng chúng để mô t cácT -nhóm giải được hữu hạn, Tnhóm siêu giải đượchữu hạn Ngoài ra... chuẩn t c của G đều chuẩn t c trong G (2) M t nhóm hữu hạn G là m t Cp -nhóm (với p là m t số nguyên t ) nếu mọi nhóm con củap -nhóm con Sylow P của G đều chuẩn t c trong N G ( P ) (3) M t nhóm G được gọi là T -nhóm nếu t t cả nhóm con của G đều là T- nhóm 2.1.2 Định lí Cho G là m t nhóm hữu hạn, khi đó các mệnh đề sau đây t ơng đương: (1) G là m t T -nhóm giải được; (2) G là m t T -nhóm siêu giải được; ... m t H * -nhóm giải được hữu hạn sinh và H  G Ta có H ∈ H ( G ) Theo Định lí 2.2.7 (2), H  G nên G là m t T -nhóm 25 Theo [6, 13.4.9], do G là T- nhóm giải được hữu hạn sinh nên G hoặc hữu hạn hoặc abel Nếu G hữu hạn thì theo Định lí 2.3.3 G là T- nhóm siêu giải được Nếu G abel thì G lũy linh Theo Mệnh đề 1.5.2.2 do G là nhóm lũy linh hữu hạn sinh nên G siêu giải được Vậy G là T- nhóm siêu giải được. .. 1.4.2 T nh ch t Cho nhóm G, N là nhóm con của G Ta có các khẳng định sau: (1) Nếu G giải được thì N giải được (2) Nếu G giải được, N  G thì G / N giải được (3) Nếu N  G , N và G / N giải được thì G giải được[ 6, 5.1.1] 1.4.3 Định lí T ch hai nhóm con chuẩn t c giải được là giải được[ 6, 5.1.2] 1.4.4 Định lí Mọi p -nhóm G hữu hạn đều giải được[ 1, 8.14, tr.40] 1.4.5 Định lí Cho G là m t nhóm hữu hạn và... m t P -nhóm Chứng minh (1) suy ra (2): Giả sử G là m t T -nhóm siêu giải được hữu hạn nhưng không là m t H * -nhóm và G là nhóm có cấp nhỏ nh t thỏa mãn điều này Khi đó t n t i H ≤ G và x ∈ G sao cho N G ( H )  H x < H Theo [6, 13.4.7] nhóm con và nhóm thương của T- nhóm siêu giải được hữu hạn cũng là T- nhóm siêu giải được T đó suy ra nhóm con thực sự và ảnh đồng cấu thực sự của G là H * -nhóm Đ t. .. là m t H * -nhóm giải được Chứng minh (1) suy ra (2): Giả sử G là m t T -nhóm siêu giải được Theo [6, 13.4.9], do G là T- nhóm giải được hữu hạn sinh nên G hoặc hữu hạn hoặc abel Nếu G hữu hạn thì theo Định lí 2.3.3, G là H * -nhóm giải được Nếu G abel thì G lũy linh Khi đó mọi nhóm con H của G đều á chuẩn t c trong G Mà G là T- nhóm nên H  G , suy ra H là H -nhóm con của G Vậy G là H * -nhóm giải được. .. Sylow của nhóm hữu hạn giải được G Nhóm con k N =  N G (Qi ) i =1 được gọi là m t system normalizer của G 1.9.2.2 Định lí Trong m t nhóm giải được hữu hạn, các system normalizer lũy linh và b t kì hai system normalizer đều liên hợp với nhau[6, 9.2.4] 1.10 Phép t đẳng cấu lũy thừa M t tự đẳng cấu của nhóm G mà t t cả các nhóm con đều b t biến qua nó được gọi là m t phép t đẳng cấu lũy thừa 1.11 Nhóm con... , N -nhóm, P -nhóm, H * -nhóm Cho G là m t nhóm (1) N(G) là t p hợp t t cả các nhóm con chuẩn t c của G (2) L(G) là t p hợp t t cả các nhóm con của G (3) P(G) là t p hợp t t cả các p -nhóm con của nhóm hữu hạn G, với mọi số nguyên t p (4) M(G) là t p hợp các nhóm con t i đại của G (5) SN(G)là t p hợp các nhóm con t chuẩn hóa của G (6) Nhóm G được gọi là N -nhóm nếu H ( G ) = N ( G ) (7) Nhóm G được. .. -nhóm 2.4.1 Định nghĩa Nhóm G được gọi là NSN -nhóm nếu t t cả nhóm con của G hoặc chuẩn t c hoặc t chuẩn hóa Dễ thấy rằng NSN -nhóm là H * -nhóm và do đó theo Định lí 2.1.2 và 2.3.3 các NSN -nhóm hữu hạn là T -nhóm siêu giải được Ta cũng có nhóm Dedekind là NSN -nhóm Hơn nữa, t t cả nhóm con lũy linh của NSN -nhóm là nhóm Dedekind và nếu G là nhóm lũy linh thì G là NSN -nhóm khi và chỉ khi G là nhóm. .. abnormal, nhóm con pronormal 1.11.1 Nhóm con abnormal Nhóm con H của nhóm G được gọi là abnormal trong G nếu x ∈ H , H x với mọi x ∈ G 1.11.2 Nhóm con pronormal Nhóm con H của nhóm G được gọi là pronormal trong G nếu với mỗi g ∈ G , t n t i u∈ H,H g sao cho Hg = Hu 13 Chương 2 T -NHÓM HỮU HẠN GIẢI ĐƯỢC 2.1 T -nhóm 2.1.1 Định nghĩa T -nhóm, Cp -nhóm, T -nhóm (1) M t nhóm G được gọi là T- nhóm nếu mọi nhóm ... nhóm G gọi T- nhóm nhóm chuẩn t c G chuẩn t c G (2) M t nhóm hữu hạn G Cp -nhóm (với p số nguyên t ) nhóm củap -nhóm Sylow P G chuẩn t c N G ( P ) (3) M t nhóm G gọi T -nhóm t t nhóm G T- nhóm 2.1.2... vi t đưa số k t luận sau: Phần luận văn trình bày số k t T -nhóm giải hữu hạn, T- nhóm siêu giải đượchữu hạn t nh ch t chúng; khái niệm Nnhóm, H * -nhóm, P -nhóm, nghiên cứu N -nhóm, H * -nhóm, P -nhóm. .. hữu hạn T- nhóm siêu giải hữu hạn Trình bày khái niệm Nnhóm, H * -nhóm, P -nhóm, nghiên cứu N -nhóm, H * -nhóm, P -nhóm hữu hạn Khái niệm nhóm hữu hạn mà nhóm chuẩn t c t chuẩn hóa, mô t đặc trưng